外微分

外微分统一四大积分公式作者：王桦来源：《青年文学家》2012年第03期摘要：Newton－Leibniz公式，Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式是数学分析中联系一元函数及多元函数微分与积分关系的基本公式，本文先利用外微分的形式将一维与高维的四个基本公式统一起来，然后利用外积运算，推导了多变量积分变量代换公式中微元的代换公式。

关键词：微分、积分、外微分作者简介：王桦，女（1973.2.15-），长沙理工大学数学与计算科学学院，学历：博士，研究方向：复分析。

[中图分类号]：O186.15 [文献标识码]：A[文章编号]：1002-2139(2012)-03-0247-02微分、积分的概念古已有之，使之成为一门学问而发扬光大的是由Newton和Leibniz证明了的微积分基本定理，这一定理指出了微分与积分是一对矛盾关系，这只是对于一维的情形。

对于高维情形同样也有相应的三个部分，即微分，积分及联系微分与积分的微积分基本定理，只是微分部分中有偏微分、全微分、及与微商相当的Jacobi矩阵；积分部分有重积分、线积分、曲面积分等。

这些都是一维微积分的自然推广，于是也可列出高维中相应的定理。

而关于第三部分，在高维情况下，什么是微积分基本公式？又是什么定理刻画了高维情形下微分、积分这一对矛盾？是Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式担当了一维中Newton-Leibniz公式的角色。

本文主要运用外微分统一一维和高维的情形的基本积分公式，即统一Newton-Leibniz公式，Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式。

本文仅在在三维空间中讨论。

一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量各分量的微分，，，其外积运算用表示，如与的外积记为，它们满足以下运算法则：（1）（是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如；（5）结合律，；注：，，。

外微分及斯托克斯公式外微分和斯托克斯公式是微分几何学中的两个重要概念，它们在描述和计算曲线、曲面和空间中的微分形式，以及它们之间的关系方面起着重要作用。

下面将详细介绍这两个概念。

1.外微分：外微分是微分几何学中用来描述曲线、曲面和空间中的微分形式的一种工具。

在微积分中，我们通常使用微分来描述函数的变化率。

而在微分几何学中，函数的微分被定义为函数的外微分。

设有一个定义在n维欧几里得空间上的函数f，其微分形式为df。

对于其中一点p，微分形式df描述了函数f在p点附近的变化率。

在局部坐标系中，微分形式df可以表示为：df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn其中∂f/∂xi表示函数f对第i个坐标分量的偏导数，而dxi表示第i 个坐标分量的微小增量。

外微分的代数定义遵循线性性质，例如：d(af + bg) = a df + b dg对于两个函数f和g以及常数a和b。

2.斯托克斯公式：斯托克斯公式是微分几何学中的一个重要定理，它描述了曲线和曲面上的微分形式之间的关系。

公式的核心思想是，曲线和曲面的边界上的微分形式之间的积分等于曲面内部微分形式的外微分的积分。

设M为一个有限曲线或曲面，边界记为∂M，f为定义在M上的一个光滑函数，而ω为M上的一个光滑微分形式。

则斯托克斯公式可以表示为：∫Mdω=∫∂Mω其中∫Mdω表示微分形式ω的外微分在M内部的积分，而∫∂Mω表示微分形式ω沿M的边界∂M的积分。

斯托克斯公式在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用。

它可以用于计算曲面上其中一属性的总量，例如磁通量、电荷分布、质量流量等。

通过应用斯托克斯公式，可以将曲面的积分转化为曲线的积分，从而简化了计算的复杂性。

总结起来，外微分和斯托克斯公式是微分几何学中的两个重要概念。

外微分用于描述曲线、曲面和空间中的微分形式，而斯托克斯公式则描述了曲线和曲面上的微分形式之间的关系。

第八节 微分形式的外微分一 微分形式及其外积我们知道, 一个可微函数12(,,,)n f x x x L 的全微分为1ni i ifdf dx x =∂=∂∑. 它是12,,n dx dx dx L 的线性组合, 一个很自然的想法是将12,,n dx dx dx L 看作一个线性空间的基.设Ω是nℜ上的区域, 记12(,,)n x x x x =r L , 1()C Ω(1,2,,i n =L )为Ω上连续可微函数全体. 将12,,n dx dx dx L 看作一组基, 其线性组合11122()()(),()()(1,2,,)n n i a x dx a x dx a x dx a x C i n +++∈Ω=rL L称为一次微分形式,简称1-形式. 1-形式的全体记为1()ΛΩ(或1Λ).如果对1Λ中的元素定义加法、数乘、零元和负元等, 就可以使1Λ成为一个1()C Ω上的线性空间. 对于任意1,ξη∈Λ:1122()()()n n a x dx a x dx a x dx ξ=+++L , 1122()()()n n b x dx b x dx b x dx η=+++L ,定义ξη+和λξ(1()C λ∈Ω)为111222(()())(()())(()())n n n a x b x dx a x b x dx a x b x dx ξη+=++++++r r r r r rL ,1122(()())(()())(()())n n x a x dx x a x dx x a x dx λξλλλ=+++r r r r r rL ,进一步定义1Λ中的零元为120000n dx dx dx =+++L ,且定义负元为1122(())(())(())n n a x dx a x dx a x dx ξ-=-+-++-L显然1Λ成为一个1()C Ω上的线性空间.为了得到二次微分形式, 我们先引入向量的外积这个概念.设12(,)a a a =r , 12(,)b b b =r 为平面2ℜ上两个线性无关的向量, 我们将行列式1212a ab b称为向量a r 与b r 的外积, 记为a b Λr r, 即1212a a ab b b Λ=r r . 平面上的向量的外积的讨论可以推广到nℜ上去. 设12(,,,),1,2,,,i i i in a a a a i n ==u rL L定义他们的外积为11121212221212n n n n n nna a a a a a a a a a a a ΛΛΛ=L u r u u r u u r LL M M O M L.它是由12,,,n a a a u r u u r u u rL 所张成的平行2n 面体的有向体积. 而且这种体积满足反对称性和分配律.类似于向量的外积, 规定,0(,1,2,,)i j j i i i dx dx dx dx dx dx i j n Λ=-ΛΛ==L .因此共有2n C 个有序元,1.i j dx dx i j n Λ≤<≤以这些有序元为基就可以构造一个线性空间2Λ. 其中2Λ的元素称为二次微分形式. 简称2-形式. 于是2Λ中的元素可以表示为1()ij i j i j ng x dx dx ≤<≤Λ∑r.这种形式称为2-形式的标准形式.一般地, 在12{,,,}n dx dx dx L 中任意选取k 个组成有序元, 记为12k i i i dx dx dx ΛΛΛL ,这里12,,,k i i i L 是从集合{1,2,,}n L 中选取的任意k 个整数. 规定1212,1i i k k dx dx dx i i i n ΛΛΛ≤<<<≤L L .以这些有序元为基构造一个线性空间kΛ. 其中kΛ的元素称为k 次微分形式. 简称k -形式. 于是一般k-形式就可以表示为121212,,,1()k k k i i i i i i i i i ng x dx dx dx ≤<<<≤ΛΛΛ∑L L rL .这种形式称为k -形式的标准形式.显然, 当k n >时, 总有120k i i i dx dx dx ΛΛΛ=L , 因此{0}kΛ=.Ω上的连续可微函数称为0-形式, 它们的全体记为0Λ, 它是一个线性空间, 函数1g ≡是它的一个基.现在把i j dx dx Λ中的Λ理解为一种运算. 对于任意1,ξη∈Λ:1122()()()n n a x dx a x dx a x dx ξ=+++L , 1122()()()n n b x dx b x dx b x dx η=+++L ,定义ξ与η的外积为1()()()()i j i j i j ni j a x a x dx dx b x b x ξη≤<≤Λ=Λ∑r r r r 它是2Λ中的元素.下面把这样的外积定义推广到任意的i Λ和jΛ上去. 若记Λ为线性空间01,,,nΛΛΛL 之和, 即有01n Λ=Λ+Λ++ΛL , 于是Λ是一个2n(因012n n n n n C C C +++=L )维的线性空间, 因此Λ中的元素的一般形式为01,,0,1,,i n i i n ωωωωω=+++∈Λ=L L .记12p I i i i dx dx dx dx =ΛΛΛL ,12qJ j j j dx dx dx dx =ΛΛΛL . 则1212p q I J i i i j j j dx dx dx dx dx dx dx dx Λ=ΛΛΛΛΛΛΛL L它是()p q +-形式. 对一般p -形式()I I Ig x dx ξ=∑r 和q -形式()J J Jh x dx η=∑r, 定义ξ和η的外积ξηΛ为,().I J I J I Jg h x dx dx ξηΛ=Λ∑它是()p q +-形式. 对于0-形式f ,我们补充定义()(),p I I If f f xg x dx ξξξ=Λ=∈Λ∑二 外微分的基本概念设nΩ⊂ℜ为区域, Ω上的可微函数12(,,,)n f x x x L 的全微分为1.ni n ifdf dx x =∂=∂∑这可以理解为: 一个0-形式作了微分运算后成为了1-形式.现在将微分运算推广到k Λ上去. 对k Λ中的任意一个k -形式.1212121()k k k i i i i i i i i i ng x dx dx dx ω≤<<<≤=ΛΛΛ∑L L L ,定义1212121(())k k k i i i i i i i i i nd dg x dx dx dx ω≤<<<≤=ΛΛΛΛ∑L L L12121211kk k ni i i i i i i i i i n i ig dx dx dx dx x ≤<<<≤=∂=ΛΛΛΛ∂∑∑L L L同时,对空间0n Λ=Λ++ΛL 上的任意一个元素01,,i n i ωωωωω=+++∈ΛL定义01n d d d d ωωωω=+++L .这样,微分运算:d Λ→Λ就是线性的, 即()d d d αξβηαξβη+=+, ,ξη∈Λ,其中,αβ为常数. 这样的微分运算d 称为外微分. 显然,1212()(1)k k i i i i i i d dx dx dx d dx dx dx ΛΛΛ=ΛΛΛL L12(1)0k i i i d dx dx dx =ΛΛΛΛ=L .性质1 设ω为k -形式, η为l -形式, 则()(1)k d d d ξηξηξηΛ=Λ+-Λ.证明 (留作练习).设ω∈Λ, 定义2()d d d ωω=. 在下面的讨论中,我们假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数.例13.34 设0f ∈Λ为0-形式, 证明20.d f =证明 由于f 具有二阶连续偏导数, 因此22i j j if fx x x x ∂∂=∂∂∂∂. 所以 22111()n n n i j i i i j i j if fd f d df d dx dx dx x x x ===⎛⎫∂∂===Λ ⎪∂∂∂⎝⎭∑∑∑220i j i j i jj i f f dx dx x x x x <⎛⎫∂∂=-Λ= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑. 性质2 对任意ω∈Λ, 有20.d ω= 证明 由于d 的线性性, 只要证明12()ki i i a x dx dx dx ω=ΛΛΛL这种情形即可. 这时12(())k i i i d da x dx dx dx ω=ΛΛΛΛL ,由于ω具有二阶连续偏导数, 因此22i j j ix x x x ωω∂∂=∂∂∂∂. 所以 22111()n n n i j i i i j i j id d d d dx dx dx x x x ωωωω===⎛⎫∂∂===Λ ⎪∂∂∂⎝⎭∑∑∑220i j i j i jj i dx dx x x x x ωω<⎛⎫∂∂=-Λ= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑.因此再由性质1可得2()d d d ωω=122()k i i i d a dx dx dx =ΛΛΛΛL12()()k i i i da d dx dx dx -ΛΛΛΛL 120()00k i i i dx dx dx da =ΛΛΛΛ-Λ=L .二 外微分的应用 首先看Green 公式()(),,L D Q P dxdy P x y dx Q x y dy x y ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰Ñ 其中闭区域nD ⊂ℜ的边界由分段光滑的曲线L 所围成. 若将dx dy Λ看成有向面积元素,那么如果将它看成是正面积元素dxdy 的话, 上式就可以表示为()(),,L D Q P dx dy P x y dx Q x y dy x y ⎛⎫∂∂-Λ=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰Ñ 对于1-形式(,)(,)P x y dx Q x y dy ω=+, 则由外微分的定义可得()()d dP dx dQ dy ω=Λ+ΛP P Q Q dx dy dx dx dy dy x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+Λ++Λ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭P Q Q P dy dx dx dy dx dy y x x y ⎛⎫∂∂∂∂=Λ+Λ=-Λ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. 于是有下式成立LDd ωω=⎰⎰.再看Stokes 公式()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy y z z x x y ∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰Pdx Qdy Rdz Γ=++⎰Ñ 其中Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与∑的侧符合右手规则. 对于1-形式(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ω=++,由外微分的定义可得()()()d dP dx dQ dy dR dz ω=Λ+Λ+ΛP P R Q Q Q R R R dx dy dz dx dx dy dx dz x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++Λ+++Λ+++Λ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭R Q P R Q Q dy dz dz dx dx dy y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-Λ+-Λ+-Λ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是Stokes 公式则变为d ωωΓ∑=⎰⎰.同样地, 对于Gauss 公式()P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ò 其中空间区域Ω由分片光滑的双侧封闭曲面∑所围成. 如果我们将有向体积元素dx dy dz ΛΛ看成是正体积元素dxdydz 的话, 它就可以表示为()P Q R dxdydz Pdy dz Qdz dx Rdx dy x y z Ω∑∂∂∂++=Λ+Λ+Λ∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ò对于2-形式(,,)(,,)(,,)P x y z dy dz Q x y z dz dx R x y z dx dy ω=Λ+Λ+Λ, 我们有()()()d dP dy dz dQ dz dx dR dx dy ω=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛP P P dx dy dz dy dz x y z ⎛⎫∂∂∂=++ΛΛ ⎪∂∂∂⎝⎭Q Q Q dx dy dz dz dx xy z ⎛⎫∂∂∂+++ΛΛ ⎪∂∂∂⎝⎭R R R dx dy dz dy dz xy z ⎛⎫∂∂∂+++ΛΛ ⎪∂∂∂⎝⎭.于是Gauss 公式则变为d ωω∑Ω=⎰⎰.这样, Green 公式、Gauss 公式和Stokes 公式就可以统一地写成如下形式：MMf df ∂=⎰⎰.这个式子统称为Stokes 公式. 它说明了, 高次的微分形式d ω在给定区域上的积分等于低一次的微分形式ω在低一维的区域边界上的积分.习题14.8 1. 设pξ∈Λ, qη∈Λ, 证明: 当p q n +>时, 0ξηΛ=.2. 设pξ∈Λ, qη∈Λ,证明: (1)pqξηηξΛ=-Λ.3. 设1njj ii n adx ξ==∑, 1,2,,j n =L , 为n ℜ上的1-形式, 证明1212det()j n i n a dx dx dx ξξξΛΛΛ=ΛΛΛL L .4. 证明性质1.。

外微分微分几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：外微分是微分几何中一个重要的概念，它是研究曲面局部性质的有力工具。

在微分几何中，我们经常遇到曲面上的切向量、法向量、曲率等概念，而这些概念的定义和运算都与外微分密切相关。

外微分的概念最早是由意大利数学家里卡尔多·考西（Ricardo Oxxi）提出的。

外微分是将曲面上的向量场和微分形式与切空间之间的映射联系起来的一种运算。

简单来说，外微分是定义在曲面上的微分形式或者向量场在局部投影到切空间上的一个操作。

在微分几何的研究中，我们经常需要对曲面上的函数或者向量场进行求导操作。

以函数为例，我们知道在欧几里得空间中，一元函数的微分可以用函数的导数来表示。

而在曲面上，函数的导数则需要通过外微分来定义。

对于向量场而言，也可以通过外微分操作来定义向量场的微分。

在介绍外微分的具体概念之前，我们先来回顾一下曲面的切空间和法空间的概念。

在欧几里得空间中，切空间是与曲面上点处切平面对应的向量空间，切向量是切空间中的一个向量。

法空间则是与切空间正交的一个向量空间，法向量是法空间中的一个向量。

通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，从而得到在局部的微分形式。

在微分几何中，我们通常会研究曲面的局部性质，比如曲率、曲率流、平均曲率等。

而外微分可以帮助我们求解这些局部性质。

通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，再进行进一步的运算。

通过外微分，我们可以定义曲面上的导数、梯度等概念，从而推导出曲面的曲率、法曲率等性质。

除了在求解曲面的局部性质方面，外微分还有许多应用。

在计算几何学、机器学习、图像处理等领域，外微分也被广泛应用。

通过外微分，我们可以对曲面进行局部参数化、计算曲率、求解曲线间的关系等操作。

外微分在微分几何中具有重要的意义，它帮助我们理解曲面的局部性质，为曲面的研究提供了有力的工具。

外微分是微分几何中一个重要的概念，它通过将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，帮助我们定义并求解曲面的局部性质。

外微分换元法外微分换元法，在微积分中属于比较重要的拓展知识点，而且在工程领域等实际应用中也有着广泛的运用。

如果你正在学习微积分或者需要在工作中应用到这方面的知识，那么就需要掌握外微分换元法的相关知识点。

下面我们就来重新整理一下这方面的知识点，希望能对大家有所帮助。

1. 外微分的定义在微积分中，将一个函数f(x,y)进行微小的变化，可以得到以下的式子：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，df表示函数f的微小变化量，dx和dy分别是自变量x和y的微小变化量，而∂f/∂x和∂f/∂y则分别表示函数f对自变量x和y的偏导数。

2. 外微分的运用在实际应用中，我们常常需要将一个函数进行变量替换，例如将f(x,y)替换为 g(u,v)，此时我们需要用到外微分换元法。

假设现在有一个函数f(x,y)，我们需要将其中的自变量x和y换成新的自变量u和v，也就是f(u,v)。

此时，需要对函数f进行一些变形，来得到f对u和v的偏导数和u和v对x和y的偏导数。

具体的过程如下：- 对函数f(x,y)进行外微分运算，得到：df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy- 将dx和dy分别表示出来，得到：dx = (∂u/∂x)du + (∂v/∂x)dv，dy = (∂u/∂y)du + (∂v/∂y)dv- 将dx和dy带入到df的式子中，得到：df = (∂f/∂x)du +(∂f/∂y)dv- 将df表示成g(u,v)对u和v的偏导数的形式，得到：df =(∂g/∂u)du + (∂g/∂v)dv根据以上公式，我们可以计算出g(u,v)对u和v的偏导数，从而得到函数f(x,y)对新的自变量u和v的偏导数，以及新的自变量u和v对原自变量x和y的偏导数。

这将有利于我们求解一些复杂函数的导数和积分问题。

3. 小结外微分换元法是微积分中的重要知识点之一，适用于一些复杂函数的导数和积分求解。

通过对函数进行外微分操作，我们可以得到函数对新的自变量的偏导数，从而用于计算新自变量对原自变量的偏导数。

张量和外代数的基本概念和运算法则在现代数学中，张量和外代数是重要的代数结构。

它们在物理、工程、计算机科学等领域中被广泛应用。

本文将介绍张量和外代数的基本概念和运算法则，帮助读者对这些代数结构有更深入的认识。

一、张量的基本概念张量可以看作是线性函数的扩展。

线性函数接受向量作为输入，并输出一个标量。

而张量接受向量作为输入，并输出一个向量或张量。

因此，张量有多个分量，每个分量可以是标量、向量或张量。

在二维欧几里得空间中，一个二阶张量可以表示为一个矩阵。

设$T$是一个二阶张量，它的第$i$行第$j$列的分量为$T_{ij}$。

假设$u$和$v$是两个向量，它们的分量分别为$u_i$和$v_j$。

则$T(u,v)$可以表示为：$T(u,v)=T_{ij}u_iv_j$这里的$u_iv_j$表示一个标量的乘积，$T_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素。

因此，$T(u,v)$是一个标量。

同样的，对于$n$维欧几里得空间中的$k$阶张量，它可以表示为一个$n^k$维的数组。

二、张量的运算法则张量有多种运算法则，包括张量的加法、张量的数乘、张量的乘法和张量的缩并等。

这里介绍其中的几种基本运算法则。

1. 张量的加法设$T$和$S$是两个$k$阶张量，它们的分量分别为$T_{i_1i_2...i_k}$和$S_{i_1i_2...i_k}$。

则$T$和$S$的和可以表示为：$(T+S)_{i_1i_2...i_k}=T_{i_1i_2...i_k}+S_{i_1i_2...i_k}$即将$T$和$S$的每个对应分量相加，得到一个新的$k$阶张量$T+S$。

2. 张量的数乘设$a$是一个标量，$T$是一个$k$阶张量，它的分量为$T_{i_1i_2...i_k}$。

则$aT$可以表示为：$(aT)_{i_1i_2...i_k}=aT_{i_1i_2...i_k}$即将$T$的每个分量乘以标量$a$，得到一个新的$k$阶张量$aT$。

外微 分尹 小 玲以下仅在三维空间中讨论。

一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用∧表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx ∧，它们满足以下运算法则：（1）)()(dy dx a dy adx ∧=∧，（a 是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx ∧+∧=+∧)(；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx ∧-=∧； （4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=∧dx dx ； （5）结合律，dz dy dx dz dy dx ∧∧=∧∧)()(；dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。

dy dx dx dz dz dy ∧∧∧,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ∧∧在几何上可以理解为有向体积微元。

因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。

把微分的外积运算与向量的外积运算b a ⨯相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。

而||b a ⨯在几何上是以b a,为边的平行四边形的面积，对应于dydz dz dy =∧||，dzdx dx dz =∧||，dxdy dy dx =∧||二、外微分式及其外微分式的外积运算设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式F （1）Rdz Qdy Pdx ++ （2） dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ （3） dz dy Fdx ∧∧ （4）例 p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。

证 两个一阶外微分式的外积∧++)(111dz R dy Q dx P )(222dz R dy Q dx P ++)()(22212221dz R dy Q dx P dy Q dz R dy Q dx P dx P ++∧+++∧= )(2221dz R dy Q dx P dz R ++∧+dy dx P Q Q P dx dz R P P R dz dy Q R R Q ∧-+∧-+∧-=)()()(212121212121222111R Q P R Q P dydx dx dz dz dy ∧∧∧=一阶外微分式与二阶外微分式的外积∧++)(Rdz Qdy Pdx )(dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Pdx ∧+∧+∧∧= )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Qdy ∧+∧+∧∧+ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Rdz ∧+∧+∧∧+dz dy dx RC QB PA ∧∧++=)(dz dy dx C B A R Q P ∧∧⋅=}),,{},,({ 其余显然成立。