湖南省长沙一中2017年高考数学二模试题 文(含解析)

长沙市 # 二" $ " % 届高三模拟试卷 !
数学 ! 文科 " 参考答案
一# 选择题$ 本大题共" 每小题&分% 在每小题给出的四个选项中% 只有一项是符合题目要求的& #小题% " 解析( % % % % * % * % % * % 故选 ' ! " ' !() " # ) * & "() # ! # ## ) !$"() " # $ !' " # % %(! & %! , ! " ! " 解析( 设 则%! " % 所以 解得%( " %故选 +$ ( # +!' & , & $% , (! # , & , (! & # & , % # , # % # & (! "
)
! " 解析( 由. ! " % 得$ % 即# % + , 是+ , 的必要不充分条件% 故选 ' ) ' / #! # $ #! # " ## ) ## ) # ## ) $ !' # # # # # " " " ! & # ) " 故选 " " " " " # ! " 解析( 依题意 '( - # - ) - * - & ( ( % * 0!' 0$ " ) # # # # # # " ! #
# $ 3 1 3 # 1 ! # 3 " # 所以 6#(& 1 $ ) ) ) % $ 1 % 7 , & " $ 3 * $ 3 # $ 3 ) $

而 ，
故 时 ， 单调递减； 时 ， 单调递增；
而 ，
故 ， 或 ，
所以 ．（12分）
22．解：（1）由 知 ，
故曲线 的直角坐标方程为： ．
将 ， 代入 知
曲线 的直角坐标方程为 （5分）
（2）曲线 是圆心为 ，半径为1的圆，
故P点坐标为 ，代入 求得
．（10分）
23．解：（1）当 时， ，
故 的最小值为2，当且仅当 时取到最小值．（5分）
8．某同学为实现“给定正整数 ，求最小的正整数 ，使得 ”，设计程序框图如下，则判断框中可填入（）
A． B． C． D．
9．若 ， ，则 的最大值与最小值之和是（）
A．0B． C．2D．6
10．函数 的图像大致为（）
A．B．Байду номын сангаас．D．
11． 中， ， ，则 的周长为（）
A． B．
C． D．
12． 、 分别是双曲线 （ ， ）的左顶点和右焦点， 、 在双曲线的一条渐近线上的射影分别为 、 ， 为坐标原点， 与 的面积之比为 ，则该双曲线的离心率为（）
因为 是直径，所以 ，或 、 均在坐标原点．
因此 ，而 ，
故有 ，即 ，（3分）
另一方面，设 是曲线 上一点，
则有 ，
中点纵坐标为 ，
故以 为直径的圆与 轴相切．
综上可知 点轨迹 的方程为 ．（5分）
（2）设直线 的方程为 ，
由 得：
设 ， ，则有 ．（8分）
由 对 求导知 ，
从而曲线E在P处的切线斜率 ，
湖南省长沙市2017届高三年级统一模拟考试文科数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

长沙市一中2017届高考模拟卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择A选项.2. 若复数的实部与虚部相等，则实数的值为 ( )A. 3B. -3C.D.【答案】D【解析】由题意：，由题意可得：，解得：.本题选择D选项.3. 已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为 ( )A. B. C. D. 1【答案】B【解析】由题意可得：，满足题意时：，解得：或，其中：满足题意，，不满足题意，综上可得：函数有极值点的概率：.本题选择B选项.4. 如图，若，则输出的数等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】阅读流程图可得，该流程图计算的数值为：.本题选择C选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．5. 经过点，渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为( )...A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设渐近线方程为，则圆的圆心（3,0）到渐近线的距离：，所以.再设双曲线的方程，因为过，代入坐标计算得.考点：直线与圆相切，双曲线及其渐近线方程.6. 已知三棱锥的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】问题等价于：三棱锥A−BCD的棱长全相等,E是AD中点,则直线CE与直线BD所成角的余弦值是多少.下处理该问题：如图,取AB中点F,连接EF,因为E. F分别为AD、AB的中点,则EF为三角形ABD的中位线,所以EF∥BD，所以直线EF与CE所成的角即为直线CE与直线BD所成角，因为三棱锥A−BCD的棱长全相等，设棱长为2a，则EF=a，在等边三角形ABC中，因为F为AB的中点，所以CF为边AB上的高，所以，则CE=CF=，在三角形CEF中,.所以,直线CE与直线BD所成角的余弦值为.本题选择B选项.7. 已知函数，则下列说法正确的为( )A. 函数的最小正周期为B. 在单调递减C. 的图象关于直线对称D. 将的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象【答案】D【解析】函数的解析式：，函数的最小正周期为：，选项A 错误；，函数在该区间单调递增，选项B 错误；当时，，函数不关于对称，选项C 错误；...将的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到函数的图象，该函数为奇函数，选项D 正确. 本题选择D 选项.点睛：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋ (k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2k π≤ωx ＋φ≤＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由＋2k π≤ωx ＋φ≤＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x 、ω.利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋ (k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋ (k ∈Z )得其对称轴．8. 已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为,所以，，验证选项可知A、B、C均不符合，故选D．考点：1．利用求和公式求项；2．利用递推公式求项．9. 已知实数、满足时，的最大值为1，则的最小值为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由(a⩾b>0)得，∵a⩾b>0，∴直线斜率k=∈[−1,0)，平移直线y=x+bz,当直线y=x+bz经过点A时,y=x+bz的截距最大，此时z最大为1，由,解得,即A(1,4)，此时，∴，当且仅当即b=2a时取等号，但此时不满足a⩾b，∴基本不等式不成立，设，∵a⩾b>0，∴0<t⩽1，...则在(0,1]上是单调递减的，∴当t=1时,g(t)=5+t+4t取得最小值g(1)=5+1+4=10∴a+b的最小值为10，本题选择D选项.10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A−BCD.作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点。

（这是边文,请据需要手工删加）2017年湖南省普通高中学业水平考试模拟试卷二(附中版）科目：数学（Ⅱ)(试题卷)注意事项：1．答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。

姓名____________________准考证号____________________祝你考试顺利！数学(Ⅱ)试题卷(附中版二)第页（共4页)（这是边文,请据需要手工删加)2017年湖南省普通高中学业水平考试模拟试卷二(附中版）数学（Ⅱ）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟，满分100分．一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6｝，集合A＝错误!,B＝错误!,则A∩∁U B 等于A.错误!B.错误!C.错误!D．2．函数f（x）＝sin错误!的一个单调增区间为A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．9π＋42B ．36π＋18C.错误!π＋12D.错误!π＋184．已知直线l 1:错误!x －错误!y ＋2＝0,直线l 2：3x ＋my －1＝0，且l 1⊥l 2,则m 等于A ．－1 B. 6或－1 C. －6 D 。

－6或15．已知错误!是等比数列，前n 项和为S n ，a 2＝2，a 5＝错误!,则S 5＝ A 。

错误! B.错误! C.错误! D 。

错误!6．已知向量a ＝(1，k ），b ＝(2,1），若a 与b 的夹角大小为90°，则实数k 的值为A ．－12B.错误! C ．－2 D ．2 7．设变量x ,y 满足约束条件错误!，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为A ．11B ．10C ．9D ．8。

长沙市一中2017届高考模拟卷(二)数学(理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数+等于( )A. B. C.-8 D. 8【答案】A【解析】，故选A.2. 已知,,若,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知可得，当时，；当，，由知，当时不合题意，则，，故选D.3. 在区间[1,2]上任选两个数,，则的概率为( )A. B. C. D.【答案】A则满足的概率等于，故选A.4. 若（）是偶函数,则有序实数对（）可以是( )A. B. C. (1,1) D. (-1,1)【答案】D【解析】，，∵是偶函数，∴只要即可，可以取，，故选D.点睛：本题主要考查了利用两角和与差的三角函数进行三角函数式的化简，以及三角函数奇偶性的判断，熟练掌握三角函数的性质是关键；已知函数的奇偶性求参数的问题解决的方法主要有三：（1）奇偶性的定义；（2）数形结合；（3）根据基础函数平移伸缩变换得出奇偶性。

5. 朱世杰是历史上最未打的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”.其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”.在这个问题中，前5天应发大米( )A. 894升B. 1170升C. 1275升D. 1457升【答案】B【解析】∵第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，∴第5天派出：人，∴前5天共派出（人），∴前5天应发大米：（升），故选B.6. 平行四边形中，，，，则的值为( )A. -4B. 4C. -2D. 2...【答案】A【解析】由知为的中点，，，故选A.7. 执行下面的程序框图，如果输入的,，则输出的值分别为( )A. 4,7B. 4,56C. 3,7D. 3,56【答案】C【解析】执行如图所示的程序框图，输入，，满足都是偶数，，，满足都是偶数，，满足都是偶数，，，，不满足都是偶数，满足，，，，满足，，，不满足，退出循环，输出，，故选C.8. 如图，某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及两条对角线，则它的表面积为( )A. B. C. 3 D. 4【答案】B【解析】如图所示，该几何体是同底面的上下两个正四棱锥．则该几何体的表面积，故选B.9. 如图，有一直角墙角、两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0＜a＜12)，不考虑树的粗细.先用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位：）的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设长为，则长为，又因为要将点围在矩形内，∴，则矩形的面积为，当时，当且仅当时，，当时，，，分段画出函数图形可得其形状与C接近，故选C.点睛：本题主要考查了函数在实际生活中的应用，解决本题的关键是将面积的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出面积的解析式；求矩形面积的表达式，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可.10. 双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点的位置变化时，周长的最小值为( )A. 8B. 10C.D.【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，可得，，，，双曲线方程为，设双曲线的上焦点为，则，的周长为，当点在第一象限时，的最小值为，故的周长的最小值为10，故选B.11. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如右图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】如图球的截面图就是正四面体中的，已知正四面体棱长为2所以，所以，截面面积是，故选C.点睛：本题考查球内接多面体以及棱锥的特征，考查空间想象能力，是中档题；将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的的面积研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面....12. 若函数（，）在上存在零点，且，则的取值范围是( )A. B. [-3,-2] C. [-2,0] D. [-3,0]【答案】D【解析】令，，则在上存在零点，当有一个零点时，可得，结合作出不等式所表示的区域：联立，可得，故的范围是，若有两个零点，则必有无对应区域，综上所述，的取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查了一元二次函数零点的分布问题，不等式组所对应的区域问题，换元思想，数形结合思想的应用等；在该题中，首先利用换元法将题意变为一元二次函数根的分布，利用树形结合按照一个零点和两个零点进行讨论，结合作出不等式组对应的区域即可得到的范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在的展开式中，项的系数是__________（用数字作答）．【答案】35【解析】由二项式定理展开式可得，故答案为.14. 设不等式组，表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件，由，解得，此时满足，解得，∴实数的取值范围是，故选.点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用对数函数的图象和性质，通过数形结合是解决本题的关键；结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题.15. 直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点，若，，则__________．【答案】3【解析】过A，B，F作准线的垂线，垂足分别为，，，则，，，∵，∴，∴直线的斜率为，∴，∴是的中点，∴，即，故答案为3.16. 设数列满足，，，，….则数列的前20项的和是__________．【答案】2101【解析】由题中条件知，，，，，，…即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，所以该数列的前20项的和为，故答案为2101.点睛：本题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，考查学生的运算能力，难度一般；先利用题中条件找到数列的特点，即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，再对其和用分组求和的方法找到即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在平面四边形中，已知，，，在边上取点，使得，连接，.若，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，正弦定理求出；（Ⅱ）在中，由余弦定理得，得，由余弦定理得、在直角中，求得，在中，由余弦定理得即可.试题解析：（Ⅰ）在中，据正弦定理，有，∵，，.所以.（Ⅱ）由平面几何知识，可知，在中，因为，，所以，所以.在中，据余弦定理有，所以.点睛：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.18. 如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，，，与相交于，且，矩形底面，为线段上一动点，满足.（Ⅰ）若平面，求实数的值；（Ⅱ）当时，锐二面角的余弦值为，求多面体的体积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）12.【解析】试题分析:（Ⅰ）由题意先得，可得，由线面平行性质定理可得四边形为平行四边形，即，故可得的值；（Ⅱ）运用面面垂直性质定理可得面，故而可得面,以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，由三角形全等得的长度，设求出平面的法向量和平面的法向量，根据二面角的余弦值可得的值，将多面体分割为两个四棱锥，求其体积即可.试题解析：（Ⅰ）连接，在梯形中，，∴，∴.∵平面，平面平面，∴.又，∴四边形为平行四边形，∴.∴，∴.（Ⅱ）∵梯形底面，平面平面，∴底面.∵，∴底面.以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，易证，所以，所以，同理，...所以，，，，.，.设平面的法向量为，平面的法向量为.则，令，得.，令得.所以，解得：.所以多面体的体积为，.19. 专家研究表明， 2.5是霾的主要成份，在研究 2.5形成原因时，某研究人员研究了 2.5与燃烧排放的、、、等物质的相关关系.下图是某地某月 2.5与和相关性的散点图.（Ⅰ）根据上面散点图，请你就，对 2.5的影响关系做出初步评价；（Ⅱ）根据有关规定，当排放量低于时排放量达标，反之为排放量超标；当 2.5值大于时雾霾严重，反之雾霾不严重.根据 2.5与相关性的散点图填写好下面列联表，并判断有多大的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”：排放量达标排放量超标（Ⅲ）我们知道雾霾对交通影响较大.某市交通部门发现，在一个月内，当排放量分别是60，120,180时，某路口的交通流量（单位：万辆）一次是800，600,200，而在一个月内，排放量是60,120,180的概率一次是，，（），求该路口一个月的交通流量期望值的取值范围.附：【答案】（Ⅰ）对有正相关关系，而对没有相关关系；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据左图的散点分布在一个条形区域内，可得与具有正相关关系，而右图散点之间分布较散不具有较强的相关关系；（Ⅱ）根据散点图完成列联表，计算出的值，可判断结果；（Ⅲ）根据概率和为将用表示，计算出期望值根据的范围得到期望的范围.试题解析：（Ⅰ）对有正相关关系，而对没有相关关系.（Ⅱ）列联表如下：排放量达标排放量超标由表中数据可知.故有99.5%的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”.（Ⅲ）设交通流量是，则得如下分布列：交通流量因为，所以.即，即交通流量期望值在566.7万辆到800万辆之间.20. 设，，，是椭圆：（）的四个顶点，四边形是圆：的外切平行四边形，其面积为.椭圆的内接的重心（三条中线的交点）为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据点到直线的距离以及菱形的面积公式可得到关于的二元二次方程组，解出方程组可得椭圆方程；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，易得三角形的面积，当直线斜率存在时，设直线的方程，，，联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理以及，由为重心，可得点坐标，点在椭圆上代入化简整理可得，利用弦长公式以及点到直线的距离公式求出及，由与整体代换思想相结合可得最后结果.试题解析：（Ⅰ）因为四边形是圆外切平行四边形，所以，又，所以，，...故所求椭圆的方程为.（Ⅱ）当直线斜率不存在时，因为为的重心，故为左、右顶点，不妨设，则直线的方程为，易得，到直线的距离，所以.设直线方程为：，，.由得，则.即，∴，∴.∵为的重心，∴，∵点在椭圆上，故有，化简得.∴.又点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到）.∴.综上可得，的面积为定值.21. 已知函数，，.（Ⅰ）判断直线能否与曲线相切，并说明理由；（Ⅱ）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）假设直线与曲线相切，设出切点坐标，根据导数的几何意义，化简可得，根据切点既在曲线上又在切线上化简可得,试题解析：（Ⅰ）假设存在这一的实数使得的图象与相切，设切点为，由可知，，即①又函数的图象过定点（1,0），因此，即②联立①、②消去有.设，则，所以在上单调递增，而，，，故存在，使得....所以存在直线能与曲线相切.（Ⅱ）由得.令，则.令，则，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一零点，，此时在上单调递减，在上单调递增.∴，易证，.当时，；当时，.（1）若，则，此时有无穷多个整数解，不合题意；（2）若，即，因为在上单调递减，在上单调递增，所以时，，所以无整数解，不合题意；（3）若，即，此时，故0,1是的两个整数解，又只有两个整数解，因此，解得.所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，为大于零的常数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）若曲线与有公共点，求的取值范围；（Ⅱ）若，过曲线上任意一点作曲线的切线，切于点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）将曲线和化为直角坐标方程，根据两圆有交点等价于圆心距大于等于，小于等于，解出的范围；（Ⅱ）设，由切线长的性质可得，根据正弦函数的范围可得其结果.试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.若与有公共点，则，所以.（Ⅱ）设，由得，当且仅当时取最大值，故的最大值为.23. 选修4-5：不等式选讲设函数，....（Ⅰ）当时，解不等式：；（Ⅱ）若关于的不等式的解集为[-1,7]，且两正数和满足，求证：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可；（Ⅱ）根据不等式的解集求出，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可.试题解析：（Ⅰ）不等式可化为，即①或②或③.由①，得；由②，得；由③，得；所以，原不等式的解集为.（Ⅱ）不等式即，∴，∴且，∴.∴.。

2017年湖南省长沙市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合P＝{x∈N|1≤x≤5}，集合Q＝{x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，则P∩Q等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．[1，2]D．[1，3）2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a＝（）A．B．C．1D．﹣13．（5分）“x＜3”是“ln（x﹣2）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a＝5，则输出的结果是（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．36．（5分）若实数x，y满足不等式组，则x+2y的最小值为（）A．2B．3C．D．147．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（）A．2B．π+4C．D．8．（5分）对于函数f（x）＝a sin x+bx3+cx+1（a，b，c∈R），选取a，b，c的一组值计算f （1）、f（﹣1），所得出的正确结果可能是（）A．2和1B．2和0C．2和﹣1D．2和﹣29．（5分）南北朝时期我国数学著作《张丘建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，的金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（）A．多斤B．少斤C．多斤D．少斤10．（5分）已知点P（x0，y0）是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆C：（x+2）2+（y﹣4）2＝1上的一个动点，则x0+|PQ|的最小值为（）A．B．C．3D．411．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P（0，1），则函数f（x）（）A．有一个对称中心B．有一条对称轴C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增12．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+x（x﹣a）2（a∈R），若存在，使得f（x）＞xf'（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知点P（3cosθ，sinθ）在直线l：x+3y＝1，则sin2θ＝．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且B＝2C，点D为边BC上的一点，且CD＝3，则△ADC的面积为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，D为棱BC上一个动点，设直线PD与平面ABC所成的角θ，则θ不大于45°的概率为．16．（5分）已知向量，若，则的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前项和T n．18．（12分）某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20人，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组[50，55），第二组[55，60），…，第五组[70，75），按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为a：4：10．（1）求a的值，并求这50名学生心率的平均数；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？请说明理由．参考数据：参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d19．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AC，PC⊥BC，E为PB中点，D为AB的中点，且△ABE为正三角形．（1）求证：BC⊥平面P AC；（2）请作出点B在平面DEC上的射影H，并说明理由．若，求三棱锥P﹣ABC的体积．20．（12分）已知平面内一动点M到两定点和连线的斜率之积为（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设直线l：y＝x+m与轨迹E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴点P，当m 变化时，求△P AB面积的最大值．21．（12分）设函数．（1）求函数φ（x）＝f（x）+g（x）的单调递增区间；（2）当a＝1时，记h（x）＝f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（4cosθ﹣5sinθ）+40＝0（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥|2a+1|不恒成立，求实数a的取值范围．2017年湖南省长沙市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合P＝{x∈N|1≤x≤5}，集合Q＝{x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，则P∩Q等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．[1，2]D．[1，3）【解答】解：P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{x|﹣2＜x＜3}，P∩Q＝{1，2}，故选：B．2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a＝（）A．B．C．1D．﹣1【解答】解：设＝bi（b≠0），则a﹣i＝（2+i）•bi＝﹣b+2bi，∴，解得a＝．故选：A．3．（5分）“x＜3”是“ln（x﹣2）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由ln（x﹣2）＜0得0＜x﹣2＜1，得2＜x＜3，则x＜3是2＜x＜3的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a＝5，则输出的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：S＝+…+＝＝．故选：C．5．（5分）已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其渐近线方程为y ＝±x，即bx±ay＝0，圆的圆心为（2，0），半径为，若双曲线的渐近线与圆相切，则有＝，化简可得3a2＝2c2，即＝，则其离心率e＝＝；故选：A．6．（5分）若实数x，y满足不等式组，则x+2y的最小值为（）A．2B．3C．D．14【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z＝x+2y，化为y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A（0，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．故选：A．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（）A．2B．π+4C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个高和底面半径都是2的圆锥的．∴该几何体的表面积S＝+2×＝π+4．故选：D．8．（5分）对于函数f（x）＝a sin x+bx3+cx+1（a，b，c∈R），选取a，b，c的一组值计算f （1）、f（﹣1），所得出的正确结果可能是（）A．2和1B．2和0C．2和﹣1D．2和﹣2【解答】解：∵f（x）＝a sin x+bx3+cx+1，∴f（1）＝a sin1+b+c+1，f（﹣1）＝﹣a sin1﹣b﹣c+1，由f（1）+f（﹣1）＝2，故所得出的正确结果只可能是2和0，其它各组均不满足故选：B．9．（5分）南北朝时期我国数学著作《张丘建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，的金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（）A．多斤B．少斤C．多斤D．少斤【解答】解：设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{a n}，则a1+a2+a3＝4，a7+a8+a9+a10＝3，由等差数列的性质得，，∴a2﹣（a8+a9）＝＝﹣．∴级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和少斤．故选：D．10．（5分）已知点P（x0，y0）是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆C：（x+2）2+（y﹣4）2＝1上的一个动点，则x0+|PQ|的最小值为（）A．B．C．3D．4【解答】解：由题意可知圆C的圆心坐标C（﹣2，4），半径为1，抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程x＝﹣1，丨PM丨为点P到准线的距离，由抛物线的定义可知：丨PF丨＝丨PM丨＝x0+1，∴故可知x0+|PQ|＝丨PC丨﹣1+丨PF丨﹣1≥丨+丨﹣2＝丨丨﹣2＝﹣2＝3，即当C与F共线时，x0+|PQ|取最小值，最小值为3．故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，将函数f （x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P（0，1），则函数f（x）（）A．有一个对称中心B．有一条对称轴C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【解答】解：由已知函数的最小正周期为π，得到ω＝2，又函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数解析式为y＝sin（2x+φ+）图象过点P（0，1），得到sin（φ+）＝1，得到φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）；故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+x（x﹣a）2（a∈R），若存在，使得f（x）＞xf'（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞）【解答】解：由f（x）＞xf'（x）成立，可得[′＜0，设g（x）＝＝lnx+（x﹣a）2，则存在，使得g′（x）＜0成立，即g′（x）＝+2（x﹣a）＜0成立，即a ＞x+成立．a＞（x+）min．又x+≥2＝，∴．当且仅当x＝时取等号．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知点P（3cosθ，sinθ）在直线l：x+3y＝1，则sin2θ＝﹣．【解答】解：∵点P（3cosθ，sinθ）在直线l：x+3y＝1，∴3cosθ+3sinθ＝1，两边平方，可得sin2θ＝2sinθcosθ＝﹣，故答案为：﹣．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且B＝2C，点D为边BC上的一点，且CD＝3，则△ADC的面积为6．【解答】解：∵由已知及正弦定理可得：＝，∴cos C＝，可得：sin C＝＝，∴S△ADC＝•CD•b•sin C＝4×＝6．故答案为：6．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，D为棱BC上一个动点，设直线PD与平面ABC所成的角θ，则θ不大于45°的概率为．【解答】解：由题意，直线PD与平面ABC所成的角θ＝45°，AD＝1，BD＝1，或BD＝2，由BC＝3得：∴θ不大于45°的概率P＝＝，故答案为：．16．（5分）已知向量，若，则的最小值为9．【解答】解：根据题意，向量，若，则有•＝ab+1﹣b＝0，即a+＝1；＝（）（a+）＝5+4ab+≥5+2＝9；即的最小值为9；故答案为：9．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前项和T n．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝4﹣2＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2﹣（2n﹣2）＝2n，上式对n＝1也成立．则数列{a n}的通项公式为a n＝2n，n∈N*；（2）＝+22n﹣1＝+22n﹣1＝（﹣）+22n﹣1，数列{b n}的前项和T n＝（1﹣+﹣+…+﹣）+＝（1﹣）+（4n﹣1）＝﹣﹣．18．（12分）某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20人，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组[50，55），第二组[55，60），…，第五组[70，75），按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为a：4：10．（1）求a的值，并求这50名学生心率的平均数；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？请说明理由．参考数据：参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d【解答】解：（1）因为第二组数据的频率为0.032×5＝0.16，故第二组的频数为0.16×50＝8，第一组的频数为2a，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的频数为4所以2a＝50﹣20﹣16﹣8﹣4＝2⇒a＝1；这50名学生心率的平均数为++＝63.7；（2）由（1）知，第一组和第二组的学生共10名，从而体育考生有10×0.8＝8名，∴K2＝≈8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关．19．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AC，PC⊥BC，E为PB中点，D为AB的中点，且△ABE为正三角形．（1）求证：BC⊥平面P AC；（2）请作出点B在平面DEC上的射影H，并说明理由．若，求三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】证明：（1）如图，∵△ABE是正三角形，且D为AB的中点，∴DE⊥AB，∵E为PB的中点，∴P A∥DE，∴P A⊥AB，∵P A⊥AC，AB∩AC＝A，∴P A⊥平面ABC，∴BC⊥P A，又∵PC⊥BC，P A∩PC＝P，∴BC⊥平面P AC．解：（2）如图，过点B作BH⊥CD于H，由（1）知DE⊥平面ABC，∴BH⊥DE，又∵BH⊥CD，DE∩CD＝D，∴BH⊥平面DEC，∴H为点B在平面DEC上的射影，在Rt△ABC中，设AC＝x，则AB＝，CD＝，S△BCD＝＝＝，由，得，解得x＝4，∴AB＝5，PB＝10，P A＝5，∴三棱锥P﹣ABC的体积V＝＝10．20．（12分）已知平面内一动点M到两定点和连线的斜率之积为（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设直线l：y＝x+m与轨迹E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴点P，当m 变化时，求△P AB面积的最大值．【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），依题意得：，化简得：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0．∵直线与椭圆有两个不同交点，由根与系数的关系得：．∴△＝（4m）2﹣12（2m2﹣2）＞0，即且m≠﹣1，0，1．设A，B中点为C，C点横坐标为，．∴，∴线段AB的垂直平分线方程为，∴P点坐标为（）．P到AB的距离d＝．由弦长公式得：|AB|＝•．∴．当且仅当，即m＝∈（）时等号成立．∴△P AB面积的最大值为．21．（12分）设函数．（1）求函数φ（x）＝f（x）+g（x）的单调递增区间；（2）当a＝1时，记h（x）＝f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵，∴φ（x）＝f（x）+g（x）＝+ax﹣3，x＞0，∴φ′（x）＝＝＝，（x＞0）．①当a＞1时，由φ′（x）＞0，得x＞；②当a＝1时，由φ′（x）＞0，得x＞0；③当0＜a＜1时，由φ′（x）＞0，得x＞0．综上所述，当0＜a≤1时，φ（x）＝f（x）+g（x）的单调递增区间是（0，+∞），当a＞1时，φ（x）＝f（x）+g（x）的单调递增区间为（，+∞）．（2）当a＝1时，f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣3，h（x）＝（x﹣3）lnx，∴单调递增，，＞0，∴存在唯一的，使得，即，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，∴h min（x）＝h（x0）＝（x0﹣3）lnx0＝（x0﹣3）（）＝﹣＝6﹣（x0+），记函数r（x）＝6﹣（x+），则r（x）在（，2）上单调递增，∴r（）＜h（x0）＜r（2），即h（x0）∈（﹣），由2，且λ为整数，得λ≥0，∴存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（4cosθ﹣5sinθ）+40＝0（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最小距离．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为+＝1，∵直线l的极坐标方程为ρ（4cosθ﹣5sinθ）+40＝0，∴直线l的直角坐标方程为4x﹣5y+40＝0．（2）在曲线C上任取一点P（5cosα，3sinα），则点P到直线l的距离为：d＝＝，∵sin（α+θ）∈[﹣1，1]．∴当sin（α+θ）＝﹣1时，曲线C上的点到直线l的最小距离为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥|2a+1|不恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）x≤﹣1，|x+1|+|x﹣3|＜6可化为﹣x﹣1﹣x+3＜6，∴x＞﹣2，∴﹣2＜x≤﹣1．﹣1＜x＜3，|x+1|+|x﹣3|＜6可化为x+1﹣x+3＜6，∴﹣2＜x≤﹣1；x≥3，|x+1|+|x﹣3|＜6可化为x+1+x﹣3＜6，∴x＜4，∴﹣2＜x≤﹣1，综上所述，不等式的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）∵f（x）＝|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x+3|＝4当且仅当﹣1≤x≤3时，等号成立，即f（x）min ＝4．∵关于x的不等式f（x）≥|2a+1|不恒成立，∴|2a+1|＞4，∴a＜﹣2.5或a＞1.5．。

2017年湖南高考数学理二轮模拟试题及答案1.设复数，其中i是虚数单位，则的模为( )ABCD1分值: 5分查看题目解析>22.下列说法正确的是( )A“若，则”的否命题是“若，则”B在中，“”是“”必要不充分条件C“若，则”是真命题D使得成立分值: 5分查看题目解析>33.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果( )A4B5C2D3分值: 5分查看题目解析>44.下列四个图中，函数的图象可能是( )ABCD分值: 5分查看题目解析>55.设实数满足，则的取值范围是（）A BCD分值: 5分查看题目解析>66.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为（注：圆台侧面积公式为）( )ABCD分值: 5分查看题目解析>77.已知的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为( )ABCD分值: 5分查看题目解析>88.在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为( )ABCD分值: 5分查看题目解析>99.已知函数的图象关于直线对称，则( )ABCD分值: 5分查看题目解析>1010.已知函数是定义在上的偶函数,为奇函数，,当时，，则在区间内满足方程的实数为( )ABCD分值: 5分查看题目解析>1111.如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是( )A12B13C15D16分值: 5分查看题目解析>1212.已知函数在处取得值，以下各式中：①②③④⑤正确的序号是( )A②④B②⑤C①④D③⑤分值: 5分查看题目解析>填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年湖南省长沙市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合P=，则P∩Q=（）A． B． D．（﹣2016，2017）2．若复数z满足（i为虚数单位），则z为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+2i D．1﹣2i3．设命题p：∀x∈（﹣∞，0），2x＜x2，则￢p为（）A．B．C．∀x∈（﹣∞，0），2x≥x2D．∀x∈时，f（x）≤g（x）．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．22．平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（t为参数），以射线ox为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是+ρ2sin2θ=1．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长．23．已知函数f（x）=．（1）证明：f（x）+|f（x）﹣2|≥2；（2）当x≠﹣1时，求y=的最小值．2017年湖南省长沙市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合P=，则P∩Q=（）A． B． D．（﹣2016，2017）【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出Q中不等式的解集确定出Q，找出P与Q的交集即可．【解答】解：由＜1，即0≤2017﹣x＜1，解得2016＜x≤2016，即Q=若复数z满足（i为虚数单位），则z为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+2i D．1﹣2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】z=x+yi，则=x﹣yi，用复数的基本性质计算得答案．【解答】解：设z=x+yi，则=x﹣yi，∵，∴x2+y2+2x+2yi=3﹣4i，解得x=﹣1，y=﹣2，∴z=﹣1﹣2i，故选：A3．设命题p：∀x∈（﹣∞，0），2x＜x2，则￢p为（）A．B．C．∀x∈（﹣∞，0），2x≥x2D．∀x∈），则切线的斜率是﹣sinx0，故切线AB的方程是：y﹣cosx0=﹣sinx0（x﹣x0），故B（0，cosx0+x0sinx0），A（+x0，0）故|OB|=cosx0+x0sinx0，OA=+x0，即=sinx0，故OA+=2，当x∈（0，]时，2≥2，当且仅当x0=时取“=”，故OB=cos+sin=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．设数列{a n}的前n项和为S n，若点在函数f（x）=﹣x+c的图象上运动，其中c是与x无关的常数，且a1=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n的最小值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）将A n代入直线方程，则S n=﹣n2+cn，由a1=3，即可求得c的值，由a n=S n﹣S n﹣1，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由（1）即可求得数列{b n}的通项公式，根据等差数列的前n项和公式，即可求得T n，根据二次函数的性质，即可求得数列{b n}的前n项和T n的最小值．【解答】解：（1）点在函数f（x）=﹣x+c的图象上运动，则=﹣n+c，则S n=﹣n2+cn，由a1=3，则a1=﹣1+c，c=4，∴S n=﹣n2+4n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣n2+4n）﹣=﹣2n+5，当n=1时，满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=﹣2n+5；（2）=﹣2a n+5=﹣2（﹣2n+5）+5=4n﹣5，∴数列{b n}为等差数列，则数列{b n}的前n项和T n==2n2﹣3n，则当n=1时，T n取最小值，最小值为T1=﹣1，∴数列{b n}的前n项和T n的最小值﹣1．18．某班级50名学生的考试分数x分布在区间时，f（x）≤g（x）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据切线方程求出a的值，求出A的坐标，得到关于b的方程，解出即可；（2）设出切点A，根据切线方程求出A的坐标，从而求出切线方程，整理即可；（3）问题转化为x∈（﹣∞，2]时，f（x）≤x+，令k（x）=x+﹣f（x）=﹣x3+x2+x+，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2﹣2x﹣1，∵f（x）的图象在x=﹣处的切线方程是y=x+，故f′（﹣）=，即3a•﹣2•（﹣）﹣1=，解得：a=1；故f（x）的图象过A（﹣，），故﹣﹣（﹣）+b=，解得：b=，综上，a=1，b=；（2）设直线y=x+与函数g（x）的图象相切于A（x0，y0），∵g′（x）=e x，∴过A点的直线的斜率是g′（x0）=，又直线y=x+的斜率是，故=，解得：x0=﹣，将x0=﹣代入y=e x得点A的坐标是（﹣，），故切线方程为：y﹣=（x+），化简得y=x+，故直线y=x+可以与函数g（x）的图象相切，切点坐标是（﹣，）；（3）要证明：x∈（﹣∞，2]时，f（x）≤g（x），只需证明x∈（﹣∞，2]时，f（x）≤x+，令k（x）=x+﹣f（x）=﹣x3+x2+x+，k′（x）=﹣3x2+2x+，令k′（x）=﹣3x2+2x+=0，解得：x=﹣，x=，故k（x）min=min{k（﹣），k（2）}，∵k（﹣）=0，k（2）=0，故k（x）min=0，故∀x∈（﹣∞，2]，f（x）≤x+成立，∀x∈（﹣∞，2]，令h（x）=g（x）﹣（x+）=e x﹣x﹣，h′（x）=e x﹣，令h′（x）=0，x=﹣，x∈（﹣∞，﹣）时，h′（x）＜0，当x∈（﹣，2]时，h′（x）＞0，故h（x）≥h（﹣）=0，即∀x∈（﹣∞，2]时，g（x）≥x+，由不等式的性质的传递性得：x∈（﹣∞，2]时，f（x）≤g（x）．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．22．平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（t为参数），以射线ox为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是+ρ2sin2θ=1．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是+ρ2sin2θ=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．．（2）直线l的参数方程是（t为参数），即，代入椭圆方程可得：﹣2=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是+ρ2sin2θ=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得： =1．（2）直线l的参数方程是（t为参数），即，代入椭圆方程可得：﹣2=0，∴t1+t2=，t1•t2=﹣，∴|AB|=|t1﹣t2|===．23．已知函数f（x）=．（1）证明：f（x）+|f（x）﹣2|≥2；（2）当x≠﹣1时，求y=的最小值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】（1）通过绝对值不等式放缩可得结论；（2）通过当x≠﹣1时f（x）=＞0，利用基本不等式的推广放缩可得结论．【解答】（1）证明：因为f（x）=≥0，所以f（x）+|f（x）﹣2|=|f（x）|+|2﹣f（x）|≥|f（x）+2﹣f（x）|=2，当且仅当f（x）≥0即0≤f（x）≤2即﹣1﹣2≤x≤﹣1+2时取等号；（2）解：当x≠﹣1时，f（x）=＞0，所以y==++2≥3•=，当且仅当==2即x=﹣1±时取等号，所以所求最小值为．2017年6月29日。

2016-2017学年湖南省长沙市2017届高考模拟试卷（二）文科数学一、选择题：共12题1．已知集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算.因为,所以.2．已知复数，则A.的模为2B.的虚部为-1C.的实部为1D.的共轭复数为【答案】B【解析】本题主要考查复数的实部与虚部、复数的共轭复数与四则运算.，实部与虚部均为，模是，共轭复数是，故答案为B.3．已知命题，命题，则下列为真命题的是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查逻辑联结词、全称命题与特称命题真假的判断三角函数与指数函数，考查了逻辑推理能力. 命题，令x=1，则,故命题p 是假命题，因此命题是真命题；命题，令,则，命题q是真命题，命题是假命题，故命题是真命题.4．一个焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查了有相同渐近线的双曲线的方程的求法.由题意，设所求双曲线方程为,又一个焦点为(0,6),则,所以，则所求双曲线的方程为5．若，且为第三象限角，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查同角三角函数关系、两角和与差公式的应用.由题意因为为第三象限角，所以,则,所以6．已知函数的导函数为，且满足，则A. B.-1 C.1 D.【答案】B【解析】本题主要考查导数的运算与赋值法.,令x=1，则,所以7．已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.由三视图可知，在圆锥内挖去一个正四棱柱，则该几何体的体积V=.8．已知为的三个角所对的边，若，则A.2：3B.4：3C.3：1D.3：2【答案】C【解析】本题主要考查正弦定理、两角和与差公式，考查了转化思想.由正弦定理可得,则，则9．当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为A.6B.8C.14D.30【答案】D【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序:n=4,k=1,S=0;S=2,k=2;S=6,k=3;S=14,k=4;S=30,k=5,此时不满足条件，循环结束，输出S=30.10．如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若之间的空间距离为，则A.-1B.1C.D.【答案】D【解析】本题主要考查折叠问题、三角函数的图象与性质、二面角，考查了空间想象能力.由题意，设周期为T，则,则T=，则，则.11．已知定义在上的函数为增函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查函数的单调性的应用，关键是利用单调性将不等式转化为关于的不等式.若，则，又由，则有，又由函数为增函数，则不等式恒成立可以转化为,解得.12．已知正方体，点分别是线段和上的动点，给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得.其中正确结论的个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.①连接A1D，则A1D⊥AD1,又因为DC⊥平面ADD1A1，所以DC⊥AD1，则AD1⊥平面CDA1，则AD1⊥EA 1因此，当点F与点D1重合时，对于任意给定的点，存在点，使得，故①正确；由①可知，②错误；③只有垂直在平面ADD 1A1内的射影时，，故③正确；④对于任意给定的点，只有平面ADD 1A1时④才正确，显然不存在点G使平面ADD1A1成立，故④错误.因此答案为C.二、填空题：共4题13．已知向量，若，则.【答案】3【解析】本题主要考查平面向量的坐标表示与数量积.由题意，，则14．向面积为的平行四边形内任投一点，则的面积小于的概率为.【答案】【解析】本题主要考查几何概型，确定的面积等于时，点M的位置是解决此时的关键.设边AB与CD之间的距离为h，CD=a，则S=ah，作平行于CD的直线，与边AD、BC的交点分别为E、F，设EF与CD的距离为d，当点M在EF上，且的面积等于时，,则,因此点M在EF与CD之间，即点M到CD的距离的范围是时，的面积小于，所以的面积小于的概率P=.15．若无论实数取何值时，直线与圆都相交，则实数的取值范围是.【答案】【解析】本题主要考查点、直线与圆的位置关系，直线过定点、定点在圆内是解决此题的关系. 直线过定点，因为无论实数取何值时，直线与圆都相交，所以定点在圆的内部，所以1+1+2+2+b<0，所以b<-6,故答案为.16．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分(1寸=10分).已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为寸.【答案】82【解析】本题主要考查等差数列的通项公式的应用.设《易经》中二十四节气晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130，a13=14.8,则d=，所以惊蛰晷影长为a6=a1+5d=82.三、解答题：共7题17．已知数列中，，且.(1)求的值及数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，求.【答案】(1)∵，且，∴，解得，∴，∴；(2)，，.【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了累加法、转化思想与逻辑推理能力.(1)由递推公式，结合条件，先求出，再求出，即可求出的值，再利用累加法求解即可；(2)由(1)可得，化简可得，再利用等差数列的前n项和公式求解即可.18．如图，四边形为菱形，为与的交点，平面(1)证明：平面平面；(2)若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积(平面为底面).【答案】(1)因为四边形的菱形，所以，因为平面，所以，故平面，又平面，所以平面平面；(2)设，在菱形中，由，可得.因为，所以在中，可得.由平面，知为直角三角形，可得，由已知得，三棱锥的体积，故，从而可得，所以的面积为3，的面积与的面积均为，故三棱锥的侧面积为.【解析】本题主要考查线面与面面垂直判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.(1)由题意，易证平面，则结论易得；(2)利用三棱锥的体积求出底面边长与高，再求出侧棱长，即可得出结论.19．在“一带一路”的建设中，中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用.勘探初期数据资料下表：(1)在散点图中号旧井位置大致分布在一条直线附近，借助前5组数据求得回归线方程为，求，并估计的预报值；(2)现准备勘探新井，若通过1、3、5、7号井计算出的的值(精确到0.01)相比于(1)中的值之差(即：)不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？(参考公式和计算结果：,)(3)设出油量与钻探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，在原有井号的井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率.【答案】(1)因为，回归直线必过样本中心点，则，故回归直线方程为，当时，，即的预报值为24；(2)因为，所以，，即，，均不超过10%，因此可以使用位置最接近的已有旧井；(3)由题可知：3，5，6这3口井是优质井，2，4这2口井为非优质井，由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：，共有10种，其中恰有2口是优质井的有，6种，所以所求恰有2口是优质井的概率是.【解析】本题主要考查频数分布表、散点图、回归分析及其应用、古典概型，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)求出平均数，由回归直线必过样本中心点，即可求解；(2)利用公式分别求出的值，结合(1),分别计算，即可得出结论；(3) 由题可知：3，5，6这3口井是优质井，2，4这2口井为非优质井，先求出所有的基本事件，再从中找出所求事件所包含的基本事件，由古典概型的概率公式求解即可.20．已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率存在且不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值.(1)求椭圆的方程；(2)求的值.【答案】(1)∵的焦点为，∴，又∵，∴，∴椭圆的方程为；(2)由题意，存在且不为零，设直线方程为，联立方程组，消元得，∴，∴∴，∵为定值，∴，即，∴，∴的值为1或.【解析】本题主要考查椭圆与抛物线的方程与性质、平面向量的数量积、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了方程思想与转化思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由抛物线的焦点可得c的值，再由椭圆的离心率求解即可；(2)由题意，设直线方程为，联立椭圆方程，由韦达定理，化简，由题意，，可得结论.21．已知函数.(1)当为何值时，轴为曲线的切线；(2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.【答案】(1)设曲线与轴相切于点，则，即，解得：，因此，当时，轴是曲线的切线；(2)当时，，从而，∴在无零点，当时，若，则，，故是的零点；若，则，，故不是的零点，当时，，所以只需考虑在的零点个数，(i)若，则在无零点，故在单调，而，所以当时，在有一个零点；当时，在无零点；(ii)若，则在单调递减，在单调递增，故当时，取的最小值，最小值为.①若，即，在无零点；②若，即，则在有唯一零点；③若，即，由于，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点.综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质与零点，考查了分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1) 设曲线与轴相切于点，求导，由题意可得，求解可得结论；(2) 当时，，从而,即函数无零点；当x=1时，，，因此，分、两种情况讨论可得结论；当时，，所以只需考虑在的零点个数，分、、、进行讨论求解.22．在直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数).以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.(1)求的长；(2)若点的极坐标为，求中点到的距离.【答案】(1)曲线的直角坐标方程为，将代入曲线，得：，设点、点所对应的参数分别为，则，；(2)点对应的直角坐标为在直线上，中点对应的参数为，所以点坐标为，点到点的距离为.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、弦长公式、三角函数，考查了方程思想与参数的几何意义.(1)将极坐标方程化为,再利用公式,化简可得曲线C的直角坐标方程，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，由韦达定理，结合参数的几何意义求解即可;(2)由(1)求出点M的坐标，再将点P的极坐标化为直角坐标，即可得出结论.23．已知，函数的最小值为1.(1)求的值；(2)若，求实数的最大值.【答案】(1)法一：，∵且，∴，当时取等号，即的最小值为，∴；法二：∵，∴，显然在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，∴；(2)法一：∵恒成立，∴恒成立，，当时，取得最小值，∴，即实数的最大值为；法二：∵恒成立，∴恒成立，恒成立，，∴，即实数的最大值为.【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式、基本不等式，考查了恒成立问题转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)法一：，前2个绝对值利用绝对值三角不等式，可得，则结论易得；法二：分，三种情况讨论，求出的最小值，则可得结论；(2)法一：易得恒成立，由(1)的结论，，展开化简，再利用基本不等式求解即可；法二：易得恒成立，又，则结论易得.。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知复数z 满足11zi z+=-（i 为虚数单位），则z 的值为 A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 2．设随机变量X ～N (2，32)，若P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 等于 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．二项式6(x 的展开式中常数项为 A ．－15 B ．15 C ．－20 D ．20 4．设A ，B 为两个互不相同的集合，ss P ：x A B ∈ ， ss q ：x A ∈或x B ∈，则q ⌝是p ⌝的A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件5．已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若k R ∃∈，使得M N =∅ 成立，则实数b 的取值范围是A ．[]3,3-B ．(,3)(3,)-∞-+∞C ．[]2,2-D ．(,2)(2,)-∞-+∞ 6．函数sin()(0)y x ωϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ,B 是图象与x轴的交点，若cos APB ∠=ω的值为 A ．4πB ．3π C ．2π D ．π7．设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则z ＝x －3y 的最大值为A ．4-B ．4C ．3D ．3-8．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则FD DE ⋅的值是A ．32B ．3C ．32- D ．3-9．若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有A ．12对B ．18对C ．24 对D ．30对 10．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数p ,q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为A ．[15,)+∞B ．](,15-∞C ．](12,30D ．](12,15- 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

的半圆，俯视图是直径为 2 的圆，则该几何体的表面积为
A．3 π C．5 π
B．4 π D．12 π
《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246 个问题及其解法，其中一 7． 个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之 和为 3 升，下面三节的容积之和为 4 升，求中间两节的容积各为多少？”则该问题中 第 2 节，第 3 节，第 8 节竹子的容积之和为 开始
文科数学试卷
第 1 页（共 7 页）
C． ∃ x1 , x2 ∈ [0,+∞) ，使得
f ( x1 ) − f ( x2 ) <0 x1 − x2
D． ∀ x1 ∈[0,+ ∞) ， ∃ x2 ∈ [ 0,+ ∞ ) 使得f ( x1 ) > f ( x2 ) 6．右图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为 2
科目：数学（文科）
（试题卷）
注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和 该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。 2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草 稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答 题。 3. 本试题卷共 7 页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否 则后果自负。 4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 姓 名 准考证号
的正方形的顶点，则椭圆 E 的标准方程为
A．
x2 y2 + =1 2 2
B．
x2 + y2 = 1 2 y2 x2 + =1 4 2
C．
x2 y 2 + =1 4 2
1
D．
5．已知函数 f ( x) = x 2 ，则 A． ∃ x0 ∈ R, 使得 f ( x ) < 0 B． ∀ x ∈ (0,+∞ ) , f ( x ) ≥ 0

长沙市2017届高三模拟试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|15P x N x =∈≤≤，集合{}2|60Q x R x x =∈--<，则P Q 等于A. {}1,2,3B.{}1,2C.[]1,2D.[)1,32.已知a 是实数，2a ii-+是纯虚数，则a = A. 12 B. 12- C. 1 D.1-3.“3x <”是“()ln 20x -<”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，若输入的5a =，则输出的结果是 A.1516 B. 3116 C. 3132 D. 63325.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆(2283x y -+=相切，则该双曲线的离心率为A.2 B. 323 6.若实数,x y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2x y +的最小值为A. 2B. 3C.187D.14 7.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为2π的扇形，则该几何体的表面积为 A. 2 B. 4π+4+D.)14π+8.对于函数()()sin 31,f x a x bx cx a b R =+++∈，选取,,a b c 的一组值计算()()1,1f f -，所得的正确结果可能是A. 2和1B. 2和0C.2和-1D. 2和-29.南北朝时期我国数学著作《张丘建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，的金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和 A. 多712斤 B.少712斤 C.多16斤 D.少16斤 10.已知点()00,P x y 是抛物线24y x =上的一个动点，Q 是圆()()22:241C x y ++-=上的一个动点，则0x PQ +的最小值为A. 1B. 11.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()f x A.有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. 有一条对称轴6x π=C. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 12.已知函数()()()2ln f x x x x x a a R =+-∈，若存在1,22X ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是A. 9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. )+∞ D.()3,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点()3cos ,sin P θθ在直线31x y +=上，则sin 2θ= .14.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，已知5b c ==，且2B C =，点D 为边BC 上的一点，且3CD =，则ADC ∆的面积为 .15.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120,AB AC BAC D ==∠=为棱BC 上的一个动点，设直线PD 与平面ABC 所成角为θ，则θ不大于45的概率为 .16.已知向量()()(),1,,,1,10,0m a b n b a b =-=>>，若m n ⊥，则14b a+的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足()2122112.21log n n n b n a --=++（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前项和n T .18.（本题满分12分）某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20人，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组[)50,55，第二组[)55,60，…，第五组[)70,75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为:4:10.a（1）求a 的值，并求这50名学生心率的平均数；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？请说明理由.19.（本题满分12分）如图，已知三棱锥P A B C -中，,,PA AC PC BC E ⊥⊥为PB 中点，D 为AB 的中点，且ABE ∆为正三角形.（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）请作出点B 在平面DEC 上的射影H ，并说明理由.若123,5BC BH ==，求三棱锥P ABC -的体积.20.（本题满分12分）已知平面内一动点M 到两定点()()120,1,0,1B B -和连线的斜率之积为12- （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线:l y x m =+与轨迹E 交于A,B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴点P ，当m 变化时，求PAB ∆面积的最大值.21.（本题满分12分） 设函数()()()1ln ,30.a f x x g x ax a x-=+=-> （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间；（2）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()2h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

3
2
AP = cosθ AB + sinθ AD，由平面向量基本定理知： x = cosθ , y = sinθ ，因
3
2
3
2
此 3x + 2 y = cosθ + sinθ = 2 sin(θ + π ) ，又因为θ ∈ (0, π ) ，故 3x + 2 y 的取
4
2
值范围是 (1, 2] .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）
,
…………9 分
而六面体 ABCED 的体积=四面体 ABDE 的体积+四面体 ABCE 的体积
故所求六面体的体积为 2
…………12 分
20．（本小题满分 12 分）
解：(1) 设 C 点坐标为 (x, y) ，则 B 点坐标为 ( x ,0) . 2
因为 AC 是直径，所以 BA ⊥ BC ，或 C、B 均在坐标原点.
…………6 分 …………9 分
故 x ∈ (0,1) 时 F′(x) < 0, F (x) 单调递减； x ∈ (1,+∞) 时 F′(x) > 0, F (x) 单调递增；
而 F(m) = F(n) ，
故0< m<1< n或0< n <1< m，
所以 (m −1)(n −1) < 0 .
…………12 分
设 C(x1, y1), P(x2 , y2 ) ，则有 x1x2 = −16 .
由 y = x2 对 x 求导知 y′ = x ，P
处的切线斜率 k2
=
x2 4
，
x12
直线 BC 的斜率 k1

2014年湖南省长沙市高考模拟题（二）理科数学一、选择题1. 已知复数z 满足11z iz（i 为虚数单位），则z 的值为 (A )A ．i B. －i C. 1 D.－12. 设随机变量X ～N (2，32)，若P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 等于 ( C )A ．0B ．1C ．2D ．3 3. 二项式61()xx 的展开式中常数项为（ B ）A ．－15 B．15 C．－20 D．204. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ，命题q ：x A 或x B ，则q 是p 的（ B ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件5. 已知集合22(,)194xyMx y ，(,)()Nx y yk x b ，若R k ，使得MN成立，则实数b 的取值范围是（B ）A. [3,3]B. (,3)(3,)C. [2,2] D. (,2)(2,)6.函数sin() (0)yx的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，若5cos 5APB，则的值为（ C ）A ．4B ．3C ．2D ．xA BP y O7. 设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ≥＋≤≥－，则z ＝x －3y 的最大值为( B )A ．4B ．4C ．3D ．38. 如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则FD DE 的值是（ C ）A ．32B ．3C ．32D ．39若两条异面直线所成的角为060，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有 ( C )A ．12对B ．18对 C．24 对D ．30对10. 已知函数2)1ln()(xx a x f 在区间)1,0(内任取两个实数q p,，且q p，不等式1)1()1(qpq f pf 恒成立，则实数a 的取值范围为（ A ）A ．[15,)B ．(,15]C ．(12,30]D ．(12,15]【解析】(1)(1)(1)(1)(1)(1)f p f q f p f q pqp q ，表示点(1,(1))p f p 与点(1,(1))q f q 连线的斜率，因为0,1p q ，所以112p ，112q ，即函数图象在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1，即'()1f x 在(1,2)内恒成立. 由定义域可知1x，所以'()211a f x xx ，即121ax x ，FEBCAD所以12)(1)a x x （成立.设12)(1)y x x （，则22372312()48yxx x，当12x 时，函数2372()48y x的最大值为15，所以15a .故选A.11.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ，则PAB =___30______.由切割线定理知PAPB PC 2，所以,PCBC 32，连接OA ，在Rt PAO 中求得POA60，所以1302PABPCAPOA，故答案是：30.12. （选修4－3：不等式证明）不等式43x x a 有实数解的充要条件是1a 【解析】43431,1x x x x a 13.（选修4－4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数），，t t ytx (33. 以直角坐标系xOy 中的原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为03cos42，则圆心C 到直线l 距离为532.14. 设点P 是双曲线22221(0,0)x y abab与圆2222xya b在第一象限的交点，其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF ，则双曲线的离心率为5.15.【解析】由11a ，121nna a n ，可以推得2nna n ，当10n 时，210(222)(1210)20482551991S，当11n 时，211(222)(1211)2014S ，所以输出11n .16. 若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112abc，则称a 、b 、c 是调和的；若满足2a cb ，则称a 、b 、c 是等差的. 若集合P中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”. 若集合2014MxxxZ，，集合Pa b cM ，，.则（1）“好集”P 中的元素最大值为 2012 ；（2）“好集”P 的个数为 1006 .【解析】若a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则1122a b c a c b，2ab ，4cb .即“好集”为形如24b b b ，，（0b）的集合.（1）“好集”P 中的元素最大值为4||b ，又因为42014bbZ ，，所以4||b 最大值为2012.（2）由“好集”是集合M 的三元子集知，201442014b ，b Z ，且0b .∴503503b ，b Z ，且0b .符合条件的b 可取1006个值. ∴“好集”的个数为1006. 三、解答题:17.已知函数22()(sin cos )23sin f x x x x .（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2a Ccb ，求()f B 的取值范围．【解析】（Ⅰ）f (x )=1+sin2x+3(1-cos2x ) =1+3+2sin23xf (x )的最小正周期为2.2（Ⅱ）由2cos 2a C c b 可得222222a b cac bab，即222bcabc ，2221cos 22b caAbc，得2,33AB C，所以22333BB，故3sin2,132B ，从而2sin23,23x，因此 f (x )的值域为1,33.……12分18.在如图所示的几何体中，AE 平面ABC ，CD ∥AE ，F 是BE 的中点，AC BC 1，90ACB ，22AE CD ．（Ⅰ）证明：//DF 平面ABC ；（Ⅱ）求二面角ABDE 的大小的余弦值．【解析】（Ⅰ）因为ABCEA 平面，CD ∥AE ，所以CD平面ABC ．故以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，F EDCBAz yxA B CDEF则相关各点的坐标分别是(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,1)D ，(1,0,2)E ，11(,,1)22F ．所以11(,,0)22DF，因为平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m，所以0DF m，又因为DF平面ABC ，所以//DF 平面ABC ．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(0,1,1)BD，(1,1,0)AB，(1,1,2)BE．设1111(,,)nx y z 是平面ABD 的一个法向量，由110,0n BD n AB得11110,0.y z x y 即111x y z ．取1111x y z ，则1(1,1,1)n ．……8分设2222(,,)nx y z 是平面BDE 的一个法向量，由220,0n BD n BE 得222220,20.y z x y z 即222x y z ．取221y z ，21x ，则2(1,1,1)n．……10分设二面角ABDE的大小为，则12121111cos333n n n n ．故二面角A BDE 的大小的余弦是13．……12分19. （本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为00(01) <P P ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求0P ；（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解析】（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为23，李四中奖的概率为0P ，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”，因为P (X ＝5)＝23×0P ，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－23×0P =79，所以013P .……6分（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B 2，23，X 2～B 02,P ，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×0P ，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝60P .若E (2X 1)>E (3X 2)，则846039P P .若E (2X 1)<E (3X 2)，则846139P P .若E (2X 1)=E (3X 2)，则0084639P P .综上所述，当0409P 时，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当419P 时，他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当049P 时，他们都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望相等．……12分20．【解析】（Ⅰ）由题设：投放的药剂质量为6m，渔场的水质达到有效净化．．．．6()6f x ()1f x 305log (4)1xx或5612xx5x或58x，即：08x，所以如果投放的药剂质量为6m，自来水达到有效净化．．．．一共可持续8天.…6分（Ⅱ）由题设：(0,8],6()18x mf x ，0m ，3log (4),056,52xx f xxx，3(0,5],6log (4)18xm x，且6(5,8],6182m xx，3log 46218m m 且6218mm 5969m m 且，69m，投放的药剂质量m 的取值范围为[6,9].………13分21．【解析】（Ⅰ）设211()4yA y ，，222()4yB y ，（120y y ）. 易知1l 斜率存在，设为1k ，则1l 方程为2111()4yy y k x.由21112()44y y y k xyx得，221111440k yyy k y……①由直线1l 与抛物线C 相切，知21111164(4)0k y k y △. 于是，112k y ，1l 方程为11212yxy y .同理，2l 方程为22212y xy y .联立1l 、2l 方程可得点P 坐标为1212()42y y yy P ，，∵12221212444ABy y k yyy y ，AB 方程为211124()4yy y xy y ，AB 过抛物线C 的焦点(10)F ，.∴211124(1)4yy y y ，124y y .∴1214Py y x ，点P 在定直线1x 上.或解：设11()A x y ，，22()B x y ，，则1l 方程为112()y y x x ，2l 方程为222()y yxx .∴点11()A x y ，，22()B x y ，坐标满足方程002()yy x x .∴直线AB 方程为02()yy x x .由直线AB 过点(10)F ，，知002(1)x . ∴01x .点P 在定直线1x 上. ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C 、D 的坐标分别为1181(4)2C y y ，、2281(4)2D y y ，.∴1212121212(16)()8181()()222y y y y CD y y y y y y .∴12121212(16)()14242PCD y y y y y y S y y △.设212y y t （0t ），12y y m ，由2222121212()()440y y y y y y mt知，2m t 当且仅当120y y 时等号成立.∴222222222221(16)(16)2(16)(16)424216168PCDttmm t t t tS tttt△. 设22(16)()8tf t t，则22222222(16)2(16)(316)(16)()88tt tttt f t tt.∴4303t时，()0f t ；433t时，()0f t .()f t 在区间4303，上为减函数；在区间433，上为增函数.∴433t 时，()f t 取最小值12839.∴当120y y ，12163y y ，即143y ，243y 时，PCD △面积取最小值12839. …………13分22.【解析】（Ⅰ）13212()(1)3(1)(1)[(1)3]n n n n f x nx x x x xx n x x 12(1)[(3)]n xx n n x ，当1[,1]4x 时，由'()0nf x 知1x 或3n x n，当1n 时，则134n n，1[,1]4x 时，'()0nf x ，3()(1)nn f x x x 在1[,1]4上单调递减，所以331141113()(1)4444a f 当2n 时，1(,1)34n n，1[,)43nx n 时，'()0nf x ，(,1)3n xn时，'()0nf x ，∴()n f x 在3n xn处取得最大值，即33327()()33(3)n nnn n n a n nn综上所述，327(3)n nn na n （1,2,3,n ）．……4分（Ⅱ）当2n 时，欲证32271(3)(3)nnnn n ，只需证明3(3)(1)27nnn ∵011223333(1)()()()nn nnnnnCCC C nn n n 2(1)9919125134(1)4(1)22224n n nn ，所以，325(3)(1)5274nn n.所以，当2n 时，都有21(3)na n成立．（III ）当1n 时，结论显然成立；当2n 时，由（II ）知23427256nnS a a a a 2222711125656(3)n27111111()()()256455623nn271912564256．所以，对任意正整数n ，都有91256nS 成立．……13分。