学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
知识点数学归纳法
对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.
思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？
答案成立．
思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？
答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．
梳理(1)数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
(2)数学归纳法的框图表示
类型一用数学归纳法证明等式
例1(1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．
答案2(2k＋1)
(2)用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n .
证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝1
2.
左边＝右边，等式成立．
②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，
即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1
2k ，
当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2
＝1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k ＋12k ＋1－1
2k ＋2
＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋(1k ＋1－1
2k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋1
2k ＋2 ＝
1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1
2(k ＋1)
.
∴当n ＝k ＋1时，等式成立． 由①②可知，对一切n ∈N *等式成立． 反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．
(3)利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝2n 2－2n ＋1.
证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即
1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1＝2k 2－2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，
左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k ＋1)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1 ＝2k 2－2k ＋1＋(2k －1)＋(2k ＋1)
＝2k 2＋2k ＋1
＝2(k ＋1)2－2(k ＋1)＋1. 即当n ＝k ＋1时，等式成立．
由(1)(2)知，对任意n ∈N *，等式都成立． 类型二 利用数学归纳法证明不等式
例2 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >5
6(n ≥2，n ∈N *)．
证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝57
60，
故左边>右边，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立， 即
1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋13k >56，
则当n ＝k ＋1时，
1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋1
3(k ＋1)
＝
1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1
k ＋1)>
56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1
k ＋1)．
(*)
方法一 (分析法) 下面证(*)式≥5
6，
即
13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1
≥0， 只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)≥0， 只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)≥0， 只需证9k ＋5≥0，显然成立． 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 方法二 (放缩法)
(*)式>(3×13k ＋3－1k ＋1)＋56＝5
6，
所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 引申探究
把本例改为求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >11
24
(n ∈N *)．
