第二章单自由度无阻尼系统的振动

第二章 单自由度无阻尼系统的振动单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。

系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广义坐标可以是线位移、角位移等。

单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。

此外，许多工程实际问题在一定条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。

单自由度系统的力学模型如图2-1所示，图中，m 为质量元件（或惯性元件），k 为线性弹簧，C 为线性阻尼器。

图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼，则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力，则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系统作自由振动。

下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振动。

2—1 自由振动图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。

现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。

取质量m 的静平衡位置为坐标原点，取x 轴铅直向下为正，当系统处于平衡位置时有，δk mg =，故有静位移δ=mg/k （a ）当系统处在位置x 处时，作用在质量上的力系不再平衡，有：mg x k xm ++-=)(δ (b) 式中:22/dt x d x = 是质量的加速度，将（a ）式代入（b ）式；则得 kx xm -= 即 0=+kx xm （2-1） 注意，上式中-kx 是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x 的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。

由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。

将（2-1）式改写成 0=+x m k x，令2p mk= 则得 02=+x p x （2-2）这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。

其解为pt D pt D x sin cos 21+= （2-3） 式中两个积分常数D 1及D 2由初始条件确定。

令t=0时，x(0)=x 0 ，0)0(x x =，得 D 1=x 0，D 2=0x/p 。

将D 1、D 2值代入（2-3）式,得 pt pxpt x x sin cos 00 += （2-4）由式（2-4）可见，由初始条件引起的自由振动是按正弦、余弦函数变化的两个简谐运动组成的，这两个同频率的简谐运动仍可合成为一个简谐运动。

令：2020)/(p x x A +=（2-5）001xpx tg -=ϕ (2-6)则式（2-4）可改写为)sin(ϕ+=pt A x （2-7）上式表示无阻尼自由振动是简谐振动，其运动图线如图2-3所示。

上式中A 称为振幅，φ称为初相角。

p 称为振动系统振动的圆频率。

其表达式为m k p = （rad/s ） （2-8）每秒时间内的振动次数称为系统的振动频率，用f 表示。

m k P f ππ212/==（HZ ） （2-9）系统的振动重复一次所需要的时间间隔称为振动周期，用T 表示。

k m f T π2/1==（s ） （2-10）由此可见，简谐振动的振幅A 与初相角φ的大小取决于p 、x 0、0x的数值，这就是说A 与φ不仅取决于系统的k 与m ，而且还随初始条件的不同而改变；而振动频率及周期只与系统的本身性质（弹性与惯性）有关，而与初始条件无关，它们是振系的固有特征，通常称为固有频率与固有周期。

同样质量的两个系统，弹簧刚度小的系统固有频率低，弹簧刚度大的系统固有频率高；而刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。

系统的固有频率也可以从弹簧的静变形算出。

由式（a ）可得δ//g m k =，代入（2-9）式即得δπ/21g f =（2-11）[例2-1] 均匀悬臂梁长为L ，弯曲刚度为EJ ，重量不计，自由端附有重P=mg 的物体，如图2-4所示。

试写出系统的振动微分方程，并求出固有频率。

解：将该系统简化为单自由度振动系统，悬臂梁相当 一根弹簧。

由材料力学中悬臂梁的挠度公式知，当在梁的自由端作用一垂直力P 时，该点的静挠度为EJ pL 3/3=δ，故悬臂梁的刚度3/3/L EJ p k ==δ。

所以梁端物体的振动微分方程为y LEJym 33-= 即 033=+y mL EJy固有频率为 3321mL EJf π=。

在振动系统中，常遇到多个弹簧以不同的方式连接的问题，其中常见的为弹簧的串联与并联，以下研究这两种连接方式下振动系统的固有频率及弹簧刚度。

1.弹簧并联 设物块在重力m g 作用下作平移，其静变形为δst ，两个弹簧分别受力为F 1和F 2（图2-5a 、b ），因弹簧变形量相同，因此 st k F δ11=， st k F δ22= 在平衡时有mg=F 1+F 2=(k 1+k 2)δSt令k eq =k 1+k 2 k eq 称为等效弹簧刚度系数，上式成为mg= k eq δST或δST = mg/k eq因此上述并联系统的固有频率为 mk k mk p eq 21+==由此可见，当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。

这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。

2.弹簧串联 图2-6所示两个弹簧串联，每个弹簧受的力都等于物块的重量mg ，因此两个弹簧的静伸长分别为11k mg st =δ， 22t k mgS =δ 两个弹簧总的静伸长⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=212111k k mg st st st δδδ 若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为k eq ，则有eq st k mg /=δ 比较上面两式得21111k k k eq += 或 2121k k k k k eq +=上述串联弹簧系统的固有频率为)(2121k k m k k mk p eq +==由此可见,当两个弹簧串联时,其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。

这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形。

应注意，判断弹簧是并联还是串联，不能按表面形式来划分，而须从力和位移的分析来判断，一般，若各弹簧受力相等则为串联，而变形相等则为并联。

[例2-2] 图2-7所示并联弹簧系统，假定杆AB 为刚性杆，刚杆可以在图示平面内绕O 点偏转，求杆上O 点的等效弹簧刚度。

解：假定在O 点有作用力Q ，则A 、B 两点的作用力Q A 、Q B 分别为： ,Q b a b Q A +=Q ba a Q B += A 、B 两点的弹簧变形B A δδ,分别为：1)(k b a QbA +=δ2)(k b a QaB +=δ点O 的位移为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=+-+=12222121)()()()()(k b k a b a Q b a a k b a Qb k b a Qa k b a Qb b a aA B A O δδδδ所以，等效弹簧刚度)/()(/12222k b k a b a Q k O ++==δ当=2k a 1k b 时,即A 、B 、O 点的位移相等时，k=k 1+k 2。

除弹簧与质量组成的振动系统外，工程中还有很多振动系统，如扭振系统、多体系统等，这些系统形式上虽然不同，但它们的运动微分方程却有相同的形式。

图2-8为一扭振系统，其中圆盘对于中心轴的转动惯性为Ⅰ，刚性圆盘固结在扭杆的一端。

扭杆另一端固定，圆盘相对于固定端的扭转角度用ϕ表示，扭杆的扭转刚度系数为k t ，它表示使圆盘产生单位扭转角所需的力矩。

根据刚体转动微分方程可建立圆盘转动的运动微分方程为ϕϕt k dtd I -=22 令Ik t=2ω,则上式可变为0222=+ϕωϕdtd （2-12） 此式与式（2-2）形式相同，其解亦类似，即其通解为)sin(θϕ+=pt A其固有频率、固有圆频率及周期分别为 I k z f t /1π=，,/I k p t = t k I T /2π= （2-13） 振幅A 和初相角θ也决定于扭转振动的初始条件。

若t=0时，θ=θ0 ，0θθ =,则 2202P A θθ += 001θθ Ptg -=φ[例2-3] 可绕水平轴O 摆动的物体称为复摆（亦称物理摆），设物体的重量为W ，对轴O 的转动惯量为I O ，重心C 至轴O 的距离为a ，如图2-9所示。

求复摆微幅振动的微分方程及固有频率。

解：以θ表示摆在任一瞬时偏离垂直平衡位置的角位移。

此时，重心C 作圆弧运动，重力的切向分力Wsin θ将产生一个恢复力矩Wasin θ。

根据刚体定轴转动的微分方程，可得复摆绕定轴o 转动的微分方程为I O ＝θ-Wasin θ 在θ微小时，可令sin θ=θ，于是上式可写为00=+θθI Wa这就是所求的振动微分方程。

它的通解)sin(ϕθ+=t I waA o，固有圆频率为oI wa p =，固有频率为：oI wa f π21=（2-14）由于计算形式复杂的构件的转动惯量相当困难，方程（2-14）提供了一个用实验确定转动惯量的方法。

设物体的重量w 与距离a 均为已知，由微福摆动实验测出固有频率f 后，就可由（2-14）式计算出转动惯量I 0，I o ＝wa/(2πf)2.也可再根据转动惯量的平行轴定量计算出物体绕重心点转动惯量，2a gw I I O C -=。

2—2计算固有频率的能量法能量法是从机械能守恒定律出发的，对于计算较复杂系统的固有频率往往更为方便。

在介绍能量法以前，先将有关动能与势能的计算结果简述如下： 1.动能T1） 质量为m 的质点（或者平动刚体）在速度为v 时，T ＝221mv ； 2）定轴转动的刚体，在对转轴转动惯量为I ，角速度为ω时，T ＝221ωI ；3) 平面运动的刚体，T=2222121ωC c I mv +(式中c υ表示物体质心的速度，I C 表示物体通过质心且垂直于运动平面的轴的转动惯量)。

2.势能U ： 1）弹性体的势能，等于外力使弹性体产生变形过程中所做的功。

螺旋弹簧伸长（或缩短）x 时，2021kx kxdx U X⎰==，转轴有扭角θ时，221θt k U =；2）刚体的重力势能，U=PZ C (P 为重力，Z C 为从任意选定的某一基准位置量起重力P 的垂直坐标，高出基准位置时Z C 为正值，反之为负值)。

对于无阻尼自由振动来说，系统没有能量损失，振系在自由振动时的动能和势能之和（即机械能）保持常数，令T 和U 分别代表振系的动能和势能，有T ＋U ＝常数 或0)(=+U T dtd（2-15） 利用（2-15）式，可建立保守系统的运动微分方程，进而可求系统的固有频率，如对于图2-2所示单自由度无阻尼系统，动能为T=221xm ，势能为U=221kx 。