高中数学《椭圆的简单几何性质》导学案

3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质【学习目标】1.能直观猜想椭圆形状与大小的特征,并用其标准方程分析推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.能说明椭圆特征量的几何意义.3.能根据焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程给出相应几何性质的代数表达.◆ 知识点 椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0) y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0) 图形性 质焦点焦距 |F 1F 2|=2c (c=√a 2-b 2)范围对称性 关于 对称 长轴 |A 1A 2|=2a ,其中a 为长半轴长 短轴 |B 1B 2|=2b ,其中b 为短半轴长顶点离心率(0<e<1)2.离心率对椭圆扁圆程度的影响 (1)离心率椭圆的焦距与长轴长的比ca 叫作椭圆的离心率,用e 表示,即 ,e ∈(0,1). (2)离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示,在Rt △BF 2O 中,cos ∠BF 2O=c a,记e=c a,则0<e<1,e 越大,∠BF 2O 越小,椭圆越 ;e 越小,∠BF 2O 越大,椭圆越 .【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)设F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个焦点,M 为椭圆上任一点,则|MF|的最大值为a+c (c 为椭圆的半焦距).( )(2)椭圆的离心率e 越大,椭圆就越圆. ( )(3)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为x 225+y 216=1.( )◆ 探究点一 椭圆的简单几何性质例1 已知椭圆C 1:x 2100+y 264=1,椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C 2的焦点在y 轴上.(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C 2的方程,并写出x ,y 的取值范围及椭圆C 2的对称性、顶点、焦点和离心率.变式 (1)若点(3,2)在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上,则下列说法正确的是( )A .点(-3,-2)不在椭圆C 上B .点(3,-2)不在椭圆C 上 C .点(-3,2)在椭圆C 上D .无法判断上述点与椭圆C 的位置关系 (2)点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的外部,则a 的取值范围是 ( )A .(-√2,√2)B .(-∞,-√2)∪(√2,+∞)C .(-2,2)D .(-∞,-2)∪(2,+∞)[素养小结]由椭圆的标准方程研究椭圆的性质时要注意两点:(1)已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时,若不是标准形式的方程,则先化成标准形式的方程,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.(2)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.◆探究点二由几何性质求椭圆的标准方程例2 (1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0)的椭圆的标准方程为.(2)在平面直角坐标系中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为√22.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为.变式 (1)与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为.(2)已知F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=6,则C 的方程为.[素养小结]利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置;(2)设出相应椭圆的标准方程;(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数;(4)写出椭圆的标准方程.◆探究点三求椭圆的离心率例3 (1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且△AF1F2为等边三角形,则椭圆C的离心率为( )A.12B.√22C.√32D.23(2)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是C的左、右焦点,P为C上一点,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=π6,则C的离心率为( )A.√33B.23C.√63D.2-√3变式 (1)[2024·黄山高二期中] 已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点,且2|AB|=|BC|,则该椭圆的离心率为( ) A.-1+√2B.2-√2C.-1+√3D.2-√3(2)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,若在x轴上方的C上存在两个不同的点M,N满足∠F1MF2=∠F1NF2=2π3,则椭圆C离心率的取值范围是. [素养小结]求椭圆离心率的值(或范围)的步骤:(1)利用条件建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式);(2)借助a2=b2+c2消去b,转化为关于a,c的齐次方程或不等式;(3)将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式;(4)解方程或不等式即可求得e的值或取值范围.拓展已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),M,N分别为椭圆C的左、右顶点,若在椭圆C上存在一点H,使得k MH·k NH∈(-12,0),则椭圆C的离心率e的取值范围为( )A.(√22,1)B.(0,√22)C.(√32,1)D.(0,√32)。

课题§2.2.2椭圆的几何性质（第1课时）【学习目标】１．熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；２．掌握椭圆标准方程中的c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系能说明离心率的大小对椭圆形状的影响；3．理解根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法【情景创设】已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010a km =⨯，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最大和最小距离是多少？【阅读课本P 43~ P 45，完成下列任务】在解析几何中，我们是通过对曲线方程的讨论来研究曲线的几何性质的。

现在我们对椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 进行讨论。

问题1 ：“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的,x y 取值范围是什么？其图形位置是怎样的？问题2：标准形式的方程所表示的椭圆，如何研究椭圆对称性？有何作用？问题3：椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a ,,的几何意义各是什么？问题4：椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？ 圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？并研究该量对椭圆形状影响的原因？问题5：画椭圆草图的方法是怎样的？知识点归纳：（务必记忆）椭圆上到对称中心距离最远和最近的点：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远．探究一：利用椭圆方程研究其几何性质（P46页例4）求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在的坐标轴．变式训练：求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标，顶点坐标和离心率： (1) 229436x y += (2) 222241(0)m x m y m +=>探究二：利用椭圆的几何性质求标准方程例：求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23；(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)．探究三：求椭圆的离心率例 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45 B.35 C.25 D.15【巩固练习】A 组1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A.32B.34C.22D.232．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 216＋y 220＝1 3．若椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为32，长轴长为6，则椭圆的标准方程是（ ） A.1203622=+y x B.15922=+y x C.1951592222=+=+y x y x 或 D.13620120362222=+=+y x y x 或4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.155．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为36，短轴一个端点到右焦点的距离为3，则椭圆C 的方程为___________________．B 组6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为)0,32(-F ，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是__________________。

椭圆的性质导学案【要点梳理】要点一、椭圆的简单几何性质我们根据椭圆12222=+by a x )0(>>b a 来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性对于椭圆标准方程22221x y a b +=，把x 换成―x，或把y 换成―y，或把x 、y 同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆22221x y a b+=是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A 1（―a，0），A 2（a ，0），B 1（0，―b），B 2（0，b ）。

③线段A 1A 2，B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==。

②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值范围是0＜e ＜1。

e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22b a c =-因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2。

要点诠释：椭圆12222=+byax的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PF PF a+=，1212||||||||PF PFePM PM==，2122||||aPM PMc+=；（2）12BF BF a==，12OF OF c==，2221A B A B a b==+；（3）1122A F A F a c==-,1221A F A F a c==+，caPFca+≤≤-1；要点二、椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。

2.2.2椭圆的简单几何性质学习目标1．掌握椭圆的范围、对称性、离心率等几何性质．2．会根据椭圆的标准方程画出它的几何图形，能根据几何性质解决一些简单问题．3．掌握直线和椭圆位置关系的相关知识．学习重难点1. 重点是椭圆的简单几何性质；2难点是椭圆性质的综合应用．一.自主预习1．椭圆的简单几何性质1212心O的距离最远．2．椭圆的离心率由a、c确定其范围是．3．当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆问题探究：你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？要点一利用椭圆方程研究其几何性质例1求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标变式练习1.求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．要点二 利用椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 变式练习2.顶点是(0,2)，离心率e ＝12，对称轴为坐标轴的椭圆的标准方程是( )A.3x 216＋y 24＝1或y 24＋x 23＝1B.y 24＋x 23＝1 C.3x 216＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1或x 24＋y 23＝1 要点三 求椭圆的离心率例3 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15变式练习3如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．要点四 直线与椭圆的位置关系例4 如图所示，已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．变式训练已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 当堂检测1．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D ．x 2＋y 23＝1 2．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.233．在一椭圆中，以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两个端点，则此椭圆的离心率e 等于( ) A.12 B.22 C.32 D.25 4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)5．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．。

导学案20 2.2.2椭圆的简单几何性质(2)一、课前导学(1)复习:1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程3.椭圆的简单几何性质(2)练习:1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程 _______2.6对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程_______4.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 _______ ；二、课堂导学(一)椭圆的方程例1.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；练习:在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；例2.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2214x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；练习:.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；(二)离心率的有关问题例1（1）设椭圆的两个焦点分别为F1.F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。

（2）椭圆（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A,B, 左、右焦点分别是F1，F2。

若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.例2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（） A. B. C. D. 练习:1、椭圆32x ＋22y =1与椭圆22x ＋32y =λ(λ>0)有（ ）(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对 2、椭圆192522=+y x 与125922=-+-λλy x （0<k<9）的关系为（ ）(A)相等焦距 (B)相同的焦点(C)相同离心率 (D)有相等的长轴、短轴 3、椭圆22221x y ab +=(0)a b >>的左焦点为1(,0)Fc -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果1F 到直线AB，则椭圆的离心率e = _______4、若P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，则椭圆的离心率为_______三、思考（1）椭圆22221x y a b +=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,若P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,求椭圆离心率的取值范围。

2.1.2椭圆的简单几何性质（导学案）一、课前导读（一）学习目标：1.理解椭圆的简单几何性质①范围②对称性③顶点④离心率；2.掌握ea,,的几何意义及相互关系；,bc3.会通过椭圆的方程求椭圆的范围、对称性、顶点、离心率；4.会通过椭圆的性质求椭圆的标准方程；5.体会用代数方法研究几何问题的思想方法.（二）学法指导：通过几何图形观察，代数方程验证椭圆几何性质的学习过程，体会数形结合的数学思想.（三）学习重点及难点：1.由椭圆的方程求其相关几何性质；2.利用椭圆的性质求椭圆方程.二、学习过程（一）复习案：1.椭圆的定义： .2.椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上时：；（2）焦点在y轴上时：；3.椭圆中,,a b c的关系是 .（二）探究案：[学生活动1]①在稿纸上作出一个椭圆；②类比椭圆标准方程的建立过程，将所作椭圆置于直角坐标系中.探究一：椭圆的对称性[问题1]观察所作椭圆，它具有对称性吗？如果有,是什么？能否用椭圆的标准方程论证其对称性？[结论]从图形上看，椭圆关于，，对称.[论证]在椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中：①把x 换成x -方程不变，说明图像关于 轴对称； ②把y 换成y -方程不变，说明图像关于 轴对称；③把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，说明关于 对称，因此 是椭圆的对称轴， 是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做 .探究二：椭圆的顶点坐标[问题2]所作椭圆与对称轴有交点吗？若有，有几个交点？从方程如何求出交点？[结论]椭圆与对称轴有 个交点.[求解]由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知：交点为：( , ) 、 ( , ) 、 ( , ) 、 ( , ). [定义]线段12A A 叫做椭圆的 ，其长度为 . 线段12B B 叫做椭圆的 ，其长度为 .a b 和分别叫做椭圆的 和 . 探究三：椭圆的范围[问题3]请同学们观察所作椭圆，结合椭圆的对称性和顶点坐标，考察椭圆横纵坐标的取值范围是什么？从方程如何求出椭圆的范围呢？[结论]从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是 ；椭圆上点的纵坐标的范围是 .[求解]由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 知：①222210y x b a =-⇒22ax 1，即 ≤≤x ；②222210x y a b=-⇒22by 1，即 ≤≤y .因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线 和 围成的矩形里.探究四：椭圆的离心率[定义]椭圆与之比称为椭圆离心率，用表示，即 .[意义]刻画椭圆的量.[范围] .[问题4]离心率是如何影响椭圆形状的呢？若e越接近1，椭圆越；若e越接近0，椭圆越接近于 .[学生活动2]度量自己所作椭圆，写出其标准方程、长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标.（三）考点透析案：求椭圆221625400x y+=的长轴长、离心率、焦点和顶点坐标.求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）经过点(3,0),(0,2)P Q--；（2）长轴长等于20，离心率35.三、总结提升（一）知识要点：（二）思想方法：四、检测与反馈1.已知椭圆方程为121222=+y x ，则它的：长轴长： ；短轴是： ； 焦距是： ；离心率： ； 焦点坐标是：_________________________； 顶点坐标是：_________________________.2.已知椭圆长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ，求该椭圆的标准方程.3.已知中心在原点的椭圆的右焦点为(1,0)F ，离心率等于12，求椭圆的标准方程.4.已知椭圆221:1124x y C +=，222:1168x y C +=，比较12C C 、哪个更圆，哪个更扁？并说明理由.5.椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），离心率 23=e ，求椭圆的标准方程.。

§2.2.2椭圆的简单几何性质第二课时导学案（理普）命题人：盛俊伟 时间：2010-11-14学习目标：1、进一步掌握椭圆的几何性质。

2、使学生初步能利用椭圆的有关知识来解决有关的实际问题；3、掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题． 学习重点： 椭圆上的点的特性。

学习难点：更加深刻的理解和熟练的掌握椭圆的几何性质。

温故知新：问题1．上节我们学了椭圆的哪些几何性质？问题2：圆的参数方程是什么？新课探究：例1、 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y ab+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．例2、如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则M F =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．引申：若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2ax c=的距离比是常数c e a=()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l：2axc=相应于F的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c'-，相应于F'的准线l'：2axc=-．例3 如图，以原点心圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时点的轨迹的参数方程．解：设点的坐标为，是以为始边，为终边的正角．取为参数，那么即这就是所求点．．．．．．的轨迹的参数方程．．．．．．．．．．消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．总结：椭圆(a>b>0) 的参数方程为（其中，是参数）。

学案高中课程标准·数学选择性必修第一册3.1.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）一、课前回顾1.掌握椭圆的简单几何性质.2.了解离心率对椭圆扁平程度的影响.3.设1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，M 为椭圆C 上一点，112MF =，216MF =，213sin 5MF F ∠=，则椭圆C 的离心率e =_________.二、学习目标1.会判断直线与椭圆的位置关系.2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 三、自学指导阅读课本113-114页，解决以下问题与例题 问题1：点与椭圆的位置关系点P (x 0,y 0)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的位置关系: （1）点P 在椭圆上⇔（2）点P 在椭圆内部⇔（3）点P 在椭圆外部⇔做一做：若点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的内部,则a 的取值范围是 .问题2：直线与椭圆的位置关系直线y=kx+m与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的位置关系判断方法:联立{y =kx +m ,x 2a 2+y 2b 2=1,消去y 得一个关于x 的一元二次方程. 位置关系 公共点个数 组成的方 程组的解 判定方法(利用判别式Δ) 相交 相切 相离做一做:直线y=x+1与椭圆x2+y 22=1的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定例1：动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线25:4l x =的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹．变式1：点(),M x y 与定点()2,0F 的距离和它到定直线 8x =的距离的比是1:2，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．例2：如图3.1-13，已知直线:450l x y m -+=和椭圆22:1259x y C +=．m 为何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？图3.1-13变式2：已知直线m x y +=与椭圆191622=+y x 当直线和椭圆相离、相切、相交时,分别求m 的取值范围.例3： 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. （1）当直线和椭圆有公共点时,求实数m 的取值范围; （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.变式3： (1)已知椭圆205422=+y x 的左焦点为F ,过点F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于B A ,两点,求弦长AB .(2)椭圆有两个顶点)0,1(),0,1(B A -，过其焦点)1,0(F 的直线l 与椭圆交于D C ,两点,若223=CD ，求直线l 的方程.例4：过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(P 作一条直线交椭圆于B A ,两点，使线段AB 被点P 平分，求此直线的方程.变式4：（1）已知点)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点,则直线l 的方程为（2）已知点)2,4(P 是直线082:=-+y x l 被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点,则该椭圆的离心率为 .四、当堂检测1.求下列直线与椭圆的交点坐标：（1）310250x y +-=，221254x y +=；（2）320x y -+=，221164x y +=．2.经过椭圆2212x y +=的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB 的长.五、课后作业1.若直线x+2y=m 与椭圆x 24+y 2=1只有一个交点,则m 的值为( ) A.2√2B.±√2C.±2√2D.±22.直线y=x+1被椭圆x 24+y 22=1所截得的弦的中点坐标是( )A.(23,53)B.(43,73) C.(-23,13)D.(-132,172)3.若直线y=x+2与椭圆x2m +y23=1有两个公共点,则m的取值范围是.4.椭圆x23+y2=1被直线x-y+1=0所截得的弦长|AB|=.5.已知焦点坐标分别为(0,5√2)和(0,-5√2)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为12,求此椭圆的方程.6.已知椭圆221259x y+=，直线:45400l x y-+=．椭圆上是否存在一点，使得：（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？7.已知椭圆22149x y+=，一组平行直线的斜率是32．（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．。

2.1.2 椭圆的简单几何性质学习目标：1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义；2.通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的；3.初步利用椭圆的几何性质解决问题.学习重点：椭圆的几何性质学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e 的关系思想方法：数形结合的方法、分类讨论的思想一 、复习1 、椭圆的定义____________________________________________________2 、椭圆的标准方程焦点在x 轴上时：_________________，焦点在y 轴上时：__________3、椭圆中a,b,c 的关系是___________________二 、新授课探究一 观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状， 你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？1 、范围 ：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________. 椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知 ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____；② 22by ____ 1；即____≤≤y ___ 因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线__________和__________围成的矩形里.2 、对称性（1）从图形上看，椭圆关于_________，__________，__________对称（2）在椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中 ① 把x 换成-x 方程不变，说明图像关于__________轴对称②把y 换成-y 方程不变，说明图像关于__________轴对称③把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，说明图形关于__________对称，因此____________是椭圆的对称轴，_________是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做___________3 、顶点（1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有______个交点，分别为：1A ( , ) 2A ( , ) 1B ( , ) 2B ( , )（2）线段1A 2A 叫做椭圆的_______，其长度为__________线段1B 2B 叫做椭圆的________，其长度为__________a 和b 分别叫做椭圆的________和___________及时反馈：（1） 椭圆16422=+y x 的长轴长是：________短轴长是;_______焦距是：_______焦点坐标是：__________顶点坐标是：__________（2） 在下列方程表示的曲线中，关于x, y 轴都对称的是 （ ）A. y x =2B. 022=++y xy xC. x y x 5422=-D. 4922=+y x探究二 圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较接近于圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？4 、椭圆的离心率（1）定义：______________________________叫做椭圆的离心率，用____表示，即____________=（2）由于a>c>0，所以离心率e 的取值范围是_____________（3）若e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越____，因而椭圆越_______.若e 越接近0，则c 越接近0，从而22c a b -=越____，因而椭圆越接近于_______.及时反馈：下列两个椭圆中，哪一个更接近于圆？369422=+y x 与 1202522=+y x 下面把焦点在x 轴和在y 轴上的两种标准方程的几何性质作以比较：三、综合跃升例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）一焦点坐标为（-3，0），一顶点坐标为（0，5）;（2）长轴长等于20，离心率为53.例2 .若椭圆19822=++y k x 的离心率为21，求k 的值.四、小结自测题：1椭圆192522=+y x 上点p(x,y)的横坐标的范围为_____________. 2若点p(2,4)在椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 上，下列在椭圆上的点有： (1) p ( -2, 4 )(2) p ( -4, 2 )(3) p ( -2, -4 )(4) p ( 2, -4 )3求中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6的椭圆方程.4写出椭圆16422=+y x 的长轴长，短轴长，离心率，顶点和焦点坐标.。

§2.1.1椭圆的简单几何性质(第 3课时)[自学目标]: 掌握直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.[重点]: 直线与椭圆实际问题[难点]: 直线和椭圆的位置关系，相关弦长、中点等问题．[教材助读]:1、若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式 子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

2、若直线b kx y l +=:与椭圆相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k -++=[预习自测]1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

2、已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长.待课堂上与老师和同学探究解决。

[合作探究 展示点评]探究一：点差法例1、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

探究二：弦长问题例2、斜率为2的直线l 被椭圆22132x y +=截得的弦长为7，求直线l 的方程。

[当堂检测]1．过椭圆x225＋y29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( ) A ．5 B ．6 C.9017D ．7 2、过椭圆 2224x y += 的左焦点作倾斜角为030的直线，则弦长 |AB|= _______1、求以椭圆x 216＋y 24＝1内的点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程。

4、已知斜率为1的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．[拓展提升]★1．已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。