专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．
【知识点展示】
（一）空间平行关系
1.直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义 定理
图形
条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b
结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b
2. 面面平行的判定与性质
判定
性质
定义 定理
图形
条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，
a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b α∥β，a⊂β
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α
3.判断或证明线面平行的常用方法：
利用线面平行的定义，一般用反证法；
利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)
利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
（二）平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【常考题型剖析】
题型一：与线、面平行相关命题的判定
例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m//，m//n，则n// B．若m//，n//，则m//n
C．若m//，n，则m//n D．若m//，m，＝n，则m//n
《8.5 空间直线、平面的平行》复习教案
8.5.1 直线与直线平行
【基础知识拓展】
1．求证两条直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分利用好平面几何知识；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．
2．等角定理是立体几何的基本定理之一．对于空间两个不相同的角，如果它们的两组对应边分别平行，则这两个角相等或互补．当角的两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等；当两组对应边一组同向一组反向时，两角互补．
【跟踪训练】
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于空间的三条直线a，b，c，如果a∥b，a与c不平行，那么b与c不平行．( )
(2)如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等．( )
(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )
(4)对于空间直线a，b，c，d，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．做一做
(1)已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
(2)如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°.求证：GH∥MN.
答案 (1)B
(2)证明：如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上．
因为M，N分别为△PAB，△PAC的重心，
所以QMMB＝QNCN＝12，则MN∥BC.
又G，H分别为PB，PC的中点，
所以GH∥BC，
所以GH∥MN.
【核心素养形成】
题型 基本事实4及等角定理的应用
例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
1 / 21 备战高考数学复习考点知识与题型讲解
第53讲 空间直线、平面的平行
考向预测
核心素养
直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想．
直观想象、
逻辑推理
一、知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) l∥aa⊂αl⊄α
⇒l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) l∥αl⊂βα∩β＝b
⇒l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
2 / 21 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b
⇒a∥b
[提醒] 三种平行关系的转化
常用结论
1．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
2．平行关系有关的性质
(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(3)同一条直线与两个平行平面所成角相等．
二、教材衍化
1．(人A必修第二册P143习题8.5T1(1)改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】
题型1：直线、平面平行的判断及性质
【典型例题】
[例1]►(1)如图,在四面体PABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP.
►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,
AB＝6,DC＝3,若M为PA的中点,求证：DM∥平面PBC.
►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF.
[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：
①B,C,H,G四点共面；
②平面EFA1∥平面BCHG.
►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：
①EG∥平面BB1D1D；
②平面BDF∥平面B1D1H.
【变式训练】 1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：AP∥GH.
3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.
4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.
(1)求证：E,B,F,D1四点共面；
(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.
题型2：直线、平面垂直的判断及性质
【典型例题】
[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD,
