2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(五)文科数学

2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（五）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U = ( ).A.}{1x x <B.}{11x x -≤< C .{}2x x ≤ D .{}21x x -≤< 2．纯虚数z 满足()i zz 421-=⋅+，则z 的共轭复数为（ ）A. 2i -B. 2iC. 4i -D. 4i3．各项均为正数的等比数列{}n a 中，1a ={}n a 的前n 项和为3,2n S S =+.则7a =（ ）A ．B ．C ．8D ．144．在ABC ∆中，2CM MB =u u u u r u u u r ，0AN CN +=u u u r u u u r u r，则（ ）A. 2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB. 2736MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC. 1263MN AC AB -=u u u u r u u u r u u u r D. 7263MN AC AB-=u u u u r u u u r u u u r5．把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]1,4 上任取x ，则[]2x x ⎡⎤=⎣⎦的概率为（ ）A ．14B.13C.12D.236．函数11lg-=x y 的大致图象为( )7．设向量()()1,1,3,3-==b a ρρ，若()()b a b a ρρρρλλ-⊥+，则实数=λ（ ）A ．3B ．1C ．1±D ．3±8．已知实数a ，b 满足11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A.11a b> B. 22log log a b > C. a b < D.sin sin a b >9．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 89-B.89C.79D. 79-10．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作垂直于x 轴的弦MN ，交双曲线于M 、N 两点，若1MF N ∠=2π，则双曲线的离心率e =（ ）A ．2B ．3C ．5 D ．21+11．世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ） A.1254- B. 358+- C. 514+- D. 458+-12．⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=，，2,21log 2,2)(2x x x x x x f a 的值域为R ，则)22(f 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-45,C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,45D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--21,45 二、填空题（每小题5分，共20分）13．将函数()()0,0(),2f x Asin wx A w πϕϕ+>><=的图象向右平移12π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()2sin g x x =的图象，则A w ϕ++= ．14．已知数列{}n a ，若数列{}n n a 13-的前n 项和51651-⨯=n n T ，则5a 的值为 . 15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有 种．16．在三棱锥A BCD -中，,,4,AB AC DB DC AB DB AB BD ==+=⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，841,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均2，D 为棱1BB （不包括端点）上一动点，E 是AB 的中点． （Ⅰ）若1AD A C ⊥，求BD 的长；（Ⅱ）当D 在棱1BB （不包括端点）上运动时，求平面1ADC 与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围．19．（本小题满分12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（1）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为23． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足2OM ON ⋅=u u u u v u u u v（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln f x a x x =-+，a ∈R ． （1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 有两个零点，求实数m 的取值范围． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为A （异于极点），l 与曲线M的交点为B ，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()()120f x x a x a a=+-->. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≤-；（2）若不等式()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.高三理科数学参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分）二、填空题（共4小题，每小题5分）13、46π+14、16 15、16，29 16、82π三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由841,,a a a 成等比数列可得，8124a a a ⋅=，即()()d a a d a 731121+=+，d a a d d a a 1212121796+=++∴，0≠d Θ，d a 91=∴． -------------------------3分 （1）由数列{}na 的前10项和为45，得454510110=+=d a S，即454590=+d d ，故3,311==a d ，--------------------------------5分 故数列{}na 的通项公式为38+=n a n ；----------------------------------6分（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++==+9181998911n n n n a a b n n n -------------------8分⎪⎭⎫⎝⎛+-+++-+-+-=9181121111111101101919n n T n Λ ---------10分 999191919+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n n n ---------------------------------12分 18.证明：（Ⅰ），由AC=BC ，AE=BE ，知CE ⊥AB ， 又平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，所以CE ⊥平面ABB 1A 1而AD ⊂平面ABB 1A 1，∴AD ⊥CE ，又AD ⊥A 1C 所以AD ⊥平面A 1CE ，所以AD ⊥A 1E ．易知此时D 为BB 1的中点，故BD=1． --------------------------------5分（Ⅱ）以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，过E 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设 BD=t ，则A （-1，0，0），D （1，0，t ），C 1（0，3，2），AD u u u v =（2，0，t ），1AC u u u u v =（1，3，2），设平面ADC 1的法向量n v=（x ，y ，z ）， 则1·20·320n AD x tz n AC x y z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩u u u v v u u u u vv ，取x=1，得21,,33n t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭v ， 平面ABC 的法向量m v=（0，0，1），--------------------------------9分设平面ADC 1与平面ABC 的夹角为θ，∴cos θ=··m nm nv vv v =222414133tt t⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=2327t t -+=()2316t -+由于t ∈（02）,故cos θ∈（21，2]． 即平面ADC 1与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围为（217，22]．----------12分19.（1）由题意知，100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=，解得0.0035a =， 样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．--------------------------------4分（2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人． 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，()337310k kC C P X k C -==（0,1,2,3k =）， 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．----------------------------8分（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．--------------------12分20.【解析】（1）由题意得：2222232 b a c a b c ===+⎧⎪⎨⎪⎩，···········2分解得23a b ⎧==⎪⎨⎪⎩，∴椭圆C 的标准方程是22143x y +=···········4分（2）当直线l 的斜率不存在时，(3M ，(0,3N -3OM ON ⋅=-u u u u v u u u v，不符合题意···········5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y由221 432x y y kx +==+⎧⎪⎨⎪⎩消y 整理得：()22341640k x kx +++=， ()()221616340k k ∆=-+>，解得12k <-或12k >，···········6分 1221634k x x k +=-+，122434x x k=+，···········7分 ∴1212OM ON x x y y ⋅=+=u u u u v u u u v()()21212124k x x k x x ++++()222222413216124343434k k k k k k +-=-+=+++，···········9分 ∵2OM ON ⋅=u u u u v u u u v ，∴221612234k k -=+，···········10分解得2k =±，满足0∆>，···········11分···········12分21.【答案】（1）切线方程为1y x =-；（2）实数m【解析】（1）当2a =时，()()221ln f x x x =-+224ln 2x x x =-++． 当1x =时，()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ，···········1分，因此()11k f '==．···········2分因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-．···········4分 （2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+，···········6分 ，所以当()0g x '=时，1x =，···········7分时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<；故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-．···········8分，()2e 2e g m =+-，()g x 上的最小值为()e g ，······10分故()g x 在区间上有两个零点的条件是所以实数m ···········12分22.【详解】解：（1）由题意知曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=， 即224x y y +=， 所以24sin ρρθ=，即4sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sinρθ=.-----------------------------5分（2）因为曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭， 所以ρ=将θβ=代入，得OB =因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=所以OA OB ⋅===则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x =--------------------------------10分 23.【详解】（1）Q ()()120f x x a x a a=+--> 当1a =，()1f x ≤-- 11 - 可得|2||1|1x x +--≤-若2x -≤则2(1)1x x ----≤-，即31-≤-，显然成立若21x -<<，2(1)1,x x +--≤-可得22x ≤-，故1x ≤-若1x ≥，2(1)1,x x +--≤-可得31≤-，显然不成立.综上所述，(,1]x ∈-∞-（2）Q ()3f x ≤ ∴111||2||||22x a x x a x a a a a +--≤+-+=+ 1112|2|2a x a x a a a a∴--≤+--≤+ 要保证不等式()3f x ≤恒成立，只需保证123a a +≤， 解得112a ≤≤ 综上所述，1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

2020届河北省衡水金卷新高考冲刺模拟考试（五)数学（文）试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

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6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

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8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：1.已知集合{}0A x x =>，{}21B x x =-<<，则A B =U （ ）A. ()2,0-B. ()0,1C. ()2,-+∞D. ()1,+∞ 【答案】C【解析】【分析】根据并集的定义计算可得. 【详解】解：{}0A x x =>Q ，{}21B x x =-<< {}()|22,A B x x ∴⋃=>-=-+∞故选：C【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.()23z i i +=-，则z =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】 根据复数代数形式的除法运算计算出z ，再根据复数模的公式计算可得.【详解】解：()23z i i +=-Q()()()()232363212225i i i i i i z i i i i -----+∴====-++- ()22112z ∴=+-=故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的运算，以及复数的模，属于基础题.3.中华文化博大精深，源远流长，每年都有大批外国游客入境观光旅游或者学习等，下面是2014年至2018年三个不同年龄段外国入境游客数量的柱状图：下面说法错误的是：（ ）A. 2014年至2018年外国入境游客中，2544-岁年龄段人数明显较多B. 2015年以来，三个年龄段的外国入境游客数量都在逐年增加C. 2015年以来，2544-岁外国入境游客增加数量大于4564-岁外国入境游客增加数量D. 2017年，2544-岁外国入境游客增长率大于1524-岁外国入境游客增长率【答案】D【解析】【分析】根据柱状图一一判断可得.【详解】解：根据柱状图可知，2544-岁年龄段人数明显多于其它年龄段的人数，故A 正确；三个年龄段的外国入境游客数量都在逐年增加，其中2544-岁每年都将近增加了450万人次，增加最多，故B 、C 正确；从柱状图可看出，2017年，2544-岁外国入境游客增长率小于1524-岁外国入境游客增长率，故D 错误；故选：D【点睛】本题考查统计图表的应用，学会分析图表，属于基础题.4.已知椭圆22:143x y C +=的右焦点、右顶点、上顶点分别为,,F A B ，则FAB S =△（ ）A. 12 B. 2 C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程求出点的坐标，即可求出三角形的面积. 【详解】解：22143x y +=Q2a ∴=，b =1c =()1,0F ∴，()2,0A ，(B11122FAB S FA OB ∴==⨯=△ 故选：B【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.5.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2-，则cos2=α（ ）A. 35- B. 35 C. 45- D. 45【答案】A【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式求解.【详解】解：因为角α的终边经过点()1,2-，所以sin 5α-==223cos 212sin 1255αα⎛⎫-∴=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题.6.设,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩则2z x y =-的最小值为（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】解：由约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立133x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得()2,3A．2z x y ∴=-的最小值为2231⨯-=．故选：C ．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题．7.已知ln a π=，3log 2b =，20.3c = ）A. a b c >>B. a c b >>C. c b a >>D. b c a>>【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的性质比较大小.【详解】解：ln ln 1a e π=>=Q ，3331log 3log 2log 312=<=，即112b <<，2210.090.30.30.30.3=<<=，即00.3c <<所以a b c >>故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题.8.已知1a =r ，2b =r ，0a b ⋅=r r ，若23c a b =r r ，则a r 与c r 的夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π【答案】B【解析】【分析】首先求出向量c r 的模，再求出a c ⋅r r ，最后根据夹角公式计算可得.【详解】解：23c a b =-r r r Q ()222222234343413243016c a b a b a b ∴=-=+-⋅=⨯+⨯-⨯=r r r r r r r 4c ∴=r()223232a c a a b a a b ∴⋅=⋅-=-⋅=r r r r r r r r 设a r 与c r 的夹角为θ 所以21cos 142a c a c θ⋅===⨯⋅r r r r ，[]0,θπ∈Q 3πθ∴=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的计算，向量的夹角的运算，属于基础题.9.函数sin ln y x x =⋅的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，即可排除A 、C ，又根据当0x →时，函数值趋近于零，即可得出答案.【详解】解：()sin ln y f x x x ==⋅Q 定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()()sin ln sin ln f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A 、C ， 又0x →时， sin 0x →，ln x →-∞，()sin ln 0y f x x x ∴==⋅→即可排除B ，故选：D【点睛】本题考查函数图象的识别，判断函数的图象可以通过定义域、值域、单调性、奇偶性以及特殊值进行排除．一般不需要直接列表描点作图，属于基础题．10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，2PF 交另一条渐近线于Q ，且Q 为2PF 的中点，则C 的离心率为（ ）C. 2【答案】A【解析】【分析】 设一渐近线方程为b y x a=，则1F P 的方程为0()a y x c b -=-+，代入渐近线方程求得P 的坐标，由中点公式求得中点Q 的坐标，再把点Q 的坐标代入渐近线方程求得离心率． 【详解】解：由题意可知，一渐近线方程为b y x a =，则1F P 的方程为0()a y x c b -=-+，代入渐近线方程b y x a=可得 P 的坐标为2,a ab c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故2PF 的中点2,22a c ab c Q c ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，根据中点Q 在双曲线的渐近线b y x a =-上， ∴222a c b ab c a c --⋅=-，∴222c a =，故c a =故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出2F P 的中点Q 的坐标是解题的关键，属于基础题．11.在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，过AB 中点E 的直线l 与直线11A D ，直线1BC 分别交于点,M N ，则MN 的长为（ ）A. 5B. C. 6D. 【答案】C【解析】【分析】先判断l 与11A D 的交点N 与1D 重合，延长1D E ，与1C B 的延长线交于M ，结合E 是AB 的中点，可确定M 位置，进而可得结果． 【详解】因为直线l 过E 与11A D 相交，所以l ⊂平面11A D E ，因为直线l 过E 与1BC 相交，所以l ⊂平面1BC E ，即l ⊂平面11BC D E ，所以l 是两平面的交线，而平面11A D E ⋂平面111BC D E D E =，所以l 与1D E 重合，l 与11A D 的交点N 与1D 重合，延长1D E ，与1C B 的延长线交于M ，因为E 是AB 的中点，所以B 是1C M 的中点，因为正方体的棱长为2122242MC ∴=⨯= ()2214226MN MD ∴==+= 故选：C【点睛】本题考查学生作图能力和计算能力，空间想象能力．解题的关键在于确定直线l 过E 点与异面直线11A D ，1BC 的交点M 、N 两点，属于难．12.关于曲线22:1C x xy y -+=有下述三个结论：①曲线C 关于y 轴对称②曲线C 上任意一点的横坐标不大于1③曲线C 2其中所有正确结论个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】 根据曲线方程，将x 换成x -即可判断①；再将曲线方程看成关于y 的方程，利用根的判别式求出x 的取值范围，即可判断②；再根据基本不等式可判断③；【详解】解：曲线22:1C x xy y -+=将x 换成x -，则()()221x x y y ---+=整理得221x xy y ++=，故曲线22:1C x xy y -+=不关于y 轴对称，故①错误；由221x xy y -+=得2210y xy x -+-=()()22410x x ∴∆=---≥解得33x -≤≤，故②错误；设(),P x y 为曲线上的一点，则P 到原点的距离为：OP =221x xy y -+=Q222212x y x y xy +∴+-=≤（当x y =时取等号） 222x y ∴+≤OP ∴=C故③正确故选：B【点睛】本题考查曲线方程及命题的真假判断与应用，属于中档题.二、填空题：13.曲线x y e =在点()1,e 处的切线方程为__________． 【答案】3122y ex e =- 【解析】【分析】首先求出函数的导数，再求导函数在1x =处的导数值，即切线的斜率，再用点斜式求出切线方程.【详解】解：12x x y e x e ==Q ()1111222212x x x x y x e x e x e x e -'⎛⎫''∴=+=+ ⎪⎝⎭ 111122113|1122x y e e e -='∴=⋅⋅+⋅= 所以切线方程为：()312y e e x -=-即3122y ex e =- 故答案为：3122y ex e =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求在一点处的切线方程，属于基础题.14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知30a =，848S =，则公差d =__________．【答案】4【解析】【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据所给条件列出方程组，解得.【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，30a =Q ，848S =()11208818482a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩解得184a d =-⎧⎨=⎩ 故答案为：4【点睛】本题考查等差数列通项公式，求和公式的应用，属于基础题.15.设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有零点，无极值点，则ω的取值范围是_______． 【答案】1145,,6333⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦U 【解析】【分析】依题意首先求出ω的大致范围，再根据在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，无极值点， 得到不等式组22662k k k k ππππωπππππωπ⎧-+≤-<⎪⎪⎨⎪<-≤+⎪⎩，()k Z ∈，即可求出ω的取值范围.【详解】解：()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭Q 依题意得22πT π-≤ T π∴≥ 2T πω=Q02ω∴<≤,2πx π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 2666x ππππωωπω∴-<-<-因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，无极值点， 22662k k k k ππππωπππππωπ⎧-+≤-<⎪⎪∴⎨⎪<-≤+⎪⎩，()k Z ∈，解得2122331263k k k k ωω⎧-+≤<+⎪⎪∴⎨⎪+<≤+⎪⎩，()k Z ∈，当0k =时，1163ω<<满足条件， 当1k =时，4533ω≤≤满足条件，当2k ≥时，显然不满足条件， 综上可得1145,,6333ω⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦U故答案为：1145,,6333⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦U 【点睛】本题考查三角函数的性质，综合性强，难度比较大，属于难题.16.《周髀算经》是我国最古老的天文学与数学著作，书中讨论了测量“日高”（太阳高度）的方法.大意为：“在,A B 两处立表（古代测望用的杆子，即“髀”），设表高均为h ，测得表距为d ，两表日影长度差为()0εε>，则可测算出日高”由所学知识知，日高H =__________．（用,h d 表示）【答案】()h d εε+【解析】 【分析】如图，由题意可知AD BC h ==，AB d =，设EF H =，AE x =，1AA y =则1BB y ε=+，由题可知11A AD A EF ∆∆∽且11B BC B EF ∆∆∽，利用三角形相似得到边的比例关系，再化简即可得到.【详解】解：如图，由题意可知AD BC h ==，AB d =， 设EF H =，AE x =，1AA y =则1BB y ε=+ 由题可知11A AD A EF ∆∆∽且11B BC B EF ∆∆∽11A E EF AD A A ∴=，11B EEF BC B B= 即H x y h y +=，H x y d h y εε+++=+ 即()Hy h x y =+①，()()()()H y h x y d h x y h d εεε+=+++=+++②， ②减①得()H h d εε=+()h d H εε+∴=故答案为：()h d εε+【点睛】本题考查解三角形的应用，题目新颖，属于难题.三、解答题：17.某市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为进行曝光.交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了200人，得到如图示的列联表：闯红灯不闯红灯合计年龄不超过45岁 6 74 80年龄超过45岁 2496 120合计 30 170200（1）能否有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关？（2）下图是某路口监控设备抓拍的5个月内市民闯红灯人数的统计图.请建立y 与x 的回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计该路口6月份闯红灯人数.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++1221ˆni ii n i i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-参考数据：521685ii y==∑，511966i i i x y ==∑【答案】（1）有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关（2）ˆ8.9163.7yx =-+,估计该路口6月份闯红灯人数为110（111也可） 【解析】 【分析】（1）由列联表计算出卡方，与所给数据对比即可得出结论.（2）根据所给数据计算出x ，y ，b$，$a ，即可得到回归方程，代入计算可得. 【详解】（1）由列联表计算()2220069674243017080120K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.882 5.024≈>,所以有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关. （2）由题意得，()11234535x =++++=，()11581431341301201375y =++++= 51522155i ii i i x y x ybx x==-∴==-∑∑$1966531378.95559-⨯⨯=--⨯137ay bx ∴=-=$$()8.93163.7--⨯= 8.9163.7yx ∴=-+$当6x =时，8.96163.7110.3y=-⨯+=$ 所以估计该路口6月份闯红灯人数为110（111也可） 【点睛】本题考查独立性检验，回归方程的计算，属于基础题. 18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知12n n S a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求使得22020n n a S >+的n 的取值范围.【答案】（1）12n n a -=（2）7n ≥，n N ∈【解析】 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；（2）由（1）可得2122n n a -=，21nn S =-，从而得到不等式解得.【详解】（1）由题知，12n n S a +=①，当1n =时，11a =当2n ≥时，1112n n S a --+=② ①减②得，12n n a a -=，故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=（2）由（1）知，2122n n a -=，21n n S =-22020n n a S >+即210221202n n --+> 等价于()2224038nn->易得()222nn-随n 的增大而增大而6n =，()2224038nn-<，7n =，()2224038n n ->故7n ≥，n N ∈【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 19.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()sin cos bA B A B a=+-+. （1）求A ； （2）若2b =+，求cos B .【答案】（1）4π（2）4【解析】【分析】（1）由正弦定理将边化角，再利用两角和差的正弦公式化简可得；（2）利用正弦定理将边化角，利用三角恒等变换可得sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而求出角B ，再用两角和的余弦公式计算可得.【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos sin BC C A=+ sin sin sin sin cos B A C A C ∴=+即()sin sin sin sin cos A C A C A C +=+ 整理，得cos sin sin sin A C A C =因为sin 0C ≠，则cos sin A A = 又()0,A π∈Q ，4A π∴=（2）由正弦定理得：2sin B A C =+2sin 4B π∴=+4B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭6sin cos B B ∴-=3sin 42B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 304B π<<Q ，442B πππ∴-<-<，43B ππ∴-= 即43B ππ=+，所以212326cos cos cos cos sin sin 434343222B ππππππ-⎛⎫=+=-=⨯-⨯=⎪⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角恒等变换的化简求值，属于基础题.20.如图，DA ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 为矩形，AB CD ∥，4AB =，2AF AD CD ===，,M N 分别为,DF BC 的中点.（1）证明：MN ∥平面ABEF ； （2）求点F 到平面MBC 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）21111h =【解析】 【分析】（1）取AD 中点O ，连结,OM ON ，依题意可知//OM AF ，//OM AB ，即可得到平面//OMN 平面ABEF ，从而得到线面平行；（2）连结,AM OB ，可证AF ⊥平面ABCD ，从而得到MO OB ⊥，即可求出MBC S △， 设点F 到平面MBC 的距离为h .由题可得，AM ⊥平面CDFE ，13F MBC MBC V S h -=⋅△，13A FMC FMC V S AM -=⋅△，利用等体积法求出线面距.【详解】（1）证明：取AD 中点O ，连结,OM ON .由题知，//OM AF ，//OM AB ，又OM ON O =I ，AF AB A ⋂=,OM ON ⊂平面OMN ，,AB AF ⊂平面ABEF则平面//OMN 平面ABEF ，而MN ⊂平面OMN 所以//MN 平面ABEF （2）连结,AM OB .由题知，AF AB ⊥，AF AD ⊥且,AB AD ⊂平面ABCD ，AB AD A ⋂= 所以AF ⊥平面ABCD ，OB ⊂Q 平面ABCD则AF OB ⊥故MO OB ⊥，可得22211432MB =++=在MBC ∆中，32MB =6MC =，22BC =可得11MBC S =△设点F 到平面MBC 的距离为h . 由题可得，AM ⊥平面CDFE13F MBC MBC V S h -=⋅△，13A FMC FMC V S AM -=⋅△而F MBC B FMC A FMC V V V ---==，可得21111h =【点睛】本题考查线面平行，面面平行的证明，等体积法的应用，点面距的计算，属于中档题. 21.设抛物线2:4C x y =的焦点为F ，P 为直线:2l y =-上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为,M N .（1）若P 的坐标为()0,2-，求MN ； （2）证明：2PFMF NF =⋅.【答案】（1）MN =2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，设切点坐标为2001,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率02xk =，因为P 为直线:2l y =-上的动点，从而求出0x =±MN（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，(),2P t -则切线PM 方程为：()21111142y x x x x -=- 又直线PM 过点P ，则有21111224x t x -=-，即211112042x tx --=，即可得到12,x x 是方程2112042x tx --=的两个根，列出韦达定理，根据()()1211MF NF y y ⋅=+⋅+化简即可得证. 【详解】（1）24x y =Q 即24x y =2x y '∴=设切点坐标为2001,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率02xk =，切线方程为()2000142x y x x x -=-又因为切线过点P ，则20124x -=-，0x =±所以MN =（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，(),2P t -则切线PM 方程为：()21111142y x x x x -=- 又直线PM 过点P ，则有21111224x t x -=-，即211112042x tx --=同理有222112042x tx --= 于是12,x x 是方程2112042x tx --=的两个根，则122x x t +=，128x x =-229PF t ∴=+()()1211MF NF y y ⋅=+⋅+=()()22121211164x x x x ++2121192x x t -+=+ 2PF MF NF ∴=⋅【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，导数的应用，属于中档题. 22.已知函数()()1xf x x a e =+-.（1）证明：()f x 存在唯一零点；（2）若0x ≥时，()2f x ax ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明解析（2）[)1,+∞ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由()0f x '=，得1x a =--，当1x a <--时，()0f x <，又()1110a f a e ----=--<，且当1x a >--时， ()f x 单调递增，只需说明函数在1x a >--部分存在大于零的函数值，即可说明函数存在唯一零点.（2）设()()2g x f x ax =-=()21xxa e x xe -+-，再设()()20xh x e x x =-≥，利用导数求出()h x 的最小值，可知最小值大于零，由()00g ≥，可得1a ≥，再验证1a ≥时()0g x ≥恒成立即可. 【详解】（1）()()1xf x x a e '=++，由()0f x '=，得1x a =-- 当1x a <--时，()0f x <当1x a >--时，()0f x '>，()f x 单调递增()1110a f a e ----=--<Q取b 满足0b >且1b a >-+，则()()1b f b b a e =+-10b e >->故()f x 存在唯一零点（2）设()()2g x f x ax =-=()21x x a e x xe -+-设()()20x h x e x x =-≥，则()2x h x e '=-，令()20x h x e '=-=则ln 2x =且当ln 2x >时，()0h x '>，即()h x 在()ln 2,+∞上单调递增，当0ln 2x ≤<时，()0h x '<，即()h x 在[)0,ln 2上单调递减，易得()()min ln 2h x h ≥=()21ln 20->由题知，()00g ≥，可得1a ≥当1a ≥时，()()21x x g x e x xe ≥-+-()121121x x x e x +⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭设()()11021x x x e x x ϕ+=-≥+，()()2223021x x xx e x ϕ+'=≥+（仅当0x =取等号）则()x ϕ在[)0,+∞递增，所以()()00x ϕϕ≥=，可得()()()210g x x x ϕ≥+≥因此a 的范围是[)1,+∞【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用导数证明不等式恒成立，属于难题.。

2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试（十五）高三数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.设32z i =--，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】求得z ，由此求得复数z 对应的点所在象限.【详解】由于32z i =--，所以32z i =-+，对应点为()3,2-，在第二象限. 故选：B【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数对应点坐标所在象限判断，属于基础题.2.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》的学生有70位，只阅读过《红楼梦》的学生有20位，则既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求得既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数，由此求得既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数与该校学生总数比值的估计值.【详解】由于阅读过《西游记》的学生有70位，所以没有阅读过《西游记》的学生有30位，这30位学生中，有20位只阅读过《红楼梦》，故既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数为10位，所以既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为100.1100=. 故选：A【点睛】本小题主要考查用样本估计总体，属于基础题.3.在等差数列{}n a 中，已知35715a a a ++=，则该数列前9项和9S =（ ） A. 18 B. 27C. 36D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得5a ，再根据等差数列前n 项和公式求得9S . 【详解】在等差数列{}n a 中，35755315,5a a a a a ++===，所以195952999954522a a aS a +=⨯=⨯==⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是（ ）A. 各月的平均最高气温都在5℃以上B. 六月的平均温差比九月的平均温差大 C. 七月和八月的平均最低气温基本相同D. 平均最低气温高于15℃的月份有5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可． 【详解】解：A ．由雷达图知各月的平均最高气温都在5℃以上，正确；B ．六月的平均温差大约在10℃左右，九月的平均温差明显低于10℃，故六月的平均温差比九月的平均温差大，正确；C ．由图可知，七月和八月的平均最高气温基本相同，正确；D ．由图可知，没有月份的平均最低气温高于15℃，故D 错误， 故选：D ．【点睛】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5.直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，3D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为（ ） A. 3 B.32C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】先计算出直三棱柱111ABC A B C -的体积，然后计算出除三棱锥11A B DC -外的三个三棱锥的体积，由此求得三棱锥11A B DC -的体积.【详解】依题意直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，故体积为213233ABC V S BB ∆=⋅=⨯⨯=.11111B ABD C ACD A A B C V V V ---++ 111111112323233ABC ABC ABC S BB S BB S BB V ∆∆∆=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以11113133A B DC V V -==⨯=. 故选：C【点睛】本小题主要考查主要考查锥体、柱体体积的计算，考查空间想象能力，属于基础题. 6.已知曲线1:sin C y x =，2:cos 223C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移6π个单位长度，得到曲线2C ；B. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C ；C. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移6π个单位长度，得到曲线2C ；D. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C ； 【答案】D 【解析】 【分析】先将1C 转化为cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项. 【详解】对于曲线1C ，sin cos 2y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，要得到2:cos 223C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到2cos 2cos 21223x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即得到曲线2C . 故选：D【点睛】本小题主要考查诱导公式、三角函数图像变换，属于基础题.7.设椭圆C 的两个焦点分别为1F ，2F ，若C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则椭圆C 的离心率等于（ ） A.12B.23C. 2D.32【答案】A 【解析】 【分析】结合椭圆的定义和离心率的求法，求得椭圆C 的离心率. 【详解】根据椭圆的定义以及离心率公式得12122312422F F c c e a a PF PF =====++. 故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率的求法，属于基础题. 8.设函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A. ()f x 的一个周期为4π-B. ( )y f x =的图象关于直线76x π=对称 C. () f x +π的一个零点为6x π=D. ()f x 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减【答案】C 【解析】 【分析】结合()f x 的周期、对称轴、和单调区间，以及()f x π+的零点，判断出结论错误的选项. 【详解】()f x 的周期是2k π，所以()f x 的一个周期为4π-，A 选项正确. 由32x k πππ+=+得6x k ππ=+（k Z ∈），当1k =时，76x π=是()f x 的对称轴，B 选项正确. ()sin 3f x x πππ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，当6x π=时，3sin sin 10632ππππ⎛⎫++==-≠ ⎪⎝⎭，所以C 选项错误.由322232k x k πππππ+≤+≤+得72266k x k ππππ+≤≤+，（k Z ∈），当0k =时，()f x 的一个减区间为7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，D 选项正确. 故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数周期、对称轴、零点和单调区间，属于中档题. 9.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为158，且51382a a a =-，则3a =（ ） A. 116B. 18C. 14D. 12【答案】C 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式列方程组，解方程组求得1,a q ，由此求得3a 的值. 【详解】由于各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为158，且51382a a a =-，所以23111142111115880,0a a q a q a q a q a a q q a ⎧+++=⎪⎪=-⎨⎪>>⎪⎩，解得1112a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以23114a a q ==.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题.10.抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在双曲线C ：22142x y -=的一条渐近线上，O 为坐标原点，若OF PF =，则PFO △的面积为（ ）A.B.3C.2D.【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，求出双曲线的渐近线方程，利用三角函数求出PFO △的边长，然后求其面积即可．【详解】解：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，1OF =，双曲线C ：22142x y -=的渐近线方程为：y x =，不妨P 在第一象限，可得tan POF ∠，所以sin ,cos 33POF POF ∠=∠=， 由OF PF =可知，PFO △为等腰三角形，设点F 到渐近线的距离为d ，则sin 13d d POF OF ∠===，得3d =，1122cos 13OP OPPOF OF ∠===，得OP = 所以PFO ∆的面积为：1122S OP d =⋅==故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及渐近线方程以及抛物线的焦点，还运用到斜率和倾斜角的关系以及同角三角函数关系，是基本知识的考查．二、填空题11.已知长方形ABCD 中2AB =，1AD =，M 为CD 的中点，则AM BD ⋅=u u u u r u u u r__________. 【答案】1- 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的运算，结合向量数量积的运算，求得AM BD ⋅u u u u r u u u r的值. 【详解】AM BD ⋅=u u u u r u u u r()()()12AD DMAD AB AD AB AD AB⎛⎫+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221122AD AD AB AB=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 2212AD AB =-u u u r u u u r 211212=-⨯=-.故答案为：1-【点睛】本小题主要考查向量加法、减法运算，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.12.设α为第二象限角，若tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=__________．【答案】35- 【解析】 【分析】由题意利用两角和的正切公式求得tan α的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得sin 2α的值． 【详解】解：α为第二象限角，若tan()24πα-=，则tan tan421tan tan4παπα-=+⋅ 即tan 121tan αα-=+，得tan 3α=-又因为sin tan 3cos ααα==-，则sin 3cos αα=- 且22sin cos 1αα+=，则22110cos 1cos 10αα=⇒= 所以10cos α=-，310sin α=， 得3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-，故答案为：35-． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦的二倍角公式以及两角和的正切公式的应用，需要对相关公式的识记．13.如图所示，在山脚A 测得山顶P 的仰角为45QAP ∠=o ，沿倾斜角为15QAB ∠=o 的斜坡向上走146.4米到达B ，在B 测得山顶P 的仰角为60CBP ∠=o ，则山高PQ =_______米．（2 1.414=，3 1.732=，结果保留小数点后1位）【答案】282.8 【解析】 【分析】在三角形PAB 中利用正弦定理求得AP ，由此求得PQ . 【详解】依题意451530PAB PAQ BAQ ︒︒︒∠=∠-∠=-=，()45906015APB QPA CPA ︒︒︒︒∠=∠-∠=--=， 180()135ABP PAB APB ︒︒∠=-∠+∠=.三角形PAB 中，由正弦定理得sin sin AP ABABP APB=∠∠，即()2146.4sin 146.4sin1352sin sin 45cos30cos 45sin 303131sin 4530AB ABP AP APB ︒︒︒︒︒︒︒⨯∠⨯=====∠----所以2sin 282.8231PQ AP PAQ =⋅∠=⨯=-（米） 故答案为：282.8【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查解三角形在实际生活中的应用，属于基础题. 14.如图所示的茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为__________．【答案】2 【解析】 【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x 的值，再根据方差的定义得出甲的方差较小，求出甲的方差即可. 【详解】根据茎叶图中的数据，由于甲、乙二人的平均成绩相同， 即()()118789909193888990919055x ⨯++++=+++++， 解得x =2，所以平均数为90x =；根据茎叶图中的数据知甲的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），()()()()()22222218890899090909190929025s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦.故答案为：2【点睛】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，是基础题目．15.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a a S =-，则2020a =_____．20202019 【解析】 【分析】首先根据递推关系求得n S 的表达式，由此求得n a 的表达式，从而求得2020a 的值.【详解】由221n n n a a S =-，令1n =得11a =.当2n ≥时，由221n n n a a S =-得()()21121n n n n n S S S S S ---=--，整理得2211(2)n n S S n --=…，所以222222213211,1,,1n n S S S S S S --=-=⋯-=，累加得2n S n=，所以n S ，所以12)n n n a S S n -=-…，所以2020a =【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，属于基础题.三、解答题16.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过单位圆上一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求()sin απ+的值； （2）若角β满足13()5cos αβ+=，求cos β的值． 【答案】（1）45-（2）3365或6365- 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求得sin ,cos αα的值，利用诱导公式求得()sin απ+的值. （2）先求得()sin αβ+的值，由此求得cos β的值. 【详解】（1）根据三角函数的定义可知43sin ,cos 55αα==-，所以()4sin sin 5απα+=-=-.（2）由于13()5cos αβ+=，所以()12sin 13αβ+=±.当12sin()13αβ+=时，cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++ 531243313513565⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭. 当12sin()13αβ+=-时，cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++531246313513565⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 17.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知35a =，416S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列1(21)n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）221n T n =+ 【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列1(21)n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【详解】（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意得1125342a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1a 1,d 2==，所以21n a n =-. （2）令11111(21)(21)(21)22121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪++--+⎝⎭.所以123n n T b b b b =+++⋯+1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查裂项求和法，属于基础题. 18.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin 2a A C b A +=． （1）求A ；（2）若ABC Va 的最小值． 【答案】（1）3A π=（2）2【解析】 【分析】（1）运用正弦定理和两角和的正弦公式以及二倍角正弦公式，化简整理得出1cos 2A =，即可得到角A ；（2）运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，可得a 的最小值． 【详解】（1）因为()sin sin 2a A C b A +=，则sin sin 2a B b A =，由正弦定理sin sin a b A B=，可知sin sin a B b A =， 所以sin 2sin b A b A =，即2sin cos sin b A A b A =， 得2cos 1A =，所以1cos 2A =，且0A π<<， 所以3A π=.（2）因为3A π=，ABC V所以1sin 2S bc A ==4bc =， 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-化简得：2224a b c =+-，又因为2228b c bc +≥=， 则2244b c +-≥，即24a ≥，得2a ≥， 当且仅当b c =时，取等号， 所以a 的最小值为2.【点睛】本题考查运用正弦定理、两角和的正弦公式、二倍角正弦公式解三角形，以及余弦定理和面积公式，结合基本不等式求最值.19.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ-=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】（1）22113y C x :+=，260C x y :-+=（2）13(,)22P -【解析】 【分析】（1）将1C 参数方程中的参数消去，求得1C 的普通方程；利用两角差的正弦公式、极坐标化为直角坐标的公式将2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程.（2）利用点到直线的距离公式以及正弦函数最值的求法，求得PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【详解】（1）由cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得cos sin x θθ=⎧⎪=，两边平方并相加得2213y x +=.由sin()4ρθπ-=得cos sin 60ρθρθ-+=，即60x y -+=.（2）设()cos P θθ，则d ==sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，d=PQ的最小值为2,623πππθθ-==，所以1sin ,cos 22θθ==-，所以13(,)22P -.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查点到直线的距离公式，考查曲线参数的运用，属于中档题.20.某市食品药品监督管理局开展2020年春季快递餐饮安全检查，对本市的8个快递配餐点进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如表所示：（1）已知x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.1）（2）现从8个被检查点中任意抽取两个组成一组，若两个点的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“快递标兵配餐点”，求该组被评为“快递标兵配餐点”的概率．参考公式：121ni ii nii x y nx ybx==-=∑∑$，a y bx =-$$；参考数据：8154112i i i x y ==∑，82156168i i x ==∑．【答案】（1）ˆ0.356.1=+yx （2）514【解析】 【分析】（1）由题意计算x 、y ，求出回归系数，写出线性回归方程；（2）用列举法写出基本事件数，即可计算所求的概率值． 【详解】解：（1）由题意，计算平均数得：()182757066839395100838x =⨯+++++++=，1(8179777582838487)818y =⨯+++++++=，则122215411288381ˆ0.356168883ni ii nii x ynx ybxnx ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑g ，ˆˆ810.38356.1ay bx =-=-⨯=； 故所求的线性回归方程为：ˆ0.356.1=+yx ； （2）从8个中学食堂中任选两个，共有共28种结果： 12，13，14，15，16，17，18，23，24，25，26，27，28， 34，35，36，37，38，45，46，47，48，56，57，58，67，68，78； 其中原料采购加工标准的评分和卫生标准的评分均超过80分的有10种结果： 15，16，17，18，56，57，58，67，68，78； 所以该组被评为“快递标兵配餐点”的概率为1052814P ==． 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解，以及利用列举法求古典概型的概率问题，同时考查对题目的理解和分析．。

2020届河北省衡水金卷新高考冲刺模拟考试（十)数学试题（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =I ð( )A. {3,1}--B. {3,1,3}--C. {1,3}D. {}1,1- 【答案】B【解析】【分析】根据集合补集与交集定义求结果.【详解】U A =ð {|02}x x x 或≤≥， 所以()U A B ⋂=ð {}3,1,3--故选B【点睛】本题考查集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基本题.2.已知i 为虚数单位,若11a bi i=+-,（a ,b ∈R ）,则a +b =（ ）A. 1B. 2C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a 与b 的值，则答案可求．【详解】解：由()()111111122i i a bi i i i +==+=+--+， 得a ＝b 12=， ∴a +b ＝1．故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.向量,a b 满足1,2,()(2),a b a b a b ==+⊥-则向量a 与b 的夹角为（ ）A. 45︒B. 60︒C. 90︒D. 120︒【答案】C【解析】 试题分析：由已知可得22()(2)20a b a b a a b b a b a b +-=+⋅-=⋅=⇒⊥⇒r r r r r r r r r r r r 夹角为90︒，故选C ．考点：向量的基本运算．4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A. 12B. 15C. 20D. 21【答案】A【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可. 详解：因为分层抽样的抽取比例为21130000.7100=⨯， 所以初中生中抽取的男生人数是20000.612100⨯=人.本题选择A 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) nN =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．5.函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案.【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项，而()ln ln f x x x x x -=--=-，所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项，故选C 项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.6.给定空间中的直线l 及平面a ，条件“直线l 与平面a 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面a 垂直”的（ ）条件A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分又非必要 【答案】C【解析】【详解】直线与平面a 内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面a 垂直，即充分性不成立.直线l 与平面a 垂直，则直线l 与平面a 内任意直线都垂直，所以直线l 与平面a 内无数条直线都垂直，必要性成立，选C.【此处有视频，请去附件查看】7.已知函数2()(1)23f x m x mx =--+是偶函数，则在(,0)-∞上此函数A. 是增函数B. 不是单调函数C. 是减函数D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】先由函数为偶函数求得0m =，进而由抛物线的性质可得解.【详解】因为函数2()(1)23f x m x mx =--+是偶函数，所以函数图像关于y 轴对称， 即01m m =-，解得0m =. 所以2()3f x x =-+为开口向下的抛物线，所以在(,0)-∞上函数单调递增.故选A.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质及二次函数的单调性，属于基础题.8.设函数()=sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ+>>≤与直线3y =的交点的横坐标构成以π 为公差的等差数列，且6x π=是()f x 图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是 A. [,0]3π- B. 45[,]36ππ-- C. 27[,]36ππ D. 5[,]63ππ-- 【答案】D【解析】因为函数()()=sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ+>>≤与直线3y =的交点的横坐标构成以π 为公差的等差数列，所以函数()f x 的周期为2ππω=，求得2ω=，且3A =，再由2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求得6k πϕπ=+结合2πϕ<，可得(),3266f x sin x ππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，求得36k x k ππππ-≤≤+，故函数的增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，令0,1,1k =- 可得,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ， 45,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ ， 27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增区间，可排除选项,,A B C ，故选D. 9.的双曲线22221x y a-=的右焦点为F ,直线l 过点F 且垂直于x 轴,若l 被抛物线22y px =截得的线段长为4,则p =（ ）A. 1B. 2C. 12D.【答案】B【解析】【分析】先求出双曲线的焦点坐标，推出直线方程，代入抛物线中，求出y ，根据l 被抛物线y 2＝2px 截得的线段长为4，即可求出p ，问题得以解决． 【详解】的双曲线2222x y a -=1，可得e c a === 解得a 2=，c ==1， 双曲线2222x y a-=1的右焦点为F （1，0），∵直线l过点（1，0）且垂直于x轴，∴x＝1，代入到y2＝2px，可得y2＝2p，显然p＞0，∴y，∵l被抛物线y2＝2px截得的线段长为4，=2，解得p＝2，故选：B．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系，属于基础题．10.一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌:黑桃:3,5,Q,K 红心:7,8,Q 梅花:3,8,J,Q 方块:2,7,9老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母）,只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:甲同学说:我不知道这是张什么牌,乙同学说:我知道这是张什么牌.甲同学说:现我们知道了.则这张牌是（）A. 梅花3B. 方块7C. 红心7D. 黑桃Q【答案】B【解析】【分析】根据老师告诉甲牌的点数，告诉乙的是花色，结合甲乙对话进行推理判断即可．【详解】解：甲不知道，说明通过数字不能判断出来，因此排除有单一数字的牌：黑桃5,K,梅花J，方块2,9．而乙知道牌的颜色,如果是方片的话,即可断定是方片7,故选:B【点睛】本题主要考查合情推理的应用，结合甲乙了解的情况进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理分析能力．11.曲线2lny xx=-在1x=处的切线的倾斜角为α，则cos(2)2πα+的值为（）A. 45B.45- C.35D.35-【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，求出切线斜率tan 3α=，再根据同角三角函数的基本关系可求出sin α，cos α，从而根据二倍角公式和诱导公式求得结果. 【详解】根据已知条件，212()f x x x '=+，因为曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，所以tan (1)123f α'==+=，02πα<<.因为22sin cos 1a α+=，sin tan 3cos ααα==，则解得sin α=cosα=，故3cos(2)sin 22sin cos 25παααα+=-=-=-. 故本题正确答案为D.【点睛】本题主要考查导数的概念及其几何意义，考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，熟记公式和概念是关键，属基础题.12.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. 1-B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出点A 关于直线3x y +=的对称点A '，点A '到圆心的距离减去半径即为最短.【详解】解：设点A 关于直线3x y +=的对称点(,)A a b '， AA '的中点为2(,)22a b +，AA b k a 2'=-故•(1)122322b a a b ⎧-=-⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得31a b =⎧⎨=⎩， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点A '到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为22311101+-=-，故选A.【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x ,y 满足约束条件32969x y x y +⎧⎨-⎩≤≤≤≤,则z =x +2y 的最大值为_______ 【答案】3【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：画出约束条件表示的可行域，将目标函数z ＝x +2y 平移，当目标函数经过x ﹣y ＝6和2x +y ＝9的交点（5，﹣1）时，z 有最大值，即：3，故答案为：3．【点睛】本题考查简单线性规划的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.已知函数|log |a y x =（a >0,a ≠1）与函数y =b （b >0）存在两个不同的交点,两交点的横坐标分别为x 1,x 2（x 1<x 2）,则2x 1+x 2的最小值为_______【答案】【解析】【分析】本题先根据函数y ＝|log a x |特点，可知0＜x 1＜1＜x 2，然后根据题意有log a x 1+log a x 2＝0，化简得x 211x =，则有2x 1+x 2＝2x 111x +，然后用均值不等式可得最小值． 【详解】解：由题意，根据函数y ＝|log a x |特点，可知0＜x 1＜1＜x 2，且log a x 1+log a x 2＝0，即log a x 1x 2＝0，x 1x 2＝1，故x 211x =， ∴2x 1+x 2＝2x 111x +≥=． 当且仅当2x 111x =，即x12=时，等号成立． 故答案为：．【点睛】本题主要考查对数函数的性质应用，均值不等式的应用，本题属中档题．15.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45o ，与观测站A距离B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北(045)θθ<<o o 的C 处，且4cos 5θ=，已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．【答案】485 【解析】 由已知，03sin ,45,5BAC θθ=∠=- 所以，0272cos cos(45=cos 210BAC sin θθθ∠=-+=）（）， 由余弦定理得，22202cos(45BC AB AC AB AC θ=+-⋅⋅-）72=800+100-22021034010⨯⨯⨯=,故285BC =（海里）， 该货船的船速为485海里/小时．考点：三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．16.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC V 是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】【分析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，则2233AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得23OP =，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，由6AB =，得2233AO BO CO CF ====， PAB ∆Q 是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥， 2223OP OF PF =+=，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心， 外接球半径23R OC ==，∴该三棱锥外接球的表面积为()242348ππ⨯=，故答案为48π.【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （一）必考题:共60分17.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，△P AD 为等边三角形，平面P AD 丄平面PCD .(1)证明：平面P AD 丄平面ABCD :(2)若AB =2，Q 为线段的中点，求三棱锥Q -PCD 的体积. 【答案】（1）详见解析（2）33【解析】 分析】（1）取PD 的中点O ，连结AO ，利用面面垂直的性质，证得AO ⊥平面PCD ，再由正方形的性质，证得CD AD ⊥，利用线面垂直的判定定理，得到CD ⊥平面PAD ，进而得到平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）由（1）得A 到平面PCD 的距离3d =，进而求得Q 到平面PCD 的距离32h =，利用体积公式，即可求解．【详解】（1）证明：取PD 的中点O ，连结AO ， 因为PAD ∆为等边三角形，所以AO PD ⊥，又因为AO ⊂平面PAD ，平面PAD I 平面PCD PD =， 平面PAD ⊥平面PCD ，所以AO ⊥平面PCD ， 因为CD ⊂平面PCD ，所以AO CD ⊥， 因为底面ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥， 因为AO AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）由（1）得AO ⊥平面PCD ，所以A 到平面PCD 的距离3d AO ==，因为底面ABCD 为正方形，所以//AB CD ，又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ， 所以,A B 两点到平面PCD 的距离相等，均为d ， 又Q 为线段PB 的中点，所以Q 到平面PCD 的距离32d h ==， 由（1）知，CD ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥， 所以111332233223Q PCD PCD V S h -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，以及棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及利用体积公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．18.在公差不为零的等差数列{a n }中,已知a 2=3,且a 1,a 3,a 9成等比数列. （1）求数列{a n }的通项公式; （2）设数列{a n }的前n 项和S n ,记392n nb S =,求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）1n a n =+（2）1n n T n =+ 【解析】 【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得（1+2d ）2＝1+12d ，求出公差d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式求得S 3n ，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】解：（1）设{}n a 的公差为d ，依题意得()()121113260a d a d a a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪≠⎩解得121a d =⎧⎨=⎩∴()2111n a n n =+-⨯=+ （2）()()33319132122n n n n n S n -+=⨯+⨯=3992111229(1)(1)1n n b S n n n n n n ==⨯==-+++ 121111111122311n n T b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111n n n -=++， 故1n nT n =+ 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，用裂项相消法进行求和，属于中档题．19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额． （1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有（2）710p = 【解析】 【分析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出2K ，与临界值表中的数据对照后可得结论．（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求． 【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表男 45 10 55 女 30 15 45 合计 7525100由列联表中的数据可得因为，所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，所有可能的情况为：（A,m,n ）,（B,m,n ）,（C,m,n ）,（A,B,m ）, （A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ）,（A,B,C ），共10种情况， 其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C ），共1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m ）,（A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ），共6种， 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种， 因此，所求概率为710P =． 【点睛】由于独立性检验有其独特的作用，其原理不难理解和掌握，但解题时需要注意计算的准确性和判断的正确性，对独立性检验的考查多以解答题的形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．20.已知椭圆C :22221x y a b +=（a >b >0）的顶点到直线l 1:y =x 22.（1）求椭圆C 的标准方程（2）设平行于l 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r,求直线l 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）直线l 的方程为210y x =+210y x =【解析】 【分析】（1）根据直线l 1的方程可知其与两坐标轴的夹角均为45a =b =出C 的方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系结合|OA OB +u u u r u u u r |＝|AB u u u r|可得2244455t t OA OB --⋅=+=u u u r u u u r 0，求出t 即可.【详解】解：（1）由直线1l 的方程知，直线1l 与两坐标轴的夹角均为45︒， 故长轴端点到直线1l的距离为2，短轴端点到直线1l的距离为2==a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=（2）依题设直线:(0)l y x t t =+≠由2214y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2258440x tx t ++-= 判别式()226416510t t ∆=-⨯->解得t <<设()()1122A x y B x y ，，， 由韦达定理得：由1221285445t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故()()()221212121245t y y x t x t x x x x t t -=++=+++=， 设原点为O ，OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r，故OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，即221212444055t t x x y y --+=+=解得：t =，满足t <<0t ≠，故所求直线l的方程为y x =+y x =【点睛】本题考查椭圆方程的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，向量和差关系与位置关系的联系等，属于中档题．21.设函数21()(1)2xf x x e x =-+. （1）求f （x ）的单调区间.（2）当x >0时,不等式2()'()x k f x x x -<+恒成立,（其中'()f x 为f （x ）的导函数）.求整数k 的最大值.【答案】（1）函数()f x 在()-∞+∞，单调递减（2）k 的最大值为2 【解析】 【分析】（1）求导后，解不等式即可得解；（2）问题转化为11x x k x e ++-＜，令()11x x g x x e +=+-，则k ＜g （x ）min ，求函数g （x ）的最小值即可． 【详解】解：（1）函数21()(1)2xf x x e x =-+的定义域是R ，()()1x f x x e '=--，当0x >时，e 1x >，()0f x '<； 当0x <时，1x e <，()0f x '<； 当0x =时，()0f x '=.∴函数()f x 在()-∞+∞，上单调递减，即()-∞+∞，为其单调递减区间. （2）∵0x >,故()2()()()e 11xx k f x x x k x x '-<+⇔--<+, 又10x e ->,∴11xx k x e +<+- 令1()1xx g x x e +=+-,则min ()k g x <, 由()()()22e e 2e 1()1e1e1x x x xxx x g x ----'=+=--，令()e 2xh x x =--，则当0x >时，()e 10xh x '=->，()h x 在()0，+∞上单调递增，且(1)0(2)0h h <>，， 故()h x 在()0，+∞上存在唯一零点， 设此零点为0x ，则()0000(1,2)e 20xx h x x ∈=--=，，即002xe x =+， 当()00x x ∈，时，()0g x '<，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>， 于是()()00min 0001()123e 1x x g x g x x x +==+=+∈-，， ∴01k x <+，又k 为整数， ∴k 的最大值为2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，培养学生的逻辑推理能力，运算求解能力，属于中档题．（二）选考题:共10分.考生在第22,23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答时用2B 铅笔在答题卡上把目的题号涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为：22((1)4x y ++=；（Ⅱ）4-【解析】 【分析】（I ）消去参数，即可得到曲线2C的直角坐标方程，结合cos x ρρθ==，即可得到曲线1C 的极坐标方程．（II ）计算直线l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算AB 长，即可．【详解】解法一：（Ⅰ）曲线1C ：222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）可化为直角坐标方程：()2224x y -+=，即2240x y x +-=， 可得24cos 0ρρθ-=，所以曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.曲线2C：2sin ρθθ=-，即2cos 2sin ρθρθ=-， 则2C的直角坐标方程为：(()2214x y -++=. （Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =， 所以l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈. 联立564cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得A ρ=-联立562sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得4B ρ=-，4A B AB ρρ=-=-解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）直线l直角坐标方程为y x =，联立2240y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得(3,A ，联立(()22314y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得()2B -， 所以4AB ==-【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.23.已知a >0,b >0,c >0,函数f （x ）=|a －x |+|x +b |+c . （1）当a =b =c =2时,求不等式f （x ）<10的解集; （2）若函数f （x ）的最小值为1,证明:22213a b c ++≥. 【答案】（1）{}|44x x -<<（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将a ＝b ＝c ＝2代入，分类讨论即可求解； （2）利用基本不等式容易得证．【详解】解：（1）当2a b c ===时，()|2||2|2f x x x =-+++所以2()102210x f x x -⎧<⇔⎨-<⎩„或22610x -<<⎧⎨<⎩或22210x x ⎧⎨+<⎩…所以不等式的解集为{}|44x x -<<（2）因为000a b c >>>，， 所以()|||||||f x a x x b c a x x b c a b c a b c =-+++-+++=++=++…因为()f x 的最小值为1，所以1a b c ++=所以2222()2221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=因为222222222ab a b bc b c ac a c +++≤，≤，≤ 所以()22222212223a b c ab ac bc a b c =+++++++≤所以22213a b c ++….【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．21。

2020届河北省衡水金卷新高考原创冲刺模拟试卷（九）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若集合2{|6},{|11180}M x N x N x x x =∈<=-+<，则MN 等于（ ）A ．{}3,4,5B ．{|26}x x <<C ．{|35}x x ≤≤D ．{2,3,4,5} 2. 在复平面内，若复数(2i)z -对应的点在第二象限，则z 可以为( ) A ．2B ．1-C ．iD ．2+i3.已知m ，n 是两条不同的直线，γβα，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α⊥m ，n m ⊥，则α//n B ．若α////m n m ，，则α//n C ． 若n =⋂βα，α//m ，β//m ，则n m // D ．若γα⊥，γβ⊥，则βα//4. 南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为12,S S ，则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．π28B ．π7C ．π14D ．π276.将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A. ()y f x =是奇函数B. ()y f x =的周期为πC. ()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D. ()y f x =的图象关于02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称7．已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z = -2x+y 的最大值是（ ）A.-1B.-2C.-5D.18. 已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.16 B. 139．若0,0,21m n m n >>+=，则11m m n++的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．7D ．610．在等比数列{}n a 中，153,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a 的值为（ ） A ．4 B．．± D ．4± 11．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos(2)2πα+的值为（ ）A.45B.45-C.35D.35-12．函数)(x f y =是定义在实数集R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时，)()(x f x f x -<'成立，若)41(log )41(log ),3(lg )3(lg ),3(322f c f b f a ===，则c b a ,,大小关系（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量()1,3a =-，()6,b m =，若a b ⊥，则2a b -=________ 14. 已知高与底面半径相等的圆锥的体积为83π，其侧面积与球O 的表面积相等，则球O 的表面积为 .15. 甲、乙、丙三人参加会宁一中招聘老师面试，最终只有一人能够被会宁一中录用，得到面试结果后，甲说： “丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”。

2020届河北省衡水金卷新高考原创精准预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{|1}A x x =<，{|31}xB x =<，则( )A. {}1A B x x ⋃=> B. A B =R C. {|0}AB x x =<D. A B ⋂=∅【答案】C【解析】 【分析】化简集合B ，然后计算A B ⋃和A B ⋂，得到答案.【详解】集合{|31}xB x =<，即{}0B x x =<,而{|1}A x x =<，所以{}1A B x x ⋃=<，{}0A B x x ⋂=< 故选C 项.【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于简单题.2.复数2(1)41i z i -+=+的虚部为( )A. 1-B. 3-C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行化简计算，得到答案.【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3.已知p ：12x +> ，q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≤ B. 3a -≤ C. 1a ≥- D. 1a ≥【答案】D 【解析】 【分析】首先根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集，之后根据原命题和逆否命题等价，求得q 是p 的充分不必要条件，再利用集合的思想，求得参数所满足的条件，得到结果. 【详解】由12x +>，解得1x >或3x <-，因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件， 从而可得(,)a +∞是-∞-+∞(,3)(1,)的真子集，所以1a ≥，故选D.【点睛】该题考查的是有关充分条件的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，原命题与逆否命题等价，用集合的思想解决充分条件，最后求得参数的范围，得到结果.4.等比数列{a n }中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A. ±4 B. 4 C. 14±D.14【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列{a n }的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出． 【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴a 4与a 8的等比中项561248x a ．=±=±⨯=±故选：A ．【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．5. 若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A. log a c ＜log b c B. log c a ＜log c bC. a c＜b cD. c a ＞c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.6.函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A. (,2)-∞- B. (,1)-∞ C. (1,)+∞ D. (4,)+∞【答案】D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选：D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.7.设椭圆22:14x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于,A B 两点，则AF BF +的值是（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】C 【解析】分析：设椭圆的右焦点为2,F 连接22,,AF BF 则四边形2AFBF 是平行四边形，根据椭圆的定义得到AF BF +=2a 得解.详解：设椭圆的右焦点为2,F 连接22,,AF BF因为OA=OB,OF=O 2F ,所以四边形2AFBF 是平行四边形. 所以2BF AF =,所以AF BF +=|AF|+2AF =2a=4, 故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形2AFBF 是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）A. B. C. 6D. 【答案】C 【解析】由题可得立体图形：则4145,4A B C B C ==+=,6,AP BP ===所以最长棱为6点睛：三视图还原为立体图形最好将其放在长方体中考虑，这样计算和检验都会比较方便，首先根据题目大致估计图形形状，然后将其准确的画出求解即可9.设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为( )A.π8B.π4C.12π+ 【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到222x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】画出2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，所以AOB △的面积为4，满足不等式222x y +≤的点，在区域Ω为半径的14圆面，其面积为2π，由几何概型的公式可得其概率为2==48P ππ，故选A 项.【点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.10.已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A. 关于直线12x π=对称B. 关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 周期为2π D. ()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 【答案】D 【解析】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π==+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在在(,0)3π-上是增函数。

2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试（十二）数学试卷（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

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第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()2()ln 4f x x =-- 的定义域是 A. [12-，）B. (2,2)-C. (1,2)-D. (2,1)(1,2)---U【答案】C 【解析】 【分析】根据分母不等于0，及对数函数和根号有意义的条件列得不等式组，进行求解. 【详解】由题意可得21040x x +>⎧⎨->⎩解得12x -<< ，即f x （） 的定义域是(1,2)- . 故选C.【点睛】此题主要考查函数的定义域及其求法，注意二次根号有意义的条件及分母不能为0；2.已知向量a r ，b r 满足()1,5a b -=-r r ，()22,1a b +=-r r 则b =r（ ）A. ()1,2B. ()1,2-C. ()1,2-D. ()1,2--【答案】C 【解析】 【分析】由题意两式作差即可求出b r的坐标。

绝密★启用前2020届河北省衡水金卷新高考预测模拟考试（四)文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

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3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

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第I 卷（选择题)一、单选题 1．函数sin ()xf x x=的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知函数()2sin 3f x x x =-，若对任意[]2,2m ∈-， ()()230f ma f a -+>恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()(),13,-∞-+∞ C ．()3,3-D ．()(),31,-∞-⋃+∞3．下列函数中,最小值为A ．2y x x=+B ．2sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．e 2e x x y -=+ D ．2log 2log 2x y x =+4．已知圆M ：221x y +=与圆N ：()2229x y -+=，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切5．下列命题中,正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若ac bc >，则a b < C ．若,a b c d >>，则a c b d ->-D ．若22a bc c <，则a b < 6．设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时， ()()0f x xf x '+>，且()10f =，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．（－1，0）∪（1，+） B ．（－1，0）∪（0，1）C ．（－，－1）∪（1，+） D ．（－，－1）∪（0，1）7．下列求导运算正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e x x'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-8．直线21y ax a a =+-+的图像不可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．9．在ABC ∆中，D 为AC 边上一点，若3BD =，4CD =，5AD =，7AB =，则BC =（ ）A ．BC ．D10．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，12,F F 是双曲线的两个焦点，且1223PF PF =，则双曲线的离心率为A B C ．13 D ．13211．．偶函数在上为增函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．12．在区间[]3,2-上随机选取一个数X ，则1≤X 的概率为（ ） A ． 54 B ．53 C ．52 D ．51第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知向量，满足，，，则向量与向量的夹角为 ．14．在120°的二面角内，放一个半径为5cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上的最短距离是___.15．已知集合={1,2,5}A ，={2,3}B ，则AB =______．16．有6根木棒，，其余四根的长度均为1cm ，用这6根木棒围成一个三棱锥，则这样的三棱锥体积为__________3cm ．三、解答题17．已知函数1()ln f x a x bx x=++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y -+=.(1)求实数a ，b 的值及函数()f x 的单调区间； (2)若关于x 的不等式3()22mf x x x-≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 18．我们称满足：21(1)()k n n n a k a a +-=--（*n ∈N ）的数列{}n a 为“k 级梦数列”.（1）若{}n a 是“1级梦数列”且12a =.求：231111a a ---和431111a a ---的值； （2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<，1220171112a a a +++=，求201814a a-的最小值；（3）若{}n a 是“0级梦数列”且112a =，设数列2{}n a 的前n 项和为n S .证明：112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（*n ∈N ）.19．如图，点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>右焦点，圆()2216:(0)3A x t y t -+=<与椭圆C 的一个公共点为()0,2B ，且直线FB 与圆A 相切于点B .（Ⅰ）求t 的值和椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若F '是椭圆C 的左焦点，点P 是椭圆C 上除长轴上两个顶点外的任意一点，且F PF θ∠'=，求θ的最大值.20．（A ）已知函数 在区间 上有最小值． （1）求实数 的取值范围； （2）当 时，设函数，证明函数 在区间 上为增函数.21．若-1≤x ≤2，求函数124325x x y -=-⨯+的最大值和最小值；并求出取得最值时x 的值．22．已知()1cos ,1ax ω=+-,)b x ω=(0>ω),函数()f x a b =⋅,函数()f x 的最小正周期为2π． (1)求函数()f x 的表达式;(2)设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()65fθ=,求cos θ的值．参考答案1．B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性的定义得到f （x ）为偶函数，再根据极限可得当x 01y +→→时，，即得解． 【详解】函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∵f （﹣x ）=sin()sin sin x x xx x x--==--=f （x ），∴f （x ）为偶函数，∴f （x ）的图象关于y 轴对称， ∵()sin x f x x=， 根据极限可得当x 01y +→→时，， 故答案为：B 【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和极限，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似给式找图的问题，一般先找差异，再验证. 2．A 【解析】结合函数的解析式可得：()()f x f x -=-,且()2cos 30f x x =-<' ， 所以函数()f x 为单调递减的奇函数，因此()()230f ma f a -+> ()()()22233f ma f a f a ma a ⇒->-=-⇒-<-即223123{?{?111323a a a a a a a -<<-<-⇒⇒-<<-<<--<- ， 本题选择A 选项.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．C 【解析】对于选项A ，若0x <，则不成立； 对于选项D ，若01x <<，则不成立；对于选项B ，2sin sin x x +≥，当且仅当2sin sin x x=，即sin x =时取等号，但sin 1x ≤，故不成立；对于选项C ，e 2e x x -+≥当且仅当e x =x =. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．4．C 【解析】分析：求出圆心的距离MN ，与半径的和差的绝对值比较得出结论。

2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟（二）数学(文科)★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

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3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}220N x x x =-<，则M N ⋂=( )A. {}0B. {}1C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】可求出N ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵{}1,0,1M =-，{}()2200,2N x x x =-<=，∴M N =I {}1 故选B【点睛】本题考查二次不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算． 2.复数1ii-对应点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】 【分析】先化简复数，再找到其对应的点所在的象限得解. 【详解】由题得1(1)1i i iz i i i i--⋅===--⋅. 所以复数对应的点为（-1,-1）,点在第三象限. 故选C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3.若1tan 2α=，则cos2=α( ) A. 45-B. 35- C.45D.35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果． 【详解】∵1tan 2α=， ∴22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++， 故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.已知向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r，1a =r ，3b =r ，则a b -r r =( )A. 0B. 2C.【答案】D 【解析】直接利用向量的模的公式求解.【详解】由题得a b -=vv 故选D【点睛】本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5.已知抛物线2y ax =上的点(1,)M m 到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为( ) A. 24y x = B. 22y x = C. 25y x = D. 23y x =【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，转化列出方程求出ａ，即可得到抛物线方程． 【详解】抛物线2y ax =的准线方程x 4a =-， ∵抛物线2y ax =上的点()1,M m 到其焦点的距离为2， ∴124a+=， ∴a 4=，即该抛物线的标准方程为24y x =， 故选Ａ【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基本知识的考查． 6.设随机变量ξ的概率分布列如下表，则(21)P ξ-==( )A.712B.12C.512D.16【答案】C 【解析】 【分析】根据随机变量ξ的概率分布列，求出a 的值，再利用和概率公式计算()21P ξ-=的值． 【详解】解：根据随机变量ξ的概率分布列知，111a 643+=＋＋1， 解得1a 4=；又21ξ-=， ∴ξ＝1或ξ＝3， 则()()()11521136412PP P ξξξ-===+==+= 故选C ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，考查转化思想与计算能力，是基础题． 7.已知()x f x e x =-，命題:,()0p x R f x ∀∈>，则( ) A. p 是真命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈≤ B. p 是真命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈< C. p 是假命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈≤ D. p 是假命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈<【答案】A 【解析】 分析】利用导数求出函数的最小值，可知p 是真命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得结果. 【详解】由题意可得，令()0f x '=，则0x =∴()xf x e x =-在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增， ∴()()f 010x f ≥=>，即p 是真命题，命題():,0p x R f x ∀∈>的否定为：()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤， 故选A【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查全称命题的否定为特称命题，属于容易题. 8.已知函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>与()cos (0,0)2Ag x x A ωω=>>的部分图像如图所示，则( )A. 31,A ωπ== B. 2,3A πω== C. 1,3A πω==D. 32,A ωπ==【答案】B 【解析】 【分析】先根据最值分析出A 的值，再根据周期分析出ω的值. 【详解】因为A ＞0,所以1, 2.2AA =∴= 由题得23,.4423T ππωω==∴= 故选B【点睛】本题主要考查正弦函数余弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．10.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A. 2.6B. 3C. 3.1D. 14【答案】C 【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 60S =︒=，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24.故 3.1p =.故选C ．11.如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E F 、分别是AB BC 、的中点，将ADE ∆，BEF ∆，CDF ∆分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EDF '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 5πD. 11π【答案】A 【解析】 【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积． 【详解】解：由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF ． 三棱锥的底面A ′EF 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 1146++=6∴球的表面积为264()2π⋅=6π． 故选A ．【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3(,)2aQ c ，222F Q F A c >=，点P 是双曲线C 右支上的动点，且111232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. )+∞B. 7(1,)6C. 7(6D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标得到线段|F 2Q |和|F 2A |，从而得32a ＞2b a ，进而有|AQ |＝232a ba =-，结合|AF 1|＋|AQ |＞32|F 1F 2|，即可求得离心率的范围. 【详解】AF 2垂直于x 轴，则|F 2A |为双曲线的通径的一半，|F 2A |＝2b a ，A 的坐标为2bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，|AF 1|222b a a +==. Q 32a c ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴|F 2Q |＝32a . 又|F 2Q |＞|F 2A |⇒32a ＞2b a，故有|AQ |＝232a b a =-；A 在第一象限上即在右支上，则有|AF 1|＋|AQ |＞32|F 1F 2|， 即222b a a +＋32a －2b a＞32×2c ⇒22432a a a +＞3c ⇒7a ＞6c ⇒e ＝c a ＜76.∵e ＞1，∴1＜e ＜76.答案：B【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.在61(2)2x -的展开式中，二项式系数最大的项为________． 【答案】320x - 【解析】 【分析】判断二项展开式的项数，即可判断二项式系数最大的项．【详解】解：因为6122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，共有7项， 所以二项式系数最大的项是中间项，即第4项．所以二项式系数最大的项为()33334612202T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭n ，故答案为320x -【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，展开式是奇数项，则中间项二项式系数最大，偶数项，中间两项二项式系数相等且最大．14.已知正实数,a b 满足21a b +=，则112a b+的最小值为_______． 【答案】92【解析】 【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出． 【详解】解：∵正实数,a b 满足21a b +=，∴112a b +=（2a+b ）115592222b a a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b ==时取等号． ∴112a b +的最小值为92故答案为92：．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的应用，属于基础题． 15.已知函数()()21+4,1,1xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩的定义域为R ，数列{}()n a n N*∈满足()naf n =，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】3a > 【解析】 【分析】根据已知得到关于a 的不等式组，解之即得.【详解】由题得21211,,32+3a a a a a a a >>⎧⎧∴∴>⎨⎨<<⎩⎩. 故答案为3a >【点睛】本题主要考查分段函数和数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.在ABC ∆中， 6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，其中01x ≤≤，01y ≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为_______．【答案】106【解析】【详解】试题分析：由OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r，01,01x y ≤≤≤≤其中.可得点P 的轨迹如图的阴影部分的面积，在三角形ABC 中由余弦定理可得解得AB=5.所以三角形ABC 的面积为2111sin 561()6225ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯-=又由126(),2ABC S OE AB AC BC OE ∆=++∴=.所以阴影部分面积126106252S =⨯⨯⨯=.故填106.考点：1.向量知识.2.向量的坐标表示形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 中， 25a =，1a ，4a ，13a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和为n S .【答案】(1) 5n a =或n a 21n =+(2) 22n S n n =+或5n. 【解析】 【分析】(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题得()()()2525511d d d +=-+，解方程得到d 的值，即得数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的前n 项和公式求n S .【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则15a d =-，452a d =+，13511a d =+ 因为1a ，4a ，13a 成等比数列，所以()()()2525511d d d +=-+， 化简的22d d =，则0d =或2d = 当0d =时，5n a =.当2d =时，153a d =-=，()312n a n =+-? 21n =+ (2)由(1)知当5n a =时， 5n S n =. 当21n a n =+时，13a =则()232122n n n S n n ++==+.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法和等比数列的性质，考查等差数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点"以及“性别”作出调查，得到的情况如下表所示:(1)完成上述22⨯列联表；(2)根据表中的数据，试通过计算判断是否有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别"有关；(3)若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取6人，再在6人中抽取3人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】【分析】（1）根据表格中数据的关系，完善22⨯列联表；（2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）由题意可知ξ的可能值为0,1,2，求出相应的概率值，即可得到ξ的分布列和数学期望. 【详解】(1)所求的22⨯列联表如下：(2)在本次试验中()221001020304040605050K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 16.6710.828=>故有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别”有关. (3)由题意可知ξ的可能值为0,1,2()0436105C P C ξ===，()122436315C C P C ξ===，()212436125C C P C ξ===， ξ∴的分布列为1310121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验以及离散型随机变量的期望的求法，分布列的求法，考查计算能力．19.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形， //AB CD ，90ABC ∠=︒，AD SD =，12BC CD AB ==，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证:平面BD ⊥平面SAD ；(2)若120SDA ∠=︒，求二面角C SB D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)77. 【解析】试题分析：（1）：取AB 中点M ，连接DM ，可得DB⊥AD 又侧面SAD⊥底面ABCD ，可得BD⊥平面SAD ，即可得平面SBD⊥平面SAD （2）以D 为原点，DA ，DB 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系，求出设面SCB 的法向量为：(),,n x y z =v ，面SBD 的法向量为)3,0,0m =v．利用向量即可求解．解析：（1）因为090ABC ∠=，BC CD =， 所以045CBD ∠=，BCD ∆是等腰直角三角形， 故2BD CB =，因为2AB BD =，045ABD ∠=，所以ABD ∆∽BCD ∆，090ADB ∠=，即BD AD ⊥，因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ， 所以BD ⊥平面SAD ，所以平面SBD ⊥平面SAD . （2）过点S 作SE AD ⊥交AD 的延长线于点E ， 因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，所以SE ⊥底面ABCD ，所以SDE ∠是底面SD 与底面ABCD 所成的角，即060SDE ∠=， 过点D 在平面SAD 内作DF AD ⊥， 因为侧面SAD ⊥底面ABCD ， 所以DF ⊥底面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，设1BC CD ==，()22262,0,,222B C S ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 则()262,0,2,DB BS ⎛==- ⎝⎭u u u v u u u v ，22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ， 设(),,m x y z =v是平面SBD 法向量，则2026202y x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 取)3,0,0m =v，设(),,n x y z =v是平面SBC 的法向量，则2202620x y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 取)3,3,1n =--v ，()()()2227cos ,31331m n m n m n⋅===+⋅+-+v v v vv v所以二面角C SB D --.20.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点,M N ，试判断·PM PN 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）22163x y +=； （2）见解析.【解析】 【分析】（I ）结合离心率，得到a,b,c 的关系，计算A 的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II ）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N 的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k 的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示OM ON ⋅u u u u r u u u r，结合三角形相似，证明结论，即可．【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c 知，b c a ，==， ∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b+=.易求得)A，∴点在椭圆上，∴222212b b+=， 解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=.(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =MN，，0OM ON OM ON ==⋅=u u u u ru u u r u u u u r u u u r，，，∴OM ON ⊥.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()()1122M x y N x y ，，，，=()2221m k =+.联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()()222122212244122604212621km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.∵()()1122OM x y ON x y ==u u u u r u u u r，，，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r，()()()22222121222264112121m km kx xkm x x m kkm m k k --=++++=+⋅+⋅+++ ()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k mk k k k +--+++----====+++， ∴OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥. 在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似得，22OP PM PN =⋅=为定值.【点睛】本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．21.已知函数2()(1)1f x a x lnx a =+--+ (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若1a <，求证：当0x >时，函数()y xf x =的图像恒在函数32ln (1)y x a x x =++-的图像上方. 【答案】（1）见解析；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ()2211a x x+-=，x ＞0，由此利用导数性质讨论函数f （x ）的单调性；（2）问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,∞+上恒成立，只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,∞+上恒成立，即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立【详解】(1)函数的定义域为()0,∞+且()()121f x a x x =+-' ()2211a x x+-=当1a ≤-时，()0f x '< ，函数()f x 在()0,∞+上为增函数； 当1a >-时，令()0f x '=，解得x =此时函数()f x 在⎛ ⎝⎭上递减，在⎫⎪+∞⎪⎝⎭上递增 (2)证明：若1a <，则当0x >时，问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,∞+上恒成立只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,∞+上恒成立即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立 令()()ln ln ,1xF x x x g x a x=-=--+ 因为()111xF x x x-=-='，易得()F x 在()0,1单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()11F x F ≤=- 又()221ln ln 1x x g x x x='--=-， 当0x e <<时，()0g x '<，当x e >时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，所以()()11g x g e a e ≥=--+ 又1a <，所以1111a e e--+>->-即()()max min F x g x <，所以ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立 所以当1a <时，函数()xf x 的图像恒在函数()32ln 1y x a x x =++-的图像上方.【点睛】本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式恒成立问题，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为：22((1)4x y ++=；（Ⅱ）4-【解析】 【分析】（I ）消去参数，即可得到曲线2C的直角坐标方程，结合cos x ρρθ==，即可得到曲线1C 的极坐标方程．（II ）计算直线l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算AB 长，即可．【详解】解法一：（Ⅰ）曲线1C ：222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）可化为直角坐标方程：()2224x y -+=，即2240x y x +-=， 可得24cos 0ρρθ-=，所以曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.曲线2C：2sin ρθθ=-，即2cos 2sin ρθρθ=-， 则2C的直角坐标方程为：(()2214x y -++=.（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =， 所以l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈. 联立564cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得A ρ=-联立562sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得4B ρ=-，4A B AB ρρ=-=-解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =，联立2240y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得(3,A ，联立(()22314y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得()2B -， 所以4AB ==-【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等. 23.已知函数()f x x x 1=++.（1）若()f x m 1≥-恒成立，求实数m 的最大值M ；（2）在（1）成立条件下，正数a,b 满足22a b M +=，证明：a b 2ab +≥. 【答案】(1)2；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得()1min f x =，则原问题等价于11m -≤，据此可得实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知1ab ≤，结合均值不等式的结论有ab a b ≤+，据此由综合法即可证得2a b ab +≥.法二：利用分析法，原问题等价于()2224a b a b +≥，进一步，只需证明()2210ab ab --≤，分解因式后只需证1ab ≤，据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得()12,01,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以()1min f x =， 所以只需11m -≤，解得111m -≤-≤，∴02m ≤≤，所以实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：综合法∵222a b ab +≥，∴1ab ≤，1≤，当且仅当a b =时取等号，①2a b+，12≤，∴ab a b ≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，∴12aba b ≤+，所以2a b ab +≥.法二：分析法因为0a >，0b >，所以要证2a b ab +≥，只需证()2224a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，∵22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，即证()2210ab ab --≤，即证()()2110ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤，因为2222a b ab =+≥，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

2020届河北省衡水金卷新高考原创精准仿真试卷（一）文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求定义域得集合A，再解分式不等式得集合B，最后根据补集定义得结果.【详解】因为，所以,选A.【点睛】本题考查指数函数定义域、解分式不等式以及集合补集定义，考查基本求解能力，属基础题.2.已知复数z满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化为的形式，由此确定所在象限.【详解】依题意，对应点在第一象限，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在的象限，属于基础题.3.设且，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据对数函数单调性化简不等式，再判断充要关系.【详解】因为,所以当时，; 当时，;因此“”是“”的既不充分也不必要条件，选D.【点睛】本题考查对数函数单调性以及充要关系定义，考查基本分析判断与化解能力，属基础题.4.2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为 ( )A. 7000B. 7500C. 8500D. 9500 【答案】C【解析】【分析】根据两次就医费关系列方程，解得结果.【详解】参加工作就医费为，设目前晓文同学的月工资为，则目前的就医费为，因此选C.【点睛】本题考查条形图以及折线图，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.5.已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B两点，则l斜率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线渐近线的斜率，求得直线斜率的取值范围.【详解】双曲线的渐近线为，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率；点直线斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率.故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查直线和双曲线交点问题，所以基础题.6.已知向量满足，且，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据向量垂直得，再根据向量投影公式得结果.【详解】因为，所以因此在方向上的投影为，选D.【点睛】本题考查向量垂直以及向量投影，考查基本分析求解能力，属基础题.7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为AD的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出异面直线所成的角，利用余弦定理计算出这个角的余弦值.【详解】设是中点，连接，由于分别是中点，是三角形的中位线，故，所以是两条异面直线所成的角.根据鳖臑的几何性质可知.故，在三角形中，由余弦定理得，故选C.古典数学文化，属于基础题.8.已知部分图象如图，则的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据图象确定的一个对称中心，再根据周期得所有对称中心，最后对照选项作判断. 【详解】由图得为的一个对称中心，因为,从而的对称中心为,当时为，选A.【点睛】本题考查根据图象求函数对称中心以及周期，考查基本分析求解能力，属基础题.9.程序框图如图，若输入的，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】执行循环，寻找规律，最后求和得结果.【详解】执行循环，得，选C.【点睛】本题考查根据流程图求输出结果，考查基本分析求解能力，属基础题.10.已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的，恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据和项与通项关系得数列递推关系式，根据等差数列定义以及通项公式得再根据裂项相消法求，最后根据最值得结果.【详解】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.11.一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据各表面形状求表面积.【详解】几何体为如图四面体，其中所以表面积为，选D.【点睛】本题考查三视图以及四面体表面积，考查空间想象能力与综合分析求解能力，属中档题.12.已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令，则当时，，又，所以为偶函数，从而等价于，因此选B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆；以右顶点为圆心，椭圆的长轴长为直径作圆，则圆与圆的公共弦长为____.【答案】【解析】【分析】先根据条件得圆与圆的方程，再联立方程组解得交点坐标，即得结果.【详解】由题意得圆：，圆：，相减得，因此圆与圆的公共弦长为【点睛】本题考查圆方程与公共弦长，考查基本分析求解能力，属基本题.14.定义在上的函数满足，若，且，则______.【答案】4【解析】【分析】先化简的表达式，然后计算的表达式，结合的奇偶性可求得的值.【详解】依题意，故为奇函数..故，所以.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.15.若整数．．x，y满足不等式组，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】画出可行域，由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点.由图可知，在点处，目标函数取得最小值为.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题，要注意不等式等号是否能取得，还要注意为整数，属于基础题.16.满足，，则面积的最大值为____.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理得，设AB边上的高再根据条件得之间等量关系，最后根据三角形面积公式以及基本不等式求最值.【详解】因为，所以由正弦定理得，设AB边上的高则,因为，所以,因为,当且仅当时取等号，所以面积，即面积的最大值为【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求最值.，考查综合分析求解能力，属难题.三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的前项和，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前n项和为，求证：对于任意的，都有.【答案】（Ⅰ）（）.（Ⅱ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）根据和项与通项关系可得，（Ⅱ）根据裂项相消法求，即证得结果.【详解】（Ⅰ）因为① ；当时，②由①-② 得，故又因为适合上式，所以（）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,所以.【点睛】本题考查由和项求通项以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.如图，直三棱柱中，是的中点，且，四边形为正方形.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，求点到平面的距离.【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（Ⅱ）根据等体积法求高，即得结果.【详解】（Ⅰ）连接，交于点，再连接，由已知得，四边形为正方形，为的中点，∵是的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（Ⅱ）∵在直三棱柱中，平面平面,且为它们的交线，又，∴平面,又∵平面,∴，且.同理可得，过作，则面，且.设到平面的距离为,由等体积法可得：，即，即.即点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面平行判定定理以及等体积法，考查基本分析求解能力，属中档题. 19.2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开.为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，把年龄落在区间[15，35)和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21．其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2:1.（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）现采用分层抽样在[25，35)和[45，55)中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少?（Ⅲ）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断:能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”?【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图列方程，解得结果，（Ⅱ）根据枚举法以及古典概型概率公式求结果，（Ⅲ）先根据条件列2×2列联表，再根据公式求卡方，最后对照数据作判断.【详解】（Ⅰ）由题意得 ,解得（Ⅱ）由题意得在[25,35)中抽取6人，记为，在[45,55)中抽取2人, 记为.则从8人中任取2人的全部基本事件(共28种)列举如下：记2人中至少有1个是“中老年人”的概率是，则.（Ⅲ）2×2列联表如下：所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”.【点睛】本题考查频率分布直方图、古典概型概率以及卡方公式，考查基本分析求解能力，属中档题.20.在中，，且.以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程;（Ⅱ）已知定点，不垂直于的动直线与轨迹相交于两点，若直线关于直线对称，求面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用正弦定理化简已知条件，根据椭圆的定义求得轨迹方程.（II）设出直线方程为，代入的轨迹方程，写出判别式和韦达定理，根据直线关于轴对称，列方程，化简后求得直线过，求得的表达式，并利用单调性求得面积的取值范围.【详解】解：(Ⅰ)由得：,由正弦定理所以点C的轨迹是：以为焦点的椭圆(除轴上的点),其中，则，故轨迹的轨迹方程为.(Ⅱ) 由题，由题可知，直线的斜率存在，设的方程为，将直线的方程代入轨迹的方程得:.由得，，且∵直线关于轴对称,∴，即.化简得：,,得那么直线过点,,所以面积：设,,显然，S在上单调递减，.【点睛】本小题主要考查正弦定理，考查椭圆的定义和标准方程的求法，考查三角形面积公式，综合性较强，属于难题.21.已知函数，直线：.（Ⅰ）设是图象上一点，为原点，直线的斜率，若在上存在极值，求的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得直线是曲线的切线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.【答案】，（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）先根据斜率公式列再求导数及其零点，最后根据条件列不等式，解得结果，（Ⅱ）设切点，根据导数几何意义得斜率，再根据点斜式得切线方程，最后根据切线过（0，-1）点列方程，解得切点坐标，即得的值；（Ⅲ）先变量分离，转化为研究函数图象，利用导数研究其单调性，再结合函数图象确定交点个数.【详解】（Ⅰ）∵，∴，解得.由题意得：，解得.（Ⅱ）假设存在实数，使得直线是曲线的切线，令切点，∴切线的斜率.∴切线的方程为，又∵切线过（0，-1）点，∴.解得，∴，∴.（Ⅲ）由题意，令，得.令，∴，由，解得.∴在（0,1）上单调递增，在上单调递减，∴,又时，；时，，时，只有一个交点；时，有两个交点；时，没有交点.【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究函数极值以及零点，考查综合分析求解能力，属难题.22.选修4— 4：坐标系与参数方程设极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，原点为极点，轴正半轴为极轴，曲线的参数方程为（是参数），直线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的参数方程；（Ⅱ）设点，若直线与曲线相交于两点，且，求的值﹒【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为，直线的参数方程（是参数）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用，消去，求得曲线的普通方程.先求得直线的直角坐标方程，然后利用直线参数方程的知识，写出直线的参数方程.（II）将直线参数方程代入切线的普通方程，写出韦达定理，利用直线参数方程参数的几何意义，列方程，解方程求得的值.【详解】解：（Ⅰ）由题可得，曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为，即由于直线过点，倾斜角为，故直线的参数方程（是参数）（直线的参数方程的结果不是唯一的.）（Ⅱ）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程并化简得：.所以, 解得.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为参数方程的方法，考查直线参数方程参数的几何意义，所以中档题.23.选修4—5：不等式选讲已知.（Ⅰ）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，且，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此求得的最小值，再解一元二次不等式求得的取值范围.（II）根据（I）得到的最大值，由此得到，由此求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ），所以，恒成立，则，解得.（Ⅱ）由（I知），，则，又，所以，于是，故.【点睛】本小题主要考查零点分段法求解含有绝对值的不等式，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题.。