高等数学课件--D78常系数非齐次线性讲义微分方程

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高等数学7.8常系数非齐次线性微分方程

x f ( x ) e Pm ( x 型 ) 一、 y py qy f ( x ) (1)
* y Y y , 通解结构 x * 代入原方程 Q ( x ) e . Q( x ) 为多项式，设非齐方程特解为 y
2 Q ( x ) ( 2 p )Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
(1) 若不是特征方程的根， 2 p q 0,
设 Q( x ) Qm ( x ),
x Q ( x ) e ; y m
*
x f ( x ) e Pm ( x 型 ) 一、
y py qy 0, (2) 二阶常系数齐次线性方程
设非齐方程（1）特解为 y 设齐方程（2）通解为 Y 通解结构
]
( i ) x

Pl Pn ( i) 2 2
e
( i ) x
P ( x )e
( i ) x
P ( x )e
( i ) x
,
y py qy f ( x ) (1)
cos x sin x
e ix e ix 2 ix ix e e 2i
Q( x ) ( 2 p )Q( x ) (2 p q )Q ( x ) Pm ( x )
(2) 若是特征方程的单根 2 p q 0, 2 p 0,
设 Q( x )
*
x Qm ( x ), y xQm ( x )e ;
x
二阶常系数非齐次线性方程 y py qy 0, (2) 二阶常系数齐次线性方程 * 设非齐方程（1）特解为 y 设齐方程（2）通解为 Y
P ( x )e P ( x )e , ( i ) x ( i ) x k y Q y py qy P ( x )e , 1 x me ,

常系数非齐次线性微分方程

03
在经济学中，常系数非齐次线性微分方程可以用于描述经济系统的变化趋势和规律。
02 常系数非齐次线性微分方程的解法
特解的求解方法
待定系数法
通过设定特解的形式，代入原方程求解待定系数。
微分算子法
利用微分算子的性质，构造特解的形式。
复数法
通过复数域的方法，求解特解。
变参数法
通过改变参数的值，寻找满足原方程的特解。
通解的求解方法
分离变量法
通过将方程转化为分离变量的形式，求解得到通解。
变量代换法
通过引入新的变量代换简化原方程，求解得到通解。
积分法
通过对方程两边积分，求解得到通解。
通解的求解实例
实例1
求解方程$y'' + 2y' + y = e^{-x}$，通过分离变量法得到通解$y = (C_1 + C_2x)e^{-x}$。
求解方程 $y'' - 4y = 3x$ 的特解。
求解方程 $y'' + 2y' + y = e^{-x}$ 的特解。
例1
例2
例3
03 常系数非齐次线性微分方程的通解
通解的定义与性质
定义
常系数非齐次线性微分方程的通解是指满足该方程的任意函数，它由一个特解和对应齐次方程的通解组成。
性质
通解具有唯一性，即对于给定的非齐次线性微分方程，其通解是唯一的。
判断方法
通过解方程来判断，如果方程有唯一解，则说明解是唯一的。
应用
在数学、物理等领域中，解的唯一性是基础且重要的概念。
解的存在性
定义
解的存在性是指对于给定的初始条件，方程是否有解。

高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt

解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.

高数同济六版课件D78常系数非齐次线性微分方程

常系数非齐次线性微分方程的解是唯一的，而齐次线性微分方程的解可能是无穷多个。常系数非齐次线性微分方程的解是连续的，而齐次线性微分方程的解可能是间断的。
直接积分法：通过积分求解微分方程常数变易法：通过变换常数求解微分方程幂级数法：通过幂级数展开求解微分方程拉普拉斯变换法：通过拉普拉斯变换求解微分方程
确定方程的阶数确定方程的特解形式
确定方程的系数代入方程求解特解系数
待定系数法的步骤：设定特解形式，代入原方程，求解待定系数
待定系数法：通过设定特解的形式，然后求解待定系数
待定系数法的适用条件：原方程的系数是常数，且特解
的形式已知
待定系数法的优点：简单易行，适用于求解线性微分方
程的特解
添加项标题
应用：非线性非齐次线性微分方程广泛应用于物理、化学、生物、工程等领域，如流体力学、热传导、化学反应等。
添加项标题
求解方法：非线性非齐次线性微分方程的求解方法包括数值积分法、有限差分法、有限元法等。
偏微分方程：含有多个自变量的微分方程
偏微分方程的解：通常比常微分方程的解更复杂
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
常微分方程：只含有一个自变量的微分方程
偏微分方程的应用：广泛应用于物理、化学、生物等领域
重要性：常系数非齐次线性微分方程是解决许多实际问题的基础，如物理、化学、生物等领域
应用领域：常系数非齐次线性微分方程在工程、经济、金融等领域有着广泛的应用，如控制系统、信号处理、金融模型等
特点：系数随自变量变化
定义：含有变系数的线性微分方程
求解方法：变系数法、积分因子法等
应用：工程、物理、化学等领域
添加项标题

高数常系数非齐次线性微分方程

边值问题具有唯一性、存在性和稳定性等重要性质。在适当的条件下，边值问题的解是存在且唯一的，同时解对边界条件的微小变化具有稳定性。
边值问题的求解方法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
分离变量法
对于某些具有特殊形式的常系数非齐次线性微分方程，可以通过分离变量的方法将其转化为可解的常微分方程或偏微分方程进行求解。
积分变换法
利用积分变换（如傅里叶变换、拉普拉斯变换等）将边值问题转化为等价的积分方程或常微分方程进行求解。这种方法适用于具有特定性
质的边值问题。
有限差分法
将边值问题的定义域离散化，构造差分方程近似代替微分方程，从而将边值问题转化为线性代数方程组进行求解。这种方法适用于求解复杂区域上的边值问题。
02
常系数非齐次线性微分方程的基本解
法
分离变量法
分离变量法的基本思想
将非齐次线性微分方程中的未知函数和自变量进行分离，使得方程两边分别只含有未知函数和自变量的函数，然后通过积分求解。
分离变量法的适用条件
适用于一阶常系数非齐次线性微分方程，且方程中的非齐次项可以表示为自变量的函数与未知函数的乘积。
数值解法的应用举例
要点一
物理学中的应用
在物理学中，常系数非齐次线性微分方程经常用来描述物体的运动规律，如振动、波动等现象。通过数值解法，可以对这些现象进行模拟和预测。
要点二
工程学中的应用
在工程学中，常系数非齐次线性微分方程经常用来描述系统的动态特性，如控制系统的稳定性、电路的响应等。通过数值解法，可以对这些系统的性能进行分析和优化。
常数变易法的求解步骤
先设出与原方程对应的齐次方程的通解，然后将通解中的常数替换为新的未知函数，代入原方程求解得到新未知函数的方程，最后解出新未知函数并代回通解得到原方程的解。

高数78常系数非齐次线性微分方程

THANKS
感谢观看Biblioteka 描述物体运动规律常系数非齐次线性微分方程可以用来描述物体的运动规律，例如自由落体运动、匀速圆周运动等。
电磁学中的波动方
程
在电磁学中，常系数非齐次线性微分方程可以用来描述电磁波的传播，例如波动方程。
热传导方程
在热力学中，常系数非齐次线性微分方程可以用来描述物体的热传导过程。
在工程中的应用
03
特解的求解
特解的定义与求解方法
特解的定义
特解是指满足非齐次线性微分方程的解，它具有与非齐次项相同的函数形式。
特解的求解方法
通过将非齐次项代入方程，求解对应的齐次方程，得到特解。
特解的分类与求解实例
特解的分类：根据非齐次项的形式，特解可以分为以下几种类型：多项式型、指数型、三角函数型等。
参数法
总结词
参数法是一种求解常系数非齐次线性微分方程的方法，通过引入参数并对方程进行变换，将其转化为具有特定形式的微分方程，从而简化求解过程。
VS
详细描述
参数法适用于具有特定形式的一阶线性微分方程。通过引入参数并对方程进行适当的变换，将其转化为具有特定形式的微分方程，如欧拉方程或贝塞尔方程等。然后利用已知的求解方法求解该方程，得到原方程的解。
方程形式与特点
方程形式
一般形式为 y' + p(x)y = f(x)，其中 y 是未知函数，p(x) 和 f(x) 是已知函数。
特点
与齐次线性微分方程相比，常系数非齐次线性微分方程具有更广泛的应用范围和更复杂的解法。其解法通常需要利用特解和通解的概念，通过求解相应的齐次方程和利用常数变易法等方法来求解。
高数78常系数非齐次线性微分方程

常系数非齐次线形微分方程

波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线性微分方程，可以用来描述声波、光波、电磁波等的传播规律。
热传导方程
在物理中，热传导方程也是一种典型的常系数非齐次线性微分方程，可以用来描述热量在物体中的传递规律。
在工程中的应用
1 2
控制工程
常系数非齐次线性微分方程在控制工程中有着广泛的应用，如控制系统分析、设计等。
通解的求解
通解的定义
通解是指满足齐次线性微分方程的解，它与非齐次项无关。
通解的求解方法
通解可以通过求解对应的齐次线性微分方程得到，或者通过待定系数法、常数变易法等求解。
通解的性质
通解具有与非齐次项无关的特性，即通解不受非齐次项的影响。
举例说明
• 举例：考虑常系数非齐次线性微分方程$y''+y=x^2$，其中非齐次项为 $x^2$。通过设特解为 $y_1=ax^2+bx$，代入原方程求解得到特解$y_1=x^2$。通解可以通过求解对应的齐次线性微分方程得到，即$y_2=c_1\cos t+c_2\sin t$。因此，该常系数非齐次线性微分方程的通解为$y=y_1+y_2=x^2+c_1\cos t+c_2\sin t$。
电路分析
在电路分析中，常系数非齐次线性微分方程可以用来描述电流、电压等的变化规律。
3
信号处理
在信号处理中，常系数非齐次线性微分方程可以用来描述信号的滤波、调制等处理过程。
在经济学中的应用
消费模型
常系数非齐次线性微分方程可以用来描述经济学中的消费模
型，如凯恩斯消费函数等。
投资模型
在经济学中，投资模型也可以用常系数非齐次线性微分方程来描述，如资本存量-时间滞

同济大学《高等数学》第六版：D7_8常系数非齐次线性微分方程共15页文档

41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
同济大学《高等数学》第六版：D7_8常系数非齐次线
性微分方程
26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。- -查士德斐尔爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。

高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程

04
总结与思考
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
本节课的重点回顾
常系数非齐次线性微分方程的解法
本节课重点讲解了如何求解常系数非齐次线性微分方程，包括通解和特解的求解方法。
特解的求解方法
通过对比齐次和非齐次线性微分方程的解，引入了特解的求解方法，并进行了实例演示。
通解的结构
详细解释了通解的结构，包括特解和齐次方程的通解，以及它们在求解过程中的作用。源自解题思路的总结理解方程类型
在解题过程中，首先需要判断微分方程的类型（齐次或非齐次），以便选择合适的解法。
寻找特解
对于非齐次方程，需要寻找满足初始条件的特解。可以通过对比齐次和非齐次方程的解来寻找特解。
利用通解公式
一旦找到特解，可以利用通解公式得出非齐次方程的通解。通解公式包括特解和齐次方程的通解。
对未来学习的思考与建议
加强实践练习
为了更好地掌握常系数非齐次线性微分方程的解法，建议加强实践练习，多做一些相关题目。
深入理解概念
在学习过程中，要深入理解微分方程的基本概念和性质，以便更好地应用解题方法。
定义
常系数非齐次线性微分方程是微分方程中的一种，其特点是方程中包含未知函数的导数项和常数项，且导数项和常数项之间满足线性关系。
形式
常系数非齐次线性微分方程的一般形式为 y'' + py' + qy = f(x)，其中 y'' 表示 y 的二阶导数，p 和 q 是常数， f(x) 是已知函数。
二阶常系数非齐次线性微分方程的例子
总结词
二阶常系数非齐次线性微分方程是微分方程中的重要类型，广泛应用于物理、工程等领域。

课件：常系数非齐次线性微分方程

2, 是二重特征根
例1 求方程 y 5 y 4 y ( x 1)e3x 的通解. m 1
解: 特征方程 r2 5r 4 0, r1 1，r2 4， 3
对应齐次方程通解 Y c1e x c2e4x ,
3不是特征根，设 y* ( Ax B)e3x ,
代入方程, 得:
B 1 , A 0, 2
y2*
1 2
x sin
x,
原方程有一个特解: y*
y1*
y2*
1ex 2
1 2
x sin x,
原方程的通解为
y
c1
cos
x
c2
sin
x
1 2
e
x
1 2
x
sin
x.
三、小结与教学要求:
◆掌握 y py qy f ( x) 以下两种形式的求解方法:
解特征方程为 r2 r 0, r1 0,r2 1, m 1, n 0
wi i 不是特征根,
Hale Waihona Puke 可设 y* (ax b)cos x (cx d )sin x,
代入原方程, 得:
(2c ax b cx a d )cos x
(c ax b 2a d cx)sin x 4sin x 7xcos x,
iw 1 i 不是特征根,
可设y* e x[(ax b)cos x (cx d )sin x],
代入原方程, 整理得:
cos x[(ax b) 3a 3(cx d ) 2c]
sin x[(cx d ) 2a 3c 3(ax b)] xsin x, a 3c 0, b 3a 3d 2c 0,
x(1 2
x
1)e2 x
.

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Q(x)
(2pq)Q (x)Pm(x)
(2) 若是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为
(3) 若是特征方程的重根 , 即
2p0,
则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y*x2Q m (x)ex
小结对方程①, 当是特征方程的 k 重根时, 可设
(p, q为常数)
因此特解为 y*x(1 2x 1 )e2x.
所求通解为
23.02.2021
(1 2x2x)e2x.
同济版高等数学课件
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例3. 求解定解问题
y3y2y1 y(0)y(0)y(0)0
解: 本题 0, 特征方程为
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1C2exC3e2x
设非齐次方程特解为
第四步分析 y的特点
yy1 y1
xkexRmcox sR ~msinx
因
yy1y1 y1y1
y1 y1
y*
所以y本质上为实函数 , 因R 此 m ,R ~m均为 m 次实
多项式 .
பைடு நூலகம்
23.02.2021
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小结:
对非齐次方程
ypyqy e x P l ( x ) cx o P ~ n ( x s ) sx i n
代入方程得
故
原方程通解为
y C1C2exC3e2x
由初始条件得
23.02.2021
C 22C 31 2
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解得
C1 34
C2 1
C
3
1 4
于是所求解为
y3ex1e2x1x 4 42
23.02.2021
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二、 f ( x ) e x P l ( x ) cx o P ~ n ( x ) sx i 型 n
精品
高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y p y q y f(x )( p, q为常数 ) ①
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
特解 y * x k Q m ( x ) e x( k 0 ,1 ,2 )
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
23.02.2021
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例1.
的一个特解.
解: 本题 0, 而特征方程为
0不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得
b0 1,
23.02.2021
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一、 f(x)exP m (x)型
为实数 , Pm(x)为 m 次多项式 . 设特解为 y*exQ(x),其中 Q (x) 为待定多项式 ,
y * e x [Q (x ) Q (x )]
y * e x [2 Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x ) ]
设 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解: 故
y 1 x k Q m (x )e ( i )x(Qm(x)为m次多项 )
( y 1 ) p ( y 1 ) q y 1 P m ( x ) e ( i) x
等式两边取共轭 :
y 1 p y 1 q y 1 P m ( x ) e ( i ) x
这说明 y1为方程 ③ 的特解 .
23.02.2021
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第三步求原方程的特解
原方程 ypyqye x P l( x ) co x P ~ n ( s x ) si x n
P m (x)e(i)xP m(x)e(i)x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
代入原方程 , 得
(1y ) 若p y 不 q 是y 特征f( 方x ) 程的根,
则取
Q e(x)x为[Qm(x次)待 ( 定2 系数p 多)Q 项( 式x ) (2 从p 而得q 到)Q 特(x 解)]
形式为y e* xP em (xxQ )m (x).
23.02.2021
同济版高等数学课件
23.02.2021
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第一步利用欧拉公式将 f (x) 变形
f
(x) e x
Pl (x)
ei x ei x 2
P~n(x)ei
x
ei 2i
x
Pl2(x)P~n2(ix) e(iP)lx2(x)P~n2(ix)e(i)x
令 m m n ,a l ,则 x
分析思路: 第一步将 f (x) 转化为
f(x ) P m (x )e ( i )x P m(x)e(i)x
第二步求出如下两个方程的特解
y p y q y P m ( x ) e ( i ) x
ypyqyP m(x)e(i)x 第三步利用叠加原理求出原方程的特解
第四步分析原方程特解的特点
y*y1y1
xkexQ m eix Q m e ix
xkexQ m (cx o issix ) n
Q m (c x o isi s x ) n
x ke x Rmcos xR ~msi nx
其R 中 m,R ~m均为 m 次多项式 .
23.02.2021
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f(x ) P m (x )e ( i )x P m(x)e(i)x
P m (x)e(i)xP m(x)e(i)x
23.02.2021
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第二步求如下两方程的特解
y p y q y P m ( x ) e ( i ) x ②
y p y q y P m ( x ) e ( i ) x ③
b1
1 3
于是所求特解为
23.02.2021
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例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r25r60,其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y*x(b 0xb 1)e2x
代入方程得 2 b 0 x b 1 2 b 0 x
比较系数, 得
b0 12,b11