安徽省涡阳第一中学2018-2019学年高一下学期第二次质量检测数学(理)试题 Word版含解析

安徽省涡阳县第一中学2018-2019学年高一化学下学期第二次质量检测试题试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分，全卷满分100分，考试时间90分钟。

考试注意事项1.答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、班级、准考证号，并认真核对答题卡上姓名、班级、准考证号与本人姓名、班级、准考证号是否一致。

2.答客观题时，每小题选出正确答案后，用2B铅笔把答题卡上所对应题目答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答主观题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效。

在试题卷、草稿纸上答题无效。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23第Ⅰ卷（客观题满分48分）一、选择题（本题共16小题，每小题只有一个正确选项，每题3分）1.化学与社会、生活密切相关，下列说法不正确的是( )A. “西气东输”中的“气”指的是天然气，其主要成分是甲烷B. 放射性同位素，在工农业、医疗、考古等方面有重要用途C. 鲜花保鲜时可使用浸泡过高锰酸钾溶液的硅土D. 氯仿早期在医学上曾用作麻醉剂，氯仿可溶于水2.下表符号中“2”的含义正确的一组是( )3．以下同学对原子结构的认识错误的是( )A B C D4．下列关于元素周期表的叙述中不正确的是( )A．元素周期表有7个主族，7个副族，1个0族，1个Ⅷ族，共16个纵行B．第ⅠA族金属元素单质均能与水反应C．除氦外的稀有气体原子的最外层电子数都是8D．金属元素的种类比非金属元素多5.下列化学用语的书写错误的是( )A. CH4分子的比例模型：B. F-的结构示意图：C.中子数为20的氯原子： 37 17ClD. CO2的电子式：6．下列说法中不正确的是( )A．Na2O2中含有离子键、非极性共价键，属于离子化合物B．HCl中存在离子键，属于离子化合物C．化学键指的是相邻微粒间的强相互作用D．氢键对物质的熔沸点等性质有影响7．最新报道：科学家首次用X射线激光技术观察到CO与O在催化剂表面形成化学键的过程。

安徽省涡阳县第一中学2018-2019学年高一化学下学期第二次质量检测试题试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分，全卷满分100分，考试时间90分钟。

考试注意事项1.答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、班级、准考证号，并认真核对答题卡上姓名、班级、准考证号与本人姓名、班级、准考证号是否一致。

2.答客观题时，每小题选出正确答案后，用2B铅笔把答题卡上所对应题目答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答主观题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效。

在试题卷、草稿纸上答题无效。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23第Ⅰ卷（客观题满分48分）一、选择题（本题共16小题，每小题只有一个正确选项，每题3分）1.化学与社会、生活密切相关，下列说法不正确的是( )A. “西气东输”中的“气”指的是天然气，其主要成分是甲烷B. 放射性同位素，在工农业、医疗、考古等方面有重要用途C. 鲜花保鲜时可使用浸泡过高锰酸钾溶液的硅土D. 氯仿早期在医学上曾用作麻醉剂，氯仿可溶于水2.下表符号中“2”的含义正确的一组是( )3．以下同学对原子结构的认识错误的是( )A B C D4．下列关于元素周期表的叙述中不正确的是( )A．元素周期表有7个主族，7个副族，1个0族，1个Ⅷ族，共16个纵行B．第ⅠA族金属元素单质均能与水反应C．除氦外的稀有气体原子的最外层电子数都是8D．金属元素的种类比非金属元素多5.下列化学用语的书写错误的是( )A. CH4分子的比例模型：B. F-的结构示意图：C.中子数为20的氯原子： 37 17ClD. CO2的电子式：6．下列说法中不正确的是( )A．Na2O2中含有离子键、非极性共价键，属于离子化合物B．HCl中存在离子键，属于离子化合物C．化学键指的是相邻微粒间的强相互作用D．氢键对物质的熔沸点等性质有影响7．最新报道：科学家首次用X射线激光技术观察到CO与O在催化剂表面形成化学键的过程。

安徽涡阳一中2018届高三最后一卷数学理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，若复数满足，那么（）A. 1B.C.D. 5【答案】C【解析】分析：解方程可求得，根据复数模的公式可得结果.详解：，，故选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2. 已知集合，，下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，由指数不等式的性质化简集合，从而可得结果.详解：根据题意，，，，,,故选D.点睛：本题主要考查解一元二次不等式，求集合的补、交集与并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.3. 已知展开式中的常数项与展开式中的系数相等，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由展开式中的常数项与展开式中的系数相等，利用二项式的通项公式列方程求解即可.详解：的通项公式为，当时，常数项为，通项式为，当时，的系数为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，点关于的对称点为，以为直径的圆被过原点的直线截得的最短弦长为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：过原点的弦与垂直时，弦长最短，即轴与圆的交点为，，从而可得结果.详解：设的坐标分别为，过原点的弦与垂直时，弦长最短，即轴与圆的交点为，即，，故选B.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.5. 2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可.详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率，故选C.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.6. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由三视图可知，该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，一个侧面与底面垂直，设出球心，根据三视图所给数据列方程求出半径，从而可得结果.详解：由题意可得，该几何体的直观图如图，三棱锥中，平面平面，设为的中点，连接，显然平面，根据三视图数据，为等腰直角三角形，点为的外心，外接球的球心一定在直线上，球心在线段的延长线上，设，球半径为，则，由勾股定理可得，，外接球的表面积为，故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7. 已知直线经过函数图像相邻的最高点和最低点，则将的图像沿轴向左平移个单位后得到解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：直线，令可得，最高点坐标与最低点坐标，从而可得周期与的值，进而可得值，根据图象变换规律可得结果.详解：直线，令可得，最高点坐标为，最低点坐标为，所以函数的周期为，，，的解析式为，平移后的解析式为，故选A.点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 33B. 35C. 36D. 40【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：执行程序框图，；；，结束循环，输出，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：中，由余弦定理可得，中，由正弦定理得，根据极限位置，可得当时，，当时，，从而可得的取值范围.详解：中，由余弦定理可得，，，中，由正弦定理得，，得，当时，，当时，，为锐角三角形，，的取值范围为，故选A.点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10. 设函数，若存在实数，满足，则，，的关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用基本不等式可得以,，结合，从而可得结果.详解：，即，所以,又，所以,又因为，，故选B.点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11. （且）在区间上无零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：只需函数与的图象在区间上没有交点，当时，显然成立；当时，单调递增，要使函数与的图象在区间上没有交点，则须，从而可得结果.详解：令，则，设，于是要使函数且在区间上没有零点，只需函数与的图象在区间上没有交点，当时，显然成立；当时，单调递增，且，此时，要使函数与的图象在区间上没有交点，则须，即，于是，解得，故实数的取值范围是或，故选C.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.12. 已知边长为2的等边三角形中，、分别为、边上的点，且，将沿折成，使平面平面，则几何体的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设当平面平面时，由面面垂直的性质定理，得平面，可得几何体的体积，利用导数研究函数的单调性，可得时，体积最大，从而可得结果.详解：设的高为，的高为，当平面平面时，由面面垂直的性质定理，得平面，以几何体的体积，，当，在时，取得最大值，，故选B.点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知菱形的边长为2，，点是上靠近的三等分点，则__________．【答案】【解析】分析：根据向量减法的运算法则以及平面向量基本定理可得，然后利用数量积的运算法则求解即可.详解：，，故答案为.点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．14. 已知，，则__________．【答案】【解析】分析：由，，可得，利用二倍角公式化简，代入即可的结果.详解：因为，，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查同角三角函数之间的关系，以及二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，意在考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.15. 某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产，两种饮品.生产1吨饮品，需1小时，获利900元；生产1吨饮品，需1小时，获利1200元.每天饮品的产量不超过饮品产量的2倍，每天生产饮品的时间不低于生产饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为__________元．【答案】4400【解析】分析：设每天两种饮品的生产数量分别为，目标函数为，则有，利用线性规划求解即可.详解：设每天两种饮品的生产数量分别为，目标函数为，则有，可行域为三直线三交点为组成的三角形，变形为，平移直线，当直线经过，即当时，直线在轴上的截距最大，最大获利，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 16. 已知为坐标原点，过点作两条直线与抛物线：相切于，两点，则面积的最小值为__________．【答案】【解析】分析：求出以为切点的切线方程为，为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，利用韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，可得. 详解：设，，以为切点的切线方程为，即，同理为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，联立，可得，，又到直线的距离为，，当时，等号成立，故答案为.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 古代数学著作《张丘建算经》上曾出现“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，前30天共织布390尺，记女子每天织布的数量构成数列.（1）在30天内，该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少？（2）设数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）根据题意，应为等差数列，设数列的公差为，前项和为，由题意知，即，由等差数列的求和公式可得结果；（2）由（1）可知，，故，利用裂项相消法求和，然后利用放缩法可得结论.详解：（1）根据题意，应为等差数列，设数列的公差为，前项和为，由题意知，即，∴ （尺），故该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多尺.（2）由（1）可知，，故，∴.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 如图，是斜三棱柱中，已知，异面直线，且 .（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先证明平面，而平面，所以，又因为，即，可得平面，从而可得结论；（2）设是的中点，因为，所以，由（1）可知平面，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立的空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组可求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）因为，所以四边形是菱形，所以，又因为异面直线，，所以平面，而平面，所以，又因为，即，且，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）设是的中点，因为，所以，由（1）可知平面，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立的空间直角坐标系，则，，，，设与平面所成角为，∵ ，，，设平面的一个法向量是，则即不妨令，可得，∴ ，∴ 与平面所成角的正弦值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 自2018年元月2日开始，中国中东部大部地区出现今年首次大范围雨雪天气，雨雪天气对民众的生活有显著影响.我国科学工作者研究了山东冬季短时间内积雪深度（单位：）和降雪量（单位：）的关系为，当降雪量为5时，积雪深度为3.9.下表为山东甲地未来24小时内降雪量及其概率：)概率根据以往的经验，甲地某工程施工期间的积雪深度（单位：）对工期的影响如下表：积雪深度()（1）已知24小时内降雪量大于10的降雪过程为暴雪，下表为山东5个城市24小时内的积雪深度测量值.积雪深度()现从上述5个城市中，随机抽取2个，求抽取的2个城市降雪量均为暴雪的概率；（2）求甲地在24小时内降雪量至少是5的条件下，工期延误不超过6天的概率；（3）若甲地此工程每延误一天，损耗10000元，求该工程损耗的数学期望.【答案】（1）；（2）；（3）20000【解析】分析：（1）因为，求得样本中心坐标代入可得，，所以，由此得到对应的个城市降雪量，利用古典概型概率公式可得结果；（2）由互斥事件的概率公式，根据条件概率公式可得结果；（3）设该工程损耗为，则，，，，利用互斥事件与对立事件的概率公式求出随机变量对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得结果.详解：（1）因为，代入可得，，所以.对应的5个城市降雪量为：降雪量(达到暴雪的城市为3个，所以抽取的2个城市中为暴雪的概率为.（2）由概率加法公式，得，又，由条件概率，得，故甲地在24小时内降雪量至少是5的条件下，工期延误不超过6天的概率为.（3）根据题意，，，，，设该工程损耗为，则，，，，所以的分布列为：于是，，故该工程损耗的数学期望为元.点睛：求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.20. 动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为.（1）求的轨迹的方程；（2）过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且.证明：过和中点的直线过定点.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用线段的中垂线的性质和椭圆的定义判定动点的轨迹为椭圆，再求其轨迹方程；（Ⅱ）先利用直线的特殊情况探索直线过定点，再联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式进行求解．试题解析：（Ⅰ）连接，根据题意，可知，则，故点的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆，则，，∴，所以点的轨迹的方程为．（Ⅱ）分别设直线和的中点为、，当直线斜率不存在或为0时，分析可知直线与轴重合，当直线的斜率为1时，此时，，直线的方程为，联立解得直线经过定点．下面证明一般性：当直线的斜率存在且不为0,1时，设直线的方程为，则直线的方程为，设，，联立消去得，则，所以，即，同理：，于是直线的斜率为，故直线的方程为，显然时，，故直线经过定点．点睛：在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.21. 已知.（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）当，时，证明：函数只有一个零点；（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：（1）在上递增，∴对恒成立即对恒成立，∴只需即可；（2）利用导数研究函数的单调性，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴当时，函数取得最大值，其值为，当时，，即，从而可得结果；（3）由已知得，化为，可得，，，只需证明即可得结论.详解：（1）依题意：∵ 在上递增，∴ 对恒成立即对恒成立，∴ 只需∵ ，∴ ，当且仅当时取“=”，∴ ，∴ 的取值范围为（2）当，时，，其定义域是，∴ ，∵ ，∴ 时，；当时，∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减∴ 当时，函数取得最大值，其值为当时，，即∴ 函数只有一个零点（3）由已知得两式相减，得，由及，得令，，∵ ，∴ 在上递减，∴∵ ，∴点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点的直角坐标为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）曲线的极坐标方程中将和换成和即可得到曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，利用韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得，从而可得结果.详解：（1）由题目知曲线的极坐标方程可化为，即，即，∴ 曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，整理可得，设，所对应的参数分别为，，则，∴ ，∴ 直线的斜率，∴ 直线的方程为.点睛：本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）设的最小值为，实数，满足，，，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(Ⅰ)对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果;(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，，从而可得，令，利用基本不等式转化求解证明即可.详解：(Ⅰ)，即.(1)当时，不等式可化为.又∵，∴；(2)当时，不等式可化为.又∵，∴.(3)当时，不等式可化为.又∵，∴.综上所得，，或，即.∴原不等式的解集为.(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，，∴，即.令，则，，，原不等式得证.点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

第I 卷（选择题 满分60分)一、选择题（共12题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ）.A 简单随机抽样法 .B 抽签法 .C 随机数表法 .D 分层抽样法2.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则c o s2α=（ ）.A 3.B 13.C 13-.D 3-3.用辗转相除法，计算56和264的最大公约数是（ ）.A 7 .B 8 .C 9 .D 64.从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是.A 至少有一个黑球与都是黑球 .B 至少有一个黑球与至少有一个白球 .C 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 .D 至少有一个黑球与都是白球5.已知变量x ，y 之间的线性回归方程为0.47.6ˆyx =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）.A 变量x ，y 之间呈现负相关关系 . .B m 的值等于5..C 变量x ，y 之间的相关系数0.4.r =- .D 由表格数据知，该回归直线必过点(9,4).6.2019年是新中国成立70周年，涡阳县某中学为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则4个剩余分数的方差为（ ）.A 1 .B 32.C 4 .D 67.取一根长度为m 4的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段绳有一段长度不小于m 3的概率是（ ）.A 21 .B 31 .C 41 .D 43 8.向量)1,λ(,)5,4-(==，若//)-(，则的值是（ ）.A 45-.B 34-.C 54-.D9.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则函数()f x 在]12,317[上的最大值为（ ） .A .B .C 12.D 110.执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出 （ ）A. B. C. D.11.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平衡6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）.A 函数()g x 1 .B 函数()g x 的最小正周期为2π.C 函数()g x 的图象关于直线3π-=x 对称.D 函数()g x 在区间],32[ππ上单调递增12.已知A B C ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足C A C B A s i n s i n 1c o s c o s c o s 222+=+-，且1sin sin =+C A ，则ABC ∆的形状为（ ）.A 等边三角形 .B 等腰直角三角形 .C 顶角为 150的等腰三角形 .D 顶角为 120的等腰三角形第II 卷（非选择题 满分90分)二、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13.已知向量a ，b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则||a b -= ．14.某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别为001,002,003，…，800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第12列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是 .15.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为__________．16.如图，一栋建筑物AB 高（m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m ．三、解答题（共6题，共70分。

安徽省亳州市涡阳第一中学2018-2019学年高一下学期第二次质量检测数学（文)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()10,0e =r ，()21,2e =-rB ．()11,0e =-r ，()20,1e =rC ．()13,2e =r ，()26,4e =rD ．()12,3e =-r ，()22,3e =-r2．设O 是ABCD Y 的对角线的交点，则向量AO uuu v等于（ ）A ．1()2AB AD -u u uv u u u vB ．AB AD +u u u v u u u vC ．OC u u u vD ．BA BO -u u u v u u u v3．现要完成下列3项抽样调查：①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格.②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈. 较为合理的抽样方法是（ ）A ．①简单随机抽样， ②分层抽样， ③系统抽样B ．①简单随机抽样， ②系统抽样， ③分层抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样， ③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样， ③简单随机抽样4．已知向量b v 在a v 方向上的投影为2，1a =v ，则a b ⋅v v为（ ）A ．2B ．12C ．-2D ．15．已知tan 5a π=，2tan 7b π=，sin 5c π=，则有（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<6．已知向量a v ，b v 满足||1a =v，||b =v 且a v 与b v的夹角为6π，则()(2)a b a b +⋅-=v v v v A ．12 B ．32- C ．12- D ．327．已知函数2sin()5y x π=+的图象为C ，为了得到函数2sin(2)5y x π=+的图象，只要把C 上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.B ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变. C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变. 8．已知,a b v v 是不共线的向量，且5,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=-+=-u u u v u u u v u u u v v v v v v v ，则（ ）.A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线9．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（）A ．640B ．520C ．280D ．24010．已知向量()sin ,cos a θθ=r，()1,3b =r，若a r与b r共线，则sin cos θθ的值为（ ） A ．310-B ．310 C ．13 D ．3 11．已知ABC ∆中，向量()()AP AB AC R λλ=+∈u u u v u u u v u u u v，则点P 的轨迹通过ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心12．若12,e e u v u u v是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =+v v v与1232b e e =-+vv v的夹角为（ ）. A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知1tan 7α=，1tan 3β=，则tan(2)αβ+=______. 14．已知向量()1,2a =r ，()2,b k =r ，若()2a a b ⊥-r r r，则实数k =_____________．15．已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =u u u v v ，BC b =u u u v v ，AC c =u u u v v ，则a b c ++=v v v_______.16．函数sin(2)4y x π=+，[0,]x π∈的单调减区间是__________.三、解答题17．（1）求证：1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--； （2）计算1tan151tan15+︒-︒的值.18．已知平面坐标系中，点O 为原点，(3,4)A --，(5,12)B -.（1）求向量AB u u u v的坐标及AB u u u v ；（2）若OC OA OB =+u u u v u u u v u u u v ，OD OA OB =-u u u v u u u v u u u v ，求OC u u u v 及OD u u u v的坐标； （3）求OA u u u v 在OB uuu v方向上的投影.19．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R 其部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式与单调增区间； （2）当[0,]x π∈时，求函数()y f x =的最大值与最小值及此时相应x 的值.20．已知向量()1,2a =r，()3,1b =-r （1）求与2a b +r r 同向的单位向量e r ；（2）若向量113,3c ⎛⎫=--⎪⎝⎭r，请以向量a r ，b r 为基底表示向量c r； （3）若a r，b r夹角为θ，求cos2θ的值．21．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP α∠=，求当α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.22．已知向量()1,1a =r ，sin ,sin 66b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭v ，若函数()cos f x a b x a =⋅++rr 的最大值为1（1）求常数a 的值；（2）求使()0f x ≥成立的x 的取值集合； （3）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度得到函数()y g x =，求函数2()sin cos ()2y g x x x x R =+∈的值域.参考答案1．B 【解析】 【分析】根据基底的定义依次判断各个选项即可. 【详解】A 中1e r为零向量，不能作为基底；B 中1e r 与2e r为非零向量，且不共线，可作为基底；C 中212e e =r r ，1e r 与2e r共线，不能作为基底；D 中21e e =-r r ，1e r 与2e r 共线，不能作为基底.本题正确选项：B 【点睛】本题考查基底的定义，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】根据相等向量的定义可得结果. 【详解】AO OC =u u u r u u u r Q 且AO u u u r 与OC u u u r同向 AO OC ∴=u u u r u u u r本题正确选项：C 【点睛】本题考查相等向量的判定，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】①总体数量不多，适合用简单随机抽样；②共480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名，宜用分层抽样；③总体数量较多，宜用系统抽样。

安徽省亳州市涡阳一中2018届高三数学最后一卷试题理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，若复数满足，那么（）A. 1B.C.D. 5【答案】C【解析】分析：解方程可求得，根据复数模的公式可得结果.详解：，，故选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.已知集合，，下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，由指数不等式的性质化简集合，从而可得结果.详解：根据题意，，，， ,,故选D.点睛：本题主要考查解一元二次不等式，求集合的补、交集与并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.3.已知展开式中的常数项与展开式中的系数相等，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由展开式中的常数项与展开式中的系数相等，利用二项式的通项公式列方程求解即可.详解：的通项公式为，当时，常数项为，通项式为，当时，的系数为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，点关于的对称点为，以为直径的圆被过原点的直线截得的最短弦长为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：过原点的弦与垂直时，弦长最短，即轴与圆的交点为，，从而可得结果.详解：设的坐标分别为，过原点的弦与垂直时，弦长最短，即轴与圆的交点为，即，，故选B.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.5.2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可.详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率，故选C.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由三视图可知，该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，一个侧面与底面垂直，设出球心，根据三视图所给数据列方程求出半径，从而可得结果.详解：由题意可得，该几何体的直观图如图，三棱锥中，平面平面，设为的中点，连接，显然平面，根据三视图数据，为等腰直角三角形，点为的外心，外接球的球心一定在直线上，球心在线段的延长线上，设，球半径为，则，由勾股定理可得，，外接球的表面积为，故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7.已知直线经过函数图象相邻的最高点和最低点，则将的图象沿轴向左平移个单位后得到解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：直线，令可得，最高点坐标与最低点坐标，从而可得周期与的值，进而可得值，根据图象变换规律可得结果.详解：直线，令可得，最高点坐标为，最低点坐标为，所以函数的周期为，，，的解析式为，平移后的解析式为，故选A.点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 33B. 35C. 36D. 40【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：执行程序框图，；；，结束循环，输出，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：中，由余弦定理可得，中，由正弦定理得，根据极限位置，可得当时，，当时，，从而可得的取值范围.详解：中，由余弦定理可得，，，中，由正弦定理得，，得，当时，，当时，，为锐角三角形，，的取值范围为，故选A.点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.设函数，若存在实数，满足，则，，的关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用基本不等式可得以,，结合，从而可得结果.详解：，即，所以,又，所以,又因为，，故选B.点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.（且）在区间上无零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：只需函数与的图象在区间上没有交点，当时，显然成立；当时，单调递增，要使函数与的图象在区间上没有交点，则须，从而可得结果.详解：令，则，设，于是要使函数且在区间上没有零点，只需函数与的图象在区间上没有交点，当时，显然成立；当时，单调递增，且，此时，要使函数与的图象在区间上没有交点，则须，即，于是，解得，故实数的取值范围是或，故选C.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.12.已知边长为2的等边三角形中，、分别为、边上的点，且，将沿折成，使平面平面，则几何体的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设当平面平面时，由面面垂直的性质定理，得平面，可得几何体的体积，利用导数研究函数的单调性，可得时，体积最大，从而可得结果.详解：设的高为，的高为，当平面平面时，由面面垂直的性质定理，得平面，以几何体的体积，，当，在时，取得最大值，，故选B.点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知菱形的边长为2，，点是上靠近的三等分点，则__________．【答案】【解析】分析：根据向量减法的运算法则以及平面向量基本定理可得，然后利用数量积的运算法则求解即可.详解：，，故答案为.点睛：向量运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．14.已知，，则__________．【答案】【解析】分析：由，，可得，利用二倍角公式化简，代入即可的结果.详解：因为，，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查同角三角函数之间的关系，以及二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，意在考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.15.某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产，两种饮品.生产1吨饮品，需1小时，获利900元；生产1吨饮品，需1小时，获利1200元.每天饮品的产量不超过饮品产量的2倍，每天生产饮品的时间不低于生产饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为__________元．【答案】4400【解析】分析：设每天两种饮品的生产数量分别为，目标函数为，则有，利用线性规划求解即可.详解：设每天两种饮品的生产数量分别为，目标函数为，则有，可行域为三直线三交点为组成的三角形，变形为，平移直线，当直线经过，即当时，直线在轴上的截距最大，最大获利，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16.已知为坐标原点，过点作两条直线与抛物线：相切于，两点，则面积的最小值为__________．【答案】【解析】分析：求出以为切点的切线方程为，为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，利用韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，可得.详解：设，，以为切点的切线方程为，即，同理为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，联立，可得，，又到直线的距离为，，当时，等号成立，故答案为.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.古代数学著作《张丘建算经》上曾出现“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，前30天共织布390尺，记女子每天织布的数量构成数列.（1）在30天内，该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少？（2）设数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）根据题意，应为等差数列，设数列的公差为，前项和为，由题意知，即，由等差数列的求和公式可得结果；（2）由（1）可知，，故，利用裂项相消法求和，然后利用放缩法可得结论. 详解：（1）根据题意，应为等差数列，设数列的公差为，前项和为，由题意知，即，∴ （尺），故该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多尺.（2）由（1）可知，，故，∴.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，是斜三棱柱中，已知，异面直线，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先证明平面，而平面，所以，又因为，即，可得平面，从而可得结论；（2）设是的中点，因为，所以，由（1）可知平面，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立的空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组可求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）因为，所以四边形是菱形，所以，又因为异面直线，，所以平面，而平面，所以，又因为，即，且，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）设是的中点，因为，所以，由（1）可知平面，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立的空间直角坐标系， 则，，，，设与平面所成角为，∵，，，设平面的一个法向量是，则即不妨令，可得，∴ ，∴ 与平面所成角的正弦值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.自2018年元月2日开始，中国中东部大部地区出现今年首次大范围雨雪天气，雨雪天气对民众的生活有显著影响.我国科学工作者研究了山东冬季短时间内积雪深度（单位：）和降雪量（单位：）的关系为，当降雪量为5时，积雪深度为3.9.下表为山东甲地未来24小时内降雪量及其概率： ()根据以往的经验，甲地某工程施工期间的积雪深度（单位：）对工期的影响如下表：积雪深度（1）已知24小时内降雪量大于10的降雪过程为暴雪，下表为山东5个城市24小时内的积雪深度测量值.积雪深度现从上述5个城市中，随机抽取2个，求抽取的2个城市降雪量均为暴雪的概率；（2）求甲地在24小时内降雪量至少是5的条件下，工期延误不超过6天的概率；（3）若甲地此工程每延误一天，损耗10000元，求该工程损耗的数学期望.【答案】（1）；（2）；（3）20000【解析】分析：（1）因为，求得样本中心坐标代入可得，，所以，由此得到对应的个城市降雪量，利用古典概型概率公式可得结果；（2）由互斥事件的概率公式，根据条件概率公式可得结果；（3）设该工程损耗为，则，，，，利用互斥事件与对立事件的概率公式求出随机变量对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得结果.详解：（1）因为，代入可得，，所以对应的5个城市降雪量为：降雪量)达到暴雪的城市为3个，所以抽取的2个城市中为暴雪的概率为.（2）由概率加法公式，得，又，由条件概率，得，故甲地在24小时内降雪量至少是5的条件下，工期延误不超过6天的概率为.（3）根据题意，，，，，设该工程损耗为，则，，，，所以的分布列为：于是，，故该工程损耗的数学期望为元.点睛：求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.20.动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为.（1）求的轨迹的方程；（2）过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且.证明：过和中点的直线过定点.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用线段的中垂线的性质和椭圆的定义判定动点的轨迹为椭圆，再求其轨迹方程；（Ⅱ）先利用直线的特殊情况探索直线过定点，再联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式进行求解．试题解析：（Ⅰ）连接，根据题意，可知，则，故点的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆，则，，∴，所以点的轨迹的方程为．（Ⅱ）分别设直线和的中点为、，当直线斜率不存在或为0时，分析可知直线与轴重合，当直线的斜率为1时，此时，，直线的方程为，联立解得直线经过定点．下面证明一般性：当直线的斜率存在且不为0,1时，设直线的方程为，则直线的方程为，设，，联立消去得，则，所以，即，同理：，于是直线的斜率为，故直线的方程为，显然时，，故直线经过定点．点睛：在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.21.已知.（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）当，时，证明：函数只有一个零点；（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：. 【答案】【解析】(Ⅰ)依题意：在上递增，对恒成立即对恒成立，只需当且仅当时取，的取值范围为……………………………………………………………4分(Ⅱ)当时，，其定义域是时，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减当时，函数取得最大值，其值为当时，即函数只有一个零点……………………………………………………………8分(Ⅲ)由已知得两式相减，得由及，得令，在上递减，∵，∴．………………………………………13分22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点的直角坐标为（2,1），求直线的方程. 【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：（1）曲线的极坐标方程中将和换成和即可得到曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，利用韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得，从而可得结果.详解：（1）由题目知曲线的极坐标方程可化为，即，即，∴ 曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，整理可得，设，所对应的参数分别为，，则，∴ ，∴ 直线的斜率，∴ 直线的方程为.点睛：本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23.选修4—5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）设函数的最小值为，实数，满足，，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．通过①当x＜1时，②当1≤x≤3时，③当x＞3时，去掉绝对值符号，求解即可；（2）由绝对值不等式性质得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|=2，推出a+b=2．令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．【详解】①当时，不等式可化为，．又∵，∴∅；②当时，不等式可化为，．又∵，∴．③当时，不等式可化为，．又∵，∴．综上所得，．∴原不等式的解集为．（2）证明：由绝对值不等式性质得，，∴，即．令，，则，，，，，原不等式得证．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。

安微涡阳一中2018届高三最后一卷数学理 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，若复数z 满足11z ii i+=+-，那么z （ ）A ．1B ．52.已知集合()(){}360A x x x =--<，{}28xB x =>，下列结论成立的是（ ）A ．BA ⊆B ．B A A =C ．B A B =D ．()R B A =∅ ð3.已知612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与3a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中x 的系数相等，则实数a 的值为（ ） A ．56-B ．52- C ．1- D ．5- 4.已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2F 关于1F 的对称点为B ，以2BF 为直径的圆被过原点的直线截得的最短弦长为6b ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．325.2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X （单位：辆）均服从正态分布()2600,Nσ，若()5007000.6P X <<=，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ） A ．1125 B ．12125 C.61125 D ．641256.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．18πB ．32π C.36π D ．72π 7.已知直线3402x y ππ+-=经过函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭图像相邻的最高点和最低点，则将()f x 的图像沿x 轴向左平移8π个单位后得到解析式为（ ）A ．cos2y x =B ．cos2yx =- C. 3sin 28y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 28y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．33B ．35 C. 36 D ．409.已知锐角ABC 的内角为A ，B ，C ，点M 为AB上的一点，cos ACM∠=，15AC =，CM =AB 的取值范围为（ ）A．2⎛ ⎝ B．(C.()D．,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10.设函数()lg f x x =，若存在实数0a b <<，满足()()f a f b =，则222log 8a b M +=，22log N =，21ln Q e =的关系为（ ） A ．M N Q >> B ．M Q N >> C.N Q M >> D ．NM Q >>11.28log xa y x =-（0a >且1a ≠）在区间10,3⎛⎤⎥⎝⎦上无零点 ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()10,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.()1,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()()0,14,+∞12.已知边长为2的等边三角形ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且//EF BC ，将AEF 沿EF 折成'A EF ，使平面'A EF ⊥平面EFCB ，则几何体'A EFCB -的体积的最大值为（ ）A．9 B．9 C.38 D．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒，点M 是BD 上靠近D 的三等分点，则AM AB =．14.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，sin α=，则1cos 2sin 2αα+= ． 15.某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产A ，B 两种饮品.生产1吨A 饮品，需1小时，获利900元；生产1吨B 饮品，需1小时，获利1200元.每天B 饮品的产量不超过饮品A 产量的2倍，每天生产B 饮品的时间不低于生产A 饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为 元．16.已知O 为坐标原点，过点(),2P a -作两条直线与抛物线C ：24x y =相切于A ，B 两点，则AOB 面积的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 古代数学著作《张丘建算经》上曾出现“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，前30天共织布390尺，记女子每天织布的数量构成数列{}n a .（1）在30天内，该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少？ （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，证明：2980n T <. 18.如图，是斜三棱柱111ABC A BC -中，已知11190B C A ∠=︒，异面直线11AB AC ⊥，且1AA AC = .（1）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（2）若1111AC AA BC ==，求直线11AC 与平面11ABBA 所成角的正弦值. 19. 自2018年元月2日开始，中国中东部大部地区出现今年首次大范围雨雪天气，雨雪天气对民众的生活有显著影响.我国科学工作者研究了山东冬季短时间内积雪深度Y （单位：cm ）和降雪量X （单位：mm ）的关系为0.75Y X b =+，当降雪量为5mm 时，积雪深度为3.9cm .下表为山东甲地未来24小时内降雪量及其概率：根据以往的经验，甲地某工程施工期间的积雪深度Y （单位：cm ）对工期的影响如下表：（1）已知24小时内降雪量大于10mm 的降雪过程为暴雪，下表为山东5个城市24小时内的积雪深度测量值.现从上述5个城市中，随机抽取2个，求抽取的2个城市降雪量均为暴雪的概率； （2）求甲地在24小时内降雪量X 至少是5mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率； （3）若甲地此工程每延误一天，损耗10000元，求该工程损耗的数学期望. 20. 动点P 在圆E ：()22116x y ++=上运动，定点()1,0F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q .（1）求Q 的轨迹T 的方程；（2）过点F 的直线1l ，2l 分别交轨迹T 于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥.证明：过AB 和CD 中点的直线过定点. 21. 已知()2ln f x x ax bx =--.（1）若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（2）当1a =，1b =-时，证明：函数()f x 只有一个零点；（3）若()f x 的图像与x 轴交于()1,0A x ，()()212,0B x x x <两点，AB 中点为()0,0C x ，求证：()0'0f x <.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos cos23ρθθ+=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 的直角坐标为，求直线l 的方程.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-+-.（1）解不等式()1f x x ≤+；（2）设()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++. 试卷答案一、选择题1-5: CDABC 6-10: CACAB 11、12：CB 二、填空题13.8314. -2 15. 4400 16. 三、解答题17.解：（1）根据题意，{}n a 应为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，由题意知29303053902d ⨯⨯+=，即1629d =， 1624015152929S S d -==⨯=偶数项奇数项∴ （尺）， 故该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多24029尺. （2）由（1）可知，()165129na n =+-⨯， 故1111111291116n n n n n n a a d a a a a +++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12231122311112911111116n n n n a a a a a a a a a a a a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2911291616580529n ⎛⎫ ⎪=-< ⎪ ⎪+⎝⎭. 18.解：（1）因为1AA AC =，所以四边形11ACC A 是菱形，所以11AC AC ⊥， 又因为异面直线11AB AC ⊥，11AC AB A = ，所以1AC ⊥平面11AB C ，而11BC ⊂平面11AB C ，所以111AC B C ⊥， 又因为11190B C A ∠=︒，即1111B C AC ⊥，且1111AC AC A = ， 所以11B C ⊥平面11ACC A ，而11BC ⊂平面111AB C ， 所以平面11ACC A ⊥平面111A B C .（2）设O 是11AC 的中点，因为11AC AA =，所以11AO AC ⊥，由（1）可知AO ⊥平面111A B C ，以过点O 且与11C B 平行的直线为x 轴，以1OC 所在直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴，建立的空间直角坐标系O xyz -，则(A，()10,1,0A -，()10,1,0C ，()12,1,0B ，设11AC 与平面11ABB A 所成角为θ，∵ ()110,2,0A C = ，()112,2,0A B =，(1A A = ，设平面11ABB A 的一个法向量是(),,n x y z = ，则11100A B n A A n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即2200x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令1x =，可得1,n ⎛=- ⎝⎭ ，∴11sin cos ,7AC n θ===， ∴ 11AC 与平面11ABB A所成角的正弦值为7. 19.解：（1）因为0.75YX b =+，代入()5,3.9可得，0.15b =，所以0.750.15Y X =+. 对应的5个城市降雪量为：达到暴雪的城市为3个，所以抽取的2个城市中为暴雪的概率为2325310C P C ==.（2）由概率加法公式，得()()3.9510.60.4P Y P X ≥=≥=-=，又()()3.915.155200.20.10.3PY P X ≤<=≤<=+=，由条件概率，得()()()3.915.150.3315.15 3.9 3.90.44P Y PY Y P Y ≤<<≥===≥，故甲地在24小时内降雪量X 至少是5mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率为34. （3）根据题意，()()()3.9 2.5 2.550.20.40.6PY P X P X <=<+≤<=+=，()()3.97.655100.2P Y P X ≤<=≤<=，()()7.6515.1510200.1P Y P X ≤<=≤<=，()()()15.153020300.050.050.1P Y P X P X ≥=≥+≤<=+=，设该工程损耗为ξ，则0ξ=，20000，60000，100000，所以的分布列为：于是，()00.6200000.2600000.11000000.120000Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，故该工程损耗的数学期望为20000元. 20.解：（1）连接QF ，根据题意，可知QP QF=，则4QE QF QE QP EF +=+=>，故Q 点的轨迹T 为以E 、F 为焦点，长轴长为4的椭圆，则2a =，1c =，∴ b =，所以点Q 的轨迹T 的方程为22143x y +=.（2）分别设直线AB 和CD 的中点为M 、N ，当直线AB 斜率不存在或为0时，分析可知直线MN 与x 轴重合，当直线AB 的斜率为1时，此时43,77M ⎛⎫⎪⎝⎭，43,77N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为47x =，联立解得直线MN 经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明一般性：当直线AB 的斜率存在且不为0,1时，设直线AB 的方程为()1y kx =-，则直线CD 的方程为()11y x k=--，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=， 则2122843k x x k -+=-+，所以122643k y y k +=-+，即22243,4343k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理：2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 于是直线MN 的斜率为()222222337344344413443MNk k k k k k k k k k +++==--++， 故直线MN 的方程为()222374343441k k y x k k k ⎛⎫-=- ⎪++-⎝⎭，显然47x =时，0y =，故直线经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭. 21.解（1）依题意：()2ln f x x x bx =+-∵()f x 在()0,+∞上递增， ∴()1'20f x x b x=+-≥对()0,x ∈+∞恒成立 即12b x x ≤+对()0,x ∈+∞恒成立， ∴ 只需min12b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭ ∵ 0x >，∴12x x +≥当且仅当2x =时取“=”，∴b ≤∴ b的取值范围为(-∞（2）当1a =，1b=-时，()2ln f x x x x =-+，其定义域是()0,+∞，∴ ()()()2121121'21x x x x f x x x x x-+--=-+=-=-， ∵ 0x >，∴ 01x <<时，()'0f x >；当1x <时，()'0f x <∴ 函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减∴ 当1x =时，函数()f x 取得最大值，其值为()21ln 110f x =-+=当1x ≠时，()()1f x f <，即()0f x <∴ 函数()f x 只有一个零点（3）由已知得()()221111111222222222ln 0n ln 0ln f x x ax bx x ax bx f x x ax bx x ax bx ⎧⎧=--==+⎪⇒⎨⎨=--==+⎪⎩⎩两式相减，得 ()()()11212122lnx a x x x x b x x x =+-+-⇒()()112122ln xx x a x x b x =-⎡++⎤⎣⎦， 由()1'2f x ax b x=--及0122x x x =+，得 ()0001'2f x ax b x =--()12122a x x b x x =-⎡++⎤⎣⎦+11212221ln x x x x x x =-+- ()1211212221ln x x x x x x x x ⎡-⎤=-⎢⎥-+⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦令12xt x =，()()22ln 011t t t t t ϕ-=-<<+，∵ ()()()221'01t t t t ϕ-=-<+， ∴ ()t ϕ在()0,1上递减， ∴ ()()10t ϕϕ>=∵ 12x x <，∴ ()0'0f x <22.（1）由题目知曲线C 的极坐标方程可化为()2223cos sin 3ρθθ-=，即22223cos sin 3ρθρθ-=，即2233x y -=，∴ 曲线C 的直角坐标方程为2213y x -=.（2）将直线l 的参数方程2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入C 的直角坐标方程得()()2232cos 1sin 3t t αα+-+=，整理可得()()22223cos sin 12cos 2sin 80t tαααα-+-+=，设A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则120t t +=，∴ 122212cos 2sin 012cos 2sin 03cos sin t t αααααα-+=-=⇒-=-，∴ 直线l 的斜率tan 6kα==，∴ 直线l 的方程为611y x =-.23.（1）()1f x x ≤+，得131x x x -+-≤+.①当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，1x ≥. 又∵ 1x <，∴ x ∈∅；②当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，1x ≥. 又∵ 13x ≤≤，∴ 13x ≤≤.③当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，5x ≤. 又∵ 3x >，∴ 35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤. ∴原不等式的解集为[]1,5.（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=，∴ 2c =，即2a b +=. 令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1a m =-，1b n =-，4m n +=，()()22221111411m n a b m n a b m n m n--+=+=+++-++24412mn m n =≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，原不等式得证.。