26.1.4 二次函数复习课件 (新人教版九年级下)

c>0
c=0
c<0
用二次函数的一般式。 【例】已知某二次函数的图象过 (110) ， ， (1， 4) ， (2， 7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax 2 bx c 由已知函数图象过 (110) ， ， (1， 4) ， (2， 7) 三点得
三、解析式的确定（待定系数法） 提示：如果已知的是 三个普通点，则一般采 1. 已知三个普通点确定函数解析式
> 0.
-1
0 1
x
再见！
有ax2+bx+c>0.
y<0
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0;
无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一
二、二次函数的图象和性质
• 首先把y=ax2+bx+c化成 y=a（x-h)2+k的形式， 然后对图象和性质进行归纳： 1. 所有二次函数的图象都是一条抛物线；当a>0, 抛物线的开口向上，当a<0时，抛物线的开口 向下
。
2. 当 | a | 的值越大时，开口越小，函数值 y 变化
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
2 2 4 即 y x x 2 3 3
3
x
巩固练习4
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，试 用 “ >、< 、=” 填空： （1）a < 0,b < 0, c > 0; （2）a+b+c < 0; y （3）a-b+c > 0; （4 ） △ > 0 ； 1
b （5 ） ac
解：设函数解析式为 y ax 2 bx c 由已知，函数图象上有 (1 ， 3) ，(1， 3) ，(2， 6) 三个点， 得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
解这个方程组，得
a 1 ，b 0 ， c 2
∴函数解析式为 y x 2
元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x
取何值，都有y<0 .
无论 x 取何值，都不可能有y≥0。
y<0
12. y=ax2+bx+c（a≠0）与 y 轴的交点的坐标 为（0，c) . 由此可得： 当c >0时，抛物线与y 轴相交于正半轴； 当c =0时，抛物线过原点； 当c <0时，抛物线与y 轴相交于负半轴。
2
6. 当a>0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相 同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的 实 数 根 x 1 、 x 2 ( x 1 < x 2 ) ， 当 x< x 1 或 x > x 2 时 ， y > 0 , 即
ax
2
+bx+c>0
;
当x
1
<x<x
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
=h，当x=h时，y 有最大（或最小）值，即
y最大(或最小) k
5. y=ax2+bx+c的顶点坐标是 即
8. 当a>0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 有两个相同的交点，即顶点在x 轴上，一 元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数 根x1、x2(x1=x2 )，当x≠x1（或x≠x2）时， y>0,即ax2+bx+c>0 ; 当x=x1=x2时，y =0； 无论 x 取任何实数，都不可能有
二次函数复习
一、二次函数的定义
1. 形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且
a≠0 ）的函数，叫做二次函数。
2. 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）。
3. 二次函数顶点式： y=a（x-h)2+k（a≠0）。
4. 二次函数的交点式：y=a（x-x1)(x-x2)（a≠0)。
（C）
2
y 3
-1 0
3
x
巩固练习3
• 如图，抛物线经过下列各点，试求它的函数解析式。 解： 设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2), 则 x1=-1, x2=3, 于是 y=a(x+1)(x-3). y ∵抛物线过y 轴上的点（0，-2）， ∴把这点坐标代入上面式子，得 -2=-3a ∴ a=2/3. -1 0 ∴ 所求函数解析式为： -2 y=2/3· (x+1)(x-3).
2
时，y<0,
即ax2+bx+c<0. 7. 当a<0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相 同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的 实数根x1、x2(x1<x2)，当x1<x<x2时，y>0,即 ax2+bx+c>0 即ax2+bx+c<0. ;当x<x1或x>x2时，y<0,
巩固练习2
(1， 1) ，且过 已知某二次函数的顶点坐标为 0) 试确定它的函数解析式。 点 ( 2， 1) 解：∵二次函数的顶点为(1，
∴可设二次函数解析式为 y a ( x 1) 1 0) 又函数过点 ( 2， 2 ∴ 0 a ( 2 1) 1 解得 a 1 2 y ( x 1 ) 1 ∴二次函数的解析式为 2 即 y x 2x
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7
解这个方程组得 a 2 ， b 3， c 5 ∴所求得的函数解析式为 y 2 x 2 3x 5。
巩固练习1
3) ， (1， 3) ， ( 2， 6) 三 已知某二次函数图象上有( 1， 个点，求它的函数解析式。
ax2+bx+c<0.
y>0
9. 当a<0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 有两个相同的交点，即顶点在 x 轴上，一 元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数 根 x 1 、 x 2 ( x 1 = x 2 ) ，当 x≠x 1 （或 x≠x 2 ）时， y<0,即ax2+bx+c<0 ; 当x=x1=x2时，y =0； 无论 x 取任何实数，都不可能
b b 线 x 2a ，当 x 2a 时，y 有最大（或最小）值。
b 4ac b 2 , 2 a 4 a
，对称轴是直
4ac b 2 y最大(或最小值) 4a
把一般式 y=ax2+bx+c 配成顶 点式为：
b 2 4ac b y a( x ) 2a 4a
2
【例】 已知函数的图象如图所示，求函数解析 式。 解： 设函数的解析式为：y=a(x-x )(x-x ), 则
1 2
3. 过x轴上的两点及任意一点确定解析式 时，用交点式 y=a（x-x1)(x-x2)
x1=-1, x2=3, 于是 y=a(x+1)(x-3). ∵抛物线过y 轴上的点（0，3）， ∴把这点坐标代入上面式子，得 y x 2x 3 3=-3a ∴ a=-1. ∴ 所求函数解析式为： y=-1(x+1)(x-3). 即 y= - x2+2x+3 .
2. 过顶点和一普通点的二次函数解析式的确定
由于抛物线 y a ( x h) 2 k 顶点坐标是 (h，k ) ， 反之，已知顶点坐标为 (h，k ) ，则可设函数解析式为 2 y a ( x h) k 。 【例题】已知某抛物线的顶点坐标 (3， 4) 且过点 (1， 8) ，求它的函数解析式。 解：∵顶点坐标是 (3， 4) 2 ∴可设函数解析式为 y a( x 3) 4 又过点 (1， 8) ∴ 8 a(1 3) 2 4 解得 a 1 ∴函数解析式为 y ( x 3) 2 4 2 即 y x 6 x 13