14.2 全等三角形的判定(4)

AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE．
证明：∵AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，且
AD=AF，AC=AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD=EF．
∵AD=AF，AB=AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD=BF．
∴BD-CD=BF-EF．
即BC=BE．
9. 如图14-13，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD．求证：


= ____________，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
典型例题
知识点1
利用全等证明角或线段相等
【例1】 如图14-2，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足分别为B，C，
OB=OC，求证：∠OAB=∠OAC．
证明：∵OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA=∠OCA=90°.在Rt△OAB和
∴∠A=∠D=90°．又∵BC=CE，AB=CD，
∴△ABC≌△DCE(HL)．
∴∠B=∠DCE．∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°．
∴∠BCE=90°，即BC⊥CE.
变式训练
3. 如图14-7， AB⊥AD，ED⊥AD，BD=CE，AD=DE，求证：
BD⊥CE.
证明：∵AB⊥AD，ED⊥AD，
= ，
ቊ
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD
（HL）.∴∠CBA=∠DAB.
B组
6. 如图14-10，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
DE=BF．求证：（1）AF=CE；（2）AB∥CD．
证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
= ,
在△ABF和△CDE中，ቊ

第十四章全等三角形14.2 三角形全等的判定第4课时其他判定两个三角形全等的条件一、教学目标1．理解并掌握用“角角边”来判定两个三角形全等的方法，发展推理意识；2．通过探索判定两个三角形全等的方法，挖掘思维潜能；3．通过学习以上内容，培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值．二、教学重点及难点重点：应用“角角边”判定两个三角形全等；难点：准确的从学过的三角形判定定理中找到适合的一种来证明两个三角形全等. 三、教学用具多媒体课件．四、相关资料无．五、教学过程【情景引入】如图所示，已知D在AB上, E在AC上, AB=AC, ∠B=∠C，求证:AD=AE插入图形分析：找到和已知条件有关的△ACD和△ABE，利用“ASA”证明出它们全等，从而得到AD=AE答案：证明：在△ACD与△ABE中∠A=∠AAC=AB∠B=∠C∴△ACD≌△ABE (ASA)∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）设计意图：回顾上节课所学的知识.【合作探究】教师将学生分成组布置任务，小组讨论得出结果再向全班汇报，并根据实际情况分别给各组打分．问题：如果将上题中的已知条件∠B=∠C，改写成∠AEB=∠ADC，你能证出AD=AE吗？试一试！学生写下解题步骤，并告诉老师结论.学生交流，回答.教师聆听后加以解释总结分析：在△ACD中, ∠C=180°-∠A-∠ADC,同样∠B=180°-∠A-∠AEB. 所以有∠A=∠A, ∠ADC=∠AEB可转化出∠B=∠C. 再利用“ASA”来证明△ACD≌△ABE. 从而有AD=AE.我们发现：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

即“AAS”我们可这样证明证明：在△ACD与△ABE中∠A=∠A, ∠ADC=∠AEB，AC=AB∴△ACD≌△ABE (AAS)∴AD=AE【探究新知】1．全等三角形判定定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等记为“角角边”或“AAS”2．填一填【典型例题】例题：如图所示，已知点B. F. C. D在同一直线上,AB=ED, AB∥ED, AC∥EF求证：△ABC≌△EDF解析：由定理“AAS”知需找出两组对应角相等，根据已知条件AB∥ED, AC∥EF 可利用平行线的性质答案：证明：∵AB∥ED, AC∥EF（已知）∠B=∠D，∠ACB=∠EFD（两直线平行，内错角相等）在△ABC与△EDF中∠B=∠D，∠ACB=∠EFD，AB=ED∴△ABC≌△EDF（AAS）【新知应用】课本练习P107页练习1，2，3.【随堂检测】[1]如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E.AD与BE相交于点F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.分析：先证明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根据“AAS”即可得出两三角形全等．答案：证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF.在△ADC和△BDF中，∵∠DAC＝∠DBF，∠ADC＝∠BDF，AC＝BF，∴△ADC≌△BDF(AAS)．[2]如图所示，点D、E分别在线段AB、AC上，AD＝AE，不添加新的线段和字母的条件下，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是____________(只写一个条件即可)．解析：已知一边和一角对应相等，补充条件证明两个三角形全等，可以凑“ASA”，也可凑“AAS”，还可凑“SAS”．如用“ASA”，则需要增加∠ADC＝∠AEB(由∠CEB＝∠BDC 也可推出∠ADC＝∠AEB)；如用“AAS”，则需要增加∠C＝∠B；如用“SAS”，则需要增加AB＝AC(由BD＝CE加上已知AE＝AD可推出AB＝AC)，故本题可从∠ADC＝∠AEB、∠CEB ＝∠BDC、∠C＝∠B、AB＝AC、BD＝CE中任选一个填空．方法总结：本题属条件探索题，解这类题一般都有多解，具体解题时应先掌握已知条件，再利用所学的定理逐个检验所需要的条件．注意“AAA”、“SSA”不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．[3]如图所示，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB＝AC，利用“AAS”即可得证；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根据DE＝DA＋AE等量代换即可得证．答案：证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∵∠ADB＝∠CEA＝90°，∠ABD＝∠CAE，AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS)；(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．设计意图：通过学生对AAS判定定理的练习，使教师及时了解学生对知识点的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结1．“AAS”判定定理：三边对应相等的两个三角形全等2．证明两个三角形全等的常用方法有很多，你是怎么选择的？设计意图：将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识．七、板书设计14. 2三角形全等的判定—AAS一、“SAS”——两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.二、“ASA”——两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.三、“SSS”——三边对应相等的两个三角形全等四、“AAS”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等记为“角角边”或“AAS”。

14.2 三角形全等的判定第4课时教学目标1．三角形全等的条件：角角边．2．三角形全等条件小结．3．掌握三角形全等的“角角边”条件．4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．教学重点已知两角一边的三角形全等探究．教学难点灵活运用三角形全等条件证明．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？【答案】三个角、三个边、两边一角、两角一边．（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？【答案】三种：①定义；②SSS；③SAS．2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？Ⅱ．导入新课问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？【答案】1．两角和它们的夹边．2．两角和其中一角的对边．问题2：已知两角和它们的夹边分别对应相等可以判定三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？探究：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°∠A=∠D ，∠B=∠E∴∠A+∠B=∠D+∠E∴∠C=∠F在△ABC 和△DEF 中∠B=∠E∠C=∠FBC=CF∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．例已知：如图，点B ，F ，C ，D 在一条直线上，AB=ED ，AB ∥ED ，AC ∥EF.求证：△ABC ≌△EDF.证明：∵AB ∥ED ，AC ∥EF.（已知）∴∠B=∠D ，∠ACB=∠EFD.(两直线平行，内错角相等)在△ABC 与△EDF 中，∠B=∠D∠ACB=∠EFDAB=ED∴△ABC ≌△EDF.（AAS ）Ⅲ．随堂练习如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E.F ．D AB FE求证：△BED≌△CFD．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD∠B=∠CBD=CD∴△BED≌△CFD（AAS）．Ⅳ．课时小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法：1．全等三角形的定义2．判定定理：边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．Ⅴ．作业教材练习题。

14.2三角形全等的判定——“角角边”课后反思
朱家凯本节课为了让学生理解全等识别法的产生，我采取的对策是：让学生分成小组，按书中的要求画图、剪图、叠图，多重复几次，然后观察、讨论，发现某种规律。

使学生从自己的生活体验出发，以合作学习的方式，突破重难点。

我主要从以下四个环节来安排教学内容的：
(1)创设情境，导入课题。

(2)让学生合作探究，发现角边角公理，掌握公理。

(3)指导学生运用公理解决问题，发展学生创造性思维。

(4)指导学生反思小结，让学生在学到数学知识，提高解题能力的同时，感悟到某个生活哲理，即学习任何东西的最佳途径应该是靠自己去发现，发展学生良好的个性品质。

本节课我放手让学生自主探索，分组展示，达到了预想的效果，学生学得高兴，教师教得轻松。