第三章 第三节

(2)已知函数y=sin x的定义域为［a,b］,值域为［ 1, ］， 则b-a的值不可能是(
3
1 2
)
3 3 (3)当x∈[ , 7 ]时，函数y=3-sin x-2cos2x的最小值是____， 6 6
2 4 A B C D
3
由2k
2x 2k , k Z, 2 3 2 5 得k x k ，k Z. 12 12 故所求函数的增区间为［k 5 , k 11 ］(k∈Z), 12 12 减区间为［ k , k 5 ］(k∈Z). 12 12
第三节 三角函数的图象与性质
1.周期函数和最小正周期 (1)周期函数：对于函数f(x)的定义域中的每一个值x，都存在
非零常数 f(x+T)=f(x) 一个_________T，使得____________,则称f(x)为周期函数，
T为f(x)的一个周期.
(2)最小正周期：周期函数f(x)的所有周期中，最小的一个 正数 _______.
【解析】选B.由相邻两交点间距离是
4.函数y=sin(x+ )的递减区间是_______.
3 【解析】由 2k x 2k 3 , k Z, 2 3 2 7 得 2k x 2k , k Z. 6 6 故函数的单调递减区间是［ 2k , 2k 7 ］(k∈Z). 6 6 答案:［ 2k , 2k 7］(k∈Z) 6 6
点间距离是 , 则f( 2 )的值是( 2 3 3 A B 3 C 1 D 3 3
)
知f(x)的周期是 , , 2 2 由 , 得ω=2.∴f(x)=tan 2x，∴f( 2 )= tan 4 2 3 3 tan 3. 3
2k
(k Z)
2k 2 (k Z)
2
2k(k Z)
2k
(k Z)
(kπ ,0),k∈Z

(kπ + 2 , 0),k∈Z
k ( 2 , 0),k∈Z
x=kπ + 2 , k∈Z
x=kπ ,k∈Z
【规范解答】(1)原函数可化为y=-sin(2x- )，故所求函数 的增区间是y=sin(2x- )的减区间.
由2k 3 2x 2k , k Z. 2 3 2 5 11 得 k x k , k Z. 12 12
3
3
所求函数的减区间是y=sin(2x- )的增区间.
4 8
∴当cos x= 1 时，ymin= 7 .
4 8
当cos x=-1时，ymax=4.
【拓展提升】1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借 助三角函数线或三角函数图象来求解.
2.三角函数值域的不同求法
(1)利用sin x和cos x的值域直接求.
(2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域. (3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域. (4)利用sin x〒cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求 值域.
(4)错误.y=tan x在( k , k )(k∈Z)上递增，但在整个
2 2
定义域上并不单调. (5)正确.f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x). ∴由奇函数定义可知y=f(x)=sin xcos x是R上的奇函数. (6)错误.由T= 答案:(1)√
判断下面的结论是否正确(请在括号中打“ √”或“×”).
(1)常数函数f(x)=a是周期函数，它没有最小正周期.(
(2)y=sin x在x∈［0,
］上是增函数.( 2
)
) ) ) )
(3)y=cos x在第一、二象限上是减函数.( (4)y=tan x在整个定义域上是增函数.( (5)函数y=sin xcos x是R上的奇函数.( (6)y=tan 2x的最小正周期为π .( )
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
{x|x∈R且x≠ R R
+kπ ,k∈Z} 2
[-1,1]
[-1,1]
R
[2kπ 2kπ + ] 2
, 2
[2kπ -π ,2kπ ]
[2k , 2 3 2k ] 2
[2kπ ,2kπ +π ]
(k , 2 k ) 2
(3)由2kπ-π≤2x+
【拓展提升】三角函数的单调区间的求法 (1)代换法
所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一
个角ｕ(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角
函数的单调区间.
(2)图象法
函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区
间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画
(2)作出函数y=|tan x|的图象如图.
可知所求函数的增区间是［kπ,kπ+
减区间是(kπ ,kπ］(k∈Z). 2
)(k∈Z), 2
≤2kπ k∈Z，得 6 kπ- 7 ≤x≤kπ- , k∈Z. 12 12 由2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,k∈Z，得 6 kπ≤x≤kπ+ 5 ,k∈Z. 12 12 故所求函数的增区间是［ k 7 , k ］(k∈Z), 12 12 减区间是［ k , k 5 ］(k∈Z). 12 12
【变式备选】(1)函数 y 2sin x 1 的定义域为_____.
(2)求函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π ]的最大值和
最小值. 【解析】(1)由2sin x-1≥0得sin x≥ , 又sin x≤1，
1 ≤sin x≤1， 2 5 ∴2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z). 6 6 答案:［2kπ+ ，2kπ+ 5 ］(k∈Z) 6 6 1 2
【解析】(1)正确.由周期函数的定义，对任意非零实数b,都 有f(x+b)=a,故任意非零实数都是f(x)的周期，故没有最小正 周期. (2)正确.由y=sin x在x∈［ , ］上递增，知y=sin x在
［0, ］上是增函数. 2 2 2
(3)错误.y=cos x在(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)上递减，但不能说 在第一、二象限内递减.
5.函数f(x)= tan( x) 的定义域是______.
-x)≥0，即tan(x- )≤0, 4 4 即k x k, k Z, 2 4 k x k , k Z. 4 4 答案:{x|k x k , k∈Z} 4 4
答案: 7 2
8
【互动探究】本例题(3)中若将cos x用sin x代替，sin x用 cos x代替，又将如何求解？
3 【解析】由 x , 7 ］ ［ , 所以 1 cos x . 6 6 2
y=3-cos x-2sin2x=2cos2x-cos x+1 =2(cos x- 1 )2+ 7 ,
(C)(0， 3 ］
2
【解析】选A.方法一：由题意可知ω<0,
由x , ］得, x ［ ［ , ］ . 3 3 3 3 又 函数在区间［ , ］上为减函数， 3 3 3 2 , 3 解得 0. 2 , 3 2
∴
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(2)设sin x-cos x=t, t 2sin(x ), ∵x∈［0,π］, x 3 , 2 sin(x ) 1，
4 4 4 2 4
4
得t∈ 1, 2 ,
1 t2 1 t2 1 1 1 2 sin xcos x ,y t t 2 t t 1 1, 2 2 2 2 2
出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.
【提醒】求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为
正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.
【变式训练】已知函数y=sin ω x在区间［ , ］上是减函数，
3 3
则ω 的取值范围是( (A)［ 3 ，0)
2
) (B)［-3，0］ (D)(0，3］
, 知y=tan 2x的最小正周期为 . 2 2
(2)√
(3)〓
(4)〓
(5)√
(6)〓
1.下列函数中，在［ ,π ］上是增函数的是( (A)y=sin x (C)y=sin 2x
2
2
)
(B)y=cos x (D)y=cos 2x
【解析】选D.由x∈［ , π］，得2x∈［π,2π］, 又由 y=cos x在［2kπ-π,2kπ］(k∈Z)上是增函数，故y=cos 2x
在［ , π］上是增函数.
2
)的图象的一条对称轴方程是( ) 2 (A)x (B)x 2 4 (C)x (D)x 8 【解析】选B.方法一：由2x+ =kπ,k∈Z得, x k , 2 2 4 k∈Z.k=0时，x= , 故选B. 4
2 选A.画出函数y＝sin x的草图分析，当定义域为［
(3)因为x [ , 7 ], 所以 1 sin x 1,
6 6 2
y=3-sin x-2cos2x=2sin2x-sin x+1
1 2 7 2(sin x ) , 4 8 1 7 所以当sin x 时，y min ； 4 8 1 当sin x 1或 时，y max 2. 2