结构力学——矩阵位移法

-6EI l2
4EI l
4
§13-3 单元刚度矩阵(整体座标系)
一、单元座标转换矩阵 Y1
X1
X1
Y1
MM21
e
x
M2 X2
正交矩阵 [T]-1 =[T]T
e e
e T T e
v1
y e
X 2
Y2
Fⓔ T T F ⓔ
ee
F T F ee
座标转换矩阵
5
二、整体座标系中旳单元刚度矩阵
[k] e = [T]T k e [T]
(4)
(6)
00
(5)
y
单元 局部码总码
单元 局部码总码
（1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
1
2
3 0
0
4
（1） 1
1
（2） 2
2
（3） 3 （4） 0
3 0
（5） 0
0
（6） 0
0
18
1 2
[k] 1 = 3
0 0 4
1 2
[k] 2= 3
0 0 0
123004 101 102 103 104 105 106 201 202 203 204 205 206 301 302 303 304 305 306 401 402 403 404 405 406 501 502 503 504 505 506 601 602 603 604 605 606 123000 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66

2 i2 i
3
k21 k31
=1 k22
k32
若 1 1,2 3 0
P1 P2 p3
k11 k21 k31
kij ---发生 j 1, 其它结点位
移为零位移时在 i结点所需
加的结点力.
k13
k23 k33
=1
结构刚度矩阵性质:对称矩阵
总刚的形成方法 ---“对号入座”
P3
k22112
k222
2 2
结构刚度矩阵中元素的物理意义
k11 k12 k13
k k21
k22
k23
k31 k32 k33
P1 k11 k12 k13 1
P2
k21
k22
k23
2
p3 k31 k32 k33 3
1 P1 1
1 i1 i
k11
=1
k12
P2
2
2
P3
3
k31 0 k32 k221 k33 k222
四.计算杆端力
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
四.计算杆端力
6kN.m 3kN.m 3kN.m
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
i1 1
i2 2
1
2
1/ 2
3
7/2
3.解方程,求位移 17 /12
变形条件
P1
①
P2
②
P3
F11
F21
F12
F22
单元刚度方程
F1e
k1e11e

K
e
1
e
K 2） 是对称矩阵 K 的对称性是指其元素有如下关系：
e e
k
e ( i )( j )
k
e ( j )(i )
（11－7）
这实际上是根据反力互等定理得 出的结论。
3）K 一般单元的是奇异矩阵 K的奇异性是指其行列式等于零，即
e e
K 0
e
（11－8）
直接计算式（11－6）的矩阵行列 式，便可验证上述结论。
（11－9）
此时单元刚度矩阵为
4 EI l e K 2 EI l 2 EI l 4 EI l
（11－10）
返回
在结构矩阵分析中，我们着眼于计 算过程的程序化、标准化和自动化。 因此只采用一种标准化形式—一般 单元的刚度矩阵（11－6），关于 单元刚度矩阵的各种特殊形式将由 计算机程序去自动形成。
图11—4
返回
u1 v1 u 2 v2 0
（a）
将式（a）代入式（11－4），即自动得出此特 殊单元的刚度方程如下：
M 1 M 2
e
4 EI 2 EI e l l 1 2 EI 4 EI 2 l l
K 由此可知， 不存在逆矩阵。也就是 说，根据单元刚度方程（11－5）， e 可以由杆端位移 推算出杆端力 F 且 F 的解是唯一解；但不能由杆端 力 F 反推出杆端位移 ， 可能无解， 如有解，则为非唯一解。
e e e e e e
为了避免混淆，我们把正反两个问 题再从数学提法、力法模型、解的 性质等方面作一对比。见下表：
首先，由杆端轴向位移 u1
e EA e F (u 1 u 2 ) l e e EA e F x2 (u 1 u 2 ) l e x1

第十二章 矩阵位移法【例12-1】 图 a 所示 连 续 梁 ，EI=常数，只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 。

分别用位移法和矩阵位移法计算。

图12-1解：（1）位移法解•基本未知量和基本结构的确定用位移法解的基本结构如图c 所示。

这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。

•位移法基本方程的建立⎪⎭⎪⎬⎫=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ000333323213123232221211313212111P P P R K K K R K K K R K K K 将上式写成矩阵形式⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000321321333231232221131211P P P R R R K K K K K K K K K•系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图）由图d ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 EI K 411=，l EI K 221=，031=K由图e ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得l EI K 212=，l EI l EI l EI K 84422=+=，l EI K 232=由图f ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 013=K ，l EI K 223=，l EI EI EI K 84433=+=由图g ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得81Pl R p -=，2Pl R P -=，03=P R将系数项和自由项代入位移法基本方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000118820282024321Pl l EI •解方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ14114162321EI Pl •由叠加法绘弯矩图，如图h 所示。

（2）矩阵位移法解•对单元和结点编号（图a ） 本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。