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2017届高中毕业生五月供题数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}|20162017,|20171P x x Q x x =-≤≤=-<，则PQ =A. ()2016,2017B. (]2016,2017C. [)2016,2017D.()2016,2017- 2.若复数z 满足()222z z z i +⋅=-（i 为虚数单位），则z 为 A. 12i -- B.1i -- C.12i -+ D.12i -3.已知变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则82x y z =⋅的最大值为A. 33B. 32C. 35D. 344.如图是一个正方体，A,B,C 为三个顶点，D 是棱的中点，则三棱锥A-BCD 的正视图，俯视图是（注：选项中的上图是正视图，下图是俯视图）5.为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.85,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为A. 1.79万元B. 2.55万元C. 1.91万元6.执行如图所示的程序框图，如果输入的15,12m n ==，则输出的n 是 A. 15 B. 12 C. 3 D. 1807.某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑一圈，在学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B 往操场看了一次，以后每50秒往操场上看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是 A. 逆时针方向匀速前跑 B. 顺时针方向匀速前跑 C.顺时针方向匀速后退 D.静止不动 8.已知1a =，a 与b 的夹角为3π，()23a b a +⋅=，则b 的值是 2 D.29.随机地取两个数,x y ，使得[][]1,1,0,1x y ∈-∈，则满足2y x ≥的概率是A.13 B. 23 C. 14 D.3410.已知函数()1cos 626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若存在123,,,,n x x x x 满足12306n x x x x π≤<<<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()()1122,n n f x f x n n N *-+-=≥∈，则n 的最小值为A. 6B. 10C. 8D. 12 11.mn mk n k n k CC --==∑A. 2m n+ B. 2m n m C C. 2n m n C D. 2m m n C12.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1AB ，且平面α⊥平面1C BD ，平面α平面11ADD A AS =，则1A AS ∠的正切值为A.2B. 5C. 3D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.定义运算,0,0x xy x y y xy ≥⎧∇=⎨<⎩，例如()343,244∇=-∇=，则函数()()222f x x x x =∇-的最大值为 . 14.已知,tan tan 33παβαβ-=-=，则()cos αβ+的值为 .15.锐角ABC ∆中，D 为BC 的中点，满足90BAD C ∠+∠=，则角,B C 的大小关系为 .（填“B C <”或“B C =”或B C >）16.在半径为R 的圆内，作内接等腰ABC ∆，当底边上高(]0,h t ∈时，ABC ∆的面积取得最大值24，则t 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点,n n S A n n⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x x c =-+的图像上运动，其中c 是与x 无关的常数，且1 3.a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值. 18.（本题满分12分）某班级50名学生的考试分数x 分布在区间[)50,100内，设考试分数x 的分布频率是()f x ，且()()()0.4,10101,5,6,7,10,10101,8,9.5nn x n n f x n b n x n n ⎧-≤<+=⎪⎪=⎨⎪-+≤<+=⎪⎩，考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[)50,60内的成绩记为1分，考试分数在[)60,70内的成绩记为2分，考试分数在[)70,80内的成绩记为3分，考试分数在[)80,90内的成绩记为4分，考试分数在[)90,100内的成绩记为5分，在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分，2分，3分的学生中随机抽取6人，再从这6人中抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ（将频率视为概率）. （1）求b 的值，并估计班级的考试平均分数； （2）求()7P ξ=；（3）求ξ的分布列和数学期望. 19.（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面相互垂直，2,1,AB AF G ==为线段AD 上的任意一点。
高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。
2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，请只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。
2020年新⾼考模拟数学试卷（含答案）2020年5⽉8⽇-200012020年新⾼考模拟数学试卷(含答案)2020年5⽉8⽇下午1.巳知全集U = 集今A = W + ■丹C V A =A.[0,1] (011) C*( —g,l] D. (—8,1)2.设复数富=⾈(其中i为虚数取位⽚则爱数⽦在复平⾯内对应的点所往的象限为上第⼀象限R第⼆魏駁C■第三酿限 D. ?四象隈3.加强体育锻炼⾧许少年⽜.活学习中⾮常議悪的组成梆分+某学冷做引体向上运动*处于如图所⽰的平衡状态时，若两只咯膊的夹谢为$0為毎⾙貉鱒的拉⼒⼤⼩均为400 N>Mm学⽣的体重(单位:kQ绡为(蠢考數据：取重⼒加遽厦⼤⼩为>f = 10 密壬1.732)A.63 B* 69C. 75 D* 814已划函数"I的部分图象如图，則的解析式可能星A* /B t /(x) = z+?in 2xG /(J)屯Jf—g&n 2jr5.⽅嵋医除的创设.在抗击卿冠肺炎疫悄中发挥了不可薔代的匿要作⽤?幕⽅枪医院医疗⼩级誓七名护⼟?悔名护⼠从周⼀到同⽇轮潦安排⼀个視5L若甲的夜廳⽐丙曖⼀天，丁的拽班⽐戊瞬期⼤，⼄的夜班⽐庚早三夭.⼰的救班在周四?且倚好在⼄和内的正中阖，则同五值厦班的护⼠为A.甲⽒丙 C.戊 D.庚6+已知抛物线贰=仏的焦点为F,直线IHF且与抛物线交于A初两点，过A作拋物线准线的垂线,垂⾜为M,/MAF的⾓平分线与抛物线的准线交于点P,线段AE的中点为Q. 若tAB|=8,((iJlPQ|-A. 2 B. 4 G6 D. 87?洛书，古称龟书?晁阴阳五⾏术数之源，蔽世界公认为组合数学的⿐祖*它是中华民姦对⼈类的伟⼤贡献之⼀*在古代传说中有神⿔出于浇⽔，其甲壳上有圏1严以五居中，五⽅⽩圈皆阳数,四隅鳩点为阴ST,这就是蛊早的三阶幻⽅.按麗上述说法，将1到9这九个数字*填在如图2所⽰的九官格⾥，九宫務的中间填5,四个⾓填偶数+基余位?i填奇数.则每⼀横⾏、每⼀竖列以及两条对⾓线上3久。
长沙市一中2020届高三月考试卷（八）数学（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，若复数z 满足1zi i =+，则z =（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i --D. 1i -+【答案】B 【解析】 【分析】1i iz +=，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】2211i i i z i i i++===-，故1z i =+.故选：B.【点睛】本题考查向量的除法运算以及共轭复数的概念，是一道基础题. 2.已知等差数列{}n a 中，234+=a a ，566a a +=，则1112a a +=（ ） A. 10 B. 8C. 12D. 14【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，可得23a a +，56a a +，89a a +，1112a a +为公差为2的成等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得23a a +，56a a +，89a a +，1112a a +成等差数列，且公差为()()56232d a a a a =+-=+，所以231112()461203a a a a =+⨯+=+=+. 故选：A .【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等差数列的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 3.若110a b<<，则下面四个不等式恒成立的是（ ） A. a b ab +< B. a ba b <<C. ||||a b >D. 33a b <【答案】A 【解析】 【分析】由110a b<<，得到0b a <<，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，因为110a b<<，可得0b a <<，对于A 中，可得0a b +<，0ab >，所以a b ab +<，所以A 正确； 对于B 中，由0a b +<，0ab >，可得b a ba <<，所以B 不正确； 对于C 中，由0b a <<，可得||||a b <，所以C 不正确；对于D 中，由0b a <<，根据实数的运算性质，可得33a b >，所以D 不正确. 故选：A .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.4.妈妈为儿子十八岁亲手制作一个两层的生日蛋糕.生日蛋糕的三视图及尺寸如下图所示（图中小正方形的边长为1个单位）.蛋糕制作好后，需在看得见的部分涂上奶油，则奶油的面积为（ ）A. 10πB. 12πC. 14πD. 18π【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的几何体的三视图，得出该几何体表示下半部分为半径为2，母线长为1的圆柱，上半部分为半径为1，母线长为1的圆柱所构成的一个组合体，结合面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体表示下半部分为半径为2，母线长为2的圆柱，上半部分为半径为1，母线长为1的圆柱所构成的一个组合体，所以该组合体看见的部分的表面积为2222211214S ππππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯=. 故选：C .【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.5.在5(2)()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数为（ ） A. 20- B. 15 C. 10- D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的性质，得到含有33x y 的项为323232552()()x C x y y C x y ⋅-+⋅-，即可求解.【详解】由题意，根据二项展开式的性质，可得展开式中含有33x y 的项为32323233552()()10x C x y y C x y x y ⋅-+⋅-=-，所以33x y 的系数为10-. 故选：C .【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力.6.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）A.15B.14C.13D.12【答案】B 【解析】 【分析】确定第二节课的上课时间和时长，从而得到听课时间不少于20分钟所需的达到教室的时间，根据几何概型概率公式求得结果.【详解】由题意可知，第二节课的上课时间为：8:409:20:，时长40分钟若听第二节课的时间不少于20分钟，则需在8:509:00:之间到达教室，时长10分钟∴听第二节课的时间不少于20分钟的概率为：101404p == 本题正确选项：B【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.7.已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. 12y x =±C. y =D. y = 【答案】C 【解析】 【分析】由1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14FM c =，根据双曲线的定义求得2c a =，进而得到b =，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14FM c =， 由双曲线的定义可知21243a F M FM c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．8.若,a b ∈R ，则使||||1a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ） A. ||1a b +≥ B. 221a b +>C. 1a <或1b <D. 1a ≤且1b ≤【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式表示的平面区域，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.【详解】如图所示，||||1a b +>所表示的区域为正方形ABCD 以外的部分，记为集合1S ， 而221a b +>所表示的区域为以原点为圆心，1为半径的圆的外部，记为集合2S ，显然21S S ≠⊂，所以221a b +>是||||1a b +>的一个充分不必要条件. 故选:B .【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，以及充分条件、必要条件的判定，着重考查了数形结合思想，以及推理与论证能力.9.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x （单位：克）与药物功效y （单位：药物单位）之间具有关系210y x x =-.检测这种药品一个批次的5个样本，得到成分甲的平均值为4克，2克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为（ ） A. 22药物单位 B. 20药物单位C. 12药物单位D. 10药物单位【答案】A 【解析】 【分析】设5个样本的成分甲的含量分别为12345x x x x x 、、、、，根据已知先求出22212590x x x ++⋅⋅⋅+=，再求出125y y y ++⋅⋅⋅+的值即可.【详解】设5个样本的成分甲的含量分别为12345x x x x x 、、、、，平均值为x ， 则4x =，()()()2222222125125()510x xx x x xx x x x -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-=，所以22212590x x x ++⋅⋅⋅+=，则对应的22212512512510()()110y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+=，所以估计这批中医药的药物功效的平均值为22. 故选A.【点睛】本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征中的均值与方差问题，属基础题. 10.已知函数()g x 为一次函数，若,m n R ∀∈，有()()()3g m n g m g n +=+-，当[2,2]x ∈-时，函数2()log (2()f x x g x =++的最大值与最小值之和是（ ）A. 10B. 8C. 7D. 6【答案】D 【解析】 【分析】设()g x ax b =+，求得3b =，得到()3g x ax =+，再设2()log (2h x x =，得到函数()h x 为单调递增函数，且为是奇函数，即可求解. 【详解】由题意，设一次函数()g x ax b =+，因为()()()3g m n g m g n +=+-，可得()3a m n b am b an b ++=+++-，解得3b =， 所以()3g x ax =+，故()g x 的图象关于(0,3)对称，又设2()log (2h x x =+，可得函数()h x 为单调递增函数，且22()log (2log ()h x x h x -=-+==-，即()()h x h x -=-，所以()h x 是奇函数，则min max ()()0h x h x +=， 则()min min min ()()f x h x g x =+，()max max max ()()f x h x g x =+，所以()()min max min max min max (()())()()066f x f x h x h x g x g x +=+++=+= 即为()g x 的最大值与最小值之和6. 故选：D .【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，对数运算性质，以及函数的单调性与奇偶性的综合应用，着重考查了推理与运算能力.11.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f π=，且()f x 在区间5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的取值个数为（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件，求得()2,,32k k k Z k Z ππωϕπωπϕπ''+=++=∈∈，两式相减得，解得3(2+1)4m ω=，结合()f x 在区间5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，求得11522m -<≤，即可求解.【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足23f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()0f π=， 可得()2,,32k k k Z k Z ππωϕπωπϕπ''+=++=∈∈，两式相减得2()32m m ππωπ=+∈Z ，解得3(2+1)4m ω=， 又由5123122πππω-⋅…，可得12ω…，即3(21)0124m +<…，解得11522m -<…， 所以{0,1,2,3,4,5,6,7}m ∈. 故选：B .【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，根据题设条件列出方程和不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12.已知两个不相等的非零向量a r ，b r 两组向量12345,,,,x x x x x u u r u u r u u r u u r u u r 和12345,,,,y y y y y u u r u u r u u r u u r u u r 均由二个a r和三个b r 排列而成.记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅uu r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r r r ，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的个数是（ ）①S 有5个不同的值；②若||a b ⊥r r，则min S 与||a r 无关； ③若//a b r r，则min S 与||b r 无关；④若||4||b a >r r，则min 0S >；⑤若||2||b a =rr ，2min 8||S a =r ，则a r与br的夹角为3π. A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出所有S 的值，判断①，利用作差法求得S 的最小值，结合向量的垂直、平行及数量积的运算，可判断②③④，即可求解.【详解】由题意，因为12345,,,,x x x x x u u r u u r u u r u u r u u r 和12345,,,,y y y y y u u r u u r u u r u u r u u r 是由二个a r 和三个b r排列而成，所以S 的取值有三种：222221S a a b b b =++++u u r u u r u u r u u r u u r ，2222S a a b a b b b =+⋅+⋅++u u r u u r r r r r u u r ，23S a b a b a b a b b =⋅+⋅+⋅+⋅+r r r r r r r r u u r ，因为22222122322||||(||||)S S S S a b a b a b a b a b -=-=+-⋅≥+-=-u u r u u r u u r u u r r r r r r r ，所以最小值为3S ，所以①错误； 若a b ⊥r r，则2min ||S b =r ，与||a r 无关，故②正确；若a b r r P ，则2min 4S a b b =⋅+u ur r r ，与||b r 有关，故③错误；若||4||b a >r r ，则222min 4||||cos 4||||0S a b a b a b b =+≥-+>u u r u u r r r r r u u r ，故④正确；若||2||b a =r r ，可得而222min 8||cos 4||8||S a a a θ=++=r r r ，则a r 与b r 的夹角为3π，故⑤正确.故选：B .【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，平面向量的数量积的运算，以及向量的垂直、平行关系的应用，着重考查了逻辑思维能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.已知抛物线28x y =上一点P 到其焦点的距离为6，则点P 的坐标为________.【答案】(± 【解析】 【分析】根据抛物线定义得26P y +=，解得4P y =，代入抛物线的方程，即可求得点P 的坐标. 【详解】由题意，抛物线28x y =上一点P 到其焦点的距离为6， 根据抛物线的定义，可得26P y +=，解得4P y =，代入抛物线28x y =，即28432x =⨯=，解得x =±， 所以点P 的坐标为(P ±. 故答案为：(±.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程的应用，其中解答中熟记抛物线的定义是解答的关键，着重考查了计算能力.14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其他肉类.某天在市场中随机抽取100名市民调查其购买肉类的情况，其中不买猪肉的有30位，买了肉的有90位，买了猪肉且买了其他肉的人共25位，以这100个样本估计这一天该市只买了猪肉且没买其他肉的人数与全市人数的比值为_______ 【答案】0.45 【解析】 【分析】根据题意，利用集合思想，得到只买猪肉的人数，即可得到答案.【详解】由题意，随机抽取的100位市民中，只买了猪肉且没买其他肉的有100302545--=， 由此估计该市只买了猪肉且没买其他肉的人数与全市人数的比值为450.45100=. 【点睛】本题主要考查了集合思想的应用，以及集合元素关系的求解，其中解答中根据题设条件建立方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.15.已知函数22,0,()10,x e x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，若R ∀∈，()f x mx ≥，则m 的取值范围是______.【答案】[2,2]e - 【解析】【分析】由函数的解析式，分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式，即可求解.【详解】由题意，函数22,0()10x e x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，（1）当0x >时，由()f x mx ≥，可得2xe mx …，即2xe m x…， 设2()x e g x x =，可得22(21)()x e x g x x-'=， 当102x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当12x >时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以min 1()22g x g e ⎛⎫==⎪⎝⎭，即2m e …； （2）当0x ≤时，由()f x mx ≥，可得21x mx +…， 当0x =时显然成立；当0x <时，可得1m x x +…，因为112x x x x ⎛⎫+=--+- ⎪-⎝⎭…，当且仅当1x =-时取等号，所以2m ≥-.综上可得，实数m 的取值范围是[2,2]e -，【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，以及分段函数的性质的应用，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力.16.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,3AD DD AB ===，E ，F ，G 分别为11,,AB BC C D 的中点,点P 在平面ABCD 内，若直线1//D P 平面EFG ，则线段1D P 长度的最小值是________________.【答案】72【解析】【分析】如图，连接11,,ACD A D C，证明平面1//ACD平面EFG.因为直线1//D P平面EFG，所以点P在直线AC 上.当1D P AC⊥时.线段1D P的长度最小，再求此时的1D P得解.【详解】如图，连接11,,ACD A D C，因为E，F，G分别为AB，BC，11C D的中点，所以//AC EF，EF⊄平面1ACD，则//EF平面1ACD.因为1//EG AD，所以同理得//EG平面1ACD，又EF EG E=I.所以平面1//ACD平面EFG.因为直线1//D P平面EFG，所以点P在直线AC上.在1ACD△中，122111272,2,2,22222AD CAD AC CD S⎛⎫====-=⎪⎪⎝⎭V，故当1D P AC⊥时.线段1D P的长度最小，最小值为772122=⨯.7【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边，且222sin 2cos 22B Aa b b c +=+. （1）求角B 的大小；（2）若6c =，[2,6]a ∈，求sin C 的取值范围.【答案】（1）3π；（2）,12⎤⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）由题设条件，结合三角恒等变换的公式，化简求得1cos 2B =，即可求得角B 的大小； （2）由余弦定理得到22(3)27b a =-+，结合[2,6]a ∈，求得b ∈，进而利用正弦定理，即可求解.【详解】（1）由题意知：1cos 1cos 2222B Aa b b c -+⋅+⋅=+， 可得cos cos a a B b A c -+=，由正弦定理，可得sin sin cos cos sin sin()A A B A B A B -+=+， 整理得sin 2sin cos A A B =，因为(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，可得1cos 2B =， 又因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由余弦定理，可得222222cos 636(3)27b a c ac B a a a =+-=-+=-+，因为[2,6]a ∈，所以b ∈，所以sin sin c C B b ⎤==⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，以及三角函数恒等变换的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．18.如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，又AE⊥平面ABD. （1）若2AE=，求直线DE与直线BC所成的角；（2）若二面角ABED的大小为3π，求AE的长度．【答案】（1）2π；（2）2【解析】【分析】（1）由题意可知，AB⊥AD, AE⊥平面ABD，以A为原点，AB、AD、AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，作CF BD⊥，垂足为F，可得2CF=，得到C点坐标，利用向量法能求得DE BC⋅u u u v u u u v，即可得到所求角．（2）设AE的长度为(0)a a>，则()0,0,E a，由题意知AD⊥平面ABE，可得平面ABE的一个法向量为1nu v，再求得平面BDE的法向量为2nu u v，121212cos,n nn nn nu v u u vu v u u vu v u u v⋅=21224a==+，解得a即可.【详解】∵正方形ABCD边长为2 ∴AB AD⊥，CB CD⊥，2AB AD CD BC====又AE⊥平面ABD，∴以点A为原点，AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．作CF BD⊥，垂足为F，∵平面ABD⊥平面CBD，CF⊂平面CBD，平面ABD⋂平面CBD BD=，∴CF⊥平面ABD，∵2CB CD==∴点F为BD的中点，2CF=（1）∵2AE=∴(E ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，，(C∴(0,DE u u u v =-，(BC =-u u u v ∴0DE BC ⋅=u u u v u u u v∴DE BC ⊥u u u v u u u v∴直线DE 与直线BC 所成角为2π； （2）设AE 的长度为(0)a a >，则()0,0,E a∵AD ⊥平面ABE ∴平面ABE 的一个法向量为()10,1,0n =u v设平面BDE 的法向量为()2111,,n x y z =u u v ，又()2,0,BE a =-u u u v ，()2,2,0BD =-u u u v∴2n BE ⊥u u v u u u v ，2n BD u u v u u u v ⊥ ∴21121120220n BE x az n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，解得：11112a x z x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，取12z =，则11x y a ==， ∴平面BDE 的一个法向量为()2,,2n a a u u v=∴121212cos ,n n n n n n u v u u vu v u u v u v u u v ⋅===∵二面角A BE D --的大小为3π12=，解得：a =∴AE．【点睛】本题考查了利用空间向量解决异面直线所成角及二面角的问题，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．19.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，点A 为其左顶点，点D 的坐标为(1,0)，过点D 作直线l 与椭圆交于,E F 两点，当EF 垂直于x轴时，EF =（1）求该椭圆的方程；（2）设直线AE ，AF 分别交直线3x =于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 与QD 的斜率分别为k ，k '，且0k ≠，求证：k k '⋅为定值.【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率为2，求得a =，设椭圆方程为222212x y b b +=，代入点1,2⎛ ⎝⎭，求得22b =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线EF 的方程为(1)y k x =-，联立方程组22(1)24y k x x y =-⎧⎨+=⎩，求得1212,x x x x +，进而得到1153,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 2253,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，及MN 的中点为12125522()2y y x x Q +++，再结合斜率公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，即2c e a ==，解得a =，又由b c ==，所以a =，设椭圆方程为222212x y b b+=，又由椭圆过点⎛ ⎝⎭，代入可得2213122b b +=，解得22b =，所以24a =， 所求椭圆方程为22142x y +=.（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线EF 的方程为(1)y k x =-，联立方程组22(1)24y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得()2222124240k x k x k +-+-=， 所以2122412k x x k +=+，21222412k x x k-⋅=+， 直线AE 的方程为11(2)2y y x x =++，可得1153,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭， 同理可得2253,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以MN 的中点为12125522()2y y x x Q +++，所以QD 的斜率()()()()121221121255225224422y y x y x y x x k x x ++++++'==++()()22212122222121224554844851254244248484186x x x x k k k k k k x x x x k k k k k++--+---=⋅=⋅=⋅=-⋅+++-+++， 所以56kk '=-. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.近些年随着我国国民消费水平的升级，汽车产品已经逐渐进入千家万户，但是我国的城市发展水平并不能与汽车保有量增速形成平衡，城市交通问题越发突出，因此各大城市相继出现了购车限号上牌的政策.某城市采用摇号买车的限号上牌方式，申请人提供申请，经审查合格后，确认申请编码为有效编码，这时候就可以凭借申请编码参加每月一次的摇号.假设该城市有20万人参加摇号，每个月有2万个名额，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续下个月摇号. （1）平均每个人摇上号需要多长时间?（2）如果每个月都有2万人补充进摇号队伍，以每个人进入摇号的月份算第一个月，他摇到号的月份设为随机变量X .①证明：*{()}(,135)P X n n N n =∈≤≤为等比数列；②假设该项政策连续实施36个月，小王是第一个月就参加摇号的人，记小王参.加摇号的次数为Y ，试求Y 的数学期望（精确到0.01）.参考数据：340.90.028≈，350.90.025≈.【答案】（1）5.5个月；（2）①证明见解析；②9.77 【解析】 【分析】（1）设每个人摇上号的时间为ξ个月，得到1,2,3,,10ξ=L ，求得相应的概率，计算出数学期望，即可得到结论；（2）（ⅰ）结合等比数列的定义，即可证得{()}P X n =为等比数列；（ⅱ）由（ⅰ）求得随机变量Y 的数学期望，再结合乘公比错位相减法，即可求解.【详解】（1）由题意，设每个人摇上号的时间为ξ个月，则1,2,3,,10ξ=L ，可得21(1)2010P ξ===，111(2)110910P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭， 1111(3)11109810P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，L L ，11111(10)1111092110P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，所以111()(12310) 5.5102E ξ=⨯+++⋯+==， 即平均每个人摇上号需要的时间为5.5个月. （2）（ⅰ）每个月的摇号中恰有110的概率摇上， 则有()0P X n =≠，且119(1)91010()10191010nn P X n P X n -⎛⎫⋅ ⎪=+⎝⎭===⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 故()*{()},135P X n n n =∈N 剟为等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）可知，当35n …时，()()P X n P Y n ===，359(36)10P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故Y 的数学期望为：3435191919()123536101010101010E Y ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设349912351010S ⎛⎫=+⨯++⨯ ⎪⎝⎭L .则2359999123510101010S ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 两式作差得2234351999991[()()()]()35101010101010S =++++-⨯ 343435343599[1()]99981910101()3519[1()]()35109101010210110-⎛⎫=+-⨯=+--⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-所以3435348199()1036108.10.921010E Y ⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100.22689.77329.77≈-=≈.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望，以及概率的综合应用，其中解答中认真审题，求得随机变量的取值和数学期望是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.21.设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)x g x x e ax =-+. （1）若0a ≥，讨论()g x 的零点个数； （2）证明：()()f x g x ≤.【答案】（1）当0a =时，()g x 有唯一零点；当0a >时，()g x 有两个零点；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()()2xg x x e a '=+，求得当0a =，函数()g x 有唯一的零点1x =； 当0a >，利用导数求得函数的单调性与最值，结合最值，即可求解.（2）令()()()(1)ln(1)1xH x g x f x x e x x =-=-----，求得导数()11xH x x e x ⎛⎫'=-⎪-⎝⎭，令1()1x t x e x =--，得到()t x 在(1,)+∞有唯一零点0(1,2)x ∈，结合导数求得函数()H x 的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数2()(1)x g x x e ax =-+，则()()22xxg x xe ax x e a '=+=+，①当0a =，则函数()(1)xg x x e =-，此时()g x 有唯一的零点1x =； ②当0a >，令()0g x '=，可得0x =，所以min ()(0)1g x g ==-，()g x 最多两个零点，当0x <时，可得01x e e <=且10x -<，所以()11xx e x ->-，所以2()1g x ax x >+-，故x →-∞时，()0>g x ， 所以()g x 在(,0)-∞有一个零点；当0x >时，(1)0g a =>，所以()g x 在(0,)+∞有一个零点.综上可知，当0a =时，()g x 有唯一零点；当0a >时，()g x 有两个零点. （2）令()()()(1)ln(1)1,1xH x g x f x x e x x x =-=----->，则()111111x xx x H x xe xe x e x x x ⎛⎫'=--==- ---⎝-⎪⎭， 令1()1xt x e x =--，可得()t x 在(1,)+∞是增函数， 且（()2212210,(2)10e t ee e t e --++=-<=->，所以()t x 在(1,)+∞有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈， 当()01,x x ∈时，()0H x '<，()H x 在()01,x 上为减函数， 当()0,x x ∈+∞时，()0H x '>，()H x 在()0,x +∞上为增函数， 故()()()0min0000()1ln 11x H x H x x e x x ==-----，且0011xe x =-， 所以()000110H x x x =+--=，∴()0()0H x H x =…， 所以()()f x g x ≤成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分.22.已知圆C ：224x y +=，直线:2l x y +=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.（1）将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；（2）P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2||||||OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）C ：2ρ=，l ：()cos sin 2ρθθ+=；（2）()2cos sin ρθθ=+，()0ρ≠ 【解析】 【分析】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入圆C 和直线l 的方程化简可得圆C 和直线l 的极坐标方程. （2）设P Q R 、、的坐标分别为()()()12ρθρθρθ，、，、，，由2||||||OQ OP OR ⋅=，可得212ρρρ=，再根据2122cos sin ρρθθ==+，，求得点Q 轨迹的极坐标方程.【详解】（1）将cos sin x y ρθρθ==，分别代入圆C 和直线l 的方程，得其极坐标方程分别为C ：2ρ=，l ：()cos sin 2ρθθ+=；（2）设P Q R 、、的坐标分别为()()()12ρθρθρθ，、，、，，则由2||||||OQ OP OR ⋅=，得212ρρρ=，又22ρ=，12cos sin ρθθ=+所以24cos sin ρθθ=+，故点Q 轨迹的极坐标方程为()2cos sin ρθθ=+，()0ρ≠【点睛】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程，求曲线的极坐标方程，属于基础题. 23.已知函数()|2||24|f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若,,a b c 为正实数，且4m a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）4m =；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，得到函数32,2()2246,2232,2x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤<⎨⎪-≥⎩，利用分段函数和一次函数的性质求得函数的最小值，即可求解；（2）由（1）可得，实数,,a b c 为正实数，且1a b c ++=，代入利用基本不等式即可作出证明.【详解】（1）由题意，函数32,2()2246,2232,2x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤<⎨⎪-≥⎩，当2x <-时，函数()32f x x =-+单调递减，所以()min (2)6f x f >-=；当22x -≤<时，函数()6f x x =-+单调递减，所以()min (2)4f x f >=；当2x ≥时，函数()32f x x =-单调递增，所以()min (2)4f x f ==，综上可得，函数()f x 的最小值为4，所以4m =.（2）由（1）可得，实数,,a b c 为正实数，且1a b c ++=， 所以111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4111a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8b c a c a b a b c +++=⨯⨯≥=. 当且仅当13a b c ===时等号成立，所以1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了含有绝对值函数的最值问题，以及基本不等式的应用，其中解答中分类去掉绝对值号，合理应用基本不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。
2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣32．记集合A={x|x﹣a＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，若0∈A∩B，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．（0，+∞）3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱4．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（）A．5 B．16 C．80 D．﹣805．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+16．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（）A．10种B．60种C．125种D．243种7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是（）A．[﹣，]B．[﹣2π，﹣]C．[，2π]D．[﹣2π，﹣]和[，2π]9．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣210．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.911．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．=_______．14．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．15．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，令F（x）=（x﹣b）f（x﹣b）+2020，若b是a、c的等差中项，则F（a）+F（c）=_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1++…+=2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE，CG=DE．（1）证明：面GEF⊥面AEF；（2）求二面角B﹣EG﹣C的余弦值．20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。
长沙市一中2020届高考模拟卷（一）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}(4)0,3,0,1,3A x x x B =-<=-，则A I B=（ ） A. {}3,1-- B. {}1,3 C. {}3,1,0-- D. {}0,1,3【答案】B 【解析】 【分析】通过不等式的解法求出集合A ，然后求解交集即可． 【详解】由已知得{|(4)0}{|04}A x x x x x =-<=<<， 所以{1,3}A B =I ， 故选B.【点睛】本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．2.已知函数1()()xxf x e e=-，则下列判断正确的是（ ） A. 函数()f x 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 函数()f x 是偶函数，且在R 上是增函数 C. 函数()f x 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 函数()f x 是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x 的定义域，判断()f x 的奇偶性和单调性，进而可得解. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()xx 1f x e f x e-=-=-；∴()f x 是奇函数；又xy e =和x1y ()e=-都是R 上的增函数；()x x 1f x e ()e∴=-是R 上的增函数．故选：A ．【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．3.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则m ＝2n 的概率为（ ） A.118B.112C.19D.16【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数n ＝6×6＝36，利用列举法求出m ＝2n （k ∈N *）包含的基本事件有3个，由古典概型概率公式计算即可．【详解】由题意得，基本事件总数有：6636⨯=种，事件“2m n =”包含的基本事件有：(2,1)，(4,2)，(6,3)共3个，所以事件“2m n =”的概率为313612P ==.故选B. 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，是基础题．4.已知复数1z ，2z 在复平而上对应的点分别为A （1，2），B （－1，3），则12z z 的虚部为（ ） A. 1 B. 12i -C. iD. 12-【答案】D 【解析】 分析】点的坐标得到复数z 1，z 2，代入12z z 后由复数代数形式的除法运算化简求值即可得到12z z 的虚部．【详解】解：由复数12z z ，在复平面上对应的点分别是A （1，2），B （﹣1，3）， 得：1z ＝1+2i ，2z ＝﹣1+3i则()()()()12121312551131313102i i z ii i z i i i +--+--====-+-+--． 12z z 的虚部为12- 故选：D ．【点睛】本题考查了复数代数形式的表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．5.若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）A. y x =±B. 2y x =±C. 12y x =±D. 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的实轴长求出a ，然后求解渐近线方程即可．【详解】双曲线的实轴长为2，得1a =，又1b =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±. 故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线方程，属于基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（ ）A. 242+B. 442+C. 2D. 22【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的几何特点，利用三视图的数据，求出侧视图的面积即可．【详解】由三视图的数据，结合“长对正，宽相等”可得俯视图斜边上的高2即为侧视图的底边长，正视图的高即为侧视图的高， 所以侧视图的面积为：12222⨯⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查三视图在形状、大小方面的关系，考查空间想象能力，属于基础题．7.等比数列{}n a 各项为正，354,,a a a -成等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则42S S =（ ） A. 2 B.78C.98 D.54【答案】D 【解析】 【分析】设{}n a 的公比为q （q ≠0，q ≠1），利用a 3，a 5，﹣a 4成等差数列结合通项公式，可得2a 1q 4＝a 1q 2﹣a 1q 3，由此即可求得数列{}n a 的公比，进而求出数列的前n 项和公式，可得答案．【详解】设{}n a 的公比为(0,1)q q q >≠， ∵3a ，5a ，成等差数列，∴4231112a q a q a q =-，10a ≠，0q ≠，∴2210q q +-=，得12q =或1q =-（舍去），∴4242211()1521()1241()2SS-==+=-.故选D.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A. A1O∥DCB. A1O⊥BCC. A1O∥平面BCDD. A1O⊥平面ABD【答案】C【解析】【分析】推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．再利用空间线线、线面的位置关系排除其它选项即可.【详解】∵由异面直线的判定定理可得A1O与DC是异面直线，故A错误；假设A1O⊥BC，结合A1A⊥BC可得BC⊥A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，故假设错误，即B错误；∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故C正确；又A1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错误，故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.已知函数()sin()(0,)22f x x ππωθωθ=+>-≤≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移6π后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ） A. [,]36ππ-B. 7[,]412ππC. [0,]3πD. 5[,]26ππ【答案】B 【解析】 【分析】由对称中心之间的距离为2π可得三角函数的周期，从而可求得ω的值，利用经过平移变换后得到的函数()g x 是偶函数求得θ的值，从而根据正弦函数的单调性可得结果． 【详解】因为函数()()sin (0,)22f x x ππωθωθ=+>-≤≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，所以T π=，可得2ω=， 将函数()f x 的图象向左平移6π后，得到()sin 23g x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数， 所以()32k k Z ππθπ+=+∈，解得()6k k Z πθπ=+∈，由于22ππθ-≤≤，所以当0k =时6πθ=．则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 由于][72,,41263n ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递减区间，故选B ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性和单调性的应，以及三角函数图象的平移变换规律，属于中档题．函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 在第一象限的抛物线C 上，直线MF 点M 在直线l 上的射影为A ，且△MAF 的面积为，则p 的值为（ ）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，由直线MF ，可得∠AMF ＝60°．再利用抛物线的定义得出面积的表达式，解出p 即可． 【详解】如图所示，∵直线MF 的斜率为3，∴∠MFx ＝60°． ∴∠AMF ＝60°，由抛物线的定义可得：|MA |＝|MF |， ∴1sin 6043,2MAF S MF MA ∆=⋅︒=得4MA MF ==，所以MAF ∆为等边三角形，∴24MA p ==，2p =， 故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推那么该数列的前50项和为()A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025【答案】A 【解析】 【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：02，第二组：02，12，第三组：02，12，22，…第k 组：02，12，22，…，12k -，根据等比数列前n 项和公式，能求出该数列的前50项和．【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1， 即：第一组：02， 第二组：02，12，第三组：02，12，22， …第k 组：02，12，22，…，12k -， 根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：121-，221-，321-，…，21k -， 每项含有的项数为：1，2，3，…，k ， 总共的项数为()11232k k N k +=+++⋯+=，当9k =时，()1452k k+=，故该数列的前50项和为()912395021221212121124816931104412S -=-+-+-+⋯+-+++++=-+=-．故选：A ．【点睛】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．12.若不等式1ln x m m e x +-≤+对1[,1]x e∈成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1[,)2-+∞B. 1(,]2-∞-C. 1[,1]2-D. [1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】 设1ln t x x =+，由题意将原问题转化为求max ||t m -，利用导数分析1ln t x x=+的单调性求得最大值，代入解不等式即可. 【详解】设1ln t x x =+，由1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则22111t x x x x ='-=-在1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上t 0'≤恒成立，∴1ln t x x=+单调递减，则[1,1]t e ∈-； 当2em ≤时，max ||1t m e m m e -=--≤+， 解得：12m ≥-；当2em >时，max ||1t m m m e -=-≤+，恒成立； 综上知：当m R ∆1[,)2-+∞时，不等式1ln x m m e x +-≤+对1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立. 故选A.【点睛】本题考查了利用导数求解函数最值的问题，考查了绝对值不等式的解法，考查了恒成立问题的转化，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC 于点H ，若AH AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=_________.【答案】43. 【解析】 【分析】由题意可得13BH BC =u u u r u u u r ，从而由13AH AB BH AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，解得λ+μ．【详解】∵AB ＝2，∠ABC ＝60°， ∴BH ＝1，∴13 BH BC=u u u r u u u r，∴13AH AB BH AB BC=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλAB+u u u rμBCuuu r，，故λ1=，μ13=，故λ+μ43=；故答案为：43．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．14.已知x，y满足约束条件202010x yx yy++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y=-的最大值为__________________。
