相似三角形的判定定理1
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1、 相似三角形的定义
如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等,且它们各有的三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形.
如图,DE 是ABC ∆的中位线,那么在ADE ∆与ABC ∆中,
A A ∠=∠, ADE
B ∠=∠,AED
C ∠=∠;
1
2AD DE AE AB BC AC ===.由相似三角形的定义,可知这两个三角形相似.用符号来表示,记作
ADE ∆∽ABC ∆,其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分
别是对应顶点;符号“∽”读作“相似于”.
用符号表示两个相似三角形时,通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上.
根据相似三角形的定义,可以得出:
(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;两个相似三角形的对应边的比,叫做这两个三角形的相似比(或相似系数).
(2)如果两个三角形分别与同一个三角形相似,那么这两个三角形也相似. 2、 相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似.
如图,已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ,则ADE ∆∽ABC ∆.
相似三角形判定定理1
A B
C
D
E
A
B
C D
E
A
B C
D
E
D
A
B
C
E
2 / 7
A
B
C
A 1
B 1
C 1
3、 相似三角形判定定理1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似. 可简述为:两角对应相等,两个三角形相似.
如图,在ABC ∆与111A B C ∆中,如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠,那么ABC ∆∽111A B C ∆.
常见模型如下:
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A
B
C
D
E
F
A
B
C
D E
1
2 3
A
B
C
D
E
【例1】 根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似,并说明理由;如果相似,那么用符号表示出来.
(1)70A D ∠=∠=︒,60B ∠=︒,50E ∠=︒; (2)40A ∠=︒,80B ∠=︒,80E ∠=︒,60F ∠=︒.
【例2】 如图,E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点,CE 交AD 于点F .图中有哪几对
相似三角形?
【例3】 如图,1=2=3∠∠∠,那么图中相似的三角形有哪几对?
【例4】 如图,D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点,且AED B ∠=∠.
求证:AE AC AD AB =.
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A B
D C
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E A
B C D
E
【例5】 如图,Rt ABC ∆在中,90C ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,且:9:4AD BD =,求:AC BC 的值.
【例6】 如图,ABC ∆中,90BAC ∠=︒,D 是BC 中点,AE AD ⊥交CB 延长线于点E ,则BAE ∆相
似于
.
【例7】 如图,90ACB CED ∠=∠=︒,CD AB ⊥于点D ,3AC =,4BC =,求ED 的长.
【例8】 如图,AB BD ⊥,ED BD ⊥,点C 在线段BD 上运动,1ED =,4BD =,4AB =,若ABC
∆与CDE ∆相似,求BC 的值.
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A
B
C
D E
F
O
A
B
C
D
E
A
B
C P
【例9】 如图,ABC ∆是等边三角形,120DAE ∠=︒,求证AD AE AB DE =.
【例10】 正方形ABCD 中,E 是AD 中点,BM CE ⊥于点M ,6AB =厘米,求BM 的长.
【例11】 如图,在Rt ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥于点D ,点O 是AC 边上一点,联结BO 交
AD 于点F ,OE OB ⊥交BC 边于点E .
求证:ABF ∆∽COE ∆.
【例12】 如图,在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC BC =,P 是ABC ∆内一点,且135APB APC ∠=∠=︒.
求证:CPA ∆∽APB ∆.
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A B
C
D
E F
M
A
B C
D
E F
G
A
B C
D
E F G
H
【例13】 如图,在梯形ABCD 中,AB //CD ,且2AB CD =,点E 、F 分别是AB 、BC 的中点,EF
与BD 相交于点M .
(1)求证:EDM ∆∽FBM ∆; (2)若6DB =,求BM .
【例14】 如图,在ABC ∆中,AB AC =,DE //BC ,点F 在边AC 上,DF 与BE 相交于点G ,且
EDF ABE ∠=∠.
(1)求证:DEF ∆∽BDE ∆; (2)DG DF DB EF =.
【例15】 如图,已知ABC ∆、DEF ∆均为等边三角形,D 、
E 分别在边AB 、BC 上,请找出一个与BDE ∆相似的三角形,并加以证明.