长沙市一中2021届高三数学综合试卷及参考答案(精品)

长沙市一中2021届高三月考试卷（八）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U R =，若{}|06A x N x =∈<≤，{}2|340B x x x =-++≤，则()U AC B =（ ）A ．(]0,4B ．(]0,1 C ．{}1 D ．{}1,2,3 2．设复数202112i z i+=-，则z 的虚部是（ ）A ．35B ．35iC ．15D ．15i3．函数()3sin f x x x x =++，则1a >-是()()120f a f a ++>的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．2020年12月1日，长沙市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有（如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们前后左右位置关系不作考虑）（ ）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种5．已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为12,e e ，且满足21e =，12,F F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若012120F PF ∠=，则双曲线2C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 6．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺，则能推算出该葛藤长为（ ） A ．21尺 B ．25尺 C ．29尺 D ．33尺 7．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．-169B ．-134C ．-103D ．-788．若ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞C ．(],2-∞D ．(],e -∞二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A ．0AB BA +=B ．若a b =且//a b ，则a b =C ．若,a b 非零向量且a b a b +=-，则a b ⊥D ．若//a b ，则有且只有一个实数λ，使得b a λ=10. 已知,x y R ∈，且0x y >>，则下列说法错误的是（ ）A ．110x y ->B ．sin sin 0x y ->C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln x x y y >11. 在棱长为2的正四面体ABCD 中，点则,,E F G 分别为棱,,BC CD DA 的中点，则（ ） A ．//AC 平面EFGB ．过点,,E F G 的截面的面积为12C ．异面直线EG 与AC 所成角的大小为4π D ．CD 与平面GBC 所成角的大小为6π12. 将函数()()cos 02f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 为奇函数B ．02g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．当5ω=时，()g x 在()0,π上有4个极值点D ．若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为5 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在6⎛⎝的展开式中，常数项等于_________ .14．写出一个图象关于直线1x =对称的奇函数()f x =_______.15．曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线与曲线xy e =-相切，则a =____________.16．已知(),012sin ,13x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若存在实数123,,x x x ，满足12303x x x ≤<<≤，且()()()123f x f x f x ==，则2x 的取值范围为 __________；2314x x x π-的最大值为_________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C sin cos C c A c =+. （1）求A ；（2）在①ABC ∆；②ABC ∆的周长为6+③1cos 2c B -=B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：已知2b =，______________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若满足()1321n n S S n +=++，且12a =. （1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）判断数列123n n n a a +⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 与12的大小关系，并说明理由.19.（本小题满分12分）如图1，在ABV ∆中，1AC BC CV ===，AC VB ⊥于C .现将ABV ∆沿AC 折叠，使V AC B --为直二面角（如图2），D 是棱AB 的中点，连接,,CD VB VD . （1）证明：平面VAB ⊥平面VCD ； （2）若棱AB 上有一点E 满足14BE BA =，求二面角C VE A --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率是2，点F 是椭圆E 的左焦点，点A 为椭圆E 的右顶点，点B 为椭圆E的上顶点，且12ABF S ∆=. （1）求椭圆E 的方程；（2）设点(),0P m 为椭圆E 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为ba的直线l 交椭圆E 于,S T 两点，证明：22PS PT +为定值.21.（本小题满分12分）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere ）向另一位著名的数学家帕斯卡（.B Pascal ）提请了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat ）讨论了这个问题，后来惠更斯（.C Huygens ）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢()*1,k k k N >∈局，谁更赢得全部赌注a 元.每局甲赢的概率为()01p p <<，乙 赢的概率为1p -，且每局赌博相互独立.在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:P P 甲乙分配赌注.（1）甲、乙赌博意外终止，若2243,4,2,1,3a k m n p =====，则甲应分得多少赌注？ （2）记事件A 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当4,2,1k m n ===时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率()f p ，并判断当45p ≥时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件. 22.（本小题满分12分）已知函数()()()22x x f x e ae a x a R -=--+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：当2152a ≤≤时，函数()f x 有且只有三个零点.（参考数据： 2.72e ≈，27.39e ≈，320.01e ≈）参考答案一、选择题 1.D{}{}1,2,3,4,5,6,|14A B x x x ==≤-≥或，{}|14U C B x x =-<<，所以(){}{}{}1,2,3,4,5,6|141,2,3U A C B x x =-<<=，故选D.2. A()()()()202145051211113222225i i i i i i iz i i i i i ⨯++++⨯++=====----+， 所以z 的虚部是35，故选：A 3. B由题意可得：()2cos 310f x x x '=++>恒成立， 所以函数()3sin f x x x x =++在R 上递增，又()()()()()()33sin sin f x x x x x x x f x -=-+-+-=-++=-， 所以函数()f x 是奇函数，当()()120f a f a ++>，即()()()122f a f a f a +>-=-， 所以12a a +>-，解得13a >-， 当1a >-时，则13a >-，显然不成立； 反之，当13a >-，则1a >-，成立，所以1a >-是()()120f a f a ++>的必要不充分条件，故选：B 4. C根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有246C =种选法.之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A =⨯=种，故选：C5. C设11PF r =，22PF r =， 在椭圆2212211:1x y C a b +=中，()()()2222201212121211222cos1202c r r rr r r rr a rr =+-=+-=-，∴2221211444r r a c b =-=在双曲线2222222:1x y C a b -=中，()()()2222201212121221222cos120323c r r rr r r rr a rr =+-=-+=+∴22222122212434443b r rc a b r r =-=⇒=，∴2221443b b =即22213b b =，则()2222213ac c a -=- 所以2222221212222213133444a a a a c c c e e +=⇒+=⇒+=又因为21e =，所以22221154e e +=， 解得22e =，故选：C 6.C如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF ， 由题意得：2AB =丈20=尺，圆周长3BE =尺， 则葛藤绕圆柱7周后长为29BD ===尺，故选：C 7. A数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3aa a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为：()()()()121013344510111b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-1111a a =+-11171=+- 169=-，故选A. 8. B设()()ln 0x a f x e x a x -=-->，则()ln 0x a f x e x a -=--≥，恒成立，由()1x af x ex -'=-，令()1x a h x e x -=-，则()210x ah x e x -'=+>恒成立， 所以()()10x a h x e x x -=->为增函数，令10x ae x--=得()00x x x =>，当00x x <<时，()0h x <，当0x x <时，()0h x >；所以()f x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，故()f x 在0x x =处取得最小值. 故最小值()000ln 0x a f x e x a -=--≥，因为001x aex -=，则00ln x a x -=-，即00ln a x x =+， ()000012ln 0f x x x x =--≥ 令()()12ln 0g x x x x x=--> 则()g x 在()0,+∞单调递减，又∵()10g =，∴()00001f x x ≥⇔<≤ ∴00ln 1a x x =+≤ 故选：B 二、选择题 9.AC由,AB BA 互为相反向量，则0AB BA +=，故A 正确；由a b =且//a b ，可得a b =或a b =-，故B错；由a b a b +=-，则两边平方化简可是0a b =，所以a b ⊥，故C 正确；根据向量共线基本定理可知D 错，因为要排除a 为零向量，故选：AC 10. ABD ∵0x y >>， 选项A ，取11,2x y ==，则111210x y -=-=-<，A 错；选项B ，取,2x y ππ==，则sin sin sin sin102x y ππ-=-=-<，B 错；选项C ，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，∴1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，C 正确.选项D ，由单调性知，D 错. 故选：ABD. 11.ACD对A ，∵点,F G 为棱,CD DA 的中点，∴//FG AC ，∵FG ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ， ∴//AC 平面EFG ，故A 正确；对B ，取AB 中点H ，则可得四边形EFGH 为截面，由A 选项可得1//,2FG AC FG AC =，同理可得1//,2HE AC HE AC =，则//HE FG ，且HE FG =且HE FG =，故四边形EFGH 为平行四边形，取BD 中点M ，则可得,BD AM BD CM ⊥⊥，∵AM CM M =，则BD ⊥平面AMC ，∴BD AC ⊥，则EF FG ⊥，故平行四边形EFGH 为正方形，且边长为1，故截面面积为1，故B 错误；对C ，异面直线EG 与AC 所成的角与EGF ∠相等，故C 正确；对D ，如图，,DA GB DA GC ⊥⊥，∴DA ⊥平面GBC ，则DCG ∠即为CD 与平面GBC 所成角，易得030DCG ∠=，故D 正确.故选：ACD 12. BCD∵()()cos sin 02f x x x πωωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭， ∴()sin 2g x x πω⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，且()01g =-， ∴()1222k k Z πωπ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，即14k ω=-为奇数， ∴()sin cos 2g x x x πωω⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为偶函数，故A 错. 由上得：ω为奇数，∴cos 022g ππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 对，由上得：当5ω=时，()52sin 5cos5,25g x x x T ππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，由图象可知()g x 在()0,π上有4个极值点，故C 对.∵()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以052T ππω-≤=，解得：05ω<≤， 又∵14k ω=-，∴ω的最大值为5，故D 对，故选：BCD三、填空题13. 1606⎛ ⎝的展开项的形式是(63662r r r r r r C C x --=，若为常数项，可得3r =，故常数项为3362160C = 14. sin 2x π当()()sin 2f x x x R π=∈时，()()sin sin 22f x x x f x ππ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，又x R ∈，所以()f x 是奇函数； ()sin 2f x x π=的对称轴方程为,,12,22x k k Z x k k Z πππ=+∈=+∈，当0k =时，1x =，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，符合题意，（答案不唯一）15. -2由ln y a x =-求导得1y x'=-， ∴曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线方程为()1y a x -=--，即1y x a =-++，设1y x a =-++与x y e =-相切于点()00,x x e -，由x y e =-求导得x y e '=-，∴01x e -=-，∴00x =，即切点为()0,1-，它在切线1y x a =-++上，∴11a +=-，∴2a =-. 16. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；991162π-由题意，函数()f x 的大致图象如图所示，由图象知，272,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且23122sin x x x π+==，所以()22312222225sin 523x x x x x x x x x πππ=-=--，令()275,2,23g x x x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦，则()522g x x x π'=--，因为()2sin 2g x x π''=-+在72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()78034g x g -⎛⎫''''≤=< ⎪⎝⎭，所以()g x '在72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又因为904g ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以()g x 在92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在97,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()max 99914162g x g π⎛⎫==-⎪⎝⎭. 四、解答题17. （1）在ABC ∆sin cos C a A c =+sin sin cos sin A C C A C =+∵sin 0C ≠cos 1A A =+即2cos 2cos 222A A A =，由0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 22A A =，所以tan 23A =， 所以26A π=，解得3A π=. （2）选①，ABC ∆，2,3b A π==，则1sin 22ABC S bc A c ∆===2c =， 所以ABC ∆为等边三角形，所以3B π=.选②，ABC ∆的周长为6+，由2b =，则4a c +=+ 又22222cos 42a b c bc A c c =+-=+-②由①②可得4a c ==，2sin sin sin a b A B B=⇒=，解得1sin 2B =， 由因为a b >，所以6B π=.选③，1,2cos 3c A b B π-===，由余弦定理可得22222413224a c b a c c ac ac+-+--==，③ 又22222cos 42a b c bc A c c =+-=+-，④由③④联立，无解，三角形不存在.18.（1）由题意()1321n n S S n +=++可得()132,2n n S S n n -=+≥，两式相减，得132,2n n a a n +=+≥，由2134S S =+得12134a a a +=+，得22324a +=⨯+，得28a =，满足2132a a =+，所以132n n a a +=+对于任意n 为正整数都符合，所以1133n n a a ++=+，即()1131n n a a ++=+，又1130a +=≠，故数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可知13n n a +=，即31n n a =-，故()()11123231131313131n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----， 所以223111111111113131313131312312n n n n T ++=-++++-=-<------- 19.（1）在图2中，∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥，又V AC B --为直二面角，VC AC ⊥，∴VC ⊥底面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴VC AB ⊥，且VC CD C =，所以AB ⊥平面VCD ，又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD .（2）以CA CB CV 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1C A B V ，所以()0,0,1CV =，因为14BE BA =，所以13,,044E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则13,,044CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面VCE 的一个法向量(),,t m n p =，则00CV t CE t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即013044p m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令1n =，则()3,1,0t =-.同理可以求得平面VAB 的一个法向量()1,1,1s =. 所以()2cos ,331s ts t s t -===-+， 又二面角C VE A --为锐角，所以二面角C VE A --的余弦值为15. 20.（1）()()(),0,,0,0,F c Aa Bb -，则()1122ABF S a c b ∆==+， ()1a c b +=，即(1a c +=， 又2c e a a ===，代入上式中得到，1c+=，1c=，于是1a b==，故椭圆E的方程为2212xy+=.（2）设直线():2l y x m=-交椭圆于()()1122,,,S x y T x y，由()22222y x mx y⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去y得，222220x mx m-+-=，因此212122,2mx x m x x-+==，于是()()2222221122PS PT x m y x m y+=-++-+()()()()2222 12121212333222222x m x m x x x x m x x m⎡⎤=-+-=+--++⎣⎦()2222322232m m m m=-+-+=故22PS PT+为定值，且为3.21.（1）设赌博再继续进行X局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，当2X=时，甲以4：1赢，所以()224239P X⎛⎫===⎪⎝⎭；当3X=时，甲以4：2赢，所以()1222283133327P X C⎛⎫==⨯-⨯=⎪⎝⎭；当4X=时，甲以4：3赢，所以()21322244133327P X C⎛⎫==⨯-⨯=⎪⎝⎭所以，甲赢的概率为48424892727279++==.所以，甲应分得的赌注为82432169⨯=元.（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当3Y=时，乙以4：2赢，()()331P Y p==-；当4Y=时，乙以4：3赢，()()()33134131P Y C p p p p==-=-；所以，乙赢得全部赌注的概率为()()()()()333131131P A p p p p p=-+-=+-，于是甲赢得全部赌注的概率()()()31131f p p p =-+-，求导，()()()()()()3223113311121f p p p p p p '=---+--=-， 因为415p ≤<，所以()0f p '>，所以()f p 在415⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 于是()min 46085625f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故乙赢的概率为6081710.02720.05625625-==<，故事件A 是小概率事件. 22.（1）()()()()()222222x x x x x x x xe e a e a e af x e ae a e e ----++'=+-+==， 若0a ≤，由20x e -=，得ln 2x =；由()0f x '<得ln 2x <；由()0f x '>得ln 2x >，所以()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增；若0a >，由()0f x '=，得ln 2x =或ln x a =，当02a <<时，由()0f x '<，得ln ln 2a x <<；由()0f x '>，得ln 2x >或ln x a <，所以()f x 在()ln ,ln 2a 上单调递减，在()(),ln ,ln 2,a -∞+∞上单调递增；当2a =时，()0f x '≥在R 上恒成立，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当2a >时，由()0f x '<，得ln 2ln x a <<；由()0f x '>，得ln x a >或ln 2x <，所以()f x 在()ln 2,ln a 上单调递减，在()(),ln 2,ln ,a -∞+∞上单调递增.（2）由（1）知，当2152a ≤≤时，()f x 在()ln ,ln 2a 上单调递减，在(),ln a -∞，()ln 2,+∞上单调递增，所以()()()ln 22ln f x f a a a a ==--+极大值，()()()()ln 222ln 21ln 222ln 2f x f a a a ==--+=-++-极小值，令()()2122ln 52g a a a a a ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭，则()2ln a a g a a +'=-. 令()212ln 52m a a a a ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，则()221ln 1ln ln ln1055e m a a '=+≥+=>=， 所以()m a 在21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.所以()22225282ln 2ln 2ln 05555255m a m e ⎛⎫≥=+=->-=> ⎪⎝⎭， 所以()0g a '<，从而()g a 在21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()313515ln 23ln 32ln ln 0222222e g a g --⎛⎫≥=--==> ⎪⎝⎭，即()ln 0f a >， 又当2152a ≤≤时，2211ln ln ln ln 0252a e -=<≤≤<，即()ln 1,0a ∈-， 又()()()22222222214f e ae a e a e ---=-++=-++，该式关于a 单调递减， 所以()()2222222244125421421405555e e e a e e e -----++≤-⨯++=+=<， 所以()20f -<，因为()f x 在(),ln a -∞上单调递增，且()()2ln 0f f a -<，所以函数()f x 在区间(),ln a -∞上有且只有一个零点，令()()211ln 222ln 252h a a a ⎛⎫=-++-≤≤ ⎪⎝⎭，显然()h a 单调递减，所以()((22838822ln 21ln 2110555255h a ⎛⎫⎛⎫≤--+=-=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()ln 20f <，因为()f x 在()ln ,ln 2a 上单调递减，且()()ln ln 20f a f <，所以函数()f x 在区间()ln ,ln 2a 有且只有一个零点，()()()22222222214f e ae a e a e --=--+⨯=-++-，该式关于a 单调递减， 所以()()2222222211214214515602e a e e e e e e e---++-≥-+⨯+-=-->--=->， 因为()f x 在()ln 2,+∞上单调递增，且()()ln 220f f <，所以函数()f x 在()ln 2,+∞上有且只有一个零点， 综上所述：当2152a ≤≤时，函数()f x 有且只有三个零点.。

2021届湖南省长沙市长郡、雅礼、一中、附中高三上学期11月联合编审名校卷数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22,,60A x x x Z B x x x =≤∈=--<∣，则A B =（ ）A ．{2,1,0,1,2,3}--B ．{2,1,0,1,2}--C ．{1,0,1,2}-D ．{2,1,0,1}--【答案】C【分析】化简集合A,B 再求交集即可 【详解】由题意{}{}2,2,1,0,1,2,A xx x Z =≤∈=--{}{}2603B x x x x x =--<=<<∣∣-2则A B ={1,0,1,2}-故选：C【点睛】本题考查交集的运算，考查一元二次不等式及绝对值不等式的解法，是基础题 2．若()11z i i +=-，则z =（ ） A ．1i - B ．1i +C ．i -D ．i【答案】C【分析】根据复数的除法运算，采用分母实数化的方法求解出z 的结果.【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 故选：C .【点睛】本题考查复数的除法运算，难度较易.复数进行除法运算时，要注意将分母实数化即乘以分母的共轭复数.3．在等比数列{}n a 中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9【答案】B【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解公比q ． 【详解】解：由190nn n a a +=>，∴11111999n n n n n n n n a a a a a a ++---===， 29q ∴=，故3q =或3q =-，当3q =-时，10n n a a +<不符合题意． 故选：B ．【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.4．已知数据1210,,,x x x ⋯，2的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,x x x ⋯相对于原数据( ) A ．一样稳定 B ．变得比较稳定 C ．变得比较不稳定 D ．稳定性不可以判断【答案】C【分析】根据均值定义列式计算可得1210,,,x x x ⋯的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得()()()2221210222x x x -+-⋯⋯+-，从而得方差．然后判断． 【详解】由题可得：12101210222011x x x x x x +++=⇒++=⇒平均值为2，由()()()22221210222(22)111x x x -+-⋯⋯+-+-=，()()()2221210222 1.1110x x x -+-⋯⋯+-=>，所以变得不稳定. 故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．5．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式､横式两种(如图所示).当表示一个多位数时，个位､百位､万位数用纵式表示，十位､千位､十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据算筹的定义和摆放方法解题．【详解】解：由算筹的定义，得，所以8771用算筹应表示，故选：C.【点睛】本题主要考查了新定义题型，理解算筹的定义是解题关键，属于基础题．6．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝（）A．2 B．52C．3 D．4【答案】C【分析】设焦点为F，过A，B，M分别作准线12x=-的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出3||2MM'=，即得解.【详解】设焦点为F，过A，B，M分别作准线12x=-的垂线，垂足为A′，B′，M′，则有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，|AA′|+|BB′|＝2|MM′|，∵M到y轴距离为1，∴3||2 MM'=，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝2|MM′|＝3．故选：C．【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若⋅=，则AE BF2AB AF⋅的值是（）A．22B．1C2D．2【答案】C【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．【详解】∵AF AD DF=+，()···+==2||=2=+=⋅⋅AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF∴|DF|=1，|C F2﹣1，()()()AE BF AB BE BC CF AB CF BE BC⋅=+⋅+=⋅+⋅=--+⨯=221122故答案为C.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出x+y的值是（）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】D【分析】按照循环结构，先赋值0,1,1i x y === 进入循环，第一次循环，此时13≤成立，进入第二次循环，此时23≤ 成立，进入第三次循环，此时33≤成立，进入第四次循环，此时43≤不成立，结束.【详解】根据题意，先赋值0,1,1i x y === 第一次循环0,1,1x y i ===，13≤ 成立； 第二次循环1,0,2x y i =-==，23≤ 成立 第三次循环1,1,3x y i =-=-=，33≤ 成立 第四次循环0,1,4x y i ==-=，43≤不成立， 结束，输出1x y +=-. 故选：D【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了推理数据处理能力，属于基础题.9．已知函数2ln ()xf x ax x=-，若曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x -y +1＝0平行，则a ＝（ ） A ．12-B ．12C ．1D ．2【答案】A【分析】求出函数的导函数，再根据曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线与直线2x −y +1=0平行，由()112k f a '==-求解.【详解】函数2ln ()x f x ax x =-的导数为21ln ()2xf x ax x'-=-， 可得曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为()112k f a '==-， 由切线与直线2x -y +1＝0平行，可得1-2a ＝2，解得12a =-． 故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）A ．42236++B ．42436++C ．2320+D ．4263+【答案】A【分析】先找到几何体的原图，再求几何体的表面积.【详解】由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如图所示（四棱锥P ABCD -）：其底面ABCD 为一个底边长是22的矩形，侧面PBC 是边长为22侧面ABP ，ADP ，CDP 均是边长为2的等腰直角三角形， 所以其表面积为23222(22)3S =⨯+⨯212422362⨯=，故选：A ．【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．若0＜a ＜b ＜c ，且abc ＝1，则下列结论正确的是（ ） ①2a +2b ＞4 ②lg a +lg b ＜0 ③a +c 2＞2 ④a 2+c ＞2 A ．①② B ．②③C ．②④D ．①③【答案】B【分析】由题干分析得0＜a ＜1，c ＞1，0＜ab ＜1，bc ＞1，①可变形为2a (1-2bc )+2b (1-2ac )，利用指数函数性质可判断；②利用对数函数性质可判断；③结合基本不等式222a c ac +>再进一步放缩可判断；④代换成关于a 的表达式，再利用导数研究即可 【详解】由题意0＜a ＜b ＜c 且abc ＝1，∴0＜a ＜1，c ＞1，0＜ab ＜1，bc ＞1． 2a +2b -4＝2a +2b -2abc -2abc ＝2a (1-2bc )+2b (1-2ac )，∵0＜a ＜b ＜c ，∴bc ＞0，ac ＞0，2bc ＞1， 2ac ＞1，所以2a +2b -4＜0，所以①错； lg a +lg b ＝lg ab ＜0，②正确；2212a c ac abc +>>=，所以a +c 2＞2，③正确；由题意，令b ＝1，则1c a =，221a c a a +=+，令21()f a a a =+，(0＜a ＜1)，则322121()2a f a a a a -'=-=， 令f′(a )＝0，得1301(0,1)2a a ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以f (a )在(0，a 0)上单调递减，在(a 0，1)上单调递增， 所以f (a 0)＜f (1)＝2，所以④错误． 故选：B ．【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性，基本不等式，导数进行大小比较，综合性强，方法选用灵活度高，解题关键在于合理变形与方法应用，属于难题二、多选题12．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 在3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 B ．函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 的图象向右平移512π个单位后关于直线56x π=成轴对称D ．若圆半径为512π，则函数()f x 的解析式为()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=，所以2ω=,从而可得()()sin 203f x A x A π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，，根据三角函数的图象性质对选项进行逐一分析可得答案.【详解】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=，所以2ω=，又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以3πϕ=，因此()()sin 203f x A x A π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，. 222,232k x k k Z πππππ-<+<+∈5,1212k x k k Z ππππ-<<+∈ 所以函数()f x 在51212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，，上单调递增. 3222,232k x k k Z πππππ+<+<+∈ 7,1212k x k k Z ππππ+<<+∈ 所以函数()f x 在71212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，，上单调递减. 则函数()f x 在1112ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上单调递减，所以选项A 不正确.由2,3x k k Z ππ+=∈,得,26k x k Z ππ=-∈函数()f x 的图象的对称中心为0,26k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，故选项B 正确. 函数()f x 的图象向右平移512π个单位得到()cos2f x A x =-，直线56x π=不是此时的对称轴，故选项C 不正确.若圆半径为512πA =，∴A =，函数()f x的解折式为()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：BD .【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解析式，考查三角函数的单调性和对称性等性质，属于中档题.三、填空题13．若x ，y 满足约束条件2020x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩则2z x y =-的最大值为______．【答案】3-【详解】分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由x ，y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩作出可行域如图，化目标函数z=x ﹣2y 为y=12x ﹣2z ， 由图可知，当直线y=12x ﹣2z 过点A （﹣1，1）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为﹣3． 故答案为﹣3点睛：本题考查简单的线性规划，意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结合的解题思想方法.14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =________．【答案】18【分析】根据题中条件，得到12345523S a a a a a =++++=51234177n n n n n n n S S a a a a a ------=++++=，由等差数列的性质，求出140n a a +=，再由求和公式，列式求解，即可得出结果. 【详解】由题意知12345523S a a a a a =++++=，51234177n n n n n n n S S a a a a a ------=++++=，两式相加可得：()()()()()12132435423177200n n n n n a a a a a a a a a a ----+++++=+++++=，所以140n a a +=， 则1220360nn S n n a a +=⨯==，因此18n =． 故答案为：18.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，考查等差数列前n 项和基本量的运算，属于常考题.15．过双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为__________． 【答案】12+【解析】过双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，则22b AB a=，以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ，可得：22b c a=，∴2220c a ac --=，可得2210e e --=，解得12e =+，12e =-舍去，故答案为12+.16．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，∠APD ＝120°，AB ＝PA ＝PD ＝2，则该四棱锥P -ABCD 外接球的体积为________． 【答案】205π3【分析】设球心为O ，ABCD 的中心为O′，设O 到平面ABCD 的距离为d ，利用勾股定理，所以R 2＝d 2+22＝12+(1+d )2，解得d ＝1，5R =可得答案.【详解】取AD 的中点E ，连接PE ，△P AD 中，∠APD ＝120°，P A ＝PD ＝2，∴PE ＝1，23AD =，设ABCD 的中心为O′，球心为O ，则122O B BD '==，设O 到平面ABCD 的距离为d ，则R 2＝d 2+22＝12+(1+d )2，∴d ＝1，5R =，∴四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为34205ππ3R =．故答案为：205π3【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，考查了矩形的几何性质.四、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，3sin cos a c A a C =-．（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的最大值． 【答案】（1）π3C =；（2）33. 【分析】（1）根据题中条件，由正弦定理，得到π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由角的范围，即可得出结果；（2）根据题中条件，由余弦定理，可得223a b ab +-=，再结合基本不等式，即可求出最值.【详解】（1）∵3sin cos a c A a C =-， 由正弦定理得：sin 3sin sin sin cos A C A A C =-，∵sin 0A ≠，∴3sin cos 1C C -=，即π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0C π<<，∴ππ5π666C -<-<，故ππ66C -=，即π3C =； （2）由（1）可知，π3C =，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，∴223()()334a b a b ab ++-=≤，∴23a b +≤，当且仅当a ＝b 时取等号，∴33a b c ++≤， 即ABC 周长的最大值为33．【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，考查求三角形周长的最值，属于基础题型.18．如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE BE ⊥；（2）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：//MN 平面DAE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由线面垂直的性质和判定,结合题意得出AE BC ⊥且AE BF ⊥,可得AE ⊥平面BCE ，再结合BC ⊂平面BCE ，即可证明AE BE ⊥；（2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，利用三角形的中位线定理和矩形的性质，证出//PN AM ，且PN AM =，可得四边形AMNP 是平行四边形，从而//MN AP ，结合线面平行的判定定理即可证明//MN 平面DAE ．【详解】（1）因为BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，所以AE BC ⊥， 又BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以AE BF ⊥， 又BF BC B ⋂=，所以AE ⊥平面BCE ， 又BC ⊂平面BCE ，所以AE BE ⊥．（2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，因为点N 为线段CE 的中点．所以//PN DC ，且12PN DC =， 又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以//AM DC ，且12AM DC =，所以//PN AM ，且PN AM =，故四边形AMNP 是平行四边形，所以//MN AP ， 而AP ⊂平面DAE ，MN ⊄平面DAE ，所以//MN 平面DAE ．【点睛】本题考查了线面垂直证明线线垂直，考查了线面平行的判定定理，属于中档题. 19．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）：轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆． （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x 的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数()18,i x i i N ≤≤∈，设样本平均数为x ，求0.5i x x -≤的概率． 【答案】（1）z ＝400；（2）710；（3）34. 【分析】（1）根据分层抽样原理可计算得到生产轿车总量，由此求得z ；（2）根据分层抽样与案例可计算得到所抽取样本中两类轿车数量，利用列举法可求得结果；（3）计算求得样本平均数后，根据列举法可求得结果. 【详解】（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得：5010100300n =+，解得：2000n =．则()()2000100300150450600400z =-+-+-=． （2）设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得：40010005a=，解得：2a =. 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用12,A A 表示2辆舒适型轿车，用123,,B B B 表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共10个．事件E 包含的基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，共7个．()710P E ∴=，即所求概率为710．（3）样本平均数()19.48.69.29.68.79.39.08.298x =⨯+++++++=，设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”， 则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，()6384P D ∴==，即所求概率为34． 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到分层抽样基本量的计算、列举法的应用等知识；解题关键是能够熟练应用列举法得到基本事件总数和满足题意的基本事件个数，属于基础题.20．设函数()cos x f x ae x =+，其中a R ∈. （1）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（2）若()f x 在区间[0,]π内有两个不同的零点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）34,2e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【分析】（1）由()sin 0xf x e x '=->得()f x 在(0,)+∞上为增函数，则()(0)2f x f >=从而得证. （2）即cos x xa e =-在区间[0,]π内有两个不同的实数根,设cos (),xx h x e=-求出()h x 的导数，研究出()h x 的单调性，从而可得答案.【详解】（1）()sin xf x e x '=-，由0x >，得1,sin [1,1]xe x >∈-，则()sin 0xf x e x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >.（2）由()cos 0xf x ae x =+=，得cos x xa e=-. 设函数cos (),[0,]x xh x x eπ=-∈， 则sin cos ()xx xh x e '+=.令()0h x '=，得34x π=. 则30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3()0,,4h x x ππ'⎛⎤>∈ ⎥⎝⎦时，()0h x '<， 所以()h x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调逼增，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调减.又因为343(0)1,(),42h h e h e ππππ--⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以当34,2a e e ππ--⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，方程cos x xa e =-在区间[0,]π内有两个不同解，即所求实数a 的取值范围为34,2e e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查利用导数证明不等式和利用导数研究零点问题，考查等价转化的能力，属于中档题.21．已知点P 是圆22:(2)32Q x y ++=上任意一点，定点(2,0)R ，线段PR 的垂直平分线l 与半径PQ 相交于M 点，P 在圆周上运动时，设点M 的运动轨迹为Γ. （1）求点M 的轨迹Γ的方程；（2）若点N 在双曲线22142x y -=(顶点除外)上运动，过点N ，R 的直线与曲线Γ相交于,A B ，过点,N Q 的直线与曲线相Γ交于,C D ，试探究||||AB CD +是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=；（2）存在，定值为：【分析】（1）根据椭圆定义即可求出结果；（2）设()00,N x y 得直线,NR NQ 的斜率乘积12k k 12=，利用点斜式方程设出直线NR ，NQ 的方程，与（1）的方程联立，写出根与系数的关系，利用弦长公式求出|AB |，|CD |的长度，然后求和，通过计算可得出结果． 【详解】（1）依题意：||||MP MR =，且||||||||||4||MR MQ MQ MP PQ RQ +=+==>=，由椭圆定义知点M 的轨迹为以R ，Q 为焦点，长轴长为，焦距为4的椭圆，即：2,2a c b ===，故22:184x y Γ+=.（2）设()00,N x y ，则220001,242x y x -=≠±，∴直线,NR NQ 的斜率都存在，分别设为12,k k ，则2020001222000021222442x y y y k k x x x x -=⋅===+---， 将直线NR 的方程1(2)y k x =-代入22184x y +=得()2222111218880k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则221112122211888,2121k k x x x x k k -+==++，∴21211||21k AB k +==+，同理可得22221||21k CD k +=+，()22221211222121212121111114||||121212112321221k k k k AB CD k k k k k k ⎛⎫+⎪⎫+++⎪∴+=+=+⎪+++⎪⎭+ ⎪⎝⎭+==+ 【点睛】本题考查了椭圆定义以及根与系数的关系，弦长公式，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求||AB 的值.【答案】（1）40x y +-=（0x ≠），2220x y y +-=；（2.【分析】（1）将直线l 的参数方程消参，即可得直线l 的普通方程，要注意0x ≠；将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，再将sin y ρθ=，222x y ρ+=代入，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）先将直线l 的直角坐标方程化为极坐标方程，再将4πθ=（0ρ>）代入直线l 和曲线C 的极坐标方程中，可得点A ，B 对应的极径，利用||A B AB ρρ=-计算，即可求解.【详解】（1）由82xt=+得0x≠，将8242xtt yt⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数）消去参数t，得直线l的普通方程为40x y+-=（0x≠）.由2sinρθ=得22sinρρθ=，将sinyρθ=，222x yρ=+代入上式，得2220x y y+-=，所以曲线C的直角坐标方程为2220x y y+-=.（2）由（1）可知直线l的普通方程为40x y+-=（0x≠），化为极坐标方程得cos sin40ρθρθ+-=（2πθ≠），当4πθ=（0ρ>）时，设A，B两点的极坐标分别为1,4πρ⎛⎫⎪⎝⎭，,4Bπρ⎛⎫⎪⎝⎭，则22Aρ=，2sin24Bπρ==，所以|||222|2A BABρρ=-=-=.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题.23．已知函数()32f x x=+．（1）解不等式()41f x x<--.（2）若0a>且()4x a f x--≤恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）51(,)42-（2）100,3⎛⎤⎥⎝⎦．【详解】（1）不等式．当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为51 (,)42（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即．．。

2021届湖南省长沙市第一中学高三第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y xB x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】首先求解方程组3y x y x⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】 本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且5z z ⋅=，则z ＝( )A ．2-iB ．-1+2iC ．-1-2iD ．-2+3i【答案】A【解析】通过复数的运算得到方程()2215a a +-=，根据其在复平面的位置得到结果.【详解】 由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12z i =-+或2z i =-，∵在复平面内对应的点位于第一象限，∴2z i =-，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及其几何意义，属于基础题.3．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果.【详解】∵21x <11x ⇔-<<，lg 0x <⇔01x <<， 01x <<⇒11x -<<，11x -<<不能推出01x <<，∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查了不等式的解法，充分条件、必要条件的概念，属于基础题.4．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( )A ．725-B ．725C ．2424-D ．2425【答案】C【解析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果.【详解】 33cos 155a ba b θ⋅==-=-⨯⋅， ∵0θπ≤≤，∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题.5．设a ＝183log ，b ＝244log ，c ＝342，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <b <a 【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <，2a >，2b >，将,a b 分别表示为631log a =+，641log b =+，进而可得结果.【详解】314222c =<=，18933log log 2a =>=，241644log log 2b =>>， 所以c 最小，因为18633log 1log a ==+，24644log 1log b ==+，∵6643log log <，∴a b >，故选D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性的应用，寻找中间量是解题的关键，属于中档题.6．函数f (x )＝(33)ln x xx -+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】由函数为偶函数可排除B ，由()0,1x ∈，()0f x <，可排除,A C ，进而可得结果.【详解】∵()(33)ln x x f x x -=+，函数定义域为{}0x x ≠， ()()(33)ln (33)ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除B.当()01x ∈，时，330x x -+>，ln 0x <，()0f x <，其图象应在x 轴下方，可排除,A C ，故选D.【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数的图象，主要根据函数的性质利用排除法得到结果，属于中档题.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填( )A ．200?i >B ．201?i ≥C ．202?i >D ．203?i > 【答案】C 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】程序的功能是计算3571sin 3sin 5sin 7sin 2222S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯+=1357-+-+，而101150213579199201=+⨯=-+-++-+，2012203i =+=，故条件为202?i >，故选C.【点睛】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )A ．50种B ．60种C ．70种D ．90种【答案】C【解析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C.【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题．9．将函数()2sin(2)16f x x π=--的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 ( )A ．函数()g x 的最小正周期是2πB ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()g x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最大值是1 【答案】C 【解析】求出函数的周期判断A 的正误；函数的对称轴判断B 的正误；函数的单调性判断C 的正误；函数的最值判断D 的正误；【详解】 由题意知：()2sin(2)16g x x π=+-，最小正周期T 22ππ==，选项A 错误; 当12x π=-时，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即函数()g x 的图象关于点(,1)12π--对称，选项B 错误； 当(,)62x ππ∈时，72(,)626x πππ+∈， ∴函数()g x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，选项C 正确;∵函数()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()16g x g π<=， 即函数()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有最大值， ∴选项D 错误，故选C.【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．10．若()ln f x x =与()23g x x x a ++=两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a = ( )A ．-1B ．0C ．1D ．3 【答案】B【解析】求出切线方程，利用公切线结合判别式0=推出结果即可．【详解】在函数()ln f x x =上的切点设为(,)x y ， 根据导数的几何意义得到11x=⇒1x =， 故切点为(10)，，可求出切线的方程为1y x =-， 因为直线l 和()23g x x x a ++=也相切，从而231x x a x ++=-， 化简得到2210x x a +++=，只需要满足()4410a ∆-+==，所以0a =故选B.【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.11．设函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数()f x 有以下五个命题: ①x ∈R ，()()1f f x =； ②()(),,()x y R f x y f x f y ∃∈+=+； ③函数()f x 是偶函数； ④函数()f x 是周期函数；⑤函数()f x 的图象是两条平行直线其中真命题的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B 【解析】由()0f x =或1，计算可判断①；由0x =0y =断③；由周期函数的定义可判断④；由x 的范围可判断⑤．【详解】由()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数， 可得()0f x =或1，则x R ∀∈，()f x 为有理数，则()()1f f x =，故①正确；当0x =0y =()()()0000f x y f x f y +=+，故②正确；∵x 为有理数，则x -为有理数，x 为无理数，则x -为无理数，∴函数()f x 是偶函数，故③正确；任何一个非零的有理数T ，都有f x Tf x ，则T 是函数的周期， ∴函数()f x 是周期函数，故④正确；由于x 为有理数，()1f x =；x 为无理数时，()0f x =，()f x 的图象不为连续的直线，故⑤错误．∴真命题的个数是4个，故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是分段函数的周期性和函数值的特点，以及图象特点，考查判断能力和推理能力，属于基础题．12．已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D —ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为( )A ．53πB ．2πC ．5πD ．203π 【答案】A【解析】三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．【详解】如图，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，得正方形OEGF 的边长为36，则OG ＝66∴四面体A BCD -的外接球的半径R 2222615()()6212OG BG =+=+=∴球O 的表面积为＝2554(123ππ⨯=，故选A. 【点睛】 本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的外接球的表面积的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x +=，且当3[0,)2x ∈时，()2f x x =-，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____ 【答案】14【解析】求出函数的周期，结合函数的奇偶性，转化求解函数值即可．【详解】由()()3f x f x +=知函数()f x 的周期为3，又函数()f x 为奇函数，所以2111111()()()()22224f f f =-=-==， 故答案为14. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质与应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.14．已知ABC △是等腰直角三角形，1,2()AC BC CP CA CB ===+，则AP BP ⋅=____【答案】4【解析】利用已知条件将,AP BP 分别用,CA CB 表示，然后求解向量的数量积即可.【详解】∵2,2AP AC CP CA CB BP BC CP CA CB =+=+=+=+.∴22(2)(2)224AP BP CA CB CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+=，故答案为4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查向量的数量积的运算，是基本知识的考查．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。

2021届湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中高三上学期联合考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}22<0A x x =+-，141log 2B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则（）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．R A B ⋂=∅D ．122A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭答案：B【分析】先化简集合,A B ,再分析判断得解.解：由题得{}21A x x =-<<，1211441log log ()4B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭102x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.所以B A ⊆.R A B ⋂≠∅，102A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭.故选：B点评：易错点睛：化简集合B 时，容易漏掉0x >，得到12B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭.在研究函数的问题时，一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错. 2．若复数z 满足()12z i i -=，则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为i B ．z 为实数 C．z =D ．2z z i +=答案：C【分析】利用复数的除法运算，可得1z i =-，即可判断各选项的正误； 解：由()12z i i -=，知：211iz i i==--； ∴z 的虚部为1，||z =2z z +=-；故选：C点评：本题考查了复数的运算，利用复数的概念判断选项的正误，属于简单题；3．()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（） A ．5- B ．20-C ．15D ．5答案：B【分析】求出5(1)x -的展开式的2x 的系数和4x 的系数，即得解.解：设5(1)x -的通项为55155(1)(1)r rr r r r r T C xC x --+=-=-，当3r =时，2x 的系数为335(1)C -； 当1r =时，4x 的系数为115(1)C -.所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为()()3315512120C C -+-=-， 故选：B.点评：本题主要考查二项式定理求展开式的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和计算能力.4．设R λ∈，若单位向量1e ，2e 满足：12e e ⊥12e +与12-e e λ的夹角为3π，则λ=（）A ．B ．-C D ．1答案：A【分析】先利用已知条件得到11e =，21e =，120e e ⋅=，再利用向量的数量积运算法则代入求解即可. 解：由题意得，11e =，21e =，120e e ⋅=，12e +与12-e e λ的夹角为3π，得)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ⋅=+--⋅+⋅-=，122e +=，12-1e e λ=+则)()12121212cos33e e e e e e e πλλλ⋅==+-+-=，所以λ=故选：A.点评：本题主要考查了平面向量的数量积运算.属于较易题. 5．已知数列{a n }满足a n ＝1+2+3++n ，则122020111a a a +++=（）A ．20202021B ．20191010 C ．20192020 D ．40402021答案：D【分析】利用等差数列求和公式化简n a ，再利用裂项相消法求和.解：因为()12n n n a +=，则1112[]1n a n n =-+， 所以2202011111111140402[1]223202020212021a a a +++=⨯-+-++-=. 故选：D点评：本题考查等差数列求和公式、裂项相消法求和，属于基础题. 6．随机变量X 的分布列如表：若()2E X =，则()D X =（） A ．32B ．43C ．54D ．65答案：A【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，再利用方差公式可取得()D X 的值.解：由分布列的性质以及期望公式可得()1242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14a b ==.()()()()22211131222422442D X =-+-+-=. 故选：A.7．设3535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭353()5a =，353log 2b =，3532c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<答案：C【分析】根据指数对数函数的单调性，确定a ，b ，c 的范围，进而比较大小即可.解：由题可得35331550a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<，33553log log 102b =<=，30533122c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以b a c <<. 故选：C点评：本题主要考查利用指对数函数的单调性比较大小，属于基础题.8．函数3()6sin x x f x =+的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．答案：A【分析】求函数导数，21()cos 2f x x x '=+，再利用导数可知当0x ≥时，()0f x '>，由函数单调性即可求解.解：因为3()6sin x x f x =+，所以21()cos 2f x x x '=+， 令21()cos 2g x x x =+，则()sin g x x x -'= 当0x ≥时，由y x =与sin y x =的图象知，()sin 0g x x x '=-≥,（也可继续求导确定） 所以21()cos 2g x x x =+在[0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)1g x g ==， 即21()cos 102f x x x '=+≥>在[0,)+∞上恒成立， 所以函数3()6sin x x f x =+在[0,)+∞上单调递增，故选：A点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值，图象的识别，考查了推理运算能力，属于中档题.9．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（）A ．12B ．10C ．8D ．6答案：D【分析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF.先证明截面DEFP 就是所作的平面，再求截面的周长.解：如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF. 由题得PD||VB,DE||AC,因为,PD DE ⊆平面DEFP,VB,AC 不在平面DEFP 内， 所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP, 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB ===, 所以四边形DEFP 是平行四边形， 因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D点评：本题主要考查截面的作法和线面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（） A ．10% B ．30%C ．50%D ．100%答案：A【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为2log (11000)C W =+和2log (12000)C W =+，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案. 解：当1000SN=时，2log (11000)C W =+ 当2000SN=时，2log (12000)C W =+ 则2222222log (12000)log (11000)log 20011log 1000111lg 2log (11000)log 1001log 10003W W W +-++=-≈-=+又113411lg10lg 2lg1043=<<=，根据选项分析，1lg 20.13≈所以信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了10%. 故选：A.点评：本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.11．已知函数()sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有3个零点，则ω的取值范围是（） A ．717,66⎛⎤⎥⎝⎦ B ．230,6⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1723,66⎛⎤⎥⎝⎦ 答案：D【分析】由()0,x π∈，可得,66x x ππω⎛⎫∈+⎪⎝⎭，转化为函数sin y x =在区间,66x ππω⎛⎫+ ⎪⎝⎭恰有3个零点，得到3<46ππωππ+≤，即可求解.解：由()0,x π∈，可得,66x x ππω⎛⎫∈+⎪⎝⎭，又由函数()sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有3个零点， 等价于函数sin y x =在区间,66x ππω⎛⎫+ ⎪⎝⎭恰有3个零点，故3<46ππωππ+≤，解得1723<66ω≤. 故选D .点评：此类问题的解答中把函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有3个零点，通常转化为函数sin y x =在区间,66x ππω⎛⎫+⎪⎝⎭恰有3个零点，结合三角函数的图象与性质进行求解，体现了转化思想的应用.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过原点O 任作一条直线，分别交曲线两支于点P ，Q （点P 在第一象限），点F 为E 的左焦点，且满足||3||PF FQ =，||OP b =，则E 的离心率为（）A B C D ．2答案：A【分析】利用右焦点1F ，得到四边形1PFQF 为平行四边形，然后根据双曲线定义，可得,PF FQ 的值且90PQF ︒∠=，最后利用勾股定理，可得结果.解：设双曲线右焦点为1F ，由题意可知：P 关于原点的对称点为Q ， 则||||OP OQ =，∴四边形1PFQF 为平行四边形，则1||PF FQ =，1||PF QF =， 由||3||PF FQ =，根据双曲线的定义1||2PF PF a -=，1PF a ∴=，||OP b =，1OF c =，190OPF ︒∴∠=，在1QPF ∆中，||2PQ b =，13QF a =，1PF a =，222(2)(3)b a a ∴+=，整理得222b a =，则双曲线的离心率c e a === 故选：A.点评：本题主要考查双曲线的离心率，难点在于可以得到四边形1PFQF 为平行四边形，属中档题. 二、填空题13．甲､乙､丙､丁4名学生参加体育锻炼，每人在A ，B ，C 三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A 项､乙不选B 项的概率为______. 答案：49【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理计算即可.解：每位学生选择三个锻炼项目有13C 种，则4人总的选择方式共有()4143C 3=种，其中甲､乙的选择方式有()2122C 2=种，其余两人仍有()2123C 3=种，故甲不选A ､乙不选B 项目的概率为22423439⨯=.故答案为：49. 14．已知锐角α、β满足6παβ+=，则14sin cos cos sin αβαβ+的最小值为______.答案：18【分析】计算出1sin cos cos sin 2αβαβ+=，再将代数式()2sin cos cos sin αβαβ+与代数式14sin cos cos sin αβαβ+相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 解：6παβ+=，()1sin sin cos cos sin sin62παβαβαβ∴+=+==， α、β均为锐角，则sin cos 0αβ>，cos sin 0αβ>，()14142sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭∴cos sin 4sin cos cos sin 4sin cos 2525218sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=++≥⨯+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当cos sin 4sin cos sin cos cos sin αβαβαβαβ=时，即当cos sin 2sin cos αβαβ=时，等号成立. 因此，11sin cos cos sin αβαβ+的最小值为18.故答案为：18.点评：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．15．如图，已知圆锥底面圆的直径AB 与侧棱SA ､SB 构成边长为23的正三角形，点C 是底面圆上异于A ，B 的动点，则S 、A 、B 、C 四点所在球面的半径是______.答案：2【分析】设底面圆的圆心为O ，S 、A 、B 、C 四点所在球面的球心为1O ，连接SO ，设球1O 的半径为R ，根据题中条件，由勾股定理，即可得出结果.解：如图，设底面圆的圆心为O ，S 、A 、B 、C 四点所在球面的球心为1O ，连接SO ，则SO ⊥平面ABC ，且1O 在线段SO 上，易知3SO =，3AO =设球1O 的半径为R ，在1Rt O AO 中，由勾股定理得()22233R R -+=，解得2R =.故答案为：2. 点评：思路点睛：求解几何体外接球的半径的思路：（1）根据球的截面的性质，利用球的半径，截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者的关系求解；其中确定球心的位置是关键；（2）将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.16．已知点()5,0A ，()0,4B ，动点P ，Q 分别在直线2y x =+和y x =上，且PQ 与两直线垂直，则AQ QP PB ++的最小值为______. 答案：52【分析】设(),Q x x ，求出P 点坐标，计算AQ QP PB ++，再用几何意义求出AQ BP +的最小值即得．解：解：设(),Q x x ，由于PQ 与两直线垂直且2PQ =()1,1P x x -+，故()()()2222513AQ BP x x x x +=-+-+-.此式可理解为点(),Q x x 到()5,0A 及()1,3C 的距离之和，其最小值即为5AC =.故所求最小值为52. 故答案为：52.点评：方法点睛：本题考查距离之和的最值问题，解题方法是：用坐标表示距离，化几何问题为代数问题，利用函数知识求解，对平方和（或二次根式下的平方和）形式，或一次分式形式的代数式又可利用几何意义：两点间的距离公式，点到直线的距离，直线的斜率，可代数问题转化为平面上的几何问题，利用图形易得结论． 三、解答题17．圆O 的内接四边形ABCD 中，3AD BC ==，3BAD π∠=，sin 3sin ABD DBC ∠=∠.（1）求AB 的长度； （2）求圆O 的半径. 答案：（1）4；（239. 【分析】（1）在两个三角形中由正弦定理，通过外接圆直径2R 连接得sin sin AD CDABD DBC=∠∠，求得CD ，然后在这两个三角形中分别用余弦定理表示BD可求得AB ；（2）由（1）求得BD 后用正弦定理可得圆O 半径． 解：（1）设圆O 半径为R ，由正弦定理，2sin AD R ABD =∠，2sin CDR DBC=∠，∴sin sin AD CDABD DBC=∠∠，又sin 3sin ABD DBC ∠=∠.故3AD CD =.而3AD =.∴1CD =.设AB x =，则2222119233123122BD x x ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭.∴2340x x --=.∴4x =.即4AB =. （2）222143243132BD =+-⨯⨯⨯=，∴13BD =， ∴1313213233sin32R π===. ∴39R =. 点评：关键点点睛：解三角形中，正弦定理和余弦定理是重要公式，解题时需注意它们应用的类型，当然也需灵活运用，特别注意已知两边和一边对角应用正弦定理求解时可能会出现两解情形．象本题更是运用正弦定理和余弦定理求解的典范，在两个三角形中，一个应用外接圆半径连接应用正弦定理，一个是利用公共边连接应用余弦定理，解题时注意体会．18．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12AA =，120ABC ∠=︒，D 为1CC 中点.（1）求四面体1A ABD -的体积；（2）求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦.答案：（1）36；（23357119【分析】（1）改为1A AB 为底易求得高，从而易得体积；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦． 解：解：（1）作CH AB ⊥于H ，因为1AA ⊥平面ABC ，CH ⊂平面ABC ，所以1AA CH ⊥，而1AA AB A =，所以CH ⊥平面11ABB A ，CH 为C 到平面11ABB A 的距离，又三棱柱中1//CC 平面11ABB A ，所以D 到平面11ABB A 的距离等于C 到平面11ABB A 的距离，ABC 中，1AB BC ==，120ABC ∠=︒，所以31sin 60CH =⨯︒=， 11113113312323226A ABD D A AB A AB V V S --⎛⎫==⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△.（2）设O 为AC 中点，1O 为11A C 中点，则11//OO AA ，1OO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥ 以射线OB ，OC ，1OO 为非负x ，y ，z 轴.建立空间直角坐标系，则1,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，11,0,22B ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴132AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,1AD =，()0,3,0AC =，113,,222AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ABD 的一个法向量是()111,,m x y z =，则111130,30m AB x m AD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩．，取11y =-，则(3,3m =-，设平面1ACB 的一个向量是()222,,n x y z =，则212220,132022n AC y n AB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩．取21z =-，则()4,0,1n =-，cos ,7m n m n m n⋅<>==⋅＝故平面ABD 与平面1ACB. 点评：方法点睛：求三棱锥的体积，常常用换底法求解，要求换底后，高易求得即可．求空间的角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角）常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法计算，这种方法把空间想象与逻辑推理转化为运算求解．19．已知椭圆E 的离心率为e =，且经过点M ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程.（2）设()00,P x y 为椭圆E 上非顶点的任意一点，若A ､B 分别为椭圆E 的左顶点和上顶点，直线PA 交y 轴于D ，直线PB 交x 轴于C ，W AC BD =，问：W 的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明理由.答案：（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为4. 【分析】（1）由离心率得2a b =，再代入点的坐标可得参数b 值，得椭圆方程； （2）设()0,D m ，(),0C n ，用00,x y 表示,m n ，然后计算W AC BD =，并代入220044x y +=可得结论．解：解：（1）设椭圆方程为22221x ya b +=，(0)a b >>．2c e a b a =⇒=⇒=， 设椭圆方程为222214x y b b+=，又椭圆过点1,2M ⎛ ⎝⎭，所以2214144b b +=，解得1b =， 故椭圆方程为2214x y +=.（2）设()0,D m ，(),0C n ，由A ､D ､P 共线可知00002222AP AD y y mk k m x x =⇒=⇒=++，由B ､P ､C 共线可知0000111BP BC y xk k n x n y --=⇒=⇒=-. 0000222211x x y AC n y y +-=+=+=--，000002221122y x y BD m x x +-=-=-=++.∴()()()00002212x y W AC BD y x +-==-+2200000000004444822x y x y x y x y x y ++-+-=-+-+，由于220044x y +=，∴000000004488422x y x y W x y x y -+-+==-+-+.点评：方法点睛：椭圆中定值问题解决方法，由于00(,)P x y 是动点，因此可以把,C D 的坐标用00,x y 表示，然后计算W AC BD =，再代入动点坐标满足的性质，化简可得．即引入参数，利用参数计算结论，然后化简使得结论与参数无关，即得定值． 20．如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n 步回到点A 的概率n p ．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值； （III ）求n p ．答案：（I ）10,3；（II ）1；（III ）1111,=2{?430,21n n n k p n k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=-．试题分析：（1）由题意得经过1步不可能从点A 回到点A ，故10p =；经过2步从点A 回到点A 的方法有3种，即A-B-A ；A-D-A ；1A A A --，且选择每一种走法的概率都是13，由此可得所求概率．（2）分n 为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（3）结合（2）中的结论，分四种情况可得221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，故可得2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，于是得到 111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而可得结论． 试题解析：”（1）121110,3333p p ==⨯⨯=． （2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=； 当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -； ②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -；④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=， 所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+，即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 综上所述，1111,=2430,21n n n kp n k -⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥ ⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩． 点睛：本题难度较大，综合了排列组合和概率的有关知识，解题的关键是根据条件进行分类讨论，另外利用互斥事件和相互独立事件的概率的知识也是解决本题的重要工具． 21．（1）求()ln f x x x =-的最大值；（2）若()2ln 21x t x x +≤++对0x ≥恒成立，求实数t 的取值范围.答案：（1）1-；（2）(]0,e .【分析】（1）已知()f x 的解析式，对其进行求导，利用导数研究其单调性，从而求解； （2）设()()2ln 21g x x t x x =+---，由题意得()0g x ≤在0x ≥恒成立，由()00g ≤得0<e t ≤，求导得()()()24411x t x t g x x t--++-'=+，按1e t ≤≤和01t <<分类讨论即可.解：（1）()ln f x x x =-，则()11f x x'=-，令()0f x '≥得01x <≤. 故()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，∴()()max 11f x f ==-. （2）设()()2ln 21g x x t x x =+---，由()00g ≤得0<e t ≤，则()()()24411141x t x t g x x x t x t--++-'=--=++. ①若1e t ≤≤，则0x ≥时，240x -≤，()410t x -+≤，10t -≤，0x t +>， 此时()0g x '≤对0x ≥恒成立，故()g x 在[)0,+∞单调递减，()()0ln 10g x g t ≤=-≤，故[]1,e t ∈符合要求.②若01t <<，由（1）得()ln 1f x x x =-≤-，故ln 1≤-x x ，∴()ln 1x t x t +≤+-， 而()()22211222>0x x x t x t t ++-+-=-+≥-对0x ≥恒成立，∴()2211ln x x x t x t ++≥+-≥+.∴()0,1t ∈符合要求，综上，t 的取值范围为(]0,e .点评：关键点点睛：本题考查函数在某范围上的恒成立求参数的问题，代入某特值符合题意，求出参数再验证是否符合题意，属于中档题.22．已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,242x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴)中，曲线2C 的方程为()2sin 2cos >0p p ρθθ=，曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，其中定点()0,4M -.（1）若2p =，求MA MB +的值；（2）若MA ，AB ，MB 成等比数列，求p 的值. 答案：（1）（2）4-+【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，得曲线2C 的直角坐标方程，把曲线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程，利用韦达定理得1212,t t t t +，从而得120,0t t >>，利用参数的几何意义求得MA MB +的值；（2）同样把曲线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程，利用韦达定理得1212,t t t t +，从而得120,0t t >>，由参数t 的几何意义表示出MA ，AB ，MB ，再由等比数列的性质可求得p 值．解：（1）∵曲线2C 的方程为()2sin2cos >0p p ρθθ=，∴22sin 2cos p ρθρθ=，即()220y px p =>.∴曲线2C 的直角坐标方程为()220y px p =>，又已知2p =，∴曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.将曲线1C的参数方程,24x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，与24y x =联立，得2320t -+=，由于(2432>0∆=--⨯，∴设方程两根为1t ，2t，则12t t +=1232t t =，∴1212MA MB t t t t +=+=+=.（2）将曲线1C的参数方程,242x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，与()220y px p =>联立，得)24320t p t -++=，由于)()22443288>0p p p ⎡⎤∆=-+-⨯=+⎣⎦，∴设方程两根为1t ，2t，则)124t t p +=+，1232t t =，且10t >，20t >， 又MA ，AB ，MB 成等比数列， ∴2AB MA MB =⋅，得21212t t t t -=⋅，则()21212124t t t t t t +-=，即()212125t t t t +=.∴)24532p ⎡⎤+=⨯⎣⎦，得2840p p +-=，解得4p =-±，又0p >，∴4p =-+，∴当MA ，AB ，MB 成等比数列时，p得值为4-+点评：方法点睛：直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角），此参数方程中参数t 具有的几何意义：设()P t ，00(,)M x y ，则PM t =，如果有向线段MP 是向上方向，t 为正，有向线段MP 是向下方向，t 为负．由这种几何意义可解决直线与曲线相交的弦长问题．23．已知函数()|2||1|,f x x a x a R =-+-∈.（1）若不等式()2|1|f x x --无解，求实数a 的取值范围； （2）当2a <时，函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值.答案：（1）(,0)(4,)-∞+∞；（2）2a =-.【分析】（1）把()f x 代入不等式，并化简，根据题意可得min (|2||22|)2x a x -+->，利用绝对值三角不等式，可得|2|2a ->，简单计算可得结果.（2）使用零点分段法，去掉绝对值，可得()f x 表达式，然后画出图像，可得结果. 解：（1）把()|2||1|f x x a x =-+-代入不等式()2|1|f x x -- 得|2||22|2x a x -+-，因为不等式()2|1|f x x --无解， 所以min (|2||22|)2x a x -+->， 即|2|2a ->，解得4a >，或0a <， 所以实数a 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞.（2）函数()|2||1|f x x a x =-+-的零点是2a和1， 因为2a <，所以12a<， 则31,,2()1,1,231, 1.a x a x a f x x a x x a x ⎧-++⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪--⎪⎪⎩如图由图可知当2ax =时， min ()122af x =-=，得22a =-<符合题意， 所以2a =-.点评：本题考查绝对值不等式的应用以及分段函数图象应用，熟悉绝对值的三角不等式a b a b a b -≤±≤+，同时熟练掌握零点分段法的使用，属中档题.。

湖南省长沙市长郡、雅礼、一中、附中2021届高三上学期11月份联考数学（文科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，B＝{x|x2-x-6＜0}，则A∩B＝A．{-2，-1，0，1，2，3} B．{-2，-1，0，1，2}C．{-1，0，1，2} D．{-2，-1，0，1}2．若z(1+i)＝1-i，则z＝A．1-i B．1+i C．-i D．i3．在等比数列{a n}中，已知a n a n+1＝9n，则该数列的公比是A．-3 B．3 C．±3 D．94．已知数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据A．一样稳定B．变得比较稳定C．变得比较不稳定D．稳定性不可以判断5．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹（一根根同样长短和粗细的小棍子）来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种（如图所示）．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为A．B．C．D．6．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝A．2 B．52C．3 D．47．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是A ．22−B ．1C ．2D ．28．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出x +y 的值是A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1 9．已知函数2ln ()xf x ax x=−，若曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x -y +1＝0平行，则a ＝A ．12−B ．12C ．1D ．210．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为A ．42236++B ．42436++C ．2320+D ．4263+11．函数f (x )＝A sin(ωx +φ)(A ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f (x )的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数f (x )在3π,π2⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增B ．函数f (x )的图象关于点π,03⎛⎫− ⎪⎝⎭成中心对称C ．函数f (x )的图象向右平移5π12个单位后关于直线5π6x =成轴对称D ．若圆半径为5π12，则函数f (x )的解析式为3ππ()23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 12．若0＜a ＜b ＜c ，且abc ＝1，则下列结论正确的是 ①2a +2b ＞4 ②lg a +lg b ＜0 ③a +c 2＞2 ④a 2+c ＞2 A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①③ 二、填空题13．若x ，y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥−⎧⎪+≥⎨⎪−+≤⎩则z ＝x -2y 的最大值为________．14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝23，S n ＝360，S n -5＝183，则n ＝________．15．过双曲线22221(0,0)y x a b a b−=>>的下焦点F 1作y 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点F 2，则双曲线的离心率为________．16．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，∠APD ＝120°，AB ＝PA ＝PD ＝2，则该四棱锥P -ABCD 外接球的体积为________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c ，3sin cos a c A a C =−． （1）求∠C ；（2）求△ABC 周长的最大值．18．如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE ． 19．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）：轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆． （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x 的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数x i (1≤i ≤8，i ∈N )，设样本平均数为x ，求||0.5i x x −≤的概率． 20．设函数f (x )＝a e x +cos x ，其中a ∈R ． （1）若a ＝1，证明：当x ＞0时，f (x )＞2；（2）若f (x )在区间[0，π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．已知点P 是圆Q ：(x +2)2+y 2＝32上任意一点，定点R (2，0)，线段PR 的垂直平分线l 与半径PQ 相交于M 点，当P 在圆周上运动时，设点M 的运动轨迹为Γ． （1）求点M 的轨迹Γ的方程；（2）若点N 在双曲线22142x y −=（顶点除外）上运动，过点N ，R 的直线与曲线Γ相交于A ，B ，过点N ，Q 的直线与曲线Γ相交于C ，D ，试探究|AB |+|CD |是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由．（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为8,242xttyt⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若射线π(0)4θρ=>与直线l和曲线C分别交于A，B两点，求|AB|的值．23．选修4-5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|3x+2|．（1）解不等式f(x)＜4-|x-1|；（2）若a＞0且|x-a|-f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡、雅礼、一中、附中2021届高三上学期11月份联考数学（文科）参考答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1．C2．C 【解析】因为21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2z −−−====−++−，所以选C ． 3．B 【解析】由a n a n +1＝9n＞0，∴11111999nn n n n n n n a a a a a a ++−−−===，∴q 2＝9，故q ＝3或q ＝-3， 当q ＝-3时，a n a n +1＜0不符合题意．故选B ． 4．C 【解析】由题可得：12101210222011x x x x x x +++=⇒++=⇒……平均值为2， 由22221210(2)(2)(2)(22)111x x x −+−+−+−=…，2221210(2)(2)(2) 1.1110x x x −+−+−=>…，所以变得不稳定．故选C ．5．C 【解析】由算筹的定义，得，所以8771用算筹应表示为，故选C ．6．C 【解析】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =−的垂线，垂足为A ′，B ′，M ′，则有AA ′＝AF ，BB ′＝BF ，AA ′+BB ′＝2MM ′，∵M 到y 轴距离为1，∴32MM '=，∴AB ＝AF +BF ＝2MM ′＝3．故选C ．7．D 【解析】据题意，分别以AB 、AD 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A (0，0)，(2,0)B ，(2,1)E ，设F (x ，2)；∴(2,0)(,2)22AB AF x x ⋅=⋅==∴x ＝1；∴F (1，2)，(2,1)AE =， (12,2)BF =；∴2222AE BF ⋅=−+=D ． 8．D9．A 【解析】函数2ln ()x f x ax x =−的导数为21ln ()2xf x ax x−'=−，可得曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为k ＝1-2a ，由切线与直线2x -y +1＝0平行，可得1-2a ＝2，解得12a =−．10．A 【解析】由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如右图所示：其底面ABCD 为一个底边长是222的矩形，侧面PBC 是边长为22ABP ，ADP ，CDP 均是边长为2的等腰直角三角形，其表面积为232222)3S =⨯+⨯ 21242362⨯=，故选A ． 11．D 【解析】由图易得点C 的横坐标为π3，所以f (x )的周期T ＝π，所以ω＝2，又π06f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以π3ϕ=，因此π()sin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数f (x )的图象不关于点π,03⎛⎫− ⎪⎝⎭成中心对称．若圆半径为5π122235ππ123A ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3πA =，函数f (x )的解析式为3π()f x = π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选D ．12．B 【解析】由题意0＜a ＜b ＜c 且abc ＝1，∴0＜a ＜1，c ＞1，0＜ab ＜1，bc ＞1． 2a +2b -4＝2a +2b -2abc -2abc ＝2a (1-2bc )+2b (1-2ac )，∵0＜a ＜b ＜c ，∴bc ＞0，ac ＞0，2bc ＞1，2ac ＞1，所以2a+2b-4＜0，所以①错． lg a +lg b ＝lg ab ＜0，②正确． 2212a c ac abc +，所以a +c 2＞2，③正确． 由题意，令b ＝1，则1c a =，221a c a a +=+，令21()f a a a=+，(0＜a ＜1)，则322121()2a f a a a a −'=−=， 令f ′(a )＝0，得1301(0,1)2a a ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以f (a )在(0，a 0)上单调递减，在(a 0，1)上单调递增， 所以f (a 0)＜f (1)＝2，所以④错误．故选B ． 二、填空题13．-3 【解析】由x ，y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥−⎧⎪+≥⎨⎪−+≤⎩作出可行域如图，化目标函数z ＝x -2y 为122z y x =−， 由图可知，当直线122zy x =−过点A (-1，1)时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为-3．14．18 【解析】由题意知S 5＝a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝23， S n -S n -5＝a n +a n -1+a n -2+a n -3+a n -4＝360-183＝177， 两式相加可得：(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+(a 3+a n -2)+(a 4+a n -3)+(a 5+a n -4)＝23+177＝200， 所以a 1+a n ＝40，1203602nn a a S n n +=⨯==，因此n ＝18． 15．12+ 【解析】过双曲线22221(0,0)y x a b a b −=>>的下焦点F 1作y 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，则22||b AB a =，以AB 为直径的圆恰好过其上焦点F 2，可得：22b c a=，∴c 2-a 2-2ac＝0，可得e 2-2e -1＝0，解得12e =+，12e =−（舍去）．故答案为：12+．16．205π3【解析】取AD 的中点E ，连接PE ，△PAD 中，∠APD ＝120°，PA ＝PD ＝2，∴PE ＝1，23AD =，设ABCD 的中心为O ′，球心为O ，则122O B BD '==，设O 到平面ABCD 的距离为d ，则R 2＝d 2+22＝12+(1+d )2，∴d ＝1，5R =，∴四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为34205ππ33R =．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17．【解析】（1）∵3sin cos a c A a C =−， 由正弦定理得：sin 3sin sin sin cos A C A A C =−，∵sin A ≠0，∴3sin cos 1C C −=，即π1sin 62C ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， 又0＜C ＜π，∴ππ5π666C −<−<，故ππ66C −=，即π3C =；（2）由（1）可知，π3C =， 在△ABC 中，由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos C ＝3， 即a 2+b 2-ab ＝3，∴223()()334a b a b ab ++−=≤，∴23a b +≤，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b c ++33≤，即△ABC 周长的最大值为33．18．【解析】（1）因为BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，所以AE ⊥BC ， 又BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以AE ⊥BF ， 又BF ∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，所以AE ⊥BE ．（2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，因为点N 为线段CE 的中点．所以PN ∥DC ，且12PN DC =， 又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以AM ∥DC ，且12AM DC =， 所以PN ∥AM ，且PN ＝AM ， 故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ∥AP ， 而AP ⊂平面DAE ，MN ⊄平面DAE ，所以MN ∥平面DAE ． 19．【解析】（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得5010100300n =+，所以n ＝2000． 则z ＝2000-(100+300)-(150+450)-600＝400． （2）设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意40010005a=，得a ＝2． 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车． 用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有： (A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个． 事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故7()10P E =，即所求概率为710．（3）样本平均数1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =⨯+++++++=． 设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0共6个， 所以63()84P D ==，即所求概率为34． 20．【解析】（1）f ′(x )＝e x -sin x ， 由x ＞0，得e x ＞1，sin x ∈[-1，1]， 则f ′(x )＝e x -sin x ＞0，即f (x )在(0，+∞)上为增函数． 故f (x )＞f (0)＝2，即f (x )＞2． （2）由f (x )＝a e x +cos x ＝0，得cos e x x a =−． 设函数cos ()ex xh x =−，x ∈[0，π]， 则()h x '= sin cos e x x x +． 令h ′(x )＝0，得3π4x =． 则3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，h ′(x )＞0，3π,π4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 又因为h (0)＝-1，h (π)＝e -π，3π43π4h −⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以当3ππ4e ,2a −−⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程cos e x x a =−在区间[0，π]内有两个不同解， 即所求实数a的取值范围为3ππ4e −−⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 21．【解析】（1）依题意：|MP |＝|MR |，且||||||||||4||MR MQ MQ MP PQ RQ +=+===， 由椭圆定义知点M 的轨迹为以R ，Q 为焦点，长轴长为焦距为4的椭圆，即：a =c ＝2，b ＝2， 故Γ：22184x y +=．（2）设N (x 0，y 0)，则2200142x y −=，x 0≠±2，∴直线NR ，NQ 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2，则220001222000021222442x y y y k k x x x x −=⋅===+−−−， 将直线NR 的方程y ＝k 1(x -2)代入28x + 214y =得2222111(21)8880k x k x k +−+−=， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则211221821k x x k +=+，12x x 21218821k k −=+，∴21211||21k AB k ++，同理可得||CD = 2222121k k ++，∴22222112112222121121131(21)11142||||12121212112k k k k k AB CD k k k k k ⎛⎫++⎪⎫+++⎪+=+=+=⎪++++⎪⎭+ ⎪⎝⎭=1122．【解析】（1）直线l 的参数方程为8,242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），消去参数可得普通方程：y +x ＝4(x ≠0)． 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ．即ρ2＝2ρsin θ，可得普通方程：x 2+y 2＝2y ．（2）射线π(0)4θρ=>，即y ＝x (x ＞0)． 联立,4,y x x y =⎧⎨+=⎩解得2,2,x y =⎧⎨=⎩ 联立22,2,y x x y y =⎧⎨+=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩与直线l 和曲线C 分别交于A (2，2)，B (1，1)，||AB 23．【解析】（1）函数f (x )＝|3x +2|，∴不等式f (x )＜4-|x -1|化为|3x +2|+|x -1|＜4， 当23x <−时，不等式化为-3x -2-x +1＜4，解得5243x −<<−； 当213x −≤≤时，3x +2-x +1＜4，解得2132x −≤<； 当x ＞1时，3x +2+x -1＜4，无解； 综上，不等式的解集为51,42⎛⎫− ⎪⎝⎭； （2）令g (x )＝|x -a |-f (x )， 则222,,32()|||32|42,,322,;x a x g x x a x x a x a x a x a ⎧++<−⎪⎪⎪=−−+=−−+−≤≤⎨⎪−−−>⎪⎪⎩当23x =−时，g (x )取得最大值为max 2()3g x a =+； 欲使不等式g (x )≤4恒成立，只需243a +≤，解得103a ≤； 又因为a ＞0，所以1003a <≤，即a 的取值范围是100,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．。

2021年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（一）（一模）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若复数z=(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i为虚数单位，则实数a的值为()A. −1B. 0C. 1D. ±12.已知向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(0,2)，则a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |2的最大值为()A. 2√2B. 2C. √2D. 13.设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x+y−m=0和圆C：(x−1)2+(y−2)2=3−m有公共点”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.2020年，我国脱贫攻坚已取得决定性胜利.如图是2015−2019年年末全国农村贫困人口和贫困发生率(贫困人口占目标调查人口的比重)的变化情况(数据来源：国家统计局2019年统计年报).根据图表可得出的正确统计结论是()A. 五年来贫困发生率下降了5.2个百分点B. 五年来农村贫困人口减少超过九成C. 五年来农村贫困人口减少得越来越快D. 五年来目标调查人口逐年减少5.若数列{a n}满足1a n+1−2a n=0，则称{a n}为梦想数列，已知正项数列{1b n}，为梦想数列，且b1+b2+b3=1，则b6+b7+b8=()A. 4B. 16C. 32D. 646.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是()A. f(x)=sin5x2−x−2x B. f(x)=cosx2x−2−xC. f(x)=cos5x|2x−2−x|D. f(x)=sin5x|2x−2−x|7.已知抛物线y2=2px(p>0)上有两个动点M，N，F为该抛物线的焦点.已知FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，以MN为直径的圆的周长为8π，且过该圆的圆心P作该抛物线准线l的垂线PQ，垂足为Q，则线段|PQ|的最大值为()A. 4√2B. 2√2C. 4D. 88.四面体ABCD的四个顶点都在球O上，且AB=AC=BC=BD=CD=4，AD=2√6，则球O的表面积为()A. 70π3B. 80π3C. 30πD. 40π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设正实数a、b满足a+b=1，则()A. √ab有最大值12B. 1a+2b+12a+b有最小值3C. a2+b2有最小值12D. √a+√b有最大值√210.已知将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y轴对称，函数y=f(x)在x∈[0,2π]上至多存在两个极大值点，则下列说法正确的是()A. ω=1B. f(x)在[π2,π]上单调递增C. ω=2D. f(x)的图象关于直线x=π6对称11.已知棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1的所有顶点均在体积为32√3π的球O上，动点P在正方形A1B1C1D1内运动(包含边界)，若直线CC1与直线AP所成角的正弦值为13，则()A. a=2B. 点P运动轨迹的长度为√2π2C. 三棱锥P−AC1D1体积的取值范围为[32−8√23,32 3]D. 线段OP长度的最小值为√512. 曲率半经是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)上点P(x 0,y 0)处的曲率半径公式为R =a 2b 2(x 02a 4+y 02b 4)32，则下列说法正确的是( )A. 对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点处的曲率半径的最大值为aC. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点处的曲率半径的最小值为b2aD. 对于椭圆x 2a 2+y 2=1(a >1)上一点(12,y 0)处的曲率半径随着a 的增大而减小 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(1+x)10=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 10(1−x)10，则a 8=______． 14. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x ，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为______x. 15. 设椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2m 2−y 2n 2=1(m >0,n >0)的公共焦点为F 1，F 2，将C 1，C 2的离心率记为e 1，e 2，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点，若点A 关于C 2的一条渐近线的对称点为F 1，则1e 12+1e 22= ______ ．16. 将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有______种不同的放法． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3c −2bsinC =0．(1)求角B 的大小；(2)从条件①b =3√3，a =4；条件②a =2，A =π4这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．18.如图，七面体ABCDEF的底面是凸四边形ABCD，其中AB=AD=2，∠BAD=120°，AC，BD垂直相交于点O，OC=2OA，棱AE，CF均垂直于底面ABCD．(Ⅰ)求证：直线DE与平面BCF不平行；(Ⅱ)若CF=1，求直线BC与平面BFD所成的角的正弦值．19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l，过抛物线上一点B向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C的焦点F，且|BF|=4．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点(1,0)的直线m与抛物线C交于D，E两点.记直线AD，AE的斜率分别为k1，k1，若k1+k2=1，求直线m的方程．320.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4a1，且a1+2，2a2，a3成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=S n−na n+1S n S n+1，求数列{b n}的前n项和T n．21.已知函数f(x)=xlnx−12kx2−x，g(x)=lnx−kx．(1)当k=1时，求g(x)的最大值；(2)当0<k<1e时，(ⅰ)判断函数g(x)的零点个数；(ⅰ)求证：f(x)有两个极值点x1，x2，且f(x1)x1+f(x2)x2>−1．22.“博弈”原指下棋，出自我国《论语⋅阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人、团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程.生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲、乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙3元，若同时亮出反面，则甲付给乙1元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲2元．(Ⅰ)若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望．(Ⅱ)因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以控制“亮”出正面或反面的频率(假设进行多次游戏，频率可以代替概率)，因此双方就面临竞争策略的博弈.甲、乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲、乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析游戏规则是否公平．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为z =(1+ai)⋅(1−i)=1−i +ai −ai 2=(1+a)+(a −1)i ， 则|z|=√(1+a)2+(a −1)2=√2a 2+2=2，解得：a =±1． 故选：D ．先对已知复数进行化简，然后结合复数的模长公式进行求解． 本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长求解，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(0,2)， 则a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |2=2x 1+x 2=21x+x ，当x ≤0时，2x1+x2≤0， 当x >0时，21x+x ≤2√x⋅x=1，当且仅当x =1时，取等号，所以a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |2的最大值为：1．故选：D ．利用已知条件推出所求表达式，然后求解最大值即可． 本题考查向量的数量积的求法，函数的最值的求法，是中档题．3.【答案】A【解析】解：圆C ：(x −1)2+(y −2)2=3−m ，圆心(1,2)，半径r =√3−m(m <3)， 若直线l 与圆C 有公共点， 则圆(1,2)到直线的距离d =√2≤√3−m ，解得：1≤m <3，∵{m|1≤m ≤2}⫋{m|1≤m <3}，∴1≤m ≤2是直线l ：x +y −m =0和圆C ：(x −1)2+(y −2)2=3−m 有公共点的充分不必要条件． 故选：A ．由直线与圆的位置关系可得d ≤r ，可解得1≤m <3，再利用集合的包含关系即可得到结论．本题考查充要条件的判断，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：对于A，五年来贫困发生率下降了5.7−0.6=5.1个百分点，故选项A错误；对于B，(5575−551)÷5575≈90.1%>90%，所以五年来农村贫困人口减少超过九成，故选项B正确；对于C，农村贫困人口减少的速度应看直线斜率的绝对值的大小，由图中可知，2018−2019年的斜率绝对值比2017−2018年的绝对值小，故选项C错误；对于D，题中给出的图形中没有反映五年来目标调查人口是否逐年减少，故选项D错误．故选：B．结合题中给出的条形图和折线图对选项进行逐一的分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从不同的统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为1a n+1−2a n=0，所以1a n+1=2⋅1a n，故若数列{a n}为理想数列，则该数列的倒数1an构成公比为2的等比数列．故{1bn}为理想数列，则{b n}构成2为公比的等比数列，结合等比数列的性质可知：因为b1+b2+b3=1，且25=b6b1=b7b2=b8b3，所以b6+b7+b8=(b1+b2+b3)×25=32．故选：C．易知由1a n+1−2a n=0可得a n+1=12a n，a n≠0，即理想数列的倒数构成等比数列．由此即可解决问题．本题考查等比数列的性质、递推式的应用，同时考查学生的运算能力．属于中档题．6.【答案】C【解析】解：观察图象可知，函数的图象关于y轴对称，而选项B，D为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意；对选项A而言，当x∈(0,π5)时，f(x)<0，不合题意；故选：C．由函数的对称性及特殊点的函数值，利用排除法得解．本题考查函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ， 则根据抛物线性质和梯形中位线定理可知，|PQ|=12(a +b)，而由FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可知，F 在以MN 为直径的圆上，|MN|=8，则a 2+b 2=64， 则a+b 2≤√a2+b 22=4√2，当且仅当a =b 时等号成立，故选：A ．设|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，根据抛物线性质和梯形中位线定理，推出|PQ|=12(a +b)，推出a 2+b 2=64，利用基本不等式求解最值即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：如图，取BC ，AD 的中点M ，N ，连结AM ，MD ，MN ，因为AB =AC =BC =BD =CD =4， 所以AM =MD =2√3，又AD =2√6， 故A M 2+MD 2=AD 2，则∠AMD =90°， 所以△AMD 为等腰直角三角形， 所以MN =AN =ND =√6，取MN 上一点O ，连结OC ，OB ，OA ，OD ，因为OB =OC ，OA =OD ，只需使得OC =OD ，则点O 为三棱锥外接球的球心， 设OM =x ，则ON =√6−x ，所以OC 2=x 2+22=OD 2=(√6−x)2+(√6)2，解得x =2√63，所以OC 2=x 2+22=203，故球O 的表面积为4π⋅(OC)2=4π⋅203=80π3．故选：B ．取BC ，AD 的中点M ，N ，连结AM ，MD ，MN ，利用长度关系可得△AMD 为等腰直角三角形，取MN上一点O，连结OC，OB，OA，OD，只需使得OC=OD，则点O为三棱锥外接球的球心，设OM=x，列出关于x的等式关系，求出x，即可得到外接球的半径，由球的表面积公式求解即可．本题考查了球的表面积的求解，解题的关键是确定球心O的位置，求解球的半径，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．9.【答案】ACD【解析】解：因为正实数a、b满足a+b=1．对于A选项，由基本不等式可得√ab≤a+b2=12，当且仅当a=b=12时，等号成立，A选项正确；对于B选项，由基本不等式可得1a+2b +12a+b=13(3a+3b)(1a+2b+12a+b)，=13[(a+2b)+(2a+b)](1a+2b+12a+b)=13(2+2a+ba+2b+a+2b2a+b)≥13(2+2√a+2b2a+b⋅2a+ba+2b)=43，当且仅当a=b=12时，等号成立，B选项错误；对于C选项，a2+b2=(a+b)2−2ab≥(a+b)2−2×(a+b2)2=(a+b)22=12，当且仅当a=b=12时，等号成立，C选项正确；对于D选项，∵(√a+√b)2=a+b+2√ab≤2(a+b)=2，则√a+√b≤√2，当且仅当a=b=12时，等号成立，D选项正确．故选：ACD．由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．10.【答案】AD【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π3)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)=sin(ωx+π6ω+π3)的图象，因为g(x)的图象关于y轴对称，所以π6ω+π3=kπ+π2(k∈Z)，解得ω=6k+1(k∈Z)．又ω>0，所以ω≥1．当ω=1时，f(x)=sin(x+π3),y=f(x)在x∈[0,2π]上只有一个极大值点，满足题意．当ω=7时，f(x)=sin(7x+π3),y=f(x)在x∈[0,2π]上极大值点的个数大于2，不满足题意．所以当ω≥7时，f(x)在x∈[0,2π]上极大值点的个数大于2，所以ω=1，故A正确，C 错误；综上，f(x)=sin(x+π3)．当x=π6时，x+π3=π2，因此，f(x)的图象关于直线x=π6对称，故D正确．当π2≤x≤π时，5π6≤x+π3≤4π3，此时f(x)是单调递减的，故B错误，故选：AD．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：由正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，得球O的半径为√32a，所以V O=43π(√32a)3=32√3π，解得a=4，故A错误；因为CC1//AA1，所以∠A1AP即直线CC1与直线AP所成的角，所以sin∠A1AP=13，所以tan∠A1AP=√24，连接A1P，因为AA1=4，所以A1P=AA1⋅tan∠A1AP=√2，所以点P的运动轨迹是以A1为圆心，√2为半径的圆的四分之一，所以点P运动轨的长度为14×2π×√2=√2π2，故B正确；由等体积法可知V P−AC1D1=V A−PC1D1，由点P的运动轨迹可知，P到线段C1D1的距离d满足4−√2≤d≤4，所以△PC1D1的面积S∈[8−2√2,8]，易知AA1⊥平面PC1D1，所以V P−AC1D1=V A−PC1D1=13AA1⋅S△PC1D1∈[32−8√23,323]，故C正确；设正方形A1B1C1D1的中心为O1，连接O1P，OO1，则OP min=√OO12+O1P min2，易知当A1，P，O1三点共线时，O1P取得最小值，所以OP min=√22+(2√2−√2)2=√6，故D错误．故选：BC．由正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，求出球O的半径为√32a，利用体积求解a判断A；说明∠A1AP即直线CC1与直线AP所成的角，连接A1P，转化求解点P运动轨的长度判断B；由等体积法可知V P−AC1D1=V A−PC1D1，求解体积的范围判断C；设正方形A1B1C1D1的中心为O1，连接O1P，OO1，当A1，P，O1三点共线时，O1P取得最小值，求出最小值判断D．本题考查命题的真假的判断，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】AC【解析】解：选项A：圆的方程为：x2R2+y2R2=1(a2=b2=R2)，所以圆上任意一点曲率半径为R4(x2+y2R4)32=R4⋅R−3=R，故A正确；选项B，C：由已知曲率半经是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，则椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)在(±a,0)处弯曲程度最大，在(0,±b)处弯曲程度最小，故曲率半径的最大值为a2b2(a2a4+0b4)32=a2b2⋅a−3=b2a，最小值为a2b2(0a4+b2b4)32=a2b2⋅b−3=a2b，故B错误，C正确；选项D：R=a2(14a2+y02)32=a2(14a4+1−14a2)32=[a43(14a4+1−14a2)]32=(14a−83+a43−14a−23)32，令f(a)=14a−83+a43−14a−23，a>1，f′(a)=16a−113(8a4+a2−4)>0，∴R在(1,+∞)上随a增大而增大，D错误．故选：AC．对于曲线上任意取一点，由题意可以判断选项A，由椭圆方程中变量有范围限制，进而可以确定选项BC，再利用导数可以判断出选项D．本题考查了新概念，曲线任意点的曲率，应用导数研究变化趋势，属于难题．13.【答案】180【解析】【分析】本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．将1+x写成2−(1−x)；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1−x的指数为8，求出a8．【解答】解：∵(1+x)10=[2−(1−x)]10∴其展开式的通项为T r+1=C10r210−r[−(1−x)]r=(−1)r·210−r·C10r(1−x)r，令r=8得a8=4C108=180故答案为180．14.【答案】172【解析】解：第1关收税金：12x；第2关收税金：13(1−12)x=12×3x；第3关收税金：1 4(1−12−16)x=13×4x；…，可得第8关收税金：18×9x，即172x.故答案为：172．第1关收税金：12x；第2关收税金：13(1−12)x=12×3x；第3关收税金：14(1−12−16)x=13×4x；…，可得第8关收税金．本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：连接AF2，由题意可得焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2m，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，所以|AF1|2+|AF2|2=2m2+2a2，因为点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1，所以双曲线的一条渐近线是线段AF1的中垂线，所以∠F1AF2=90°，所以|AF1|2+|AF2|2=4c2，所以2m2+2a2=4c2，即m2+a2=2c2，所以m2c2+a2c2=2，所以1e12+1e22=2．故答案为：2．连接AF2，由题意可得焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2m，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，推出|AF1|2+|AF2|2=2m2+2a2，然后转化求解1e12+1e22即可．本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】535【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①四个盒子中都放入小球，需要将5个小球分为4组，即2、1、1、1的四组，2个小球的一组只能放在编号为2，3，4的三个盒子，剩下的三组可以放进任意的盒子中，则有C52C31A33=180种放法；②有3个盒子中放入小球，先将5个小球分为3组，若分为3、1、1的三组，3个小球的一组只能放在编号为3，4的两个盒子，剩下的2组可以放进任意的盒子中，有C53C21A32=120种放法，若分为2、2、1的三组，2个小球的一组只能放在编号为2，3，4的三个盒子，剩下的1组可以放进任意的盒子中，有12C52C32A32C21=180种放法，此时有120+180=300种放法；③有2个盒子中放入小球，先将5个小球分为2组，若分为3、2的两组，3个小球的一组只能放在编号为3，4的两个盒子，剩下的1组有2种放法，有C52×4=40种放法，若分为1、4的两组，4个小球的一组只能放在编号为4的盒子，剩下的1组可以放进任意的盒子中，有C54×3=15种放法，此时有40+15=55种放法；则有180+300+55=535种放法；故答案为：535根据题意，按放入小球的盒子的数目进行分类讨论，求出每种情况下的放法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类分步计数原理的应用，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵√3c−2bsinC=0，由正弦定理√3sinC−2sinBsinC=0．∵C∈(0,π2),sinC≠0，∴sinB=√32．∵B∈(0,π2)，∴B=π3；(2)条件①：b=3√3,a=4；∵b=3√3,a=4，由(1)B=π3，∴根据余弦定理得b2=c2+a2−2cacosB，即27=c2+16−4c，化简整理为c2−4c−11=0，解得c=2+√15，(负根舍去)，∴△ABC的面积S=12c⋅asinB=2√3+3√5；条件②：a=2,A=π4；由(1)B=π3,A=π4，根据正弦定理得bsinB =asinA，∴b=asinBsinA=2×√32√22=√6，∵C=π−A−B=5π12，∴sinC=sin5π12=sin(π4+π6)=√6+√24，∴△ABC的面积S=12b⋅asinC=3+√32．【解析】(1)根据正弦定理即可求出sinB =√32，从而得出B =π3；(2)选择条件①：根据余弦定理即可求出c =2+√15，然后即可求出△ABC 的面积；选择条件②：根据正弦定理可求出b 的值，并求出sinC =√6+√24，然后即可求出△ABC 的面积．本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：以O 为原点，OC为x 轴，OD 为y 轴，过O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设CF =a ，AE =b ，则D(0,√3,0)，E(−1,0，b)，B(0,−√3,0)，C(2,0，0)，F(2,0，a)， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,a)，设平面BCF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +√3y =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +√3y +az =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,−2,0)，∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3+2√3=√3≠0， ∴直线DE 与平面BCF 不平行． (Ⅱ)解：∵CF =1，∴F(2,0，1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,0)， 设平面BFD 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +√3y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3y =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,0，−2)， 设直线BC 与平面BFD 所成的角为θ， 则直线BC 与平面BFD 所成的角的正弦值为： sinθ=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=2√7⋅√5=2√3535．【解析】(Ⅰ)以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线DE 与平面BCF 不平行． (Ⅱ)求出平面BFD 的法向量，利用向量法能求出直线BC 与平面BFD 所成的角的正弦值．本题考查两直线不平行证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为(p2,0)，准线为l：x=−p2，由题意可得B(p2,4)，代入抛物线方程可得p2=16，解得p=4，所以抛物线的方程为y2=8x；(Ⅱ)当直线m的斜率不存在时，k1+k2=0与题意不符，所以直线m的斜率一定存在，设直线m的方程为y=k(x−1)，代入抛物线的方程可得k2x2−(2k2+8)x+k2=0，设D(x1,y1)，E(x2,y2)，则x1+x2=2+8k2，x1x2=1，△=(2k2+8)2−4k4>0成立，k1+k2=y1x+2+y2x2+2=k(x1−1)x1+2+k(x2−1)x2+2=k[2x1x2+(x1+x2)−4] x1x2+2(x1+x2)+4=8k9k2+16=13，解得k=43，所以直线m的方程为4x−3y−4=0．【解析】(Ⅰ)求得抛物线的焦点和准线方程，可得B的坐标，代入抛物线的方程，解得p，可得抛物线的方程；(Ⅱ)判断直线m的斜率存在，设直线m的方程为y=k(x−1)，代入抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，可得k，进而得到所求直线方程．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比是q，由S2=4a1得q=3．∵a1+2，2a2，a3成等差数列，∴4a1q=a1+2+a1q2，解得a1=1．∴a n=3n−1(n∈N∗).(4分)(2)∵数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴S n=12(3n−1)．∵b n=S n−na n+1S n S n+1=(n+1)S n−nS n+1S n S n+1=n+1S n+1−nS n，∴T n=(2S2+3S3+⋯+nS n+n+1S n+1)−(1S1+2S2+⋯+n−1S n−1+nS n)=n+1S n+1−1S1=2(n+1)3n+1−1−1=2n+3−3n+13n+1−1.(12分)【解析】(1)设等比数列{a n}的公比是q，由S2=4a1得q.由a1+2，2a2，a3成等差数列，可得4a1q=a1+2+a1q2，解得a1，即可得出a n．(2)由数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，利用求和公式可得S n，通过裂项求和即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当k=1时，g(x)=lnx−x(x>0)，g′(x)=1x −1=1−xx，令g′(x)>0，可得0<x<1，令g′(x)<0，可得x>1，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以在x=1处，g(x)取得极值大值，也是最大值，故g(x)的最大值为g(1)=−1．(2)(ⅰ)g′(x)=1x −k=1−kxx，令g′(x)=0，可得x=1k，可得g(x)在(0,1k )上单调递增，在(1k,+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1k )=−lnk−1，因为0<k<1e，所以lnk<−1，所以g(1k)=−lnk−1>0，因为g(1)=−k<0，g(1k2)=−2lnk−1k<0，由零点存在性定理可知g(x)在(1,1k )和(1k,1k2)上各有一个零点，所以g(x)有2个零点．(ⅰ)证明：f′(x)=lnx−kx=g(x)，由(ⅰ)可知，f′(x)有两个变号零点，所以f(x)有两个极值点x1，x2，所以lnx1=kx1，lnx2=kx2，所以lnx1+lnx2=k(x1+x2)，所以f(x1)x1+f(x2)x2=lnx1+lnx2−k2(x1+x2)−2=12(x1+x2)−2，要证f(x1)x1+f(x2)x2>−1，即证12(x1+x2)−2>−1，即证x1+x2>2，由(ⅰ)可知，x1+x2>1+1k ，又0<k<1e，所以1k>e，所以x1+x2>1+e>2，所以f(x1)x1+f(x2)x2>−1，成立．【解析】(1)对g(x)求导，利用导数求得g(x)的单调性，进而可求得最大值；(2)(ⅰ)对g(x)求导，利用导数求得g(x)的单调性与最值，利用零点存在定理即可判断零点个数；(ⅰ)由(ⅰ)可知f′(x)有两个变号零点，则f(x)有两个极值点x1，x2，由lnx1=kx1，lnx2=kx2，可得f(x1)x1+f(x2)x2=12(x1+x2)−2，分析可得要证f(x1)x1+f(x2)x2>−1，只需证x1+x2>2，由(ⅰ)可知，x1+x2>1+1k ，结合0<k<1e，即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，以及不等式的证明，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)因为是各自随机“亮”出正反面，所以甲、乙“亮”出正面的概率均可认为是12，设乙在此游戏中的收益为随机变量X，则X的可能取值为−2，1，3，所以可得乙的收益的分布列为：故乙收益的期望E(X)=−2×12+1×14+3×14=0；(Ⅱ)假设甲以p(0≤p≤1)的概率“亮”出正面，乙以q(0≤q≤1)的概率“亮”出正面，甲收益的随机变量为Y，乙收益的随机变量为Z，则此时甲的收益的分布列为：所以甲的收益期望为E(Y)=2[p(1−q)+q(1−p)]−(1−p)(1−q)−3pq=(3−8q)+3q−1，同理可得乙的收益的分布列为：所以乙的收益期望为E(Z)=−2[p(1−q)+q(1−p)]+(1−p)(1−q)+3pq =(8p −3)q −3p +1，根据甲的收益期望高，可知乙的最优策略师“亮”出正面的概率为38，否则若38<q ≤1，则甲的收益期望E(Y)=(3−8q)p +3q −1，甲利益选项都“亮”反面的策略，即p =0，达到预期收益最大，此时E(Y)=3q −1>18，若0≤q <38，则甲选择都“亮”出正面的策略，即p =1，达到预期收益最大，E(Y)=2−5q >18，同理，可知甲的最优策略是“亮”出正面的概率为38，所以最终两人的决策为保持“亮”出正面的概率都为38，而当p =q =38时，E(Y)=18，E(Z)=−18，所以此时游戏结果对两人都是最有利，但是规则不公平．【解析】(Ⅰ)根据题意，甲、乙“亮”出正面的概率均可认为是12，确定乙在此游戏中的收益为随机变量X 的可能取值，列出分布列，由期望的求解公式计算即可； (Ⅱ)假设甲以p(0≤p ≤1)的概率“亮”出正面，乙以q(0≤q ≤1)的概率“亮”出正面，甲收益的随机变量为Y ，乙收益的随机变量为Z ，分别列出甲、乙收益的分布列以及数学期望，通过计算结果，按照38<q ≤1，0≤q <38两种情况分别分析即可． 本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望的理解和应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．。

2021-2022学年湖南省长沙一中高三（上）月考数学试卷（五）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x≤2}，B={x|x2−x−6<0}，则(∁U A)∩B=()A. [2,3)B. (2,3)C. (−∞,3)D. (−2,+∞)2.复数z满足(1+i)z=3+2i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数f(x)=x2−1e x的图象大致为()A. B.C. D.4.传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1，3，6，10，15，…叫做三角形数；把1，4，9，16，25，…叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是()A. 16B. 25C. 36D. 495.在(2x√x)5的展开式中x2的系数为20，则常数a=()A. ±12B. 12C. ±√2D. √26.已知a>0，b>0，直线(a−1)x+2y+3=0与直线x+by−1=0垂直，则1a +1b的最小值是()A. 2+√2B. 4C. 3+2√2D. 67.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为P，且|PF1|+2|PF2|=2|F1F2|，则此双曲线的离心率是()A. √2B. 2C. 4D. 58.已知函数f(x)=2x13，若当x∈R时，f(e x)+f(ae x−2√3)>0恒成立，则实数a的取值范围是()A. (√3,+∞)B. (−∞,√3)C. (3,+∞)D. (−∞,3)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列说法中正确的是()A. 在回归分析模型中，若相关指数R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好B. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(x i,y i)(i=1,2,…,8)，其线性回归方程是ŷ=x+â，且y1+y2+y3+⋯+y8=2(x1+x2+x3+⋯+x8)=16，则实数a的值是1C. 若一组数据2，a，4，6的平均数是4，则这组数据的众数和中位数都是4D. 设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ≥1)=p，则P(−1<ξ≤0)=1−p210.已知两条直线m，n和两个平面α，β，下列命题正确的是()A. 若m//α，n//β，且m//n，则α//βB. 若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βC. 若m⊥α，n//β，且m//n，则α⊥βD. 若α⊥β，且a⊂α，则a⊥β11.设动直线l：mx−y−2m+3=0(m∈R)交圆C：(x−4)2+(y−5)2=12于A，B两点(点C为圆心)，则下列说法正确的有()A. 直线l过定点(2,3)B. 当|AB|取得最大值时，m=1C. 当∠ACB最小时，其余弦值为14D. AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2412.已知函数f(x)=sin|x|+√3|cosx|，下列说法正确的有()A. 函数f(x)在[23π,76π]上单调递减B. 函数f(x)是最小正周期为2π的周期函数C. 函数的最大值与最小值之和为1D. 函数f(x)在区间[−8,8]内，共有4个零点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设F为抛物线C：x2=16y的焦点，直线l：y=−1，点A为C上任意一点，过点A作AP⊥l于P，则||AP|−|AF||=______．14.平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于P(x0,y0)，若cos(α−π4)=√33，则x0y0=______．15.已知圆O的半径为2，A为圆内一点，OA=12，B，C为圆O上任意两点，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．16.如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成．设其中的第一个直角△OA1A2是等腰三角形，且A1A2=A2A3=⋯=A n A n+1=√2，则OA2=2，OA3=√6，…，OA n=√2n，现将△OA1A2沿OA2翻折成△OPA2，则当四面体OPA2A3体积最大时，它的表面有______个直角三角形；当PA3=√2时，四面体OPA2A3外接球的体积为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=6n−1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n−a n}是公比为2的等比数列，且b1=2，求数列{b n}的前n项和S n．18.如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=√3，AD=1，∠CAD=30°．(1)求∠ACD；(2)若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围．19.在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB=BC=CD=PC=PD=2，PA=AD=4．(1)求证：平面PCD⊥平面ABCD；(2)求二面角B−PC−D的正弦值．20.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1−9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．(1)赛前小明在某数独APP 上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如表的数据：现用y =a +bx 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，每天解题的平均速度y 约为多少秒？(2)小明和小红在数独APP 上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为23，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．参考数据(其中t i =1x i)参考公式：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v ̂=α̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β̂=∑u i n i=1v i −nu −⋅v−∑u i 2n i=1−nu−2，α̂=v −−β̂⋅u −．21. 已知一动圆Q 与圆M ：(x +1)2+y 2=1外切，同时与圆N ：(x −1)2+y 2=25内切，圆心Q 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上点P 作该曲线的一条切线l 与直线x =1相交于点A ，与直线x =9相交于点B ，证明PN ⊥NB 并判断|AN||BN|是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．22.已知函数f(x)=(e x−k)x2，k>0．(1)若k=2，求函数f(x)的极值点的个数；(2)是否存在正实数k使函数f(x)的极值为2ek2，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|x≤2}，B={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，则(∁U A)∩B={x|x>2}∩{x|−2<x<3}=(2,3)．故选：B．解二次不等式先求出集合B，然后结合集合补集及交集运算可求．本题主要考查了二次不等式的求解及集合补集与交集运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由(1+i)z=3+2i得z=3+2i1+i =(3+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=52−12i，可得复数z在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．由(1+i)z=3+2i得z=3+2i1+i =(3+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=52−12i，然后可得复数z在复平面内对应的点位于象限．本题考查复数运算及其几何意义，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，函数的单调性，属于基础题．根据奇偶性排除C、D，再判断函数的单调性即可得答案．【解答】解：易知函数f(x)=x2−1e x不是偶函数，可以排除C，D，任取x1，x2∈(−∞,−1)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1e x1−x22−1e x2>x12−1e x2−x22−1e x2=(x1−x2)(x1+x2)e x2，∵x1−x2<0，x1+x2<0，∴(x1−x2)(x1+x2)e x2>0，得f(x1)>f(x2)，∴当x∈(−∞,−1)时，函数f(x)单调递减，排除B，故选：A．4.【答案】C【解析】【分析】根据题意观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题．【解答】解：由题意可得三角形数构成的数列通项a n=n2(n+1)，同理可得正方形数构成的数列通项b n=n2，则由a n=n2(n+1)，令n2(n+1)=16，n2(n+1)=25与n2(n+1)=49，无正整数解，对于选项C，36=62，36=82(8+1)，故36既是三角形数又是正方形数．故选C．5.【答案】A【解析】解：展开式(2x√x )5的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)5−r⋅√x)r=25−r⋅(−a)r⋅C5r⋅x5−3r2，令5−32r=2，解得r=2，∴含x2项系数为25−2⋅(−a)2⋅C52=20，解得a=±12，故选：A．在展开式(2x√x)5的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，再由含x2项系数为20可得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：∵直线(a−1)x+2y+3=0与直线x+by−1=0垂直，∴(a−1)×1+2b=0，整理得a+2b=1，∵a>0，b>0，∴1a +1b=(1a+1b)(a+2b)=ab+2ba+3≥2√ab⋅2ba+3=3+2√2，当且仅当ab =2ba时，取等号，∴1a +1b的最小值是3+2√2．故选：C．由直线(a−1)x+2y+3=0与直线x+by−1=0垂直，得a+2b=1，再由a>0，b>0，得到1a +1b=(1a+1b)(a+2b)=ab+2ba+3，利用基本不等式的性质能求出1a+1b的最小值．本题考查代数式的最小值的求法，考查直线与直线垂直、基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可得：|PF1|+2|PF2|=2|F1F2|，|PF1|−|PF2|=2a，解得|PF1|=4(a+c)3，|PF2|=4c−2a3，又|PF1|2+|PF2|2=4c2，代入化简可得5a2+4ac−c2=0，e=ca>1，所以e2−4e−5=0，解得e=5．故选：D．利用已知条件，结合双曲线的定义以及勾股定理，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：∵f(x)=2x13=2√x3，x∈R，f(−x)=−2x13=−f(x)，∴f(x)为奇函数，同时也为增函数，又因为f(e x)+f(ae x−2√3)>0恒成立，所以f(e x)>−f(ae x −2√3)=f(2√3−ae x)恒成立，即：e x>2√3−ae x恒成立，所以a>−(e x)2+2√3e x，令t=e x，则t>0，令g(t)=−t2+2√3t=−(t−√3)2+3≤3，所以g(t)max=3，所以a>3，故选：C．先判断f(x)的奇偶性和单调性，再将原问题转化为a>−(e x)2+2√3e x求解即可．本题考查了函数的奇偶性、单调性及恒成立问题，也考查了转化思想和求函数的最值，属于中档题．9.【答案】ABC【解析】解：对于A，相关指数R2用来刻画回归效果，R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A正确；对于B，∵y1+y2+y3+⋯+y8=2(x1+x2+x3+⋯+x8)=16，∴x−=1，y−=2，∴样本中心为(1,2)，又线性回归方程是ŷ=x+â，∴2=1+â，解得â=1，故B正确；对于C，若一组数据2，a，4，6的平均数是4，则a=4×4−2−4−6=4，∴这组数据的众数和中位数都是4，故C正确；对于D，设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ≥1)=p，则P(ξ≤−1)=p，则P(−1<ξ<1)=1−2p，∴P(−1<ξ≤0)=12−p，故D错误．故选：ABC．根据相关系数的概念及实际意义判断A ；求出x −，y −，可得样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，求得a ^，即可判断B ；利用平均数、众数、中位数的定义能判断C ；利用正态分布判断D ．本题考查命题真假的判断，考查残差、众数、中位数、平均数、正态分布的概率、线性回归方程等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】BC【解析】解：两条直线m ，n 和两个平面α，β，对于A ，若m//α，n//β，且m//n ，则α与β相交或平行，故A 错误； 对于B ，若n ⊥β，且m ⊥n ，则m//β或m ⊂β， ∵m ⊥α，∴由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B 正确；对于C ，若m ⊥α，n//β，且m//n ，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确； 对于D ，若α⊥β，且a ⊂α，则a 与β相交、平行或a ⊂β，故D 错误． 故选：BC ．对于A ，α与β相交或平行；对于B ，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于C ，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于D ，a 与β相交、平行或a ⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．11.【答案】AB【解析】解：对于A ：由l ：mx −y −2m +3=0(m ∈R)整理得m(x −2)−y +3=0，当{x −2=0−y +3=0，即{x =2y =3时，不论m 为何值时m(x −2)−y +3=0(m ∈R)都成立，所以直线l 过定点(2,3)，故A 正确；对于B ：因为直线l 过定点(2,3)，将定点代入圆C ：(2−4)2+(3−5)2=8<12，所以定点(2,3)在圆C 的内部，当直线l 过圆心(4,5)时，|AB|取得最大值，此时解得m =1，故B 正确；对于C ：设直线l 过的定点M(2,3)，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，而|CM|=√(4−2)2+(5−3)2=2√2，所以|AB|=2√12−8=4，所以在△ABC 中，由余弦定理计算可得cos∠ABC =13，故C 不正确；对于D ：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠BAC ，而|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠BAC 表示AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，所以当AC⃗⃗⃗⃗⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线即A 、C 、B 、M 四点共线，且方向相同时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值，此时AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3⋅√3=6，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6，故D 不正确． 故选：AB ．对于A ：整理得m(x −2)−y +3=0(m ∈R)，由此可求得直线所过的定点； 对于B ：由直线l 过定点(2,3)，且定点(2,3)在圆C 的内部，当直线l 过圆心(4,5)时，|AB|取得最大值，由此求得m 的值；对于C ：设直线l 过的定点M(2,3)，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，由余弦定理计算可判断； 对于D ：当AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，且方向相同时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值，由此可判断． 本题考查了直线过定点、直线与圆的关系，难点在于C 、D 两项中直线在什么情况才能使选项中的最值成立，属于中档题．12.【答案】CD【解析】解：选项A ，∵f(−x)=sin|−x|+√3|cos(−x)|=sin|x|+√3|cosx|=f(x)，∴f(x)为偶函数， 当x ∈[2π3,7π6]时，cosx <0，所以f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)， 又x −π3∈[π3,5π6]，由y =sinx 在[π3,5π6]为先增后減，故 A 不正确；选项B ，当x ⩾0时，由cosx ⩾0可得f(x)=sinx +√3cosx =2sin(x +π3)，所以函数在[2kπ−π2,2kπ+π6]，(k ∈Z)且x ⩾0上为增凾数，在[2kπ+π6,2kπ+π2]，(k ∈Z)且x ⩾0上为减函数，当x ⩾0时，由cosx ⩽0可得f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)， 所以函数在[2kπ+π2,2kπ+5π6]，(k ∈Z)且x ⩾0上为增函数，在[2kπ+5π6,2kπ+3π2]，(k ∈Z)且x ⩾0上为减函数，做出函数图象如图，又因为函数为偶函数，故f(x)不是周期函数，故B错误；选项C，由B选项的分析可知，函数的最大值为2，最小值为−1，故最大值与最小值的和为1，C 正确；选项D，由函数图象可得f(x)在区间[−8,8]有4个零点，故D正确，故选：CD．当x∈[2π3,7π6]时，化简函数解析式，根据正弦函数的单调性可判断A；作出函数f(x)的图象可判断B；结合图象可知函数的最大值和最小值，从而判断C；由图象可判断D．本题考查了三角函数的图象与性质，函数的零点与方程根的关系，属于难题．13.【答案】3【解析】解：由抛物线的方程可得准线方程为y=−4，设AP⊥l交点为P，与准线的焦点为Q，由抛物线的性质可得|AQ|=|AF|，所以||AP|−|AF||=||AP|−|AQ||=|PQ|=|−1−(−4)|=3，故答案为：3．由抛物线的方程可得准线的方程，再由抛物线的性质可得|AF|等于A到准线的距离，进而求出||AP|−|AF||为y=−1到准线的距离．本题考查抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，属于基础题．【解析】解：根据三角函数的定义可得，x 0=cosα，y 0=sinα， 又cos(α−π4)=√33，所以x 0y 0=sinαcosα=12sin2α=12cos(π2−2α)=12cos(2α−π2)=12[2cos 2(α−π4)−1]=−16． 故答案为：−16．根据三角函数的定义得到x 0y 0=sinαcosα，再根据二倍角公式以及诱导公式，结合题中条件，即可求出结果．本题主要考查了三角函数的定义，二倍角公式以及诱导公式的应用，属于基础题．15.【答案】[−18,10]【解析】解：如图，设BC 的中点为D ，连接OA ，OC ，OD ，则OD ⊥BC ． 设θ为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BCO −|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ，且12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ≤12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²+12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 由|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[0,4]，当|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−18； 当|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最大值10． 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−18,10]． 故答案为：[−18,10]．设BC 的中点为D ，连接OA ，OC ，OD ，设θ为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角，由向量的线性运算及数量积运算可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ，由cosθ的有界性，结合|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[0,4]即可求解AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． 本题主要考查平面向量数量积的运算与性质，考查数形结合与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．【解析】解：由题意可得：△OPA 2，△OA 2A 3为直角三角形，因为V P−OA 2A 3=13×S △OA 2A 3×ℎ=√23ℎ，所以要使四面体P −OA 2A 3的体积最大，只需ℎ最大，此时平面OPA 2⊥平面OA 2A 3，又平面OPA 2∩平面OA 2A 3=OA 2，A 2A 3⊥OA 2， 所以A 2A 3⊥平面OPA 2.因为PA 2⊂平面OPA 2，所以A 2A 3⊥PA 2，所以△OPA 3为直角三角形．综上所述，当四面体P −OA 2A 3的体积最大时，它的表面有4个直角三角形．当PA 3=√2时，三棱锥P −OA 2A 3的三条侧棱相等， 所以点P 在底面OA 2A 3的射影为△OA 2A 3的外心．因为△OA 2A 3的为直角三角形，所以△OA 2A 3的外心为OA 3的中点M ． 如图，连接PM ，则PM =√22，所以四面体P −OA 2A 3的外接球的球心在PM 的延长线上．设球心为N ，连接NA 3，令NA 3=R ，在Rt △MNA 3中，由勾股定理，得R 2=(R −√22)2+(√62)2，解得R =√2，所以V =4πR 33=4π3×(√2)3=8√2π3， 所以当PA 3=√2时，四面体P −OA 2A 3外接球8√2π3．故答案为：4；8√2π3．要使四面体P −OA 2A 3的体积最大，只需ℎ最大，此时平面OPA 2⊥平面OA 2A 3，再由线面垂直的性质定可得四面体P −OA 2A 3的表面有几个直角三角形；连接PM ， 则四面体P −OA 2A 3的外接球的球心在PM 的延长线上，由外接球的性质可得方程R 2=(R −√22)2+(√62)2，即可求出R ，进而得出所求的体积．本题考查数学文化、四面体的表面积、外接球的体积，考查学生的空间想象能力和运算能力，属中档题．17.【答案】解：(1)a n+1+a n=6n−1，当n=1时，a2+a1=5，又a1=1，所以a2=4，当n≥2时，a n+a n−1=6(n−1)−1，两式相减可得a n+1−a n−1=6，所以数列{a n}的奇数项是首项为a1=1，公差为6的等差数列，偶数项是首项为a2=4，公差为6的等差数列，所以a2n−1=1+6(n−1)=6n−5，a2n=4+6(n−1)=6n−2，则a2n−a2n−1=3，a2n+1−a2n=3，n∈N∗，所以a n+1−a n=3，n∈N∗，所以数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为3，所以a n=1+3(n−1)=3n−2．(2)若数列{b n−a n}是公比为2的等比数列，且b1=2，所以b n−a n=2⋅2n−1=2n，所以b n=3n−2+2n，所以S n=n(1+3n−2)2+2(1−2n)1−2=3n2−n2+2n+1−2．【解析】(1)由已知可得数列{a n}为等差数列，根据等差数列的通项公式即可得解；(2)利用分组求和法求解S n即可．本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查分组求和法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)在△ACD中，AC=√3，AD=1，∠CAD=30°，∴CD2=AC2+AD2−2AC⋅AD⋅cos∠CAD=1，∴CD=1，所以△ACD是等腰三角形，AD=CD=1，所以∠ACD=∠CAD=30°；(2)设BC=a，AB=c，在△ABC中，AC=√3，∠ACB=60°，∴∠BAC+∠ABC=120°，∴∠BAC=120°−B，又因为△ABC为锐角三角形，∴{0∘<B<90∘0∘<120∘−B<90∘，∴30°<B<90°由正弦定理可得：AC sinB =BCsin∠BAC=BCsin(120∘−B)，化简得：BC=√32+32×1tanB，∵30°<B<90°，∴tanB>√33，∴0<1tanB<√3，∴√32<BC<2√3，故BC的范围为(√32,2√3).【解析】(1)由余弦定理计算出CD的长度，得到△ACD为等腰三角形，从百求解即可；(2)由正弦定理得到BC=√32+32×1tanB，再结合锐角三角形的定义，计算可得所求范围．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取CD的中点M，连接AM，PM，因为CD=PC=PD=2，所以△PCD为等边三角形，所以PM⊥CD，PM=√3，过点C作CN⊥AD于N，因为AB=BC=CD=2，AD=4，所以DN=1，CD=2DN，所以∠ADC=60°，在△ADM中，由余弦定理知，AM2=AD2+DM2−2AD⋅DM⋅cos∠ADC=16+1−2×4×1×12=13，所以PA2=AM2+PM2，即PM⊥AM，又AM∩CD=M，AM、CD⊂平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD，因为PM⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面ABCD．(2)解：以D 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向，作Dz//PM ，Dy ⊥AD ，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(3,√3,0)，C(1,√3,0)，P(12,√32,√3)，所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,−√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，设平面PBC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x +√32y −√3z =0−2x =0， 令y =2，则x =0，z =1，所以m⃗⃗⃗ =(0,2,1)， 同理可得，平面PCD 的法向量n ⃗ =(√3,−1,0)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5×2=−√55， 因为<m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >∈[0,π]，所以sin <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=2√55， 故二面角B −PC −D 的正弦值为2√55．【解析】(1)取CD 的中点M ，连接AM ，PM ，易知PM ⊥CD ，过点C 作CN ⊥AD 于N ，推出∠ADC =60°，在△ADM 中，利用余弦定理求出AM 的长，再由勾股定理可证PM ⊥AM ，然后根据线面垂直、面面垂直的判定定理，得证；(2)以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面PBC 和平面PCD 的法向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ ，再由cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |，即可得解． 本题考查二面角的求法，空间中线与面的垂直关系，熟练掌握线面垂直、面面垂直的判定定理，以及利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得，y −=17× (990+990+450+320+300+240+210)=500，令t =1x ，设y 关于t 的线性回归方程为y ̂=b ̂t +a ̂，则b ̂=∑t i 7i=1y i −7t −⋅y−∑t i 27i=1−7t−2=1845−7×0.37×5000.55=1000，则a ̂=500−1000×0.37=130， 故y ̂=1000t +130， ∴y ̂=1000x+130，当x =50时，y ̂=150，故预测小明经过50天训练后，每天解题的平均速度为150秒．(2)设比赛再继续进行X 局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜， 由题意可得，最多再进行4局，就能分出胜负， 当X =2时，小明4：1胜，P(X =2)=34×34=916，当X =3时，小明4：2胜，P(X =3)=C 21×C 43×(1−34)×34=932， 当X =4时，小明4：3胜，P(X =4)=C 31×34×(1−34)2×34=27256， 故小明最终赢得比赛的概率为916+932+27256=243256．【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求得线性回归方程，x =50代入上式的线性回归方程中，即可求解．(2)设比赛再继续进行X 局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，题意可得，最多再进行4局，就能分出胜负，分别求出当X =2，X =3，X =4时的概率，并对结果求和，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．21.【答案】解：(1)圆M ：(x +1)2+y 2=1圆心M(−1,0)，半径1，圆N ：(x −1)2+y 2=25圆心N(1,0)，半径5，设动员圆心Q(x,y)，半径r ，则QM =1+r ，QN =5−r ， 则QM +QN =6>MN =2，所以动员圆心Q 的轨迹是以M(−1,0)，N(1,0)为焦点，长轴为6的椭圆， 即a =3，c =1，所以b =2√2 则点Q 的轨迹方程为x 29+y 28=1； (2)证明：设P(x 0,y 0)，则x 029+y 028=1，易知y 0≠0，设直线l 的方程为y −y 0=k(x −x 0)，联立{y −y 0=k(x −x 0)x 29+y 28=1，可得(8+9k²)x²+18k(y 0−kx 0)+9(kx 0−y 0)²−72=0，则由直线l 与椭圆相切可得Δ=[18k(y 0−kx 0)]²−4(8+9k²)[9(kx 0−y 0)²−72]=0， 即(kx 0−y 0)²−8−9k²=0，整理得(x 0²−9)k²−2x 0y 0k +y 0²−8=0， 因为点P 在椭圆上，所以x 029+y 028=1，代入可得k =−8x9y 0，则切线l 的方程为x 0x 9+y 0y 8=1，将x =1和x =9分别代入l 中可得A(1,8(9−x 0)9y 0)B(9,8(1−x 0)y 0)，则k PN =y 0x 0−1，k BN =8(1−x 0)y 0−09−1=1−x 0y 0，|BN|=√(9−1)2+(8−8x 0y 0)2=8√y 02+(x 0−1)2y 02=83⋅|x 0−9y 0|，所以k PN ⋅k BN =y 0x0−1⋅1−x 0y 0=−1，|AN||BN|=|8(9−x 0)9y 0−0|83|x 0−9y 0|=13，即PN ⊥NB ，|AN||BN|=13．【解析】(1)求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，即可得到结果；(2)由题意设P(x 0,y 0)，联立直线l 与椭圆C 的方程，根据△=0求得椭圆过点P 的切线l 的方程为x 0x 9+y 0y 8=1，再分别和直线x =1与x =9立，得到A 、B 的坐标，即可证明，并且求得|AN||BN|是为定值．本题考查椭圆标出方程的求解，考查椭圆中的定值问题，属于中档题．22.【答案】解：(1)当k =2时，f(x)=(e x −2)x 2，f′(x)=e x ⋅2x +(e x −2)2x =x(xe x +2e x −4)=x[(x +2)e x −4]， 令g(x)=(x +2)e x −4，则g′(x)=(x +3)e x ，所以g(x)=(x +2)e x −4在(−∞,−3)单调递减，在(−3,+∞)单调递增， 又因为x <−2时，g(x)<0恒成立，g(0)=−2<0，g(1)=3e −4>0， 所以g(x)=(x +2)e x −4在(0,1)上有唯一的零点x 0，所以当x ∈(−∞,0)，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(0,x 0)，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(x 0,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)有两个极值点，(2)f′(x)=e x x2+(e x−k)⋅2x=x[(x+2)e x−2k]，令ℎ(x)=(x+2)e x−2k(k>0)，则x<−2时，ℎ(x)<0，ℎ′(x)=(x+3)e x，当x>−3时，ℎ(x)单调递增，ℎ(0)=2−2k，①当k=1时，f′(x)≥0在R上恒成立，f(x)无极值，不存在符合题意的k，②当k>1时，ℎ(0)<0，ℎ(k)=(k+2)e k−2k>(k+2)⋅e−2k>0，存在x0∈(0,k)，使得ℎ(x0)=0，当x∈(−∞,0)，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0,x0)，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的极大值为f(0)=0<2ek2，f(x)的极小值为f(x0)<f(0)=0<2ek2，故不存在符合题意的k，③当0<k<1时，ℎ(0)>0，存在x0∈(−2,0)，使得ℎ(x0)=0，当x∈(−∞,x0)，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(x0,0)，f′(x)<0，f(x0)单调递减，当x∈(0,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的极小值为f(0)=0<2ek2，f(x)的极大值为f(x0)，如果存在正实数k使函数f(x)的极值为2ek2，则f(x0)=(e x0−k)x02=2ek2，又因为ℎ(x0)=(x0+2)e x0−2k=0，所以(2kx0+2−k)x02=2ek2，所以x3+2ek(x+2)=0，所以x03+e x0+1(x0+2)2=0，即x03e+e x0(x0+2)2=0，令H(x)=x3e +e x(x+2)2，则H′(x)=3x2e+e x(x2++6x+8)，因为x∈(−2,0)，所以H′(x)>0，所以H(x)在(−2,0)单调递增，又因为H(−1)=0，所以x0=−1，此时k=(x0+2)e x02=12e，综上所述，k=12e时，存在极值为2ek2．【解析】(1)f(x)=(e x−2)x2，f′(x)=x[(x+2)e x−4]，g(x)=(x+2)e x−4，g(x)= (x+2)e x−4在(0,1)上有唯一的零点x0，x∈(x0,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)有两个极值点，(2)f′(x)=e x x2+(e x−k)⋅2x=x[(x+2)e x−2k]，ℎ(x)=(x+2)e x−2k(k>0)，对k分类讨论可得结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查学生的分析问题的能力和计算能力，是一道综合题．。

2021届湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中高三上学期联合考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}22<0A x x =+-，141log 2B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则（）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．R A B ⋂=∅D ．122A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭答案：B【分析】先化简集合,A B ,再分析判断得解.解：由题得{}21A x x =-<<，1211441log log ()4B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭102x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.所以B A ⊆.R A B ⋂≠∅，102A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭.故选：B点评：易错点睛：化简集合B 时，容易漏掉0x >，得到12B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭.在研究函数的问题时，一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错. 2．若复数z 满足()12z i i -=，则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为i B ．z 为实数 C．z =D ．2z z i +=答案：C【分析】利用复数的除法运算，可得1z i =-，即可判断各选项的正误； 解：由()12z i i -=，知：211iz i i==--； ∴z 的虚部为1，||z =2z z +=-；故选：C点评：本题考查了复数的运算，利用复数的概念判断选项的正误，属于简单题；3．()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（） A ．5- B ．20-C ．15D ．5答案：B【分析】求出5(1)x -的展开式的2x 的系数和4x 的系数，即得解.解：设5(1)x -的通项为55155(1)(1)r rr r r r r T C xC x --+=-=-，当3r =时，2x 的系数为335(1)C -； 当1r =时，4x 的系数为115(1)C -.所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为()()3315512120C C -+-=-， 故选：B.点评：本题主要考查二项式定理求展开式的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和计算能力.4．设R λ∈，若单位向量1e ，2e 满足：12e e ⊥12e +与12-e e λ的夹角为3π，则λ=（）A ．B ．-C D ．1答案：A【分析】先利用已知条件得到11e =，21e =，120e e ⋅=，再利用向量的数量积运算法则代入求解即可. 解：由题意得，11e =，21e =，120e e ⋅=，12e +与12-e e λ的夹角为3π，得)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ⋅=+--⋅+⋅-=，122e +=，12-1e e λ=+则)()12121212cos33e e e e e e e πλλλ⋅==+-+-=，所以λ=故选：A.点评：本题主要考查了平面向量的数量积运算.属于较易题. 5．已知数列{a n }满足a n ＝1+2+3++n ，则122020111a a a +++=（）A ．20202021B ．20191010 C ．20192020 D ．40402021答案：D【分析】利用等差数列求和公式化简n a ，再利用裂项相消法求和.解：因为()12n n n a +=，则1112[]1n a n n =-+， 所以2202011111111140402[1]223202020212021a a a +++=⨯-+-++-=. 故选：D点评：本题考查等差数列求和公式、裂项相消法求和，属于基础题. 6．随机变量X 的分布列如表：若()2E X =，则()D X =（） A ．32B ．43C ．54D ．65答案：A【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，再利用方差公式可取得()D X 的值.解：由分布列的性质以及期望公式可得()1242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14a b ==.()()()()22211131222422442D X =-+-+-=. 故选：A.7．设3535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭353()5a =，353log 2b =，3532c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）。

2021年湖南省长沙市一中高三上学期月考五文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．是集合A 到对应的集合B 的映射，若，则等于（） A ． B ． C ． D ． 2．已知复数z=（2-i ）（1+3i ），其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数的茎叶图所示，则此学生该门功课考试成绩的极差与中位数之和为( )A ．117B ．118C ．118.5D ．119.54．下列选项叙述错误的是（） A ．命题“若x≠1，则”的逆否命题是“若，则x=1”B ．若为真命题，则p ，q 均为真命题C ．若命题，则D ．“x>2”是“”的充分不必要条件5．若如下框图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（）A ．k=7B ．C ．k<6D ．k>6 6．等边三角形ABC 的边长为1，，那么等于（） A ．3B ．-3C ．D ．x x f 2log :→{}4,2,1=A B A {}1{}2{}2,1{}4,16≤k7．已知等差数列的公差为2，若前17项和为，则的值为（） A ．-10 B ．8 C ．4 D ．128．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ． 9．已知曲线在点P （1,4）处的切线与直线l平行且距离为，则直线l 的方程为（）A ．4x-y+9=0或4x-y+25=0B ．4x-y+9=0C ．4x+y+9=0或4x+y-25=0D ．以上都不对10．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角为，，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．B ．C ．D ．{}n a 3417=S 12a 27332π+273433π+27335π+273435π+xy 4=177530m )13(120-m )12(180-m )13(240-m )13(30+11．若圆C ：关于直线对称，则由点（a,b ）向圆所作的切线长的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．612．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，则关于函数f （x ）有如下四个命题：①； ②函数f （x ）是偶函数；③任何一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意的恒成立；④存在三个点，使得△ABC 为等边三角形． 其中证明题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．某射击运动员每次击中目标的概率为0.8，现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_______．14．设x ，y 满足约束条件，则的最大值为_______．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的焦点为F ，定点．若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN 的值是_____． 16．设函数，则函数的各极大值之和为_____．三、解答题034222=+-++y x y x 062=++by ax ⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x f 01)(1))((=x f f R x ∈))(,())(,()),(,(332211x f x C x f x B x f x A ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-2003x y x y x 22y x +y x C 4:2=)0,22(A )20150)(cos (sin )(π≤≤-=x x x e x f x()f x17．近两年来，各大电视台都推出了由明星参与的游戏竞技类节目。