外微分在场论中的应用

外微分统一四大积分公式作者：王桦来源：《青年文学家》2012年第03期摘要：Newton－Leibniz公式，Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式是数学分析中联系一元函数及多元函数微分与积分关系的基本公式，本文先利用外微分的形式将一维与高维的四个基本公式统一起来，然后利用外积运算，推导了多变量积分变量代换公式中微元的代换公式。

关键词：微分、积分、外微分作者简介：王桦，女（1973.2.15-），长沙理工大学数学与计算科学学院，学历：博士，研究方向：复分析。

[中图分类号]：O186.15 [文献标识码]：A[文章编号]：1002-2139(2012)-03-0247-02微分、积分的概念古已有之，使之成为一门学问而发扬光大的是由Newton和Leibniz证明了的微积分基本定理，这一定理指出了微分与积分是一对矛盾关系，这只是对于一维的情形。

对于高维情形同样也有相应的三个部分，即微分，积分及联系微分与积分的微积分基本定理，只是微分部分中有偏微分、全微分、及与微商相当的Jacobi矩阵；积分部分有重积分、线积分、曲面积分等。

这些都是一维微积分的自然推广，于是也可列出高维中相应的定理。

而关于第三部分，在高维情况下，什么是微积分基本公式？又是什么定理刻画了高维情形下微分、积分这一对矛盾？是Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式担当了一维中Newton-Leibniz公式的角色。

本文主要运用外微分统一一维和高维的情形的基本积分公式，即统一Newton-Leibniz公式，Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式。

本文仅在在三维空间中讨论。

一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量各分量的微分，，，其外积运算用表示，如与的外积记为，它们满足以下运算法则：（1）（是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如；（5）结合律，；注：，，。

外微分微分几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：外微分是微分几何中一个重要的概念，它是研究曲面局部性质的有力工具。

在微分几何中，我们经常遇到曲面上的切向量、法向量、曲率等概念，而这些概念的定义和运算都与外微分密切相关。

外微分的概念最早是由意大利数学家里卡尔多·考西（Ricardo Oxxi）提出的。

外微分是将曲面上的向量场和微分形式与切空间之间的映射联系起来的一种运算。

简单来说，外微分是定义在曲面上的微分形式或者向量场在局部投影到切空间上的一个操作。

在微分几何的研究中，我们经常需要对曲面上的函数或者向量场进行求导操作。

以函数为例，我们知道在欧几里得空间中，一元函数的微分可以用函数的导数来表示。

而在曲面上，函数的导数则需要通过外微分来定义。

对于向量场而言，也可以通过外微分操作来定义向量场的微分。

在介绍外微分的具体概念之前，我们先来回顾一下曲面的切空间和法空间的概念。

在欧几里得空间中，切空间是与曲面上点处切平面对应的向量空间，切向量是切空间中的一个向量。

法空间则是与切空间正交的一个向量空间，法向量是法空间中的一个向量。

通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，从而得到在局部的微分形式。

在微分几何中，我们通常会研究曲面的局部性质，比如曲率、曲率流、平均曲率等。

而外微分可以帮助我们求解这些局部性质。

通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，再进行进一步的运算。

通过外微分，我们可以定义曲面上的导数、梯度等概念，从而推导出曲面的曲率、法曲率等性质。

除了在求解曲面的局部性质方面，外微分还有许多应用。

在计算几何学、机器学习、图像处理等领域，外微分也被广泛应用。

通过外微分，我们可以对曲面进行局部参数化、计算曲率、求解曲线间的关系等操作。

外微分在微分几何中具有重要的意义，它帮助我们理解曲面的局部性质，为曲面的研究提供了有力的工具。

外微分是微分几何中一个重要的概念，它通过将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，帮助我们定义并求解曲面的局部性质。

外微分形式和张量是物理学和数学中的重要概念，它们在描述物理现象和构建数学模型方面发挥着关键作用。

下面我们将分别介绍这两个概念，并试图用800字左右来阐述它们的含义、应用和相关概念。

一、外微分形式外微分形式是数学中的一个概念，它是一个在流形上定义的积分形式。

具体来说，给定一个光滑流形M，外微分形式是对流形上的每一点选取一个线性双线性形式，它依赖于流形上的切丛的切向量。

这些双线性形式定义了一个形式，称为外微分形式。

外微分形式在物理中有广泛的应用。

例如，在量子场论中，它们被用来描述量子场论的路径积分，以及描述量子引力中的拓扑量子场论。

此外，它们也被用来描述电磁场和引力场的拉格朗日量，以及在相对论和弦论中扮演重要角色。

在具体应用中，外微分形式的一个重要性质是它与纤维丛理论密切相关。

纤维丛是一种重要的数学结构，它在许多物理学问题中都有应用。

在这种结构中，一个光滑流形作为基片（或纤维），另一个流形作为截面。

外微分形式在纤维丛上定义，并且与丛上的联络和向量丛的示性类等概念密切相关。

二、张量张量是数学中的一个概念，它是一个多维数值结构，可以用来表示物理量在空间和时间中的变化。

在物理学中，张量被广泛应用于描述各种物理现象和构建各种数学模型。

张量在物理学中的应用非常广泛。

例如，它们被用来描述引力场的梯度、散度、旋度等概念，以及描述电磁场的旋度等概念。

此外，张量也被广泛应用于相对论、量子力学、量子场论、粒子物理学等领域。

张量与外微分形式密切相关。

在某些情况下，张量可以被表示为外微分形式上的一个值，称为张量的外微分形式表示。

这种表示提供了张量与积分形式的直接联系，使得张量在物理中的应用更加方便和直观。

总之，外微分形式和张量是数学和物理学中的重要概念，它们在描述物理现象和构建数学模型方面发挥着关键作用。

外微分形式提供了描述量子场论、量子引力、电磁场和引力场等问题的有力工具，而张量则提供了描述各种物理量和场的重要手段。

这些概念的相关概念和性质，如纤维丛、联络、示性类等，也在物理学中扮演着重要角色。

利用外微分对场论中三个算子的讨论【摘要】本文通过引入外微分算子,对经典场论中的梯度,旋度,散度做了统一的解释,寻找其中的关系.同时利用其寻找Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss公式之间的联系.关键词：外微分场论1、引言在关于多元函数积分的学习中，我们可以得出各种积分之间的联系.但是我们可以看到，关于统一这些积分形式的Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss 公式之间也是有一定联系的.通过查找资料知道，我们可以通过另一个形式——外微分，将它们统一起来.同时，也可以用外微分算子来解释经典场论中的三个算子：梯度算子、散度算子和旋度算子的引进.在三维空间中，我们只能得到四种相应的外微分形式，但是按照外微分算子的定义，其可以推广到n维.以上问题将在下面进行简要的讨论与证明.2、主要结论及其证明2.1场论的简单引入2.1.1 场的概念依据空间中坐标系的表现形式,场是关于点的坐标的多变量函数.根据原物理量,可以将场分为数量场和向量场.2.1.2 场论中的三个算子从对数量场的方向微商的定义中,可以引申出梯度的概念.定义2.1:数量场u在点M处的梯度是一个向量,记为grad u,其大小为场u在点M的所有方向微商中的最大值,其方向为取到这个最大值所沿的那个方向.在三维的直角坐标系中可以表达为:.从对向量场的通量的定义中,可以引申出散度的概念.定义2.2:设是区域上的向量场,是内一点.在场中围绕点做任意的闭曲面,是所围成的闭区域,其体积记为.是外侧的单位法向量.若当区域无限收缩于点时,比式的极限存在,就称该极限为向量场在点的散度,记为,即它表示点附近单位体积所流出的流量，称为处源的密度.从对向量场的环量的定义中,可以引申出旋度的概念.定义2.3:设是定义在区域上的向量场,是中的一点,是在点处取定的单位向量.在内过,做任意光滑的且以为法向量的曲面元,假定这个曲面元的面积为,它的边界是逐段光滑的闭曲线.选取的环行方向,使之与向量组成右手螺旋系统.如果当面元无限收缩于点，而在点处的法向量保持不变时，平均环量的极限就存在，就称此极限为场在点处绕方向的涡量,记做,即并且吧这些涡量的最大值以及取到最大值的方向所构成的一个向量称为在点的旋度,记作.2.2 外微分形式2.2.1 外微分形式的外积设在微分之间定义一种乘积的运算,它满足下述法则:两个相同微分的乘积为0;两个不同微分的乘积变换顺序时变号.这种微分之间的乘积称作微分的外积,用表示.则定义2.4:由微分的外积乘以三元函数组成的微分形式称为外微分形式.设都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式（1）（2）（3）（4）其满足分配律和结合律，但不满足交换律.2.2.2 外微分形式的外微分当我们在其中引入微分运算符d,若是零次外微分形式,即为函数,则定义d就是通常的全微分算符.若是一次外微分形式则定义将全微分的表达式带入后化简，给出若是二次外微分形式，则可以类比.若__D_Dd__________ìĝϨϨ______________2.3 对梯度、散度、旋度的统一2.3.1 梯度,旋度,散度的计算与联系因为在此，仅仅涉及到三维欧式空间，则三次外微分没有与之对应的“度”，可以不予以讨论,仅就场论中三个算子进行讨论.(1)零次外微分形式的外微分公式为而数量场的梯度为所以零次外微分形式的外微分与梯度相对应。

物理学中的场论及其应用场论是物理学研究中的重要分支，它研究的是物质的场。

场是一种现象，例如电磁场、引力场等，不具体表示特定物质的位置或者状态，而是在空间中的场，这些场决定了这个物质的状态和行为。

在场论中，电磁场是其中最为重要的场，牛顿时代的引力场理论则为现代的场论的基础奠定了基础。

场论的理论基础场的一般理论是由经典电磁学开始的。

经典电磁学中由麦克斯韦方程组描述了自由的场在空气或其他介质中的行为，用电场强度和磁场强度表示。

根据法拉第电磁感应定律，自由的磁场强度和电场强度对系统产生作用力。

具体来说，对于电磁场的描述，需要使用电磁场的势函数来表示电磁场状态的变化，将原本麦克斯韦方程写成两个类似于波动方程的四个运动方程。

按理论上的说法，场的理论必须要同时满足牛顿力学和狭义相对论，实际上场论应用的离散离子系统则可以去除量子策动力，这些系统可以用物理场的微观耦合上来描述整合，通过场论的处理，可以得到物体运动条件与相互作用产生的效应，使得场论成为了宏观物理学和微观物理学的桥梁。

电磁场的应用电磁场是物理学和工程学中非常重要的一个方向。

电磁场与物质的相互作用使得我们的现代科技产生了巨大的进步。

电磁场的运用在许多工业、科学和医学应用中都扮演着重要角色，例如声波、医学成像、雷达等等。

电磁场也是物理学中电磁波的来源，是一种从放射源或激发源中向外传播的波动。

薛定谔方程量子力学中描述在任何时刻具有系统波形态的特点，都是非经典场的系统系统。

在薛定谔方程中，时间是一个连续的变量，动量和位置是非对易的。

因此，经典力场和量子非力场之间的转换必须要依赖于哈密顿度的连续性。

为了得到精确和可靠的数据，可以利用电子和中子的散射打到一个场之中，通过薛定谔方程计算出来结果再根据数据进行优化，并得到准确的结果。

总的来说，场论的应用广泛，它的研究可以向我们揭示宏观和微观物理学的关系，让我们更好地理解世界中的力学规律。

同时，场论的发展也为我们提供了更多的科技应用，如电磁波通信、医学成像、在半导体材料上的应用等等。

有限元外微积分的应用有限元外微积分是一门应用数学学科，它结合了有限元分析和微积分的理论与方法，用于解决各种工程问题。

通过有限元外微积分的应用，工程师可以对复杂的结构进行建模和分析，预测其行为和性能。

有限元外微积分可以应用于结构力学领域。

在设计建筑、桥梁、飞机等工程结构时，有限元外微积分可以帮助工程师预测结构的强度、刚度和稳定性。

通过将结构分割为有限数量的小单元，然后利用微积分的方法对每个单元进行分析，最后将所有单元的结果进行整合，工程师可以得到结构的整体性能。

这样的分析可以帮助工程师优化结构设计，提高结构的安全性和可靠性。

有限元外微积分也可以用于热传导和流体力学领域。

在热传导问题中，有限元外微积分可以用来模拟材料的温度分布和传热过程。

通过将材料分割为有限数量的小单元，并利用微积分的方法对每个单元进行温度分析，工程师可以了解材料的热传导行为。

在流体力学问题中，有限元外微积分可以用来模拟流体的流动和压力分布。

通过将流体区域分割为有限数量的小单元，并利用微积分的方法对每个单元进行流动分析，工程师可以预测流体的行为和性能。

有限元外微积分还可以应用于电磁场和声学领域。

在电磁场问题中，有限元外微积分可以用来模拟电磁场的分布和电磁波的传播。

通过将电磁区域分割为有限数量的小单元，并利用微积分的方法对每个单元进行电磁场分析，工程师可以了解电磁场的行为和性能。

在声学问题中，有限元外微积分可以用来模拟声波的传播和声场的分布。

通过将声学区域分割为有限数量的小单元，并利用微积分的方法对每个单元进行声场分析，工程师可以预测声波的行为和声场的特性。

有限元外微积分的应用涵盖了结构力学、热传导、流体力学、电磁场和声学等多个领域。

通过有限元外微积分的分析，工程师可以对复杂的工程问题进行建模和预测，为工程设计和优化提供科学依据。

通过合理地应用有限元外微积分，我们可以更好地理解和控制自然界的现象，为人类创造更安全、高效和可持续的工程产品。

第六节 微分法在几何上的应用要求：会求空间曲线的切线及法平面方程，会求空间曲面的且平面及法线方程。

重点：空间曲线的切线及法平面方程，曲面切平面及法线方程的求法。

难点：空间曲线的方程组形式给出的情况，求其切线及法平面方程。

作业：习题8－6（52P ）4,5,6,9,10一．空间曲线的切线与法平面1．空间曲线由参数方程给出设空间曲线的参数方程为()x t ϕ=，()y t ψ=，)(t w z =，且三个函数均可导． 当0t t =时，对应曲线上的点),,(0000z y x M ，当t t t ∆+=0时，对应曲线上的点),,(000z z y y x x M ∆+∆+∆+'，曲线的割线M M '0的方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 当M '沿曲线趋于0M 时，割线M M '0的极限位置T M 0就是曲线在点0M 处的切线，其切线方程如何？tz z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000 令0M M →'(这时0→∆t )，上式取极限，即得曲线在点0M 处切线方程为000000'()'()()x x y y z z t t w t ϕψ---=='． 说明（1）000'(),'(),()t t w t ϕψ'不能同时为零，如果个别为零，按空间解析几何中有关直线对称式方程的说明理解；（2）切线的方向向量{}000'(),'(),()T t t w t ϕψ'=u r称曲线切向量．切向量的方向余弦为 222cos ('())('())('())t t w t αϕψ=++，222cos ('())('())('())t t w t βϕψ=++，222cos ('())('())('())t t w t γϕψ=++．曲线的法平面通过点0M 而与切线垂直的平面称为曲线在点0M 处的法平面，方程为000000'()()'()()()()0t x x t y y w t z z ϕψ'-+-+-=．例1．求螺旋线θcos a x =，θsin a y =，θb z =对应于3πθ=处的切线和法平面方程．解 曲线上对应于3πθ=的点),,(0000z y x M ，即00023a x y z b π⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， 切向量{}'(),'(),()T w ϕθψθθ'=ur ,,22a a b ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因此切线方程为3222a z bx y a b π---==， 法平面方程为()()()022223a a a x y ab z b π--+-+-=． 切向量的方向余弦为2222222cos sin cos ba b ba a b+=++=θθγ可见曲线的切线与z 轴的夹角(母线的夹角)为定值．2．空间曲线的方程由()y x ϕ=，()z x ψ=给出取x 为参数，它就可表示为参数方程的形式()()x xy x z x ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，若(),()x x ϕψ在0x x =处可导，曲线在点),,(0000z y x M 处的切向量{}001,'(),'()T x x ϕψ=u r，切线方程000001'()'()x x y y z z x x ϕψ---==．法平面方程 00000'()()'()()0x x x y y x z z ϕψ-+-+-=．例2．求曲线mx y 22=，x m z -=2在点),,(000z y x 处的切线及法平面方程．解 因为m y y 22=' ，y m y ='， 12-='z z ，zz 21-='， 所以切向量 0011,,2m T y z ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭u r ，切线方程1)(2)(100000--=-=-z z z m y y y x x ， 法平面方程 0)(21)(00000=---+-z z z y y y m x x ． 3．空间曲线Γ的方程由⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 给出设),,(0000z y x M 是曲线Γ上的一点，又设,F G 对各变量的偏导数连续，且0|),(),(0≠∂∂M z y G F ，此时方程组在点0M 的某邻域内唯一确定一组函数()y x ϕ=，()z x ψ=，求曲线Γ在点0M 处的切线方程及法平面方程．只要求出00'(),'()x x ϕψ，得切向量{}001,'(),'()T x x ϕψ=u r，为此方程(,(),())0(,(),())0F x x xG x x x ϕψϕψ=⎧⎨=⎩， 两边对x 求全导数得⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x x z y x z y G dxdz G dx dy G F dx dz F dx dy F -=+-=+因为0),(),(≠=∂∂=zyzyG G F F z y G F J 所以可解得'()z x zxF FG G dyx dxJϕ== ，'()x y xyF FG G dz x dxJψ==，于是切向量 {}001,,1,'(),'()dy dz T x x dx dx ϕψ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭u r ． 例3．求曲线0,6222=++=++z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线及法平面方程． 解 下面我们依照推导公式的方法来解，将所给方程两边对x 求导，得⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dy dx dz z dx dy y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+1dxdz dx dy x dxdz z dx dy y 解方程组，得z y x z z y zx dx dy --=--=1111，z y y x z y x y dx dz --=---=11 于是0|)1,2,1(=-dx dy ，1|)1,2,1(-=-dx dz从而 {}1,0,1T =-u r因此，所求切线方程110211--=+=-z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-021111y z x 法平面方程为 0)1()2(0)1(=--++-z y x ， 即 0=-z x ． 练习：求曲线21,,1t tx y z t t t+===+在对应于1t =的点处的切线及法平面方程． 二．曲面的切平面与法线1．曲面方程由隐式方程0),,(=z y x F 给出设曲面∑方程为0),,(=z y x F ，点),,(0000z y x M 为曲面上的一点，又设函数),,(z y x F 的偏导数在点0M 连续且不同时为零．讨论曲面在点0M 处的切平面，那么曲面在点0M 处切平面指什么？ 为此首先考虑这样一个事实：在曲面上过点0M 的任何曲线在0M 的切线位于 同一平面上，下面证明这个事实．在曲面上过点0M 任意引一条曲线Γ，其参数方程为()()()x t y t z w t ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，且000'(),'(),()t t w t ϕψ'不全为零，由于曲线位于曲面上，满足((),(),())0F t t w t ϕψ≡，又因为),,(z y x F 在点0M 处有连续偏导数，且000'(),'(),()t t w t ϕψ'存在，上式的复合函数在0t t =的全导数存在，于是0|0==t t dtdF．即 000000000000(,,)'()(,,)'()(,,)()0x y z F x y z t F x y z t F x y z w t ϕψ'++=．引入向量{}z y x F F F n ,,=ρ.上式表明，曲线Γ在点0M 处的切线向量{}000'(),'(),()T t t w t ϕψ'=u r 与一个确定向量nϖ垂直．因为曲线Γ是曲面上过点0M 的任一条曲线，它们在0M 的切线都与同一个向量n ϖ垂直，所以曲面上过点0M 的一切曲线在点0M 的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面∑在点0M 的切平面，切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，曲面∑在点0M 的切平面的法向量{}z y x F F F n ,,=ρ简称为曲面的法向量． 过点0M 且垂直于切平面的直线称为曲面在点0M 的法线，其方程为),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 例4．求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程及法线方程． 解 令=),,(z y x F 3-+-xy z e z，则{}{}1,,,,-==zz y x e x y F F F n ρ，即有{}0,2,1|)0,1,2(=n ϖ， 在点)0,1,2(处切平面方程为 0)0(0)1(2)2(=-+-+-z y x ， 即 042=-+y x ．法线方程为 002112-=-=-z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x ．2．曲面方程由显式方程),(y x f z =给出求曲面),(y x f z =在点),,(0000z y x M 处切平面及法线方程．令z y x f z y x F -=),(),,(，可见),(y x f F x x =，),(y x f F y y =，1-=z F ，则曲面在点0M 处法向量为{}1),,(),,(0000-=y x f y x f n y x ϖ，于是切平面方程为 0000000))(,())(,(z z y y y x f x x y x f y x -=-+-， 法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 说明（1）函数),(y x f z =在点),(00y x 的全微分为))(,())(,(000000y y y x f x x y x f dz y x -+-=，因此切平面方程)()(000y y f x x f z z y x -+-=-表示全微分的几何意义，即曲面),(y x f z =在点0M 处切平面上点的竖坐标的增量（正象一元函数表切线的纵坐标增量）． （2）若曲面的切平面的法向量的方向角为γβα,,，并假定向量的方向是向上的(即使得它与z 轴的正向所成的角γ是锐角)，则法向量的方向余弦如何求？ 若曲面方程为(,)z f x y =，则221cos yx x f f f ++-=α ，221cos yx y f f f ++-=β，2211cos yx f f ++=γ．若曲面方程为(,,)0F x y z =，则cos α=，cos F β=，cos γ=．例5.求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(0M 处的切平面及法线方程．解 因为1),(22-+=y x y x f ，所以{}{}1,2,21,,-=-=y x f f n y x ϖ，即有{}1,2,4|0-=M n ϖ，于是过点0M 的切平面方程为0)4()1(2)2(4=---+-z y x ， 即 0624=--+z y x ．法线方程为142142--=-=-z y x ． 例6.求椭球面22221x y z ++=上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程． 解 因为切平面的法向量为{}z y x n 2,4,2=ϖ，而平面02=+-z y x 法向量为{}'1,1,2n =-u r又因为//'n n u rv ，所以k z y x ==-=2121，将k z k y k x 2,21,=-==代入方程1222=++z y x 中，得1421222=++k k k从中解出112±=k ． 于是， 所求点为)1122,11221,112(-及)1122,11221,112(--， 切平面方程为 0)1122(2)11221()112(=-++--z y x ， 或 0)1122(2)11221()112(=++--+z y x ， 即 02112=±+-z y x . 例7.设曲面S 方程3a xyz =)0(>a ，求曲面S 上任一点),,(000z y x 处切平面方程，并证明曲面S 的所有切平面与坐标面形成的四面体的体积为定值.解 设3),,(a xyz z y x F -=，则yz F x =，xz F y =，xy F z =，所以在点),,(0000z y x M 的切平面方程为0)()()(000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y即 30000003a z y x y z x x z y =++．将其化为截距式1333003003003=++y x a z z x a y z y a x 截距分别为000333x z y a = ，000333y z x a =，000333z y x a =不妨设 0,0,0000>>>z y x ， 于是，切平面与三坐标面围成立体体积为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=0003)33(2131z y x V 30002929a z y x ==(定值) 思考题1．若曲面由方程),(y x f z =∑：给出，如何求在点),,(000z y x M 的切平面方程？ 2．若曲线是两个柱面)(),(x g z x f y ==的交线，如何求在0x x =对应点处的切线方程？。