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二阶常系数非齐次微分方程的特解1. 引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域中。
其中，二阶常系数非齐次微分方程是一类常见且重要的微分方程。
本文将详细介绍二阶常系数非齐次微分方程的特解求解方法，并给出一些具体例子进行说明。
2. 二阶常系数非齐次微分方程的一般形式二阶常系数非齐次微分方程的一般形式如下：ay″+by′+cy=g(x)其中，a,b,c为常数，g(x)为已知函数。
我们需要寻找满足该方程的特解。
3. 特解求解方法3.1 齐次线性微分方程的通解首先，我们需要求解对应的齐次线性微分方程：ay″+by′+cy=0这个方程称为齐次线性微分方程。
其通解可以表示为：yℎ(x)=C1e r1x+C2e r2x其中，C1,C2为任意常数，r1,r2为方程的特征根。
3.2 特解的形式我们假设二阶常系数非齐次微分方程的特解形式为：y p(x)=u(x)v(x)其中，u(x)和v(x)是待定函数。
3.3 确定待定函数的形式根据已知函数g(x)的形式，我们可以确定待定函数u(x)和v(x)的形式。
•若g(x)是多项式，则取u(x)和v(x)都为多项式。
•若g(x)是指数函数，则取u(x)为指数函数，v(x)为多项式。
•若g(x)是三角函数，则取u(x)和v(x)都为三角函数。
•若g(x)是指数函数与三角函数的乘积，则取u(x)和v(x)都为指数函数与三角函数的乘积。
3.4 代入原方程求解将特解形式代入原方程，得到一个关于待定系数的代数方程。
通过求解这个代数方程，可以确定待定系数的值。
3.5 特解与通解特解加上齐次线性微分方程的通解即为二阶常系数非齐次微分方程的通解：y=yℎ+y p4. 实例分析下面我们通过一些具体的例子来说明二阶常系数非齐次微分方程的特解求解方法。
4.1 例子1考虑方程：y″−2y′+y=x2+3x首先，我们求解对应的齐次线性微分方程：y″−2y′+y=0。
特征根为r1=r2=1，因此齐次线性微分方程的通解为：yℎ(x)=C1e x+C2xe x接下来，我们确定待定函数的形式。
2011年 6月第 25卷第 2期总 84期北京联合大学学报 (自然科学版Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun．2011Vol．25No．2Sum No．84[收稿日期 ]2010－09－20[作者简介 ]王海菊 (1966— , 女 , 黑龙江人 , 北京联合大学基础部讲师 , 研究方向为应用数学与数学教学。
二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法王海菊(北京联合大学基础部 , 北京100101[摘要 ]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法 , 计算量很大。
本文在不脱离教材特解的求法 ,利用推导特解过程中出现的重要式子 Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2+p λ+q Q (x =P m (x , 简化待定系数法求特解的过程。
对右端非齐次项e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]是先设变换 , 化简右端非齐次项。
[关键词 ]微分方程 ; 特解 ; 待定系数法 [中图分类号 ]O 241. 8[文献标志码 ]A[文章编号 ]1005-0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order Linear Non-homogeneous Differential Equation with Constant CoefficientsWANG Hai-ju(Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing100101, ChinaAbstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coefficients , which is relatively complex．Instead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adopted．The solution of the problem can be simplified．Key words :differential equation ; constant coefficients ; particulars0引言一般教材中 , 二阶常系数线性的非齐次方程 yᵡ+py' +qy =f (x (1 的特解采用待定系数法 [1], 计算量很大 , 也很繁琐 ; 有的文献给出特解公式[2-3],又很难记住公式。
采取以下方法减少运算量 , 又不偏离教材中求特解的方法。
常见的方程右端非齐次项 f (x 主要有两种类型 :f (x =P m (x e λx 及e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]1f (x =P m (x e λx型解法是设特解 y*=x k Q m (x e λx =Q (x e λx ,其中 Q (x =x kQ m (x 是 k +m 次多项式 , 将特解y *代入方程 (1 , 化简并整理得 :Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2+p λ+q Q (x =P m (x 。
(2结论1 λ不是特征方程的根时 , 取 k =0,2λ+p 及λ2+p λ+q 都不为零 ;2 λ是特征方程的单根时 , 取k =1, λ2+p λ+q =0, 此时式 (2 就简化为 Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x =P m (x ;3 λ是特征方程的重根时 , 取k =2, λ2+p λ+q =0, 且2λ+p =0, 此时式 (2 就简化为 Qᵡ (x =P m (x 。
北京联合大学学报 (自然科学版 2011年 6月可见利用式 (2 , 只需求 Q' (x 及 Qᵡ (x 即可 , 不需求 y *的一阶 , 二阶导数 , 可以大大简化此类题的计算量。
以教材 [1]中例题或习题为例。
求yᵡ－2y' +y =(2x +1 e －x 的特解。
解 :由于λ=－1, 不是特征方程的单根 , 取 k=0。
设特解 y *=(ax +b e －x , 则 Q (x =ax +b ,将 Q (x 代入式 (2 有 :(－2－2 a +(1+2+1 (ax +b =2x +1,即 :4ax －4a +4b =2x +1。
由待定系数法得 :a = 12, b =34, Q (x =12x + 3 4。
因此求得一个特解为 y *=12x +(3 4 e －x ,求 yᵡ－5y' +6y =x e 2x 的特解。
解 :由于λ=2, 是特征方程的单根 , 取 k =1, Q (x 的系数为零。
设特解 y *=x (ax +b e 2x , 则 Q (x =ax 2+ bx , 将 Q (x 代入式 (2 有 : 2a +(4－5 (2ax +b =x ,即 :－2ax +2a －b =x 。
由待定系数法得 :a =－ 12, b =－1, Q (x =－12x 2－x 。
因此求得一个特解为 :y *=x －1 2 x －(1e 2x 。
求 yᵡ－6y' +9y =(x +1 e 3x 的特解。
解 :由于λ=3, 是特征方程的重根 , 取 k =2, 则 Q' (x , Q (x 的系数都为零。
可设特解 y *=x 2(ax +b e 3x , 则 Q (x =ax 3 +bx 2, 将 Q (x 代入式 (2 有 : 6ax +2b =x +1。
由待定系数法得 :a = 16, b = 1 2 ,因此求得一个特解为 y *=x 216x +(1 2 e 3x 。
2f (x =e λx [P l (x cos ωx +P n(xsin ωx ]型特解可设为 :y *=x k e λx [R (1 m(x cos ωx +R (2m(x sin ωx ]。
主要是当λ≠ 0时 , 用待定系数法求特解是很麻烦的。
不妨先设变换y =e λx u (x 代入式 (1 , 消去e λx , 得到一个与式 (2 极相似的式子 uᵡ (x +(2λ+p u' (x +(λ2+p λ+q u (x =Pl(x cos ωx +Pm(x sin ωx (3 。
这时方程 (3 没有e λx , 简化了非齐次项 , 就可利用式 (3 来简化运算。
求 yᵡ－y =e x cos2x 的一个特解。
解 :通常解法是设特解 y *=e x (a cos2x + b sin2x , 求 y *的一阶、二阶导数是很麻烦的 , 那么可先设变换 y =e x u (x 。
将 u (x 代入式 (3 , 原题应简化为 :uᵡ (x +2u' (x =cos2x 。
(4 设 (4 式的特解 u *=a cos2x +b sin2x , 代入式 (4 , 有 : －4a cos2x －4b sin2x －4a sin2x +4b cos2x =cos2x 。
比较两端同类项的系数 , 有－4a +4b =1 a +b = { 0得 :a =－18b ={18。
于是所求方程的一个特解为 :y *=－18e x (sin2x －cos2x 。
求 yᵡ－2y' +5y =e x sin2x 的一个特解。
解 :先设变换 y =e x u (x , 将 u (x 代入式 (3 , 原题就化简为 uᵡ +(1－2+5 u =sin2x , 即 :uᵡ +4u =sin2x 。
(5 设式 (5 的特解 u *=x (a cos2x +b sin2x , 将 u *代入方程 (5 , 得－4a sin2x +4b cos2x = sin2x 。
比较两端同类项的系数 , 得a =－14b ={0, 即 u * =－14x cos2x 。
故所求原方程的一个特解为 y *=－14x e x cos2x 。
教材通常的解法是设特解 y *=x e x (a cos2x + b sin2x , 将此特解代入原微分方程中 , 需求 y *的47第 25卷第 2期王海菊 :二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法一阶、二阶导数 , 而 y *是 3个函数乘积 , 求解过程运算量很大 , 易出错。
通过例子 , 我们看到 , 求 Q (x 或 u *的一阶、二阶导数要比求 y *的一阶、二阶导数容易得多 , 又没偏离教材求二阶常系数线性的非齐次方程特解的基本方法。
[参考文献 ][1]同济大学数学系．高等数学 (上册 [M ]．6版．北京 :高等教育出版社 , 2007. [2]陈新一．一类二阶常系数微分方程的特解 [J ]．高等数学研究 , 2010,13(1 :87－88.[3]朱德刚．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式 [J ]．高等数学研究 , 2010, 13(3 :15－16.(责任编辑柴智檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪殏殏殏殏·简讯 ·北京联合大学学报 (人文社科版成为全国高校学报新秀2011年 3月 29日 , 中国人民大学人文社会科学学术成果评价研究中心发布了“ 2010年度《复印报刊资料》转载学术论文指数排名” 。
北京联合大学学报 (人文社科版取得了可喜成绩 , 在全国高等院校主办学报的排名中 ,按全文转载率排名第 26位 , 按综合指数排名第 43位。
全国各类高等院校主办的学报约有 1150种 ,被 2010年度《复印报刊资料》全文转载的学报有 435种 , 约占总数的 37．8%; 共被转载全文总数为 2763篇 , 约占《复印报刊资料》全文转载总量 (13531篇的 20．4%。
“ 2010年度《复印报刊资料》转载学术论文指数排名” 由中国人民大学人文社会科学学术成果评价研究中心与中国人民大学书报资料中心共同研制。
