衡水金卷高考模拟卷(五)数学(理)试题Word版含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(五)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}223,A y y x x x R ==++∈，集合1,(1,3)B y y x x x ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则()U C A B =（ ）A ．(0,2)B ．80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(,2)-∞2. 已知3sin(3)2sin 2a a ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则sin()4sin 25sin(2)2cos(2)a a a a ππππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=++-（ ）A ．12 B ．13 C ．16 D ．16- 3. 设i 为虚数单位，现有下列四个命题：1p ：若复数z 满足()()5z i i --=，则6z i =；2p ：复数22z i=-+的共轭复数为1+i 3p ：已知复数1z i =+，设1(,)ia bi ab R z-+=∈，那么2a b +=-； 4p ：若z 表示复数z 的共轭复数，z 表示复数z 的模，则2zz z =.其中的真命题为（ ）A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ． 24,p p4.在中心为O 的正六边形ABCDEF 的电子游戏盘中(如图)，按下开关键后，电子弹从O 点射出后最后落入正六边形的六个角孔内，且每次只能射出一个，现视A ，B ，C ，D ，E ，F 对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关，记事件M 为“两次落入角孔的分数之和为偶数”,事件N 为“两次落入角孔的分数都为偶数”,则(|)P N M =（ ） A ．23 B ．14 C. 13 D ．125. 某几何体的正视图与俯视图如图，则其侧视图可以为（ ）A ．B ． C. D ．6. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则235log ()a a ⋅的值为（ ）A ．8B ．10 C. 12 D ．167. 下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）A ． 2()sin f x x x =B ． ()1f x x x =-+ C. 1()lg 1xf x x+=- D ．()x x f x ππ-=- 8.下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是①“数轴上两点间距离公式为AB =平面上两点间距离公式为AB =，类比推出“空间内两点间的距离公式为AB =AB|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)②“代数运算中的完全平方公式222()2a b a a b b +=+⋅+”类比推出“向量中的运算222()2a b a a b b +=+⋅+仍成立“；③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两不重合的直线不平行就相交“也成立；④“圆221x y +=上点00(,)P x y 处的切线方程为001x x y y +=”，类比推出“椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上点00(,)P x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=”.A ． 1B ．2 C. 3 D ．4 9.已知直线y a =与正切函数tan (0)3y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两支曲线的交点的横坐标分别为1x ，2x ，且有212x x π-=，假设函数tan ((0,))3y x x πωπ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的两个不同的零点分别为3x ，443()x x x >，若在区间(0,)π内存在两个不同的实数5x ，665()x x x >，与3x ，4x 调整顺序后，构成等差数列，则{}56tan (,)3y x x x x πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ． C. D ． 10. 已知抛物线24x y =的焦点为F ,双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为1(,0)F c ，过点1,F F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为（ ）A B ． 32．211. 已知函数()f x 的导函数()x f x e '= (其中e 为自然对数的底数)，且(0)f ，(2)f 为方程222(1)(1)()0x e x c e c -++++=的两根，则函数2()()F x x x x +-，(]0,1x ∈的值域为（ ）A ．(]0,2e -B ． (]0,1e - C. (]0,e D ．(]0,1e + 12.底面为菱形且侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点,过点A ，E ，1C ，F 的平面截直四棱柱1111ABCD A BC D -，得到平面四边形1AEC F ，G 为AE 的中点，且3FG =，当截面的面积取最大值时，sin()3EAF π∠+的值为（ ）A ．410B ．10 C.10D ．10第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22∽23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知函数5()(1)(3)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的展开式中2x 项的系数是 ．14.已知向量(1a =，2340b b --=，向量a ，b 的夹角为3π，设(,)c ma nb m n R =+∈，若()c a b ⊥+，则mn的值为 ． 15.已知函数222()xmx x f x e +-=，[]1,m e ∈，[]1,2x ∈，max min ()()()g m f x f x =-，则关于m 的不等式24()g m e≥的解集为 ．16.已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，236b b +=，设22n nn n n a b a b c -+=+，在数列{}n c 中，若4()n c c n N *≤∈，则实数t 的取值范围为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数2()2sin 23(0)f x x x ωωω=+->在半个周期内的图象的如图所示，H 为图象的最高点，E ，F 是图象与直线y =2()EH EF EH ⋅=.（1）求ω的值及函数的值域；（2）若0()f x =，且0102,33x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求0(2)f x +的值.18. 如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AC BD E =，PB 的中点为F ,2PA AD a ==，异面直线PD 与AC 所成的角为3π，PA ⊥平面ABCD . （1）证明：//EF 平面PAD ；（2）求二面角E AF B --的余弦值的大小.19. 207年8月8日晚我国四川九赛沟县发生了7.0级地震，为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试（满分100分），根据测试成绩评定为“合格”（60分以上包含60分）、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为10分，“不合（1）求,,a b c 的值；（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ； （3）设函数()()()E f D ξξξ=（其中()D ξ表示ξ的方差）是评估安全教育方案成效的一种模拟函数.当() 2.5f ξ≥时，认定教育方案是有效的；否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据.在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？20. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的中心在原点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）动直线1:l y k x =交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1214k k =，M 是线段OC 上一点，圆M 的半径为r ，且23r AB =，求OC r21.已知函数21()4f x x a x=+-，()()g x f x b =+，其中,a b 为常数. （1）当(0,)x ∈+∞，且0a >时，求函数()()x xf x ϕ=的单调区间及极值；（2）已知3b >-，b Z ∈，若函数()f x 有2个零点，(())f g x 有6个零点，试确定b 的值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩ (θ为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和极坐标方程； （2）直线2C 的极坐标方程为2()3R πθρ=∈，若1C 与2C 的公共点为,A B ，且C 是曲线1C 的中心，求ABC ∆的面积.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()32f x x =-，()2g x x =+. （1）求不等式()()f x g x <的解集；（2）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间与最值.理数（五）一、选择题1-5: ADBDB 6-10: CCCCB 11、12：CC二、填空题13. -540 14. 52-15. 2,4e e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦16.[]4,2-- 三、解答题17.解：函数化简得()22sin 24sin 23f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为2()EH EF EH ⋅=，所以2()()EH EH HF EH ⋅+=，所以0EH HF ⋅=，所以HF HE ⊥，所以EFH ∆是等腰直角三角形.又因为点H 到直线EF 的距离为4，所以8EF =，所以函数()f x 的周期为16.所以16πω=，函数()f x的值域是44⎡-++⎣.（2）由（1），知()4sin 83f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0()f x =，所以0sin 83x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0102,33x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0,83124x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以0cos 8310x ππ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以00(2)4sin 843f x x πππ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 04sin 834x πππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦004sin cos 4cos sin 834834x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4422⎛=⨯⨯+= ⎝⎭18.解：（1）由已知ABCD 为矩形，且AC BD E =，所以E 为BD 的中点.又因为F 为PB 的中点，所以在BPD ∆中，//EF PD ，又因为PD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 因此//EF 平面PAD .（2）由（1）可知//EF PD ，所以异面直线PD 与AC 所成的角即为AEF ∠ (或AEF ∠的补角). 所以3AEF π∠=或23AEF π∠=. 设AB x =，在AEF ∆中，AE =，1EF PD ===，又由PA ⊥平面ABCD 可知PA AB ⊥，且F 为中点，因此12AF PB==AE AF =，所以3AEF π∠=，所以AEF ∆为等=，即2x a =，因为AB ，AP ，AD 两两垂直，分别以AB ，AP ，AD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B a ，(0,2,0)P a ，(0,0,2)D a ，所以(,0,)E a a ，(,,0)F a a . 由AD AB ⊥，AD AP ⊥，ABAP A =，可得AD ⊥平面ABP ，可取平面ABF 的一个法向量为1(0,0,1)n =.设平面AEF 的一个法向量为2(,,)n x y z =，由220,(,,)(,,0)0,0,(,,)(,0,)00.0n AF x y z a a x y x y z a a x z n AE ⎧⋅=⋅=+=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=+=⋅=⎩⎩⎪⎩令11x y z =-⇒==，所以2(1,1,1)n =-. 因此121212cos 3n n n n n n ⋅⋅===，又二面角E AF B --为锐角，故二面角E AF B --的19. 解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[)2040,的频率为0.005200.1⨯=，故抽取的学生答卷数为6600.1=，又由频率分布直方图可知，得分在[]80,100的频率为0.2，所以600.212b =⨯=.又62460a b +++=，得30a b +=，所以18a =.180.0156020c ==⨯.（2）“合格”与“不合格”的人数比例为36:243:2=，因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人，所以ξ有40，35，30，25，20共5种可能的取值.4464101(40)14C P C ξ===，31644108(35)21C C P C ξ===，22644103(30)7C C P C ξ===，13644104(25)35C C P C ξ===， 444101(20)210C P C ξ===.的分布列为所以()4035302520321421735210E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由（2）可得2222218341()(4032)(3532)(3032)(2532)(2032)161421735210D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=， 所以()32()2 2.5()16E f D ξξξ===<. 故可以认为该校的安全教育方案是无效的,需要调整安全教育方案.20. 解：（1）因为1)2P 在椭圆E 上，所以223114a b +=.又2e =2222222,24,311,41,e a a b b a b c ⎧=⎪⎪⎧=⎪+=⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎪⎩,故椭圆E 的标准方程为2214x y += （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，、联立方程22221111,4(14)10x y k x x y k x ⎧+=⎪⎪⇒+--=⎨⎪=⎪⎩.由0∆>，得1k R ∈，且121x x +=1221114x x k ⋅=-+，所以21AB x =-===由题意可知圆M的半径23r AB ==由题设知12211144k k k k =⇒=，因此直线OC 的方程为114y x k =.联立方程22121122221161,,4141,1414k x y x k k x y y k ⎧⎧==⎪⎪+⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪+⎩⎩因此OC ==所以OCr =====因为210k >，所以2211330314411k k <<⇒<-<++，从而有3342<<，即得3342OC r <<. 因此OC r 的取值范围为33,42⎛⎫⎪⎝⎭. 21.解:（1）因为3()()41x xf x x ax ϕ==+-，所以2()12x x a ϕ'=-，令2120x a x -=⇒=x =. 当x ⎛∈ ⎝时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减；x ⎫∈∞⎪⎪⎭时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增. 因此()xϕ的极小值为3411a ϕ=⨯+-. （2）若函数()f x 存在2个零点，则方程214a x x =+有2个不同的实根，设21()4h x x x=+，则322181()8x h x x x x-'=-=.令()0h x '>，得12x >； 令()0h x '<，得0x <，或102x <<， 所以()h x 在区间(,0)-∞，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，且当0x <时，令21()40h x x x =+=，可得322x =-，所以32,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，()0h x >；32,02x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，()0h x <，因此函数21()4h x x x=+的草图如图所示，所以()h x 的极小值为132h ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由()h x 的图象可知3a =.因为1(1)32h h ⎛⎫-==⎪⎝⎭，所以令(())0f g x =，得1()2g x =或()1g x =-，即1()2f x b =-或()1f x b =--， 而(())f g x 有6个零点，故方程1()2f x b =-与()1f x b =--都有三个不同的解，所以102b ->，且10b -->，所以1b <-.又因为3b -<，b Z ∈，所以2b =-. 22. 解：（1）由曲线1C 的参数方程消去参数θ，得其普通方程为22(1)4x y ++=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式并化简，得其极坐标方程为2+2cos 3ρρθ=.（2）将23πθ=代入得2+2cos 3ρρθ=. 得230ρρ--=.设12(,)3A πρ，22,3B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12+1ρρ=，123ρρ=-， 所以()2121212413AB ρρρρρρ=-=+-=又由（1），知(1,0)C -，且由（2）知直线AB 30x y +=，所以(1,0)C -到AB 的距离是303d -+==，所以CAB ∆的面积1339132S ==. 23. 解:（1）由于()()f x g x <， 即为322x x -<+，当20x +>时，对上式两边平方，得22291244431650x x x x x x -+<++⇒-+<，即得1(31)(5)053x x x --<⇒<<，当20x +≤时，原不等式的解集为空集，因此()()f x g x <的解集为153⎛⎫⎪⎝⎭，，（2）由题可知35,,2()()()232331,,2x x h x f x g x x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=---=⎨⎪-+<⎪⎩作图如下，由3,5,372,317222x y x A y x y ⎧=⎪=-⎧⎪⎛⎫⇒⇒-⎨⎨ ⎪=-+⎝⎭⎩⎪=-⎪⎩. 由图易知函数()h x 的递减区间为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，递增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，并且最小值为min 37()22h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，无最大值.。

2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学（理工类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则满足的集合的个数为（）A. B. C. 1 D.2.已知为虚数单位，复数，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.4.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值5.的展开式中，常数项为（）A. B. C. D.6.若数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.若是上的奇函数，且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数的部分图像如图所示，点在图象上，若，且，则（）A. B. C. D.9.若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（）A. B. C. D.11.设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．14.根据下列算法语句，当输入时，输出的最大值为__________．15.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．16.设为平面外两条直线，其在平面内的射影分别为两条直线和.给出下列个命题：①；②与平行或重合；③；④ .其中所有假命题的序号是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角的对边分别为，若成等差数列，且.求的值；若，求的面积.18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中的值，并求综合评分的中位数.用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）19.如图，在边长为的正方形中，点分别是的中点，点在上，且.将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明；求二面角的余弦值.20.已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.求椭圆的方程；过椭圆内一点，斜率为的直线交椭圆于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围. 21.已知函数.若在上单调递增，求的取值范围；若，不等式恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，圆的极坐标方程为.求的普通方程；将圆平移，使其圆心为，设是圆上的动点，点与关于原点对称，线段的垂直平分线与相交于点，求的轨迹的参数方程.23.设，且.若不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在实数，使得，并说明理由.。

衡水金卷云南省2024-2024学年高三理综练习卷（五）（基础必刷）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在某静电场中建立Ox轴，x轴上各点的电场强度方向均与x轴共线，x轴上各点的电势φ随坐标x变化的关系图像如图所示。

现将一电荷从x1处由静止释放，以速度v到达坐标原点O。

已知该电荷的质量为m，电荷量绝对值为q，不计电荷重力，无穷远处电势为零。

下列说法正确的是（ ）A．从x1到原点O过程中电荷先做加速运动后做减速运动B．从x1到原点O过程中电荷的加速度先增大后减小C．从x1到原点O过程中电荷的电势能逐渐增大D．x1处的电势为φ0+第(2)题如图，光滑平行导轨水平放置，电阻不计，MN部分的宽度为2l，PQ部分的宽度为l，金属棒a和b的质量分别为2m和m，其电阻大小分别为2R和R，a和b分别静止在MN和PQ上，垂直导轨相距足够远，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感强度为B。

现对a棒施加水平向右恒力F作用，两棒运动时始终保持平行且a总在MN上运动，b总在PQ上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的（）A．回路感应电动势为零B．流过a的电流大小为C．金属棒a和b均做匀速直线运动D．金属棒a和b均做加速度相同的匀加速直线运动第(3)题如图所示的电路中，电源内阻不可忽略，电压表为理想电表，为滑动变阻器，当滑动变阻器的触头向上滑动时，下列说法正确的是（ ）A．灯泡变亮B．灯泡变亮C．电压表读数增大D．电源内阻消耗功率减小第(4)题2020年11月17~20日长春遭遇了一轮冻雨暴雪天气，致使多条供电线路停运，电力部门持续进行抢修除冰作业。

针对高压输电线融冰有一种电流发热融冰法，就是增大高压电线内通入的电流使电线发热，利用电线自身的发热量使其外部冰层由内向外熔化，达到融冰除冰的目的。

为了监测高压线路融冰进展情况，技术人员通过如图所示的装置检测融冰线路。

2021 年一般高等学校招生全国一致考试模拟试题理数〔一〕第一卷〔共 60 分〕一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1.会集，，，那么〔〕A. B. C. D.2.设是虚数单位，假设，，，那么复数的共轭复数是〔〕A. B. C. D.3.等差数列的前项和是，且，那么以下命题正确的选项是〔〕A.是常数B.是常数C.是常数D.是常数4.七巧板是我们祖先的一项创立，被誉为“东方魔板〞，它是由五块等腰直角三角形〔两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形〕、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕学* 科*网...A. B. C. D.5. 点为双曲线：〔，〕的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，假设的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.6.函数那么〔〕A. B. C. D.7. 执行以以下图的程序框图，那么输出的的值为〔〕A. B. C. D.8.函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，那么函数的图象〔〕A.可由函数的图象向左平移个单位而得B.可由函数的图象向右平移个单位而得C.可由函数的图象向右平移个单位而得D.可由函数的图象向右平移个单位而得9.的张开式中剔除常数项后的各项系数和为〔〕A. B. C. D.10.某几何体的三视图以以下图，其中俯视图中六边形是边长为 1 的正六边形，点为的中点，那么该几何体的外接球的表面积是〔〕A. B. C. D.11. 抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、.两点，直线与抛物线交于、两点，假设与的斜率的平方和为1，那么的最小值为〔〕A. 16B. 20C. 24D. 3212. 假设函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒建立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．假设函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．假设，，使建立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.第二卷〔共 90 分〕二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13. 向量，，且，那么__________ ．14. ，满足拘束条件那么目标函数的最小值为__________．15.在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，那么数列的前项和为 __________ ．16.如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的地址，并使，那么五棱锥的体积的取值范围为 __________ ．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.的内角，，的对边，，分别满足，，.又点满足．〔1〕求及角的大小；〔2〕求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．〔1〕求证：；〔2〕假设动点在棱上，试确定点的地址，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺〞是我国很多地方过春节的一大民俗．2021 年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1〕求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；.〔2〕①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值遵从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，假设某人从某商场购置了 4 包这类品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这类质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学希望．附：① 计算得所抽查的这100 包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设，那么，．20. 椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线：与椭圆订交于，两点，在轴上可否存在点，使直线与的斜率之和为定值？假设存在，求出点坐标及该定值，假设不存在，试说明原由．21. 函数，其中为自然对数的底数.〔1〕假设函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；〔2〕函数，且，假设函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数，是大于0的常数〕．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．〔1〕求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；〔2〕分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，假设圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23.选修 4-5 ：不等式选讲函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设正数，满足，求证：．一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1. 会集，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】会集，故，会集表示非负的偶数，故，应选 C.2.设是虚数单位，假设，，，那么复数的共轭复数是〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】，依照两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，应选 A.3.等差数列的前项和是，且，那么以下命题正确的选项是〔〕A.是常数B.是常数C.是常数D.是常数【答案】 D【解析】，为常数，应选 D.4.七巧板是我们祖先的一项创立，被誉为“东方魔板〞，它是由五块等腰直角三角形〔两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形〕、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色局部的面积与梯形的面积相等，那么所求的概率为，应选 A.5.点为双曲线：〔，〕的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，假设的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】 D【解析】由，解得点，又，那么的中点坐标为，于是，，那么，解得或〔舍去〕，应选 D.【方法点睛】此题主要观察双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的观察中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，进而求出 ; ②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④依照圆锥曲线的统必然义求解．此题中，依照的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．6.函数那么〔〕A. B. C. D.【答案】 D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，应选 D.7. 执行以以下图的程序框图，那么输出的的值为〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算，应选 C.8. 函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，那么函数的图象〔〕A. 可由函数的图象向左平移B. 可由函数的图象向右平移C. 可由函数的图象向右平移D. 可由函数的图象向右平移个单位而得个单位而得个单位而得个单位而得【答案】 B【解析】，因为函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，因此函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，应选 B.9.的张开式中剔除常数项后的各项系数和为〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】令，得，而常数项为，因此张开式中剔除常数项的各项系数和为，应选 A.10. 某几何体的三视图以以下图，其中俯视图中六边形是边长为 1 的正六边形，点为的中点，那么该几何体的外接球的表面积是〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为终究面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，应选 C.【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图重点观察学生的空间想象能力和抽象思想能力以及外接球的表面积，属于难题. 三视图问题是观察学生空间想象能力最常有题型，也是高考热点 . 观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的重点，不仅需注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不相同地址对几何体直观图的影响 .11. 抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、.两点，直线与抛物线交于、两点，假设与的斜率的平方和为1，那么的最小值为〔〕A. 16B. 20C. 24D. 32【答案】 C【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又〔当且仅当时取等号〕，的最小值为，应选 C.12. 假设函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒建立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．假设函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．假设，，使建立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】 B【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且，，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递加，故，依题意得，即实数的取值范围是，应选 B.【方法点睛】此题主要观察分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题 .解决这类问题的重点是理解题意、正确把问题转变成最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：〔1〕只需；〔2〕，只需；〔3〕，只需；〔4〕，，.第二卷〔共 90 分〕二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13. 向量，，且，那么__________．【答案】【解析】,,故答案为.14. ，满足拘束条件那么目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】，作出拘束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，获取最小值，且，，故答案为.【方法点晴】此题主要观察线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔 1〕作出可行域〔必然要注意是实线还是虚线〕；（2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数，最先经过或最后经过的极点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，那么数列的前项和为__________．【答案】【解析】设的公比为，那么由等比数列的性质，知，那么，由与的等差中项为，知，得，即，那么，，故答案为.16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的地址，并使，那么五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】【解析】，平面，设，那么五棱锥的体积，，得或〔舍去〕，当时，单调递加，故，即的取值范围是，故答案为.三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．〔1〕求及角的大小；〔2〕求的值．【答案】 (1)(2)【解析】试题解析：〔 1〕由及正弦定理化简可得即，进而得．又，因此，由余弦定理得；〔 2〕由，得，因此．试题解析：〔1〕由及正弦定理得，即，在中，，因此．又，因此．在中，由余弦定理得，因此．〔2〕由，得，因此．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．〔1〕求证：；〔2〕假设动点在棱上，试确定点的地址，使得直线与平面所成角的正弦值为．【答案】 (1)见解析 (2)【解析】试题解析：〔1〕连接，，，与的交点为，连接，那么，由正方形的性质可得，进而得平面，，又，因此；〔 2〕由勾股定理可得，由〔 1〕得因此底面，因此、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设〔〕，求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，进而可得结果 .试题解析：〔 1〕连接，，，因为，，因此和均为正三角形，于是．设与的交点为，连接，那么，又四边形是正方形，因此，而，因此平面．又平面，因此，又，因此．〔2〕由，及，知，于是，进而，结合，，得底面，因此、、两两垂直．如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，那么，，，，，，，，由，易求得．设〔〕，那么，即，因此．设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，那么，解得或〔舍去〕，因此当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】此题主要观察利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立合适的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔 4〕将空间地址关系转变成向量关系；〔 5〕依照定理结论求出相应的角和距离 .19. “过大年，吃水饺〞是我国很多地方过春节的一大民俗．2021 年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1〕求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔2〕①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值遵从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，假设某人从某商场购置了 4 包这类品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这类质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学希望．附：① 计算得所抽查的这100 包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设，那么，．【答案】 (1)(2)〔3〕的分布列为01234∴．【解析】试题解析：〔 1〕直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；〔 2〕①∵遵从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，依照独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，进而可得分布列，进而利用二项分布的希望公式可得的数学希望 .试题解析：〔 1〕所抽取的100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．〔2〕①∵遵从正态分布，且，，∴，∴ 落在内的概率是．②依照题意得，；；；；．∴的分布列为01234∴．20. 椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线：与椭圆订交于，两点，在轴上可否存在点，使直线与的斜率之和为定值？假设存在，求出点坐标及该定值，假设不存在，试说明原由．【答案】 (1)(2)存在点，使得为定值，且定值为0．【解析】试题解析：〔 1〕由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正.方形面积为可得，解方程组即可的结果；〔2〕由得，依照韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果 .试题解析：〔 1〕由可得解得，，所求椭圆方程为．〔2〕由得，那么，解得或．设，，那么，，设存在点，那么，，因此．要使为定值，只需与参数没关，故，解得，当时，．综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．21.函数，其中为自然对数的底数 .〔1〕假设函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；〔2〕函数，且，假设函数在区间上恰有 3 个零点，求实数的取值范围．【答案】 (1)(2)【解析】试题解析：〔1〕函数在区间上单调递加等价于在区间上恒建立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒建立，可得，综合两种情况可得结果；〔 2〕，由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，那么在区间内不仅调，因此在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，因此只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性谈论的零点，进而可得结果．试题解析：〔 1〕，当函数在区间上单调递加时，在区间上恒建立，∴〔其中〕，解得；当函数在区间单调递减时，在区间上恒建立，∴〔其中〕，解得．综上所述，实数的取值范围是．〔2〕．由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，那么在区间内不仅一，因此在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，因此在区间内恰有两个零点．由〔 1〕知，当时，在区间上单调递加，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时，在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；因此．令，得，记的两个零点为，〔〕，因此，，必有，．由，得，因此，又，，因此．综上所述，实数的取值范围为．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数，是大于 0 的常数〕．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．〔1〕求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；〔2〕分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，假设圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．【答案】 (1)，(2)，【解析】试题解析：〔 1〕先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；〔 2〕由〔 1〕知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长 .试题解析：〔 1〕圆：〔是参数〕消去参数，得其一般方程为，将，代入上式并化简，得圆的极坐标方程，由圆的极坐标方程，得．将，，代入上式，得圆的直角坐标方程为．〔2〕由〔 1〕知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，，∵圆与圆外切，∴，解得，即圆的极坐标方程为．将代入，得，得；将代入，得，得；故．【名师点睛】此题观察圆的参数方程和一般方程的转变、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转变以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，即可把参数方程化为一般方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转变即可 .23.选修 4-5 ：不等式选讲函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设正数，满足，求证：．【答案】 (1)(2)见解析【解析】试题解析：〔 1〕对分三种情况谈论，分别求解不等式组，尔后求并集，即可得不等式的解集；〔 2〕先利用根本不等式建立的条件可得，因此. 学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...试题解析：〔 1〕此不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．〔2〕∵，，，，即，当且仅当即时取等号．∴，当且仅当，即时，取等号．∴．。

2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合()(){}120A x x x =+-<，{}13B x x =<<，则AB =（ ）． A. {}12x x << B. {}23x x << C. {}13x x -<< D. {}11x x -<< 【答案】A【解析】【分析】化简集合A ，根据集合的交集运算即可求解.【详解】()(){}120(1,2)A x x x =+-<=-，{}13B x x =<< (1,2)A B ∴=故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的交集，属于容易题.2.已知()1i 3i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）．A. 3B. 3iC. 3-D. 3i - 【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算，求出复数z ，写出复数的虚部即可.【详解】()1i 3i z -=+,23(3)1123i i i z i i i+-+∴=+=+=--, ∴ z 的虚部为-3,故选：C【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的概念，属于容易题.3.已知角()02παα≤<终边上一点的坐标为7π7πsin,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则α=（ ）． A. 5π6 B. 7π6 C. 4π3 D. 5π3【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求tan α，结合角的范围写出角即可. 【详解】由诱导公式知，71sin sin()sin 6662ππππ=+=-=-，7πcos cos()cos 6662πππ=+=-=-，所以角()02παα≤<终边上一点的坐标为1(,2-， 故角的终边在第三象限，所以tan α=由02πα≤<知，43πα=故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.4.各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项的和55S =-，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则7a =（ ）．A. 14-B. 5-C. 4-D. 1- 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的求和公式及通项公式，解方程即可求出.【详解】因为55S =-， 所以154552a d ⨯+=-， 即121a d +=-，因为3a ，4a ，6a 成等比数列，所以2436()a a a =，即2(1)1(13)d d -+=-⨯-+，解得1d =-或0d =（数列各项不相等，舍去），所以734145a a d =+=--=-，故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题. 5.设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）． A. a b c <<B. c b a <<C. a c b <<D. b c a << 【答案】D【解析】【分析】 根据题意可知，12121,log ,()2x y x y x y ===的图象与1y x =-的图象的交点的横坐标依次为,,a b c ，作图可求解. 【详解】依题意可得，12121,log ,()2x y x y x y ===的图象与1y x =-的图象交点的横坐标为,,a b c ，作出图象如图：由图象可知，b c a <<，故选：D【点睛】本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题. 6.已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ）A. 在α内存在直线与直线l 异面B. 在α内存在直线与直线l 相交C. 在α内存在直线与直线l 平行D. 存在过直线l 的平面与α平行【答案】A【解析】【分析】利用M 、N 是不在α内的任意两点，可得直线l 与平面α平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M 、N 是不在α内任意两点，则直线l 与平面α平行或相交，若l 与平面α平行，则在α内不存在直线与直线l 相交，所以B 错误：若直线l 与平面α相交，则不存在过直线l 的平面与α平行，所以D 错误：若直线l 与平面α相交，则在α内都不存在直线与直线l 平行，所以C 错误；不论直线l 与平面α平行还是相交.在α内都存在直线与直线l 异面，所以A 正确.故选：A .【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.7.()322x x --的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）．A. 9B. 9-C. 3D. 3- 【答案】D【解析】【分析】变形()32332(2)(1)x x x x --=--，根据二次展开式的通项公式求解即可. 【详解】()32332(2)(1)x x x x --=--,∴含4x 的项为032212121212034333333(1)(2)(1)(2)3C x C x C x C x C x C x x ⋅-+-⋅-+-⋅=-，故选：D【点睛】本题主要考查了二项展开式，二项展开式的系数，考查了运算能力，属于中档题.8.如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）．A. 63πB. 57πC. 48πD. 39π【答案】C【解析】【分析】 由已知中的三视图可得:该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，画出直观图，数形结合可得答案.【详解】该几何体直观图为底面半径为3，高为4的圆柱中挖去一个圆锥，如图所示，该几何体的表面积为222323433448S ππππ=⋅+⋅⋅+⋅+=,故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积，圆锥的表面积，简单几何体的三视图，属于中档题.9.有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（ ）．A. 47B. 37C. 27D. 17【答案】A【解析】【分析】先求出基本事件总数3856n C ==，取出的编号互不相同包含的基本事件个数1118643332c c c m A ==,由此能求出取出的编号互不相同的概率.【详解】有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个,基本事件总数3856n C ==， 取出的编号互不相包含的基本事件个数1118643332c c c m A ==， 则取出的编号互不相同的概率是324567m p n ===， 故选：A 【点睛】本题主要考查了概率的求法，查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.10.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，与圆222x y a +=相切的直线1PF 交双曲线C 于点P （P 在第一象限），且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）． A. 103 B. 53 C. 32 D. 54【答案】B【解析】【分析】先设PF 1与圆相切于点M ,利用|PF 2|= |F 1F 2|,及直线PF 1与圆x 2 + y 2 = a 2相切，可得a ，c 之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值.【详解】设PF 1与圆相切于点M ,如图，因为212PF F F =，所以12PF F △为等腰三角形，N 为1PF 的中点， 所以1114F M PF =， 又因为在直角1F MO 中，2222211F MFO a c a =-=-， 所以1114F M b PF == ①， 又12222PF PF a c a =+=+ ②，222c a b =+ ③，由①②③可得2222c a c a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即为4()c a c a -=+，即35c a =， 解得53c e a ==， 故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于中档题.11.已知函数()1sin cos ,4f x x x x ωωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭R ，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ω的取值范围是（ ）． A. 15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 15,44⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】【分析】化简函数为())4f x x πω=+，由题意利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求得ω的取值范围. 【详解】因为()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+ 1,4x ω⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭R ， 若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭, 则1222πππω⋅-， 即124ω<≤， 由42x k ππωπ+=+得对称轴方程4,k x k Z ππω+=∈,所以42k πππω+≤且(1)4k πππω++≥，k Z ∈，解得152,24k k k Z ω+≤≤+∈, 当0k =时，1524ω≤≤，满足124ω<≤， 故ω的取值范围是1524ω≤≤， 故选：A【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题.12.设函数()()ln 2f x x k =++，函数()y g x =的图象与211x y e -=+的图象关于直线1x =对称．若实数1x ，2x 满足()()12f x g x =，且122x x -有极小值2-，则实数k 的值是（ ）．A. 3B. 2C. 1D. 1-【答案】B【解析】【分析】先求出()y g x =，根据()()12f x g x t ==得122x x -，构造函数122()x x h t -=，利用导数求极小值即可建立方程，求解即可.【详解】设(,)P x y 为函数()y g x =的图象上任意一点，则关于直线1x =对称点为(2,)P x y '-在函数211x y e -=+的图象上，所以212211xx y e e --=+=+，即()21xe y g x =+=，令()()12f x g x t ==，则21t x e k -=-，22ln(1)x t =-，所以212222ln(1)2()t x x e t k h t --=---=， 则22()2(1)1t h t e t t -'=->-， 令()0h t '=，得2t =，当12t <<时，()0h t '<，函数()h t 为减函数，当2t <时，()0h t '>，函数()h t 为增函数，所以当2t =，()h t 有极小值(2)222h k =-=-，解得2k =，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的对称性，利用导数求函数的极小值，根据极小值求参数，属于难题. 二、填空题：13.已知1a →=，2b →=，且2a b a →→→⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，则向量a →与b →的夹角为______． 【答案】2π3【解析】【分析】 根据向量夹角公式及向量的数量积运算性质即可求解.【详解】212a b a a b a a b →→→→→→→→⎛⎫⋅-=⋅-=⋅-=- ⎪⎝⎭, 1a b →→∴⋅=-，11cos ,22a a ba b b →→→→→→⋅⋅-<>===-， 0,a b π→→≤<>≤，2,3a b π→→∴<>=， 故答案为：2π3 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算性质，向量的夹角公式，属于中档题.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n a S n *-=∈N ，则4a =______． 【答案】8【解析】【分析】根据数列和与通项之间的关系，可证明{}n a 为等比数列，求出n a ，即可求出4a .【详解】1n =时，11121a S a -==2n ≥时，21n n a S -=，1121n n a S ---=，两式相减得：120n n a a --=，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a ()n *∈N ， 3428a ∴==，故答案为：8【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，等比数列的通项公式，递推关系式，属于中档题.15.焦点为F 的抛物线2:4C x y =的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则PA PF 的最大值为______．【解析】【分析】 根据抛物线定义转化为||||PA MP 取最大值，利用三角函数知直线AP 倾斜角最大时，即直线与抛物线相切时，||||PAMP取最大值，联立方程利用判别式为0即可求解.【详解】根据题意，过P做PM与准线垂直，垂足为M，如图：设MPA PAFθ∠=∠=则||||1||||cosPA PAPF MPθ==若||||PAPF取得最大值，必有cosθ取得最小值，则θ取得最大值，此时AP与抛物线相切,设直线AP的方程为(1)y k x=+联立24(1)y xy k x⎧=⎨=+⎩消去y得：22(1)4k x x+=即224210x xk⎛⎫+-+=⎪⎝⎭由224240k⎛⎫∆=--=⎪⎝⎭，解得：1k=或1k=-（舍去），由tan1kθ==，0θπ≤<知，4πθ=，所以||||PAPF22=，2【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线相切，直线的倾斜角、斜率，属于中档题.16.如图，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，22AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △，设M 为线段1A C 的中点．则在ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当1A 不在平面ABCD 内时，//MB 平面1A DE ； ②存在某个位置，使得1DE A C ⊥； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥1C A DE -体积最大时，其外接球的表面积为13π3． 其中，所有正确结论的序号是______．（请将所有正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，；MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，所以面MNB ∥面A 1DE ，所以MB ∥面A 1DE ； ②用反证法，假设存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，在△CDE 中，由勾股定理易知，CE ⊥DE ，再由线面垂直的判定定理可知，DE ⊥面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与已知相矛盾；③由①可知，可得MN 、NB 和∠MNB 均为定值，在△MNB 中，由余弦定理可知，MB 2＝MN 2+NB 2﹣2MN •NB cos ∠MNB ，所以线段BM 的长是定值；④当体积最大时，平面1A DE ⊥平面BCDE ，可得EC ⊥平面1A DE ，设外接球球心为O ,半径为R ,根据球的性质可知22211R OO O E =+，即可求出半径，计算球的表面积.【详解】①取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，如图，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，且MN ∩NB ＝N ，A 1D ∩DE ＝D ，所以面MNB ∥面A 1DE ，所以MB ∥面A 1DE ，即①正确； 且MN ＝11A D 2＝定值；NB ∥DE ，且NB ＝DE ＝定值，所以∠MNB ＝∠A 1DE ＝定值， ②假设存在某个位置，使DE ⊥A 1C ．由AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°可求得DE ＝1，3CE =，所以CE 2+DE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，所以DE ⊥面A 1CE ，因为A 1E ⊂面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与已知相矛盾，即②错误；③由①可知，MN ∥A 1D 且MN ＝11A D 2＝定值；NB ∥DE ，且NB ＝DE ＝定值，所以∠MNB ＝∠A 1DE ＝定值，由余弦定理得，MB 2＝MN 2+NB 2﹣2MN •NB cos ∠MNB ，所以BM 的长为定值，即③正确；④当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，三棱锥1C A DE -体积最大，此时因为EC DE ⊥,DE 是平面1A DE 与平面DEC 的交线，所以EC ⊥平面1A DE ，设正三角形1A DE 中心为1O ,棱锥外接球球心为O ,半径为R ，则OE OC =，设NB 与EC 交于Q ，连接OQ ，1O E ，如图：易知1//OO EC ，1OQ O E =，由题意可知1A DE △为边长为1的等边三角形，3CE =, 则有12331323O E =⨯⨯=,11322OO QE EC ===，所以22222113313(()3212R OO O E =+=+=，故球的表面积为21343S R ππ==，即④正确. 故答案为：①③④．【点睛】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos 4cos a B c b A =-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若4b =，点M 在线段BC 上，且2AB AC AM →→→+=，AM →=，求ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）1cos 4A =【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正弦定理转化为三角函数化简即可求解；（Ⅱ）2AB AC AM →→→+=两边平方化简可得c ，代入三角形面积公式即可求解.【详解】（Ⅰ）因为()cos 4cos a B c b A =-， 由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos sin cos 4sin cos A B B A C A +=，可得sin 4sin cos C C A =， 在ABC 中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =． （Ⅱ）∵2AB AC AM →→→+=，两边平方得：22224AB AB AC AC AM →→→→→+⋅+=，由4b =，AM →=1cos 4A =， 可得：212416464c c +⋅⋅+=⨯，解得2c =或4c =-（舍）．又sin A ==ABC 的面积14224S =⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了正弦定理，数量积的运算，三角形面积公式，属于中档题.18.某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量()1,2,3,4,5i y i =的数据进行了统计，得到如下表数据：（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程ˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．【答案】（Ⅰ） 3.240ˆy x =-+（Ⅱ）可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据参考数据由回归系数公式计算ˆb，再由ˆˆa y bx =-计算ˆa ，即可写出回归直线方程； （Ⅱ）由回归直线方程预测7x =时的估计值，检测即可知是否理想； （Ⅲ）写出销售利润，利用二次函数求最值即可. 【详解】（Ⅰ）因为()11110.5109.59105x =++++=，()1568101185y =++++=． 所以23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯，所以()ˆ8 3.21040a=--⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为： 3.240ˆyx =-+． （Ⅱ）当7x =时，ˆ 3.274017.6y=-⨯+=，则17.6180.40.5-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）设销售利润为M ，则()()()5 3.240511M x x x =--+<≤23.256200M x x =-+-，所以8.75x =时，M 取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，利用线性回归方程解决实际问题，二次函数求最值，属于中档题.19.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=．（Ⅰ）证明：11B C AC ⊥；（Ⅱ）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为11A C 的中点，求1B C 与平面1AB M 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）226【解析】 【分析】（Ⅰ）根据等边三角形可知1B D AB ⊥，CD AB ⊥，可得AB ⊥平面1B CD ，进而可求1B C ⊥平面1ABC ，即可求证11B C AC ⊥；（Ⅱ）以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.【详解】证明：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC ．如图，∵三棱柱的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=， ∴ABC 和1ABB △是边长为2的等边三角形，且11B C BC ⊥． ∴1B D AB ⊥，CD AB ⊥．∵1B D ，CD ⊂平面1B CD ，1⋂=B D CD D ， ∴AB ⊥平面1B CD ．∵1B C ⊂平面1B CD ，∴1AB B C ⊥． ∵AB ，1BC ⊂平面1ABC ，1AB BC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ， ∴11B C AC ⊥．（Ⅱ）∵平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（Ⅰ）知1B D AB ⊥， ∴1B D ⊥平面ABC ．则DB ，1DB ，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴， 建立空间直角坐标系．则()0,0,0D ，()1,0,0A -，(13B ，()3,0C ，(13,3C -，(13A -∵M 为11A C 的中点，∴3332M ⎛- ⎝，∴(13,3B C →=-，(13AB →=，1332AM →⎛=- ⎝，设平面1AB M 的法向量为(),,n x y z =，则130133022AB n x z AM n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1z =，得()3,3,1n →=--． 设1B C 与平面1AB M 所成的角为α，则1143226sin 613B C nB C nα→→→→⋅===⋅⋅∴1B C 与平面1AB M 所成角的正弦为13． 【点睛】本题主要考查了线线、线面垂直的判定与性质，线面角的向量求法，考查了空间想象力及运算能力，属于中档题.20.已知函数()()()22ln f x a x ax x a =++-∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）设()2323g x x x =-，若(]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）310x y --=（Ⅱ）1a ≥- 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出斜率，写出切线方程；（Ⅱ） 由题意问题转化为求()()12min min f x g x ≥，利用导数分别求函数的最小值，建立不等关系即可求解.【详解】（Ⅰ）当0a =时，()22ln f x x x =-，()14f x x x'=-， 则()12f =，()13f '=，故曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为310x y --=． （Ⅱ）问题等价于(]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()()12min min f x g x ≥．由()2323g x x x =-得()222g x x x '=-， 由()2220g x x x '=-≥得01x ≤≤，所以在[]0,1上，()g x 是增函数，故()()min 00g x g ==．()f x 定义域为()0,∞+，而()()()()()22121221122x a x a x ax f x a x a x x x++-⎡⎤++-⎣⎦'=++-==． 当2a ≤-时，()0f x '<恒成立，()f x 在(]0,1上是减函数， 所以()()()min 12101f x f a a ==+≥⇒≥-，不成立； 当2a >-时，由()0f x '<，得102x a <<+；由()0f x '>，得12x a >+，所以()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递减．若112a >+，即21a -<<-时，()f x 在(]0,1是减函数， 所以()()()min 12101f x f a a ==+≥⇒≥-，不成立； 若1012a <≤+，即1a ≥-时，()f x 在12x a =+处取得最小值， ()()min 111ln 222f x f a a a ⎛⎫==++- ⎪++⎝⎭， 令()()()11ln 212h a a a a =++-≥-+， 则()()()221130222a h a a a a +'=+=>+++在[)1,-+∞上恒成立， 所以()h a 在[)1,-+∞是增函数且()()min 10h a h =-=， 此时()min 102f x f a ⎛⎫=≥⎪+⎝⎭成立，满足条件．综上所述，1a ≥-．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数研究函数的最小值，转化思想，属于难题. 21.点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是常数12． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为32-． （ⅰ）求直线BP 的斜率； （ⅱ）求ABP △面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）（ⅰ）12（ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用已知条件可得等式，化简可得曲线C 的轨迹方程;（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --,利用点差法即可求解；（ⅱ）由题意转化为2ABP OAP S S =△△，由弦长公式及点到直线的距离求出2ABP OAP S S =△△，利用二次函数求最值即可.【详解】12=，两边平方并化简得223412x y +=，即点M 的轨迹C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --，满足2211143x y +=， ①设点()22,P x y ，满足2222143x y +=， ②由①－②得：()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=，∵121232AP y y k x x -=-=--，1212BP y y k x x +=+，∴121212BP y y k x x +==+．（ⅱ）∵A ，B 关于原点对称， ∴2ABP OAP S S =△△，设直线3:2AP y x m =-+，代入曲线22:143x y C +=化简得：223330x mx m -+-=，设()11,A x y ，()22,P x y ，由>0∆得：212m <，12x x m +=，21233m x x -=，12AP x =-==， 点O到直线AP 的距离d =，∴1222ABP OAPS S AP d m ==⨯⨯⋅==△△，∴ABPS ==△，当26m =时，∴ABP S △取到最大值【点睛】本题主要考查了椭圆的轨迹方程，点差法，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积，属于难题.（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），将曲线1C 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线2C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线():0OM θαρ=≥分别与曲线1C 、2C 交于点A ，B （A ，B 均异于坐标原点O ），若AB =α的值．【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=．2sin ρθ=．（Ⅱ）()π2π12k k α=+∈Z 或()5π2π12k k α=+∈Z ． 【解析】 【分析】（1）化参数方程为普通方程，再利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=化极坐标方程； （2）根据极坐标的极径的意义可知12AB ρρ=-，化简即可求解. 【详解】（Ⅰ）∵()221cos 1cos 11sin sin x x x y y y ϕϕϕϕ=+-=⎧⎧⇒⇒-+=⎨⎨==⎩⎩． ∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=．因曲线1C 是圆心为()1,0，半径为1的圆，故曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-=．∴曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，则12π2sin cos 4AB ρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭所以π1sin 42α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，因为π2π2π2k k α<<+，所以()ππ2π46k k α-=±∈Z ． 所以()π2π12k k α=+∈Z 或()5π2π12k k α=+∈Z ． 【点睛】本题主要考查了参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，极径的几何意义，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>．（Ⅰ）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（Ⅱ）若()f x 的值域为[)2,+∞，证明：111211a b ab++≥++． 【答案】（Ⅰ）{}02x x <<．（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分区间讨论去掉绝对值号即可求解； （Ⅱ）根据绝对值不等式可得2a b +=，变形()()114a b +++=，利用基本不等式即可求证.【详解】（Ⅰ）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<． 综上可知，不等式的解集为{}02x x <<．（Ⅱ）()f x x a x b a b =-++≥+，∵()f x 的值域为[)2,+∞，且0a >，0b >，故2a b +=． 故()()11111111111411a b a b ab a b ab⎛⎫++=+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 11112411b a a b ab++⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭21221124a b ⎛⎛⎫≥++=+= ⎪ +⎝⎭⎝（当且仅当1a b ==时取等号）． 【点睛】本题主要考查了分类讨论解不等式，基本不等式的运用，属于中档题.。

衡水金卷2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 2．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin f x x =-D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A ．52B ．4C ．2D ．54．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度5．已知函数()(N )k f x k x +=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．56．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+7．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+ B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 8．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．9．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年10．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值11．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．8312．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）(模拟)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）（08浙江）已知集合，，则（A ）（B ） （C ） （D ）选A【解析】本题考查集合的概念与运算。

（2）（08宁夏海南）设等比例数列的公比，前项和为，则（A ）2 （B ）4 （C ）（D ）选C【解析】设等比数列的首项为则，故选C 。

（3）（09山东）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )． （A）2π+（B ） 4π+ （C ） 2π+（D ） 43π+ 选C{|0}A x x =>{|12}B x x =-≤≤A B ={|1}x x ≥-{|2}x x ≤{|02}x x <≤{|12}x x -≤≤}{n a 2=q n n S =24a S 215217}{n a ,1a ,1514a S =215,22412==a S a a 侧(左)视图正(主)视图俯视图【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为2133⨯=所以该几何体的体积为2π+（4）（07重庆）若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） （A ）10 （B.）20 （C ）.30 （D.）120选B【解析】：本题考察二项式定理展开式的基础知识 （5）（10安徽）设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l距离为71010的点的个数为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4选 B【解析】：曲线C 的参数方程为普通方程：22(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320x y -+=的距离3d ==<，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又3>，在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.（6）（06福建）已知︱︱=1，︱︱=3,∙=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设=m +n (m 、n ∈R )，则nm等于 A.31 B.3 C.33 D.3 选B 【解析】：1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AB 上，且AOC ∠30o=。

姓名准考证号2023届高三全县模拟适应性考试数学试题本试卷共6页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：］.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码帖贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

军在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一井上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={xlx 2十2.x-3<0｝，集合B={xiy=ln(x+l）｝，则AnB=A.( -1 , 3)B.（一3,1)C.(-1,1)D.(-1,+oo)2.已知复数z满足二（3一i)=Ii C ./3一i)I ，则户A.s-tic 主－1-j . 5 53.[2£一奸的展开式中的常数项是3 1. B 一＋－1. 5 5 6 2.D .一一＋－15 5A. -20B. 20C.一160D.1604.两千多年前，我国首部数学专著《丸章算术》是数学的瑰宝，世人惊叹祖先的智慧．其中早就提出了宛回（扇形面积〉的计算方法：“以径乘周，四而一”（意思是说直径与弧长乘积的四分之一〉，已知扇形AOB 的圆心角为α(O ＜α〈刑，弧长为何，且I OA 一2司l=J3仄nJ ，则它的面积为A.24πB.12πc. 48πD.32π鼓学试题第i页｛共6页）5.我国是一个人口大国，产粮、储粮是关系国计民生的大事．现某储章良机构Jr.{在长100米．宽80米的长方形地而建立两座完全相同的粮仓（设计要求：顶部为圆锥形，底部为囚柱形．四锥高与底丽直径为l : 10，粮仓高为50米，两座粮仓连体紧报短形一边），已知稻谷容量为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个粮仓最多能储存稻谷（π取近似伯3)八105000吨 B.68160吨c.157 000 fj吨D.146 500吨6已知函数／（x)= 2sin (wx 一队＞O,O＜ψ＜π）的一条对称轴为x ＝卜，一个对称中心为（？，。