变分法13

格式：pdf
大小：263.64 KB
文档页数：3

下载文档原格式

数学物理方法变分法PPT学习教案

和
两点的
在附加条件（）
第35页/共43页
和两个积分和附加条件
例3 求是归一化的，即解本题是求泛函的条件极值问题，可化为变分问题
对应的E-L 方程为其通解为
的极值，其中，且已知
第36页/共43页
代入附加条件得到代入归一化条件得到
于是得到，故原极值问题的解为
三、变分
定义：变分
如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为
并定义与函数曲线
邻近的曲线（或略为变形的
第11页/共43页
曲线）作为比较曲线，记为
其中选定函数，规定
函在极值处连续．在研究泛函极值时，通常将而令
到泛函就成为了参数
是一个小参数；
此即泛函取极值的必要条件．即泛函
必须是满足泛函的变分
的函数类
第22页/共43页
的极值函数．因此，
把泛函的极值问题称为变分问题．注明：E-L方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件．如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值,但对于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的存在性往往间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在性是不成问题的，只要解出E-L 方程，就可以得到泛函的极值．
由变分法得到的E-L方程求解，一般来说，是很困难的．但在分析力学中往往还是采用这一办法来求解．因为历史悠久，它自有一套办法．
（ii）近似解所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解E-L方程，

变分法

其中常数c1,c2, r 可由条件
y B(x1,y1)
A(x0 , y0)
o C
y
x D
图1.2 曲边梯形的面积
y(x0) y0,
y(x1) y1,及
x1 x0
1[y(x)]2dx l
来确定。
引例3：由最小势能原理，变形全能随所选取的三个位移函数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不变条件
y=y(x)，使图中曲边梯形ABCD的面积AS达到最大。
As
x1 ydx
x0
（1.2）
AS依y的选取而定，它也是一个泛函，约束条件为AB长度
l
x1 x0
1[ y(x)]2 dx const
（1.3）
这是带约束条件的泛函极值由间接
变分法，泛函As的极值曲线为
(x c2 )2 ( y c1 )2 r 2
x1 x0
F

y

d dx
(
F y
)

ydx
端点固定条件 y(x0 ) y(x1) 0 由基本引理式(1.18)

x1 x0
F

y

d dx
( Fy )
ydx
F d (F ) 0 y dx y
(1 20)
, yn )dx
fi (x, y1, y2 , , yn ) 0
（i 1, 2, , k）
y1, y2 , , yn , 1(x), 2 (x), , k (x)
新泛函欧拉方程组
F y j

d dx

F yj

变分法PPT

变分法
Variational Methods
变分法简介
基本概念经典变分问题变分运算变分的算法
基本概念
泛函泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I

第1章变分法

接近度的任何函数 y1(x) 上的值，即
J[ y0 (x)] ≥ J1[ y1(x)] ，
(1.1.10)
则称泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对极大值.如果泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x)
的零级ε-邻域，(1.1.10)式总是成立，那么称 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对强极
的 y0 (x) n 级ε-邻域.
y y = y1 (x, y)
y = y (x, y)+ε y = y (x, y) y = y (x, y)−ε
x0
x1 x
图 1.2
定义 4 设 J[ y(x)] 是定义在某个函数类{y(x)}上的泛函，如果存在ε >0，使
得它在函数 y0 (x) 上的值不小于它在函数类{y(x)}中且与 y0 (x) 有某确定级数的ε-
A(0, 0) x
M(x, y)
B(a, b) y
图 1 1.
如图 1.1，以 A 点为坐标原点，Ox 轴取在水平方向，Oy 轴铅直向下.设 y = y(x)
是连接点 A(0, 0) 和 B(a,b) 的一条光滑曲线，质点沿这条曲线下滑.因初速度为零，
故质点下滑到任意点 M (x, y) 的速率为
v = 2gy
§1.1 泛函和泛函的极值问题
1.1.1 泛函的概念
先从一个最简单的例子引进泛函的概念. 例 1 设已给 x 轴上两点 x = x0 和 x = x1 ，y = y(x) 是定义在区间[x0, x1] 上的有
连续一阶导数的函数，则曲线 y = y(x) 的长为
∫ l[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx ， x0
变量 J 是函数 y(x) 的泛函，记之为 J = J[ y(x)].而此函数集称为泛函 J[ y(x)] ]的定义域，有时也称为泛函的容许函数.简言之，泛函是函数集 Y 到数域 R 上的一个映射，映射的自变元是一个函数，而属于 Y 的每一个函数 y(x) 称为容许函数.读者不难自己类似的给出依赖于多个函数的泛函的定义.

变分法

寻求最优性能指标（目标函数）J (u(t)) (t f , x(t f ))
tf F(t, x(t),u(t))dt
t0
u(t) S 控制函数 f ,, F C1
x(t)
状态函数 t0固定，t f 、x(t f )自由
下面推导取得目标函数极值的最优控制策略u* (t) 和最优轨线 x* (t) 的必要条件。
变分法的基本引理 (x) C[x1, x2 ], (x) C1[x1, x2 ], (x1) (x2 ) 0, 则
x2 (x)(x)dx 0 x1
(x) 0,
x [x1, x2]
泛函极值的必要条件
F C(2) , 容许函数类S取为满足端点条件的二阶可微函数集合。
最优控制问题求解
J1 0
dt f , x(t f ), x, u,任意
x* , * 必满足正则方程：
x

H H
x
状态方程协态方程
H (t, x*, u, * ) 满足 Hu 0
利用边界条件（端点条件）
x(t0 ) x0
(t f
)

x(t f
)

t2
J (x(t),u(t)) F(t, x(t), x' (t),u(t),u' (t))dt
t1
其欧拉方程为
Fx
Fu

d
dt d
dt
Fx' Fu '

0 0
端点变动的情况（横截条件）
在考虑泛函极值时，如果容许函数 x(t) 的一个端点不固定，而是在一条曲线
x (t) 上变动，于是端点条件可以表示为

数学物理方法13变分法

其中即
为常数，若
为路径的切线和铅垂线所构成的角度，
（13.3.4）
若如果折射率
是位置的连续函数，这意味着
沿着路径是一常数．若应用到分界面上，就得到光学中的折射定律（Snell’s law）
（13.3.5）
在大气中光线轨迹的微分方程，由公式(13.3.3)得到（13.3.6）
的泛函，记为
必须注意，泛函不同于通常讲的函数．决定通常函数值的
因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取
形．如上面例子中的泛函T的变化是由函数
本身的变化
（即从A到B的不同曲线）所引起的．它的值既不取决于某一个
值，也不取决于某一个与的函数关系．泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线落径问题的式（13.1.1）．更为一般而又典型的泛函定义为 (13.1.2) 其中称为泛函的核．值，而是取决于整个集合C中
普通函数对的变分定义为
的求极值的问题．同时，函数曲线
(13.1.3) 因此可得 (13.1.4) 这里所以即变分和微分可以交换次序．代表对求一阶导数． (13.1.5)
四、泛函的变分
定义：泛函的变分泛函的增量变分问题泛函的变分定义为 (13.1.6)
在极值曲线
附近，泛函
的增量，定义为
而当
时，
对应于式(13.2.1),即为取极值．于是原来的泛函极值问题，就化为一个求普通函数取极值的必要条件，有的极值问题．由函数
即有
（13.2.2）
1.泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数
的积分形式
泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式，
（13.1.2）若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点

变分法

§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。

它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。

这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。

约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。

后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。

有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。

在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。

伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。

变分法

13
最小势能原理的简单例子
例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最小。再以最简单的轴向受压的杆件为例，总势能包括外力势能和弹性体的变形势能，这两个势能都以杆件顶部的位移为参数，随位移增大，弹性体的应变能增大，而外力势能减小，其变化曲线如图所示： 1 2 U Cu 2 V Fu 其中C为杆的刚度。
6
x, x yz , yz
y, y zx , zx
z z xy , xy
1 有 U x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz 2 U δ x ... δ yz ... d x d y d z yz x
15
使用最小势能原理的解题方法：直接法：假设容许位移函数，用最小势能原理求其中的待求参数。如果假设的位移函数不完备，则解是近似的，相当于多加了位移约束，结构偏刚硬，近似解小于真实位移。
欧拉法：用最小势能原理推导出等效的平衡方程和力边界
条件，求解微分方程的边值问题。
Chapter 10.4
ui 0
0 ain
19
迦辽金法 (Galerkin)
基本思路：寻找一组（n个）满足所有边界条件的容许函数。用这些容许函数的组合构造一个试函数。
用微分方程的加权余量格式得到近似解，不需要泛函。
弹性力学问题的基本微分方程存在对应的泛函，故可以从能量的极值原理推导出Galerkin法的基本方程。
最小势能原理�� 在给定的外力作用下，满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能成为驻值。当系统处于稳定衡时，总势能取极小值，通常也为最小值。

变分法PPT教学课件

主义道路上。今天的中国，是一个改革开放与和平崛
起的中国。中国的崛起不会妨碍任何人，也不会威胁任何人；中国的和平崛起有利于亚洲和世界。
（1）你认为中国扶贫成就取得的根本原因是什么？（2）中国的“和平崛起”是由什么决定的？（3）结合材料一运用所学知识谈谈对材料二的理解。
2003年3月20日，美国绕过安理会发动了对伊拉克战争， 2003年5月1日美国总统布什就宣布对伊战争取得胜利。
国家谴责和反对恐怖活动的态度表明 ( B )
A全世界人人都反对战争
B要和平是当今时代的主流
C世界和平的主流已发生改变
D当前国际形势总体上已趋向战争和动乱
2．2003年3月20日，美英等国绕开联合国对伊拉
克进行军事打击，伊拉克战争爆发。此举遭到世
界许多国家的谴责，纽约、华盛顿、伦敦等数以
百计的城市爆发了反战示威游行。这说明
①发展问A题是指世界经济的发展，特别是发展中
国家的经济发展问题；②世界经济总体在发展，但整体的经济形势依然严峻；③全球发展的最突出的问题是南北发展不均衡；④谋求社会的发展和繁荣是人类永恒的课题；⑤发展中国家对世界经济发展的贡献非常小
5-3 变分法
不好分割整体近似总能做
变分原理
薛氏方程的变分表达
H (, Hˆ)
H (, ) 0
H E (, ) 1
选择定理
H i Ei i
E0 E1 E2 E3 ....
( i , j ) ij i i 1
The min imum of ( , Hˆ ) /( , ) is (1)E0 ,if can be any state; (2)E1,if can be any state that satisf ies condition ( , 0 ) 0;

变分法

18
方法II 使用第二种试探波函数
( x ) Ae

x2
1. 对第二种试探波函数确定归一化系数：
1 ( x )* ( x )dx | A |
| A|
2
2
2

e
2
x2
dx | A |
2
2
2.求能量平均值

H( ) | A | | A |
2
ˆ * H dx

e e
x2
ˆ x 2 dx He [
2 d2 2 dx 2
2
x2

1 2
x ]e
2 2
x2
dx
2 1 2 1 2 8
19
3.变分求极值
dH ( ) 2 1 2 2 0 d 2 8
0 j j
I c* y* k k
k
ˆ G G c y d
j

ˆ = c* y* c j G G0 y j d k k
= c* c j G j G0 k
k j

j
y y d
* k j
= c* c j G j G0 kj k

1 2
1
2

代入上式得基态能量近似值为：
2 1 1 1 2 2 H 2 2 8 2
这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将代入试探波函数，得：
( x ) Ae
x
2
1 2

9

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。