湖南省长沙一中2020届高三高考月考卷(七)理科数学试卷及答案(word版)

绝密★启用前湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】首先求解方程组3y x y x⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且5z z ⋅=，则z ＝( ) A ．2-iB ．-1+2iC ．-1-2iD ．-2+3i试卷第2页，总21页【答案】A 【解析】 【分析】通过复数的运算得到方程()2215a a +-=，根据其在复平面的位置得到结果. 【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =， ∴12z i =-+或2z i =-，∵在复平面内对应的点位于第一象限， ∴2z i =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算以及其几何意义，属于基础题. 3．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果. 【详解】∵21x <11x ⇔-<<，lg 0x <⇔01x <<，01x <<⇒11x -<<，11x -<<不能推出01x <<，∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 4．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( ) A ．725-B ．725C ．2424-D ．2425【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a bθ⋅==-=-⨯⋅， ∵0θπ≤≤， ∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题. 5．设a ＝183log ，b ＝244log ，c ＝342，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <b <a【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <，2a >，2b >，将,a b 分别表示为631log a =+，641log b =+，进而可得结果.【详解】314222c =<=，18933log log 2a =>=，241644log log 2b =>>， 所以c 最小，因为18633log 1log a ==+，24644log 1log b ==+， ∵6643log log <，∴a b >，故选D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性的应用，寻找中间量是解题的关键，属于中档题.6．函数f (x )＝(33)ln xxx -+的图象大致为( )试卷第4页，总21页…………线…………○………………线…………○……A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除B ，由()0,1x ∈，()0f x <，可排除,A C ，进而可得结果. 【详解】∵()(33)ln xxf x x -=+，函数定义域为{}0x x ≠，()()(33)ln (33)ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除B.当()01x ∈，时，330x x -+>，ln 0x <，()0f x <，其图象应在x 轴下方，可排除,A C ，故选D. 【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数的图象，主要根据函数的性质利用排除法得到结果，属于中档题.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填( )○…………线…………○……_○…………线…………○……A ．200?i >B ．201?i ≥C ．202?i >D ．203?i >【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】程序的功能是计算3571sin3sin5sin 7sin 2222S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯+=1357-+-+，而101150213579199201=+⨯=-+-++-+，2012203i =+=，故条件为202?i >，故选C. 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．90种【答案】C 【解析】 【分析】试卷第6页，总21页根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种， 丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C. 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题． 9．将函数()2sin(2)16f x x π=--的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 ( ) A ．函数()g x 的最小正周期是2π B ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值是1【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的周期判断A 的正误；函数的对称轴判断B 的正误；函数的单调性判断C 的正误；函数的最值判断D 的正误； 【详解】由题意知：()2sin(2)16g x x π=+-，最小正周期T 22ππ==，选项A 错误; 当12x π=-时，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点(,1)12π--对称，选项B 错误；当(,62x ππ∈时，72(,)626x πππ+∈，∴函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，选项C 正确;∵函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()16g x g π<=， 即函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，∴选项D 错误，故选C. 【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．10．若()ln f x x =与()23g x x x a ++=两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a = ( ) A ．-1 B ．0C ．1D ．3【答案】B 【解析】 【分析】求出切线方程，利用公切线结合判别式0=推出结果即可． 【详解】在函数()ln f x x =上的切点设为(,)x y ， 根据导数的几何意义得到11x=⇒1x =， 故切点为(10)，，可求出切线的方程为1y x =-， 因为直线l 和()23g x x x a ++=也相切，从而231x x a x ++=-，化简得到2210x x a +++=，只需要满足()4410a ∆-+==，所以0a = 故选B. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.11．设函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数()f x 有以下五个命题:①x ∈R ，()()1f f x =； ②()(),,()x y R f x y f x f y ∃∈+=+；试卷第8页，总21页③函数()f x 是偶函数；④函数()f x 是周期函数； ⑤函数()f x 的图象是两条平行直线 其中真命题的个数是( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由()0f x =或1，计算可判断①；由0x =0y =定义可判断③；由周期函数的定义可判断④；由x 的范围可判断⑤． 【详解】 由()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，可得()0f x =或1，则x R ∀∈，()f x 为有理数，则()()1ff x =，故①正确；当0x =0y =()()()0000f x y f x f y +=+，故②正确； ∵x 为有理数，则x -为有理数，x 为无理数，则x -为无理数， ∴函数()f x 是偶函数，故③正确；任何一个非零的有理数T ，都有()()f x T f x +=，则T 是函数的周期， ∴函数()f x 是周期函数，故④正确；由于x 为有理数，()1f x =；x 为无理数时，()0f x =，()f x 的图象不为连续的直线，故⑤错误．∴真命题的个数是4个，故选B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是分段函数的周期性和函数值的特点，以及图象特点，考查判断能力和推理能力，属于基础题．12．已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D —ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为( ) A ．53π B ．2π C ．5π D ．203π【答案】A 【解析】 【分析】订…………○…………__考号：___________订…………○…………三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，求出外接球的半径，然后求解球的表面积． 【详解】 如图，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直， 取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥ 分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，得正方形OEGF 的边长为6，则OG ∴四面体A BCD -的外接球的半径R ===∴球O 的表面积为＝2543ππ⨯=，故选A. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的外接球的表面积的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．试卷第10页，总21页第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x +=，且当3[0,2x ∈时，()2f x x =-，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____【答案】14【解析】 【分析】求出函数的周期，结合函数的奇偶性，转化求解函数值即可． 【详解】由()()3f x f x +=知函数()f x 的周期为3， 又函数()f x 为奇函数，所以2111111(()((22224f f f =-=-==， 故答案为14. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质与应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.14．已知ABC △是等腰直角三角形，1,2()AC BC CP CA CB ===+，则AP BP ⋅=____ 【答案】4 【解析】 【分析】利用已知条件将,AP BP 分别用,CA CB 表示，然后求解向量的数量积即可. 【详解】∵2,2AP AC CP CA CB BP BC CP CA CB =+=+=+=+. ∴22(2)(2)224AP BP CA CB CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+=， 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查向量的数量积的运算，是基本知识的考查． 15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。

湖南省长沙市第一中学2020届高三数学第一次月考试题 文时量：120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知i 为虚数单位，若复数2)1(1i z -+=,则=||z A. 1B. 2C. 2D. 52.已知集合A={21|≤≤-x x }，B={2,1,0}，则=B A I A. 21|≤≤-x x B. {2,1,0} C. {2,1-} D. {1,0}3. 通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：附表：随机变量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=经计算，统计量K 2的观测值4.762,参照附表，得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关" D.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4. 已知向量b a b k a +=-=),2,2(),2,(为非零向量，若)(b a a +⊥,则实数k 的值为 A.0 B.2 C.-2 D.15. 美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为 A.21 B. 22 C. 23 D. 316.若21212,)21(,8.0log -===c b a π，则有A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.函数21)(x exx f -=的图象大致是8.如图，点A 为单位圆上—点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α 到点B )22,22(-，则=αsin A.462+- B. 462- C.462+ D . 462+- 9. 已知函数MOD 是一个求余函数，记MOD(m ，n)表示m 除以n 的余数，例如MOD(13,3) = 1，下图是某个算法的程序框图，当输入m 的值为27时，则输出i 的值为A.2B.3C.4D.510.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C:0822=-++m x y x 与直线012=++y x 相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为A. 11B. 12C.-11D.-1211. 设椭圆C ：)0>,0>(12222b a by a x =+的两个焦点分别为F1,F2，22||21=F F ，P 是C 上一点，若a PF PF =-||||21，且31sin 21=∠F PF ，则椭圆C 的方程为A. 13422=+y xB. 13622=+y x C.14622=+y x D. 12422=+y x 12.已知函数x x f x f sin 2)()(+-=，又当0≥x 时，1)('≥x f ，则关于x 的不等式)4(sin 2)2()(ππ-+-≥x x x f x f 的解集为 A. ),4[+∞π B. ),4[+∞-πC.)4,[π-∞ D. )4,[π--∞二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。

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各科考试结束后，将答案公布在新浪微博@全国大联考微博。

包含:语文、数学、英语、文综(政治、历史、地理)、理综(物理、化学、生物)。

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解答本题首先要清楚教材相关实验中两组实验的结果:用32P标记的一组放射性主要出现在沉淀物中，用35S标记的一组放射性主要出现在上清液中。

然后对比表格中的实验结果可知，第一组是正常的，该组是用32P标记的一组。

另一组应为35S标记的一组，但因在同位素标记时有误而出现了异常。

将第二组正常的实验结果与异常的实验结果进行对比并分析可知:沉淀物和上清液中均有较高的放射性，其原因一定是用蛋白质和DNA共有的元素对噬菌体进行了标记，如14C或18O或3H或15N。

炎德·英才大联考长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U Z =，{}1,2,3,4A =，()(){}|130,B x x x x Z =+->∈，则()U A C B =I （ ） A. {}1,2 B. {}2,3C. {}1,2,3D. {}1,2,3,42. 已知复数12iz i-=+，则z 的共轭复数z =（ ） A. 1355i - B. 1355i + C. 1355i --D. 1355i -+ 3. 函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）A.B. C. D.4. ()()6121t t -+的展开式中，3t 项的系数为（ ） A. 20B. 30C. -10D. -245. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）A.114B.17C.314D.136. 如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是（ ）A.13009，600，11203B. 1200，500，300C. 1100，400，600D. 300，500，12007. 若,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2θ=sin θ=（ ）A.35 B.45C.D.348. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的一点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ）A. 2B. 4C. 6D. 89. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为（ ） A.16B.14C.13D.1210. 直线2x =与双曲线221169x y -=的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,a b R ∈，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A. 2ab =B. 224a b +≥C. 2a b -≥D. 2a b +≥11. 已知函数()cos sin 2f x x x =，给出下列命题： ①x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0T ≠，x R ∀∈恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ；④()y f x =在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A. ①②③④B. ②③C. ①②③D. ①②④12. 已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13. 已知向量()1,4a =r ，()2,b k =-r，且()2a b +r r 与()2a b -r r 共线，则实数k =______.14. 某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的学生有______人.15. 如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，cos PEF ∠=A ，B ，C ，D ，P 在同一球面上，则此球的体积为______.16. 如图，在ABC △中，AC BC ⊥，D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1CD =，CAB MBD DMB ∠=∠=∠，则AM =______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等差数列{}n a 和递增的等比数列{}n b 满足：11a =，13b =且35223b a a =+，242b a =+. （1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，n n kb S ≥恒成立，求实数k 的取值范围. 18. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AB AA =，160BAA ∠=︒.（1）求证：111AC B A ⊥； （2）若平面ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC =，求直线1CB 与平面1A BC 所成角的正弦值.19. 2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产.决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表：（1）研究员甲根据以上数据认为y 与x 具有线性回归关系，请帮他求出y 关于x 的线性回归方程$()$1y bx a =+$；（保留小数点后两位有效数字）（2）研究员乙根据以上数据得出y 与x 的回归模型：$()2 4.80.8y x=+.为了评价两种模型的拟合效果，请完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.01元）（备注：i e $称为相应于点(),i ix y 的残差）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（3）根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元；生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元.若按（2）中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润？请说明理由.（利润＝收入－成本）参考公式：()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$y bxa =+$. 参考数据：()()515.3iii x x y y =--=-∑，()52121.2ii x x =-=∑.20. 已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足2OP OA =u u u r u u u r u u r.（1）求出动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）设动直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，与圆227x y +=相交于两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），求直线1OP 、2OP 的斜率之积. 21. 已知函数()ln 1af x x x =+-（a R ∈，a 为常数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在(),e +∞内有极值，试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()2211x y +-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程； （2）曲线2C ：0,02πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，求OB OA的最大值及相应α的值.23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数()33f x x a x =-++. （1）若3a =，解不等式()6f x ≤；（2）若不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.炎德·英才大联考长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）参考答案一、选择题 1-5：CBDCB6-10：BDDBD11-12：DD1. C 【解析】由题()(){}|130,U C B x x x x Z=+-≤∈{}{}|13,1,0,1,2,3x x x Z =-≤≤∈=-，则(){}1,2,3U A C B =I ，故选C.2. B 【解析】1(1)(2)221132(2)(2)555i i i i i z i i i i ------====-++-，∴1355z i =+，故选B. 3. D 【解析】∵0a >，∴10a >，∴函数x y a =需向下平移1a个单位，不过()0,1点，所以排除A.当1a >时，∴101a <<，所以排除B.当01a <<时，∴11a>，所以排除C.故选D.4. C 【解析】()61t +展开式的通项为16r rr T C t +=，所以()()6121t t -+的展开式中3t 项的系数为3266210C C -=-，故选C.5. B 【解析】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有()3,5，()5,7，()11,13，()17,19共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为28417P C ==.故选B. 6. B 【解析】根据程序框图得：①300y =，1i =，满足3i <；②400y =，2i =，满足3i <；③500y =，300z =，1200x =，3i =，不满足3i <.故输出的1200x =，500y =，300z =.故选B.7. D 【解析】∵,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1cos 28θ===-，∵2cos 212sin θθ=-，sin 0θ>，∴3sin 4θ==，故选D. 8. D 【解析】依题意得，OFM △的外接圆半径为6，OFM △的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上，圆心到准线2p x =-的距离等于6，即有642p p +=，由此解得8p =，故选D.9. B 【解析】取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则//EF PB ，所以AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角.因为ABC △为正三角形，所以60BAC ∠=︒.设2PA AB a ==，因为PA ⊥平面ABC，所以AF =，AE =，EF =，所以1cos 4AEF ∠==，故选B.10. D 【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为34y x =±，联立直线2x =，解得32y =±，∴不妨设32,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，32,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),P x y ，∵OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ，∴22x a b =+，3322y a b =-，∵P 为双曲线C 上的任意一点，∴2233(22)221169a b a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=，∴1ab =， ∴222()244a b a b ab ab +=++≥=（a b =时等号成立），可得2a b +≥，故选D.11. D 【解析】①()()()()cos sin 2cos sin 2f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确；②()()2f x f x π+=，为周期函数，正确；③()()222sin cos 2sin 1sin x x x x f x ==-32sin 2sin x x =-，令sin t x =，[]1,1t ∈-，则()322y t t t =-，令2'260y t =-=，得3t =±，且()10y -=，39y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为最大值，错误；④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11sin ,22x ⎡⎡⎤∈-⊆⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，正确.故选D. 12. D 【解析】()1(1)(1)1'ax a xf x x a x x +--+-==，1x >时，()'0f x <；01x <<时，()'0f x >， ∴()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，()()max 3112f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则()()312y f f x f t t a ⎛⎫==≤-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，∵()f t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，则3112a -≥，43a ≥，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选D.二、填空题13. -8 14. 360 15. 36π 16. 213. -8 【解析】由已知得，()23,42a b k +=-+r r ，()24,8a b k -=-r r，由于()2a b +r r 与()2a b -r r 共线，所以3(8)4(42)k k --=⨯+，得8k =-.故答案为-8.14. 360 【解析】依题意可知，样本中(]1,2公里的人数所占的比例为45150.1300-=，故全体学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的人数为36000.1360⨯=人.15. 36π 【解析】由题意得，底面ABCD 是边长为4的正方形，cos 2PEF ∠=1PO 为2.易知正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，记球心为O，则1AO =，PO AO R ==，12PO =，12OO R =-或12OO R =-（此时O 在1PO 的延长线上），在直角1AO O △中，2222211(2)R AO OO R =+=+-，解得3R =，所以球的体积为334433633V R πππ==⨯=.16. 2 【解析】设CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=，在AMB △中，902MBA θ∠=︒-，180BMA θ∠=︒-，由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ=-︒︒-，即cos 2sin AB AM θθ⋅=，在ACD △中，90ACD ∠=︒，2CDA θ∠=，由正切定义：tan 2AC θ=，在ACB △中，90ACB ∠=︒，BAC θ∠=，由余弦定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==，∴tan 2cos 2cos 2sin AM θθθθ⋅==. 三、解答题17.【解析】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由23522423351121b a a q d b a q d ⎧=+⎧=+⎪⇒⎨⎨=+=+⎪⎩⎩， 则231160q q -+=，解得23q =（舍去）或3， 所以3nn b =；代入方程组得2d =，因此21n a n =-.综上，21n a n =-，3nn b =.（2）由题意，()122n n n a a S n +==， 由*n N ∀∈，n n kb S ≥得23n n k ≥，设23n n n c =，222111(1)221333n n n n n n n n n c c ++++-++-=-=， 当1n =，210c c ->；当2n ≥，10n n c c +-<； 由数列{}n c 的单调性可得，{}()2max 49n c c ==， 所以4,9k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.18.【解析】如图，设AB 的中点为D ，连接CD ，1A D ， 又设2AB =，则1112AD AA ==. （1）在ABC △中，AC BC =，AB 的中点为D ，故AB CD ⊥， 在1ABA △中，1AB AA =，160BAA ∠=︒，所以1ABA △为等边三角形. 又AB 的中点为D ，所以1AB DA ⊥，因为AB CD ⊥，1AB DA ⊥，且1CD DA D =I ， 所以AB ⊥平面1CDA ，∵1CA ⊂平面1CDA ，所以1AC BA ⊥， 又11//AB B A ，所以111AC B A ⊥.（2）因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC I 平面11ABB A AB =，且AB CD ⊥， 故CD ⊥平面11AA B B ，如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()1A，(C ，()1,0,0B -，()1B -，故(1CA =u u u r，(1,0,CB =-u u u r，(1CB =-u u u r，设平面1A CB 的法向量()1111,,n x y z =u r，则有11110x -=--=⎪⎩，令11z =，得()1n =u r，设直线1CB 与平面1A BC 所成角为θ，则111111sin cos ,CB n CB n CB n θ⋅====u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 故直线1CB 与平面1A BC19.【解析】（1）由题知： 4.4x =， 2.2y =，()()()1215.30.2521.2niii nii x x y y bx x ==---===--∑∑$， $ 2.20.25 4.4 3.30ay bx =-=+⨯=$， 故$()10.25 3.30y x =-+.（2）①经计算，可得下表：222221(0.40)(0.15)(0.30)(0.15)(0.20)Q =+-+-+-+，222(0.14)(0.1)Q =+，因为12Q Q >，故模型$()2 4.80.8y x=+的拟合效果更好. （3）若生猪存栏数量达到1万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.2810+=元， 这样一天获得的总利润为()7.5 1.281000062200-⨯=（元）； 若生猪存栏数量达到1.2万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.212+=元， 这样一天获得的总利润为()7.2 1.21200072000-⨯=（元），因为7200062200>，所以选择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润.20.【解析】（1）因为2OP OA =u u u r u u u r u u r，即()())()00002,00,2,x y x x y ==，所以02x x =，0y =，所以012x x =，0y y =， 又因为1AB =，所以22001x y +=，即22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22143x y +=. 所以曲线C 的标准方程为22143x y +=. （2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+.由方程组22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=.∵直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，∴()()2221(8)4434120km k m ∆=-+-=，即2243m k =+.由方程组227y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()2221270k x kmx m +++-=， 则()()2222(2)4170km k m ∆=-+->.设()111,P x y ，()222,P x y ，则12221kmx x k -+=+，212271m x x k -⋅=+，设直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，所以()()1212121212kx m kx m y y k k x x x x ++==()22121212k x x km x x mx x +++=222222222272711771m kmk km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+，将2243m k =+代入上式，得2122333444k k k k -+==--.当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±. 此时，圆227x y +=与l 的交点1P ，2P 也满足1234k k =-. 综上，直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值34-. 21.【解析】（1）定义域为()()0,11,+∞U ，()2221(2)1(1)(1)'f x a x a x x x x x -++=-=--，设()()221h x x a x =-++，()224a ∆=+-，当40a -≤≤时，()2240a ∆=+-≤，此时()0h x ≤，从而()'0f x ≥恒成立，故函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是增函数；当4a <-时，函数()()221h x x a x =-++图象开口向上，对称轴202a x +=<，又()010h =>， 所以此时()0h x ≥，从而()'0f x ≥恒成立，故函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是增函数；当0a >时，()2240a ∆=+->，设()()221h x x a x =-++有两个不同的实根1x ，2x ，其中1220x x a +=+>，121x x ⋅=，令1201x x <<<，则1x =，2x =令()'0f x >，得10x x <<或2x x >；令()'0f x <，得11x x <<或21x x <<，故函数()f x 在()10,x 上是增函数，在()2,x +∞上是增函数，在()1,1x 上是减函数，在()21,x 上是减函数. 综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是增函数；当0a >时，函数()f x在(2)0,2a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数，在(2)2a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数，在(2)2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上是减函数，在(2)1,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上是减函数.（2）要使()y f x =在(),e +∞上有极值，由（1）知0a >，①则()()221h x x a x =-++有一变号零点在区间(),e +∞上，不妨设2x e >，又因为121x x ⋅=，∴1210x e x e<<<<，又()01h =， ∴只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()211210a e e -++<，∴12a e e>+-，② 联立①②可得：12a e e>+-. 从而1a e -与1e a -均为正数.要比较1a e -与1e a -的大小，同取自然底数的对数， 即比较()1ln a e -与()1ln e a -的大小，再转化为比较ln 1e e -与ln 1a a -的大小. 构造函数()()ln 11xx x x ϕ=>-，则()211ln '(1)xx x x ϕ=---，再设()11ln m x x x =--，则()21'xm x x-=，从而()m x 在()1,+∞上单调递减， 此时()()10m x m <=，故()'0x ϕ<在()1,+∞上恒成立，则()ln 1xx x ϕ=-在()1,+∞上单调递减.综上所述，当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，11a e e a --<； 当a e =时，11a e e a --=； 当(),a e ∈+∞时，11a e ea -->.22.【解析】（1）∵4y x -=-，∴直线l 的普通方程为：40x y +-=， 直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=.曲线1C 的普通方程为222x y y +=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴1C 的参数方程为：2sin ρθ=.（2）直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=，令θα=，则4cos sin OA αα=+.又2sin OB α=，∴()1sin sin cos 2OB OA ααα=⋅+ 2111sin sin cos (1cos 2sin 2)224ααααα=+=-+1244πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∵02πα<<，∴32444πππα-<-<，∴242ππα-=，即38πα=时，OB OA.23.【解析】（1）3a =，()3336f x x x =-++≤， 当3x ≤-时，3336x x ---≤，解得32x ≥-，∴x ∈∅； 当31x -<≤时，3336x x -++≤，解得0x ≥，∴[]0,1x ∈； 当1x >时，3336x x -++≤，解得32x ≤，∴31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 综上所述，不等式()6f x ≤的解集为3|02x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，等价于()162f x a x >--+恒成立， 即3931x a x a -++>-恒成立.∵()()393393x a x x a x -++≥--+9a =+，∴91a a +>-， 当9a <-时，91a a -->-，解得a ∈∅； 当9a ≥-时，91a a +>-，解得4a >-.∴4a >-时，不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+.。

长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡，上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U Z =，{}1,2,3,4A =，{}(1)(3)0,B x x x x z =+->∈，则()U A C B ⋂=（ ） A. {}1,2 B. {}2,3C. {}1,2,3D. {}1,2,3,4【答案】C 【解析】 【分析】计算{1,0,1,2,3}U B =-ð，再计算()U A B ∩ð得到答案.【详解】由题{|(1)(3)0,}{|13,}{1,0,1,2,3}U B x x x x Z x x x Z =+-∈=-∈=-剟?ð， 则(){1,2,3}U A B ⋂=ð， 故选：C .【点睛】本题考查了集合的交集和补集的计算，意在考查学生的计算能力.2.已知12iz i -=+，则z =（ ） A. 1355i - B. 1355i +C. 1355i -- D. 1355i -+ 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得结论.【详解】∵()()()()21212213222555i i i i i i z i i i i -----+====-++-， ∴1355z i =+. 故选：B .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 3.函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A. B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ， 当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.考点：函数图象的平移.4.()61-2(1)t t +的展开式中，3t 项的系数（ ）A. 20B. 30C. 10-D. 24-【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】6(1)t +展开式的通项为16r rr T C t +=.所以6(12)(1)t t -+的展开式中3t 项的系数为3266210C C -=-， 故选：C .【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生对于二项式定理的应用.5.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）A.114B.17C.314D.13【答案】B 【解析】 【分析】根据题意共包含2828C =个基本事件，4种情况满足条件，得到答案.【详解】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件， 所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为28417P C ==. 故选：B .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 6.如图所示的程序框图，则输出的,,x y z 的值分别是（ ）A.13009，600，11203B. 1200，500，300C. 1100，400，600D. 300，500，1200【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图得：①300,1y i ==，满足3i <；②400,2y i ==，满足3i <； ③500,300y z ==，1200,3x i ==，不满足3i <.故输出的1200,500,300x y z ===. 故选：B .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力. 7.若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，37sin 2=θ，则sin θ= A.35B.45C.7 D.34【答案】D 【解析】【详解】11cos 232cos 2=-,sin 422824πππθθθπθθ-⎡⎤⎡⎤∈∴∈∴==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，， 【考点定位】本题从常规角度看考查了三角函数的求值，其中重点对倍角公式、平方关系等重点考查.而从答题技巧角度看，只是简单的代入检验，由于给定了,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使问题更趋于简单化8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F M 是抛物线C 上的一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】OFM ∆的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上，得到642p p +=，计算得到答案.【详解】OFM ∆的外接圆半径为6，OFM ∆的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上， 圆心到准线2px =-的距离等于6，即有642p p +=，由此解得8p =， 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中参数的计算，意在考查学生的综合应用能力.9.在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，ABC ∆为等边三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为 A.16B.14C.13D.12【答案】B 【解析】试题分析：取BC 的中点F ，连接,EF AF ，则EF PB P ，所以AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角．因为ABC ∆为正三角形，所以60BAC ∠=︒．设2PA AB a ==，因为PA ⊥平面ABC ，所以3,2,2AF a AE a EF a ===，所以222(2(2(31cos 4222a a a AEF a a∠==⨯⨯，故选B ．考点：1、异面直线所成角；2、线面垂直的性质定理；3、余弦定理．【方法点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．10.直线2x =与双曲线221169x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 2ab = B. 224a b +≥C. 2a b -≥D. 2a b +≥【答案】D 【解析】 【分析】不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到1ab =，再利用均值不等式得到答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为34y x =?，联立直线2x =，解得32y =±，∴不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ， ∴3322,22x a b y a b =+=-， ∵P 为双曲线C 上的任意一点，∴2233(22)221169a b a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=，∴1ab =， ∴222()244a b a b ab ab +=++=…（a b =时等号成立），可得||2a b +…， 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线和不等式的综合应用，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 11.已知函数()cos sin 2f x x x =，给出下列命题： ①x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0,T x R ≠∀∈恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ； ④()y f x =在[,]66ππ-上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案.【详解】①()cos()sin(2)cos sin2()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确； ②(2)()f x f x π+=，为周期函数，正确；③()223()2sin cos 2sin 1sin 2sin 2sin f x x x x x x x ==-=-，令sin ,[1,1]t x t =∈-，则3()22y t t t =-，令2260y t '=-=，得t =(1)0,y y -==⎝⎭为最大值，错误；④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11sin ,2233x ⎡⎡⎤∈-⊆-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，正确.故选：D .【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12.已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1 B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】求导得到()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，得到max 3()(1)12f x f a ==-，计算得到答案.【详解】1(1)(1)()1,1ax x f x ax a x x x+-'=-+-=>时，()0f x '<；01x <<，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，max 3()(1)12f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则3[()]()12y f f x f t t a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭…， ∵()f t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 则3411,23a a -厖，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：D .【点睛】本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.已知向量(1,4),(2,)a b k ==-r r ，且(2)a b +r r与(2)-r r a b 共线，则实数k =________【答案】8- 【解析】 【分析】计算得到2(3,42),2(4,8)a b k a b k +=-+-=-r r r r，再根据向量共线计算得到答案. 【详解】由己知得，2(3,42),2(4,8)a b k a b k +=-+-=-r r r r，由于(2)a b +r r与(2)-r r a b 共线，所以3(8)4(42)k k --=⨯+，得8k =-.故答案为：8-.【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力.14.某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的学生有_____人. 【答案】360 【解析】 【分析】直接根据比例关系计算得到答案.【详解】依题意可知，样本中(1,2]公里的人数所占的比例为45150.1300-=， 故全体学生中居住地到学校的距离在(1,2]公里的人数为36000.1360⨯=人. 故答案为：360.【点睛】本题考查了总体的估计，意在考查学生的应用能力.15.如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB CD 的中点，2os c PEF ∠=，若,,,,A B C D P 在同一球面上，则此球的体积为______.【答案】36π 【解析】 【分析】正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，根据22211R AO OO =+计算得到答案.【详解】由题意得，底面ABCD 是边长为4的正方形，2os 2c PEF ∠=，故高1PO 为2. 易知正四棱锥P ABCD-外接球的球心在它的高1PO 上，记球心为O ，则11122,,2,2AO PO AO R PO OO R =====-或12OO R =-（此时O 在1PO 的延长线上），在直角1AO O ∆中，2222211(22)(2)R AO OO R =+=+-，解得3R =，所以球的体积为334433633V R πππ==⨯=. 故答案：36π.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 16.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据正弦定理得到cos 2sin AB AM θθ⋅=，计算tan 2cos cos AC AB θθθ==，化简得到答案.【详解】设CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=.在AMD ∆中，902MBA θ︒∠=-，180BMA θ︒∠=-，由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ︒︒=--，即cos 2sin AB AM θθ⋅=， 在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ︒∠=∠=，由正切定义：tan 2AC θ=， 在ACB ∆中，90ACB ︒∠=，BAC θ∠=，由余弦定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==，。

2020届湖南省长沙市第一中学高三第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】首先求解方程组3y x y x ⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且5z z ⋅=，则z ＝( ) A ．2-i B ．-1+2i C ．-1-2i D ．-2+3i【答案】A【解析】通过复数的运算得到方程()2215a a +-=，根据其在复平面的位置得到结果. 【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =， ∴12z i =-+或2z i =-，∵在复平面内对应的点位于第一象限， ∴2z i =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算以及其几何意义，属于基础题. 3．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果. 【详解】∵21x <11x ⇔-<<，lg 0x <⇔01x <<，01x <<⇒11x -<<，11x -<<不能推出01x <<，∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 4．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( ) A ．725-B ．725C ．2424-D ．2425【答案】C【解析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a bθ⋅==-=-⨯⋅， ∵0θπ≤≤，∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题. 5．设a ＝183log ，b ＝244log ，c ＝342，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <b <a【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <，2a >，2b >，将,a b 分别表示为631log a =+，641log b =+，进而可得结果. 【详解】314222c =<=，18933log log 2a =>=，241644log log 2b =>>， 所以c 最小，因为18633log 1log a ==+，24644log 1log b ==+， ∵6643log log <，∴a b >，故选D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性的应用，寻找中间量是解题的关键，属于中档题.6．函数f (x )＝(33)ln xxx -+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由函数为偶函数可排除B ，由()0,1x ∈，()0f x <，可排除,A C ，进而可得结果. 【详解】∵()(33)ln xxf x x -=+，函数定义域为{}0x x ≠，()()(33)ln (33)ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除B.当()01x ∈，时，330x x -+>，ln 0x <，()0f x <，其图象应在x 轴下方，可排除,A C ，故选D. 【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数的图象，主要根据函数的性质利用排除法得到结果，属于中档题.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填( )A ．200?i >B ．201?i ≥C ．202?i >D ．203?i >【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】 程序的功能是计算3571sin3sin5sin 7sin 2222S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯+=1357-+-+，而101150213579199201=+⨯=-+-++-+，2012203i =+=，故条件为202?i >，故选C. 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种C ．70种D ．90种【答案】C【解析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种， 丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C. 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题． 9．将函数()2sin(2)16f x x π=--的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 ( ) A ．函数()g x 的最小正周期是2π B ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值是1【答案】C【解析】求出函数的周期判断A 的正误；函数的对称轴判断B 的正误；函数的单调性判断C 的正误；函数的最值判断D 的正误； 【详解】由题意知：()2sin(2)16g x x π=+-，最小正周期T 22ππ==，选项A 错误; 当12x π=-时，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即函数()g x 的图象关于点(,1)12π--对称，选项B 错误；当(,)62x ππ∈时，72(,)626x πππ+∈， ∴函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，选项C 正确; ∵函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()16g x g π<=， 即函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值， ∴选项D 错误，故选C.【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．10．若()ln f x x =与()23g x x x a ++=两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a = ( ) A ．-1 B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】求出切线方程，利用公切线结合判别式0=推出结果即可． 【详解】在函数()ln f x x =上的切点设为(,)x y ， 根据导数的几何意义得到11x=⇒1x =， 故切点为(10)，，可求出切线的方程为1y x =-， 因为直线l 和()23g x x x a ++=也相切，从而231x x a x ++=-，化简得到2210x x a +++=，只需要满足()4410a ∆-+==，所以0a = 故选B. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.11．设函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数()f x 有以下五个命题:①x ∈R ，()()1f f x =； ②()(),,()x y R f x y f x f y ∃∈+=+；③函数()f x 是偶函数； ④函数()f x 是周期函数； ⑤函数()f x 的图象是两条平行直线 其中真命题的个数是( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】由()0f x =或1，计算可判断①；由0x =0y =②；由奇偶性的定义可判断③；由周期函数的定义可判断④；由x 的范围可判断⑤． 【详解】由()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，可得()0f x =或1，则x R ∀∈，()f x 为有理数，则()()1ff x =，故①正确；当0x =0y =()()()0000f x y f x f y +=+，故②正确； ∵x 为有理数，则x -为有理数，x 为无理数，则x -为无理数， ∴函数()f x 是偶函数，故③正确；任何一个非零的有理数T ，都有()()f x T f x +=，则T 是函数的周期， ∴函数()f x 是周期函数，故④正确；由于x 为有理数，()1f x =；x 为无理数时，()0f x =，()f x 的图象不为连续的直线，故⑤错误．∴真命题的个数是4个，故选B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是分段函数的周期性和函数值的特点，以及图象特点，考查判断能力和推理能力，属于基础题．12．已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D —ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为( ) A ．53πB ．2πC ．5πD ．203π【答案】A【解析】三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，求出外接球的半径，然后求解球的表面积． 【详解】 如图，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直， 取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥ 分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，得正方形OEGF OG∴四面体A BCD -的外接球的半径R ===∴球O 的表面积为＝2543ππ⨯=，故选A. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的外接球的表面积的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x +=，且当3[0,)2x ∈时，()2f x x =-，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____【答案】14【解析】求出函数的周期，结合函数的奇偶性，转化求解函数值即可． 【详解】由()()3f x f x +=知函数()f x 的周期为3， 又函数()f x 为奇函数，所以2111111()()()()22224f f f =-=-==， 故答案为14. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质与应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.14．已知ABC △是等腰直角三角形，1,2()AC BC CP CA CB ===+，则AP BP ⋅=____【答案】4【解析】利用已知条件将,AP BP 分别用,CA CB 表示，然后求解向量的数量积即可. 【详解】∵2,2AP AC CP CA CB BP BC CP CA CB =+=+=+=+. ∴22(2)(2)224AP BP CA CB CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+=， 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查向量的数量积的运算，是基本知识的考查． 15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。

长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡，上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U Z =，{}1,2,3,4A =，{}(1)(3)0,x x x z B x +->=∈，则()U A C B =I （ ） A.{}1,2B.{}2,3C.{}1,2,3D.{}1,2,3,42.已知复数12iz i-=+，则z 的共轭复数z =（ ） A.1355i -B.1355i +C.1355i --D.1355i -+ 3.函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.4.61-2)(1)t t +（的展开式中，3t 项的系数（ ） A.20B.30C.10-D.24-5.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）A.114B.17C.314D.136.如图所示的程序框图，则输出的,,x y z 的值分别是（ ）A.13009，600，11203B.1200，500，300C.1100，400，600D.300，500，12007.若[,],sin 242ππθθ∈=sin θ=（ ）A.35B.45D.348.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F M 是抛物线C 上的一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ）A.2B.4C.6D.89.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，,PA AB E =是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为（ ） A.16B.14C.13D.1210.直线2x =与双曲线221169x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A.2ab =B.224a b +≥C.2a b -≥D.2a b +≥11.已知函数()cos sin2f x x x =，给出下列命题： ①x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0,T x R ≠∀∈恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ； ④()y f x =在[,]66ππ-上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A.①②③④B.②③C.①②③D.①②④12.已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A.(]0,1B.()1,+∞C.40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.已知向量(1,4),(2,)a b k ==-r r ，且(2)a b +r r 与2)a b -r r（共线，则实数k =________ 14.某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的学生有_____人.15.如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB CD 的中点，os c PEF ∠=,,,,A B C D P 在同一球面上，则此球的体积为______.16.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 和递增的等比数列{}n b 满足：111,3a b ==且3522423,2b a a b a =+=+. （1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若对任意的,n n n N kb S *∈≥恒成立，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分12分）.如图，三棱柱1l l ABC A B C -中，11,,60AC BC AB AA BAA ==∠=︒.（1）求证：111AC B A ⊥； （2）若平面ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC =，求直线1CB 与平面1A BC 所成角的正弦值. 19.（本小题满分12分）2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表：（1）研究员甲根据以上数据认为y 与x 具有线性回归关系，请帮他求出y 关于x 的线.性回归方程(1)ˆˆˆybx a =+（保留小数点后两位有效数字） （2）研究员乙根据以上数据得出y 与x 的回归模型：(2)4.8ˆ0.8yx=+.为了评价两种模型的拟合效果，请完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.01元）（备注：ˆi e 称为相应于点(,)i i x y 的残差）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较12,Q Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好. （3）根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元；生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元若按（2）中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由.（利润=收入-成本）参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,nnii i ii i nni ii i xx y y x ynx y by bxa x x xnx ====---⋅===+--∑∑∑∑. 参考数据：()()()552115.3,21.2i i i i i x x y y x x ==--=--=∑∑.20.（本小题满分12分）已知()()00,0,0,A x B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足2OP OA =+u u u r u u u r u u r .（1）求出动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）设动直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，与圆227x y +=相交于两点12,P P （两点均不在坐标轴上），求直线12,OP OP 的斜率之积. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln 1af x x x =+-（,a R a ∈为常数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在(),e +∞内有极值，试比较1a e-与1e a-的大小，并证明你的结论.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,4x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()2211x y +-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程； （2）曲线2=0,0:2C πθαρα⎛⎫><<⎪⎝⎭分别交直线l 和曲线1C 于点,A B ，求||||OB OA 的最大值及相应α的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲. 已知函数()33f x x a x =-++. （1）若3a =，解不等式()6f x ≤；（2）若不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）参考答案一、选择题1.C 【解析】由题{|(1)(3)0,}{|13,}{1,0,1,2,3}U B x x x x Z x x x Z =+-∈=-∈=-剟?ð，则(){1,2,3}U A B ⋂=ð，故选C. 2.B 【解析】1(1)(2)221132(2)(2)555i i i i i z i i i i ------====-++-，∴1355z i =+.故选B. 3.D 【解析】∵0a >，∴10a >，∴函数x y a =需向下平移1a个单位，不过(0,1)点，所以排除A.当1a >时，∴101a <<，所以排除B.当01a <<时，∴11a>，所以排除C.故选D. 4.C 【解析】6(1)t +展开式的通项为16r rr T C t +=.所以6(12)(1)t t -+的展开式中3t 项的系数为3266210C C -=-，故选C.5.B 【解析】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为28417P C ==.故选B. 6.B 【解析】根据程序枢图得：①300,1y i ==，满足3i <；②400,2y i ==，满足3i <；③500,300y z ==，1200,3x i ==，不满足3i <.故输出的1200,500,300x y z ===.故选B.7.D 【解析】∵,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1cos 28θ===-，∵2cos212sin ,sin 0θθθ=->，∴3sin 4θ==，故选D. 8.D 【解析】依题意得，OFM ∆的外接圆半径为6，OFM ∆的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4p x =上，圆心到准线2p x =-的距离等于6，即有642p p+=，由此解得8p =，故选D.9.B 【解析】取BC 的中点F ，连接,EF AF ，则//EF PB ，所以AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角.因为ABC ∆为正三角形，所以60BAC ︒∠=.设2PA AB a ==，因为PA ⊥平面ABC ，所,AF AE ==，EF =，所以1cos 4AEF ∠==，故选B.10.D 【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为34y x =±，联立直线2x =，解得32y =±，∴不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ，∴3322,22x a b y a b =+=-，∵P 为双曲线C 上的任意一点，∴2233(22)221169a b a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=，∴1ab =， ∴222()244a b a b ab ab +=++=…（a b =时等号成立），可得||2a b +…，故选D. 11.D 【解析】①()cos()sin(2)cos sin2()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确；②(2)()f x f x π+=，为周期函数，正确；③()223()2sin cos 2sin 1sin 2sin 2sin f x x x x x x x ==-=-，令sin ,[1,1]t x t =∈-，则3()22y t t t =-，令2260y t '=-=，得t =且(1)0,y y -==⎝⎭为最大值，错误；④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11sin ,2233x ⎡⎡⎤∈-⊆-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，正确.故选D. 12.D 【解析】1(1)(1)()1,1ax x f x ax a x x x+-'=-+-=>时，()0f x '<；01x <<，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，max 3()(1)12f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则3[()]()12y f f x f t t a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭…，∵()f t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，则3411,23a a -厖，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选D. 二、填空题13.8- 【解析】由己知得，2(3,42),2(4,8)a b k a b k +=-+-=-r r r r ，由于(2)a b +r r 与(2)a b -r r共线，所以3(8)4(42)k k --=⨯+，得8k =-.故答案为8-.14.360 【解析】依题意可知，样本中(1,2]公里的人数所占的比例为45150.1300-=，故全体学生中居住地到学校的距离在(1,2]公里的人数为36000.1360⨯=人.15.36π 【解析】由题意得，底面ABCD 是边长为4的正方形，cos 2PEF ∠=1PO 为2.易知正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，记球心为O ，则111,2,2AO PO AO R PO OO R =====-或12OO R =-（此时O 在1PO 的延长线上），在直角1AO O ∆中，2222211(2)R AO OO R =+=+-，解得3R =，所以球的体积为334433633V R πππ==⨯=.16.2 【解析】设CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=.在AMD ∆中，902MBA θ︒∠=-，180BMA θ︒∠=-，由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ︒︒=--，即cos2sin AB AM θθ⋅=，在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ︒∠=∠=，由正切定义：tan2AC θ=，在ACB ∆中，90ACB ︒∠=，BAC θ∠=，由余弦定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==，∴tan 2cos2cos 2sin AM θθθθ⋅==. 三、解答题17. 【解析】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由23522423351,1,21b a a q d b a q d ⎧=+⎧=+⎪⇒⎨⎨=+=+⎪⎩⎩则231160q q -+=，解得23q =（舍去）或3， 所以3nn b =；代入方程组得2d =，因此21n a n =-. 综上，21,3nn n a n b =-=. （2）由题意，()212n n n a a S n +==， 由*,n n n N kb S ∀∈…得23n n k ≥ 设2222111(1)221,3333n n n n n n n n n n n n c c c ++++-++=-=-= 当211,0n c c =->；当12,0n n n c c +-<…； 由数列{}n c 的单调性可得，{}()2max 49n c c ==所以4,9k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.18.【解析】如图，设AB 的中点为D ，连接1,CD A D ， 又设2AB =，则1112AD AA ==. （1）在ABC ∆中，,AC BC AB =的中点为D ，故AB CD ⊥ 在1ABA ∆中，11,60AB AA BAA ︒=∠=，所以1ABA ∆为等边三角形. 又AB 的中点为D ，所以1AB DA ⊥，因为AB CD ⊥，1AB DA ⊥，且1CD DA D ⋂=， 所以AB ⊥平面1CDA ，∵1CA ⊂平面1CDA ，所以1AC BA ⊥， 又11//AB B A ，所以111AC B A ⊥.（2）因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC ⋂平面11ABB A AB =，且AB CD ⊥， 故CD ⊥平面11AA B B ，如图，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(D A C B B --，故11(1,0,(CA CB CB ==-=-u u u r u u u r u u u r， 设平面1A CB 的法向量()1111,,n x y z =r，则有11110,x -=--=⎪⎩令11z =，得1(n =r，设直线1CB 与平面1A BC 所成角为θ，则111111sin cos ,||||CB n CB n CB n θ⋅====u u u u r u r u u u r u r r u r u u ， 故直线1CB 与平面1A BC所成角的正弦值为519. 【解析】（1）由题知： 4.4, 2.2x y ==，()()()1215.3ˆ0.2521.2niii nii x x yy bx x ==---===--∑∑， ˆˆ 2.20.25 4.4 3.30ay bx =-=+⨯=故(1)ˆ0.25 3.30yx =-+.（2）①经计算，可得下表：222222212(0.40)(0.15)(0.30)(0.15)(0.20),(0.14)(0.1)Q Q =+-+-+-+=+，因为12Q Q >，故模型(2)4.8ˆ0.8yx=+的拟合效果更好. （3）若生猪存栏数量达到1万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.2810+=元， 这样一天获得的总利润为(7.5 1.28)1000062200-⨯=（元）；若生猪存栏数量达到1.2万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.212+=元， 这样一天获得的总利润为(7.2 1.2)1200072000-⨯=（元），因为7200062200>，所以选择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润.20. 【解析】（1）因为2OP OA =+u u u r u u u r u u r，即())()0000(,)2,00,2x y x y x =+=所以002,x x y ==，所以001,2x x y y ==又因为||1AB =，所以22001x y +=，即221123x y ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22143x y +=. 所以曲线C 的标准方程为22143x y +=. （2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+.由方程组22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=.∵直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，∴()()2221(8)4434120km k m ∆=-+-=，即2243m k =+. 由方程组22,7y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()2221270k x kmx m +++-=， 则()()2222(2)4170km k m ∆=-+->.设()()111222,,,P x y P x y ，则212122227,11km m x x x x k k --+=⋅=++， 设直线12,OP OP 的斜率分别为12,k k ，所以()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++===222222222272711771m kmk km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， 将2243m k =+代入上式，得2122333444k k k k -+==--. 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±.此时，圆227x y +=与l 的交点12,P P 也满足1234k k =-. 综上，直线12,OP OP 的斜率之积为定值34-. 21. 【解析】（1）定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2221(2)1()(1)(1)a x a x f x x x x x -++'=-=-- 设22()(2)1,(2)4h x x a x a =-++∆=+-当40a -剟时，2(2)40a ∆=+-„，此时()0h x „，从而()0f x '…恒成立， 故函数()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是增函数；当4a <-时，函数2()(2)1h x x a x =-++图象开口向上，对称轴202a x +=<，又(0)10h => 所以此时()0h x …，从而()0f x '…恒成立， 故函数()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是增函数；当0a >时，2(2)40a ∆=+->，设2()(2)1h x x a x =-++有两个不同的实根12,x x ， 共中121220,1x x a x x +=+>⋅=，令1201x x <<<，则12(2)(2)22a a x x +-++==令()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得11x x <<或21x x <<，故函数()f x 在()10,x 上是增函数，在()2,x +∞上是增函数，在()1,1x 上是减函数，在()21,x 上是减函数. 综上，当0a „时，函数()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是增函数；当0a >时，函数()f x 在(2)0,2a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数，在(2)2a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数，在(2)2a ⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭上是减函数，在(2)1,2a ⎛++ ⎪⎝⎭上是减函数. （2）要使()y f x =在(,)e +∞上有极值，由（1）知0a >，①则2()(2)1h x x a x =-++有一变号零点在区间(,)e +∞上，不妨设2x e >， 又因为121x x ⋅=，∴1210x e x e<<<<，又(0)1h =， ∴只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即211(2)10a e e -++<，∴12a e e>+-，② 联立①②可得：12a e e>+-. 从而1a e -与1e a-均为正数.要比较1a e-与1e a-的大小，同取自然底数的对数，即比较(1)ln a e -与(1)ln e a -的大小，再转化为比较ln 1e e -与ln 1aa -的大小.构造函数ln ()(1)1xx x x ϕ=>-，则211ln ()(1)x x x x ϕ--'=-， 再设1()1ln m x x x =--，则21()xm x x-'=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减， 此时()(1)0m x m <=，故()0x ϕ'<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1xx x ϕ=-在(1,)+∞上单调递减. 综上所述，当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，11a e e a --<； 当a e =时，11a e ea --=；当(,)a e ∈+∞时，11a e ea -->.22.【解析】（1）∵4y x -=-，∴直线l 的普通方程为：40x y +-=， 直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=.曲线1C 的普通方程为222x y y +=，因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的参数方程为：2sin ρθ=.（2）直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=，令θα=，则4||cos sin OA αα=+.又||2sin OB α=，∴||1sin (sin cos )||2OB OA ααα=⋅+ 2111sin sin cos (1cos2sin 2)224ααααα=+=-+1sin 2444πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ∵02πα<<，∴32444πππα-<-<， ∴242ππα-=，即38πα=时，||||OB OA取得最大值14+.23.【解析】（1）3,()|33||3|6a f x x x ==-++…当3x -„时，3336x x ---≤，解得32x -…，∴x ∈∅； 当31x -<„时，3336x x -++≤，解得0x ≥，∴[0,1]x ∈；当1x >时，3336x x -++≤，解得32x „，∴31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 综上所述，不等式()6f x ≤的解集为3|02x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭剟. （2）不存在实数x ，使得()1|62|f x a x --+„，等价于()1|62|f x a x >--+恒成立， 即|3||93|1x a x a -++>-恒成立.∵|3||93||(3)(93)||9|x a x x a x a -++--+=+…，∴|9|1a a +>- 当9a <-时，91a a -->-，解得a ∈∅； 当9a ≥-时，91a a +>-，解得4a >-.∴4a >-时，不存在实数x ，使得()1|62|f x a x --+„.。