2020-2021学年度衡水金卷高考模拟数学(文)试题(二)及答案

2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =+-<，集合{|1}B x x =>，则()RA B ⋂=（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(1,2)D ．(2,)+∞2.已知复数sin2019cos2019z i =︒+︒，则复平面表示z 的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量(3,2)a =，(4,6)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．512π D ．2π4.《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如右图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart，可用于对研究对象的多维分析）（）A．甲的直观想象素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数据分析素养C．乙的数学建模素养与数学运算素养一样D．乙的六大素养整体水平低于甲5.如图：本次考试成绩查询二维码是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A．4 B．5 C．8 D．96.已知圆22:(2)16M x y+-=，过点(23,2)P作圆M的弦AB，则弦长AB的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．37.已知数列{}n a的通项公式2812na n n=-+-，前n项和为nS，若n m>，则n mS S-的最大值是（）A .5 B．10 C．15 D．208.函数221,0()log,0x xf xx x-⎧-≤=⎨>⎩，满足()1f x<的x的取值范围（）A．(1,2)-B．(1,)-+∞C ．{|0x x >或2}x <-D ．{|2x x >或1}x <-9.若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且21cos sin 4αα-=，则tan α的值等于（ ）A ．33-B ．33C ．3D ．3- 10.设,A B 是椭圆22:14x y C k+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足120BPB ∠=︒，则k 的取值范围是（ ）A ．(0,1][16,)⋃+∞B ．10,[8,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．10,[16,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(0,1][8,)⋃+∞11.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()f x f x '<，则不等式4(1)(23)x e f x e f x ⋅+<⋅-的解集是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(4,)+∞D ．(,4)-∞12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1C P平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）A ．17,5]B ．[4,5]C ．[3,5]D ．17]二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13.已知数列{}n a 为等差数列，652a a -=，1121a =，若169k S =，则k =______.14.已知向量a 、b 满足||22a =，且b 与b a -的夹角等于4π，则||b 的最大值为______. 15.已知函数()cos2sin f x x x =+，若12,x x 为()f x 的最大值点和最小值点的横坐标，则()12cos x x +=____.16.已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1y x k=交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17.某省即将实行新高考，不再实行文理分科.某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2018级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下： （1）根据以上提供的信息，完成22⨯列联表，并完善等高条形图；选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 260 总计6001000（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：()20P K k0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8416.6357.87910.82818.已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，2414a a +=且21a -，31a +，47a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列16n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .19.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，3b =，(2)cos cos 0c a B b C -+=.（1）求角B 的大小； （2）求a c +的取值范围.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，7PA PD ==，Q F 、分别为AD AB 、的中点，PFAC ⊥.（1）求证：面POF ⊥面ABCD ； （2）求三棱锥B PCF -的体积. 21.已知函数()(ln )xf x a x x xe =+-.（1）当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()0f x <在[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =时，求函数()f x 的极大值.22.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过l 上一点P 作抛物线C 的两条切线，切点为,A B .（1）求证：直线AB 过焦点F ；（2）若||8PA =，||6PB =，求||PF 的值.高三文科数学参考答案一、选择题（共12小题）1.A 【解析】解：{|32}A x x =-<<，{|3RA x x =-或2}x ，(){|2}[2,)RA x x ==+∞.故选：A.2.C 【解析】解：由sin2019sin2190︒=︒<，cos2019cos2190︒=︒<，故选：C.3.D 【解析】解：0a b ⋅=；a b ∴⊥；a ∴与b 的夹角为2π.故选：D. 4.C 【解析】解：对于A 选项，甲的直观想象素养为4分，乙的直观想象素养为5分，即甲的直观想象素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数据分析素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的数学建模素养为4分数学运算素养为4分，故选项C 正确， 对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 错误，故选：C.5.B 【解析】解：由题意在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，则其中落入黑色部分的有1210个点，由随机模拟试验可得12102178S S =黑正，又9S =正，即5S ≈黑，故选：B.6.A 【解析】解：圆心坐标为(0,2)过最短弦AB在的直线斜率为x =，则min ||4AB =.故选：A.7.B 【解析】解：根据题意，数列{}n a 的通项公式是2812n a n n =-+-，其前n 项和是n S ，有12n m n n m S S a a a ++-=++⋯+， 即当12n n m a a a ++++⋯+最大时，n m S S -取得最大值；若28120n a n n =-+-，且n N +∈，解可得：26n ≤≤，即当26n 时，n a 的值为正.即当6n =，2m =时，623456343010S S a a a a -=+++=+++=， 此时n m S S -取得最大值10.故选：B. 8.A 【解析】解：当0x ≤时，()1f x <即211x--<，1222x -<=，1x ∴-<，10x -<≤，当0x >时，()1f x <即2log 1x<，02x <<，综上，12x -<<，故选：A. 9.A 【解析】解：由21cos sin 4αα-=，得()241sin 4sin 10αα---=，即24sin4sin 30αα+-=，解得1sin 2α=或3sin 2α=-（舍）.,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，56πα∴=，5tan tan 6πα∴==.故选：A. 10.A 【解析】解：分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况： ①04k <<时，C 上存在点P 满足120APB ∠=︒，假设M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，120AMB ∠≥︒，60AMO ∠≥︒，1cos cos602AMO ∠=≤︒=，解得01k <≤. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，4k >，同理可得16k ≥，k ∴的取值范围是(0,1][16,)⋃+∞，故选A.1l.D 【解析】解：不等式4(1)(23)xe f x e f x ⋅+<⋅-等价为123(1)(23)x x f x f x e e +-+-<， 构造函数()()x f x r x e =，则()()()xf x f x r x e'-'=，又有已知()()f x f x '<， ()0r x '∴<，即()r x 在R 上是减函数，由于123(1)(23)x x f x f x e e+-+-<，可得123x x +>-，解得4x <，即不等式4(1)(23)xe f x e f x ⋅+<⋅-的解集是(,4)-∞，故选：D.12.A 【解析】解：取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，则平面CMN平面1C EF ，是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1C P平面CMN ，P ∴∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ， 在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =， 点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足1AN NA =，221max11345C P C E C F∴===+=，5EF=，2221min125(22)17C P PO C E EO==-=-=.∴线段1C P长度的取值范围是[17,5].故选：A.二、填空题（共4小题）13.13 【解析】解：设等差数列{}n a的公差为d，则根据652a a-=，1121a=得：121021da d=⎧⎨+=⎩；2d∴=，11a=；又169kS=；(1)169k k k∴+-=；解得13k=.故答案为：13.14.4 【解析】解：向量a、b满足||2a=，且b与b a-的夹角等于4π，如图在OAB△中，令OA a=，OB b=，可得4OBAπ∠=可得点B在半径为R的圆上，2224sinRA==，2R=.则||b的最大值为24R=15.14【解析】解：2()cos2sin2sin sin1f x x x x x=+=-++令sin x t=，则[1,1]t∈-故2()21f x t t=-++，[1,1]t∈-故14t=时，即11sin4x=时，()f x取得最大值，1t=-时，即2sin1x=-时，()f x取得最小值.()121cos4x x∴+=.16.2 【解析】解：联立A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩同理Bam x b ka =- 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩2A B N x x x ∴+=故221am am mk b ka b ka k -+=+--整理解之得：221b a =故2212b e a=+=17.【解析】解：（1）根据题意填写列联表如下，选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 420 320 740 数学成绩不优秀 180 80 260 总计6004001000完善等高条形图，如图所示；（2）计算222()1000(42080180320)12.474 3.841()()()()600400740260n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关. 18.【解析】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由2414a a +=，得3214a =，37a ∴=. 由21a -，31a +，47a +成等比数列，得()()()2324117a a a +=-+，即2(71)(6)(14)d d +=-⋅+，解得2d =或10d =-.又数列{}n a 是单调递增的等差数列故0d >，10d ∴=-（舍去）数列{}n a 的通项公式为2(2)21n a a n d n =+-⋅=+. （2）166113(21)(23)2123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭111111112333557212332323n n S n n n n ⎛⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-= ⎪++++⎝⎭⎝. 19.【解析】解：（1）根据题意，(2)cos cos a c B b C -=， 由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅-⋅= 变形可得：2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅=⋅+2sin cos sin()A B B C ∴⋅=+在ABC △中，sin()sin B C A +=2sin cos sin A B A ∴⋅=，即1cos 2B =， 则3B π=；（2）根据题意，由（1）可得3B π=，sin 2B =，又由正弦定理2sin b R B ==，22R ∴=2sin 2sin a R A A ==，2sin 2sin c R C C ==；232(sin sin )2sin sin 2sin 326a c A C C C C C C ππ⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=+=+⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦又由203C π<<，则5666C πππ<+<， 则有1sin 126C π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭， 23a c <+.20.【解析】解：（1）连接BD ，如图所示； 由四边形ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥，又O F 、分别为AD AB 、的中点，所以OF BD ，所以AC OF ⊥；又PF AC ⊥，OF F F =，所以AC ⊥平面POF ；又AC ⊂平面ABCD ，所以平面POF ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知，AC ⊥平面POF ，AC PO ∴⊥；又PO AD ⊥，AD AC A ⋂=，PO ⊥平面BCF ，223PO PA AO =-=在菱形ABCD 中，F 为AB 的中点，60DAB ∠=︒，所以2BF =，120FBC ∠=︒，4BC =，所以FBC △的面积为124sin120232FBC S =⨯⨯⨯︒=△； 所以三棱锥B PCF -的体积为 11233233FBC B PCF P BCF V V S PO --==⋅⋅=⨯=△三棱锥三棱锥. 21.【解析】解：（1）当0a =时，()x f x xe =-，()(1)x f x x e '=-+，(1)f e ∴=-，(1)2f e '=-∴切线方程为2(1)y e e x +=-⋅- 即20ex y e +-=（2）由()(1)1()1(1)(1)x x x a xe f x a x e x x x +-⎛⎫'=+-+=≥ ⎪⎝⎭ （1）a e ≥时，(1)0f a e =-≥，与()0f x <在[1,)+∞上恒成立矛盾，故a c ≥不符合题意.（2）当a e <时，由于1x ≥时，x xe e ≥故0xa xe -<，()0f x '<，()f x ∴在[1,)+∞递减，故max ()(1)0f x f a e ==-<故()0f x <在[1,)+∞上恒成立 a e ∴<符合题意综上可得：实数a 的取值范围是(,)e -∞【注】其他方法酌情给分（3）函数的定义域为(0,)+∞当1a =时，()ln x f x x x xe =+-，()(1)11()1(1)x x x xe f x x e x x +-'=+-+= 令()1x g x xe =-，()(1)0x g x x e '=-+<，则()g x 在(0,)+∞递减.又1102g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，(1)10g e =-<，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使得0010x x e -=，即()00f x '= 故当()0|0,x x ∈，()0g x >即()0f x '>，()f x ∴在()00,x 递增. 当()0,x x ∈+∞，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x +∞递减. ()00000()ln x f x f x x x x e ∴==+-极大值又001x x e =，00ln 0x x +=，故0000()ln 1x f x x x x e =+-=-极大值22.【解析】解：设点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,P a -设直线()111:PA y y k x x -=- 联立()11124y y k x x y x -=-⎧⎨=⎩消x 得：211114440y y y x k k -+-= 由0∆=得2111110k y k x -+=又2114y x =，故2211111104k y k y -+=故2111102k y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故112PA k k y ==，故直线PA 的方程为：()1112y y x x y -=-即1122yy x x =+ 同理22PB k y =直线PB 的方程为：2222yy x x =+. 又P 在直线PA PB 、上 11222222ay x ay x =-+⎧∴⎨=-+⎩ 故()11,A x y 、()22,B x y 在直线22ay x =-+上，故直线AB 的方程为22ay x =-+.令0y =，得1x =∴直线AB 过焦点F .（2）由（1）知联立2224ay x y x=-+⎧⎨=⎩消x 得：2240y ay --= 故122y y a +=，124y y =-，故12221PA PB k k y y ⋅=⋅=- 故直线PA 与直线PB 垂直，从而22||10AB PA PB =+= 又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩()2212124y y x x ∴-=-，12121242AB y y k x x y y a -∴===-+ 又0112PF a a k -==---，1PF AB k k ∴⋅=-故PF AB ⊥ 6824||105PF ⨯∴==。

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{3，5}B．{2，4}C．{3，7}D．{2，5}2．已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（）A．6B．7C．8D．94．已知向量＝（1，），||＝2，|﹣|＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的．若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（）A．1B．C．D．27．MOD函数是一个求余函数，格式为MOD（M，N），其结果为两个数M，N作除法运算后的余数，例：MOD（36，10）＝6．如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的n＝6，v＝1，则输出的u的值为（）A．1B．2C．3D．48．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，函数，则（）A．B．C．D．g（x）＝f（2x﹣1）10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）A．B．C．D．11．已知圆C：x2+y2＝1，直线l：x＝2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（）A．B．（0，2）C．（2，1）D．12．已知函数，则不等式的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}二、填空题（共4小题）.13．已知角α的终边上有一点P（2，3），则cos2α的值为．14．若x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最小值为．15．已知直线l：y＝x+b为曲线f（x）＝e x的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC外接圆半径的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知在公比为2的等比数列{a n}中，a2，a3，a4﹣4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和S2n．18．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如表：男性女性总计参与该项老年运动16p x不参与该项老年运动44q y总计6040100从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2＞k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，，∠ABC ＝60°，且平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M﹣BCD的体积．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段PQ为直径的圆经过点R，且，求直线l的方程．21．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）在区间上，f（x）是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当△MCN面积最大时，求直线l的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥﹣1的解集；（2）若不等式f（x）＜ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{3，5}B．{2，4}C．{3，7}D．{2，5}解：由题意得∁U A＝{2，4，6，8}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}，故选：B．2．已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数，则＝﹣i，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（）A．6B．7C．8D．9解：设第n天募捐到a n元，则数列{a n}是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n项和S n＝250n（n+3）．因为S7＝17500，S8＝22000，所以至少需要8天可完成募捐目标．故选：C．4．已知向量＝（1，），||＝2，|﹣|＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．解：根据题意，设与的夹角为θ，因为，所以，即，向量＝（1，），则||＝，则有，解得，又由0≤θ≤π，则θ＝，故与的夹角为；故选：D．5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的．若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求．综上所述，优秀者为甲．故选：A．6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（）A．1B．C．D．2解：设左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2的中点为坐标原点，F1，F2所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则F1（﹣1，0），F2（1，0）．设曲线上任意一点P（x，y），则，化简得该卡西尼卵形线的方程为（x2+y2）2＝2（x2﹣y2），显然其对称中心为（0，0）．由（x2+y2）2＝2（x2﹣y2）得（x2+y2）2﹣2（x2+y2）＝﹣4y2≤0，所以（x2+y2）2≤2（x2+y2），所以0≤x2+y2≤2，所以．当且仅当时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为．故选：B．7．MOD函数是一个求余函数，格式为MOD（M，N），其结果为两个数M，N作除法运算后的余数，例：MOD（36，10）＝6．如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的n＝6，v＝1，则输出的u的值为（）A．1B．2C．3D．4解：模拟程序的运行，可得：当i＝1时，v＝1；当i＝2时，v＝2；当i＝3时，v＝4；…当i＝7时，v＝64，所以u＝MOD（64，7）＝1．故选：A．8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：双曲线的渐近线方程为，在△OPF2中，，所以a＝b，离心率．故选：D．9．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，函数，则（）A．B．C．D．g（x）＝f（2x﹣1）解：由题中图象可得T＝4，所以ω＝＝＝，又函数图象过原点（0，0），所以sinφ＝0，又|φ|＜π，所以φ＝0，所以，由的图象得g（x）的图象，只需将f（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得．故选：C．10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）A．B．C．D．解：由题意得，所以当时，f（x t）有最大值，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为，故选：A．11．已知圆C：x2+y2＝1，直线l：x＝2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（）A．B．（0，2）C．（2，1）D．解：根据题意，因为P为直线l上的动点，设P（2，t），圆C：x2+y2＝1，其圆心C的坐标为（0，0），半径为1，以线段PC为直径的圆N的方程为x2+y2﹣2x﹣ty＝0，则有，联立可得2x+ty﹣1＝0，即两圆公共弦AB的方程为2x+ty﹣1＝0，即ty＝2（x﹣），所以直线AB过定点．故选：A．12．已知函数，则不等式的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}解：构造函数．因为g（﹣x）＝ln（+3x）+sin（﹣x）+x＝ln﹣sin x+x＝﹣ln（﹣3x）﹣sin x﹣x＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数，因为，（sin x﹣x）'＝cos x﹣1≤0，所以g（x）在区间（0，+∞）上是减函数．因为g（x）是奇函数且g（0）＝0，所以g（x）在R上是减函数．不等式等价于，即，所以，解得﹣1＜x＜1，即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边上有一点P（2，3），则cos2α的值为．解：由题意得，则．故答案为：．14．若x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最小值为．解：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，联立，解得交点为时，由z＝4x+y，得y＝﹣4x+z，由图可知，当直线y＝﹣4x+z过点时，z取最小值，，故答案为：．15．已知直线l：y＝x+b为曲线f（x）＝e x的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为4或﹣2．解：设直线l：y＝x+b与曲线f（x）＝e x相切于点，由，得x0＝0，所以切点坐标为（0，1），所以直线l的方程为y＝x+1．又由直线l与曲线g（x）相切，得，化简得x2﹣2（m﹣1）x+9＝0，△＝4（m﹣1）2﹣36＝0，解得m＝4或m＝﹣2．故答案为：4或﹣2．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC外接圆半径的最小值为．解：由，得，即，所以由正弦定理得，所以，所以，设△ABC外接圆半径为R，因此，所以，即外接圆半径的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知在公比为2的等比数列{a n}中，a2，a3，a4﹣4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和S2n．解：（1）因为数列{a n}的公比q为2，所以a2＝2a1，a3＝4a1，a4﹣4＝8a1﹣4．因为a2，a3，a4﹣4成等差数列，所以2a3＝a2+a4﹣4,即8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，所以；（2）由（1）可得b n＝＝，所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S2n＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）＝（6+16+…+10n﹣4）+（2+4+…+2n）＝＝5n2+n+2n+1﹣2＝2n+1+5n2+n﹣2．18．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如表：男性女性总计参与该项老年运动16p x不参与该项老年运动44q y 总计6040100从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2＞k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（1）由题意得，解得p＝8，所以q＝40﹣8＝32，所以x＝16+8＝24，y＝44+32＝76；（2）由列联表中的数据可得K2的观测值，所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关；（3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比，因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性人，记为A1，A2，A3，A4，女性人，记为B1，B2，从这6人中抽取2人的所有方式为（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，，∠ABC ＝60°，且平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAC．∵PA⊂平面PAC，∵PA⊥BD．又∵，∴PA2+AB2＝PB2，得PA⊥AB．又∵AB，BD⊂平面ABCD，AB∩BD＝B，PA⊥平面ABCD；（2）解：由（1）得PA⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，可得△PBC为等腰三角形．在△PBC中，由余弦定理得．∵BM⊥PC，∴，则．可得，又，∴．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段PQ为直径的圆经过点R，且，求直线l的方程．解：（1）由椭圆E的方程可得A（﹣a，0），B（a，0）．设M（x0，y0），则N（x0，﹣y0），所以．．又点M（x0，y0）在椭圆E上，所以，所以，所以，所以椭圆E的离心率．（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E的标准方程为．设直线l的方程为y＝x+m，R（0，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为S （x S，y S），联立消去y，得5x2+8mx+4m2﹣4＝0，则△＝64m2﹣20（4m2﹣4）＝16（5﹣m2）＞0，解得m2＜5，所以，所以，所以,由，得RS⊥PQ，所以，解得,又因为以线段PQ为直径的圆过点R，所以PR⊥QR，所以．又y1＝x1+m，y2＝x2+m，代入上式整理得，即，解得m＝±1．所以直线l的方程为y＝x±1．21．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）在区间上，f（x）是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），（1分）则．令f'（x）＝0，得．因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0．当x在定义域上变化时，f'（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，x1）x1（x1，0）（0，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+0﹣﹣0+f（x）↗极大值↘↘极小值↗所以函数y＝f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）令，得x＝a，则a是函数f（x）的唯一零点．因为，所以0＜a＜x2，所以．当0＜x＜a时，f（x）＞0；当x＞a时，f（x）＜0．由（1）可知函数f（x）在区间上单调递减，在区间（x2，+∞）上单调递增，所以f（x）在区间上的最大值为，最小值为，其中．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当△MCN面积最大时，求直线l的直角坐标方程．解：（1）圆C的参数方程为（α为参数），由cos2α+sin2α＝1，可得圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝8，由x＝ρcosθ，x2+y2＝ρ2，可得极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝4．（2）的直角坐标为A（4，4），圆C（x﹣2）2+y2＝8的圆心为（2，0），半径为2，，当∠MCN＝90°时，面积最大，此时，圆心C到直线l的距离．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣4），即kx﹣y+4﹣4k＝0，圆心C到直线l的距离，解得，即3x﹣4y+4＝0．综上，直线l的方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥﹣1的解集；（2）若不等式f（x）＜ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由题意得f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|＝,当时，令﹣x≥﹣1，解得；当时，令3x﹣2≥﹣1，解得．综上所述，f（x）≥﹣1的解集为．（2）由（1）得f(x)＝,当，﹣x＜ax﹣1，即（a+1）x﹣1＞0，此时，应有，解得a＞1；当时，3x﹣2＜ax﹣1，即（a﹣3）x+1＞0，此时，应有，解得1≤a≤3．综上所述，实数a的取值范围是（1，3]．。

河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷数学试题考试时间120分钟 总分160分参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.） 1.已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B =_________． 2.复数()()12a i i ++纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =_____________3.某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值为__________．(第11题)4.现有三张识字卡片，分别写有“抗”、“疫”、“情”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“抗疫情”的概率是_____________5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率2e =，则其渐近线的方程为 _________6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是_______．7.公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a 、5a 、14a 成等比数列，253S a =，则10a =______________8.将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为_____________ 9.若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是__．10.若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为______．11.如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，AB CD ⋅=_____________12.若对于任意的-15x ∈∞⋃+∞（，）（，），都有22(2)0,x a x a --+>则实数a 的取值范围是______．13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=，若圆C上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________． 14.在ABC ∆中，若120C =，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ=__________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分..）15.如图，ABC ∆中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =．（1）求cos B 的值； （2）求CD 的长.16.如图，在四棱锥P ABCD⊥，过CD-中，PC⊥平面ABCD，AB//CD，CD ACPA PB交于点,E F．的平面分别与,（1）求证：CD⊥平面PAC；AB EF（2）求证：//17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18.某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交（，为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1，且，设，透光区域的面积为.（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边的长度.19.已知函数()()22ln f x x x ax a R =-+∈.（1）当2a =时，求()f x 的图象在 1x =处的切线方程；（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）若对区间()1,2内任意两个不等的实数1x ，2x ，不等式()()12122f x f x x x -<-恒成立，求实数a 的取值范围.20.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足11b =，22b =，12n nn n T bT b ++=.（1）求数列{}n a 、{}n b 通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得11n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不存在，说明理由.河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷（参考答案）考试时间120分钟 总分160分一、填空题：1.【答案】{}1,1-．详解】2{|,3}B x x R x =∈<＝{x|x 又{}1,1,2,3,A =-则A ∩B ＝{＝1＝1}＝【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用集合交集的定义是解决本题的关键． 2.【答案】2【详解】因为复数()()12a i i ++是纯虚数，化简，()()()12221a i i a a i ++=-++，则20210a a -=⎧⎨+≠⎩，则实数2a = 【点睛】本题考查复数的概念，属于简单题 3.【答案】5【详解】由伪代码可得22,5log ,5x x y x x ⎧≤=⎨>⎩，当32x =时，2log 325y ==．【点睛】本题主要考查条件语句及分段函数，属于基础题． 4.【答案】16【详解】由题得“抗”、“疫”、“情”这三个字的排列有：抗疫情，抗情疫，疫抗情，疫情抗，情抗疫，情疫抗，共有6种，其中，组成“抗疫情”的只有1种. 故能组成“抗疫情”的概率是16P =.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5.【答案】y =【【详解】双曲线的方程是()222210,0x y a b a b-=>>，∴双曲线渐近线为b y x a =±，又离心率为2c e a==，可得2c a =，224c a ∴=，即2224a b a +=，可得b =，由此可得双曲线渐近线为y =，故答案为y =. 6.【答案】265【详解】平均值为3698465++++=， 所以方差为()()()()()22222136669686465⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦99442655+++==. 【点睛】本小题主要考查样本方差的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7.【答案】19【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出0d ≠，由题意得25214253a a a S a ⎧=⎨=⎩，即()()()()211121141351020a d a d a d a d a d d ⎧+=++⎪⎪+=+⎨⎪≠⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 因此，101919219a a d =+=+⨯=.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解答的关键就是得出关于首项和公差的方程组，考查计算能力， 属于中等题. 8.【答案】【详解】半径为1的小铁球的体积为43π，底面周长为2π，高为4的铁制圆柱的底面半径为1，体积为4π，锻造成的大铁球的体积为341644333R ππππ+==，可得R =，所以该大铁球的表面积为2244R ππ==，故答案为：.【点睛】本题主要考查球的体积与表面积公式，考查了柱体的体积公式，属于基础题. 9.【答案】π7π(,)1212【详解】函数()()π2sin 2(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点(＝则2sin ϕ=，sin ϕ=，0,23ππϕϕ<<∴=，()2sin(2)3f x x π∴=+.0x π≤≤,022x π∴≤≤,72333x πππ≤+≤,有于sin y x =在3[,]22ππ为减函数，所以32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤. 【点睛】根据函数图象过已知点，求出sin ϕ ，借助ϕ的范围求出ϕ的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据x 的范围研究x ωϕ+的范围，有时还要关注A 的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误. 10.【详解】令2x y k +=＝则2y k x =-＝()22210x x k x ∴+--=＝即23210x kx -+-=＝24120k ∴∆=-≥＝且0k >＝k ∴≥，即2x y +＝点睛：基本不等式的考察的一个主要考察方法就是判别式法，可以应用判别式法的题型基本特点：（1）题干条件是二次式；（2）问题是一次式（或可以化简为一次式）．熟悉判别式法的应用，可以提升考试中碰到不等式题型的准确率． 11.【答案】4-【详解】如图，由已知可得1,3,,60AF AF FB FB ===所以()()C AB A D FB E F CE D ⋅=+⋅+()133F F B AF A B F ⎛⎫=+⋅-+ ⎪⎝⎭2218333FB FB AF AF =-+-⋅18139134332=-+⨯-⨯⨯⨯=-故答案为：4-.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 12.【答案】(1,5] 【详解】利用一元二次方程根的分布去解决，设2()2(2)f x x a x a =--+ ＝ 当24(2)40a a ∆=--<时，即14a << 时，()0f x > 对x ∈R 恒成立； 当1a =时，(1)0f -= ，不合题意； 当4a =时，(2)0f = 符合题意；当∆<0 时，0125(1)0(5)0a f f ∆<<-<≥≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 即：45a <≤综上所述：实数a 的取值范围是(1,5].【点睛】有关一元二次方程的根的分布问题，要结合一元二次方程和二次函数的图象去作，要求函数值在某区间为正，需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究，注意控制判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小，列不等式组解题.13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=，若圆C上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________． 【答案】[由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，所以OA OB ⊥,如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B D 、，圆上要存在满足题意的点A ，只需090BOD ∠≥，即045COB ∠≥，连接CB ，CB OB⊥，由于(2,)C m -，CO =CB =，sin sin 45CB COB CO∠==≥=，解得m ≤≤14.【答案】12+ 【详解】在ABC ∆中，120C =，由余弦定理得222c a b ab =++，① 因为tan 3tan A B =，即sin sin 3cos cos A BA B =⋅，所以sin cos 3sin cos A B B A =，由正弦定理得cos 3cos a B b A =，所以222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，整理得22222c a b =-，②由①②可得2230a ab b --=，所以230a bb a⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得a b =，所以sin sin A B =，又sin sin A B λ=，所以sin sin =A λB =．故答案为：12二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.试题解析：（1）在ABC 中，4cos 5A =，()0,πA ∈，所以3sin 5A ===．…………………………2分 同理可得，12sin 13ACB ∠=． ……………………………………… 4分 所以()()cos cos πcos B A ACB A ACB ⎡⎤=-+∠=-+∠⎣⎦sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． ……………………………………………7分（2）在ABC 中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=． …………9分 又3AD DB =，所以154BD AB ==． ……………………………………………………11分 在BCD中，由余弦定理得，CD ===．………………………………………………………14分【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.16.详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， (3)分∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PCAC C =，∴CD ⊥平面PAC .………………………………6分（2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF 平面PAB EF =…………………9分 又CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，………………………………………………………… 11分∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF ∴//AB EF ……………………………………………………………………………………………14分点睛： （1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.17.试题解析：（1）因为24a =，23b =，所以1c ==，所以F 的坐标为()1,0……2分设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线l 的方程为1x my =+， 代入椭圆方程，得()2243690m ymy ++-=，…………………………………………………5分则12343m y m -+=+，22343m y m--=+．若2QF PF =，则2233204343m m m m---++⨯=++，………………………………6分解得m =l 的方程为20y -=． (8)分（2）由（1）知，122643m y y m -+=+，122943y y m -=+，…………………………………10分所以()1212293432mmy y y y m -==++， 所以()()12112212211223y my k y x k x y y my --=⋅=++ ………………………………………………………12分()()1211223123332y y y y y y +-==++， 故存在常数13λ=，使得1213k k =．……………………………………………………………14分【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设λ存在，利用所求的12y y +，12y y ，结合已知条件12k k λ=，得出坐标关系，再把12y y +，12y y 代入求出λ符合题意，则λ存在，否则不存在.18.试题分析： 解:(1) 过点作于点，则，所以，……………………………………………………………………2分．所以…………………………………………………………………………4分，…………………………………………………………………………………6分因为，所以，所以定义域为．…………………………………………7分（2）矩形窗面的面积为．……………………………………9分则透光区域与矩形窗面的面积比值为．设，．………………………………………………………………11分则，……………………………………………………………………………………13分因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减．所以当时，有最大值，此时………………………………16分答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1．19.【详解】（1）当时，，，切点坐标为………1分切线的斜率，则切线方程为，即.…………………… …………3分（2），则，…………………………………4分，故时，.当时，； 当时，. 故在处取得极大值.……………………………………………………………6分又，，，则， 在上的最小值是.……………………………… ……………………………………8分在上有两个零点的条件是2a =()22ln 2f x x x x =-+()222f x x x'=-+()1,1()12k f ==()121y x -=-21y x =-()22ln g x x x m =-+()()()21122x x g x x x x-+-'=-=1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0g x '=1x =11x e <<()0g x '>1x e <<()0g x '<()g x 1x =()11g m =-2112g m e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22g e m e =+-()2221140g e g e e e ⎛⎫-=-+<⎪⎝⎭()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g e ()110g m =->()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()21101120g m g m e e ⎧=->⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得 实数m 的取值范围是…………………………………………………………………………10分（3）不妨设，恒成立等价于，即.………………………………………………………………………………12分令，由，具有任意性知，区间内单调递减，恒成立，即恒成立，，在上恒成立. 令，则……………………………………………………………14分 在上单调递增，则，实数a 的取值范围是 (16)分【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的极值和最值、以及考查函数的恒成立问题和转化思想，属于难题20.【详解】解：（1）因为，所以当时，， 两式相减得，即，又，则，………………………………2分所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故 (3)分2112m e <≤+211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦1212x x <<<()()12122f x f x x x -<-()()()21212f x f x x x -<-()211222f x x f x x ->-（）()()2u x f x x =-1x 2x ()u x ()1,2()()20u x f x '=-<()2f x <222x a x -+<222a x x<-+()1,2()222h x x x=-+()2220h x x'=+>()222h x x x=-+()1,2()()12h x h >=(],2-∞22n n S a =-2n ≥1122n n S a --=-122n n n a a a -=-12n n a a -=1122S a =-12a ={}n a 12a =2n n a =由得，，，…，，以上个式子相乘得，即①，当时，②，………………5分两式相减得，即（），所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列， ,,因此数列的通项公式为.…………………………………………………………………………………………………………6分 （2）当时，无意义，………………………………………………………………………7分设（，），显然.则，即………………………9分…………………………………………………………………………………………………11分显然，所以，所以存在，使得，，……………………………………………………………………………………………………13分下面证明不存在，否则，即， 此式右边为3的倍数，而不可能是3的倍数，故该式不成立. 综上，满足要求的为，.……………………………………………………………………………16分12n nn n T b T b ++=1123T b T b=2234T b T b=3345T b T b=111n n n n T b T b --+=n 1121n n n T b b T b b +=12n n n T b b +=2n ≥112n n n T b b --=()112n n n n b b b b +-=-112n n b b +--=2n ≥{}n b 2121k b k -=-22k b k ={}n b n b n =1n =11n n n n a b a b +++-()112121n n n n n n n a b n c a b n +++++==--+2n ≥*N n ∈1n c >()()11122212221n n n n n n n n c c n n +++++++-=--+-+()()11202221n n nn n n ++-⋅=<⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦11n n c c +>>()2121n nn n ++>-+234731c c c =>=>>>2n =72b c =33b c =2n c =()21221n n nn c n ++==-+()231n n =+2n n b 3b 7b点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.n S n a n a 1,2n n n a S S n -=-≥n a n S n S n n a 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩1,2n n =≥。

2020年河北省衡水市高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.己知集合A={*以2—*一6<0},B={x\\x-1\<2),贝MuB=()A.[-2,3]B.[-2,-1]C,[0,3] D.[-1,3]2.若复数z=是虚数单位)是纯虚数，则复数云的虚部为()A.-3B.3iC.3 D・一3i3.从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查,发现合格品有36个，则该批产品的合格率为（）4. S.A.36% B.72% C. 90% D.如图所示，等边三角形ABC的垂心为O,点D是线段A8的中点,点F是线段BC上靠近C的三等分点，则而=（）C.布_?无偿法统宗口是我国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图.若输出的m的值为0,则输入的〃的值为（C壁A21A.—D•詈A.二瓦—侦B.一坦W无D._坦矛矛B壁6.从甲、乙等5名同学中选2人参加社区服务，则甲恰被选中的概率为（）A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.37.己知以双曲线C ：拦一 £ = l （a > 0,b > 0）的右焦点F 为圆心，以，为半径的圆与直线y =，交于4 B 两点，若|扇| =屈，则双曲线C 的离心率为（）8.9.A. 2B. V3己知MBC 的而枳为2v 7, AB = 1,A. V37B. V39若某积几何体的三视图如下图所示，A.B.C.4面2V22D.爽cos?=?，则BC =()C. vTTD. V43则该几何体中最长的梭长是4&6痘D C. vl10. 函数的y = cos 2x-3cosx + 2最小值为（）A. 2B.OC. -；D.611. 己知双曲线％: ^-^=l （a>0,b>0）的焦点为旦（0, — c ）, F 2（0,c ）,抛物线C?： y = ^x 2的准线与G 交于材、N 两点，且"与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆§ + §=1的离 心率为（）A.冬B.直C.直D.匹3 3 3 312. 若函数f （x ） = e x （sinx + acosx ）在（：,；）上单调递增，则实数〃的取值范围是（）A. （一8,1]B. （一8,1）C. [1,+8）D. （L+8）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从800件产品中抽取60件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001.002,....800进行编号.如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数，则最先抽取的4件产品的编号依次是（下而摘录了随机数表第7行至第9行各数）.84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54X+3y<314.设x,»满足约束条件y-x<-l.则z=x+y的最大值是___________________.y>015.函数y=kx(k>0)的图象与函数y=logzx的图象交于两点务，职缶在线段。

3.函数fIn 2x 1的定义域为（1,2C .1 2D .1,2 122’2的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利衡水金卷高考模拟卷（二）数学（文）试题 Word 版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）文数二第I 卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限)4.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善 用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内垂直，且焦点在圆图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为 （）（LU 是虚数单位）已知复数H 满足z 1 i，则复数LZ 在复平面内对应的点所在象限为2. ・2018i~ 2图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）2 22 22 2 x i B. x 乂 1C. x乂 19 1616 93 46.执行如图所示的程序框图，若输入的 |t 0.05］，则输出的为（7. 已知数列邑|的前［n 项和为 囱，3,寻！ 2不，则口（） A.閭 B .閭 C .団 D .団8. 已知将函数f x sin 2 x —0的图象向左平移6A JB .1_,0C .1D□L61 1L±__ 1 1121112 19.榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式，凸出部分叫 榫，凹进部分叫卯,A. 3 B4 C .5 D . 6个单位长度得到函数 |g x 的图 象，若函数|g x 图象的两条相邻的对称轴间的距离为 （）l g x的一个对称中心为~ 2榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，女口图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A. 8 12 B . 8 16 C9 12 D . 9 16当且仅当x y 1时,10.已知实数竺满足约束条件目标函数z kx y取大值，则实数卜的取值范围是（）A. ,1 B 1 C . 1, D 1,11.已知a 0 命题［p：函数f x lg ax22x 3的值域为［R，命题［q］函数区间1,内单调递增.若p q是真命题，则实数回的取值范围是（）y轴对称的点，则实数的取值范围是（）A J_R|B e, D .口第U卷（共90分）、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知在ABC中, I D I为BC边上的点,uuu our 亠———2BD CD 0，若AD mAB nAC m,n R，则uctr non un14.已知焦点在因轴上的椭圆一2心率为2 2x y2 m2m 11的一个焦点在直线忌y 2 0上，则椭圆的离15. 在锐角丨ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若si n Ceos A sin B 1 cosC，且A 3,b V1 2 3，贝y i_c_____________ .316. 如图，在矩形| ABCD ］中，| AD 2|,囘为两边上的点，项将| ADE|沿［5目翻折至| A DE |,使得点区在平面|EBCD上的投影在［CD上，且直线込可与平面［EBCD ］所成角为西，则线段AE的长为___________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知等差数列_aj的前丄项和为0,(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足18.如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB平面ABCD占:叵I是而的中点，棱两与平面［BCE交于点眉.1求证：|AD //EF ;2若匚PAB］是正三角形，求三棱锥|P BEF|的体积.19. 某市统计局就某地居民的收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在1000,1500 )a-i 5,3a5 a g & .（1） 求居民收入在 3000,3500的频率；（2） 根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数； （3） 为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在2500,3000内应抽取多少人？20. 已知点F 为抛物线|c ：y 2 2px p 刁的焦点，过［F 的直线0交抛物线于 区回两点• （1）若直线0的斜率为1, || AB| 8，求抛物线 回的方程；,__, ----------- ------------------------------- ---- uur uui|（2） 若抛物线 回的准线与門轴交于点P 1,0 ， S A PF ：S BPF 2 V 3 :1，求| PA P B |的值•21. 已知函数 f x ln x x 2 ax,a R .（1） 当|a 11时，求曲线 匚打在区二处的切线方程；（2） 若xix 为X 2是函数的导函数f x 的两个零点，当a , 3时，求证：3f x 1 f x 2一 In 2 .4请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4 :坐标系与参数方程（凶为参数），以原点LO 为 极点，凶轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 直的极坐标方程为（1） 求曲线 回的普通方程与 哇的直角坐标方程； （2） 判断曲线［GG ］是否相交，若相交，求出相交弦长 23. 选修4-5 :不等式选讲 已知函数rnx —.(1)求不等式f x 0的解集;(2)若对任意的x m,，都有f x x m 成立，求实数四的取值范围x 2t 1 y 4t 3在平面直角坐标系|xOy 中，已知曲线 匕的参数方程为试卷答案一、选择题1-5: CBDAB 6-10: CCDBB 11 、12：DC二、填空题13. - 14. - 15. [73 16.3| |3|三、解答题17.解：（1）设等差数列匕i的公差为同，由a1 5,3a5 a S6 ,6 5得 3 5 4d 5 8d 6 5 匕上d，______________________________________________解得|d 2 .所以a n a1n 1 d 5 2 n 1 2n 3 n N* .（2）由（1）得，ib—a^ —.又因为b n i an &所以当 n 2 时，b n a n a n 1 2n 3 2n 1 当In 1时，b i 5 3 15，符合上式, 所以 b n2n 3 2n 11 1 1 11 b n2n 3 2n 1 2 2n 1 2n 318. 解：（1 ）因为底面 ABCD 是边长为2的正方形, 所以BC//AD所以BC//平面PADB ,C ,E ,F 四点共面，且平面 BCEF平面 PAD EF所以BC//EF 又因为 |BC //AD ，所以 |AD //EF . （2）因为|AD //EF |，点E 是［PD ］的中点, 所以点回为画的中点，EF 丄AD 1 .— 2PAB 平面 ABCD ，平面 PAB 平面 ABCD AB, AD AB所以|AD |平面|PAB |，所以| EF |平面|PAB19.解：（1）由题知，月收入在 3000,3500的频率为0.0003 500 0.15（2）从左数第一组的频率为 0.0002 500 0.1，第二组的频率为 0.0004 500 0.2•••中位数在第三组, 设中位数为|2000 x 则| x 0.0005 0.5 0.10.2，解得 |x 400所以 T n11111——_ _ _ L 2 3 5 5 71 1 2n 1 2n 31 1 1 n 232n 33 2n 3又因为BC平面PAD ，AD 平面PAD第三组的频率为|0.0005 500 0.25•••中位数为2400.由 1250 0.1 1750 0.2 2250 0.25 2750 0.25 3250 0.15 3750 0.05 2400得样本数据的平均数为2400.（3）月收入在 2500,3000 的频数为 0.25 10000 2500 （人），•••抽取的样本容量为 100,设［AB ］两点的坐标分别为 | X A , y A , X B 』B 则 X A X B 3p由抛物线的性质，可得I AB |FA| |F B X A X BX A X B P 4p 8解得—2, 所以抛物线回的方程为y 2 4x (2)由题意，得F 1,0，抛物线C ：y 2 4x 设直线［］的方程为 ［x ―my —1, A X 1, y 1 , B X 2, y 2 联立x ? my 1,得y 2厶口丫 4。

2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟（二）数学(文科)★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}220N x x x =-<，则M N ⋂=( )A. {}0B. {}1C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】可求出N ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵{}1,0,1M =-，{}()2200,2N x x x =-<=，∴M N =I {}1 故选B【点睛】本题考查二次不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算． 2.复数1ii-对应点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】 【分析】先化简复数，再找到其对应的点所在的象限得解. 【详解】由题得1(1)1i i iz i i i i--⋅===--⋅. 所以复数对应的点为（-1,-1）,点在第三象限. 故选C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3.若1tan 2α=，则cos2=α( ) A. 45-B. 35- C.45D.35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果． 【详解】∵1tan 2α=， ∴22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++， 故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.已知向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r，1a =r ，3b =r ，则a b -r r =( )A. 0B. 2C.【答案】D 【解析】直接利用向量的模的公式求解.【详解】由题得a b -=vv 故选D【点睛】本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5.已知抛物线2y ax =上的点(1,)M m 到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为( ) A. 24y x = B. 22y x = C. 25y x = D. 23y x =【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，转化列出方程求出ａ，即可得到抛物线方程． 【详解】抛物线2y ax =的准线方程x 4a =-， ∵抛物线2y ax =上的点()1,M m 到其焦点的距离为2， ∴124a+=， ∴a 4=，即该抛物线的标准方程为24y x =， 故选Ａ【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基本知识的考查． 6.设随机变量ξ的概率分布列如下表，则(21)P ξ-==( )A.712B.12C.512D.16【答案】C 【解析】 【分析】根据随机变量ξ的概率分布列，求出a 的值，再利用和概率公式计算()21P ξ-=的值． 【详解】解：根据随机变量ξ的概率分布列知，111a 643+=＋＋1， 解得1a 4=；又21ξ-=， ∴ξ＝1或ξ＝3， 则()()()11521136412PP P ξξξ-===+==+= 故选C ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，考查转化思想与计算能力，是基础题． 7.已知()x f x e x =-，命題:,()0p x R f x ∀∈>，则( ) A. p 是真命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈≤ B. p 是真命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈< C. p 是假命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈≤ D. p 是假命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈<【答案】A 【解析】 分析】利用导数求出函数的最小值，可知p 是真命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得结果. 【详解】由题意可得，令()0f x '=，则0x =∴()xf x e x =-在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增， ∴()()f 010x f ≥=>，即p 是真命题，命題():,0p x R f x ∀∈>的否定为：()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤， 故选A【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查全称命题的否定为特称命题，属于容易题. 8.已知函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>与()cos (0,0)2Ag x x A ωω=>>的部分图像如图所示，则( )A. 31,A ωπ== B. 2,3A πω== C. 1,3A πω==D. 32,A ωπ==【答案】B 【解析】 【分析】先根据最值分析出A 的值，再根据周期分析出ω的值. 【详解】因为A ＞0,所以1, 2.2AA =∴= 由题得23,.4423T ππωω==∴= 故选B【点睛】本题主要考查正弦函数余弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．10.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A. 2.6B. 3C. 3.1D. 14【答案】C 【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 60S =︒=，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24.故 3.1p =.故选C ．11.如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E F 、分别是AB BC 、的中点，将ADE ∆，BEF ∆，CDF ∆分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EDF '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 5πD. 11π【答案】A 【解析】 【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积． 【详解】解：由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF ． 三棱锥的底面A ′EF 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 1146++=6∴球的表面积为264()2π⋅=6π． 故选A ．【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3(,)2aQ c ，222F Q F A c >=，点P 是双曲线C 右支上的动点，且111232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. )+∞B. 7(1,)6C. 7(6D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标得到线段|F 2Q |和|F 2A |，从而得32a ＞2b a ，进而有|AQ |＝232a ba =-，结合|AF 1|＋|AQ |＞32|F 1F 2|，即可求得离心率的范围. 【详解】AF 2垂直于x 轴，则|F 2A |为双曲线的通径的一半，|F 2A |＝2b a ，A 的坐标为2bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，|AF 1|222b a a +==. Q 32a c ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴|F 2Q |＝32a . 又|F 2Q |＞|F 2A |⇒32a ＞2b a，故有|AQ |＝232a b a =-；A 在第一象限上即在右支上，则有|AF 1|＋|AQ |＞32|F 1F 2|， 即222b a a +＋32a －2b a＞32×2c ⇒22432a a a +＞3c ⇒7a ＞6c ⇒e ＝c a ＜76.∵e ＞1，∴1＜e ＜76.答案：B【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.在61(2)2x -的展开式中，二项式系数最大的项为________． 【答案】320x - 【解析】 【分析】判断二项展开式的项数，即可判断二项式系数最大的项．【详解】解：因为6122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，共有7项， 所以二项式系数最大的项是中间项，即第4项．所以二项式系数最大的项为()33334612202T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭n ，故答案为320x -【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，展开式是奇数项，则中间项二项式系数最大，偶数项，中间两项二项式系数相等且最大．14.已知正实数,a b 满足21a b +=，则112a b+的最小值为_______． 【答案】92【解析】 【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出． 【详解】解：∵正实数,a b 满足21a b +=，∴112a b +=（2a+b ）115592222b a a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b ==时取等号． ∴112a b +的最小值为92故答案为92：．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的应用，属于基础题． 15.已知函数()()21+4,1,1xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩的定义域为R ，数列{}()n a n N*∈满足()naf n =，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】3a > 【解析】 【分析】根据已知得到关于a 的不等式组，解之即得.【详解】由题得21211,,32+3a a a a a a a >>⎧⎧∴∴>⎨⎨<<⎩⎩. 故答案为3a >【点睛】本题主要考查分段函数和数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.在ABC ∆中， 6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，其中01x ≤≤，01y ≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为_______．【答案】106【解析】【详解】试题分析：由OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r，01,01x y ≤≤≤≤其中.可得点P 的轨迹如图的阴影部分的面积，在三角形ABC 中由余弦定理可得解得AB=5.所以三角形ABC 的面积为2111sin 561()6225ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯-=又由126(),2ABC S OE AB AC BC OE ∆=++∴=.所以阴影部分面积126106252S =⨯⨯⨯=.故填106.考点：1.向量知识.2.向量的坐标表示形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 中， 25a =，1a ，4a ，13a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和为n S .【答案】(1) 5n a =或n a 21n =+(2) 22n S n n =+或5n. 【解析】 【分析】(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题得()()()2525511d d d +=-+，解方程得到d 的值，即得数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的前n 项和公式求n S .【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则15a d =-，452a d =+，13511a d =+ 因为1a ，4a ，13a 成等比数列，所以()()()2525511d d d +=-+， 化简的22d d =，则0d =或2d = 当0d =时，5n a =.当2d =时，153a d =-=，()312n a n =+-? 21n =+ (2)由(1)知当5n a =时， 5n S n =. 当21n a n =+时，13a =则()232122n n n S n n ++==+.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法和等比数列的性质，考查等差数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点"以及“性别”作出调查，得到的情况如下表所示:(1)完成上述22⨯列联表；(2)根据表中的数据，试通过计算判断是否有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别"有关；(3)若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取6人，再在6人中抽取3人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】【分析】（1）根据表格中数据的关系，完善22⨯列联表；（2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）由题意可知ξ的可能值为0,1,2，求出相应的概率值，即可得到ξ的分布列和数学期望. 【详解】(1)所求的22⨯列联表如下：(2)在本次试验中()221001020304040605050K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 16.6710.828=>故有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别”有关. (3)由题意可知ξ的可能值为0,1,2()0436105C P C ξ===，()122436315C C P C ξ===，()212436125C C P C ξ===， ξ∴的分布列为1310121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验以及离散型随机变量的期望的求法，分布列的求法，考查计算能力．19.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形， //AB CD ，90ABC ∠=︒，AD SD =，12BC CD AB ==，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证:平面BD ⊥平面SAD ；(2)若120SDA ∠=︒，求二面角C SB D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)77. 【解析】试题分析：（1）：取AB 中点M ，连接DM ，可得DB⊥AD 又侧面SAD⊥底面ABCD ，可得BD⊥平面SAD ，即可得平面SBD⊥平面SAD （2）以D 为原点，DA ，DB 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系，求出设面SCB 的法向量为：(),,n x y z =v ，面SBD 的法向量为)3,0,0m =v．利用向量即可求解．解析：（1）因为090ABC ∠=，BC CD =， 所以045CBD ∠=，BCD ∆是等腰直角三角形， 故2BD CB =，因为2AB BD =，045ABD ∠=，所以ABD ∆∽BCD ∆，090ADB ∠=，即BD AD ⊥，因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ， 所以BD ⊥平面SAD ，所以平面SBD ⊥平面SAD . （2）过点S 作SE AD ⊥交AD 的延长线于点E ， 因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，所以SE ⊥底面ABCD ，所以SDE ∠是底面SD 与底面ABCD 所成的角，即060SDE ∠=， 过点D 在平面SAD 内作DF AD ⊥， 因为侧面SAD ⊥底面ABCD ， 所以DF ⊥底面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，设1BC CD ==，()22262,0,,222B C S ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 则()262,0,2,DB BS ⎛==- ⎝⎭u u u v u u u v ，22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ， 设(),,m x y z =v是平面SBD 法向量，则2026202y x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 取)3,0,0m =v，设(),,n x y z =v是平面SBC 的法向量，则2202620x y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 取)3,3,1n =--v ，()()()2227cos ,31331m n m n m n⋅===+⋅+-+v v v vv v所以二面角C SB D --.20.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点,M N ，试判断·PM PN 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）22163x y +=； （2）见解析.【解析】 【分析】（I ）结合离心率，得到a,b,c 的关系，计算A 的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II ）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N 的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k 的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示OM ON ⋅u u u u r u u u r，结合三角形相似，证明结论，即可．【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c 知，b c a ，==， ∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b+=.易求得)A，∴点在椭圆上，∴222212b b+=， 解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=.(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =MN，，0OM ON OM ON ==⋅=u u u u ru u u r u u u u r u u u r，，，∴OM ON ⊥.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()()1122M x y N x y ，，，，=()2221m k =+.联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()()222122212244122604212621km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.∵()()1122OM x y ON x y ==u u u u r u u u r，，，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r，()()()22222121222264112121m km kx xkm x x m kkm m k k --=++++=+⋅+⋅+++ ()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k mk k k k +--+++----====+++， ∴OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥. 在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似得，22OP PM PN =⋅=为定值.【点睛】本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．21.已知函数2()(1)1f x a x lnx a =+--+ (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若1a <，求证：当0x >时，函数()y xf x =的图像恒在函数32ln (1)y x a x x =++-的图像上方. 【答案】（1）见解析；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ()2211a x x+-=，x ＞0，由此利用导数性质讨论函数f （x ）的单调性；（2）问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,∞+上恒成立，只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,∞+上恒成立，即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立【详解】(1)函数的定义域为()0,∞+且()()121f x a x x =+-' ()2211a x x+-=当1a ≤-时，()0f x '< ，函数()f x 在()0,∞+上为增函数； 当1a >-时，令()0f x '=，解得x =此时函数()f x 在⎛ ⎝⎭上递减，在⎫⎪+∞⎪⎝⎭上递增 (2)证明：若1a <，则当0x >时，问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,∞+上恒成立只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,∞+上恒成立即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立 令()()ln ln ,1xF x x x g x a x=-=--+ 因为()111xF x x x-=-='，易得()F x 在()0,1单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()11F x F ≤=- 又()221ln ln 1x x g x x x='--=-， 当0x e <<时，()0g x '<，当x e >时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，所以()()11g x g e a e ≥=--+ 又1a <，所以1111a e e--+>->-即()()max min F x g x <，所以ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立 所以当1a <时，函数()xf x 的图像恒在函数()32ln 1y x a x x =++-的图像上方.【点睛】本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式恒成立问题，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为：22((1)4x y ++=；（Ⅱ）4-【解析】 【分析】（I ）消去参数，即可得到曲线2C的直角坐标方程，结合cos x ρρθ==，即可得到曲线1C 的极坐标方程．（II ）计算直线l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算AB 长，即可．【详解】解法一：（Ⅰ）曲线1C ：222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）可化为直角坐标方程：()2224x y -+=，即2240x y x +-=， 可得24cos 0ρρθ-=，所以曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.曲线2C：2sin ρθθ=-，即2cos 2sin ρθρθ=-， 则2C的直角坐标方程为：(()2214x y -++=.（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =， 所以l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈. 联立564cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得A ρ=-联立562sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得4B ρ=-，4A B AB ρρ=-=-解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =，联立2240y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得(3,A ，联立(()22314y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得()2B -， 所以4AB ==-【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等. 23.已知函数()f x x x 1=++.（1）若()f x m 1≥-恒成立，求实数m 的最大值M ；（2）在（1）成立条件下，正数a,b 满足22a b M +=，证明：a b 2ab +≥. 【答案】(1)2；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得()1min f x =，则原问题等价于11m -≤，据此可得实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知1ab ≤，结合均值不等式的结论有ab a b ≤+，据此由综合法即可证得2a b ab +≥.法二：利用分析法，原问题等价于()2224a b a b +≥，进一步，只需证明()2210ab ab --≤，分解因式后只需证1ab ≤，据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得()12,01,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以()1min f x =， 所以只需11m -≤，解得111m -≤-≤，∴02m ≤≤，所以实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：综合法∵222a b ab +≥，∴1ab ≤，1≤，当且仅当a b =时取等号，①2a b+，12≤，∴ab a b ≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，∴12aba b ≤+，所以2a b ab +≥.法二：分析法因为0a >，0b >，所以要证2a b ab +≥，只需证()2224a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，∵22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，即证()2210ab ab --≤，即证()()2110ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤，因为2222a b ab =+≥，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（二）数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，则A B =（ ）A. {}12x x << B. {}11x x -<<C. {}12x x -<<D. {}21x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B 即可【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题2.已知12iz i -=+，则z =（ ） A. 1355i - B. 1355i +C. 1355i -- D. 1355i -+ 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得结论.【详解】∵()()()()21212213222555i i i i i i z i i i i -----+====-++-， ∴1355z i =+. 故选：B .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 3.已知直线l 过点P (3，0)，圆22:40C x y x +-=，则（ ） A. l 与C 相交 B. l 与C 相切C. l 与C 相离D. l 与C 的位置关系不确定【答案】A 【解析】 【分析】代入计算得到点P 在圆内，得到答案.【详解】2240x y x +-=，即()2224x y -+=，()223204-+<，故点P 在圆内，故l 与C 相交.故选：A.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定点P 在圆内是解题的关键. 4.已知()20121nn n px b b x b x b x -=+++⋅⋅⋅+，若123,4b b =-=，则p =（ ） A. 1 B.12C.13D.14【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理得到13b pn =-=-，()22142n n b p -==，解得答案.【详解】()1n px -展开式的通项为：()()()11n rr rrrr n n T C px C px -+=⋅⋅-=⋅-，故()113n b C p pn =⋅-=-=-，()2222142n n n b C p p -=⋅==，解得9n =，13p =.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A.15B.14C.13D.12【答案】D 【解析】 【分析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 故选：D【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.6.命题[]2:2,1,0p x x x m ∃∈-+-≤成立的充要条件是（ ）A. 0m ≥B. 14m ≥-C. 124m -≤≤ D. 2m ≥【答案】B 【解析】 【分析】根据题意2min ()m x x ≥+，设221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】[]2,1x ∃∈-，20x x m +-≤，则2m x x ≥+，故2min ()m x x ≥+，设221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-，故当12x =-时，函数有最小值为14-.故14m ≥-. 故选：B.【点睛】本题考查了充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力，转化为求函数的最小值是解题的关键.7.在直角三角形ABC 中，,22ACB AC BC π∠===，点P 是斜边AB 上一点，且BP =2P A ，则CP CA CP CB ⋅+⋅=（ ）A. 4-B. 2-C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，计算得到答案.【详解】如图所示：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，则()0,2A ，()2,0B ，24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()242484,0,2,2,04333333CP CA CP CB ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积的计算，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键. 8.已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 0a ≤或12a ≥ B. 0a ≤或13a ≥C. 0a ≤D. 0a ≥或13a ≤-【答案】A 【解析】 【分析】讨论0a =，0a ≠两种情况，变换得到x x x e e a-=-，设()x xg x e e -=-，求导得到单调性，画出函数()g x 和xy a=的图像，根据图像得到答案. 【详解】()()212xxa f x x e e ax =--+，则()'20x x f x xe ae a =-+=，故0x x a x ae e-+=， 当0a =时，()'x fx xe =，函数在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()'00f =，故函数有唯一极大值点，满足； 当0a ≠时，即x x xe e a-=-，设()x x g x e e -=-， 则()'2xxg x e e-=+≥恒成立，且()'02g =，画出函数()g x 和xy a=图像，如图所示： 根图像知：当12a ≤时，即0a <或12a ≥时，满足条件.综上所述：0a ≤或12a ≥.故选：A.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，变换x x xe e a-=-，画出函数图像是解题的关键. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm )服从正态分布，其密度曲线函数为()()()2100200,,102x f x ex π--=∈-∞+∞，则下列说法正确的是（ ）A. 该地水稻的平均株高为100cm B. 该地水稻株高的方差为10C. 随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率大D. 随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm )的概率一样大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数解析式得到100μ=，2100σ=，故A 正确B 错误，根据正态分布的对称性得到C 正确D 错误，得到答案.【详解】()()2100200102x f x eπ--=，故100μ=，2100σ=，故A 正确B 错误；()()()1208070p x p x p x >=<><，故C 正确；根据正态分布的对称性知：()()()100110901008090p x p x p x <<=<<><<，故D 错误. 故选：AC.【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布的理解和应用.10.如图，正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,M N ，且1MN =，则下列结论正确的是（ ）A. AC BM ⊥B. MN ∥平面ABCDC. 三棱锥A —BMN 的体积为定值D. △AMN 的面积与△BMN 的面积相等【答案】ABC 【解析】 【分析】如图所示，连接BD ，根据AC ⊥平面11BDD B 得到AC BM ⊥，A 正确，//MN BD ，故MN ∥平面ABCD ，B 正确，计算2A MNB V -=，C 正确，1BMN S =△，1AMN S >△，D 错误，得到答案. 【详解】如图所示：连接BD ，易知AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 故1AC DD ⊥，故AC ⊥平面11BDD B ，BM ⊂平面11BDD B ，故AC BM ⊥，A 正确； 易知11//D B BD ，故//MN BD ，故MN ∥平面ABCD ，B 正确；11121223323A MNB BMN V S AO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△为定值，故C 正确； 1BMN S =△，122AMN hS MN h =⋅=△，其中h 为点A 到直线11B D 的距离，根据图像知2h >， 故1AMN S >△，故D 错误； 故选：ABC.【点睛】本题考查了立体几何中直线垂直，线面平行，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线50x y +=上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，P A ，PB的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为（ ） A.34B. 1C.43D. 2【分析】计算得到双曲线方程为2214xy-=，则()2,0A-，()2,0B，设()00,P x y，1202kykx=+，根据渐近线方程知：012yx<<，代入计算得到答案.【详解】根据题意知：12ba=，5c=，故2a=，1b=，双曲线方程为2214xy-=，则()2,0A-，()2,0B，设()00,P x y，则2214xy-=，00x>，y>，000002120022242y y x y xx x xk ky=+==+--+，根据渐近线方程知：012yx<<，故01212xk ky=>+.故选：CD.【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定012yx<<是解题的关键.12.在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y的轨迹方程是()y f x=，则对函数()y f x=的判断正确的是（）A. 函数()()22g x f x=-[]39-，上有两个零点B. 函数()y f x=是偶函数C. 函数()y f x=在[]86--，上单调递增D. 对任意的x∈R，都有()()14f xf x+=-【分析】根据题意中的轨迹，画出函数图像，根据图像判断每个选项得到答案. 【详解】当以A 点为中心滚动时，B 点轨迹为()2,0-为圆心，2为半径的14圆弧； 当以D 点为中心滚动时，B 点轨迹为()0,0为圆心，22为半径的14圆弧； 当以C 点为中心滚动时，B 点轨迹为()2,0为圆心，2为半径的14圆弧； 当以B 点为中心滚动时，B 点不动，然后周期循环，周期为8. 画出函数图像，如图所示：()()00220g f =-=，()()()88220220g f f =-=-=，A 正确；根据图像和周期知B 正确；函数()y f x =在[]0,2上单调递减，故在[]86--，上单调递减，C 错误； 取2x =-，易知()()122f f ≠--，故D 错误.故选：AB.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像确定周期是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数cos 434y x x =+的单调递增区间为______.【答案】(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】化简得到2sin 46y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，取242262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得答案.【详解】cos 43sin 42sin 46y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，取242262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得(),26212k k x k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的单调区间，意在考查学生的计算能力.14.北京大兴国际机场为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航.目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有______种不同的安排方法.(用数字作答).【答案】10 【解析】 【分析】根据题意，共有2412A =种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的2种选择，得到答案. 【详解】不考虑西一跑道、西二跑道共有2412A =种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的222A =种选择，共有10种选择.故答案为：10.【点睛】本题考查了排列的应用，利用排除法可以简化运算，是解题的关键.15.已知抛物线()2:20C x py p =>的准线方程为1y =-，直线:3440l x y -+=与抛物线C 和圆2220x y y +-=从左至右的交点依次为A 、B 、E 、F ，则抛物线C 的方程为______，EF AB=______.【答案】 (1). 24x y = (2). 16 【解析】 【分析】计算2p =，故抛物线方程为24x y =，联立方程得到114y =，24y =，计算14AB =，4EF =，得到答案.【详解】根据题意知12p-=-，故2p =，故抛物线方程为24x y =，设焦点为()0,1M ， 2220x y y +-=，即()2211x y +-=，直线:3440l x y -+=过圆心，联立方程243440x y x y ⎧=⎨-+=⎩，得到241740y y -+=，解得114y =，24y =.故1111144AB AM =-=+-=，14114EF FM =-=+-=，故16EF AB =. 故答案为：24x y =；16.【点睛】本题考查了抛物线方程，抛物线中的弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________． 【答案】144π 【解析】 【分析】易知当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可. 【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球O 半径为R ，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝×R 2×R ＝R 3＝36，故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.故答案为144π.【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①5462a b b =+，②()35144a a b b +=+，③24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为{},n n S b 是等差数列.已知11a =，32214352,S S a a a b b -=+=+，__________.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+，求n T . 【答案】（1）1,.n n n a b n -=2=（2）()12 1.n n T n =-⋅+【解析】 【分析】（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案.（2）2nn n a b n =⋅，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）方案一：选条件①：设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+， 220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，435546,2a b b a b b =+=+，1126831316b d b d +=⎧∴⎨+=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,n n n a b n -∴==.方案二：选条件②：设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，()4353514,4a b b a a b b =++=+，11268235b d b d +=⎧∴⎨+=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,.n n n a b n -∴==方案三：选条件③，设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，4352423,5a b b b S a b =+=，112680b d b d +=⎧∴⎨-=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,.n n n a b n -∴==（2）12,n n n a b n -==，1122n n n T a b a b a b ∴=++⋅⋅⋅+()01211222122n n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，()12121222122n n n T n n -∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，12112222n nn T n -∴-=+++⋅⋅⋅+-⨯12221212nn n n n n -=-⨯=--⨯-，()12 1.n n T n ∴=-⋅+【点睛】本题考查了等差数列等比数列通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18.如图，在△ABC 中，5:5:3,1sin 5AD DC BD A ===，，0BA BD ⋅=（1）求BC 的长度；（2）若E 为AC 上靠近A 的四等分点，求sin DBE ∠. 【答案】（1）2BC =（2310【解析】 【分析】（1）计算得到5cos 5ADB ∠=，355DC =，利用余弦定理计算得到答案.（2）根据余弦定理得到2105BE =，利用正弦定理计算得到答案. 【详解】（1）0BA BD ∴⋅=，BA BD ∴⊥，在ABD ∆中，1BD =，5sin 5A =， 5AD ∴=，5cos ADB ∠=，又:5:3AD DC =，35DC ∴=， 在BCD ∆中，5cos BDC ∠=-， 222=2cos BC CD BD CD BD BDC ∴+-⨯⨯⨯∠9355=121555⎛⎫+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭=4 2BC ∴=.（2）由（1）知AB =2，12545AE AC ==，25cos 5A =， ABE ∆中，2222cos BE AB AE AB AE A =+-⨯⨯⨯425254225=+-⨯⨯⨯85=， 210BE ∴=， 在3525sin =BDE DE BDE ∆=∠中，，，sin sin DE BE DBE BDE =∠∠， sin 310sin 10DE BDE DBE BE ⨯∠∴∠==. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中AB AC ⊥，，侧面11ABB A 是正方形，3,36AB AC ==.（1）证明：平面11AB C ⊥平面11A BC ； （2）若16AM AC =，求二面角11M BC A --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】 【分析】（1）证明11A C ⊥平面11ABB A 得到111AB AC ⊥，证明1AB ⊥平面11A BC 得到答案.（2）如图，以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，求得平面1MBC 的一个法向量为61,,155n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1AB 是平面11A BC 的一个法向量，计算向量夹角得到答案.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，111AA AC ∴⊥，AB AC ⊥，1111A C A B ∴⊥，又111,AA A B ⊂平面111111,ABB A AA A B A ⋂=，11A C ∴⊥平面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，111AB AC ∴⊥，又侧面11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又111,A C A B ⊂平面11A BC ，1111A B A C A =，1AB ∴⊥平面11A BC ，又1AB ⊂平面11AB C ，∴平面11AB C ⊥平面11A BC .（2）如图，以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()()()()()110,0,3,0,3,3,0,3,0,,A B B C C ，()()136,0,0,0,3,3AC AB ∴==-，()()10,3,0,36,3,3AB BC ==--，MB AB AM ∴=-16AB AC =-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面1MBC 的一个法向量为(),,1n x y =，则100n MB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得15x y ==，61,,155n ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，又1AB 是平面11A BC 的一个法向量，13315cos ,2321825n AB -∴==-⨯，12,3n AB π∴=， ∴二面角11M BC A --的大小为3π.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20.某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是16，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳两站；若掷出其余点数，则棋子向前跳一站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束；设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明：()()1111983n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜，请分析这个游戏是否公平.【答案】（1）详见解析（2）证明见解析；（3）游戏不公平，详见解析 【解析】 【分析】（1）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6，计算概率得到分布列，计算得到数学期望.（2）根据题意得到112133n n n P P P +-=+，化简得到()1113n n n n P P P P +--=--.（3）计算得到9998972133P P P =+，10099P P <，得到答案. 【详解】（1）随机变量X 所有可能取值为3，4，5，6，()()3213282143,4327339P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2323212115,6339327P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列为：()842134564279927E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由题意知，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况： ①由第n 站跳1站得到，其概率为23n P ； ②由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -112133n n n P P P +-∴=+，()111211333n n n n n n n P P P P P P P +--∴-=+-=--， ()()1111983n n n n P P P P n +-∴-=--≤≤，（3）由（2）知，当棋子落到第99站游戏结束的概率为9998972133P P P =+， 当棋子落到第100站游戏结束的概率为1009813P P =， 10099P P <，∴最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率， ∴游戏不公平.【点睛】本题考查了分布列和数学期望，数列的递推公式，概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e 满足2220e -+=，以坐标原点为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P (0，1)的动直线l (直线l 的斜率存在)与椭圆C 相交于A ，B 两点，问在y 轴上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得APQ BPQSQA QB S=恒成立？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）存在；定点()0,2Q【解析】 【分析】（1）根据点到直线距离公式计算得到2a =，计算22e =，得到答案. （2）设()()()()11220,1,,,,Q m m A x y B x y ≠，直线l 的方程为1y kx =+，联立方程得到12122242,2121k x x x x k k +=-=-++，sin sin APQ BPQS QA PQA SQB PQB∠=∠，得到QA QB k k =-，计算得到答案.【详解】（1）由题意知0045241a -+=+，2a ∴=，由223220e e -+=，解得22e =或2e =，故2c =2b ∴= ∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）存在，假设y 轴上存在与点P 不同的定点Q ，使得APQ BPQSQA QB S=恒成立，设()()()()11220,1,,,,Q m m A x y B x y ≠，直线l 的方程为1y kx =+，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=，12122242,2121k x x x x k k ∴+=-=-++，()222168213280k k k ∆=++=+>， 1sin sin 21sin sin 2APQ BPQQP QA PQA S QA PQA S QB PQB QP QB PQB ∆∆∠∠==∠∠， APQ BPQSQA QB S=，sin sin PQA PQB ∴∠=∠，PQA PQB ∴∠=∠，QA QB k k ∴=-，1212y m y m x x --∴=-，()()121212m x x kx x ∴-+=，即()2242122121k m k k k --=-++， 解得2m =，∴存在定点()0,2Q ，使得APQBPQS QA QB S ∆∆=恒成立. 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22.已知函数()()()11,0xx f x x e x e x -=++-≥.（1）证明：()1011x f x x e x ⎛⎫≤≤+-⎪+⎝⎭； （2）若()32cos 2x x g x ax x x x e ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当[]()()0,1,x f x g x ∈≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）(],3-∞- 【解析】 【分析】（1）()()xxf x x e e-'=-，得到()0f x '≥，()00f =得到()0f x ≥，整理得到()()221xe x ≥+，即1x e x ≥+，令()()10xx e x x ϕ=--≥，证明()0x ϕ≥得到答案.（2）当[]0,1x ∈时，要证()()f x g x ≥即证()32112cos 02xx x eax x x -⎛⎫+-+++≥ ⎪⎝⎭，令()22cos 2x G x x =+，证明()G x 在[]01，上是减函数，得当3a ≤-时，()()f x g x ≤在[]01，上恒成立，再证明3a >-时，()()f x g x ≥在[]01，上不恒成立，得到答案.【详解】（1）()()xxf x x e e-'=-，当0x ≥时，1,1xx ee -≥≤，()0f x '∴≥，()f x ∴在[)0+∞，上是增函数，又()00f =，()0f x ∴≥.由()111x f x x e x ⎛⎫≤+-⎪+⎝⎭整理得()()221x e x ≥+，即1x e x ≥+， 令()()10xx e x x ϕ=--≥，即()'10xx e ϕ=-≥，()x ϕ∴在[)0+∞，上是增函数，又()0x ϕ=，()0x ϕ∴≥，1x e x ∴≥+， ()111x f x x e x ⎛⎫∴≤+- ⎪+⎝⎭，综上，()1011x f x x e x ⎛⎫≤≤+-⎪+⎝⎭.（2）当[]0,1x ∈时，要证()()f x g x ≥，即证()()3112cos 2xxx x x e x e ax x x x e -⎛⎫++-≥+++ ⎪⎝⎭， 只需证明()32112cos 02xx x eax x x -⎛⎫+-+++≥ ⎪⎝⎭.由（1）可知：当[]0,1x ∈时，()()()110xx f x x e x e -=++-≥，即()211xx ex -+≥-，()332112cos 112cos 22xx x x eax x x x ax x x -⎛⎫∴+-+++≥----- ⎪⎝⎭212cos 2x x a x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，令()22cos 2x G x x =+，则()2sin G x x x '=-，令()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，当[]0,1x ∈时，()0H x '<，()G x '∴在[]01，上是减函数，故当[]0,1x ∈时，()()00G x G ''≤=，()G x ∴在[]01，上是减函数，()()0=2G x G ∴≤，()13a G x a ∴++≤+，故当3a ≤-时，()()f x g x ≤在[]01，上恒成立.当3a >-时，由（1）可知：()221x e x ≥+，即()2111x x e x -+≤+， ()3321112cos 12cos 212x x x x e ax x x ax x x x -⎛⎫∴+-+++≤---- ⎪+⎝⎭ 32cos 12x x ax x x x -=---+212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭， 令()()2112cos 121x I x a x a G x x x=+++=++++，则()()()211I x G x x -''=++， 当[]0,1x ∈时，()0I x '<，()I x ∴在[]01，上是减函数，()I x ∴在[]01，上的值域为[]12cos1,3a a +++.3a >-，30a ∴+>，∴存在[]00,1x ∈，使得()00I x >，此时()()00f x g x <故3a >-时，()()f x g x ≥在[]01，上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(],3-∞-.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（二）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1. 已知集合{})2lg(x y x A -==，集合{}22B x x =-≤≤，则B A ⋂=（ ） A ．{}2-≥x x B ．{}22<<-x x C ．{}22<≤-x x D ．{}2<x x2. 若复数)(122R a iia ∈++是纯虚数，则i a 22+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 4. 定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗）（）（b a b b a a b a ，则函数xx f 21)(⊗=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777B ．252550,,1477 C ．100200400,,777 D ．50100200,,7776. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥-100x y x y x ，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3[,4]2B ．(1]，2 C ．(,0][2)-∞⋃+∞，D ．(,1)[2)-∞⋃+∞， 9. 抛物线方程为x y 42=，一直线与抛物线交于B A 、两点，其弦AB 的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ）A ．012=--y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ．012=---y x 10. 已知变量x 与变量y 的取值如下表所示，且2.5 6.5m n <<<，则由该数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．ˆ0.8 2.3yx =+ B ．ˆ20.4yx =+ C ．ˆ 1.58y x =-+ D ．ˆ 1.610yx =-+ 11. 已知点)30(),03(，，B A -，若点P 在曲线21x y --=上运动，则PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．22329- D ．22329+ 12. 函数)(x f y =是R 上的偶函数，)()2(x f x f =+,当10≤≤x 时，2)(x x f =,则函数x x f y 5log )(-=的零点个数为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13. 函数2log (5)1(0,1)a y x a a =-+>≠且恒过点______.14. 在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆的顶点)06(，-A 和)06(，C ，若顶点B 在双曲线1112522=-y x 的左支上，则BCA sin sin sin -＝______. 15. 在直三棱柱111ABC ABC -内有一个与其各面都相切的球1O ，若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球1O 的表面积为______.16. 在数列}{n a 中，11=a ，n n a n a -=+21，则数列}{n a 的通项公式=n a ______. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本小题满分12分）从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1) 由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；(2) 在这50名男生身高不低于176 cm 的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在[180，184]内的概率.18.（本小题满分12分）已知函数)(,212cos sin 23)(2R x x x x f ∈-+= (1) 当],0[π∈x 时，求函数的值域；(2) ABC △的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 ,1)(,3==C f c 求AB 边上的高h 的最大值.19. （本小题满分12分）等腰梯形ABCD 中，ο60,,//=∠=ABC AD AB BC AD ,E 是BC 的中点．将ABE △沿AE 折起后，使二面角C AE B --成直二面角，设F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点．(1) 求证：BD AE ⊥；(2) 求证：平面⊥PEF 平面AECD ；(3) 判断DE 能否垂直于平面ABC ，并说明理由．20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，离心率N M e ,,22=是直线ca x l 2:=上的两个动点，且满足021=⋅N F M F . (1) 若5221==N F M F ，求b a ,的值；(2) 证明：当MN 取最小值时，N F M F 21+与21F F 共线．21. （本小题满分12分）设函数x x x x f ln 1)(--=，xe e x g )1()(2-+=. (1) 求函数)(x f 最大值； (2) 求证：)()(x g x f <恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 已知直线l 的参数方程：12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 已知函数b x a x x f -++=)(，（其中0,0>>b a ） （1）求函数)(x f 的最小值M ；（2）若M c >2，求证：ab c c a ab c c -+<<--22.数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.（4，1），（6,1） 14.6515. 4π 16. ⎩⎨⎧-)(1)(为偶数为奇数n n n n 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）6解：(1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生身高的中位数为168.25 (4分) (2)由频率分布直方图知，后2组频率为(0.02＋0.01)×4＝0.12，人数为0.12×50＝6，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为6.（8分）身高介于[176，180]的有4人,用1,2,3,4表示, 身高介于[180，184]的有2人,用a,b 表示,从中任取2人的基本事件有（1,2）（1,3）（1,4）（1,a ）（1,b ）（2,3）（2,4）（2,a ）（2,b ）（3,4）（3,a ）（3,b ）（4,a ）（4,b ）（a,b ）. 恰有一人身高在[180，184]内的基本事件有（1,a ）（1,b ）（2,a ）（2,b ）（3,a ）（3,b ）（4,a ）（4,b ）.所以,恰有一人身高在[180，184]内的概率为158（12分） 18.（本小题满分12分）解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=x x x f =)6sin(π+x π≤≤x 0Θ ππ676≤≤∴x 1)6sin(21≤+≤-∴πx ∴函数的值域为]1,21[-∴(6分)(2) 1)6sin()(=+=πC C f26ππ=+∴C 3π=∴C2123cos 22-=-+=ab b a C Θ ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab≤==C ab h S sin 2132134323323=⨯⨯ 23≤∴h h ∴的最大值为23(12分)(1)证明：设AE 中点为M ，∵在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， ∴△ABE 与△ADE 都是等边三角形． ∴BM ⊥AE ，DM ⊥AE .∵BM ∩DM ＝M ，BM 、DM ⊂平面BDM ，∴AE ⊥平面BDM . ∵BD ⊂平面BDM ，∴AE ⊥BD .(4分)(2)证明：连结CM 交EF 于点N ，∵ME //FC ， ∴四边形MECF 是平行四边形．∴N 是线段CM 的中点． ∵P 是BC 的中点，∴PN ∥BM .∵BM ⊥平面AECD ，∴PN ⊥平面AECD .又∵PN ⊂平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面AECD .（8分） (3)DE 与平面ABC 不垂直．证明：假设DE ⊥平面ABC ，则DE ⊥AB ， ∵BM ⊥平面AECD .∴BM ⊥DE .∵AB ∩BM ＝B ，AB 、BM ⊂平面ABE ，∴DE ⊥平面ABE . ∴DE ⊥AE ，这与∠AED ＝60°矛盾． ∴DE 与平面ABC 不垂直．（12分）20.（本小题满分12分）解：由e ＝22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(22a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 21＝20，消去y 1，y 2，得a 2＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a ， 此时，F 1M →＋F 2N →＝(322a ，y 1)＋(22a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M→与F 1F 2→共线.（12分）解：(1)x x f ln 2)(--='令0ln 2=--x 解得2-=e x当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ，),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h .∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减 ∴221)()(--+=≤e e f x f21)(-+∴e x f 的最大值为（6分）(2)而函数xe e x g )1()(2-+=在区间),0(+∞上单调递增∴)1()0()(2-+=>e g x g ∴)()1()0()(2x f e g x g ≥+=>- ∴)()(x g x f <恒成立（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+， 将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为153x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得22121⎛⎫⎫++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t 的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=23.（本小题满分10分）解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(b a M +=∴（5分）(2)证明：为要证c a c <<+只需证a c <-<即证a c -<，也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+， ∵0,2,0a c a b b >>+>，∴2a bc +>≥，故2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴ 所求不等式c a c -<<+成立．（10分）。

2020届河北省衡水金卷新高考原创精准模拟考试（二）文科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知集合，，则A. B. C.D.2.设，则A. ﹣1B. 0C. 1D. 23.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，设，，，则A. B. C.D.4.如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A. 2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%，在3月底最高C. 从两图来看，2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长5.执行如图的程序框图，其中输入的，，则输出a的值为A. 1B. －1C.D. －6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C.D. 107.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C.D.8.已知点A，B，C在函数的图象上，如图，若，则A. 1B.C.D.9.已知数列的前项和为，，且，则所有满足条件的数列中，的最大值为A. 3B. 6C. 9D. 1210.函数的图像大致为111.已知函数，，其中，，若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则A. 在区间上是增函数B. 在区间上是增函数C. 在区间上是减函数D. 在区间上是减函数12.若对，，有，函数，则的值A. 0B. 4C. 6D. 9第II卷非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2020-2021学年山东省高考数学二模试卷（文科）及答案解析山东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z满足z（2﹣i）=|1+2i|，则z的虚部为（）A．B．C．1 D．i2．设集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={x|log2（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（0，2] C．（1，2] D．（1，2）3．正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S5=7+12，则公比q等于（）A．B．2 C． D．44．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（℃）18 13 10 ﹣1用电量（度）24 34 38 64由表中数据，得线性回归方程，由此估计用电量为72度时气温的度数约为（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣45．已知直线y=m（0＜m＜2）与函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象相邻的三个交点依次为A（1，m），B（5，m），C （7，m），则ω=（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．7．已知定义在R上的函数f（x）满足条件：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②函数f（x+2）的关于y轴对称，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③对任意的x1则下列结论正确的是（）A．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）D．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2过F2垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若△MF1N为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A． B．C．D．2+9．当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．10．若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，0] D．（﹣2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．不等式3x＞2的解为______．12．执行如图的程序框图，则输出的S=______．13．过圆x2+y2﹣4x+my=0上一点P（1，1）的切线方程为______．14．正方形ABCD的边长为2，P，Q分别是线段AC，BD上的点，则的最大值为______．15．给定函数f（x）和g（x），若存在实常数k，b，使得函数f（x）和g（x）对其公共定义域D 上的任何实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b 为函数f（x）和g （x）的“隔离直线”．给出下列四组函数：①f（x）=+1，g（x）=sinx；②f（x）=x3，g（x）=﹣；③f（x）=x+，g（x）=lgx；④f（x）=2x﹣其中函数f（x）和g（x）存在“隔离直线”的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一周期内图象最低点与最高点的坐标分别为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f （A）=，a=3，sinB+sinC=1，求△ABC的面积S．17．某种产品的质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从该产品中随机抽取了一部分样本，经过数据处理，得到如图所示的频率分布表：（I）求出a，b，c的值；（Ⅱ）现从等级为4和5的所有样本中，任意抽取2件，求抽取2件产品等级不同的概率．等级频数频率1 1 a2 6 0.33 7 0.354 b c5 4 0.218．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．（Ⅰ）求证：CG∥平面ADF；（Ⅱ）求三棱锥E﹣AFB的体积．19．已知单调递增的等比数列{a n}满足a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n+1，c n=，记数列{c n}的前n项和为T n．若对任意的n∈N*，不等式T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．20．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设0＜x1＜x2，证明：．21．已知椭圆经过点，离心率为，设A、B椭圆C上异于左顶点P 的两个不同点，直线PA和PB的倾斜角分别为α和β，且α+β为定值θ（0＜θ＜π）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z满足z（2﹣i）=|1+2i|，则z的虚部为（）A．B．C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的虚部可求．【解答】解：由复数z满足z（2﹣i）=|1+2i|，可得z==，则z的虚部为：．故选：A．2．设集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={x|log2（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（0，2] C．（1，2] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中的不等式组解得：0≤x≤2，即A=[0，2]，由B中的不等式变形得：log2（x﹣1）≤0=log21，得到0＜x﹣1≤1，解得：1＜x≤2，即B=（1，2]，则A∩B=（1，2]．故选：C．3．正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S5=7+12，则公比q等于（）A．B．2 C． D．4【考点】数列的求和．【分析】利用S7﹣S2=12+14=q2S5，S5=6+7，即可求出公比q．【解答】解：由题意，∵S7﹣S2=12+14=q2S5，S5=6+7，∴q2=2，∵q＞0，∴q=．故选：A．4．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（℃）18 13 10 ﹣1用电量（度）24 34 38 64由表中数据，得线性回归方程，由此估计用电量为72度时气温的度数约为（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，代入回归方程得出，从而得出回归方程，把y=72代入回归方程计算气温．【解答】解：=，=40．∴40=﹣2×10+，解得=60．∴回归方程为，令y=72得，﹣2x+60=72，解得x=﹣6．故选C．5．已知直线y=m（0＜m＜2）与函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象相邻的三个交点依次为A（1，m），B（5，m），C （7，m），则ω=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得函数f（x）的相邻的两条对称轴分别为x=3，x=6，可得函数的周期为2?（6﹣3）=，由此求得ω的值．【解答】解：∵直线y=m（0＜m＜2）与函数f（x）=2sin （ωx+φ）（ω＞0）的图象相邻的三个交点依次为A（1，m），B（5，m），C（7，m），故函数f（x）的相邻的两条对称轴分别为x==3，x==6，故函数的周期为2?（6﹣3）=，求得ω=，故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解即可．【解答】解：三视图复原的几何体是圆锥，底面半径为：，高为：1，圆锥的母线长为：2，圆锥的表面积为：=（3+2）π．故选：D．7．已知定义在R上的函数f（x）满足条件：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②函数f（x+2）的关于y轴对称，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③对任意的x1则下列结论正确的是（）A．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）D．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据条件判断函数的周期性和对称性，利用函数对称性，周期性和单调性之间的关系将函数值进行转化比较即可得到结论．【解答】解：∵对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；∴函数是4为周期的周期函数，∵函数f（x+2）的关于y轴对称∴函数函数f（x）的关于x=2对称，∵对任意的x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．∴此时函数在[0，2]上为增函数，则函数在[2，4]上为减函数，则f（7）=f（3），f（6.5）=f（2，5），f（4.5）=f（0.5）=f（3.5），则f（3.5）＜f（3）＜f（2.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），故选：D8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2过F2垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若△MF1N为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A． B．C．D．2+【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线C的两渐近线方程，利用△MF1N为正三角形，建立三角形，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，x=c时，y=±，∵△MF1N为正三角形，∴2c=×，∴a=b，∴c=b，∴e==．故选：A．9．当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣ax=0，即x=0或x=a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f（x）=（x2﹣x）e x，∴f'（x）=（x2+x﹣1）e x，由f'（x）=（x2+x﹣1）e x＞0，解得x＞或x＜．由f'（x）=（x2﹣1）e x＜0，解得：﹣＜x＜，即x=﹣1是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．10．若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，0] D．（﹣2，4）【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可．【解答】解：可行域为△ABC，如图，当a=0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞k AC=﹣1，a＜2．当a＜0时，k=﹣＜k AB=2a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故选B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．不等式3x＞2的解为x＞log32 ．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】将原不等式两端同时取对数，转化为对数不等式即可．【解答】解：∵3x＞2＞0，∴，即x＞log32．故答案为：x＞log32．12．执行如图的程序框图，则输出的S= ．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=5时不满足条件n≤4，退出循环，输出S的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，S=0满足条件n≤4，执行循环体，可得：S=1，n=2满足条件n≤4，执行循环体，可得：S=1+，n=3满足条件n≤4，执行循环体，可得：S=1++，n=4满足条件n≤4，执行循环体，可得：S=1+++，n=5不满足条件n≤4，退出循环，输出S的值．由于：S=1+++=．故答案为：．13．过圆x2+y2﹣4x+my=0上一点P（1，1）的切线方程为x ﹣2y+1=0 ．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的方程，求出圆心与已知点确定直线方程的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出过此点切线方程的斜率，即可确定出切线方程．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x+my=0上一点P（1，1），可得1+1﹣4+m=0，解得m=2，圆的圆心（2，﹣1），过（1，1）与（2，﹣1）直线斜率为﹣2，∴过（1，1）切线方程的斜率为，则所求切线方程为y﹣1=（x﹣1），即x﹣2y+1=0．故答案为：x﹣2y+1=0．14．正方形ABCD的边长为2，P，Q分别是线段AC，BD上的点，则的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件可知线段AC，BD互相垂直且平分，从而可分别以这两线段所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，进而可求出A，B，C，D四点坐标，并设P（0，y），Q（x，0），且由题意知x，y，这样便可求出向量的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出，而配方即可得出的最大值．【解答】解：正方形ABCD的对角线DB，CA互相垂直平分，∴分别以这两线段所在直线为x，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：；设P（0，y），Q（x，0），；∴；∴=；∴时，取最大值．故答案为：．15．给定函数f（x）和g（x），若存在实常数k，b，使得函数f （x）和g（x）对其公共定义域D 上的任何实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g （x）的“隔离直线”．给出下列四组函数：①f（x）=+1，g（x）=sinx；②f（x）=x3，g（x）=﹣；③f（x）=x+，g（x）=lgx；④f（x）=2x﹣其中函数f（x）和g（x）存在“隔离直线”的序号是①③．【考点】函数的值域．【分析】画出图象，数形结合即得答案．【解答】解：①f（x）=+1与g（x）=sinx的公共定义域为R，显然f（x）＞1，而g（x）≤1，故满足题意；②f（x）=x3与g（x）=﹣的公共定义域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0＜g（x），当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0＜f（x），故不满足题意；③f（x）=x+与g（x）=lgx图象如右图，显然满足题意；④函数f（x）=2x﹣的图象如图，显然不满足题意；故答案为：①③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一周期内图象最低点与最高点的坐标分别为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f （A）=，a=3，sinB+sinC=1，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由题意可得A，，运用周期公式，可得ω，再由最值的条件，可得φ=，即可得到所求解析式；（Ⅱ）求得A，再由正弦定理和余弦定理，求得bc=1，运用三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得A=，=﹣=2π，可得T=4π，ω==，由sin（×+φ）=﹣，解得×+φ=2kπ+，即φ=2kπ+，k∈Z，由|φ|＜，可得φ=，即有f（x）=sin（x+）；（Ⅱ）f（A）=，即为sin（A+）=，由A∈（0，π），可得A+∈（，），即有A+=，解得A=，由正弦定理可得====2，即有b=2sinB，c=2sinC，sinB+sinC=1，即b+c=2，由a=3，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=（c+b）2﹣2bc﹣2bc×=12﹣3bc=9，解得bc=1，则△ABC的面积S=bcsinA=×1×=．17．某种产品的质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从该产品中随机抽取了一部分样本，经过数据处理，得到如图所示的频率分布表：（I）求出a，b，c的值；（Ⅱ）现从等级为4和5的所有样本中，任意抽取2件，求抽取2件产品等级不同的概率．等级频数频率1 1 a2 6 0.33 7 0.354 b c5 4 0.2【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）设抽取的产品有x件，根据题意得，=0.3，解得x=20，即可a，b，c的值．（Ⅱ）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，y1，y2，y3，y4这6件中抽取2件产品等级不同的事件数，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设抽取的产品有x件，根据题意得，=0.3，解得x=20，所以a==0.05，b=2，c==0.1（Ⅱ）：等级为4的两件产品，记作x1，x2，等级为5的零件有4个，记作y1，y2，y3，y4，从x1，x2，x3，y1，y2，y3，y4中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，y1），（x1，y2），（x1，y3），（x1，y4），（x2，y1），（x2，y2），（x2，y3），（x2，y4），（y1，y2），（y1，y3），（y1，y4），（y2，y3），（y2，y4），（y3，y4），共计15种．记事件A为“从零件x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取2件，其等级不同”．则A包含的基本事件为（x1，y1），（x1，y2），（x1，y3），（x1，y4），（x2，y1），（x2，y2），（x2，y3），（x2，y4），共8个，故P（A）=18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．（Ⅰ）求证：CG∥平面ADF；（Ⅱ）求三棱锥E﹣AFB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AB的中点H，连接CH，GH，由已知可得四边形AHCD是平行四边形，得到CH ∥DA，进一步得到CH∥平面ADF，由GH是三角形ABF的中位线可得有GH∥平面ADF，由面面平行的判定得平面CGH∥平面ADF，继而得到CG∥平面ADF；（Ⅱ）由AB∥CD，结合已知得到四边形ABCD是等腰梯形，由H 是AB的中点，可得四边形AHCD 是菱形，得到BC⊥AC，又平面ACFE⊥平面ABCD，得到BC⊥平面ACEF，可知BC是三棱锥B﹣AEF 的高，然后利用等积法求得三棱锥E﹣AFB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点H，连接CH，GH，∵AB=2AH=2CD，且DC∥AB，∴AH∥DC且AH=DC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH∥DA，则有CH∥平面ADF，∵GH是三角形ABF的中位线，∴GH∥AF，则有GH∥平面ADF，又CH∩GH=H，∴平面CGH∥平面ADF，CG?平面CHG，则CG∥平面ADF；（Ⅱ）解：∵AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CB=1，∴四边形ABCD是等腰梯形，H是AB的中点，∴四边形AHCD是菱形，CH=，∴BC⊥AC，又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACEF，即BC是三棱锥B﹣AEF的高，且BC=1，∵V E﹣AFB=V B﹣AEF，在等腰三角形ADC中，求得AC=，∴V E﹣AFB=V B﹣AEF=．19．已知单调递增的等比数列{a n}满足a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n+1，c n=，记数列{c n}的前n项和为T n．若对任意的n∈N*，不等式T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由题意知，从而求得；（Ⅱ）化简b n=log2a n+1=n，c n===﹣，从而化简不等式为k≥=恒成立；从而求得．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，。

1．A 【解析】因为集合A=｛x ｜39x>｝{}=|2x x >，B=｛x ｜－4＜x ＜3｝，所以A∩B =（2，3）．2．B 【解析】因为1,z i =-所以221221z i i z i+=++=+-，所以选B ．3．C 【解析】A 中，“若24x <，则22x -<<”的逆否命题为“若2x ≥或2x ≤-，则24x ≥”,正确；B 中，p ：存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则非p ：任意x R ∈，都有210x x ++≥，正确；C 中，若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题；D 中，如果22log log a b >，则a b >,故22a b >；当22a b >时，a b >，如果,a b 非正数，22log ,log a b 无意义，所以“22log log a b >”是“22a b >”的充分不必要条件，所以D 正确，故选C. 4．C6．B 【解析】由图可知该几何体是底面是上底长是2，下底长为32的四． 7．A 【解析】函数1()sin 2f x x x =-是奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B,D ，又因为 /1()cos 2f x x =-，当33x ππ-<<时，1cos 2x >，所以当33x ππ-<<时，/()0f x <，所以函数/()f x 在33x ππ-<<上是减函数，所以排除C ，故选A ．8．D 【解析】将点（1,1）代入不等式组221mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩得：221m n n m n +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，画出（m,n ）表示的平面区域，已知不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部（含边界），22m n +表示的是此区域内点（m ，n ）到原点距离的平方，从图中可知这个距离的最小值是1，最大值是2，所以22m n +取值范围是[1,4]．9．D 【解析】由题意，2n ≥时，1122(),n n n n nS S a a a -=+=+所以212.10,n n n a S a -+-=1n n a S -∴=-±0n a >，得：1n n a S -=-，1n n n S a S -=+=，2211n n S S -∴-=，即数列2{}n S 是公差为1的等差数列，又1111122S a a a ==+，解得：1a =1，即11,S =211,S =所以2n S n =，所以2014S=或：由题意可知：1112()n n n n n S S S S S --=-+-，整理得：2112()()1n n n n n S S S S S ---=-+，即：2211n n S S --=，211,S =所以2n S n =，所以2014S=10．C11．B 【解析】对于①：因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，故①不成立；对于②：设点D 的在平面BCF 上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时，就有BD ⊥FC ，而AD ：BC ：AB=2：3：4可使条件满足，故②正确；对于③：当点P 落在BF 上时，DP ⊂平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，故③正确．对于④：因为点D 的射影不可能在FC 上，故④不成立．故选B ．12．C 【解析】函数()|ln |f x x =的图象如图所示：当a≤0时，显然，不合题意，当a ＞0时，如图所示，当x ∈（0，1]时，存在一个零点，当x ＞1时，f （x ）=lnx ，可得g （x ）=lnx ﹣ax ，（x ∈（1，2]），g ′（x ）=11axa x x--=，若g ′（x ）＜0，可得x ＞1a ，g （x ）为减函数，若g ′（x ）＞0，可得x ＜1a，g （x ）为增函数，此时f （x ）必须在[1，2]解得，ln 212a e ≤<，在区间（0，2]上有三个零点时，ln 212a e ≤<，故选C ．13．12【解析】因为2456820406070805,5455x y ++++++++====，所以，这组数据的样本中心点是（5，54），把样本中心点代入回归直线方程^10.5,10.55, 1.5y x a a a a =+∴=⨯+∴=，所以加工一个零件所用时间是：10.51 1.512.⨯+=14． 35n a n =-+【解析】首项为正数的等差数列{}n a 中，122a a =-，设公差为d ，则11()2a a d +=-,∴d=112a a --，∴a3=a 1+2d=114()4a a -+≤--，，当且仅当a 1=2时，等号成立，此时，d=112a a --=﹣1﹣2=﹣3．即当d=﹣3时，a 3取最大值．所以数列{}n a 的通项公式是：1(1)2(1)(3)n a a n d n =+-=+-⨯-=35n -+．15．1或32【解析】∵C 为抛物线，方程为：y 2=4x ，∴抛物线的焦点坐标为（1，0），∵△OPF 是等腰三角形，∴OP=OF 或OP=PF 或OF=PF （舍去，因抛物线上点不可能满足），当OP=OF 时，|PO|=|OF|=1；当OP=PF 时，点P 在OF 的垂直平分线上，则点P 的横坐标为12，点P 在抛物线上，则纵坐标为∴32=，综上所述：|PO|= 1或32．16．[4,6] 【解析】设2,,,03AB a AC b BD BC λλ===≤≤，则()AD a b a λ=+-，∵DE=13BC ，∴1()3BE BC λ=+，∴1()()3AE a b a λ=++-，∴AD AE ⋅=(()).a b a λ+- 1(()())3a b a λ++-=((1))a b λλ-+⋅21(()())33a b λλ-++，∵b a ⊥，且||||3b a ==，∴上式可化简为：AD AE ⋅218126λλ=-+ =2118[()43λ-+，∴当13λ=时，AD AE ⋅取最小值为4．当203λλ==或时，AD AE ⋅取最大值为6，∴AD AE ⋅的取值范围是[4,6]．17．解：（1）由题意已知2b cos B=a cos C+c cos A ，由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC ， （3分） 所以2sinBcosB=sin(A+C)=sinB ,在ABC ∆中，sinB ,0≠3,21cos π==B B 所以． （6分）（2） 由b=3，及b 2=a 2+c 2-2accosB 得3=a 2+c 2-ac ≥ac ，当且仅当a=c 时取到等号．所以ac ≤3 （9分） 所以433ABC ,433sin 21的面积的最大值为即∆≤=∆B ac s ABC . （12分） 18．解：（1）1(78912)94x =+++=乙 （2分） 2222217[(7-9)(8-9)(9-9)(12-9)]42s =+++=乙（6分） （2）设个数大于8的共有6棵，设为,,,,,a b c d e f ，从中任选两棵，则={(,),(,),(,,(,e),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,))a b a c a d a a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f Ω），共有15个事件,设A=“两棵西瓜恰好分别在两块土地且个数和大于20”,则A={(9,12),(11,12),(12,9),(12,12)}，共4个事件， （11分） 所以4()15P A =（12分） 19．解：（1）因为△ABC 是等边三角形，所以,BD AC ⊥又因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BD,根据线面垂直的判定定理得11BD A ACC ⊥平面. （2分）又因为1BD BDC ⊂平面,所以平面C 111.BD A ACC ⊥平面 （3分） （2）证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于O ，连接OD ， ∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点．∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB1C 的中位线，∴OD ∥B 1A ．（5分） OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D ． （7分） （3）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，∴侧棱CC 1∥AA 1， 又∵AA 1底面ABC ，∴侧棱CC 1⊥面ABC ，故CC 1为三棱锥C 1﹣BCD 的高，A 1A=CC 1=2，∴0111=(sin 60222BCD S S BC AB =⨯⨯△△ABC ， （10分）∴11111233D BCC C BCD BCD V V CC S --∆==⋅=⨯=． （12分）20．解：（13分） 所以A （2，0），B （0，1）．直线AB ，EF 的方程分别为x+2y=2，y=kx （k ＞0）． 如图，设D （x 0，kx 0），E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），其中x 1＜x 2， 且x 1，x 2满足方程（1+4k 2）x 2=4，故21x x =-=．①由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2，得0212x k=+．所以212k =+， 化简得24k 2﹣25k+6=0，解得23k =或38k =． （7分）（2）由题设，|BO|=1，|AO|=2．由（1）知，E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2）， 不妨设y 1=kx 1，y 2=kx 2，由①得x 2＞0，根据E 与F 关于原点对称可知y 2=﹣y 1＞0， 故四边形AEBF 的面积为S=S △OBE +S △OBF +S △OAE +S △OAF=12211111||()||||||()2222OB x OB x OA y OA y ⋅-+⋅+⋅+⋅- =212111||()||()22OB x x OA y y ⋅-+⋅-（9分）=x 2+2y= （12分）21．解：（1）1()g x k x'=+ （1分） 0k ≥时'()0g x >在(0,)+∞恒成立，则()g x 的增区间是(0,)+∞. （2分）0k <时11'()00g x k x x k >⇒>-⇒<<-， 则()g x 的增区间是1(0,)k -； 11'()0g x k x x k <⇒<-⇒>- ，则()g x 的减区间是1(,)k-+∞. （4分）（2）若()()f x g x ≥恒成立，即1ln xaxe x x -≥+ 则ln 1xx x a xe++≥恒成立 （5分） 设ln 1()x x x h x xe ++=，()()()22(1)(ln 1)(1)(ln )'()x x x x x x x e xe e x x x e x x h x xe xe +-++++--== （6分） '()0(ln )0ln 0h x x x x x >⇒-+>⇒+<，令/1()ln ,()10x x x x xμμ=+=+>， 则()x μ在(0,)+∞上递增，且11(1)10,()10e eμμ=>=-+<，所以(0,1)t ∃∈，使得()ln 0t t t μ=+=， （9分）/(0,),()0()>0,()(0,)x t x h x h x t μ∴∈<即在上递增，同理，()(+)h x t ∞在，上递减， 所以max ln ln 111()=h(t)=11.t tt t h x te te t t-++===，所以 1.a ≥ （12分）22．解：（1）证明：连接BP ，因为ABADAP AB AD AP AB =∴⋅=,2， 又因为APB ABD PAB BAD ∆∆∴∠=∠~,，所以,APB ABC ∠=∠ （3分） 因为APB ACB ∠=∠，所以ACB ABC ∠=∠，所以AB=AC ． （5分）（2）由（1）知AB=AC ，因为060=∠ABC ，所以△ABC 是等边三角形，所以060=∠BAC ． 因为P 为弧AC 的中点，所以03021=∠=∠=∠ABC PAC ABP ，所以090=∠BAP ， （7分） 所以BP 是⊙O 的直径，所以BP=2，所以121==BP AP ． 在Rt △PAB 中，由勾股定理得3=AB ，所以23AB AD AP==． （10分） 23．解：（1）利用曲线C 的参数方程得普通方程是：22143x y +=，轨迹是椭圆，其焦点坐标分别是：12(1,0),(1,0)F F -，故2AF K =A 2F 的方程是：1)y x =-． （2分）所以sin()3πρθ+=． （5分）（2）P 是椭圆上任一点（2cos αα），α∈R ，所以1(12cos ,),PF αα=-- 2(12cos ,)PF αα=-， 所以12||.||(PF PF =-==24cos α- （7分）因为α∈R ，所以cos2α∈[0，1]，所以24cos α-∈[3，4]． 所以12||.||PF PF 的取值范围是[3,4]. （10分）24．解：（1）3,2()|1||2|21,213.1x f x x x x x x <-⎧⎪=--+=---≤<⎨⎪-≥⎩（3分） 函数()f x 的图像为：通过图像可以看出函数的最大值是3，最小值是-3．（5分）（2）由（1）知，函数()f x 的最小值是-3，，若关于x 的不等式()||4f x m ≥-恒成立，则3||4m -≥-，即1||m ≥，解得11m -≤≤，故实数m 的取值范围是[-1,1]． （10分）。

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（二）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（共12小题）1.已知集合{}21A x x =≤，{}lg 1B x x =≤，则A B =（ ）A. []0,1B. (]0,1C. ()0,1D. []1,10-【答案】B 【解析】 【分析】先分别计算集合A 和B ，再计算AB【详解】{}{}21=-11A x x x x =≤≤≤{}{}lg 1010B x x x x =≤=<≤ {}01A B x x ⋂=<≤故答案选B【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题型.2.已知向量,a b 满足a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则2a b +＝（ ）A.B. C. 5 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案.【详解】根据题意，a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则有a b ⋅=2+y ＝0，解可得y ＝﹣2，即b =（1，﹣2），则2a b +=（4，﹣3），故2a b += =5； 故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.3.已知复数z 满足（1+i ）2•z ＝1﹣i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，由此求得z ，进而求得z 对应点的坐标及其所在象限. 【详解】由（1+i ）2•z ＝1﹣i ，得z ()()2211111(1)2222i i i i i i i i ----====--+-，则1122z i =-+， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为（12-，12），位于第二象限． 故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 4.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x y +的值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．【详解】由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x＝3．由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y+91+91+96＝597+y，又乙班学生的平均分是86，总分等于86×7＝602．所以597+y＝602，解得y＝5，可得x+y＝8．故选B．【点睛】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x+y的值．5.等比数列{a n}中，a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，则a3•a9等于（）A. ﹣3B. 3C. ﹣4D. 4【答案】B【解析】【分析】根据根与系数关系关系列方程，结合等比数列的性质求得39a a⋅的值.【详解】∵a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，∴a5、a7是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴a5•a7＝3，由等比数列的性质可得：a3•a9＝a5•a7＝3．故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查根与系数关系，属于基础题.6.函数3()x xxf xe e-=-的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式求得函数奇偶性，以及()1f 即可容易求得结果.【详解】因为()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()3x xx f x f x e e--==-，故()f x 为偶函数， 排除C ，D ，验算特值11(1)=0f e e-<-，排除A ,故选：B【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题. 7.设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A. ,//,a b αβαβ⊥⊥ B. ,,//a b αβαβ⊥⊥ C. ,,//a b αβαβ⊂⊥ D. ,//,a b αβαβ⊂⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件的判断，即从选项中找出能推出a b ⊥成立的即可，由空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得出答案.【详解】A. 由,//,a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（1），所以不正确. B. 由,,//a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（2），所以不正确. C. 由,//b βαβ⊥，可得b α⊥，又,a α⊂所以有a b ⊥，所以正确. D. 由,//,a b αβαβ⊂⊥，如图（3），所以不正确. 故选：C【点睛】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，考查充分条件的判断和空间想象能力，属于基础题.8.已知直线y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f （x ）的单调递增区间为（ ） A. 566k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， B. 51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， C. 51166k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， D. 511612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求得ω，再根据单调区间的求法，求得()f x 的单调区间. 【详解】∵y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T ＝π，即2πω=π，得ω＝2，则f （x ）＝2sin （2x 3π-），由2k π2π-≤2x 3π-≤2k π2π+，k ∈Z ，得k π12π-≤x ≤k π512π+，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[k π12π-，k π512π+]，k ∈Z ， 故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题.9.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f （﹣4）＝0，则使得xf （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A. （﹣4，4）B. （﹣4，0）∪（0，4）C. （0，4）∪（4，+∞）D. （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【答案】D 【解析】根据函数的单调性和奇偶性，求得不等式()x f x ⋅的解集.【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f （x ）是在（﹣∞，0）上是增函数，又f （﹣4）＝0，∴f （4）＝0，由xf （x ）＞0，得()00x f x ⎧⎨⎩＞＞或()00x f x ⎧⎨⎩＜＜，∴x ＞4或x ＜﹣4．∴x 的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）． 故选：D【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.10.若函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ）A. （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B. （﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C. [﹣1，0）D. [0，+∞）【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 在(],0-∞没有零点列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ， 所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.11.已知双曲线2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）与椭圆22182x y +=1有相同焦点F 1，F 2，离心率为43．若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为12，N 为线段MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于（ ） A. 4 B. 3C. 2D.23【答案】B 【解析】根据双曲线的定义求得NO的表达式，根据椭圆方程求得双曲线的c，结合双曲线的离心率求得a，由此求得NO的值.【详解】如图，∵N为线段MF2的中点，∴|NO|12=|MF1|12=（|MF2|﹣2a）＝6﹣a，∵双曲线2222x ya b-=1（a＞0，b＞0）的离心率为e43=，∴43ca=，∵椭圆22182x y+=1与双曲线2222x ya b-=1的焦点相同，∴c182=-=4，则a＝3，即6﹣a＝3，∴|NO|＝3．故选：B．【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，属于基础题.12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1 2②当32a=-时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．其中所有正确结论的序号是（）A. ①④B. ①③C. ②④D. ①②【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概型概率计算，判断①的周期性.根据直线332y x =--和圆()2211x y ++=的位置关系，判断②的正确性.根据线性规划的知识求得x y +的最大值，由此判断③的正确性.将45OPQ ∠=转化为过P 的两条切线所成的角大于等于90，由此求得OP 的取值范围，进而求得b 的取值范围，从而判断出④的正确性. 【详解】对于①，将y 轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半， 根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12，正确； 对于②，当32a =-时，直线()()33222322y ax a a x x x =+=+=-+=--,过点()()2,0,0,3--，所以直线2y ax a =+与白色部分在第I 和第IV 象限部分没有公共点.圆()2211x y ++=的圆心为()0,1-，半径为1，圆心()0,1-到直线332y x =--，即直线3260x y ++=2211332=>+，所以直线2y ax a =+与白色部分在第III 象限的部分没有公共点.综上所述，直线y ＝ax +2a 与白色部分没有公共点，②错误；对于③，设l ：z ＝x +y ，由线性规划知识可知，当直线l 与圆x 2+（y ﹣1）2＝1相切时，z 最大， 112z -=解得z 21=（12z =，③错误； 对于④，要使得∠OPQ ＝45°，即需要过点P 的两条切线所成角大于等于90，所以2245sin OP ≥︒=，即OP 2，于是22+b 2≤8，解得22b -≤≤．故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何概型概率计算，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知tanα＝3，π＜α32＜π，则cosα﹣sinα＝_____．【答案】5【解析】 【分析】根据tan 3α=，求cos ,sin αα的值，由此求得cos sin αα-的值.【详解】∵tanα＝3，π＜α32＜π，∴cosα==sinα==则cosα﹣sinα=+=故答案为：5【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.14.已知长方形ABCD 中，AB ＝1，∠ABD ＝60°，现将长方形ABCD 沿着对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则折后几何图形的外接球表面积为_____． 【答案】4π 【解析】 【分析】设出球心的位置，利用勾股定理列方程组，解方程组求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】长方形ABCD 中，AB ＝1，∠ABD ＝60°，可得BD ＝2，AD =作AE ⊥BD 于E ，可得AE •BD ＝AB •AD ，所以AE =BE 12===， 因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊂面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以AE ⊥面BCD ， 由直角三角形BCD 可得其外接圆的圆心为斜边BD 的中点O 1，且外接圆的半径r 12BD ==1，过O 1作OO 1垂直于底面BCD ，所以EO 1＝O 1B ﹣BE ＝11122-=， 所以OO 1∥AE ，取三棱锥外接球的球心O ，设外接球的半径为R ，作OF ⊥AE 于F ，则四边形EFOO 1为矩形，O 1E ＝OF ，EF ＝OO 1，则OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝R ， 在△AFO 中，OA 2＝AF 2+OF 2＝（AE ﹣EF ）2+EO 12即R 2＝（32-OO 1）214+；①在△BOO 1中：OB 2＝OO 12+EO 12，即R 2＝OO 1214+；② 由①②可得R 2＝1，OO 1＝0，即外接球的球心为O 1，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π， 故答案为：4π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的有关计算，属于中档题.15.若12,x x 是函数2()74ln f x x x x =-+的两个极值点，则12x x =____，12()()f x f x +=____. 【答案】 (1). 2 (2). 654ln 24- 【解析】 【分析】根据极值点的定义，即可由方程的根与系数之间的关系，即可求得12x x 以及12x x +，再结合对数运算即可容易求得结果. 【详解】2121247()2702740,22f x x x x x x x x x '=-+=⇒-+=⇒+==，2212111222()()74ln 74ln f x f x x x x x x x +=-++-+21212121265()27()4ln()4ln 24x x x x x x x x =+--++=-. 故答案为：2；654ln 24-. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，涉及对数运算，属综合基础题.16.已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n 2+2a n （n ∈N*），设b n ＝（﹣1）n •a n a n +1，T n 为数列{b n }的前n 项和，则T 20＝_____． 【答案】880 【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由此求得n b 的表达式，利用并项求和法求得20T . 【详解】∵4S n ＝a n 2+2a n （n ∈N*），当n ＝1时，211142S a a =+，解得a 1＝2或0（舍去），当n ≥2时，4S n ＝a n 2+2a n ①，4S n ﹣1＝a n ﹣12+2a n ﹣1②，①﹣②得：2211422n n n n n a a a a a --=+--，整理得：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0，即a n ﹣a n ﹣1＝2，∴数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，∴a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ，∴b n ＝（﹣1）n •a n a n +1＝4×（﹣1）n n （n +1），∴T 20＝4×[﹣2+6﹣12+20﹣30+42﹣……﹣380+420]＝4×[（﹣2+6）+（﹣12+20）+（﹣30+42）+……+（﹣380+420）]＝4×（4+8+12+……+40）＝4()104402⨯+⨯=880，故答案为：880【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查并项求和法，属于中档题. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”．笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x 给宣纸确定质量等级，如表所示：公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；（Ⅱ）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元）．【答案】（Ⅰ）35；（Ⅱ）400万元 【解析】【分析】（I ）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（II ）根据频率分布直方图求得一刀宣纸的利润，由此估计出年利润.【详解】（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）约中抽出一个容量为5的样本， 设抽出的2张正牌为A ，B ，2张副牌为a ，b ，1张废品为t ，从中任取两张，基本事件有： AB ，Aa ，Ab ，At ，Ba ，Bb ，Bt ，ab ，at ，bt ，共10种， 其中无废品包含的基本事件有：AB ，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，ab ，共6种，∴其中无废品的概率p 63105==． （Ⅱ）由频率分布直方图得：一刀（100张）宣纸有正牌宣纸100×0.1×4＝40张， 有副牌宣纸100×0.05×4×2＝40张，有废品100×0.025×4×2＝20张， ∴该公司一刀宣纸的利润为40×10+40×5+20×（﹣10）＝400元，∴估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元．【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查频率分布直方图的运用，属于基础题.18.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a ＝2b cos C +c sin B ．（Ⅰ）求tan B ；（Ⅱ）若C 4π=，△ABC 的面积为6，求BC ．【答案】（Ⅰ）tanB ＝2；（Ⅱ）32【解析】【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得tan B 的值.（II ）由tan B 的值求得,cos sinB B 的值，从而求得sin A 的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得a 也即BC 的值.【详解】（Ⅰ）∵2a ＝2b cos C +c sin B ，利用正弦定理可得：2sin A ＝2sin B cos C +sin C sin B ，又sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ，化为：2cos B ＝sin B ≠0，∴tanB ＝2．（Ⅱ）∵tan B ＝2，B ∈（0，π），可得sin B 5=，cos B 5=． ∴sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C 223102255=⨯+⨯=． ∴a b sinA sinB =，可得：a 3103221045b b =⨯=．又12ab sin 4π=6，可得b 122a =． ∴a 321224a=⨯，即218a =，解得BC a =＝32． 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.19.四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，P A ＝CD ＝2，P A ⊥平面ABCD ，E 在棱PB 上．（Ⅰ）求证：AC ⊥PD ；（Ⅱ）若V P ﹣ACE 29=，求证：PD ∥平面AEC ． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（I ）过A 作AF DC ⊥，判断出四边形ABCF 为则方程，由此证得AC DA ⊥，结合AC PA ⊥证得AC ⊥平面PAD ，从而证得AC PD ⊥.（II ）利用题目所给体积求得E 到平面ABCD 的距离，连接DB 交AC 于O ，连接OE ，通过证明::PB EB DB OB =，证得//PD OE ，由此证得//PD 平面AEC .【详解】（Ⅰ）过A 作AF ⊥DC 于F ，∵AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，∴四边形ABCF 为正方形，则CF ＝DF ＝AF ＝1，∴∠DAC ＝90°，得AC ⊥DA ，又P A ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥P A ，又P A ，AD ⊂平面P AD ，P A ∩AD ＝A ，∴AC ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，∴AC ⊥PD ；（Ⅱ）设E 到平面ABCD 的距离为h ，则V P ﹣ACE ()112112329h =⨯⨯⨯⨯-=，得h 23=． 又P A ＝2，则PB ：EB ＝P A ：h ＝3：1．∵BC ＝1，CD ＝2，∴DB 5=，连接DB 交AC 于O ，连接OE ， ∵△AOB ∽△COD ，∴DO ：OB ＝2：1，得DB ：OB ＝3：1，∴PB ：EB ＝DB ：OB ，则PD ∥OE ．又OE ⊂平面AEC ，PD ⊄平面AEC ，∴PD ∥平面AEC ．【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为x 2＝2py （p ＞0），其焦点为F ，过点M （0，4）的直线l 与抛物线相交于P 、Q 两点且△OPQ 为以O 为直角顶点的直角三角形．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设点N 为曲线E 上的任意一点，证明：以FN 为直径的圆与x 轴相切．【答案】（Ⅰ）x 2＝4y ；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（I ）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和抛物线方程，化简后写出根与系数关系，根据三角形OPQ 是直角三角形，结合向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得p ，由此求得抛物线方程.（II ）设出N 的坐标，求得线段NF 中点N 的纵坐标，结合抛物线的性质，证得结论成立.【详解】（Ⅰ）由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +4，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程242y kx x py=+⎧⎨=⎩，整理可得：x 2﹣8kpx ﹣8p ＝0， 所以x 1x 2＝﹣8p ，所以y 1y 222212122()224x x x x p p p=⋅==16， 因为△OPQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以OP OQ ⋅=0，即x 1x 2+y 1y 2＝0，所以﹣8p +16＝0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：x 2＝4y ；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得F （0，1），准线方程为：y ＝﹣1，设N （m ，n ），则NF 的中点M 的纵坐标12n +，即以NF 为直径的圆的圆心M 到x 轴的距离为12n +， 而由抛物线的性质可得|NF |＝n +1，即以NF 为直径的圆的半径为12n +， 所以可得圆心M 到x 轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN 为直径的圆与x 轴相切．【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线方程的求法，属于中档题.21.已知函数f （x ）＝axe x ，g （x ）＝x 2+2x +b ，若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）都过点P （1，c ）．且在点P 处有相同的切线l ．（Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式k [ef （x ）]≥g （x ）对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）4x ﹣y ﹣2＝0；（Ⅱ）1e ≤k ≤e 【解析】【分析】（I ）根据切点和斜率列方程，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得切线方程.（II ）构造函数()()()h x k ef x g x =-⎡⎤⎣⎦，利用导数研究()h x 的单调性，对k 进行分类讨论，结合()0h x ≥恒成立，由此求得k 的取值范围.【详解】（Ⅰ）∵f ′（x ）＝ae x （x +1），g ′（x ）＝2x +2，由已知可得()()()()'1'111f g f g c ⎧=⎪⎨==⎪⎩， 即243ae ae b c=⎧⎨=+=⎩，解得a 2e =，b ＝﹣1，c ＝2，∴切线的斜率g ′（1）＝4， ∴切线l 的方程为y ﹣2＝4（x ﹣1），即4x ﹣y ﹣2＝0，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f （x ）＝2xe x ﹣1，g （x ）＝x 2+2x ﹣1，设h （x ）＝k [ef （x ）]﹣g （x ）＝2kxe x ﹣（x 2+2x ﹣1），即h （x ）≥0，对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h （x ）min ≥0，∴h ′（x ）＝2k （x +1）e x ﹣2（x +1）＝2（x +1）（ke x ﹣1），①当k ≤0时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h （1）＝2ke ﹣2＜0，显然h （x ）≥0不恒成立，②当k ＞0时，h ′（x ）＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣lnk ，（i ）当﹣lnk ＜﹣1时，即k ＞e 时，h ′（x ）≥0，h （x ）单调递增，又h （x ）min ＝h （﹣1）2k e =-+2()2e k e-=＜0，显然h （x ）≥0不恒成立， （ii ）当﹣lnk ＝﹣1时，即k ＝e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴h （x ）min ＝h （﹣1）2k e =-+2()2e k e-==0，即h （x ）≥0恒成立， （iii ）当﹣lnk ＞﹣1时，即0＜k ＜e 时，当x ∈[﹣1，﹣lnk ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（﹣lnk ，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴h （x ）min ＝h （﹣lnk ）＝-2lnk ﹣（ln 2k ﹣2lnk ﹣1）＝1﹣ln 2k ≥0，解得1e ≤k ≤e ，∴1e ≤k ＜e ， 综上所述得：1e≤k ≤e ． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，直线l的参数方程为235x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（2）设点过P 为曲线C 上的动点，点M 和点N 为直线l 上的点，且满足PMN 为等边三角形，求PMN 边长的取值范围.【答案】（1）C：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α参数，02πα≤≤），l ：280x y +-=；（2）,1515⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）利用公式即可容易化简曲线C 的方程为直角坐标方程，再写出其参数方程即可；利用消参即可容易求得直线的普通方程；（2）设出P 的坐标的参数形式，将问题转化为求点P 到直线距离的范围问题，利用三角函数的值域求解即可容易求得结果.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭， 故可得2223sin 12ρρθ+=，则()222312x yy ++=， 整理得223412x y +=，也即22143x y +=， 由0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可得0,0x y ≥≥，故其参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数，02πα≤≤）；又直线的参数方程为23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故可得其普通方程为280x y +-=.（2）不妨设点P的坐标为()2cos αα，则点P 到直线280x y +-=的距离d ==0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 容易知4sin 86y πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[]6,4--，故可得d ∈⎣⎦. 则三角形PMN，故其范围为1515⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用参数求点到直线的距离的范围，属综合中档题.23.已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，()3g x x =+． （Ⅰ）当x ∈R 时，有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求+a b 的最小值．【答案】（Ⅰ）(],5m ∈-∞（Ⅱ）()min 7a b += 【解析】【分析】(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；(II)由不等式()0f x ≥的解集为[]1,3可求出m 的值，代入231ab a b m --=-并用a 表示b ，再把b 代入a b +利用基本不等式求出最小值.【详解】解：（Ⅰ）由题意得：()()f x g x ≤在x R ∈上恒成立，23m x x ∴--≤+在x R ∈上恒成立．()min 32m x x ∴≤++-， 又()()32235x x x x ++-≥--+=，当且仅当()()230x x -+≤，即[]3,2x ∈-时等号成立． 5m ∴≤，即(],5m ∈-∞．（Ⅱ）令()0f x ≥，2x m ∴-≤，若0m ≤时，∴解集为∅，不合题意；若0m >时，2m x m ∴-≤-≤，[]2,2x m m ∴∈-+，又[]1,3x ∈，1m ∴=，∴综上所述：1m =，22ab a b ∴--=，221a b a +∴=- 00a b >⎧⎨>⎩，∴解得1a >，2241311a a b a a a a +∴+=+=-++--，37a b ∴+≥=，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立， 此时2241a b a +==-．∴当3a =，4b =时，()min 7a b +=． 【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.。

（全国卷Ⅲ，衡水金卷）2021年高三数学先享题信息卷（二）文本试卷共4页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{x|3－x>0}，则A∩B＝A.[1，＋∞)B.(3，＋∞)C.[1，3)D.[1，3]2.设z＝(1＋i)(3i－1)，则z＝A.4＋2iB.－4＋2iC.4－2iD.－4－2i3.已知a＝134 ，b＝log215，c＝log310，则A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b4.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中B层人数是A.12B.24C.32D.36 5.若等差数列{a n }的前21项和S 21＝63，则a 6＋a 15－a 10＝A.2B.3C.4D.56.“m>2”是“∀x>0，x ＋16x≥5－m ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.中国古典乐器一般按“八音”分类。