第1课时 确定一次函数的表达式

4 一次函数的应用第1课时 确定一次函数表达式教师备课 素材示例●置疑导入 如图，观察并填空：问题1：图中直线y ＝kx ＋b(k≠0)，随着x 的变化，y 的变化规律是__随x 的增大而增大__．问题2：图象经过第__一、三、四__象限．问题3：直线经过这两个点__(4，0)，(0，－3)__．问题4：能否求出函数关系式？说明采用什么方法．可以设直线为y ＝kx ＋b ，将(0，－3)(4，0)代入函数表达式中，求出k ，b 的值，这种方法叫做待定系数法．这节课我们将学习用待定系数法求一次函数的表达式．【教学与建议】教学：通过一次函数的图象回顾一次函数的相关知识，并通过置疑引出新课的学习．建议：问题1到3学生作答，问题4学生讨论后作答，导出待定系数法．●复习导入 回顾一次函数和正比例函数的图象和性质(多媒体出示问题)问题1：一次函数和正比例函数的关系式分别是什么？问题2：一次函数和正比例函数的图象是什么？问题3：同学们能画出函数v ＝2t 与y ＝2x ＋10的图象吗？问题4：这两个函数的图象有什么相同点和不同点？【教学与建议】教学：学生回顾一次函数和正比例函数的相关知识，使学生深信确定了两点一次函数图象也就确定了．建议：前两个问题较容易，找学生口答完成，后两个问题可小组交流讨论．利用图象确定一次函数的表达式，将函数图象上已知两个点的坐标代入函数关系式中，求出k ，b 的值．【例1】(1)如图，直线AB 对应的函数表达式是(B)A ．y ＝－32x ＋3B ．y ＝32x ＋3C ．y ＝－23x ＋3D ．y ＝23x ＋3 [第（1）题图] [第（2）题图](2)如图，一次函数的图象过点A ，且与正比例函数y ＝－x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为__y ＝x ＋2__．已知一个一次函数，平移根据左加右减自变量，上加下减常数项，确定另一个一次函数表达式．【例2】(1)如图，把直线l 向上平移2个单位长度得到直线l′，则直线l′对应的函数表达式为(D)A.y ＝12x ＋1 B ．y ＝12x －1 C ．y ＝－12x －1 D ．y ＝－12x ＋1 (2)已知某一次函数的图象与直线y ＝－x ＋1平行且过点(8，2)，则这个一次函数的表达式为__y ＝－x ＋10__．解答一次函数的应用问题，要弄清题目的已知条件，根据已知求出一次函数表达式，再借助函数表达式解决其他问题．【例3】(1)如图，用每张长6cm 的纸条，重叠1cm 粘贴成一条纸带，纸带的长度y(cm)与纸条的张数x 之间的函数表达式是(D)A．y＝6x＋1B．y＝4x＋1C．y＝4x＋2D．y＝5)与燃烧时间x(h)之间为一次函数关系，如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：①求出蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式；②求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．解：①设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，由图象知其过(2，12)，(0，24)两点，则2k＋b＝12，b＝24，解得k＝－6，∴y＝－6x＋24(0≤x≤4)；②当y＝0时，－6x＋24＝0，解得x＝4.答：蜡烛从点燃到燃尽共用4h．高效课堂教学设计1．利用待定系数法确定一次函数的表达式．2．能利用所学知识解决简单的实际问题．▲重点利用待定系数法确定一次函数的表达式．▲难点灵活运用一次函数的有关知识解决问题．◆活动1 创设情境导入新课(课件)回顾一次函数和正比例函数的图象和性质(多媒体出示问题)问题1：一次函数和正比例函数的表达式分别是什么？问题2：一次函数和正比例函数的图象是什么？问题3：同学们能画出函数v＝2.5t与y＝0.5x＋14.5的图象吗？问题4：这两个函数的图象有什么相同点和不同点？◆活动2 实践探究交流新知【探究1】正比例函数表达式展示实际情境某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示.(1)v 与t 之间的函数关系式是__v ＝52t__． (2)下滑3s 时物体的速度是__152__m/s__． 确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？【探究2】一次函数表达式展示实际情境由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万m 3)的关系如图所示．求蓄水量V(万m 3)与时间t(天)之间的函数表达式.思考：设函数表达式为y ＝kx ＋b ，由图象可知直线与y 轴的交点坐标为(0，1200)，则b ＝1200，再知道直线上另外一点的坐标，即可求出函数表达式．【归纳】确定一次函数的表达式需要2个条件，步骤是设、代、解、定．◆活动3 开放训练 应用举例【例1】教材P 89例1【方法指导】运用求一次函数表达式的方法．解：设y ＝kx ＋b.根据题意，得__14.5__＝b ，①__16__＝3k ＋b.②将①代入②，得k ＝__0.5__．所以在弹性限度内，y ＝__0.5x ＋14.5__．当). 即物体的质量为4kg 时，弹簧长度为__16.5__cm.【例2】如图，直线l 是一次函数y ＝kx ＋b 的图象，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积．【方法指导】先求出一次函数y＝kx＋b的表达式，再求直线与x轴交点坐标，最后求三角形的面积．解：把(0，2)，(2，－2)代入y＝kx＋b中，解得b＝2，k＝－2.∴y ＝－2x＋2.当y＝0时，x＝1，∴l与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×1×2＝1.◆活动4 随堂练习1．油箱中存油10L，油从油箱中均匀流出，流速为0.2L/min，则油箱中剩余油量Q(L)与流出时间t(min)之间的函数关系式是(B) A．Q＝0.2tB．Q＝10－0.2tC．t＝0.2QD．t＝10－0.2Q2．一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－1，－1)，(0，2)，则其函数表达式为__y＝3x＋2__．3．如图所示的直线是某一次函数的图象，点A(－1，7)，B(4，－4)是否在该函数的图象上？解：设直线的函数表达式为y＝kx＋b.把(2，0)，(0，4)代入，解得b＝4，k＝－2.∴y＝－2x＋4，当x＝－1时，y＝6≠7；当x＝4时，y＝－4，∴点A不在该函数图象上，点B在该函数图象上．4．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？解：(1)y＝0.2x－6(x≥30)；(2)30kg.◆活动5 课堂小结与作业学生活动：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？教学说明：给学生一定的时间去反思回顾，让学生们畅所欲言．然后老师点评．作业：课本P89随堂练习，P90习题4.5中的T1、T2、T3、T4.本节课由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛．。

第四章一次函数4一次函数的应用第1课时确定一次函数表达式教学目标教学反思1.了解确定一次函数的条件，能用待定系数法求出一些简单的一次函数的表达式；2.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；3.在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系.教学重难点重点：1.了解确定一次函数的条件；2.能用待定系数法求出一些简单的一次函数的表达式.难点：能利用一次函数解决简单的实际问题.教学过程导入新课知识回顾1.什么是一次函数？什么是正比例函数？2.一次函数的图象是什么？正比例函数的图象呢？3.表示函数的方法有哪些？4.画出y＝-2x-4的图象，根据图象回答下列问题：（1）y的值随x值的增大而__________；（2）图象与x轴的交点坐标是________，与y轴的交点坐标是_________；（3）判断下列各点是否在函数y＝-2x-4的图象上.A（1，-6）；B（-3，1）学生思考，给出答案.1.若两个变量x，y间的关系式可以表示成y＝kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.当b＝0时，即y＝kx,称y是x的正比例函数.2.一次函数的图象是一条直线；正比例函数的图象是过原点的一条直线.3.列表法、图象法和关系式法.4.（1）减小；（2）（-2，0），（0，-4）；（3）A.探究新知假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间的关系如图所示.（1）这是一次多少米的赛跑？（2）甲、乙二人谁先到达终点？（3）甲、乙二人的速度分别是多少？（4）求甲、乙二人y与x的函数关系式.想一想：1.确定正比例函数的表达式需要几个条件？(1个)2.确定一次函数的表达式呢？（2个）例1某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s)与其下滑时间t（s）的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式.(2)下滑3秒时物体的速度是多少？【解】(1)设函数表达式为v＝kt (k为常数且k≠0).∵(2,5)在图象上,把点（2，5）的坐标代入，得5＝2k,∴ k＝2.5，∴v＝2.5 t.(2)当t＝3s时，v＝2.5×3＝7.5(m／s).所以下滑3s时物体的速度是7.5 m／s.例2在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.【解】设y＝kx+b(k≠0)，由题意，得14.5＝b, 16＝3k+b,解得b＝14.5 ,k＝0.5.所以在弹性限度内，y＝0.5x+14.5.当x＝4时，y＝0.5×4+14.5＝16.5（cm）.即当所挂物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm.教师总结：教学反思求一次函数表达式的步骤 ：1.设——设一次函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0）；2.代——将点的坐标代入y ＝kx +b 中,列出关于k ，b 的方程组；3.解——解方程组求出k ，b 值；4.定——把求出的k ，b 值代回到表达式中即可.像这种求函数表达式的方法叫做待定系数法.课堂练习 1.若一次函数y ＝2x +b 的图象经过A （-1，1），则=b ，该函数图象经过点B （1， ）和点C （ ，0）.2.如图，直线l 是一次函数y ＝kx +b 的图象，填空：（1）=b ，=k ，所以函数关系式为___________；（2）当x ＝30时，=y ；（3）当y ＝30时，=x .3.如图，直线l 是一次函数y ＝kx +b 的图象，求它的表达式.4.已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式.5.某市出租车计费方法如图所示，x （km ）表示行驶里程，y （元）表示车费,请根据图象回答下列问题：（1）求出租车的起步价是多少元，并求当x ＞3时，y 关于x 的函数表达式；（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程.参考答案1.3,5,-1.5教学反思2.(1)2,23-,y ＝23x -+2 (2)-18 (3)-423.解：y ＝-3x4.解：设一次函数的表达式为y ＝kx +b (k ≠0)， ∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点（0，2），∴ b ＝2.∵一次函数的图象与x 轴的交点是2,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴ 12222k⨯-⨯=，解得k ＝1或-1.∴ 一次函数的表达式为y ＝x +2或y ＝-x +2. 5.解：（1）8，y ＝2x +2；（2）令y ＝32，则2x +2＝32，x ＝15，∴ 这位乘客乘车的里程为15 km.课堂小结(学生总结，老师点评)用待定系数法确定一次函数表达式的步骤布置作业习题4.5 必做题：第2题 选做题：3，4题任选一题板书设计第四章 一次函数4 一次函数的应用第1课时 确定一次函数表达式用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： 1.设—— 设一次函数表达式为y ＝kx +b (k ≠0)；2.代—— 将点的坐标代入y ＝kx +b 中,列出关于k ，b 的方程组；3.解—— 解方程组求出k ，b 值；4.定—— 把求出的k ，b 值代回到表达式中即可.。

数学教案－确定一次函数的表达式－教学教案第六章一次函数4 确定一次函数的表达式●教学目标(一)教学知识点1．了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数．2．能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关现实问题．(二)能力训练要求能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力．(三)情感与价值观要求能把实际问题抽象为数字问题，也能把所学知识运用于实际，让学生认识数字与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．●教学重点根据所给信息确定一次函数的表达式．●教学难点用一次函数的知识解决有关现实问题．●教学方法启发引导法．●教具准备小黑板、三角板●教学过程Ⅰ．导入新课［师］在上节课中我们学习了一次函数图象的定义，在给定表达式的前提下，我们可以说出它的有关性质．如果给你有关信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题．Ⅱ．讲授新课一、试一试（阅读课文P167页）想想下面的问题。

某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系。

(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定它是正比例函数的图象，还是一次函数的图象，然后设函数解析式，再把已知的坐标代入解析式求出待定系数即可．［师］请大家先思考解题的思路，然后和同伴进行交流．［生］因为函数图象过原点，且是一条直线，所以这是一个正比例函数的图象，设表达式为v=kt，由图象可知(2，5)在直线上，所以把t=2，v=5代入上式求出k，就可知v与t的关系式了．解：由题意可知v是t的正比例函数．设v=kt∵(2，5)在函数图象上∴2k=5∴k=∴v与t的关系式为v= t(2)求下滑3秒时物体的速度，就是求当t等于3时的v的值．解：当t=3时v= ×3= =7．5(米/秒)二、想一想［师］请大家从这个题的解题经历中，总结一下如果已知函数的图象，怎样求函数的表达式．大家互相讨论之后再表述出来．［生］第一步应根据函数的图象，确定这个函数是正比例函数或是一次函数；第二步设函数的表达式；第三步根据表达式列等式，若是正比例函数，则找一个点的坐标即可；若是一次函数，则需要找两个点的坐标，把这些点的坐标分别代入所设的解析式中，组成关于k，b的一个或两个方程．。

确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系。

而确定一次函数的表达式，则是我们能够顺利通过这座桥梁，解决各种实际问题的关键钥匙。

一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b（其中 k、b 是常数，k ≠ 0）。

这里的 k 被称为斜率，它决定了函数图像的倾斜程度；b 则是截距，也就是函数图像与 y 轴的交点。

要确定一次函数的表达式，实际上就是要找出 k 和 b 的值。

那怎么来找呢？通常有两种常见的方法：待定系数法和利用函数图像的特征。

先说待定系数法。

假设我们知道一次函数上的两个点的坐标，比如（x₁, y₁）和（x₂, y₂），把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就可以得到一个关于 k 和 b 的方程组。

举个例子，如果已知点（1, 3）和（2, 5）在某个一次函数上，那么把（1, 3）代入函数表达式得到 3 ＝ k×1 ＋ b，即 k ＋ b ＝ 3；把（2, 5）代入得到 5 ＝ k×2 ＋ b，即 2k ＋ b ＝ 5。

接下来解这个方程组，就能求出 k 和 b 的值。

从第一个方程 k ＋ b ＝ 3 可以得到 b ＝ 3 k，把它代入第二个方程2k ＋ b ＝ 5 中，就有 2k ＋ 3 k ＝ 5，解得 k ＝ 2。

再把 k ＝ 2 代入 b＝ 3 k ，得到 b ＝ 1。

所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1。

再来说说利用函数图像的特征来确定表达式。

如果我们能从图像中直接看出函数与 y 轴的交点，那这个交点的纵坐标就是 b 的值。

而斜率 k 呢，可以通过图像上任意两个点的坐标来计算。

比如说，函数图像与 y 轴交于（0, －2），并且还经过点（2, 4）。

那么 b ＝－2，而斜率 k ＝（4 （－2））÷（2 0）＝ 3 。

所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 3x 2 。

在实际应用中，确定一次函数的表达式非常有用。

确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数是我们经常会遇到的重要概念。

它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也能帮助我们解决许多问题，比如计算成本、预测趋势等等。

而要有效地运用一次函数，首先我们得学会确定它的表达式。

一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b ，其中 k 是斜率，b 是截距。

确定一次函数的表达式，关键就在于求出 k 和 b 的值。

那怎么求呢？最常见的方法就是利用给定的条件来建立方程组，然后求解。

比如说，已知一次函数经过两个点的坐标，（x₁, y₁)和(x₂, y₂)。

我们把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就能得到两个方程：y₁＝ kx₁＋ by₂＝ kx₂＋ b这样就组成了一个关于 k 和 b 的二元一次方程组，通过解方程组，就能求出 k 和 b 的值，从而确定一次函数的表达式。

举个例子，已知一次函数经过点(1, 3)和(2, 5)。

我们把这两个点代入表达式中：对于点(1, 3)，有 3 ＝ k × 1 ＋ b ，即 k ＋ b ＝ 3 ①对于点(2, 5)，有 5 ＝ k × 2 ＋ b ，即 2k ＋ b ＝ 5 ②用②①，得到：2k ＋ b （k ＋ b) ＝ 5 32k ＋ b k b ＝ 2k ＝ 2把 k ＝ 2 代入①式，得到 2 ＋ b ＝ 3，b ＝ 1所以，这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1 。

除了已知两个点的坐标这种情况，有时候我们还会遇到已知函数图像与坐标轴的交点来确定表达式。

比如，已知一次函数图像与 x 轴交于点(a, 0)，与 y 轴交于点(0, b)。

那么，把这两个点代入表达式 y ＝ kx ＋ b 中，可得：0 ＝ ka ＋ b ③b ＝ 0 × k ＋ b ，即 b ＝ b ④由③式可得 b ＝ ka，将其代入④式，就可以求出 k 的值，进而求出b 的值，确定函数表达式。

另外，如果给定的条件是关于函数的斜率和一个点的坐标，那确定表达式就更简单了。