2021年衡水金卷高考模拟理科数学试题及答案解析

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十五）理科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}240P x x x =->，(){}2log 12Q x x =-<，则()RP Q =（ ）A. []0,4B. [)0,5C. (]1,4 D. [)1,5【答案】C 【解析】 【分析】先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合P 、Q ，然后结合集合交、并、补的混合运算求解即可. 【详解】解：解不等式240x x ->，得4x >或0x <，即{4P x x =或}0x <， 即R C P ={}04x x ≤≤,解不等式2log (1)2x -<，得014x <-<，即15x <<，即{}15Q x x =<<，即()RP Q ={}14x x <≤=(]1,4，故选：C.【点睛】本题考查了二次不等式及对数不等式的解法，重点考查了集合交、并、补的混合运算，属基础题. 2.若复数z 满足()()2212z -=+i i ，则z =（ ）A. 3B.C. 2D.【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法及除法运算可得2z i =-+，然后求其模即可. 【详解】解：由()()2212z -=+i i ，则2(12)(34)(2)10522(2)(2)5i i i iz i i i i +-++-+====-+--+，所以z == 故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘法及除法运算，重点考查了复数模的运算，属基础题. 3.在ABC 中，“·0AB BC ＞” 是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积和两向量夹角的定义，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论；【详解】在△ABC 中，若·0AB BC ＞，则cos （π﹣B ）＞0，即cos B ＜0，B 为钝角，则△ABC 是钝角△；若△ABC 是钝角△，不一定B 角为钝角，则·0AB BC ＞不成立，所以“·0AB BC ＞” 是“ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：C.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法:1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 4.已知函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由cos 2y x =的图象经过怎样的变换得到?（ ）A. 向左平移3π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度D. 向右平移6π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式及三角函数图像的性质可得2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，然后结合函数图像的平移变换求解即可.【详解】解：由函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则22T π=，即T π=， 则2ππω=，即2ω=，则sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 又函数cos 2()3y x π=-的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到，即函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到， 故选：C.【点睛】本题考查了诱导公式及三角函数图像的性质，重点考查了函数图像的平移变换，属基础题. 5.七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是（ ）A.38B.516C.716D.13【答案】C 【解析】 【分析】设大正方形的边长为4，阴影部分可看做一个等腰直角三角形和梯形，然后分别求出其面积，代入几何概型的概率公式求解.【详解】设大正方形的边长为4，则面积为4416⨯=，阴影部分：一部分可看做一个等腰直角三角形，直角边边长为221222242⨯=， 2，下底为222，面积为(1222232⨯=， 所以此点取自阴影部分的概率是4371616p +==. 故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，以及数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 6.已知sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ） A . 0B. 1C.22D.3【答案】A 【解析】 【分析】利用和差角公式可求得tan α的值，再利用二倍角的余弦公式结合弦化切的思想可求得cos2α的值.【详解】sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3113cos sin cos 2222αααα+=+，可得tan 1α=，222 22222cos sin1tancos2cos sin0cos sin1tanααααααααα--∴=-===++.故选：A.【点睛】本题考查三角求值，考查和差角公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.142π+B.510122π++C.5101224π+++D.1244π++【答案】D【解析】【分析】根据三视图知几何体是一个四分子一圆锥与一个三棱锥的组合体，分别计算其表面积得解. 【详解】四分子一圆锥表面积1111212211442242Sππ+=+⨯+⨯⨯=+12112ABD BCDS S∆∆==⨯⨯=,13322222ACDS∆==所以组合体表面积为1131+1+1+=4+4224+++ 故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体求表面积问题.几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．8.在12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为（ ）A. 56B. 448C. 408D. 1792【答案】B 【解析】 【分析】由12n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，可得8n =，再结合812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为882182r r rr T C x --+=求解即可.【详解】解:由12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则26n n C C =,即268n =+=,则812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为88821881(2)()2r r r r r rr T C x C xx ---+==, 令822r -=-, 则=5r , 则该展开式中21x的系数为85582448C -=, 故选:B.【点睛】本题考查了二项式系数，重点考查了二项式展开式通项公式及指定项系数，属基础题.9.孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（ ）A. 132B. 133C. 134D. 135【答案】D 【解析】 【分析】列举出该数列的前几项，可知该数列{}n a 为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列{}n a 的通项公式，然后求解满足不等式22021n a ≤≤的正整数n 的个数，即可得解. 【详解】设所求数列为{}n a ，该数列为11、26、41、56、，所以，数列{}n a 为等差数列，且首项为111a =，公差为261115d =-=， 所以，()()1111151154n a a n d n n =+-=+-=-， 解不等式22021n a ≤≤，即21542021n ≤-≤，解得21355n ≤≤， 则满足21355n ≤≤的正整数n 的个数为135， 因此，该数列共有135项. 故选：D.【点睛】本题考查数列项数的计算，求出数列的通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 10.已知点()(),n n a n *∈N在函数ln y x =图象上，若满足12n a a a nSe e e m =+++≥的n 的最小值为5，则m 的取值范围是（ ） A. (]10,15 B. (],15-∞C. (]15,21D. (],21-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】求得ln n a n =，进而可得出()1122n n n S n +=+++=，由题意可得出45S m S <≤，由此可得实数m 的取值范围.【详解】由于点()(),n n a n *∈N 在函数ln y x =图象上，则ln nan =，则n a e n =，所以，()121122n a a a n n n S e e e n +=+++=+++=， 由于满足12n a aan S e e e m =+++≥的n 的最小值为5，则45S m S <≤，所以，1015m <≤.因此，实数m 的取值范围是(]10,15. 故选：A.【点睛】本题考查参数取值范围的计算，考查了等差数列求和公式的应用，根据题意得出45S m S <≤是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11.已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点，过()1,0F c -作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B.2 C. 3D.3【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，设1AF m =，可得22AF m a =+，根据角平分线定理可得1122AF MF AF MF =，可得出m 与a 的等量关系，再利用勾股定理可得出a 、c 的关系式，进而可求得双曲线的离心率. 【详解】设1AF m =，可得22AF m a =+，如下图所示：由于12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则121122213423AMF AMF c S AF MF SAF MF c ====，即122m m a =+，12AF m a ∴==，224AF m a a =+=，在12Rt AF F △中，由勾股定理可得2222112AF AF F F =+，即()()()222422a a c =+，c ∴=，因此，椭圆的离心率为==ce a. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查了利用双曲线的定义求解焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题. 12.已知方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()1,e -B. 1,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()1,1-D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 将等式变形为1111x x x xe ae--+=-，换元()1x x u x e -=，可得出()2110u a u a +---=，利用导数分析得出函数()1x xu x e-=的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】将等式()2111x x x e e x x ae---+=-变形1111x x x xe a e--+=-，令()1x xu x e -=，则11u u a+=-即()2110u a u a +---=， ()11x xu x--'=，令()0u x '=，得1x =，列表如下：所以，函数()1x x u x e-=的单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，函数()1x x u x e -=的极大值为()11u =，作出函数()y u x =的图象如下图所示：由于方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则()10,1u ∈，{}(]210,u ∈+∞，①当20u =时，则10a --=，得1a =-，关于u 的方程为220u u +=，解得12u =-，不合乎题意； ②当21u =时，则120a -=，得12a =，关于u 的方程为2230u u +-=，解得132u =-，不合乎题意； ③当()10,1u ∈，()2,0u ∈-∞时，由二次方程根的分布得()101110a a a --<⎧⎨+--->⎩，解得11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上所述，实数a 的取值范围是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究复合函数的零点问题，一般要将复合函数分解为内层函数和外层函数来进行分析，同时也考查了二次方程根的分布，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 、b 满足：2a =，3b =，a 与b 夹角为120，则2a b +=_______. 【答案】7 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2a b +的值. 【详解】()22222244a b a ba ab b +=+=+⋅+224cos1204a a b b=+⋅+ 221242343282⎛⎫=+⨯⨯⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，因此，227a b +=. 故答案为：27.【点睛】本题考查平面向量模的计算，考查平面向量数量积的运算律和定义，考查计算能力，属于基础题. 14.已知正三棱锥P ABC -，23AB =，25PA =，则此三棱锥外接球的半径为_______. 【答案】52【解析】 【分析】作出图形，找出外接球球心的位置，根据几何体的结构特征列等式可求三棱锥P ABC -外接球的半径. 【详解】如下图所示：设点G 为ABC 的外心，则PG ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的外接球球心O 在直线PG 上，设其外接球的半径为R ， 由正弦定理得22sin3AB AG π==，224PG PA AG ∴-=，在Rt OAG 中，4OG PG R R =-=-，由勾股定理得222OA OG AG =+，即22224R R =+-，解得52R =. 故答案为：52. 【点睛】本题考查三棱锥外接球半径的计算，解题时要充分分析几何体的结构特征，找出球心的位置，通过几何体的结构特征列等式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15.已知定义域为R 的函数()2222020sin 2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，则λμ-=_______. 【答案】2- 【解析】 【分析】计算出()22020sin 2xxf x e xμλ=+++，利用函数()y f x =有最小值和最大值推导出0λ=，进而得出()()2f x f x μ+-=，可得出函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，进而可求得μ的值，由此可计算出λμ-的值.【详解】()22222020sin 2020sin 22x x xe e x x xf x e x xλλμμλ++=+=++++， 若0λ<，则函数()y f x =无最小值，不合乎题意； 若0λ>，则函数()y f x =无最大值，不合乎题意. 所以，0λ=，则()22020sin 2xf x xμ=++， 则()()()()222020sin 2020sin 222x x f x f x x x μμμ-+-=+++=++-， 所以，函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，则()()max min 42f x f x μ+==，则2μ=， 因此，2λμ-=-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查利用函数的最值求参数的值，解答的关键在于推导出0λ=，并求出函数()y f x =的对称中心，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，a =b =_______【答案】【解析】利用余弦定理可求得tan C 的值，利用正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式可求得4A π=，进而可求得sin B 的值，利用正弦定理可求得b 的值. 【详解】222sin a b c ab C +-=，即2cos sin ab C ab C =，tan 2C ∴=，由22sin tan 2cos sin cos 1sin 0C C C C C C ⎧==⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin cos 5C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos sin a B b A c +=，由正弦定理得()sin cos sin sin sin sin sin cos cos sin A B A B C A B A B A B +==+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=.0B π<<，sin 0B ∴>，则tan 1A =，0A π<<，4A π∴=，())sin sin sin cos sin 4210B A C C C C π⎛⎫∴=+=+=+=⎪⎝⎭. 由正弦定理得sin sin b aB A=，得sin sin a B b A ===.故答案为：【点睛】本题考查三角形边长的计算，涉及余弦定理和正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()20n n S a n n N *+-=∈.（1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求数列{}n a n -的前n 项和n T .【答案】（1）详见解析；（2）2111432n n nT ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭．【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥由20n n S a n +-=可得()11210n n S a n --+--=，两式相减可得131n n a a -=+，利用等比数列的定义可证明出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）由（1）求得数列{}n a n -的通项公式，然后利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）当1n =时，11210S a +-=，解得113a =； 因为()20n n S a n n N*+-=∈，①当2n ≥时，()11210n n S a n --+--=，②①-②得131n n a a -=+即11133n n a a -=+，当2n ≥时，11111111332211322n n n n a a a a ---+--==--， 又11126a -=-，所以12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，以13为公比的等比数列；（2）由第一问可得111232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，111232nn a n n ⎛⎫-=-⋅-+ ⎪⎝⎭，根据等比数列前n 项和公式和分组求和得：()1113311122213nn n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-+-，化简得：2111432n n n T ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了分组求和法，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18.我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能常见的口罩有90KN 和95KN （分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种，某口罩厂两条独立的生产线分别生产90KN 和95KN 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：（1）试分别估计两种口罩的合格率；（2）假设生产一个90KN 口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个95KN 口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，①设X 为生产一个90KN 口罩和生产一个95KN 口罩所得利润的和，求随机变量X 的分布列和数学期望； ②求生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率【答案】（1）90KN 口罩合格率为80%；95KN 合格率为90%（2）①分布列详见解析，数学期望为9.2；②512625． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合表中数据即可求解.（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11，利用相互独立事件的概率乘法公式求出各随机变量的概率即可列出分布列，利用期望公式即可求解；②根据题意可知事件包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”，由二项分布的概率求法4334441555P C ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】解（1）由题意知生产90KN 口罩合格率为142317480%1005P ++===，生产口罩95KN 合格率为247358990%10010P ++===；（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11()111351050P X =-=⨯=()414215105025P X ==⨯==()199751050P X ==⨯=()493618115105025P X ==⨯==因此，X 的分布列如下：P150 225 950 1825∴()469.25E X ==（元） ②设“生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元”事件为A ，事件A 包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”所以()4334441512555625P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率为512625. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、二项分布，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，17PA PD ==，E 为PA 中点，点F 在PD 上且EF ⊥平面PCD ，M 在DC 延长线上，//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =(1)证明：//EF 平面PBM ；(2)设点N 在线段BC 上，若二面角E DN A --为60︒，求BN 的长度． 【答案】(1)详见解析；(2)1122-． 【解析】 【分析】(1) 要证//EF 平面PBM ，只需证明EF 平行于平面PBM 内一条直线即可，取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，可证四边形EFHG 为平行四边形，从而可得//EF GH ，根据线面平行的判定定理即可证出；(2) 取AD 的中点O ，连结PO ，可证PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OD 为y 轴，OP 为z 轴建系，设()2,,0N a ()11a -≤≤，求出平面EDN 的法向量n 及平面ABCD 的法向量m ，根据二面角E DN A--为60︒，利用夹角公式列出方程即可求出a ,进而可求出BN 的长度．【详解】(1)证明：取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，则//EG AB ，且112EG AB ==，因为//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =， 又因为//AB DM ，所以//EG FH ，EG FH =， 所以四边形EFHG 为平行四边形，所以//EF GH ，又EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ， 所以//EF 平面PBM .(2)由EF ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以EF CD ⊥，又AD CD ⊥，EF 和AD 在平面PAD 内显然相交， 所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面PAD ，取AD 的中点O ，连结PO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥， 又平面ABCD平面PAD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，在等腰PAD △中，221714PO PA AO =-=-=，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0O，()0,1,0A -，()0,1,0D ，()0,0,4P ，因为E 为PA 的中点，所以10,,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭， 设()2,,0N a ()11a -≤≤，设平面EDN 的一个法向量(),,n x y z =，30,,22DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0DN a =-，由00n DE n DN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得()3202210y z x a y ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩，令2y =，得32z =，1x a =-，所以31,2,2n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =，所以()232cos ,9144n m n m n ma ⋅〈〉==-++，因为二面角E DN A --为60︒，所以()232cos 609144a =-++即312=，解得12a =-，所以()122BN a =--=-. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，已知二面角的大小逆向探求点的位置，关键是求出二面角的两半平面的法向量，根据夹角公式列出方程，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）经过定点()(),02Q m m >的直线l 交椭圆C 于不同的两点M 、N ，点M 关于x 轴的对称点为M '，试证明：直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点，且4OQ OS ⋅=（O 为原点）． 【答案】（1）22143x y +=；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，进而可求得椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为()y k x m =-，设点()11,M x y 、()22,N x y ，可得点()11,M x y '-，设点(),0S n ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由M '、S 、N 三点共线可得出M S NS k k '=【详解】（1）由题意得22212122c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率一定存在，设为k ，设()11,M x y 、()22,N x y ，则()11,M x y '-，设(),0S n ，联立()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222223484120k x k mx k m +-+-=，由>0∆得()22430mk -+>，即2234k m <-时，M ，N 一定存在， 2122843k m x x k ∴+=+，2212241243k m x x k -⋅=+. 当斜率k 不为0时：因为M '、N 、S 三点共线，M S NS k k '=，1212y y x n x n-=--，即()()21120y x n y x n -+-=， 即()()()()21120k x m x n k x m x n --+--= 化简()()2112220x x n m x x mn -+⋅++=， 代入韦达定理化简得24043mn k -=+，即4mn =，4n m =， 4,0S m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，且4OQ OS mn ⋅==，当斜率0k =时，直线M N '与x 轴重合，满足结论． 综上，直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点4,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，且4OQ OS ⋅= 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点问题的求解，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数()()22ln af x a x x x=++-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()2ln h x f x x =-有两个不同的极值点1x 、()212x x x <，求证：()()()121285ln 22f x f x x x +->-；（3）设1a =-，函数()2f x x x++的反函数为()k x ，令()x i n i k x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，若[]1,1x ∈-时，对任意的n *∈N 且2n ≥，()()()1211n ni k x k x k x e-≥恒成立，求m 的最小值. 【答案】（1）具体详见解析；（2）证明见解析；（3）12-．【解析】 【分析】（1）求得函数()y f x =的定义域和导数()()()22x x a f x x--'=-，对a 与2的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，进而可得出函数()y f x =的单调区间；（2）求得()222x ax ah x x-+'=-，由题意可知方程220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x ，可求得a 的取值范围，并列出韦达定理，进而可得出()()()()12122ln 22f x f x x x a a a +-=+-，然后构造函数()()()2ln 22u a a a a =+-，利用导数证明出()()85ln 22u a >-即可；（3）根据题意得出x k x e =，进而可得()xi n i k x k⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，由已知条件得出121x xxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分析出函数121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[]1,1-上的单调性，可得出12n m --≤，进而可求得m 的最小值. 【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()222221x x a a af x x x x--+'=--=- ①当0a ≤时，由()0f x '>得02x <<；由()0f x '<，得2x >.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； ②当02a <<时，由()0f x '>得2a x <<；由()0f x '<得0x a <<或2x >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞；③当2a =时，()0f x '≤对任意的0x >恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+单调递减； ④当2a >时，由()0f x '>得2x a <<；由()0f x '<得02x <<或x a >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； 当02a <<时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞； 当2a =时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当2a >时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞；（2）证明：()()22ln ln ah x f x x a x x x=-=+-，0x > ()222221a a x ax ah x x x x-+'=--=- 由已知函数有两个不同的极值点1x 、2x ，知()0h x '=有两个不等的正实数根，即220x ax a -+=有两个不等正实数根，即12120020x x a x x a ∆>⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得8a >，()()()()121211221212222ln 2ln a a f x f x x x a x x a x x x x x x +-=++-+++--()()()()121212121222ln a x x a x x x x x x x x +=++-+-()()()()22ln 222ln 222a aa a a a a a a a⋅=++--=+-，令()()()2ln 22u a a a a =+-，8a >，()()()()12ln 222ln 21u a a a a a a'=++-=+-，因为8a >，所以()ln 210a ->，()0u a '>，所以()y u a =在()8,+∞单调递增，()()()810ln161685ln 22u a u ∴>=-=-，结论得证； （3）当1a =-时，()2ln f x x x x++=，则x k x e =， 所以()xi n i k x e⎛⎫⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，*n N ∈且2n ≥，对[]1,1x ∈-，()()()121121xxxn m n n n n k x k xk x eeee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=≥恒成立，即121xxxn m n n n ee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，即121xxxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为xi y n ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,1x ∈-单调递减，所以121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也递减， 当1x =时，min 12112112x xxn n n n n n n nn ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即对任意n *∈N 且2n ≥，12n m --≤恒成立， 显然当2n =时，min 1122n -⎛⎫=⎪⎝⎭，即12m -≤，即12m ≥-，所以m 的最小值为12-． 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式以及求解函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．22.已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）在（1）中，设曲线C经过伸缩变换,x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到曲线1C ，设曲线1C 上任意一点为()00,M x y ，当点M 到直线l 的距离取最大值时，求此时点M 的直角坐标．【答案】（1）22:4C x y +=，10l y +-=；（2）(M ．【解析】 【分析】（1）由222x y ρ=+可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线l 的参数方程中消去参数t 可将直线l 的参数方程化为普通方程；（2）利用伸缩变换求得曲线1C 的普通方程，进而可得出曲线1C 的参数方程，设点()2cos ,M θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式、正弦函数的有界性可求得点M 到直线l 的距离的最大值，并求出对应的点M 的坐标.【详解】（1）将曲线C 的极坐标方程化为24ρ=，由222x y ρ=+，所以，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=.在直线l 的参数方程中消去参数t10y +-=，所以，直线l10y +-=；（2）由伸缩变换,,x x y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得,,3x x y y =⎧=''⎪⎨⎪⎩带入圆的方程C 得2243y x ''+=， 化简得曲线221:1412x y C +=，其参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，且[)0,2θ∈π），设点()2cos ,M θθ，点M到直线10l y +-=距离为：d ==02θπ≤<，则9444πππθ≤+<，所以，当342ππθ+=时，即当54πθ=时，d取最大值，即max d =，此时，点M的坐标为(.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程求解椭圆上的点到直线距离的最值，考查计算能力，属于中等题. 23.已知2()2|1|.f x x x =+- （1）求不等式|2|()x f x x>的解集； （2）若f (x )的最小值为M ，且a +b +c =M (a ，b ，c ∈R )≥ 【答案】（1）{|0x x <或}1x > （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式性质，进行分类讨论即可；（2）由题知f (x )的最小值为M =1，再根据基本不等式推理论证即可证明.【详解】（1）由题可知，()22224,122,0124,0x x x x f x x x x x x x x ⎧+-≥⎪-=-≤<⎨⎪-+<⎩则()20x f x x->的解集为{|0x x <或}1x >综上，不等式|2|()x f x x>的解集为{|0x x <或}1x > （2）由题可知，f (x )的最小值为M =1（1x =时取得）， 即1a b c ++=， 由柯西不等式，得，()()()2222211a b ab +≥≥+⇒+≥2a b c ++≥=得证（等号成立条件==a b c ）【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用柯西不等式的简单证明，难度一般，利用基本、柯西不等式证明结论时，注意等号成立条件.。

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十九）数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1z i =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（ ）A. 0B. 1C.D. 2 【答案】C【解析】【分析】根据模长的定义求得结果.【详解】1z i =-+== 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =，则()U A B =（ ）A. {1,0,1}-B. {1,0,1,2}-C. {|2}x x <D. {|12}x x -<【答案】A【解析】【分析】 根据补集定义求得U C B ，再利用交集定义求得结果. 【详解】{}2U C B x x =< (){}1,0,1U AC B ∴=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题.3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ） A. α∃∈R ，sin 0α≠B. α∀∈R ，sin 0α≠C. α∀∈R ，sin 0α<D. α∀∈R ，sin 0α> 【答案】B【解析】【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（ ）A. sin y x =B. y x =C. 3y x =-D. )ln y x = 【答案】D【解析】【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除,,A B C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确.【详解】sin x 不是单调递增函数，可知A 错误； x x -=，则函数y x =为偶函数，可知B 错误；3y x =-在(),-∞+∞上单调递减，可知C 错误；)ln ln ln x x ⎫==-⎪⎭，则)ln y x =为奇函数；当0x ≥时，x 单调递增，由复合函数单调性可知)lny x =在[)0,+∞上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确.本题正确选项：D 【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S S =2，则数列{}n a 的公比q =（ ）A. -1B. 1C. ±1D. 2 【答案】C【解析】【分析】分别在1q =和1q ≠列出4S 和2S ，构造方程求得结果.【详解】当1q =时，41124222S a a S ==⨯=，满足题意当1q ≠时，由42S S =2得：()()421112111a q a q q q --=--，即212q +=，解得：1q =-综上所述：1q =±本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略1q =的情况造成求解错误. 6.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,则PFQ △的周长的最小值为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D【解析】【分析】 记椭圆的另一个焦点为1F ,则1QF PF =,由1+2PF PF a =,PQ 2b ≥,即可求出PQF ∆周长的最小值．【详解】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F,则根据椭圆的对称性知道:1QF PF = ,2PQ PO =,设(cos ,sin )P a b θθ ,则222222222=cos +sin =()cos +PO a b a b b θθθ-,又因220a b ->,2cos 0θ≥, 所以22PO b ≥,即PO b ≥,22PQ PO b =≥．所以PQF ∆的周长为122210818QF PF PQ PF PF PQ a PQ a b ++=++=+≥+=+= 故选：D【点睛】本题考查椭圆内焦点三角形的周长的最值问题,熟练掌握椭圆的第一定义是解本题的关键,属于基础题．7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ）A. 18种B. 9种C. 6种D. 3种【答案】A【解析】【分析】 先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解．【详解】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有111332118C C C ⋅⋅⋅=种．故答案选A ． 【点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题． 8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量x （分钟），这个区间上的人数为y （人），易见两变量x ，y 线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（ ）A. ()1.5,0.10B. ()2.5,0.25C. ()2.5,250D. ()3,300【答案】C【解析】【分析】 写出四个区间中点的横纵坐标，从而可求出 2.5x =，250y =，进而可选出正确答案.【详解】解：由频率分布直方图可知， 第一个区间中点坐标，111.0,0.101000100x y ==⨯=， 第二个区间中点坐标，222.0,0.211000210x y ==⨯=，第三个区间中点坐标，333.0,0.301000300x y ==⨯=，第四个区间中点坐标，444.0,0.391000390x y ==⨯=， 则()12341 2.54x x x x x =+++=，()123412504y y y y y =+++=， 则一定在其线性回归直线上点为(),x y ()2.5,250=. 故选:C.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了线性回归直线方程的性质.本题的关键是利用线性回归直线方程的性质，即点(),x y 一定在方程上.9.单位正方体111ABCD A B C O -在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点(),,0M a a ，()0,,1N b ，其中01a <≤，01b ≤≤，设由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E ，那么（ ）A. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为三角形B. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为正方形C. 对任意点M 和N ，截面E 都为梯形D. 对任意点N ，存在点M 使得截面E 为矩形【答案】A【解析】【分析】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，可以通过特殊点即端点来判断即可.【详解】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点M 在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，所以任意点M ，由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，当点N 与C 重合时，截面E 为三角形，因此A 选项正确；当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，当点N 不与端点C 、D 重合时，截面E 为等腰梯形，所以,B C 选项错误；只有当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，所以D 选项错误；故选：A【点睛】本题考查了用不同的平面去截正方体所得到的截面，考查了学生的空间想象能力，属于一般题. 10.设4log 3a =，5log 2b =，8log 5c =，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】B【解析】【分析】 由4lg 27log 3lg 64a ==，8lg 25log 5lg 64c ==比较a 、c 的大小，利用中间量12比较b 、c ，从而得解． 【详解】 27464lg 27log 3log lg 64a ===，25864lg 25log 5log lg 64c ===， ∴ 3548log log > ，即a c > ，2<，5>，∴581log 2c =>=251log 2b =<= ， ∴5285log log >，即c b > ，∴352485log log log >> ，即a c b >>．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了对数函数单调比较大小，解题关键是找到合适的中间变量进行大小比较，有一定难度．11.已知F 是双曲线22:22-1x y E a b = (0,0)a b >>左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为（ ）A. C. - D. 【答案】D【解析】【分析】 联立直线和渐近线方程求得,A B 纵坐标，根据2B A y y =可得,a b 之间的关系，从而可用a 表示出,A B 坐标，利用中点坐标公式得到C ，从而求得斜率.【详解】由题意知，双曲线渐近线为：b y x a =±设直线方程为：)y x c =+由)3y x c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：A c y a b =；同理可得：B c y a b = A 是FB 中点 2B A y y ∴=b ⇒=2c a ⇒==A y ∴=，B y = 12A x a ⇒=-，B x a = 24A B C x x a x +∴==，2A B C y y y +==C OC C y k x ∴== 本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间的关系，从而求解出,,a b c 之间的关系.12.函数11()sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. (0,2] D. (0,2)【答案】A【解析】【分析】函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，由()10ϕ=，()10g =，可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，()g x 的单调，根据单调性得到()x ϕ与()g x 的大致图象，从图形上可得要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，即可解得实数a 的取值范围．【详解】解：函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于：函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，又11()x x g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，11()x x g x e e --∴'=--在R 上恒小于零，即11()x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数，又()sin x a x ϕπ= (0)a >是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数，∴可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-的大致图象如图：∴要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，()1cos a a ϕπππ'==-， ()111112g e e --'=--=-，2a π∴--，解得2a π， 又0a >，∴实数a 的范围为20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则角A 的大小为____．【答案】3π【解析】【分析】根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出cos A 的形式，进而求得结果.【详解】由正弦定理得：222a b c bc =+-，即222b c a bc +-= 则2221cos 22b c a A bc +-== ()0,A π∈ 3A π∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.14.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则不等式(21)(2)f x f x ->-的解集为____．【答案】()(),11,-∞-+∞ 【解析】【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递增，将不等式(21)(2)f x f x ->-转化为212x x ->- ，即可解得(21)(2)f x f x ->-的解集． 【详解】 函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴(21)(2)f x f x ->-可转化为(21)(2)f x f x ->-， 又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ (21)(2)212f x f x x x ->-⇔->-，两边平方解得：(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ，故(21)(2)f x f x ->-的解集为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．15.已知各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若()241n n S a =+，则n a =____. 【答案】21n -【解析】【分析】利用11n n n a S S ++=-得到递推关系式，整理可知12n n a a +-=，符合等差数列定义，利用()21141S a =+求出1a 后，根据等差数列通项公式求得结果. 【详解】由题意得：()21141n n S a ++=+ 则()()2211144411n n n n n S S a a a +++-==+-+ 即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+-=+{}n a 各项均为正数，即10n n a a ++≠ 12n n a a +∴-=由()21141S a =+得：11a =∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列()11221n a n n ∴=+-⨯=-本题正确结果：21n -【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用11n n n a S S ++=-证明出数列为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得结果.16.A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为2，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若OC OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，则λμ+的取值范围为___.【答案】1,3⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，其中AB 与y 轴垂直，故C 的坐标可以用,λμ表示为2μλ⎛- ⎝⎭，由C 在单位圆上可得λμ+的取值范围． 【详解】如图以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 3所以点132A ⎛- ⎝⎭ ，点132B ⎛ ⎝⎭， 故13,22OA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13,22OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，即3,22OA λλλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22OB μμμ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以 3(),22OC OA OB μλλμλμ⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 又 C 是劣弧AB （包含端点）上一动点, 设点C 坐标为(,)x y ，故112231x y ⎧-≤≤⎪⎪≤≤ ， 因为 3()(,)2OC OA OB x y μλλμλμ⎛-+=+==⎝⎭， 33()1λμ+≤≤ ，解得：231λμ≤+≤， 故λμ+的取值范围为23⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查向量线性运算中的最值问题，可根据图形的的特点建立合适的平面直角坐标系，把向量的最值问题转化为函数的最值问题．三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数21()3cos cos 2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值. 【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-= 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω== 1ω∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯=【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型. 18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾. 附：()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-+≈，(22)0.9544P X μσμσ-+≈，(33)0.9974P X μσμσ-+≈.【答案】（Ⅰ）0.0013 （Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率，化为(3,3)μσμσ-+的形式，然后求解即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的． 【详解】解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知(,)X N 25005．由于=-⨯48550035，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知()(()..P X P X <=--⨯≤≤+⨯≈⨯=1148515003550035000260001322.(Ⅱ)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率约为....-⨯==⨯6000130001300000016916910，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.【点睛】本题主要考查了正态分布中3σ 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题． 19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点.（I ）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求11EBAB 的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）25【解析】 【分析】（Ⅰ）取AB 中点M ,连接CM MD ，，证明DE CMD ⊥ ，即可说明1DE AB ⊥，由底面为正方形，可求得EB AB =1114; （Ⅱ）以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面11AB C 的法向量为n ，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解． 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 中点M ,连接CM MD ，,有//MD AB 1,因为AC BC =，所以CM AB ⊥, 又因为三棱柱111ABC A B C =为直三棱柱， 所以ABC ABB A ⊥11平面平面, 又因为=ABCABB A AB 11平面平面,所以CM ABB A ⊥11平面， 又因为11DE ABB A ⊂平面 所以CM DE ⊥ 又因为,DE CD CDMD D ⊥=,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD ,所以DE CMD ⊥平面，又因为MD ⊂平面CMD , 所以DE MD ⊥, 因为//MD AB 1， 所以1DE AB ⊥,连接1A B ,设11A B AB O ⋂=，因为11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥,又因为,,DE AA B B A B AA B B ⊂⊂平面平面11111 所以1//DE A B , 又因为D 为1BB 的中点， 所以E 为1OB 的中点, 所以EB AB =1114. （Ⅱ）如图以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB a =,由（Ⅰ）可知CDM ∠=45， 所以AB a =122， 所以DM CM a ==2,所以(,,),(,,),(,),(,,),(,,)A a B a a C a a D a a E a a ---111300*********,所以(,,),(,,),(,,)AB a a B C a a DE a a =-==1111122002022， 设平面11AB C 的法向量为()x,y,z =n ，则1110,0AB n B Cn ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,0x y x -+=⎧⎪⎨=⎪⎩ 则n 的一组解为(2,2,1)n =-．所以cos ,DE DE DE →⋅===52n n n所以直线DE 与平面11AB C . 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．20.已知抛物线2:2C x py =(0)p >，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) 2p = (Ⅱ) 最小值4. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到124x x =-，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m ；联立两切线方程，可用k 表示出M ，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值. 【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为：2p y =- 焦点到准线的距离为2，即2p =. (Ⅱ)抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '= 设()11,A x y ，()22,B x y ，()21111:42x x l y x x -=- ()22222:42x x l y x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =- 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，12124,44x x k x x m +==-=-，所以1m =即:1l y kx =+联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：21x k y =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k - M 点到直线l的距离d ==()241AB k ==+所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥当0k =时，MAB ∆面积取得最小值4【点睛】本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值. 21.已知1x =是函数2()ln 2xf x ax x x =+-的极值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()07160f x <<. （参考数据：ln 20.69≈，4516e 7<，其中e 为自然对数的底数） 【答案】(Ⅰ) 14a = (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据'(1)0f =，求得实数a 的值，通过导数验证函数单调，可知时14a =极值点为1x =，满足题意；(Ⅱ)由(Ⅰ) 函数()f x 的极小点值位于(2,)+∞ ，此时()g x 的零点位于,x ∈（）0742，且此0x 为()f x 的极小点值点，代入()g x ，()f x 中，化简即可得到()f x 关于0x 的二次函数，求解二次函数在区间,（）742上的值域即可证明结论．【详解】解：(Ⅰ)因为'()ln f x ax x =--122，且1x = 是极值点， 所以'()f a =-=11202，所以14a = . 此时'()ln x f x x =--122 ，设()'()g x f x = ，则'()x g x x x-=-=11222 .则当02x << 时，'()()g x g x <，0 为减函数. 又(1)()ln g g ==-<，102202， 所以在01x <<时，()0>g x ，()f x 为增函数；12x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数.所以1x =为()f x 的极大值点，符合题意.（Ⅱ）当2x > 时，'()0g x >，()g x 为增函数，且()ln g =->342202，(2)0g < 所以存在(),x x ∈=（）,00240g 当02x x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数；0x x > 时，()0>g x ，()f x 为增函数，所以函数()f x 存在唯一的极小值点0x .又()ln g =-757242 ，已知e <54167 ，可得()ln e <⇒<54775422 ， 所以()g <702，所以x <<0742 ，且满足ln x x --=001022.所以()ln ()x x x f x x x x =+-=-+∈，2200000007042416.其中0()0f x >也可以用如下方式证明：()ln (ln )x x f x x x x x x =+-=+-2114242 ，设()ln x h x x =+-142 ， 则'()x h x x x -=-=11444.则当04x << 时，'()0h x < ，()h x 为减函数；当4x > 时，'()0h x >，()h x 为增函数. 所以()()ln h x h ≥=->342202所以在()0f x > ，所以0()0f x >【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题．四、选做题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫<⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 2sin ρθ= (Ⅱ) +324【解析】 【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=， 设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ，所以00x y y x =⎧⎨=⎩ 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ= ()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin cos 23322AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23πααα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆+34【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.【选修4-5：不等式选讲】23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =+++.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()2f x x >的解集；（Ⅱ）当不等式()1f x >的解集为R 时，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (,1)-∞ (Ⅱ) 0a <或2a >【解析】【分析】(Ⅰ)根据x 的范围得到分段函数()f x 的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到()f x 的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果.【详解】(Ⅰ)1a =-时，()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，22x x ->，即0x < 1x ∴<-当11x -≤≤时，22x >，即1x < 11x ∴-≤<当1x >时，22x x >，无解综上，()2f x x >的解集为(),1-∞(Ⅱ)()11f x x x a a =+++≥-当1a -≤-，即1a ≥时, 1a x -≤≤-时等号成立；当1a ->-，即1a <时, 1x a -≤≤-时等号成立 所以()f x 的最小值为1a - 即11a ->0a ∴<或2a >【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.。

2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、单项选择（每题5分，共计60分） 1.已知集合{|,A x x Z =∈且32Z x ⎫∈⎬-⎭，则集合A 中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据整数与整除的方法枚举即可. 【详解】因为32Z x∈-,故23,1,1,3x -=--,即5,3,1,1x =-共四种情况.故集合A 中元素个数为4.故选：D【点睛】本题主要考查了利用整除求解集合中元素的个数问题.属于基础题. 2.设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l”是“lm 且ln ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l ”，则“lm 且l n ”，反之若“l m且ln ”，当m//n 时，推不出“l ”，∴ “l”是“lm 且ln ”的充分不必要条件，选A ．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4512a a +=，则8S 等于（ ） A. 18 B. 36C. 48D. 72【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与求和公式求解即可.【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,故()()1884584482a a S a a +==+=. 故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的等和性与求和公式,属于基础题. 4.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A. 22=14y x -B. 22=14x y -C. 22=14y x -D.22=14x y -【答案】C 【解析】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5.若平面向量b 与向量(2,1)a =平行，且25b =，则b =（ ） A. (4,2) B. (4,2)--C. (4,2)或(4,2)--D. (6,3)-【答案】C 【解析】 【分析】求得a 后根据平行向量满足b a λ=求解即可.【详解】由题221a =+=又25b =且平面向量b 与向量a 平行.故2b a =±,即(4,2)b =或(4,2)--. 故选：C【点睛】本题主要考查了平行向量的运用以及向量模长的运用,属于基础题.6.设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ）A. 9-B. 12C. 12-D. 9【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案.【详解】作出不等式对应可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.7.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ） A.23B.35C.12D.25【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m ，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数， 基本事件总数n ＝55A ＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m ＝1424C A ＝48， ∴这个五位数是偶数的概率p ＝m 4821205n ==． 故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题. 8.将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A. 1sin2y x = B. 1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【详解】将函数y=sin(x －3π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(12x －3π)，再向左平移3π个单位得到的解析式为y=sin(12（x+3π）－3π)=y=sin(12x －6π)，故选C9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 2B.52C. 22+D. 231+【答案】C 【解析】 【分析】由三视图确定该几何体的直观图，利用三角形面积公式、正方形面积公式得出该几何体表面积．【详解】由题意该几何体的直观图是一个四棱锥构成，如下图所示，则该几何体的表面积为DBC 、DCC 、DB C 、DBB 、正方形BCC B ''的面积之和，即该几何体表面积为1121111221=2222故选C.【点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.10.四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，则PA 的长为（ ） A. 3 B. 2C. 1D.12【答案】C 【解析】 【分析】连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE,可得O 为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，可得PA 的值. 【详解】解：连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD ，可得O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，设球半径为R ，可得211822R PC PA ==+324198322PA ππ⋅+=， 解得PA=1, 故选C.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.11.设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若121290,2,3PF F F PF c S ︒∠===△，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）A.2πB.4π C.3π D.6π【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线焦点三角形的面积公式求得b ,再根据2c =求得a ,进而求得渐近线的斜率与夹角即可.【详解】由双曲线焦点三角形的面积公式有212123tan2PF F b S F PF ==∠△得23b =故2221a c b =-=.故渐近线的斜率b k a=±=.故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为3π与23π.故双曲线的两条渐近线的夹角为3π. 故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的焦点三角形面积公式与渐近线的倾斜角与斜率的关系.属于基础题. 12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有'()()?tan f x f x x >成立.则有（ ）()()43f ππ>()2cos1(1)6f π>⋅C. 2()()46f ππ<()()63f ππ<【答案】D 【解析】 【分析】 ：先构造()()'·tan y fx f x x =-的原函数()y f x cosx =，由此题意，得出原函数()f x cosx 单增函数，由此判断函数值的大小． 【详解】：先构造()()'·tan y f x f x x =-的原函数，因为x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0cosx >，那么在不等式的两边同时乘以cosx不等号不变，()()()()()'cosx cosx '0f x f x tanx f x f x sinx f x cosx ⎡⎤-=-=>⎣⎦'（），所以原函数()()g x f x cosx =单增函数，由此()g g g 1g 643πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 3g 626f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2g 424f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1g 323f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()g 111f cos =，所以 21g g 243242343f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒<⇒< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 错 ()()()3g g 11132cos11666f cos f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒<⇒<⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以B 错32g g 266462446f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 错 故选D ．【点睛】：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则对应的函数解析式为_______.【答案】sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得,A T 的值，利用周期公式求出ω，利用当6x π=时函数取得最大值1，求出ϕ，得到函数的解析式，即可得结果.详解：由题意可知，111261,34A T πππ-===，所以2ω=，当6x π=时取得最大值1，所以sin(2)16πϕ⨯+=，结合2πϕ<，解得6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()sin(2)6f x x π=+.点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数,A ω由最值和周期所决定，ϕ由特殊点所确定，最后求得结果.14.设S n 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若6312a a =-,则63S S =________. 【答案】12【解析】 【分析】先根据等比数列的通项公式求得3q ，再运用等比数列的前n 项和公式，表示()3631S S q=+，可得值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则36312a q a ==-,又()()()()61363331111111a q S a q qSq q q-+=--==+-，所以363111122S q S =+=-=, 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的前n 和公式，注意在运用公式时应用整体代入法，属于基础题.15.抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为______.【答案】 【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M 纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M 到坐标原点的距离即可. 【详解】由题意知，焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，由()11,M x y 到焦点距离等于到准线距离，得13922x +=，则13x =，2118y ∴=，可得OM ==故答案为．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．16.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 【答案】6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2b Ac a =-． （1）求B ；（2）若c =cos 10A =，求ABC 的面积． 【答案】（1）4π；（2）2 【解析】分析：(1)在ABC ∆中，由正弦定理的推论可把cos b A c = 边化成角得sin cos sin B A C A =，用诱导公式变形为sin cos sin()B A A B A =+，再用两角和的正弦公式变形化简可得cos sin 02B A A -=，化简可得cos 2B =，进而求得4B π=．（2）由(1)的结论4B π=和条件10c A ==，要求三角形的面积，应先求一条边．所以应由正弦定理求一条边．先由cos A =，(0,)2A π∈ ，求得sin 10A === ．再由sin sin()C AB =+和两角和的正弦公式求得4sin sin()sin cos cos sin =+=1021025C A B A B A B =+=+．再由正弦定理可得sin 254sin 5c Bb C===．进而用三角形的面积公式可得11sin 5222ABC S bc A ∆==⨯⨯=．详解：(1)在ABC ∆中，因为cos 2b A c =-，所以sin cos sin B A C A =-．所以sin cos sin()2B A A B A =+-，化简可得cos sin 02B A A -= ． 因为sin 0A ≠，所以cos 2B = ． 因为(0,)2B π∈ ，所以4B π=．（2）因为cos A =，(0,)2A π∈ ，所以sin10A===．因为4Bπ=所以4 sin sin()sin cos cos sin=5C A B A B A B=+=+在ABC∆中，由正弦定理可得sin254sin5c BbC===．所以11sin522210ABCS bc A∆==⨯⨯=ABC∆的面积为2.点睛：（1）有关求三角形面积或其最值的问题，应由三角形的面积公式求得面积；（2）知ABC∆的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；18.已知数列{}n a的前n项和为n S，(1)n nS na n n=+-（其中2n≥），且5a是2a和6a的等比中项.（1）证明：数列{}n a是等差数列并求其通项公式；（2）设11nn nba a+=，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析，132na n=-；（2）nT=12122nn-.【解析】【分析】(1)根据通项n a与前n项和n S的关系求出关于n a的递推公式,再根据5a是2a和6a的等比中项利用基本量法求解首项即可.(2)根据(1)中可得132na n=-,再根据裂项相消求和即可.【详解】（1）由(1)n nS na n n=+-得11(1)(1)n nS n a n n++=+++,所以11(1)2n n n nS S n a na n++-=+-+,又11n n nS S a++-=所以12n n na na n +=+,故12n n a a +-=-.故数列{}n a 是公差为2-的等差数列,且5a 是2a 和6a 的等比中项,即2526a a a =,得()()()21118210a a a -=--,解得111a =,所以132n a n =-. （2）由题得111112132112n n n b a a n n +⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭, 121111111211997132112n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11121111212122nn n⎛⎫=--= ⎪--⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了根据通项与前n 项和的关系证明等差数列的方法,同时也考查了等比中项的运用与裂项相消的求和方法.属于中档题.19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30， PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）17- 【解析】 【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．【详解】（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴AC BD⊥∵PB PD=，OB OD=,∴BD OP⊥,又∵OP AC O⋂=,∴BD PAC⊥面又BD ABCD⊂面,∴PAC ABCD⊥面面.（2）∵PAC ABCD⊥面面，过点P做PE AC⊥,垂足为E∴ABCDPE⊥面∵PA与底面ABCD所成的角为030，∴030PAC∠=,又PA PC⊥，设2PC=,则23,3,3,4,22AP PE AE AC AD=====如图所示，以A为坐标原点，,AB AD为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz-()()()()32320,0,0,22,0,0,22,22,0,0,22,0,322A B C D P⎛⎝设面PBC法向量为()1,,n x y z=，()220,22,0,,322BC CP⎛==--⎝11n BCn CP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴2202230x y z⎧=+=，1,0,6z y x===令则()16,0,1n=同理PCD面法向量()20,6,1n=，1212121cos,7n nn nn n⋅==∴求二面角B PC D--的余弦值17-【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）．解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）．20.某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数y与仰卧起坐个数x之间的关系如下：0,03060,304080,4050100,50xxyxx≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：（1）计算a值；（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于80的概率；②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望.【答案】（1）0.03a=；（2）见解析【解析】【分析】（1）频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得a；（2）①由频率分布直方图可得一次测试得分的分布列，三组测试中，“喵儿”得80分为事件A，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，由于三组相互独立，从而可计算概率，②仿照①可计算出三组测试其得分的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）0.010.010.05)101,0.03a a+++⨯=∴=（（2）由直方图可知，“喵儿”的得分ξ情况如下：ξ0 60 80 100p0.1 0.30.5 0.1①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，则()0.50.10.50.10.10.50.555P A =+⨯+⨯⨯=（6分） ②(0)0.10.10.10.001P δ==⨯⨯=，(60)P δ=0.30.10.30.10.10.30.333+⨯+⨯⨯=，(100)10.0010.3330.5550.111P δ==---=，分布列如下：数学期望()00.001600.333800.5551000.11175.48E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图，考查相互独立事件的概率，考查随机变量的分布列和期望．解题时依据概率公式计算出概率是解题关键.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程； （2）已知圆222:3M x y +=的切线l （直线l 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）以AB 为直径的圆过定点(0,0).【解析】 【分析】(1)根据抛物线的焦点与椭圆的顶点公式求解即可.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,并根据直线l 与圆222:3M x y +=相切得出,k m 的关系式,代入证明0OA OB ⋅=即可. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率2e =,所以2c a =,即a =.因为抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点,所以a =所以1,1c b ==.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线l 的斜率存在且不为零.故设直线l 的方程为y kx m =+.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()222214220k x kmx m +++-=, 所以设()()1122,,,A x y B x y ,则2121222422,2121km m x x x x k k --+==++. 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 所以221212232221m k OA OB x x y y k --⋅=+=+.①因为直线l 和圆M 相切,所以圆心到直线l的距离3d ==, 整理,得()22213m k =+,② 将②代入①,得0OA OB ⋅=,显然以AB 为直径的圆经过定点0(0,0) 综上可知,以AB 为直径的圆过定点(0,0).【点睛】本题主要考查了抛物线与椭圆基本量求解以及联立直线与椭圆方程利用韦达定理与向量的数量积证明圆过定点的问题等.属于难题. 22.：已知二次函数2()3f x ax bx =+-在1x =处取得极值，且在(0,3)-点处的切线与直线20x y +=平行．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()4g x xf x x =+的单调递增区间与极值．【答案】（1）2()23f x x x =--（2）见解析 【解析】【详解】解：（1）由2()3f x ax bx =+-，可得()2f x ax b =+'．由题设可得(1)0,{(0) 2.f f ''==-即20,{ 2.a b b +==-解得1a =，2b =-． 所以2()23f x x x =--．（2）由题意得32()()42g x xf x x x x x =+=-+，。

2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（二十）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|650A x x x =-+≤，{|3}B x x =≥，则R A C B =（ ）A. [1,)+∞B. [1,3)C. (,5]-∞D. (3,5]【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，然后求出R AC B =即可.【详解】由已知可得{}{}265015A x x x x x =-+≤=≤≤，{}3B x x =≥， 则R AC B =(,5]-∞故选：C【点睛】本题考查了集合的运算以及二次不等式的求解，是一道基础题. 2.已知,m n R ∈，i 是虚数单位，若()(1)m i i ni -+=，则||m ni -=（ ）A.B. 2C.D. 1【答案】A 【解析】 【分析】()(1)m i i -+整理为a bi +的形式，根据复数相等的充要条件求出m 、n ，代入||m ni -求模即可. 【详解】()(1)(1)(1)m i i m m i ni -+=++-=，10112m m m n n +==-⎧⎧∴⇒⎨⎨-==-⎩⎩，||12m ni i ∴-=-+==故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模，属于基础题.3.数列{}n a 中，首项12a =，且点()1,n n a a +在直线2x y -=上，则数列{}n a 的前n 项和 n S 等于（ ） A. 31n - B. 23n n -+ C. 31n + D. 23n n -【答案】B 【解析】 【分析】点的坐标代入直线方程可得12n n a a +-=-，推出数列{}n a 为等差数列，求出首项与公差代入等差数列的前n 项和公式即可得解.【详解】因为点()1,n n a a +在直线2x y -=上，所以11=22n n n n a a a a ++-⇒-=-，又12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，2-为公差的等差数列，则*42()n a n n N =-∈，所以数列{}n a 的前n 项和2(2234)2n n n S n n =-+-+=.故选：B【点睛】本题考查由递推公式证明数列为等差数列、等差数列的前n 项和，属于基础题.4.已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为12，直线y kx =与该椭圆交于A 、B 两点，分别过A 、B向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于（ ） A. 32±B.23C. 12±D. 2±【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程求出x 即交点的横坐标，根据题意可得交点的横坐标为c ±，由离心率可得2,a c b ==，三式联立即可求出k .【详解】联立2222222222(1)y kxb a k x a b x y ab ⎧⎪⇒+=⎨⎪⎩=+=，则x =c =①，12c e a ==，2,a c b ∴===， 代入①可得42222123342c c k c c k =⇒=±+. 故选：A【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，属于基础题. 5.已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B.4π C.3π D.34π 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直可得(2)0a a b ⋅-=，结合数量积的定义表达式可求出2cos ,2aa b a b=，又||2||a b =，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大小.【详解】解：因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=，因为||2||a b =，所以22cos ,222aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解.本题的关键是由垂直求出数量积为0.6.“众志成城，抗击疫情，一方有难，八方支援”，在此次抗击疫情过程中，各省市都派出援鄂医疗队. 假设汕头市选派6名主任医生，3名护士，组成三个医疗小组分配到湖北甲、乙、丙三地进行医疗支援，每个小组包括2名主任医生和1名护士，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 300种 C. 540种 D. 3240种【答案】C 【解析】 【分析】先求把6名医生平均分成3组的方法，再求将3组医生与3名护士进行全排列组成医疗小组的方法，最后求把3个医疗小组分到3个地方的方法，最后求积即可. 【详解】解：分三步进行：（1）将6名医生分成3组，有2226423315C C C A ⋅⋅=种方法， （2）将分好的三组与三名女护士进行全排列，组成三个医疗小组有336A =种方法， （3）将分好的三个医疗小组进行全排列，对应于甲、乙、丙三地有336A =种方法，则不同的分配方案有1566540⨯⨯=种方法， 故选：C.【点睛】本题考查排列、组合的应用，重点考查分组分配问题，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7.已知a R ∈，则“ 2a =-”是“424a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式各项系数和为0”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】令1x =，即可求出424a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭展开式各项系数和，进而可以求出此时2a =±，然后利用充分条件、必要条件及充要条件的判断知识即可求解【详解】令1x =，即可求出424a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式各项系数和，因为该展开式的各项系数之和为0，即有24(4)0a -=，得2a =±，则有“ 2a =-”是“424a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式各项系数和为0”的充分性条件成立，但是，当424a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式各项系数之和为0时，2a =±，必要性条件不成立.故选：B【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识，考查考生的分析问题的能力和计算能力，难度较易.8.已知函数()sin ln ||f x x x x =+，则()y f x =的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果 【详解】()sin ln ||f x x x x =+是偶函数，排除B,D(2)0ln 20f ππ=+>，排除A故选：C【点睛】已知函数解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一． 9.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，点G 为正方形ABCD 的中心，点E 为11A D 的中点，点F 为AE 的中点，则（ ）A. C 、E 、F 、G 四点共面，且CF EG =.B. C 、E 、F 、G 四点共面，且CF EG ≠.C. C 、E 、F 、G 四点不共面，且CF EG =.D. C 、E 、F 、G 四点不共面，且CF EG ≠. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC ，EC ，由三角形的中位线定理知，//FG EC ，从而可求出C 、E 、F 、G 四点共面. 以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立坐标系，求出(3E ,()1,1,0G ,()0,2,0C ，3322F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，从而可求出7CF =2EG =，进而可选出正确答案.【详解】解：如图，连接AC ，则G 在AC 上且AG GC =；连接EC . 因为,AF FE AG GC ==，所以由三角形的中位线定理可知，//FG EC ，所以C 、E 、F 、G 四点共面.以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴如图建立坐标系，则()2,0,0A ,(3E ,()1,1,0G ,()0,2,0C ，33,0,22F ⎛ ⎝⎭， 所以222332722CF ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2220132EG CF =++=≠，故选: B .【点睛】本题考查了点是否共面的判定，考查了空间中线段长度的求解.本题的关键是证明//FG EC .证明几点共面时，常用的思路是证明线段平行或者相交.10.梅赛德斯—奔驰（Mercedes – Benz ）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化. 已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，150ABC ︒∠=，若在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.332πB.334πC.6392πD.394π【答案】D 【解析】 【分析】先由正弦定理及三角形面积公式求出阴影部分面积，再结合几何概型中的面积型求概率即可. 【详解】解:由图可知: 60AOB ︒∠=,105ABO ︒∠=,15BAO ︒∠=, 不妨设4AO =,在AOB 中,由正弦定理可得sin sin AO BOABO BAO=∠∠,则48BO⨯==-则阴影部分的面积为13sin362AO BO BOA⨯⨯⨯⨯∠=,=,故选:D.【点睛】本题考查了正弦定理及三角形面积公式，重点考查了几何概型中的面积型，属中档题.11.已知函数2()2cos1(0)212xf xωπω⎛⎫=-+>⎪⎝⎭的最小正周期为π，若,[2,2]m nππ∈-，且()()9f m f n⋅=，则m n-的最大值为（）A. 2πB.52πC. 3πD.72π【答案】C【解析】【分析】利用降幂公式进行化简根据最小正周期可得2ω=，根据余弦函数的有界性可得()f x的值域为[]1,3，将题意可转化为m与n是方程cos216xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭的根，解出方程根据x的范围得出maxx和minx，进而可得结果.【详解】由已知可得()1cos1cos266f x x xππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵()f x的最小正周期为π，∴2ππω=，即2ω=，∴()cos226f x xπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∵1cos216xπω⎛⎫-≤-+≤⎪⎝⎭，∴()f x的值域为[]1,3，故若()()9f m f n⋅=，则()()3f m f n==，∴m与n是方程()3f x=，即cos216xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭的根，所以22,6x k k Zππ-=∈，解得,12x k k Z ππ=+∈，[]2,2x ππ∈-，∴max min 1323,1212x x ππ==-， ∴m n -的最大值为132331212πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 故选：C.【点睛】本题主要考查了通过降幂公式化简三角函数式以及三角函数的有界性，将题意转化为关于余弦函数的方程是解题的关键，属于中档题.12.若函数2()(2)x x f x ae a e x =+--，0a >，若()f x 有两个零点，则a 的取值范围为（ ） A. (0,1) B. (0,1] C. 1(,]e eD. 1[,]e e【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性可知函数()f x 有两个零点等价于(ln )0f a -<，解这个关于a 的不等式即可.【详解】解：由题意得，'()(1)(21)x xf x ae e =-+，0a >，可得函数()f x 的单调性如下：当ln x a <-时，'()0f x >，()f x 单调递减，当ln x a >-时，'()0f x <，()f x 单调递增，可知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)∈+∞a 时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③(0,1)a ∈时，由于11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<， 又422(2)(2)2220f aea e e ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-上有一个零点，令()xg x e x =-，则'()1xg x e =-，当0x >时，'()0g x >，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故当0x >时，()(0)1g x g >=，即1(0)x e x x ->>.设整数n 满足31ln(1)ln ln 0n a a a >->=->，则3ln(1)31na e e a->>-∴3()(2)[(1)2]0n n nnf n e ae a n e a a n e n a=+-->-+-->->，故()f x 在(ln ,)a -+∞内有一个零点. 综上所述，a 的取值范围是(0,1) 答案选：A【点睛】本题考查函数零点问题，研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化，已知函数()f x 有两个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数；第二种方法是直接对含参函数进行研究.第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件20,1,70,x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则yx 的最大值是__________． 【答案】6 【解析】如图，作出不等式组20,1,70,x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，yx 可以理解为过可行域中一点(),x y 与原点()0,0的直线的斜率，点(),x y 在点()B 1,6处时yx取得最大值6. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作渐近线的一条垂线，若该垂线恰好与以1F 为圆心，1OF 为半径的圆相切，则该双曲线的离心率为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】设过2F 作渐近线的一条垂线为l ：()y k x c =-，根据该垂线恰好与以1F 为圆心，1OF 为半径的圆相切，根据点到直线距离公式可得22a b ，由221c b e a a==+，即可求得答案.【详解】双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F可得：()1,0F c -，()2,0F c过2F 作渐近线的一条垂线，不妨设与by x a=垂直 设过2F 作渐近线的一条垂线为l ：()y k x c =- 根据题意画出图象，根据图象可得k 存在 由两条两条直线垂直可得：1bak ⋅=- 故a k b =- ∴()ay x c b=--又1F 为圆心，1OF 为半径的圆∴()222x c y c ++=根据()ay x c b=--与()222x c y c ++=相切 ()21ab a bc c c -⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭--=+整理可得：2213a b =，即223b a =双曲线的离心率为2c e a ==故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法，方法一：求出,a c ，代入公式ce a=；方法二：只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 15.已知数列{}n a 满足112a =，1n n n a a +-=，则n a n 的最小值为_________.【答案】12. 【解析】 【分析】结合累加法可求出()11,22n n n a n N *-=+∈，进而可得11222n a n n n =+-，结合基本不等式可求出其最小值.【详解】解：因1n n n a a +-=，则当2,n n N *≥∈时，2132112 (1)n n a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=-⎩ ，将1n -个式子相加得，()()()()1121123...11,2,22n n n n n a a n n n n N *----=++++-=-+=≥∈，所以()()1111,2,222n n n n n a a n n N *--=+=+≥∈，当1n =时，()11111222⨯-+=， 所以()11,22n n n a n N *-=+∈，则()1111222221122na n nn n n n ==+-≥-=-+， 当且仅当122n n=，即1n =时等号成立，即n a n 的最小值为12.故答案为:12. 【点睛】本题考查了应用累加法求通项公式，考查了等差数列的前n 项和，考查了基本不等式.本题的关键是求出通项公式.求数列的通项公式时，常用的方法有：累加法、累乘法、构造新数列法、公式法.16.已知三校锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CP 的中点，且3cos 4DFE ∠=，则球O 的表面积为_________. 【答案】283π【解析】 【分析】根据已知条件，作图建立直角坐标系，利用3cos 4DFE ∠=求出PA ，然后根据垂面模型构建出直角三角形求出外接球的半径R ，然后即可求解【详解】如图，根据题意，以A 为原点，CB 为x 轴方向，AE 为y 轴方向，AP 为z 轴方向，建立空间直角坐标系，设2PA a =，由2AB BC AC ===，可得(0,0,0)A ，3,0)B ，(3,0)C -，(0,0,2)P a ，因为D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CP 的中点，得13(2D ，3)E ，13()2F a -，可得 1DE =，21DF a =+21EF a =+2223cos 42DF EF DE DFE DF EF +-∠==⋅⋅2222122a a +-=+，解得1a =， 解得2PA =，根据外接圆垂面模型的应用，可找到如图的球心O 和ABC ∆的外接圆圆心H ，且必有1=12OH PA =，且HC 为ABC ∆的外接圆的半径，因为ABC ∆是边长为2的正三角形，且122sin 603HC ︒=⋅=，设外接球半径OC R =，则在Rt OHC ∆中，根据勾股定理，得222247133R OC OH HC ==+=+=，则可求得273R =，则球O 的表面积为22843R ππ=答案：283π【点睛】本题考查空间直角坐标系的运用，以及锥体垂面模型的应用，属于中档题三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721-题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 2B Cb a B +=. （1）求角A 的大小；（2）D 是边BC 上一点，且2BD DC =，2AD =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）23A π=；（2. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将所给等式化简为cos sin 2B CA +=，再利用三角函数诱导公式及二倍角公式再次化简可得1cos22A =，由2A 的范围即可求得角A ；（2）根据题意以AB 、AC 作为基底表示出向量AD ，等式两边同时平方再利用基本不等式即可求得18bc ≤，代入三角形面积公式12sin 23π=ABC S bc 即可求得面积的最大值.【详解】（1）因为cossin 2B Cb a B +=，由正弦定理可得sin cos sin sin 2B C B A B +=， 又sin 0B ≠，所以cos sin 2B CA +=，因为ABC π++=， 所以coscos sin 222B C A Aπ+-==，则sin sin 2sin cos 222A A A A ==， 又sin 02A≠，所以1cos 22A =，因为(0)22A π∈，，所以2233A A ππ=⇒=；（2）根据题意可得2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以222212144()33999AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+，即2222136=4()424222c bc b c b bc bc +-+≥⋅-=，所以18bc ≤，当且仅当3,6b c == 等号成立所以121393sin 1823222ABC S bc π=≤⨯⨯=△，ABC 面积的最大值为93.【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式、利用基本不等式求面积的最大值、向量在几何中的应用，涉及三角函数诱导公式及二倍角公式，属于中档题.18.如图，在直角ABC 中，90ACB ∠=，2AC =，3BC =，P 、G 分别是AB 、BC 上一点，且满足CP 平分ACB ∠，2CG GB =，以CP 为折痕将ACP △折起，使点A 到达点D 的位置，且平面DCP ⊥平面BCP .（1）证明：CP DG ⊥；（2）求二面角B CD P --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】 【分析】（1）在直角ABC 中，连接AG 交PC 于点E ，利用等腰三角形三线合一的性质可得出AG PC ⊥，则在三棱锥D BCP -中，可得出PC DE ⊥，PC EG ⊥，可推导出PC ⊥平面DEG ，进而可得出CP DG ⊥； （2）推导出DE ⊥平面BCP ，然后以点E 为坐标原点，EG 、EP 、ED 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，计算出平面BCD 的一个法向量，利用空间向量法可计算出二面角B CD P --的余弦值，进而可求得其正弦值.【详解】（1）在直角ABC 中，连接AG 交PC 于点E ，如下图所示：2AC =，3BC =，G BC ∈且2CG BG =，223CG BC AC ∴===， CP 平分ACB ∠，CP AG ∴⊥，则有AE CP ⊥，EG CP ⊥，在三棱锥D BCP -中，DE CP ⊥，EG CP ⊥，DE EG E =，CP ∴⊥平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，CP DG ∴⊥；（2）由（1）知，在三棱锥D BCP -中，DE CP ⊥， 平面DCP ⊥平面BCP ，平面DCP平面BCP CP =，DE ⊂平面DCP ，DE ∴⊥平面BCP ，EG CP ⊥，EG ∴、EP 、ED 两两垂直，以点E 为坐标原点，EG 、EP 、ED 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则322B ⎫⎪⎪⎝⎭、()0,2,0C -、(2D ，322CB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(0,CD =，设平面BCD的一个法向量为(),,m x y z =，由00m CB m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得022x y ⎧+=⎪⎨+=，可得x y z y =-⎧⎨=-⎩， 令1y =，则1x =-，1z =-，可得()1,1,1m =--.易知平面DCP 的一个法向量为()1,0,0n =，所以，cos ,3m nm n m n⋅<>===⨯⋅，设二面角B CD P --的平面角为θ，则6sin θ==因此，二面角B CD P --. 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,1F ，()(),1N t t R -∈，已知MFN △是以FN 为底边，且边MN 平行于y 轴的等腰三角形. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）已知直线l 交x 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线//PB y 轴，点P 关于点B 的对称点为点Q ，试判断点A 、Q 、O 三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）()240x y y =≠；（2）A 、Q 、O 三点共线，理由见解析.【解析】 【分析】（1）设动点(),M x y ，由//MN y 轴可得1MN y =+，由题意可得出MN MF =，由此可得出关于x 、y 的等式，化简可得出轨迹C 的方程，由点M 为坐标原点时，M 、F 、N 三点共线可得出0y ≠，由此可得出轨迹C 的方程；（2）可知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，由0∆=得出2m k =-，求出A 、Q 的坐标，利用直线AO 、OQ 的斜率相等可得出A 、Q 、O 三点共线.【详解】（1）设动点(),M x y ，因为//MN y 轴，所以MN 与直线1y =-垂直，则1MN y =+，MFN 是以FN 为底边的等腰直角三角形，故MN MF =，1y =+，即()()22211+-=+x y y ，化简得24x y =.因为当点M 为坐标原点时，M 、F 、N 三点共线，无法构成三角形， 因此，动点M 的轨迹C 的方程为()240x y y =≠；（2）A 、Q 、O 三点共线，理由如下：因为直线l 与曲线C 相切，所以直线l 的斜率必存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+，由24x y y kx m⎧=⎨=+⎩，消y 得2440x kx m --=，216160k m ∆=+=，得2m k =-. 所以，直线l 的方程为2y kx k =-，令0y =，得x k =，则点(),0P k ，2,4k B k ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，故2,2k Q k ⎛⎫⎪⎝⎭，又由22440x kx k -+=，得2x k =，则点()22,A k k，222AO k kk k ==，222OQk k k k ==，AO OQ k k ∴=，因此，A 、Q 、O 三点共线.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了三点共线的证明，涉及斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.20.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征()MERS 和严重急性呼吸综合征()SARS 等较严重疾病. 而今年出现的新型冠状病毒()19COVID -是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株. 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等. 在较严重病例中感染可导致肺奖、严重急性呼吸综合征、贤衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性. 根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为()01p p <<，现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下三种方案: 方案一：逐个化验；方案二：四个样本混在一起化验； 方案三: 平均分成两组化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.（1）若14p =，求2个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率； （2）若14p =，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、 三中哪个最“优”?（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围.【答案】（1）716；（2）方案二最“优”，理由见解析；（3）0,12⎛- ⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）可求得2个疑似病例均为阴性的概率，再利用对立事件的概率公式可求得事件“2个疑似病例样本混合化验结果为阳性”的概率；（2）分别计算出方案一、二、三中将该4例疑似病例样本进行化验所需次数的数学期望，比较三种方案中检测次数的期望值大小，可得出最“优”方案；（3）求出方案二的数学期望，可得出关于p 的不等式，进而可求得实数p 的取值范围.【详解】（1）由题意可知，2个疑似病例均为阴性的概率为2191416⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因此，该混合样本呈阳性的概率为9711616-=； （2）方案一：逐个检验，检验次数为4；方案二：混合在一起检测，记检测次数为X ，则随机变量X 的可能取值为1、5，()4181114256P X ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，()8117551256256P X ==-=， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，方案二的期望为()811752391525625664E X =⨯+⨯=； 方案三：由（1）知，每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1，概率为916；若呈阳性则检测次数为3，概率为716. 设方案三的检测次数为随机变量Y ，则Y 的可能取值为2、4、6，()2981216256P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()129712641616256P Y C ==⋅⋅=，()2749616256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，方案三的期望为()8112649152462562562564E Y =⨯+⨯+⨯=. 比较可得()()4E X E Y <<，故选择方案二最“优”；（3）方案二：记检测次数为X ，则随机变量X 的可能取值为1、5，()()411P X p ==-，()()4511P X p ==--，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X的数学期望为()()()()4441511541E X p p p ⎡⎤=-+⨯--=--⎣⎦，由于“方案二”比“方案一”更“优”，则()()45414E X p =--<， 可得()4114p ->，即()2112p ->，解得012p <<-， 故当012p <<-时，方案二比方案一更“优”. 【点睛】本题考查事件概率的计算，同时也考查了利用数学期望进行决策，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数2()(3)(2)x f x x e a x =-+-，a R ∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，证明：124x x +<.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意对函数求导，根据22e a <-、22e a =-、202e a -<<和0a ≥分类讨论，找到()0f x '>、()0f x '<的解集，即可得解； （2）由题意转化条件得2(3)(2)xx e a x --=-有两个不等实根，通过构造函数、求导可得0a >，设122x x <<，结合函数()f x 的单调性可将原不等式转化为()()2240x f f x -->，通过构造函数、求导可证明()()2240x f f x -->，即可得证.【详解】（1）由题意得()()(3)2))2(2(2x x x f x x e a x e e a x '=-+-++=-，x ∈R ，（i ）当0a ≥时，20x e a +≥，令()0f x '=得2x =，当(),2x ∈-∞时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>， ∴()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增；（i i ）当0a <时，令()0f x '=得12x =，()2ln 2x a =-，①当()ln 22a -=即22e a =-时，当x ∈R 时，均有()0f x '≥， ∴()f x 在R 上单调递增；②当()ln 22a -<即202e a -<<时， 当()()(),ln 22,x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>；当()()ln 2,2x a ∈-时，()0f x '<；∴()f x 在()(),ln 2a -∞-和()2,+∞上单调递增，在()()ln 2,2a -上单调递减；③当()ln 22a ->即22e a <-时， 当()()(),2ln 2,x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>；当()()2,ln 2x a ∈-时，()0f x '<；∴()f x 在(),2-∞和()()ln 2,a -+∞上单调递增，在()()2,ln 2a -上单调递减. 综上所述，当22e a <-时，()f x 在(),2-∞和()()ln 2,a -+∞上单调递增，在()()2,ln 2a -上单调递减；当22e a =-时，()f x 在R 上单调递增；当202e a -<<时，()f x 在()(),ln 2a -∞-和()2,+∞上单调递增，在()()ln 2,2a -上单调递减；当0a ≥时，()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增；（2）当2x =时，20(2)f e =-≠，∴2x =不是()f x 的零点，当2x ≠时，由()0f x =得2(3)(2)xx e a x --=-， 令()()2(3),2(2)xx e h x x x -=≠-， 则()()2234(2)(2)(2)(3)(222)1)3(xx xe x e x x x x x e h x x ---⋅-'=⎡⎤-+⎣⎦=---⋅， 易知()2310x x e ⎡⎤-+>⎣⎦， 当(),2x ∈-∞时，3(02)x -<，()0h x '<， ∴()h x 在(),2-∞上单调递减，且当(),2x ∈-∞时，()0h x <；当()2,x ∈+∞时，3(02)x ->，()0h x '>， ∴()h x 在()2,+∞上单调递增，且()30h =；根据函数()h x 的以上性质，画出()y h x =的图象，如图所示：由图可知，1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点⇔直线y a =-与()y h x =的图象有两个交点⇔0a -<即0a >，不妨设：122x x <<，要证124x x +<，即要证1242x x <-<，由（1）知，当0a >时，()f x 在(),2-∞上单调递减，∴即要证()()124x f f x >-，又()()120f x f x ==，∴即要证()()224x f f x >-，即要证()()2240x f f x -->，令()()()()4,2,0x f x g x f x a >-=>-，则()()()()()442(2)2(22)x x x x g x x e x e x e e a a --'++-=-+-=-， 当()2,x ∈+∞时，20x ->，24x x e e e ->>即40x x e e -->，∴()0g x '>，()g x 在()2,+∞上单调递增，∴()()220g x g >=，∴()()2240x f f x -->，∴原不等式成立.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，解题的关键是对于条件的转化与新函数的构造，属于难题.（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所作的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 60ρθρθ+-=，曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数） （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，设点P 为C 上的一点，求PAB △的面积的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）32【解析】【分析】（1）利用cos ,sin x y ραρα==将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，由22cos sin 1αα+=可将曲线的参数方程转化为普通方程；（2）求出A 、B 的坐标，设(2cos ,3sin )P αα，求出点P 到直线l 的距离d ，代入12S AB d =⋅⋅利用辅助角公式及三角函数的有界性可求得面积的最小值. 【详解】（1）直线l 的直角坐标方程为260x y +-=；因为22cos sin 1αα+=，所以曲线C 的普通方程为22149x y +=； （2）对直线l ，令0y =可得3x =，则(3,0)A ；令0x =可得6y =，则(0,6)B ，设(2cos ,3sin )P αα，点P 到直线l 的距离d == 其中34cos ,sin 55ϕϕ==，PAB △的面积35sin()611222S AB d αϕ⨯+-=⋅⋅=⨯=， 当sin()=1αϕ+时，PAB △的面积取得最小值32. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的相互转化，利用参数方程及三角函数的有界性解决三角形面积的最值问题，涉及辅助角公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知：221a b +=，其中,a b ∈R .（1）求证：||1|1|a b ab -≤-； （2）若0ab >，求()33()a b a b++的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）1.【解析】【分析】 (1) 所证不等式等价于1a b ab -≤-，两边平方后分解因式即可得到证明；（2）将所求式子展开然后33ab a b +对利用基本不等式从而可求得最值.【详解】（1）所证不等式等价于1a b ab -≤-，即()()221a b ab -≤-，也就是()()22110a b --≤，∵221a b +=，∴21a ≤，21b ≤∴()()22110a b --≤，故原不等式成立.（2）()()334334a b a b a ab a b b +⋅+=+++ ()244221a b a b ≥+=+=当且仅当2a b ==或2a b ==-时， ()()33a b a b +⋅+取到最小值1.【点睛】本题考查不等式的证明方法，考查比较法的应用，考查利用基本不等式求最值问题,属于中档题.。

2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（十三）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡相应位置上） 1.若集合A ={0,1,2,3}，B ={x ︳21,x m m A =-∈}，则A B =（ ）A. {0,3}B. {1,3}C. {0,1}D. {3}【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B 后，利用集合的交集运算的定义即可得到答案. 【详解】{1,1,3,5}B =-,{0,1,2,3}{1,1,3,5}{1,3}A B ⋂=⋂-=,【点睛】本题考查了集合的交集运算的定义，理解交集的定义是关键，属于基础题. 2.若sin 0,sin 20αα><，则α是第（ ）象限的角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式以及sin 0α>，可得cos 0α<，由此可得α是第二象限角. 【详解】因为sin 22sin cos 0ααα=<，且sin 0α>， 所以cos 0α<， 所以α是第二象限角. 故选：B【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了正弦函数与余弦函数的符号规则，属于基础题.3.已知命题P ：,sin 10xx R e x ∃∈-+<，则⌝P 是（ ）A. ,sin 10xx R e x ∃∈-+≥ B. ,sin 10xx R e x ∀∈-+< C. ,sin 10xx R e x ∀∈-+≥ D. ,sin 10x x R e x ∃∈-+≤【答案】C 【解析】 【分析】“存在”改为“任意”，“小于”改为“大于等于”即可得到. 【详解】因为命题P ：,sin 10xx R e x ∃∈-+<， 所以p ⌝：,sin 10xx R e x ∀∈-+≥故选：C【点睛】本题考查了存在量词的命题的否定，属于基础题. 4.函数3()log (1)f x x =+的定义域为（ ） A. [1,1]-B. [1,1)-C. (]1,1-D. (1,1)-【解析】 【分析】利用偶次根式的被开方非负以及对数的真数为正数列不等式组解得结果即可.【详解】由22010x x ⎧-≥⎨+>⎩解得11x -<≤，所以定义域为(]1,1-， 故选：C【点睛】本题考查了求含偶次根式和对数符号的函数的定义域，偶次根式的被开方非负与真数为正数是求定义域时，经常碰到的，需要牢固掌握，属于基础题. 5.已知4tan()30απ+-=，则cos2α的值为（ ） A.725B. 725-C.925D. 925-【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求得3tan 4α=，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将cos2α化为正切的形式，代入正切值即可得到.【详解】因为4tan()30απ+-=，所以3tan 4α=， 所以222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+221tan 1tan αα-==+ 2231()743251()4-==+. 故选：A【点睛】本题考查了诱导公式，考查了二倍角的余弦公式以及同角公式，弦化切是解题关键，属于基础题.6.函数3log 2,0()5,0xx x f x m x ->⎧=⎨-≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）A. 0m <B.112m << C. 102m <<D. 0m ≤或1m【答案】A 【解析】 【分析】先求充要条件为1m 或0m ≤，再根据充分不必要条件的概念以及四个选项可得答案. 【详解】先求充要条件：因为当0x >时，令3log 20x -=，解得9x =符合，所以当0x ≤时，令50x m -=，则此方程无解，因为0x ≤时，051x <≤，所以1m 或0m ≤ ， 所以 3log 2,0()5,0xx x f x m x ->⎧=⎨-≤⎩有且只有一个零点的充要条件是1m 或0m ≤， 根据四个选项，结合充分不必要条件的概念可知选A. 故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件，考查了函数的零点，属于基础题. 7.已知1sin()124πα+=，则17cos()12πα-的值等于（ ）A.14 B. 14-C.4D. 4-【答案】B 【解析】 【分析】分别根据诱导公式三，二，五转化为sin()12πα-+，结合已知可得答案.【详解】因为17cos()12πα-=5cos()12παπ--5cos()12ππα=+- 5cos()12πα=--cos[()]212ππα=--+ sin()12πα=-+14=-.故选：B【点睛】本题考查了诱导公式三，二，五，属于基础题.8.已知34xyk ==，且212x y+=，则实数k 的值为（ ）A. 12B.C. D. 6【答案】D 【解析】 【分析】将34x y k ==化为对数式，再倒过来，利用对数的运算法则即可得到答案. 【详解】由34x y k ==得3log x k =，4log y k =，所以1log 3k x=，1log 4k y =，所以212log 3log 4log 362k k k x y+=+==， 所以236k =，又0k >， 所以6k =. 故选：D【点睛】本题考查了指数式化对数式，考查了对数的运算性质，考查了对数的运算法则，属于基础题.9.已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】D 【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<，133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．10.设有限集合A =123{,,,}n a a a a ，则称123A n S a a a a =++++为集合A 的和.若集合M ={x ︳2,N ,6x t t t *=∈<},集合M 的所有非空子集分别记为123,,,k P P P P ，则123k P P P P S S S S ++++=（ ）A. 540B. 480C. 320D. 280【答案】B 【解析】 【分析】求出{2,4.6.8.10}M =后，分别求出含有2,4,6,8,10的子集个数，然后可求得结果. 【详解】{2,4.6.8.10}M =，其中含有元素2的子集共有4216=个，含有元素4的子集共有4216=个，含有元素6的子集共有4216=个，含有元素8的子集共有4216=个，含有元素10的子集共有4216=个，所以123k P P P P S S S S ++++(246810)16480=++++⨯=.故选：B【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了集合的子集个数的计算公式，属于基础题. 11.设(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-，且cos tan (1sin )βαβ=-，则下列式子中为定值的是（ ）A. βα+B. 2αβ-C. 2αβ-D. 2αβ+【答案】C 【解析】 【分析】将已知等式切化弦后，利用两角差的余弦公式以及诱导公式变为cos()cos()2παβα-=-，再根据余弦函数cos y x =在[0,]π上为递减函数可得到结果. 【详解】因为cos tan (1sin )βαβ=-， 所以sin cos (1sin )cos αββα=-， 所以cos cos sin sin sin αβααβ=-， 所以cos()sin αβα-=， 所以cos()cos()2παβα-=-，因为(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-， 所以0αβπ<-<，022ππα<-<，因为cos y x =在[0,]π上为递减函数， 所以2παβα-=-，即22παβ-=（定值），故选：C【点睛】本题考查了同角公式切化弦，考查了两角差的余弦公式，考查了诱导公式，考查了余弦函数的单调性，属于中档题.12.已知函数()log 2(0,1)m f x x m m =->≠，若a b c d >>>且()()()()f a f b f c f d ===，则11111111a b c d +++----的值为（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 4m【答案】A 【解析】 【分析】不妨假设1m ，作出函数()f x 的图像，根据图像可得21a ->，021b <-<，021c <-<，122d <-<，根据已知可得log (2)log (2)log (2)log (2)m m m m a b c d -=--=--=-，进一步可得13a d -=-，13c b -=-，122b d-=-，再将所求式子化为221(2)11(2)dd=+--+-+-，化简可得答案.【详解】不妨假设1m，作出函数()f x的图像如下：由图可知321a b c d>>>>>>，所以21a->，021b<-<，021c<-<，21d->，因为()()()()f a f b f c f d===，且1m，所以log(2)log(2)log(2)log(2) m m m ma b c d-=--=--=-，所以22a d-=-，22b c-=-，(2)(2)1b d--=，所以13a d-=-，13c b-=-，122bd-=-，所以111111111133a cb d d b+++=+------1111b d++--1111()()3131b b d d=+++----22(3)(1)(3)(1)b b d d=+----22224343b b d d=+-+--+-2222(2)1(2)1b d=+--+--+221(2)11(2)d d =+--+-+- 2222(2)2(2)1(2)1d d d -=+----+ 22228824343d d d d d d -+=+-+-+- 22288243d d d d -+-=-+ 2=.故选：A【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用等基础知识，考查了函数图像的作法，考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，数形结合思想，转化划归思想，属于较难题. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =（ ）A. {}2B. {}3C. {}2,3D. {}3,5【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的性质可得{}|24B x x =<<，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}{}{}2|log (2)1|022|24B x x x x x x =-<=<-<=<<， 所以{}{}{}2,3,5,7|243x Ax B <<==.故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（ ）A.B. 2C.D. 10【答案】C 【解析】 【分析】由题意13z i =--，再由复数模的概念即可得解. 【详解】由题意()22213i i iz i i i i i --=-=-=--，所以z ==故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题. 3.下列说法正确的是（ ）A. “若2a >，则24a >”的否命题为“若2a >，则24a ≤”B. 命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C. “0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D. “这次数学考试的题目真难”是一个命题 【答案】B 【解析】 【分析】由否命题的概念即可判断A ，由命题及其否定的关系可判断B ，由全称命题的否定方法可判断C ，由命题的概念可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，“若2a >，则24a >”的否命题为“若2a ≤，则24a ≤”，故A 错误； 对于B ，命题p q ∨的否定为()p q ⌝∨，故命题p q ∨与()p q ⌝∨有一个命题为真，故B 正确； 对于C ，“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∃≤，2220x x -+<”，故C 错误；对于D ，“这次数学考试的题目真难”不能判断真假，故“这次数学考试的题目真难”不是一个命题，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了命题、命题的否定及否命题的概念，属于基础题.4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 【答案】D 【解析】 【分析】由题意()26.6350.01P K ≥=，由独立性检验的原理即可得解.【详解】由题意27K =，()26.6350.01P K ≥=，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关. 故选：D.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈.随着n 的增大，1nn a a +越来越逼近黄金分割0.618≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A. 144厘米B. 233厘米C. 250厘米D. 377厘米【分析】由题意可得10.618nn a a +≈且133600n n a a +=，即可得解. 【详解】由题意可得10.618nn a a +≈且133600n n a a +=，解得1233n a +≈. 故选：B.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.6.在103x 的展开式中，常数项为（ ）A. -252B. -45C. 45D. 252【答案】C 【解析】 【分析】由题意写出10的展开式的通项公式，令8r =即可得解.【详解】由题意，10的展开式的通项公式为：()105110101rrr rr r r T C C x --+⎛=⋅=-⋅⋅ ⎝， 令53r -=-即8r =，()()8583310101145rr r C x C x x ----⋅⋅=-⋅⋅=，所以103x 的展开式中，常数项为45.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 7.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b+取值范围是（ ）A. ()0,∞+B. [)2,+∞C. )1,+∞D. )⎡+∞⎣【答案】C由题意112b b aa b a b+=++，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，1212121222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++≥⋅+=+， 当且仅当2b aa b=，即222a =-，22b =-时等号成立. 故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是对于条件做适当的变形，属于基础题. 8.函数x xy e=的部分图象是（） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】对比函数的性质与图象的特征，逐项排除即可得解. 【详解】令()x x f x e =，则()()xxf x f x e ---==-，所以()f x 为奇函数，可排除C 选项； 当0x >时，()1x xf x e-'=，故()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，故排除B 、D. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别及利用导数判断函数单调性的应用，属于基础题.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ） A. 2 B. 1C. 0D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合奇函数的性质可得()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合函数周期的概念可得()f x 是周期为3的周期函数，进而可得()()110012f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数， 故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =. 故选：B.【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了对数运算及运算求解能力，属于中档题. 10.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（ ）A. B.C.5D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的性质得52p x p =，p y ，由以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -可得1212p =-，求得p =. 【详解】由题意点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()(),0P P P P x y y >，()0,1A -， 32p p FP x p =+=，∴52p x p =，p y ， 以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -，∴AP AF ⊥，即115212p p+⋅=-，∴5p =， 由//PQ y轴可得所求距离为5225p p -=. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力和转化化归思想，属于基础题. 11.已知ABC 的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合正弦定理得222a b c -=+，由余弦定理得cos 2A =-即34A π=，再由cos sin sin cos cos A B C B C =-可得sin sin 10B C =根据正弦定理得sin b B =，sin c C =，则212sin sin 22ABC S a B C =⋅⋅△即可得解.【详解】由sin sin 2sin sin a A b B c B c C -=+得2222a b cb c -=+，则2222cos 2b c a A bc +-==-，由()0,A π∈可得34A π=， 由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得2sin sin 10B C =， 由正弦定理知2sin sin b ca B C==，即2sin b a B =，2sin c a C =， ∴221121sin 2sin sin 222101ABC S bc A a B C a ==⋅⋅==△， 所以10a =. 故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，考查了运算能力与转化化归思想，属于中档题.12.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC 是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC 的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（ ） A. 36π B. 42πC. 54πD. 246π【答案】C 【解析】 【分析】设ABC 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题意可得AC BD ⊥，进而可得BD ⊥平面ACD ，即可得DA ，DB ，DC 两两垂直，可把原三棱锥的外接球转化为以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的外接球，即可得解.【详解】设ABC 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题知DG ⊥平面ABC ，所以DG AC ⊥，又AC GB ⊥，DG GB G =，所以AC ⊥平面DGB ，所以AC BD ⊥， 又BD CE ⊥，CEAC C =，∴BD ⊥平面ACD ，∴BD CD ⊥，BD AD ⊥，又D ABC -为正三棱锥，∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由6AB =得DA =故正方体外接球直径2R ==，所以球O 的表面积为224454R πππ==⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查了棱锥的几何特征与外接球半径的求解，考查了线面垂直的性质与判定和空间思维能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,a m =，()1,2a b +=，若()//3a a b +，则实数m =______________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得()1,2b m =--，进而可得()31,62a b m +=--，再由平面向量共线的特征即可得解. 【详解】()2,a m =，()1,2a b +=，∴()1,2b m =--，∴()31,62a b m +=--，又()//3a a b +，∴()262m m -=-，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及共线的特征，属于基础题.14.已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.【答案】9 452π-【解析】【分析】由三视图还原该几何体为一个长方体中挖去一个18球，利用体积公式即可得解.【详解】由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴3149335345832Vππ=⨯⨯-⋅⋅=-.故答案为：9452π-.【点睛】本题考查了三视图识别与立体图形体积的求解，属于基础题.15.已知公差不为0的等差数列{}n a中，2a，4a，8a依次成等比数列，若3a，6a，1b a，2b a，…，n b a，…成等比数列，则nb=_____________.【答案】132n+⋅【解析】【分析】由题意结合等比数列、等差数列的性质可得n a nd=，进而可得132nnba d+=⋅，即可得解.【详解】设数列{}n a公差为d，由题知()()24284424a a a a d a d==-+，即44a d =，故413d d a a =-=， ∴n a nd =，33a d =，66a d =， 故新等比数列首项为3d 、公比为2， 因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.故答案为：132n +⋅.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.【答案】⎡⎣【解析】 【分析】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，转化条件得存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，进而可得()()221a a -+≤-，即可得解.【详解】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+， 曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，∴存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，不妨设120k k <<，()()()121222k k k a a a ≥+≥-+，∴()()221a a -+≤-，即a ≤≤故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及导数的计算，考查了转化化归思想，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，a =1c =，求ABC 的面积.【答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，k Z ∈；（2）4【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，分别令()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈、()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈即可得解；（2）由题意可得23A π=，由正弦定理得1sin 2C =，进而可得6B π=，再利用1sin 2ABC S ac B =△即可得解.【详解】（1）由题意()2cos 22f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭1cos 2sin 22sin 223x x x π+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭， 由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得()1212k x k k Z 5π11ππ+≤≤π+∈，故()f x 在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；（2）由题意2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=，由正弦定理得sin sin c a C A=即1sin C =，1sin 2C =， 由0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得6C π=，∴ππ6BA C，∴1113sin 312224ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形的综合应用，属于中档题.18.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率. 参考数据：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.【答案】（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【解析】 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=， 第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=，1154.6 2.145σ==≈， （i ）()()167.86174.282P X P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P X P X μσ->=>+==， 故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点.（1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）131131- 【解析】【分析】（1）由线面平行的性质可得//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形，由平面几何知识90BGC ∠=︒即AB AD ⊥，由线面平行的判定可得AB ⊥平面PAD ，再由线面垂直的性质即可得证； （2）由题意23PD =，E 、F 分别为PD 、PC 的中点，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可得平面DBF 的一个法向量为m 、平面ABD 的一个法向量n ，由cos ,m nm n m n⋅=⋅即可得解. 【详解】（1）证明：∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ， 又面ABFE面PDC EF =，∴//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，如图：则ABGD 为平行四边形，∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥，又AB AP ⊥，AP AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ， ∴EF ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴PD EF ⊥；（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴tan 3CPD DCDP ∠==，解得23PD = 又12EF AB DC ==，∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点， 取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，2222PO PD OD =-=由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，CDAD D =，故PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA ，AB ，OP 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则()2,0,0A ，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(2P ， 故(2F -，()4,3,0DB =，(2DF =， 设平面DBF 的一个法向量为(),,m x y z =，则430320m DB x y m DF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令3x =得923,4,2m ⎛=- ⎝⎭， 显然()0,0,1n =是平面ABD 的一个法向量，∴921312c 13os ,13121m n m n m n ⋅===⋅， 由题知二面角A BD F --的余弦值为131131-【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3231,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为1的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=，求λ的值.【答案】（1）22132x y +=；（2）2237λ= 【解析】 【分析】（1）由题意可得3c a =、221413a b +=，解出23a =，22b =后即可得解； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，转化条件得2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，联立方程可得1265x x +=，1235x x =-，即可得解.【详解】（1）由题知3c a =，故2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =得()112,2P x y ， 由NQ NP λ=得()()221212,2,2Q Q x x y y x x y y λ--=--， ∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=，即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+= ⎪⎝⎭，由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，>0∆， 则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-， ∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0， 又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=. 【点睛】本题考查了椭圆方程的确定及直线、平面向量与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.21.已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()12xf x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）当0a ≥时，在()0,∞+上单调递增，当0a <时，在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）1a e -≤ 【解析】 【分析】（1）求导后，按照0a ≥、0a <分类讨论，求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解； （2）转换条件得211ln 022xe ax x e a ---+>在()1,+∞上恒成立，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，求导后结合()10g =，按照1a e >-、1a e -≤分类讨论，即可得解.【详解】（1）求导得()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，()00f x x '>⇔<<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）()2111ln 0222xx f x e e a e ax x e a <-+⇔---+>， 令()211ln 22xg x e ax x e a =---+，()10g =，则()1xg x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >，使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单调递减， ∴()()010g x g <=，与题意矛盾；当1a e -≤时，令()1xh x e ax x=--，()1,x ∈+∞， ∴()()221110xh x e a e e x x'=-+>--+>，∴()h x 即()g x '单调递增，∴()()110g x g e a ''>=--≥，∴()g x 单调递增，∴()()10g x g >=，符合题意； 综上所述，1a e -≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 【答案】（1）828a <<；（2）221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题意可得1//O M l 即002sin 32co 4s θθ=-，结合同角三角函数的平方关系求得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩后即可得解.【详解】（1）消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，可得曲线C 是圆心为()2,3，半径为2的圆，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<； （2）设圆C 的圆心为()12,3O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ，∴002sin 32co 4s θθ=-，又2200s cos in 1θθ+=，解得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题.23.已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b +++的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）45【解析】 【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥，即可得解；（2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a b ab ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，结合222a b +=即可得解. 【详解】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥， 当且仅当0x =时等号成立， 故2m =；（2）由题意222a b +=， 由柯西不等式得()222221112(11124)a b ab ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎭=⎝， 当且仅当232a =，212b =时，等号成立， ∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.。

2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷（二十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2|230A x x x =+-<，{}|02B x x =<<，则AB =（ ）A ．{}|02x x <<B ．{}1|0x x <<C ．{}|31x x -<<D ．{}|12x x -<<2．已知集合{}2430=-+>A x x x ，{}0=-<B x x a ，若⊆B A ，则实数a 的取值范围为A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞3．若幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)-，则在定义域内函数()f xA ．有最小值B ．有最大值C ．为增函数D ．为减函数4．已知函数f (x )＝3x －3x -，∀a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x，x <0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )6．已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－17．定积分1(2)x x e dx +⎰的值为( )A ．2e +B ．1e +C ．eD ．1e -8．已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞b ＞c9． 如图是函数()f x 的导函数()y f x '=的图像，则下列说法一定正确的是（ ） A ．3x x =是函数()f x 的极小值点B ．当2x x =或4x x =时，函数()f x 的值为0C ．函数()f x 的图像关于点()0,c 对称D ．函数()f x 在()4,x +∞上是增函数10．设函数2()ln(1)f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦11．已知函数()()2ln 2f x x x x x a =+-（a ∈R ）．若存在[]1,3x ∈，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是( )A ． (),-１６B ．,2⎛⎫- ⎪⎝⎭１３ C ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ． 2,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭２12．设，，若函数在内有4个零点，则实数的取值范围是( ) A.B.C.D.第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届河北衡水金卷新高考仿真考试（九）数学（理工类）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，且()()1x i i y --=，则实数,x y 分别为（ ） A. 1,2x y =-=- B. 1,1x y =-=C. 1,1x y ==D. 1,2x y ==【答案】A 【解析】 【分析】化简()()1x i i y --=得()()1+1x x i y --=，进而得1{(1)0x y x -=-+=，解方程求得,x y 即可. 【详解】解：因为()()1x i i y --=，所以()()1+1x x i y --=，所以1{(1)0x y x -=-+=解得：12x y =-⎧⎨=-⎩. 故选：A.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算、复数相等，考查学生的计算能力，属于基础题.2.设全集U =R ，集合{}2lg(1)M x y x ==-,{}02N x x =<<,则()RC M N ⋂=A. {}21x x -≤≤ B. {}01x x <≤C. {}11x x -≤≤D. {}1x x <【答案】B 【解析】 【分析】由集合2{lg(1)}{|1M x y x x x ==-=<-或1},{02}x N x x >=<<，先求解R C M ，再由集合N 能够求出答案.【详解】因为全集U =R ,集合2{lg(1)}{|1M x y x x x ==-=<-或1},{02}x N x x >=<<， 所以{|11}R C M x x =-≤≤，所以(){|01}R N C M x x ⋂=<≤，故选B. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合M 和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性.今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化､国际化､便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模､提质量､转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述错误的是（ ）A. 这五年，2015年出口额最少B. 这五年，出口总额比进口总额多C. 这五年，出口增速前四年逐年下降D. 这五年，2019年进口增速最快【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图中的数据，利用统计知识逐一判断即可.【详解】对A 项，由图可知，这五年，2015年出口额最少，故A 正确； 对B 项，由图可知，2015年出口额小于进口额，但2016年到2019年每年的出口额都大于进口额，总体来看，这五年，出口总额比进口总额多，故B 正确；对C 项，由图可知，2015年至2016年出口增速上升，故C 错误；对D 项，由图可知，2015年至2019年期间，2019年进口增速最快，故D 正确； 故选：C【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于中档题.4.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数55120n A ==，其中宫、羽不相邻的基本事件有323472m A A ==，由此可求出所求概率.【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数55120n A ==， 其中宫、羽不相邻的基本事件有323472m A A ==，则从所有的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为7231205m p n ===， 故选：C【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等知识，考查运算求解能力，属于基础题. 5.下列结论中错误的是（ ）A. 若角α的终边过点()30),4(P k k k ≠，则4sin 5α B. 若α是第二象限角，则2α为第一或第三象限角 C. 若扇形周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度 D. 若02πα<<，则sin tan αα<【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义、象限角的概念、圆心角的弧度制概念、同角三角函数的基本关系，即可得答案； 【详解】对A ，1,(3,4)k p =---，则4sin 5α=-，故A 错误； 对B ，22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴,422k k k Z παπππ+<<+∈，∴2α为第一或第三象限角，故B 正确； 对C ，64||12l r α-===，故C 正确； 对D ，sin 0,sin tan sin cos 12cos πααααααα<<<⇔<⇔<，故D 正确； 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的定义、象限角的概念、圆心角的弧度制概念、同角三角函数的基本关系，考查对概念的理解，属于基础题.6.函数f （x ）()142xxsinx -=的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断.【详解】因为f （﹣x ）()()()()144114222------==-==xxxxxxsin x sinx sinx f （x ）， 所以f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项A ，C ，又f （2）()2214215sin 224-==-sin ，因为22ππ<<，所以sin20>，所以f （2）＜0，排除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 7.矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.8.已知函数()3sin cos f x x x =+ (x ∈R )，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图象，则以下关于函数()y g x =的结论正确的是（ ）A. 若1x ，2x 是()g x 的零点，则12x x -是2π的整数倍B. 函数()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的对称中心 D. 3x π=是函数()g x 图象的对称轴【答案】D 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简()f x 解析式，再根据三角函数平移变化可得函数()g x 的解析式：由正弦函数的周期性和零点定义可判断A ，由正弦函数单调递增区间可判断B ，由正弦函数的对称中心及对称轴可判断C 、D.【详解】函数()cos f x x x =+，由辅助角公式化简可得()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度，得到()y g x =， 则()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对于A ，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，若1x ，2x 是()g x 的零点，则12x x -是2π的倍数，所以A 错误；对于B ，由正弦函数的图象与性质可知，函数()y g x =的单调递增区间为,,k k k x Z πππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦-262222，解得,,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，而,44,63ππππ⎡⎤-⊄⎡⎤-⎢⎥⎣⎢⎥⎣⎦⎦，所以函数()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不为单调递增，故B 错误；对于C ，由正弦函数的图象与性质可知，函数()y g x =的对称中心为2,6x k k π-=π∈Z ，解得,212k x k Z ππ=+∈，当k πππ+=23412时，解得43k =，不合题意，所以C 错误；对于D ，由正弦函数的图象与性质可知，函数()y g x =的对称轴满足2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,23k x k Z ππ=+∈，当0k =时，3x π=，故D 正确.综上所述，正确的为D ， 故选：D.【点睛】本题考查了辅助角公式化简三角函数式，三角函数图象平移变换求解析式，正弦函数图象与性质的应用，属于基础题.9.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，P 是1AA 中点，过点1D 作平面α满足⊥CP 平面α，则平面α与正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为（ ）A. 4562+B. 122C. 828+D. 85【答案】A 【解析】 【分析】作出平面α为平面11MNB D ，再根据正方体的棱长为4，即可得答案； 【详解】取AD 的中点M ，AB 的中点N ，连结PD ，1111,,,M N B M D B D N 则11,,D M PD D M CD PO CD D ⊥⊥⋂=1D M ⊥平面PCD ，∴CP ⊥1D M ，又MN ⊥面11ACC A ，∴PC ⊥MN∴PC ⊥面11MNB D ，即平面α为面11MNB D ，11422,42,25AB MN BD B N D M =∴====，∴截面的周长为4562+，故选：A.【点睛】本题考查空间中平面的作法、线面垂直判定定理与性质定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.10.如图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则AM AO ⋅的值为（ ）A. 23B. 12C. 6D. 5【答案】D 【解析】 【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求 AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅ ，由数量积的定义可得||,||AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅= ，代值即可． 【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥， ∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+ . 11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅= ，而||cos ,||AO AD AO AD <>= ，故222||4||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；同理可得222||2||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=. 故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题． 11.已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则 （ ）A. 2(2)(3)(log )af f f a << B. 2(3)(log )(2)af f a f << C. 2(log )(3)(2)af a f f <<D. 2(log )(2)(3)af a f f <<【答案】C 【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，可知函数关于x=2对称，同时根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''>那么说明了当(2)()0x f x '->，当x>2时，递增，当x<2时单调递减，则可知函数的单调性，同时结合24a <<，21log 2,1624<<>>aa 那么可知2(log )(3)(2)a f a f f <<，故选C.考点：函数的单调性点评：解决的关键是对于函数的单调性的判定以及周期性的运用，属于基础题．12.点F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的直线交抛物线C 于AB 两点（点A 在第一象限），过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段，垂足分别为M 、N ，若4,3MF NF ==，则直线AB 的斜率为（ ）A. 1B.724C. 2D.247【答案】D 【解析】 【分析】令()()1122,,,A x y B x y ，根据抛物线焦点弦的性质可得221212,4p x x y y p ==-，可得MF NF ⊥，由勾股定理可得5MN =，再根据等面积法求出p ，即可求出抛物线的焦点坐标与A 点坐标，最后利用斜率公式计算可得；【详解】解：如图令()()1122,,,A x y B x y ，易知：22121212,,,,,422p p p x x y y p M y N y ⎛⎫⎛⎫==--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 1212212222MF NF y y y yk k p p p p p ∴⋅=⋅==-----． MF NF ∴⊥因为4,3MF NF ==5MN ∴=125y y ∴-=11345222p∴⨯⨯=⨯⨯ 125p ∴=所以抛物线方程为2245y x =，焦点坐标6,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭22112165y ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 1165y ∴=，1165y =-（舍去），所以3216,155A ⎛⎫⎪⎝⎭162453267155AFk∴==- 故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，焦点弦的性质的应用，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数ln 2lg ,(0)(),(0)2x x x f x x e x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则110f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】1- 【解析】 【分析】 先计算1110f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再计算(1)f -，即可得答案； 【详解】11lg 11010f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴1ln ln 2211(1)122f e e ---=-=--=-，∴1110f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：1-.【点睛】本题考查根据分段函数求函数值，考查运算求解能力，属于基础题. 14.按如图所示的程序框图运算,若输入x =20,则输出的k =______.【答案】3 【解析】【详解】根据题意可知，起始量为k =0,第一次得到：k =1,x =39; 第二次：k =2,x =77;第三次：k =3,x =153,此时不符合条件， 则终止循环得到的k 的值为3. 故答案为:3.考点：本试题考查了框图的知识．【点睛】解决该试题的关键是利用已知中的条件结构和循环结构，解决变量的求值问题，注意循环结构的终止条件，也就是最后一步何时停止，这一点是易错点，属于基础题．15.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若90BAO BFO ∠+∠=︒，则该椭圆的离心率是 .【答案】12【解析】 【详解】90,90,BAO BFO BAO BFO ∠+∠=︒∴∠=︒-∠sin cos ,c BAO BFO a∴∠=∠=22242,310b c a e e +=∴-+=()()223550,1,,0,1,e e e e --∈∴=∈∴=16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，120A =︒，若b c λ+有最大值，则λ的取值范围是______. 【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用正弦定理求得,b c ，结合辅助角公式以及三角函数的最值，求得λ的取值范围. 【详解】由于120A =，所以060B <<.由正弦定理得1sin sin sin sin1203b c a B c A ====，所以,b B c C ==，所以b c λ+()sin sin sin sin 603333B C B B =+=+- 31sin cos sin 2233B B B ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭sin cos 3B B =+.当210λ-=时，cos b c B λ+=没有最大值.所以12λ≠. 则b c λ+()22211sin 3B λϕ-⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭.其中3tan 21ϕλ=-，要使b c λ+有最大值，则B ϕ+可以等于90，由于060B <<，所以3090ϕ<<，所以3tan ϕ>，即33213λ>-，解得122λ<<.所以λ的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查辅助角公式，属于难题.三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示： 学生 1A2A 3A4A5A数学（x 分） 89 91 93 95 97 物理（y 分） 8789899293（1）求出这些数据回归直线方程；（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X 表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望()E X 的值．附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i ni i uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-⋅ 【答案】（1）ˆ0.7520y x =+；（2）答案见解析.【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式，先求出0.75b =，再利用回归直线经过样本点中心，即可得答案；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2．利用古典概率模型求出随机变量的分布列，进而求得期望. 【详解】解：（1）8991939597935x ++++==，8789899293905y ++++==， ()52222221(4)(2)02440i i x x =-=-+-+++=∑()()51(4)(3)(2)(1)0(1)224330iii x x yy =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑，300.7540b ==，69.7bx =，20.2a y bx =-=． 故这些数据的回归方程是：ˆ0.7520yx =+． （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2．22241(0)6C P X C ===；1122242(1)3C C P X C ===；22241(2)6C P X C ===．故X 的分布列为：121()0121636E X ∴=⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程、离散型随机变量的分布列及期望，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意概率模型的选择.18.如图，AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，AB EF ，矩形ABCD 所在的平面与圆O 所以的平面互相垂直，已知2,1AB EF ==. （1）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（2）当AD 的长为何值时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60？【答案】（1）见解析（2）当AD 的长为64DFC 与平面FCB 所成的锐二面角大小为60. 【解析】【试题分析】（1）先运用面面垂直的性质定理证明线线垂直，再运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，最后运用面面垂直的判定定理分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系，再运用向量的坐标形式的有关运算及数量积公式分析求解：解：（1）平面ABCD ⊥平面,ABEF CB AB ⊥， 平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF . ∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，∴AF ⊥平面CBF . ∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF .（2）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA 、OG 、AD 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设(0)AD t t =>，则点D 的坐标为()1,0,t ，则()1,0,C t -，又()()131,0,0,1,0,0,,22A B F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴()132,0,0,,22CD FD t ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面DCF 的法向量为()1,,n x y z =，则110,0n CD n FD ⋅=⋅=，即20,{30,x y tz =+= 令3z =0,2x y t ==.∴(10,23n t =.由（1）可知AF ⊥平面CFB ，取平面CFB 的一个法向量为2132n AF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭∴1212cos60n n n n ⋅=，即2312431t t =+⋅6t =.因此，当AD 的长为64时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角大小为60. 点睛：立体几何是高中数学中的传统而典型的内容之一，也高考重点考查的考点和热点．这类问题的设置一般有两类：其一是线面位置关系的判定；其二是有关几何体的体积面积以及角度距离的求解与计算等问题．求解第一问时，先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再运用面面垂直的判定定理分析推证从而使得问题获证；解答第二问时，先依据题设条件建立空间直角坐标系，再运用向量的有关知识及数量积公式建立方程进行探求从而使得问题获解．19.已知*n N ∈，数列{}n d 满足3(1)2nn d +-=，数列{}n a 满足1232n n a d d d d =++++；又知数列{}n b 中，12b =，且对任意正整数,m n ，m nn m b b =．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）将数列{}n b 中的第1a 项，第2a 项，第3a 项，…，第n a 项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2020项和．【答案】（1）3n a n =，2nn b =；（2）303066277⨯-. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件可直接求和计算出n a ，然后令1m =，则1nn b b =，可求出n b ；（2）结合（1）可知，将数列{}n b 中的第3项，第6项，第9项，…，删去后，可构成新数列{}n c ，然后利用奇偶分求法或相邻并项法或利用{}n b 的前n 项和，均可求出数列{}n c 的前2020项和.【详解】（1）3(1)2nn d +-=，12323232n n na d d d d n ⨯∴=++++==， 又数列{}n b 中，12b =，且对任意正整数,m n ，m nn m b b =， 令1m =，则12n nn b b ==，∴数列{}n a 的通项公式为3n a n =，数列{}n b 的通项公式为2n n b =．（2）由（1）知3n a n =，故将数列{}n b 中的第3项，第6项，第9项，…，删去后构成新数列{}n c ， 设数列{}n c 的前n 项和为n T . 法1：{}n c 中的奇数项与偶数项仍成等比数列，其首项分别是12b =，24b =，公比均是8， 则()()202013520192462020T c c c c c c c c =+++++++++()()14730282583029b b b b b b b b =+++++++++()()101010102184181818--=+--10106867⨯-=. 法2：20201232020T c c c c =++++()()()124530283029b b b b b b =++++++()()()24530283029222222=++++++43028323232=⋅+⋅++⋅()1010218318-=⋅-10106867⨯-=. 法3：20201232020T c c c c =++++()1233029303036933400b b b b b b b b b b =++++++-++++()()101033303032122121212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=--- 3030303088222277=⨯--⨯+303066277=⨯-. 【点睛】本题主要考查数列求和，考查学生的分析理解能力，属于中档题.解决数列求和问题，需要掌握常用的求和方法，比如错位相减法，裂项相消法，相邻并项法等. 20.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短轴长为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线2x =与椭圆C 交于P 、Q 两点，A 、B 是椭圆O 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为12． ①求四边形APBQ 面积的最大值；②设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，判断12k k +的值是否为常数，并说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）① 【解析】 【分析】（1）由题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 的值，即可得出椭圆C 的标准方程； （2）①求得点()2,3P 、()2,3Q -，可得出6PQ =，设直线AB 的方程为12yx t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，结合四边形的面积公式以及二次函数的基本性质可求得四边形APBQ 面积的最大值；②求得1k 、2k 的表达式，代入韦达定理可求得12k k +为定值.【详解】（1）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>．由题意可得222212b c a a b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的标准方程为2211612x y +=；（2）①由（1）可求得点P 、Q 的坐标为()2,3P 、()2,3Q -，则6PQ =， 设直线AB 的方程为12yx t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22120x tx t ++-=， ()2224124830t t t ∆=--=->，可得44t -<<.四边形APBQ 的面积121632S x x =⨯⨯-==故当0t =时，max S = ②由题意知，直线PA 的斜率11132y k x -=-，直线PB 的斜率22232y k x -=-， 则1212121212113333222222x t x t y y k k x x x x +-+---+=+=+---- ()()()()()12121212121211222224222211222224x t x t t x x t t x x x x x x x x -+--+--+---=+=++=+-----++， 由①知12x x t +=-，21212x x t =-，可得()()212222428*********28t t t t k k t t t t -----++=+=+=-=-+++-.所以12k k +的值为常数0．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积最值以及斜率之和定值问题的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题. 21.已知函数1ln ()xf x x+=（1）若函数()f x 区间1,(0)3a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值点，求实数a 的取值范围； （2）当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+，恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：2221[(1)!](1)n n n n e -+++>+（*n N ∈，e 为自然对数的底数， 2.71828e =……）．【答案】（1）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）(,2]-∞；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由函数()f x 定义域为0,，2ln ()xf x x'=-，得到()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，得到1x =为()f x 的极值点，再由()f x 区间1,(0)3a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值点得到关于a 的不等式组，求得a 的取值范围即可；（2）把()1k f x x ≥+转化为(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()(1)x x g x x x++=≥，进而转化为()min k g x ≤，利用导数求得()min g x 即可；（3）由（2）得1ln 21x x x +≥+，即22ln 111x x x ≥->-+，令*(1),x k k k N =+∈，得211ln[(1)]112(1)1k k k k k k ⎛⎫+>-=-- ⎪++⎝⎭，令1,2,3,,k n =⋯，得到n 个式子，对这n 个式子进行累加后，根据对数的运算性质即阶层的定义即可得到结论.【详解】（1）函数()f x 定义域为0,，221(1ln )1ln ()x x x x f x x x ⋅-+⋅'==-， 当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以1x =为()f x 的唯一极值点.因为，函数()f x 区间1,(0)3a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值点， 所以应满足0113a a a >⎧⎪⎨<<+⎪⎩，解得：213a <<， 故所求实数a 的取值范围为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）当1x ≥时，不等式()1k f x x ≥+化为：1ln 1x k x x +≥+，即(1)(1ln )x x k x ++≤. 令(1)(1ln )()(1)x x g x x x++=≥，由题意，()k g x ≤在[1,)+∞恒成立, 所以只需()min k g x ≤.22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x x x g x x x '''++-++⋅-==， 令()ln (1)h x x x x =-≥，则1()10h x x'=-≥，当且仅当1x =时取等号， 所以()ln h x x x =-在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)10h x h ≥=>因此22ln ()()0x x h x g x x x'-==>， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)2g x g ==因此，k 2≤，即实数k 的取值范围为(,2]-∞；（3）由（2）知，当2k =时，不等式2()1f x x ≥+在1x ≥上恒成立， 即1ln 21x x x +≥+，整理得：22ln 111x x x ≥->-+ 令*(1),x k k k N =+∈，则有211ln[(1)]112(1)1k k k k k k ⎛⎫+>-=-- ⎪++⎝⎭ 分别令1,2,3,,k n =⋯，则有111ln(12)121,ln(23)12223⎛⎫⎛⎫⨯>--⨯>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…，11ln[(1)]121n n n n ⎛⎫+>-- ⎪+⎝⎭将这n 个不等式左右两边分别相加，得22212ln 123(1)21211n n n n n n ⎛⎫⎡⎤⨯⨯⨯⨯+>--=-+ ⎪⎣⎦++⎝⎭故2222221123(1)n n n n e-++⨯⨯⨯⨯+>， 所以22222221123(1)(1)n n n n n e -++⨯⨯⨯⨯+>+ 从而2221[(1)!](1)n n n n e -+++>+，从而得证.【点睛】本题主要考查根据函数的极值求参数的取值范围，恒成立问题，不等式的证明，综合性比较强，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中,曲线1C :22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :24sin 3ρρθ=-,曲线1C 与曲线2C 相交于M ,N 两点.（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线MN 的一般方;（2）点3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求PM PN +. 【答案】（1）2C ：2243x y y +=-，直线MN ：4430x y -+=（2）4 【解析】【分析】（1）将曲线1C :22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩化简为:2cos 2sin 2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,根据22sin cos 1θθ+=消参,即可得到2C 的直角坐标方程,将1C 和2C 直角坐标方程作差,即可求得直线MN 的一般方程.（2）将MN l :34y x =+方程,改写成直线参数方程: 3422x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,将其代入1C ,即可求得PM PN +.【详解】（1）1C :()2224x y -+=即2240x x y -+=. ——① 2C :2243x y y +=-——②将①-②得: MN l :4430x y -+-=,∴ 曲线2C 的直角坐标方程: 2243x y y +=-,直线MN 的一般方程为:4430x y -+=.（2）MN l :34y x =+, ∴ 3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在MN l 上, 直线MN 的参数方程为:3422x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入1C :()2224x y -+=,整理得2570416t -+=,根据韦达定理: 124t t +=,125716t t =⋅, ∴10t >,20t >.故:124PM PN t t +=+=. 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程.解题关键是掌握直线的标准参数方程,结合韦达定理来求线段和,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()122f x x x a =-++.（1）若1a =,求不等式()4f x ≥的解集;（2）证明:对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【答案】（1）[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当1a =时,()122f x x x =-++,分别讨论1x ≤-,11x -<<和1x ≥时求解()4f x ≥,即可求得答案;（2）因为()()221f x x x a x a =-++++,根据||||||||||a b a b a b -≤+≤+即可求得答案.【详解】（1）当1a =时,()122f x x x =-++①当1x ≤-时,()1224f x x x =---≥,得53x ≤-；②当11x -<<时,()12234f x x x x =-++=+≥,得1x ≥,∴x ∈∅③当1x ≥时,()122314f x x x x =-++=+≥,得1x ≥, ∴[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦.（2） ()()()22121f x x x a x a x x a x a =-++++≥---++ ()2121222a x a a a a a =+++≥+=+≥+-.∴ 对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.。

2021年2021届高三全国卷Ⅲ衡水金卷先享题信息卷（五）理科数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷满分150分。

考试用时120分钟。

第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足z＝i3(1＋i2021)，则|z|为：A.2B.2C.1D.1 22.已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－1，0，1)，B＝{－1，3}，对应的Venn 图如图所示，则图中阴影部分表示的集合为A.{－2，0，1，2，3，4}B.{－1，0，1，3}C.{－2，2，4}D.∅3.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC中，D为BC边中点，点E满足AE2ED=，若AB＝(2，5)，AC＝(1，3)，则CE＝A.(0.－13) B.(1，2) C.(2，53) D.(2，173)4.乒乓球男女混合双打比赛是由比赛双方在比赛之前分别确定参赛的两名队员而进行的一种比赛，某队现有3名男队员(含甲)，2名女队员(含乙)，在甲队员确定参加混双比赛的情况下，乙队员也被确定与甲队员一同出场的概率为A.14B.13C.12D.235.定义在R上的图象不间断的奇函数f(x)，满足以下条件：①当x∈(0，1)时，f'(x)<0，当x∈(1，2)时，f'(x)>0；②f(x＋4)＝f(x)，则当x∈(4，8)时，f(x)>0的解集为A.(3，5)B.(4，6)C.(5，7)D.(6，8)6.古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验，对后世影响深远，右图为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.3＋6B.23＋6C.33＋6D.53＋6 7.已知数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n －a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 16＝A.－4B.－2C.2D.48.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋6π)(ω>0)的最小正周期大于3π，且关于直线x ＝9π对称，则ω的值为A.1B.2C.3D.49.已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，准线l 上有点M(－1，1)，∠AMB ＝90°，则k AB ＝A.2B.3C.±2D.±310.如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x 。