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第二章 初等积分法一．[内容简介]本章主要介绍几种能用初等积分法求解的方程类型及其求解的一般方法.虽然这些类型是很有限的，但是它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，另一方面，掌握这些方法和技巧，也是学好本书的最重要的基本训练之一.二．[关键词] 恰当方程，变量分离的方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努里方程，积分因子 三．[目的与要求]1．会识别和求解恰当方程，变量分离的方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努里方程和黎卡提方程.2． 领会用变量代换求解微分方程的思想和技巧，逐渐掌握根据方程的特点去寻找适当的变量代换，从而把比较复杂的微分方程转化为已知求解方法的微分方程.3．掌握利用积分因子求解微分方程的方法. 四．[教学过程]§1 恰当方程微分方程的一个中心问题就是求解，计算不定积分就是解最简单的微分方程)(x f dxdy =，这是积分学中的问题，但是在解微分方程),(y x f d xd y=时，如果直接积分，得C dx y x f y +=⎰),(.一般说来，由此得不出任何结果，因为右端的积分号内包含有未知函数.因此解微分方程与求积分有不同之处，但是解微分方程是积分法的发展，二者是互相联系的.在求微分方程时，应去发现微分方程的求解问题与积分问题的联系，创造条件把某些微分方程的求解问题转化为积分问题，即求原函数的问题.这是解微分方程的一种方法，习惯上称为微分方程的初等积分法.把一阶微分方程写成对称形式0),(),(=+dy y x Q dx y x P)1.1(联想起二元函数微积分学中的全微分表达式：dy ydx xy x d ∂Φ∂+∂Φ∂=Φ),(，如果),(y x P x=∂Φ∂，),(y x Q y=∂Φ∂ )2.1(则)1.1(的左端恰好是函数),(y x Φ的全微分dy y x Q dx y x P y x d ),(),(),(+=Φ，那么不论其中的y 与x 是独立变量，还是存在着某种函数关系，我们总能对等式0),(=Φy x d积分，得到C y x =Φ),( )3.1(称)3.1(为)1.1(的一个通积分，此时称方程)1.1(为恰当方程，或全微分方程.例1 求解微分方程 032223=+dy y x dx xy .解 显然 dy y x dx xy y x d 2233232)(+=，所以上面的方程即0)(32=y x d ，故求得通积分C y x =32.对于例1这样一个简单的微分方程，我们可以通过观察法求解.在一般情况下，需要解决的问题是： （1） 对于一个方程)1.1(，如何判断它是或者不是恰当方程？（2） 若)1.1(是恰当方程，又如何求得相应全微分的原函数),(y x Φ？（3） 若)1.1(不是恰当方程，能不能想办法把它变成恰当方程？以上（1）、（2）两个问题，其实早在线积分的理论中就已解决了. 事实上，若)1.1(是恰当方程，则存在函数),(y x Φ，使得dy y x Q dx y x P y x d ),(),(),(+=Φ，从而得),(y x P x=∂Φ∂，),(y x Q y=∂Φ∂ )4.1(将)4.1(的第一式和第二式分别对y 和x 求偏导数，得到xy yP ∂∂Φ∂=∂∂2，yx xQ ∂∂Φ∂=∂∂2)5.1(假设),(),,(y x Q y x P 具有连续的一阶偏导数yP ∂∂与xQ ∂∂，则xy ∂∂Φ∂2和yx ∂∂Φ∂2是连续的，从而可得yx xy ∂∂Φ∂=∂∂Φ∂22，故xy x Q yy x P ∂∂=∂∂),(),( )6.1(反之，设),(),(y x Q y x P 和满足条件)6.1(，我们来寻找满足)4.1(的函数),(y x Φ.由)4.1(的第一式有)(),(),(0y dt y t P y x xx ψ+=Φ⎰)7.1(其中函数)(y ψ待定.先选取)(y ψ，使寻找的函数),(y x Φ也满足)4.1(的第二式),(),(y x Q yy x =∂Φ∂，即),()()),(('y x Q y dt y t P yxx =+∂∂⎰ψ再利用条件)6.1(，有),()(),('y x Q y dt ty t Q xx =+∂∂⎰ψ，即 ),()(0'y x Q y =ψ，故只要取 ⎰=y y dt t x Q y 0),()(0ψ，代入)7.1(，得到⎰⎰+=Φy y xx dt t x Q dt y t P y x 0),(),(),(0 )8.1()8.1(即为所要找的满足关系式)4.1(的函数),(y x Φ，从而)1.1(为恰当方程.类似地，如果在构造函数),(y x Φ时，先考虑)4.1(式的第二式成立，则可以用同样的方法得到满足)4.1(的另一函数⎰⎰+=Φy y xx dt t x Q dt y t P y x 0),(),(),(0~)9.1(如此，我们就得到了下面的定理1 设函数),(y x P 和),(y x Q 在区域δγβα<<<<y x D ,:上连续，且有连续的一阶偏导数yP ∂∂与xQ ∂∂，则微分方程)1.1(为恰当方程的充要条件为恒等式xy x Q yy x P ∂∂=∂∂),(),( )6.1(在D 内成立，且)6.1(成立时，方程)1.1(的通积分为 C dt t x Q dt y t P y y xx =+⎰⎰0),(),(0 )10.1(或者C dt t x Q dt y t P y y xx =+⎰⎰),(),(0 )11.1(其中),(00y x 是D 中任意取定的一点.例2 求解微分方程0)cos ()3sin 2(2232=++++dy y y x x dx y x y x )12.1(解 这里y x y x y x P 23sin 2),(+=，223cos ),(y y x x y x Q ++=，故23cos 2x y x yP +=∂∂，y x x xQ c o s 232+=∂∂，因此方程)12.1(是恰当方程.现在求),(y x Φ，使它同时满足如下两个方程y x y x x23sin 2+=∂Φ∂，223cos y y x x y++=∂Φ∂，将第一式对x 积分，得到)(sin 32y y x y x ψ++=Φ )13.1(再将它代入上面第二式，即得223'32cos )(cos y y x x y x y x ++=++ψ，于是2')(y y =ψ，积分后可得331)(y y =ψ.这里省略了积分常数.将331)(y y =ψ代入)13.1(，得到33231sin ),(y y x y x y x ++=Φ.因此，方程)12.1(的通积分为C yy x y x =++33231sin ，其中C 为任意常数.附注1：对于某些恰当方程，并不需要按照上述一般方法来求解，而是采用“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分.例如，对于方程)12.1(，就可以采用“分项组合”的办法来求解.把方程的左端重新分项组合，得到dy y dy x ydx x ydy x ydx x 2322)3()cos sin 2(++++ dy y dy x x yd y d x x yd 23322])([)](sin )([sin ++++= )31()()sin (232y d y x d y x d ++=)31sin (232y y x y x d ++=，于是方程的通积分为C yy x y x =++23231sin .附注2：求解恰当方程的关键是找出全微分的原函数),(y x Φ，这实际上就是场论中的位势问题.在单连通区域D 上条件)6.1(保证了线积分⎰+=Φ),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x )14.1(与积分的路径无关.因此)14.1(式确定了一个单值函数),(y x Φ.公式)10.1(与)11.1(所取的积分路径仅仅是两种简单且便于计算的特殊路径. 习题2—1判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解.（1） 0)2()2(=-++dy y x dx y x .解 因为xQ yP ∂∂==∂∂2，所以方程是恰当方程.将方程改写为0)22(=-++ydy xdy ydx xdx ，即 0)2()(2)2(22=-+yd xy d xd ，故方程的通积分为C yxy x=-+22222.（2） 0)()(=-+-dy cy bx dx by ax ， )0(≠b .解 因为b xQ b yP =∂∂-=∂∂,，且0≠b ，所以方程不是恰当方程.（3） 0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye x x x . 解 因为xQ y e yP x∂∂=+=∂∂2，所以方程是恰当方程.将方程改写为0)2()(22=++++xydy dx y dy e dx ye dx e x xx ，即 0)()()(22=++xy d ye d e d x x . 故方程的通积分为C xyye e x x =++22.（4） 0)(22=++c x y d y dx by ax ，（b a ,和c 为常数）. 解 因为cy xQ by yP =∂∂=∂∂,2，所以当b c 2≠时，方程不是恰当方程.所以当b c 2=时，方程是恰当方程.将方程改写为0)2(22=++bxydy dx by dx ax ，即 0)()3(23=+xy bd xad .故方程的通积分为C b x y a x =+2331.（5） 0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf ，其中)(⋅f 是连续的可微函数. 解 因为xQ y x xyf yP ∂∂=+=∂∂)(222，所以方程是恰当方程.将方程改写为0])()([21222222=+++dy y x f dxy x f ，即 0)()(2222=++y x d y x f . 故方程的通积分为C y x F =+)(22， 其中F 是f 的一个原函数.。
分组求积分因子法
张本仁
【期刊名称】《湖州师范学院学报》
【年(卷),期】1981(000)0S1
【摘要】<正> 一、恰当方程与积分因子形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1)的一阶常微分方程,其中M(x,y)、N(x,y)具有连续的一阶偏导数.若左边为某一个二元函数的全微分,即存在一个一元函数U(x,y)使得dU(x,y)=Mdx+Ndy,则称方程(1)是恰当的,U(x,y)(或U(x,y)=C)是方程(1)的通积分.若方程(1)不是恰当的,但乘以一个二元函数μ(x,y)≠0,得到的方程
【总页数】4页(P25-28)
【作者】张本仁
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.平均分组法求纸带加速度 [J], 胡琪林
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3.一阶对称形非恰当方程的分组积分因子法 [J], 李荣江
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5.利用分组法求F_2代基因型 [J], 唐建军
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积分因子的求法及简单使用数学科学学院摘 要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程和积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式和指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径，体现了积分因子的简单使用价值。
关键词：恰当微分方程；积分因子；对数公式；指数公式1. 恰当微分方程的概念及判定 1.1 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程(),dyf x y dx =写成微分形式(),0f x y dx dy -=或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy += ⑴这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分. 即()()(),,,u uM x y dx N x y dy du x y dx dy x y ∂∂+==+∂∂则称方程⑴为恰当微分方程. []11.2 恰当微分方程的判定定理1[]2 假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有M Nyx ∂∂=∂∂. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程.2. 积分因子如果对于方程⑴在某矩形域内M Nyx ∂∂≠∂∂，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。
对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得()()()(),,,,0u x y M x y dx u x y N x y dy +=为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴的1个积分因子.注[]1 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.定理2[]2 函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是u u M N NM u x y y x ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭3. 积分因子求法举例 3.1 观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如:⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1xy⑵ 0ydx xdy -=有积分因子21x -，21y ，1xy ，221x y +，221x y -例1 找出微分方程()()110xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子. 解 将原方程各项重新组合可以写成()()0ydx xdy xy ydx xdy ++-=由于1xy 是ydx xdy +的积分因子，1xy 也是ydx xdy -的积分因子，从而原方程有积分因子()21xy .观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出.3.2 公式法引理1[]3 微分方程⑴存在形如：()u x ，()u y ，()u x y ±，()u xy ，()22u x y ±，y u x ⎛⎫⎪⎝⎭的积分因子的充要条件有：① 方程⑴存在仅和x 有关的积分因子的充要条件：()1M N x N y x ⎛⎫∂∂ψ=- ⎪∂∂⎝⎭，()x ψ是仅和x 有关的函数；② 方程⑴存在仅和y 有关的积分因子的充要条件：()1M N y M y x ⎛⎫∂∂ψ=-- ⎪∂∂⎝⎭，()y ψ是仅和y 有关的函数；③ 方程⑴有形如()u x y ±的积分因子的充要条件：()M Ny xx y N M ∂∂-∂∂ψ+=-，()x y ψ+是仅和x+y 有关的函数，()M N y xx y N M ∂∂-∂∂ψ-=+，()x y ψ-是仅和x-y 有关的函数； ④ 方程⑴有形如()u xy 的积分因子的充要条件：()M N y xxy Ny Mx ∂∂-∂∂ψ=-，()xy ψ是仅和xy 有关的函数； ⑤ 方程⑴有形如()22u x y ±的积分因子的充要条件：()2222M Ny xx y Nx My ∂∂-∂∂ψ+=-，()22x y ψ+是仅和22x y +有关的函数， ()2222M Ny xx y Nx My ∂∂-∂∂ψ-=+，()22x y ψ-是仅和22x y -有关的函数； ⑥ 方程⑴有形如y u x ⎛⎫⎪⎝⎭的积分因子的充要条件：211M Ny y x x Ny M x x ∂∂-∂∂⎛⎫ψ=-⎪⎝⎭+，y x ⎛⎫ψ⎪⎝⎭是仅和yx 有关的函数。
恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义 将一阶微分方程写成微分的形式，把平等看待，(,)dyf x y dx=(,)0f x y dx dy -=,x y 对称形式的一阶微分方程的一般式为（2.43）(,)(,)0M x y dx N x y dy +=假设在某区域内是的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数.(,),(,)M x y N x y G ,x y 如果存在可微函数,使得(2.44)(,)u x y (,)(,)du M x y dx N x y dy =+即(2.45)(,), (,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成,于是 就是方程(2.43)的隐式通解,(,)0du x y ≡(,)u x y C ≡这里是任意常数(应使函数有意义).C 2、 恰当方程的判定准则定理1 设在某区域内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是(,),(,)M x y N x y G(2.46), (,)M Nx y G y x∂∂=∈∂∂而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为 (2.47)0(,)(,)(,)xyx y u x y M s y ds N x t dt =+⎰⎰或者也可取为(2.48)0(,)(,)(,)yx y x u x y N x t dt M s y ds =+⎰⎰其中是任意取定的一点.00(,)x y G ∈证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数满足(2.45),(,)u x y 又知是连续可微的,从而有 .(,),(,)M x y N x y 22M u u Ny y x x y x∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂下面证明定理的充分性,即由条件(2.46),寻找函数,使其适合方程(2.45).从(2.47)可知(,)u x y(,)uN x y y∂=∂000000(,)(,) =(,)(,) =(,)(,)(,)yy y x y y y y u M x y N x t dt M x y N x t dt M x y M x t dt M x y x x ∂∂=+++=∂∂⎰⎰⎰即(2.45)成立,同理也可从(2.48)推出(2.45).例1. 解方程 (2.49)21()02x xydx dy y++=解这里,则,所以(2.49)是恰当方程.因为于21, =(2x M xy N y=+y x M x N ==N 处无意义,所以应分别在和区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求0y =0y >0y <相应的原函数.(,)u x y 先选取,代入公式(2.47)有00(,)(0,1)x y = 22011()ln 22xyx x u xdx dy y y y =++=+⎰⎰再选取,代入公式(2.47)有00(,)(0,1)x y =- 22011()()ln()22xyx x u x dx dy y y y -=-++=+-⎰⎰可见不论和,都有 0y >0y <2ln ||2x u y y =+故方程的通解为.2ln ||2x y y C +=3、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法.解法1. 已经验证方程为恰当方程,从出发,有(,)x u M x y = (2.50)2(,)(,)()()2x u x y M x y dx y y y φφ≡+=+⎰其中为待定函数,再利用,有 ；()y φ(,)y u N x y =221()22x x y yφ'+=+从而于是有 .1()y yφ'=()ln ||y y φ=只需要求出一个,因而省略了积分常数.把它代入(2.50)便得方程的通解为(,)u x y2ln ||2x u y y C =+=解法2. 分项组合的方法对(2.49)式重新组合变为 21()02x xydx dy dy y++=于是 2()ln ||02x d y d y +=从而得到方程的通解为2ln ||2x y y C +=4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程（2.43）(,)(,)0M x y dx N x y dy +=如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数，使得(,)0x y μμ=≠(2.51)(,)(,)0M x y dx N x y dy μμ+=为一恰当方程，即存在函数，使，则称是(,)v x y (,)(,)M x y dx N x y dy dv μμ+≡(,)x y μ方程（2.43）的积分因子.此时是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解.(,)v x y C =如果函数和都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道,(,),(,)M x y N x y (,)x y μ为(2.43)积分因子的充要条件是(,)x y μM Ny xμμ∂∂=∂∂即(2.52)(M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂5、积分因子的求法方程(2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程，μ求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子.定理2 设和在某区域内都是连续可微的，(,),(,)M M x y N N x y ==(,)x y ϕϕ=则方程（2.43）有形如的积分因子的充要条件是：函数((,))x y μμϕ=（2.53）(,)(,)(,)(,)(,)(,)y x x y M x y N x y N x y x y M x y x y ϕϕ--仅是的函数，此外，如果（2.53）仅是的函数，而(,)x y φ(,)x y φ((,))f f x y ϕ=，则函数()()G u f u du =⎰（2.54）((,))G x y e ϕμ=就是方程（2.43）的积分因子.证明 因为如果方程（2.43）有积分因子，则由（2.52）进一步知()μμϕ=()(d M NN M d x y y xμϕϕμϕ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂即；y x x yM N d d N M μϕμϕϕ-=-由可知左端是的函数，可见右端也是的函数，即()μμϕ=ϕy x x yM N N M ϕϕ--ϕ，于是，有， 从而 .()y xx yM N f N M ϕϕϕ-=-()d f d μϕϕμ=()()f d G e e ϕϕϕμ⎰==反之，如果（2.53）仅是的函数，即，则函数（2.54）是方程ϕ()y xx yM N f N M ϕϕϕ-=-（2.52）的解.事实上，因为()()()()G x y y x NM N M f e M N x yϕμμϕϕϕμ∂∂-=-=-∂∂因此函数（2.54）的确是方程（2.43）的积分因子.为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下：例2. 解22(31)()0y xy dx xy x dy -++-=解这里,注意2231,M y xy N xy x =-+=-y x M N y x-=-所以方程不是恰当的,但是1y xM N Nx-=它仅是依赖于，因此有积分因子x 1dxx e xμ⎰≡=给方程两边乘以因子得到x μ=2223(3)()0xy x y x dx x y x dy -++-=从而可得到隐式通解22321122u x y x y x C ≡-+=类型条件积分因子()x μ()y xM N f x N-≡()f x dxe ⎰()y μ()y xM N f y M-≡-()f y dye ⎰()x y αβμ111()y xM N f x y x N y M x yαβαβαβ---⋅≡-()|f u duu x y e αβ=⎰((,))x y μϕ((,))y xx yM N f x y N M ϕϕϕ-≡-()(,)|f u duu x y e ϕ=⎰例3. 解方程2()(1)0xy y dx xy y dy ++++=解 这里方程不是恰当的.但是，它有仅依赖2,1M xy y N xy y =+=++1y xM N My-=--于的积分因子；方程两边乘以积分因子得到y 11y eyμ-⎰≡=1y μ=；从而可得到隐式通解，另外，1()(1)0x y dx x dy y ++++=21ln ||2u x xy y y C ≡+++=还有特解.它是用积分因子乘方程时丢失的解.0y =例4. 解方程 223(2)()0y x y dx xy x dy +++=解 这里，不是恰当方程.设想方程有积分因子，2232,M y x y N xy x =+=+()x y αβμμ=其中，是待定实数.于是αβ2112111()(2)y xM N y x x N y M x y y x x y x y αβαβαβαβαβαβ----⋅=⋅=--+-只须取.由上述简表知原方程有积分因子3,2αβ==32x y μ=从而容易求得其通解为：446313u x y x y C≡+=六、积分因子的其他求法以例4为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式：223()(2)0y dx xydx x ydx x dy +++=前一组有积分因子，并且；后一组有积分因子，11y μ=21()()y dx xydy d xy y +=21xμ=并且；设想原方程有积分因子，其中2321(2)()x ydx x dy d x y x+=211()()xy x y y x αβμ==，是待定实数.容易看出只须，上述函数确实是积分因子，其实就是上面αβ3,2αβ==找到一个.例5.解方程其中，，，均为连续函1212()()()()0M x M y dx N x N y dy +=1M 2M 1N 2N 数.解这里，.写成微商形式就形式上方程是变量可分12()()M M x M y =12()()N N x N y =离方程，若有使得，则是此方程的解；若有使得，则0y 20()0M y =0y y =0x 10()0N x =是此方程的解；若，则有积分因子，并且通解0x x =21()()0M y N x ≠211()()M y N x μ=为.1212()()()()M x N y u dx dy N x M y ≡+⎰⎰例6、试用积分因子法解线性方程（2.28）.()()dyP x y Q x dx=+解 将（2.28）改写为微分方程（2.55）[()()]0P x y Q x dx dy +-=这里，而，则线性方程只有与有关()(),1M P x y Q x N =+=-()M Ny xP x N∂∂-∂∂=-x 的积分因子，方程（2.55）两边乘以，得()P x dx e μ-⎰=()P x dxe μ-⎰=（2.56）()()()()()0P x dx P x dx P x dxxP x e ydx e dy Q x e dx ---⎰⎰⎰-+=（2.56）为恰当方程，由分项分组法 ()()()()0P x dx P x dxd ye Q x e dx --⎰⎰-=因此方程的通解为()()()P x dx P x dxye Q x e dx c--⎰⎰-=⎰即 ()()[()]P x dxP x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰，与前面所求得的结果一样.注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项分组”法求得积分因子.。
