第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 12 2-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程：
①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到 )(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0 ),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 0 2、 022 1 1≠b a b a ，?? ?=++=++00 222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( xy v xy f dx dy x ==),(2 22),(x y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++ 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5 --+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 71+=- ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy
全微分方程及积分因子
全微分方程及积分因子 内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。 重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3 思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。 方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M 判定：全微分?x N y M ??≡?? 解法：C dy y x N dx y x M y y x x =+??00),(),(0 初值问题0=C 积分因子：x N y M y M x N ??-??=? ???????-??μμμ1
)(x μ： N x N y M dx d ?? -??=μμ1 )(y μ： M x N y M dy d ??- ??-=μμ1 1．解下列方程： 1）0)(222=-+dy y x xydx 解：x N y M ?? ≡??=x 2 ??=-+x y C dy y xydx 002 )0(2既 C y y x =-3/32 2）0)2(=+---dy xe y dx e y y 解：x N y M ??≡??=y e -- ??=-+-y x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2 3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解：x N y M ??≡??=y x --221 ??=---+x y C dy y dx y x x 002)1(2 C y y y x x =-+---+23 232322)(32 )(32 )(32 既C y x x =-+23 2 2)(32 4）0)ln (3 =++dy x y dx x y
第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9） 系数矩阵记作 1 12 2a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则
各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐 式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］ =dx/x两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程 解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1
y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1) 即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y”+py’+qy=f(x) 先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解 求y”+py’+qy=f(x)特解的方法: ①f(x)=P m(x)eλx型 令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数 ②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型
1.5 全微分方程及积分因子
一、全微分方程的定义及条件 则它的全微分为 是一个连续可微的函数设,),(y x U U =dy y U dx x U dU ??+??=如果我们恰好碰见了方程 0),(),(=??+??dy y y x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分 . ),(c y x U =
定义1使得 若有函数),,(y x U dy y x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分方程) 1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0 =+ydx xdy 0 )2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0 )()(=+dy y g dx x f 是全微分方程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分方程的定义
需考虑的问题(1) 方程(1)是否为全微分方程? (2) 若(1)是全微分方程,怎样求解? (3) 若(1)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?2 方程为全微分方程的充要条件 定理1则方程 偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M ) 1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分方程的充要条件是 ). 2(,),(),(x y x N y y x M ??=??)1(, 0),(),(=+dy y x N dx y x M
证明“必要性”设(1)是全微分方程,使得 则有函数),,(y x U dy y U dx x U y x dU ??+??=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M x U =??),(y x N y U =??从而从而有都是连续的和由于,22y x U x y U ??????,22y x U x y U ???=???故.),(),(x y x N y y x M ??=??y x U y N x y U y M ???=?????=??22 ,
全微分方程的不定积分解法及其证明 一个一阶微分方程写成 P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy = 0 ⑴ 形式后，如果它的左端恰好是某一个函数u= u (x,y ) 的全微分： du (x,y ) = P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy 那么方程⑴就叫做全微分方程。这里 5u 5x = P (x,y ）， 5u 5y = Q (x,y ) 方程⑴就是du (x,y ) = 0,其通解为： u (x,y ) = C(C 为常数） 可见，解全微分方程的关键在于求原函数u (x,y ）。因此，本文将提供一种求原函数u (x,y ) 的简捷 方法，并给出证明。 1引入记号 为了表述方便，先引入记号如下： 设M (x,y ) 为一个含有变量x,y 项的二元函数，定义： ⑴“M (x q ,y ) ”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量x 的项; ⑵“M (x,y q ）”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量y 的项； 注意：常数项看作既不含变量x 也不含变量y 的项。 现举一例如下： 设：M (x,y ) = xy + x ey+ x 1- x + sinx+ co sx co sy + y 2+ 1 按记号定义有： M (x q ,y ) = M (x,y ) - (x y + x ey + x 1 - x + sinx + co sx co sy ) = y 2 + 1 M (x,y q ）= M (x,y ) - (x y + x ey + co sx co sy + y 2) = x 1 - x
+ sinx + 1 2u (x,y ) 的简捷求法 引理设开区域G 是一个单连通域，函数P (x,y ),Q (x,y ) 在G 内具有一阶连续偏导数，则 P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy 在G 内为某一函数u (x,y ) 的全微分的充分必要条件是等式 5P 5y = 5Q 5x
第五节 二阶线性微分方程解的结构 分布图示 ★ 二阶线性微分方程的概念 二阶线性微分方程的解的定理 ★ 定理1 ★ 函数的线性相关与线性无关 ★ 定理2 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例1 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-5 内容要点 一、二阶线性微分方程解的结构 二阶线性微分方程的一般形式是 )()()(2 2x f y x Q dx dy x P dx y d =++， (6.1) 其中)(x P 、)(x Q 及)(x f 是自变量x 的已知函数，函数)(x f 称为方程(6.1)的自由项. 当0)(=x f 时, 方程(6.1)成为 0)()(22=++y x Q dx dy x P dx y d ， (6.2) 这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(6.1)称为二阶非齐次线性微分方程. 定理1 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(6.2)的两个解, 则 )()(2211x y C x y C y += (6.3) 也是方程(6.2)的解，其中21,C C 是任意常数. 定理2 如果)(1x y 与)(2x y 是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则 )()(2211x y C x y C y += 就是方程(6.2)的通解，其中21,C C 是任意常数. 定理3 设* y 是方程(6.1)的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程(6.2)的通解，则 *+=y Y y (6.4) 就是二阶非齐次线性微分方程(6.1)的通解. 定理4 设*1y 与* 2y 分别是方程
)()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+'' 的特解，则* *+21y y 是方程 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' (6.5) 的特解. 定理5 设21iy y +是方程 )()()()(21x if x f y x Q y x P y +=+'+'' (6.6) 的解，其中)(),(),(),(21x f x f x Q x P 为实值函数，i 为纯虚数. 则1y 与2y 分别是方程 )()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+'' 的解. 例题选讲 例 1 已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=-=+=23221,,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解： （1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程； （3）求此微分方程满足6)0(,7)0(='=y y 的特解. 解 (1) 由题设知, ,232y y e x -=21y y e x -=-是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且,21x x e xe y +=是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为 y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C += (2) 因y x x x e C e C xe -++=221 ① 所以x x x x e C e C xe e y --++='2212② x x x x e C e C xe e y -+++=''22142 从这两个式子中消去,,21C C 即所求方程为;22x x xe e y y y -=-'-'' (3) 在①, ②代入初始条件,6)0(,7)0(='=y y 得
积分因子与全微分方程 1 微分方程的用途 镭是一种放射性物质，它的原子不停地向外放射出氦原子和其它的射线．从而自身的原子量减少，这样就变成了其它的物质（如常见的铅）．一定质量的镭随着时间的变化，它的质量就会减少．现在已经发现镭的裂变速度（即单位时间裂变的质量）与它的剩余量成正比，设一块镭在时刻0t t =时，其质量0R R =，请确定这块镭在时刻t 的质量R ． 分析：时刻t 时镭的剩余量R 是t 的函数，由于R 将随时间t 的流逝而减少．故镭的裂变速度dR dt 应该是负值，于是按照镭的裂变规律可列出方程 dR kR dt =-，其中k 为一正的比例常数． 1.1 微分方程 定义1 []() 1P 1 联系着自变量、未知函数以及它的导数的方程叫做微分方程． 上式是一个关于未知函数R 的微分方程，上述的问题就是要从这个式子中求出未知函数 ()R R t =来． 不仅镭的质量满足这样的规律，其它的放射性物质也都满足这一规律，不同的只是各种放射性物质具有各自不同的系数k ．从这个关系式出发，可以利用放射性物资来测定某种物体的绝对年龄，实际上，火箭的升空，弹道的计算，自动控制，化学反应过程中稳定性的研究等都要用到微分方程． 微分方程其实就是联系着自变量，未知函数以及它的导数的关系式，它的本质也是一个方程．像上面这些例子都可以建立成微分方程的的模型． 我们了解了什么是微分方程，和微分方程在现实中的应用．那么解这样的方程就是理所应当该首先考虑的问题了． 2 全微分方程的定义 我们可以将一阶方程 (),dy f x y dx =写成微分的形式(),0f x y dx dy -=， 写成具有对称形式的一阶微分方程 ()(),,0M x y dx N x y dy +=． 其中(),M x y ，(),N x y 在某矩形域内是x ， y 的连续且具有连续的一阶偏导数． 2.1 全微分方程 定义2 []() 139P 如果微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的左边恰好是某个二元函数
万方数据
万方数据
万方数据
全微分方程与积分因子法 作者：段志霞， 卫艳荣 作者单位：济源职业技术学院,河南·济源,454650 刊名： 宿州教育学院学报 英文刊名：JOURNAL OF SUZHOU EDUCATION INSTITUTE 年，卷(期)：2009，12(1) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.同济大学数学教研室高等数学 2002 2.王高雄.周之铭常微分方程 1983 3.潘鼎坤高等数学习题详解 2000 4.陈小柱.陈敬佳高等数学习题全解 2002 相似文献(5条) 1.期刊论文徐安农.段复建全微分方程与积分因子法-桂林电子工业学院学报2002,22(2) 在常微分方程理论的形成过程中,求解一阶微分方程曾出现过许多方法,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等.其中尤以积分因子法出现的最晚,而作用也最大.在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的. 2.期刊论文马来焕.MA Lai-huan一类新复合型积分因子的存在定理及应用-科学技术与工程2010,10(7) 给出M(x,y)dx+N(x,y)dy=0复合类型积分因子的定义,得到了复合类型积分因子存在的充要条件和计算公式,为解决某些非全微分方程求解问题提供了更加快捷的工具,避免了传统求解方法的繁琐及盲目. 3.期刊论文赵冠华.陈海俊.ZHAO Guan-hua.CHEN Hai-jun乘积型积分因子的存在定理-聊城大学学报（自然科学版）2004,17(4) 积分因子法是求解一阶常微分方程的一个极其重要的方法.但是在通常情况下,积分因子的寻求比较困难.通过定义常微分方程的乘积型积分因子,得到了乘积型积分因子存在的充要条件和计算公式. 4.期刊论文李刚升浅谈积分因子与偏微分方程-科技信息(学术版)2008,""(2) 采用积分因子法将一阶微分方程转化成全微分方程是求解常微分方程的一个重要手段.为了得到方程的积分因子,需要求解积分因子所满足的偏微分方程.写出偏微分方程所对应的特征方程,从而将求解积分因子转化成为求解常微分方程的首次积分.为了简化首次积分的计算,本文给出了一些特征方程有关条件的限制,并利用比例性质对特征方程变形,得到一些特殊的积分因子,从而使常微分方程转化为全微分方程. 5.期刊论文姚红梅.YAO Hong-mei新复合型积分因子的存在定理及应用-科学技术与工程2010,10(15) 给出了微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的复合积分因子定义,并讨论了一类复合积分因子存在的充要条件及计算公式.介绍一种通过积分因子法求解一阶线性微分方程的新解法. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/3c14273595.html,/Periodical_szjyxyxb200901064.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：e1b0d643-c81b-4324-9ea1-9dcc0105e959 下载时间：2010年8月8日
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的 连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2) 的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y Λ为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k Λ使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k Λ, 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,
全微分方程及积分因子 内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。 重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3 思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。 方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M 判定：全微分? x N y M ??≡?? 解法：C dy y x N dx y x M y y x x =+??00),(),(0 初值问题0=C 积分因子： x N y M y M x N ??-??=????????-??μμμ1 )(x μ： N x N y M dx d ??-??=μμ1 )(y μ： M x N y M dy d ??-??-=μμ1 1．解下列方程： 1）0)(222=-+dy y x xydx 解： x N y M ??≡??=x 2 ??=-+x y C dy y xydx 002)0(2既 C y y x =-3/32 2）0)2(=+---dy xe y dx e y y
解： x N y M ??≡??=y e -- ??=-+-y x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2 3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解： x N y M ??≡??=y x --221 ??=---+x y C dy y dx y x x 002)1(2 C y y y x x =-+---+23232322 )(32)(32)(32 既C y x x =-+2322 )(32 4）0)ln (3=++dy x y dx x y 解： x N y M ??≡??=x 1 C dy y dx x y y x =+??030既C y x y =+4/||ln 4 5）05233 3222=+-+dy y y x dx y y x 解： x N y M ??≡??=326--y x ??=-+-x y C dy y dx y y x 00222253 C y x y x =++-/523 6）02cos )2sin 1(2=-+xdy y dx x y 解： x N y M ??≡??=x y 2sin 2 C ydy dx x y x y =-+??002)2sin 1(
1.对于二阶全微分方程a，不同的a,b,c取值会求出不同的解析 解，解析解又是由齐次解和特解组成。其中，齐次解由特征方程决定，而特解的决定因素则比较复杂。 2.对于二阶全微分方程的分析，我们大致分为三种情况： b^2-4ac>0(两个不同的实根) b^2-4ac=0（两个相同的重根） b^2-4ac<0（两个不同的复数根） 对三种情况进行MATLAB编程，分析齐次解和特解后，再改变W的值，观察解析解的变化 3.b^2-4ac>0的情况 STEP1：求解析解 s1=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); s2=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); s3=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(2*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); s4=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(5*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); s5=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(13*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); s6=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(25*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t'); STEP2：绘制图形 （1）求w=1情况下的通解和齐次解 t=1:0.1:10; s1=4*exp(-t)-2*exp(-2*t)%general solution s2=-3/10*cos(t)+1/10*sin(t)-11/5*exp(-2*t)+9/2*exp(-t)%special solution subplot(2,1,1); plot(t,s2); xlabel('t') ylabel('y(t)') title('general solution') subplot(2,1,2); plot(t,s1); xlabel('t') ylabel('y(t)') title('special solution')
§7.11 全微分方程 一、定义 一阶微分方程写成 P x y dx Q x y dy (,)(,)+=0 ? 形式后，如果它的左端恰好是某一函数u u x y =(,)的全微分，即 du P x y dx Q x y dy =+(,)(,) 则方程?就叫做全微分方程。 二、全微分方程的求解 设方程?是一个全微分方程，则存在二元函数u u x y =(,)，使得 du P x y dx Q x y dy =+(,)(,) 则 ????u x P x y u y Q x y ==(,),(,) 方程?可写成 d u x y (,)=0 ? 如果y x =?()是?的解，那么这个解也满足方程?，故 d u x x [,()]?≡0 因此 u x x C [,()]?= 这表明，?的解y x =?()是由方程u x y C (,)=所确定的隐函数。 反过来，若方程u x y C (,)=确定了一个可微分的隐函数y x =?()， 则 u x x C [,()]?≡ 两端对x 求导得 ????u x u y dy dx +?=0 或 ????u x dx u y dy +=0 即 P x y dx Q x y dy (,)(,)+=0 这表明，由方程u x y C (,)=所确定的隐函数是方程?的解。 综合上述两点， 我们有结论 全微分方程?的解是由C y x u =),(所确定的隐函数，而由C y x u =),(所确定的隐函数一定是方程?的解。
因此，若方程?的左端是函数u x y (,)的全微分，那么它的通解为 u x y C (,)= 其中C 是任意常数。 三、方程?是全微分方程的条件 若P x y (,)，Q x y (,)在单连通域G 内具有一阶连续偏导数，则方程?成为全微分方程的充要条件为 ? ?P Q = ? 在G 或 【例1y x 所以这是全微分方程，有 u x y x xy y dx y dy x y (,)()=+-+??04232053 =+-+x x y xy y 5 22333213 于是，方程的通解为
常见的有解析解的常微分方程---经典总结 1、可分离变量方程：1122()()()()0f x g y dx f x g y dy += 两边同除以12()()0g y f x ≠，得1221()()0()() f x g y dx dy f x g y += 积分，得1221()()()() f x g y dx dy C f x g y +=?? 2、齐次方程：'()y y f x = 令y u x =，则y ux =，'du y u x dx =+ 于是，原方程()ln ()()du du dx du u x f u x C dx f u u x f u u ?+=?=?=+--? 3、可化为齐次型的方程：111222 ()a x b y c dy f dx a x b y c ++=++ （1）当120c c ==时， 11 112222()()()y a b a x b y dy y x f f g y dx a x b y x a b x ++===++，利用2求解 （2）1 1220a b a b =，即1122 a b a b λ==，则22122222()()()a x b y c dy f g a x b y dx a x b y c λ++==+++ 令22a x b y u +=，则 22()du a b g u dx =+，利用1求解 （3）1 122 0a b a b ≠，1c ，2c 不全为0 解方程组111222 00a x b y c a x b y c ++=??++=?，求交点(,)αβ 4、一阶线性方程：'()()y p x y q x +=
二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2 122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数； 式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤： 为常数； ，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r 型 为常数； 型，为常数 ，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+'' 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 ''+'+=y py qy f x () （1） 其中p q ,是常数。 方程（1）的通解为对应的齐次方程 0=+'+''qy y p y （2） [ 的通解Y 和方程（1）的一个特解*y 之和。即 *y Y y +=.我们已解决了求二阶常系数齐 次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解* y 的方法。 下面我们只介绍当方程（1）中的)(x f 为如下两种常见形式时求其特解*y 的方法。 一、 f x e P x x m ()()=?λ型
由于方程（1）右端函数f x ()是指数函数e x λ?与m 次多项式P x m ()的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测： 方程（1）的特解应为 y e Q x x *?=λ()( Q x ()是某个次数待定的多项式 ) y e Q x e Q x x x *??'=+'λλλ()() y e Q x Q x Q x x *?"=?+'+''λλλ[()()()]22 代入方程（1），得 e Q x p Q x p q Q x e P x x x m λλλλλ???''++'+++≡?[()()()()()]()22 消去e x λ?，得 【 ''++'+++≡Q x p Q x p q Q x P x m ()()()()()()22λλλ （3） 讨论 01、如果λ不是特征方程 r pr q 20++=的根。 即 02≠++q p λλ 由于P x m ()是一个m 次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未Q x ()必为一个m 次多项式，设为 Q x b x b x b x b m m m m m ()=++++--0111 将之代入（3），比较恒等式两端x 的同次幂的系数，就得到以b b b b m m 01 1,,,, -为未知数的m +1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m +1个待定的系数，并得到特解 y e Q x x m *?=λ() 02、如果λ是特征方程 r pr q 20++=的单根。 即 λλ20++=p q ，但 20λ+≠p ^ 欲使（3）式的两端恒等，那么'Q x ()必是一个m 次多项式。 因此，可令 Q x x Q x m ()()=? 并且用同样的方法来确定)(x Q 的系数b b b b m m 0 11,,,, -。 03、如果λ是特征方程r pr q 20++=的二重根。 即 λλ20++=p q ，且 20λ+=p 。 欲使（3）式的两端恒等，那么''Q x ()必是一个m 次多项式 因此， 可令 Q x x Q x m ()()=?2
各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2
依次类推,接连积分n 次,便得方程y (n)=f(x)的含有n 个任意常数的通解 ②y ”=f(x,y ’) 型的微分方程 令y ’=p 则y ”=p ’,所以p ’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C 1) 即dy/dx=φ(x,C 1),所以y=∫φ(x,C 1)dx+C 2 ③y ”=f(y,y ’) 型的微分方程 令y ’=p 则y ”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C 1) 即dy/dx=φ(y,C 1),即dy/φ(y,C 1)=dx,所以∫dy/φ(y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y ”+py ’+qy=0,特征方程r 2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y ”+py ’+qy=f(x) 先求y ”+py ’+qy=0的通解y 0(x),再求y ”+py ’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x)即为微分方程y ”+py ’+qy=f(x)的通解 求y ”+py ’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=P m (x)e λx 型 令y*=x k Q m (x)e λx ［k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重