八年级数学下册第一章三角形的证明1.4角平分线第1课时导学课件新版北师大版

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八年级下册数学(北师版)同步课件：第一章三角形的证明 4 角平分线(2)

E B
角形的内心).
三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的旁
心.这样的点有三个.
独立
知识的升华
作业
习题
祝你成功！
独立作业 1
1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线. 求证:BD=2CD.
习题
A
B
DC
老师期望: 你能写出规范的证明过程.
做一做 1
几何的三种语言
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这
一点到三边的距离相等.
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角
A
平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC( N D
M
已知),
PF
∴BM,CN,AH相交于一点P,且 PD=PE=PF(三角形的三条角平分线
B
相交于一点,并且这一点到三边的
1 2
个角的内部,且到角的两边距离相
P C
等的点,在这个角的平分线上).
E
老师提示:这个结论又是经常用B
来证明点在直线上(或直线经过
某一点)的根据之一.
做一做 1
亲历知识的发生和发展
剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.
观察这三条角平分线,你发现了什么?
结论:三角形三个角的平分线相交于一点.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流
老师提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这
回顾思考
角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分线的性质
定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂

八年级数学下册第一章三角形的证明1.4 角平分线第2课时三角形的内角平分线习题课件北师大版

在等腰直角三角形BDE中，
BD 2DE2 4 2 cm.
C
E
D
B
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
例如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC
的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(2)求证:AB=AC+CD. A
的距离_相__等___. 即PD=_P_E__=__P_F__.
A
D
NP
F M
B
C
E
课程讲授
1 三角形的三条内角平分线相交于一点
练一练：如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是（ B ）
A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.不能确定
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.
E
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
C
D
B
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
练一练：如图，铁路OA和铁路
OB交于O处，河道AB与铁路分别
交于A处和B处，试在河岸上建一 M
一点到角两边的距离相等.
A
已知：如图，在△ABC中，角平分线 BM与角平分线CN相交于点P，过点P 分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分
别为D，E，F. 求证：∠Ａ的平分线经过点P，且 B
PD=PE=PF.
D
N
PMFE来自C课程讲授1 三角形的三条内角平分线相交于一点

八年级数学下册第一章三角形的证明1.4角平分线教案1新版北师大版

《角平分线》线段的垂直平分线是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第一章第 4 节内容，本章主要是有关命题的证明及三角形的性质；本节要求了解勾股定理逆定理的证明方法结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其。

所以本节的重点是进一步掌握演绎推理的方法。

学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。

【知识与能力目标】（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。

（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。

【过程与方法目标】（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力。

（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。

（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

【教学重点】①三角形三个内角的平分线的性质。

②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。

【教学难点】角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。

教学过程第一环节：设置情境问题，搭建探究平台问题I习题1. 8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”。

当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。

第二环节：展示思维过程，构建探究平台已知：如图，设△ ABC的角平分线.BM CN相交于点P,证明：P点在ZB AC的角平分线上.证明：过P点作PDL AB PF1 AC PE丄BC其中D E、F是垂足.••• BM是△ ABC的角平分线，点P在BM上，••• PD=PE角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.同理：PE=PF.• PD=PF.•••点P在Z BAC的平分线上（在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.•••△ABC的三条角平分线相交于点P.在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢？（PD=PE=PF,即这个交点到三角形三边的距离相等. ）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.F三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点问题2如图：直线11、丨2、丨3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的？要求学生思考、交流。

直角三角形第一课时-八年级数学下册课件(北师大版)

再观察下面三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角. （2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.
5
25
4
4
导引：方法一：
∵∠C＝90°，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝92＋122＝225.
∴AB＝15.
过点C 作CD⊥AB 于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.
在Rt△ACD 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝92－x 2.
在Rt△BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝122－(15－x )2.
∴92－x 2＝122－(15－x )2，解得x＝5.4.
∴CD 2＝92－5.42＝51.84.
∴CD＝7.2＝36 ，即点C 到AB 的距离为 36 .
5
5
方法二：过点C 作CD⊥AB 于点D，
则S△ABC＝
1 2Leabharlann AC·BC＝ 1 AB
2
·
CD，
∴AC·BC＝AB ·CD.又由方法一知AB＝15，
(2)如果a＞b，那么a 2＞b 2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假．
解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
有葛藤自点A 处缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B 处．则问

北师大版八年级数学下册《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)

获取新知
知识点二：直角三角形的边的关系
B
勾股定理直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
A
C
关于勾股定理的证明，可以欣赏“16页的读一读”，并可以上网搜索，诸如美国第二十任总统的证法、赵爽弦图法等
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由.
解:能.理由:在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°,
∴AC=
=5(cm).
在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm,
你来给出完整的证明过程吧，试一试
例题讲解例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC 于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．解：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
原命题都存在逆命题，
但是互逆命题的真假无法保证
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
定理
“两直线平行，内错角相等”

北师版八年级数学下册优秀作业课件(BS) 第一章三角形的证明角平分线第1课时角平分线

9．(宝丰期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①DE＝DF；②AD是线段EF的垂直平分线；
③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC.其中正确的个数有( D ) A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距 D．OC＝PC
3．(4分)(德州中考)如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为_3___．
4．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为_5___．
6．(4分)如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC＝QD，则∠AOQ＝3_5_°__．
7．(4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB， DF⊥AC，DE＝DF，则∠ADC的度数为1_3_7_°_．
8．(8分)如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F， AE＝AF.
证明：∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD. 又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴∠BDO＝∠ADO. 又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN
13．(14分)如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE， DN和EM相交于点C.求证：点C在∠AOB的平分线上．
证明：过点 C 作 CG⊥OA 于点 G，CF⊥OB 于点 F，如图，在△MOE 和△NOD 中， OM＝ON，∠MOE＝∠NOD，OE＝OD，∴△MOE≌△NOD(SAS)， ∴S△MOE＝S△NOD，∴S△MOE－S 四边形 ODCE＝S△NOD－S 四边形 ODCE， ∴S△MDC＝S△NEC.∵OM＝ON，OD＝OE，∴MD＝NE. 由三角形面积公式得12 DM·CG＝12 EN·CF，∴CG＝CF. 又∵CG⊥OA，CF⊥OB，∴点 C 在∠AOB 的平分线上

新北师大版初中数学八年级下册第1章三角形的证明《第4课角平分线》教学PPT

3.已知:如图,P是∠AOB
平分线上的一个点，并且
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是
C,D.
求证:
O
(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
A C
P D
B
证明(1) ∵P为P是∠AOB平分线上的一个点 PC⊥OA,PD⊥OB
∴PC=PD Rt△POC和 Rt△POD ∵ OP=OP Rt△POC ≌ Rt△POD ∴OC=OD (2) 由PC=PD得P在CD的垂直平分线上由OC=OD得O在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线.
拓展探索：如图,已知△ABC,作△ABC一个内
角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心, 这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?
A
B
C
四回顾与小结
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).
又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°
B
C
D
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴ 如果DE一= 个12 锐AD角= 等12 于×3100°=5，（那在么直它角所三对角的形直中角，
边等于斜边的一半）.
二挑战自我
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?
练一练
[例3]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
A
(2)求证：AB=AC+CD．
(2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明第10课角平分线的性质和判定课件

∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°在
Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°∴DE
＝ AD＝ ×10＝5
1
1
2
2
7.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵D是BC的中点，∴DB＝DC ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90° 又∵BE＝CF ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL) ∴DE＝DF 又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC
(例1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( )
∵D是BC中点，∴BD＝CD 证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB，BC⊥OA
如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝________cm. 知识点1：角平分线的性质在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30°
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
Hale Waihona Puke 三、过关检测第1关8.如图，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝___4_0____°，∠ADC＝_5_0__°.
9.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交 AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( B ) A．10 B．15 C．20 D．30

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