八年级数学下册 2.7 正方形(第3课时)教案 (新版)湘教版

湘教版数学八年级下册《2.7 正方形》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册《2.7 正方形》是初中的一个重要内容，主要让学生掌握正方形的性质和判定方法，以及正方形与其他多边形的关系。

本节内容是在学生已经掌握了平行四边形的性质和判定方法的基础上进行学习的，为后续学习矩形、菱形等其他四边形打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了一定的几何基础知识，对平行四边形的性质和判定方法有一定的了解。

但是，对于正方形的特殊性质和与其他多边形的关系，还需要通过本节课的学习来掌握。

此外，学生对于几何图形的直观认识和空间想象能力还需要进一步培养。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握正方形的性质和判定方法，能够运用正方形的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。

四. 教学重难点1.教学重点：正方形的性质和判定方法，正方形与其他多边形的关系。

2.教学难点：正方形特殊性质的理解和运用，正方形与其他多边形的转化。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.操作教学法：通过学生动手操作，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

3.合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作正方形的相关课件，包括图片、动画、例题等。

2.教学道具：准备一些正方形的实物模型，用于学生观察和操作。

3.练习题库：准备一些关于正方形的练习题，包括判断题、填空题、解答题等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的正方形实例，如瓷砖、骰子等，引导学生对正方形产生兴趣，并提出问题：“你们知道正方形有哪些特殊的性质吗？”2.呈现（10分钟）教师通过课件和实物模型，呈现正方形的性质和判定方法，如四条边相等、四个角都是直角等。

湘教版数学八年级下册2.7《正方形》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级下册2.7《正方形》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握正方形的性质和判定方法。

本节内容是在学生已经掌握了四边形的概念、性质和判定方法的基础上进行学习的，是多边形学习的一个重点和难点。

教材通过正方形的定义、性质、判定和应用四个方面，让学生深入理解正方形的特征，并能够运用正方形的性质解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，对四边形的性质和判定方法有一定的了解。

但是，正方形的性质和判定方法较为复杂，需要学生进行深入理解和灵活运用。

因此，在教学过程中，我将以学生为主体，引导学生通过观察、思考、讨论和动手操作等方式，深入理解正方形的性质和判定方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握正方形的性质和判定方法，能够运用正方形的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论和动手操作等方式，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：正方形的性质和判定方法。

2.教学难点：正方形的性质和判定方法的灵活运用。

五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和动手操作法。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和黑板等辅助教学。

六.说教学过程1.导入新课：通过展示正方形的实物模型，引导学生回顾四边形的性质和判定方法，为新课的学习做好铺垫。

2.自主学习：让学生自主阅读教材，理解正方形的定义和性质。

3.合作交流：学生进行小组讨论，探讨正方形的判定方法，并分享自己的心得体会。

4.教师讲解：针对学生的讨论结果，进行总结和讲解，突出正方形的性质和判定方法的要点。

5.动手操作：让学生动手操作实物模型，加深对正方形性质的理解。

6.巩固练习：布置一些有关正方形的练习题，让学生巩固所学知识。

2．7 正方形1．掌握正方形的概念、性质，并会运用；(重点)2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；(难点)3．掌握正方形的判定条件；(重点) 4．合理地利用正方形的判定进行有关的论证和计算．(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手过程中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】 利用正方形的性质求线段长或证明如图所示，正方形ABCD 的边长为1，AC 是对角线，AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC 于点F .(1)求证：BE ＝CF ； (2)求BE 的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE ＝EF ，再证明△CEF 为等腰直角三角形，可证明BE ＝CF ；(2)设BE ＝x ，在△CEF 中可表示出CE ，由BC ＝1，可列出方程，可求得BE . (1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝90°，∵EF ⊥AC ，∴∠EF A ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴BE ＝EF ，又∵AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝45°，∴∠FEC ＝∠FCE ，∴EF ＝FC ，∴BE ＝CF ；(2)解：设BE ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，在Rt △CEF 中，CE ＝EF 2＋CF 2＝2x ，∵BC ＝1，∴x ＋2x ＝1，解得x＝2－1，即BE 的长为2－1.方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决． 【类型二】利用正方形的性质求角度或证明在正方形ABCD 中，点F 是边AB上一点，连接DF ，点E 为DF 中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数． 解析：(1)根据正方形的四条边都相等可得AB ＝CD ，每一个角都是直角可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据等边对等角可得∠EAD ＝∠EDA ，再求出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“边角边”证明即可；(2)根据全等三角形对应边相等可得EB ＝EC ，再求出△BCE 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BAE ，然后根据等边对等角可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，∵点E 为DF 的中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA ，∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE ，在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC ，∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°，∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12(180°－30°)＝75°，又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段．探究点二：正方形的判定【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”判定已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE ⊥BC 于点E ，DF⊥AC 于点F .求证：四边形CEDF 是正方形． 解析：要证四边形CEDF 是正方形，则要先证明四边形DECF 是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠DFC ＝90°，∠DEC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴四边形DECF 是矩形，∵DE ＝DF ，∴矩形DECF 是正方形．方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”判定如图，已知在四边形ABFC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF ＝AE ；(1)试判断四边形BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，又因为CF＝AE，可得出BE ＝EC＝BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；(2)由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，得出菱形EBFC为正方形，根据直角三角形中两个锐角互余得∠A＝45°.解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1，∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE，∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，∴菱形BECF是正方形．方法总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．探究点三：正方形的性质与判定的综合已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA 的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.(1)求证：∠ECF＝90°；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足条件：________________________，则四边形AECF为正方形．(直接添加条件，无需证明)解析：(1)由已知CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠BCE＝∠OCE，∠GCF＝∠OCF，所以得∠ECF＝90°；(2)由(1)可得出EO＝CO＝FO，点O运动到AC的中点时，则有EO＝CO＝FO＝AO，所以这时四边形AECF是矩形；(3)由已知和(2)得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．(1)证明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝12×180°＝90°；(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，又∵CE 平分∠BCO ，CF 平分∠GCO ，∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠GCF ，∴∠OCE ＝∠OEC ，∠OCF ＝∠OFC ，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF .又∵当点O 运动到AC 的中点时，AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴四边形AECF 是矩形；(3)解：当点O 运动到AC 的中点时，且满足∠ACB 为直角时，四边形AECF 是正方形．∵由(2)知，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，已知MN ∥BC ，当∠ACB ＝90°，则∠AOF ＝∠COE ＝∠COF ＝∠AOE ＝90°，即AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是正方形．故答案为：∠ACB 为直角．方法总结：此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO ＝FO ，确定(2)(3)的条件．如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE .解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°.∵∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB ，又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．三、板书设计1．正方形的性质对边平行，四条边都相等； 四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形的判定方法一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形．本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手动脑的机会，变被动学习为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯.。

2.7 正方形学习目标：1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学可以提高学生的逻辑思维能力．学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．学习内容：一、想一想1．矩形的定义：2．菱形的定义：3．通过你以前学到的知识说说什么样的图形叫正方形？二、探一探1．正方形的定义：有一组邻边相等．．．．．叫做正方形．．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形2．试用一张长方形的纸片（如图）折出一个正方形来．3．通过折纸你认为具备什么条件的矩形是正方形？4．你再想想，具备什么条件的菱形是正方形？5．通过1、3、4我们发现：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层含义：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）；（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）.三、试一试1．通过上图，我们发现：正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．2．归纳正方形的所有性质.四、练一练1．正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）④四条边都相等的四边形是正方形；（）⑤四个角相等的四边形是正方形．（）3．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．五、做一做1. 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．2．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，F是CB延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．3．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．4．已知：如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．5．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG 交OA于F．求证：OE=OF．6.已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．7．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．六、课后反思：。

2．7 正方形 【学习目标】 1．能说出正方形的定义和性质．2．会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算．【学习重点】正方形与其他四边形之间的联系．【学习难点】行为提示：以实际生活为切入点设置疑问，激发探索新知的激情．提示：看书独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．学习笔记：一、情景导入 生成问题 旧知回顾： 观察装修房子铺地面的瓷砖，它是什么样的四边形？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？ 答：它是正方形，它是特殊的平行四边形、矩形、菱形． 二、自学互研 生成能力 知识模块一 正方形的定义及性质 【自主探究】 阅读教材P 72观察，完成下列内容： 1．正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等，且互相垂直平分． 2．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴． 【合作探究】 阅读教材P 73例1，完成下列内容： 如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且AE ＝DF ，连接BE ，AF .求证：BE ＝AF . 证明：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAE ＝∠D ＝90°，在△ABE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠D ＝90°，AE ＝DF ， ∴△ABE ≌△DAF (SAS)，∴BE ＝AF . 知识模块二 正方形的判定方法 【自主探究】 阅读教材P 73说一说，完成下列内容： 下列说法正确的是( C ) A ．对角线相等且垂直的四边形是正方形 B ．对角线平分一组对角的四边形是正方形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形 D ．四条边都相等的四边形是正方形 【合作探究】 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ，∠CBA 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：四边形CFDE 是正方形． 证明：过点D 作DG ⊥AB ，垂足为G ，∵∠CFD ＝∠CED ＝∠C ＝90°，∴四边形CFDE 是矩形．∵AD ，BD 分别是∠CAB ，∠CBA 的平分线，∴DF ＝DG ，DG ＝DE ，∴DF ＝DE ，∴四边形CFDE 是正方形．知识模块三 正方形与其他四边形的综合应用 【自主探究】 阅读教材P 73例2，完成下列内容： 欲证明四边形A ′B ′C ′D ′为正方形，只需先证明四条边相等，再证明一个内角为90°即可． 【合作探究】 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于D ，交AB 于E ，且CF ＝BE . (1)求证：四边形BECF 是菱形； (2)当∠A 的大小满足什么条件时，菱形BECF 是正方形？并证明你的结论． 解：(1)∵EF 是BC 的垂直平分线，∴CF ＝BF ，BE ＝EC ，又∵EB ＝CF ，∴BE ＝EC ＝CF ＝BF ，∴四边形BECF 是菱形；(2)当∠A ＝45°时，菱形BECF 是正方形．证明：∵BC ⊥AC ，∠A ＝45°，∠ABC ＝45°，又∵四边形BECF 是菱形，∴∠EBC＝∠FBC ＝45°，∴∠EBF ＝90°，∴它是正方形． 三、交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑． 2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 正方形的定义及其性质 知识模块二 正方形的判定方法 知识模块三 正方形与其他四边形的综合应用 四、检测反馈 达成目标 见《名师测控》学生用书． 五、课后反思 查漏补缺 1．收获：______________________________________ 2．存在困惑：_____________________________________。

2.7 正方形1．掌握正方形的概念、性质，并会运用．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．3．掌握正方形的判定条件．4．合理地利用正方形的判定进行有关的证明和计算．阅读教材P72～74，完成预习内容．(一)知识探究1．你能利用手中的矩形白纸裁出一个正方形吗？总结：矩形＋(一组邻边相等)＝正方形．2．你能利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？请演示并画出图形．总结：菱形＋(有一个内角为90°)＝正方形思考：如果是平行四边形呢？平行四边形＋(一组邻边相等)＋(有一个内角为90°)＝正方形．3．正方形的性质根据上述关系可知，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，你能说出正方形的性质吗？从边来说：四边相等；从角来说：四个内角为90°；从对角线来说：对角线互相垂直平分且相等．(二)自学反馈1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是(C)A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等2．正方形面积为36，则对角线的长为(B)A．6 B．6 2 C．9 D．9 23．菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是∠BAD ＝90°(或AD⊥AB，AC＝BD等)(只填一个条件即可)．4．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F，则四边形ABEF 是正方形．活动1 小组讨论例1如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE＝DF.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°.∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，即∠1＋∠3＝90°.又∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2.∴△AED≌△CFD(ASA)．∴DE＝DF.例2如图，已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.又∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′，∴D′A＝A′B＝B′C＝C′D.∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.∴D′A′＝A′B′＝B′C′＝C′D′，∠1＝∠3.∴四边形A′B′C′D′是菱形．∵∠1＋∠2＝90°，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠D′A′B′＝180°－(∠2＋∠3)＝90°.∴四边形A′B′C′D′是正方形．活动2 跟踪训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF 是正方形．证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形DECF是正方形．2．如图，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°. ∴∠FEC＝∠FCE.∴EF＝FC.∴BE＝CF.(2)设BE＝x，则EF＝CF＝x，在Rt△CEF中，CE＝EF2＋CF2＝2x，∵BC＝1，∴x＋2x＝1，解得x＝2－1，即BE的长为2－1. 活动3 课堂小结1．正方形的性质．2．正方形的判定方法．。

2.7正方形一、教学目的1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例1是教材P73的例1，例2是教材P73的例2，例3是补充的题目．其中例1是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例2是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是菱形，再证明一个角是直角，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固，为了活跃学生的思维，也可以将判断题转化为下列问题让学生思考：①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？四、课堂引入1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．．．．．．．并且有一个角是直角指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）这就是正方形的判定.2．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．正方形的性质:边：正方形的四条边形等角：正方形的四个角都是直角对角线：正方向的对角线垂直且互相平分对称性：正方形即是中心对称又是轴对称图.五、例习题分析例1如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE = DF.证明:∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD = CD，∠A =∠DCF = 90°.∵ DF⊥DE，∴ ∠EDF = 90°，即∠1 +∠3 = 90°，又∵ ∠2 +∠3 = 90°，∴ ∠1 =∠2.∴ △AED≌△CFD （ASA）.∴ DE = DF.例2 如图2-60，已知点A′，B′， C′， D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA′= BB′= CC′= DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形.证明:∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AB = BC = CD = DA.又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，∴ D′A = A′B = B′C = C′D.又∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′.∴ 四边形A′B′C′D′是菱形.又∵ ∠1 =∠3，∠1 +∠2 = 90°，∴ ∠2 +∠3 = 90°.∴ ∠D′A′B′= 90°.∴四边形A′B′C′D′是正方形.例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴ PN∥QM，∠PNM=90°．∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．∵ 四边形ABCD是正方形∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．∴∠1+∠2=90°．又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∴△ABM≌△DAN．∴ AM=DN．同理 AN=DP．∴ AM+AN=DN+DP即 MN=PN．∴ 四边形PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．六、随堂练习1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（ ）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）⑤ 四个角相等的四边形是正方形．（ ）3.已知：如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，且DE ＝BF ．求证：∠AFE ＝∠AEF ．4．如图，E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 与∠ECD 的度数．七、课后练习1．已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且DE=BF ．求证：EA ⊥AF ．2．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC 于E ，DF⊥AC 于F ．求证：四边形CFDE 是正方形．3．已知：如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，AF 平分∠DAE 交CD 于F ，求证：AE=BE+DF ． A BCD EF。

2．7 正方形1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力.重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．一、创设情境，导入新课做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手过程中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作交流，探究新知1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．试用一张长方形的纸片(如上图所示)折出一个正方形来．3．通过折纸你认为具备什么条件的矩形是正方形？4．你再想想，具备什么条件的菱形是正方形？5．通过1，3，4我们发现：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意义：⎭⎪⎬⎪⎫（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）正方形试一试：1．通过上图，我们发现：正方形具有____的性质，同时又具有____的性质．2．归纳正方形的所有性质和判定方法．学生讨论，教师归纳总结．【归纳总结】正方形与矩形，菱形，平行四边形间的关系如图：练一练：1．正方形的四条边____，四个角____，两条对角线____．2．下列说法是否正确？并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；( )②对角线互相垂直的矩形是正方形；( )③对角线垂直且相等的四边形是正方形；( )④四条边都相等的四边形是正方形；( )⑤四个角相等的四边形是正方形．( )三、运用新知，深化理解例1 如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．【分析】(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，可证明BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE，由BC＝1，可列出方程，求得BE.解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°，∵AE 平分∠BAC，∴BE＝EF，又∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)设BE＝x，则EF＝CF＝x，在Rt△CEF中，CE＝EF2＋CF2＝2x，∵BC＝1，∴x＋2 x＝1，解得x＝2－1，即BE的长为2－1.【方法总结】正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．例2 在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，E为DF的中点．连接BE，CE，AE.(1)求证：△AEB≌△DEC；(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得AB ＝CD ，每一个角都是直角可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据等边对等角可得∠EAD ＝∠EDA ，再求出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“边角边”证明即可；(2)根据全等三角形对应边相等可得EB ＝EC ，再求出△BCE 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BAE ，然后根据等边对等角可得∠AFD ＝∠BAE .解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，∵E 为DF 的中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA ，∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE ，在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC ，∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°，∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°，又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.【方法总结】正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，分析图形中有哪些相等的线段．例3 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：四边形CEDF 是正方形．【分析】要证四边形CEDF 是正方形，则要先证明四边形DECF 是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠DFC ＝90°，∠DEC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴四边形DECF 是矩形，又DE ＝DF ，∴矩形DECF 是正方形．【方法总结】要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形． 例4 如图，已知在四边形ABFC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF ＝AE ；(1)试判断四边形BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．【分析】(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE ＝EC ，BF ＝FC ，又因为CF ＝AE ，可得出BE ＝EC ＝BF ＝FC ，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF 是菱形；(2)由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC ＝45°时，∠EBF ＝90°，得出菱形EBFC 为正方形，根据直角三角形中两个锐角互余得∠A ＝45°.解：(1)四边形BECF 是菱形．理由如下：∵EF 垂直平分BC ，∴BF ＝FC ，BE ＝EC ，∴∠3＝∠1，∵∠ACB ＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC ＝AE ，∴BE ＝AE ，∵CF ＝AE ，∴BE ＝EC ＝CF ＝BF ，∴四边形BECF 是菱形；(2)当∠A ＝45°时，菱形BECF 是正方形．证明：∵∠A ＝45°，∠ACB ＝90°，∴∠CBA ＝45°，∴∠EBF ＝2∠CBA ＝90°，∴菱形BECF 是正方形．【方法总结】正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．例5 如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD ，BC 于点F ，E ，AC ，BD 相交于点O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE . 【分析】(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)取AE 的中点G ，连接OG ，根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE . 证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°.∵∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB ，又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)取AE 的中点G ，连接OG ，∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .【方法总结】在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．四、课堂练习，巩固提高1．教材P74练习．2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知1．正方形的性质．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形的判定方法．一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．六、布置作业1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．2．教材P74习题2.7第1～3题．。

2.7 正方形
学习目标：
1、理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．
2、掌握正方形的有关性质和判定方法．
3、能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题．
教学重点：正方形的定义和性质
教学难点：四边形成为正方形的条件
教具准备：用纸做的矩形模板、活动的菱形等
教学过程：
（一）温故互查：
同学们，这节课已经开始了，前面我们学习的知识你还记得吗？
边
平行四边形角
对角线
边边
矩形角菱形角
对角线对角线
（二）设问导读：
Ⅰ、正方形的判定1
操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？并请你把刚才所做的实验用图形表示出来．然后与邻位同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
总结：矩形+（）=正方形
正方形的判定2
操作 2 你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？请演示并画出图形．
总结：菱形+（）=正方形的判定3
思考：如果是平行四边形呢？
（）+ （）+平行四边形=正方形.
填图：
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
Ⅱ、正方形的性质
[交流]根据上述关系可知，正方形既是特殊的矩形、又是特殊的菱形，更是的特殊的平行四边形，你能说出正方形的性质吗？
从边来说：
从角来说：
从对角线来说：
[交流] 为什么说正方形是完美的图形呢？（从对称来说）
（三）自主检测：
1、正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：
2、例题：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 知识体系：。

湘教版数学八年级下册2.7《正方形》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册2.7《正方形》是学生在掌握了矩形、菱形的基础上，进一步学习正方形的性质和判定。

本节内容是学生对四边形知识的深化和拓展，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

教材通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究正方形的性质，从而提高学生的自主学习能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了矩形、菱形的性质和判定，具备了一定的几何知识基础。

但正方形与矩形、菱形既有联系又有区别，学生需要通过对比分析，进一步理解和掌握正方形的性质。

此外，学生对于空间图形的认知还需加强，因此在教学过程中，需要注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三. 教学目标1.理解正方形的定义和性质；2.学会正方形的判定方法；3.能够运用正方形的性质和判定解决实际问题；4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.正方形的性质和判定；2.正方形与矩形、菱形的联系和区别；3.运用正方形的性质和判定解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究正方形的性质；2.对比教学法：引导学生对比矩形、菱形和正方形的性质，加深对正方形特点的理解；3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对正方形性质的认知；4.问题驱动法：设置问题引导学生思考，提高学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作正方形的相关课件，包括图片、实例和动画等；2.教学道具：准备一些正方形、矩形、菱形的模型，以便于学生直观地观察和操作；3.练习题：准备一些有关正方形的练习题，以便于学生在课堂上进行操练和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中常见的正方形实例，如瓷砖、骰子等，引导学生关注正方形，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍正方形的定义和性质，引导学生对比矩形、菱形，明确正方形与它们之间的联系和区别。