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(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 强调：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.ABCDEF判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．强调：①有平行线时，用预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例2、如图,AB ⊥BD,CD ⊥BD,P 为BD 上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD 上由B 点向D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例3、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C =90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
初中数学知识点：相似三角形的三个判定定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
要点诠释：
（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
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三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形的判定定理:(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(简叙为两角对应相等两三角形相似).(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.射影定理射影定理（又叫欧几里德定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
全等三角形1. 三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL，属于SSA)，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
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1、 相似三角形的定义
如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．
如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中，
A A ∠=∠， ADE
B ∠=∠，AED
C ∠=∠；
1
2AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作
ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分
别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．
用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．
根据相似三角形的定义，可以得出：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．
（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、 相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．
如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．
相似三角形判定定理1
A B
C
D
E
A
B
C D
E
A
B C
D
E
D
A
B
C
E
2 / 7
A
B
C
A 1
B 1
C 1
3、 相似三角形判定定理1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．
如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．
常见模型如下：
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A
B
C
D
E
F
A
B
C
D E
1
2 3
A
B
C
D
E
【例1】 根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来．
（1）70A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，50E ∠=︒； （2）40A ∠=︒，80B ∠=︒，80E ∠=︒，60F ∠=︒．
【例2】 如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中有哪几对
相似三角形？
【例3】 如图，1=2=3∠∠∠，那么图中相似的三角形有哪几对？
【例4】 如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．
求证：AE AC AD AB =．
4 / 7
A B
D C
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E A
B C D
E
【例5】 如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =，求:AC BC 的值．
【例6】 如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，AE AD ⊥交CB 延长线于点E ，则BAE ∆相
似于
．
【例7】 如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长．
【例8】 如图，AB BD ⊥，ED BD ⊥，点C 在线段BD 上运动，1ED =，4BD =，4AB =，若ABC
∆与CDE ∆相似，求BC 的值．
5 / 7
A
B
C
D E
F
O
A
B
C
D
E
A
B
C P
【例9】 如图，ABC ∆是等边三角形，120DAE ∠=︒，求证AD AE AB DE =．
【例10】 正方形ABCD 中，E 是AD 中点，BM CE ⊥于点M ，6AB =厘米，求BM 的长．
【例11】 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，联结BO 交
AD 于点F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．
求证：ABF ∆∽COE ∆．
【例12】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内一点，且135APB APC ∠=∠=︒．
求证：CPA ∆∽APB ∆．
6 / 7
A B
C
D
E F
M
A
B C
D
E F
G
A
B C
D
E F G
H
【例13】 如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，且2AB CD =，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF
与BD 相交于点M ．
（1）求证：EDM ∆∽FBM ∆； （2）若6DB =，求BM ．
【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且
EDF ABE ∠=∠．
（1）求证：DEF ∆∽BDE ∆； （2）DG DF DB EF =．
【例15】 如图，已知ABC ∆、DEF ∆均为等边三角形，D 、
E 分别在边AB 、BC 上，请找出一个与BDE ∆相似的三角形，并加以证明．
7 / 7
A
B
C D
E F A
B
C
D
E
F
O
【例16】 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OF BD ⊥于点O ，
交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ． 求证：2AO OE OF =．
【例17】 如图，在ABC ∆中，12AB AC ==，6BC =，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且
BEC ACB ∠=，BE 的延长线与边AC 相交于点F ．
（1）求证：BE CD BD BC =；
（2）设AD x =，AF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．。
