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1.SI J ds =⎰⎰2. 毕奥-萨伐尔定律:34Idl r dB rμπ⨯=034LI r B dl rμπ⨯=⎰3. 有限长载流导线的磁感应强度()()021021sin sin 4cos cos 4 I B z Izμθθπμββπ=-=- !!!zP 1无限长载流导线的磁感应强度 02IB zμπ=!!!4. 载流线圈在轴线上任意一点的磁感应强度()2032222IRB Rzμ=+ !!!圆心处的磁感应强度02IB Rμ=!!!5. 有限长螺线管内部任意一点的磁感应强度()021cos cos 2nIB μθθ=-无限长直螺线管内的磁感应强度 0B n I μ=!!!6. 运动电荷的磁场034q v rB rμπ⨯= 7. 磁偶极子与磁矩磁偶极子：载流线圈（任意形状）。
磁矩：m IS ISn ==其中S Sn = ，n 为面元S 的法线方向单位矢量，与I 的环绕方向成右手螺旋关系。
8. 稳恒磁场的高斯定理 0SB d s =⎰⎰9. 稳恒磁场的安培环路定理0iiLB d l Iμ=∑⎰ 两项注意:(1)虽然B的环量仅与L内的电流有关，但B本身却取决于L 内、外的所有电流。
(2) 当i I 的流动方向与L 的环绕方向成右手螺旋关系时，0i I >，反之0i I <。
10. 无限长载流圆柱体020()2()2Irr R R B Ir R rμπμπ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩11. 无限大载流平面的磁感应强度大小：02B μα=（其中α为面电流线密度）；方向：右手螺线关系。
12. 安培定律－磁场对载流体的作用dF Idl B =⨯13. 在一均匀外磁场中，如果一任意形状的有限平面曲线电流的平面垂直于外磁场，那么平面电流所受到的安培力的大小与由起点到终点连接而成的直线电流所受到的安培力一样，方向垂直于从起点到终点的连线。
推论：处于均匀外磁场中的任意平面闭合载流回路，所受到的安培力=0，但要受到一力矩的作用L m B =⨯处于非均匀外磁场中的闭合载流线圈受到的安培力≠0。
第14章 稳恒电流的磁场 参考答案一、选择题1(B)，2(A)，3(D)，4(C)，5(B)，6(D)，7(B)，8(C)，9(D)，10(A) 二、填空题(1). 最大磁力矩，磁矩 ; (2). πR 2c ； (3). )4/(0a I μ； (4).RIπ40μ ；(5). μ0i ，沿轴线方向朝右. ； (6). )2/(210R rI πμ， 0 ; (7). 4 ; (8).B I R2，沿y 轴正向； (9). ωλB R 3π，在图面中向上； (10). 正，负.三 计算题1. 将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D 点的磁感强度B的大小．解：其中3/4圆环在D 处的场 )8/(301a I B μ=AB 段在D 处的磁感强度 )221()]4/([02⋅π=b I B μBC 段在D 处的磁感强度)221()]4/([03⋅π=b I B μ1B、2B 、3B 方向相同，可知D 处总的B 为)223(40baI B +ππ=μ2. 半径为R 的导体球壳表面流有沿同一绕向均匀分布的面电流，通过垂直于电流方向的每单位长度的电流为K ．求球心处的磁感强度大小．解：如图θd d d KR s K I ==2/32220])cos ()sin [(2)sin (d d θθθμR R R I B +=32302d sin R KR θθμ=θθμd sin 2120K =⎰π=020d sin 21θθμK B ⎰π-=00d )2cos 1(41θθμK π=K 041μ3. 如图两共轴线圈，半径分别为R 1、R 2，电流为I 1、I 2．电流的方向相反，求轴线上相距中点O 为x 处的P 点的磁感强度． 解：取x 轴向右，那么有2/322112101])([2x b R I R B ++=μ 沿x 轴正方向 2/322222202])([2x b R I R B -+=μ 沿x 轴负方向21B B B -=[2μ=2/32211210])([x b R I R ++μ]])([2/32222220x b R I R -+-μ若B > 0，则B方向为沿x 轴正方向．若B < 0，则B的方向为沿x 轴负方向．4．一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小，由安培环路定 律可得： )(220R r rRIB ≤π=μ因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通Φ1为⎰⎰⋅==S B S B d d 1 Φr r RI Rd 2020⎰π=μπ=40Iμ在圆形导体外，与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为)(20R r rIB >π=μ因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通Φ2为⎰⋅=S Bd 2Φr r I R Rd 220⎰π=μ2ln 20π=I μ穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40I μ2ln 20π+I μ5. 一半径为 4.0 cm 的圆环放在磁场中，磁场的方向对环而言是对称发散的，如图所示．圆环所在处的磁感强度的大小为0.10 T ，磁场的方向与环面法向成60°角．求当圆环中通有电流I =15.8 A 时，圆环所受磁力的大小和方向．1 m解：将电流元I d l 处的B分解为平行线圈平面的B 1和垂直线圈平面的B 2两分量，则 ︒=60sin 1B B ； ︒=60cos 2B B分别讨论线圈在B 1磁场和B 2磁场中所受的合力F 1与F 2．电流元受B 1的作用力l IB lB I F d 60sin 90sin d d 11︒=︒=方向平行圆环轴线．因为线圈上每一电流元受力方向相同，所以合力⎰=11d F F ⎰π︒=Rl IB 20d 60sin R IB π⋅︒=260sin = 0.34 N ，方向垂直环面向上．电流元受B 2的作用力l IB lB I F d 60cos 90sin d d 22︒=︒= 方向指向线圈平面中心． 由于轴对称，d F 2对整个线圈的合力为零，即02=F ． 所以圆环所受合力 34.01==F FN ， 方向垂直环面向上．6. 如图所示线框，铜线横截面积S = 2.0 mm 2，其中OA 和DO ＇两段保持水平不动，ABCD 段是边长为a 的正方形的三边，它可绕OO ＇轴无摩擦转动．整个导线放在匀强磁场B中，B 的方向竖直向上．已知铜的密度ρ = 8.9×103 kg/m 3，当铜线中的电流I =10 A 时，导线处于平衡状态，AB段和CD 段与竖直方向的夹角α =15°．求磁感强度B的大小．解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO ＇轴而言)． 重力矩 αραρs i n s i n 2121gSa a a gS a M +⋅=αρsin 22g Sa =B 2d l磁力矩ααcos )21sin(222B Ia BIa M =-π=平衡时 21M M = 所以 αρsin 22g Sa αcos 2B Ia = 31035.9/tg 2-⨯≈=I g S B αρT7. 半径为R 的半圆线圈ACD 通有电流I 2，置于电流为I 1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I 1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘．求半圆线圈受到长直线电流I 1的磁力．解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为 )2/(10r I B π=μ取xOy 坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为：θμsin 210R I B π=， 方向垂直纸面向里，式中θ 为场点至圆心的联线与y 轴的夹角．半圆线圈上d l 段线电流所受的力为：l B I B l I F d d d 22=⨯= θθμd sin 2210R R I I π=θsin d d F F y =． 根据对称性知： F y =0d =⎰y F θcos d d F F x = ，⎰π=0x x dF F ππ=2210I I μ2210I I μ=∴半圆线圈受I 1的磁力的大小为： 2210I I F μ=，方向：垂直I 1向右．I 2I 1A DC8. 如图所示．一块半导体样品的体积为a ×b ×c ．沿c 方向有电流I ，沿厚度a 边方向加有均匀外磁场B (B的方向和样品中电流密度方向垂直)．实验得出的数据为 a ＝0.10 cm 、b ＝0.35 cm 、c ＝1.0 cm 、I ＝1.0 mA 、B ＝3.0×10-1 T ，沿b 边两侧的电势差U ＝6.65 mV ，上表面电势高．(1) 问这半导体是p 型(正电荷导电)还是n 型(负电荷导电)？(2) 求载流子浓度n 0 (即单位体积内参加导电的带电粒子数)．解：(1) 根椐洛伦兹力公式：若为正电荷导电，则正电荷堆积在上表面，霍耳电场的方向由上指向下，故上表面电势高，可知是p 型半导体。
第十章 稳恒电流的磁场1、四条相互平行的无限长直载流导线，电流强度均为I ，如图放置，若正方形每边长为2a ，求正方形中心O 点的磁感应强度的大小和方向。
解：43210B B B B B r r r r r +++=无限长载流直导线产生的磁感应强度 rI2B 0πμ=由图中的矢量分析可得a 2I a 2I22B B 0042πμ=πμ=+a I45cos a2I 2B 0000πμ=⋅πμ= 方向水平向左2、把一根无限长直导线弯成图 (a)、(b) 所示形状，通以电流I ，分别求出O 点的磁感应强度B 的大小和方向。
解：（a ）（b ）均可看成由两个半无限长载流直导线1、3和圆弧2组成，且磁感应强度在O 点的方向相同 （a ）方向垂直纸面向外。
)38(R16I43R 4I R 4I R 4I B 00000π+πμ=π⋅πμ+πμ+πμ=（b ）由于O 点在电流1、3的延长线上，所以0B B 31==r r方向垂直纸面向外。
R8I323R I 4B B 0020μ=π⋅πμ==14（a ） I（b ）3、真空中有一边长为l 的正三角形导体框架，另有互相平行并与三角形的bc 边平行的长直导线1和2分别在a 点和b 点与三角形导体框架相连 (如图) 。
已知直导线中的电流为I ，求正三角形中心点O 处的磁感应强度B 。
解：三角形高为 l l360sin h .0==4 它在 θθπμ=θ=d sin R 2Isin dB dB 20x θθπμ−=θ−=d cos R2I cos dB dB 20yRI d sin R2I dB B 20200x x πμ=∫θθπμ∫==π0d cos R2I dB B 020y y =∫∫θθπμ−==π)T (1037.6100.10.5104RI B B 522720x P −−−×=××π××π=πμ==∴轴正方向。
1. 体电流密度矢量：()i i iJ v nqv q v ρ=∑或或2.SI J ds =⎰⎰3. 毕奥-萨伐尔定律:34Idl r dB rμπ⨯=34LI r B dl rμπ⨯=⎰4. 有限长载流导线的磁感应强度()021cos cos 4I B zμββπ=- !!!注意：1β与2β分别为载流导线初末两端与场点的连线与电流反方向的夹角。
zP 1无限长载流导线的磁感应强度 02IB zμπ= !!!例2 求载流线圈在其轴线上的磁感应强度分布。
假设线圈半径为R，载有的电流强度为I。
l载流线圈在轴线上的磁场例3 求载流密绕长直螺线管内轴线上的磁感应强度分布，设螺线管半径为R，通有电流I，单位长线圈匝数为n。
密绕长直螺线管内的磁场密绕长直螺线管内的磁场分布例1 在氢原子中，按经典理论，电子以恒速6v=⨯绕2.210m/s核作半径为11=⨯的圆周运动。
求运动的电子在r-5.310m轨道中心所产生的磁感应强度与磁矩。
()e-（1）磁力线的特点：（a）磁力线是一些与电流相套链的闭合曲线。
长直载流导线周围的磁场载流线圈周围的磁场螺线管周围的磁场电流与磁力线的方向互成右手螺旋关系（b ） 磁力线上任意一点的切线方向，代表该点的磁感应强度矢量B的方向。
（c ） 磁力线彼此永不相交。
（d ） 磁场中任意一点磁感应强度的大小 0d l i md s n n B s s ⊥∆→⊥⊥∆==∆垂直通过s ⊥∆的磁力线根数为n ∆B的大小与磁力线的疏密程度成正比。
密集处，B 变大；反之，稀疏处，B变小。
如前图，12B B。
长直载流导线周围磁场的环路积分例1 半径为R 的无限长圆柱形导线，通有稳恒电流I ，设I 在导线内均匀分布，求空间各点的磁感应强度B。
例2 求无限长直密绕螺线管内外的磁感应强度分布。
设螺线管内通有电流I，单位长线圈匝数为n。
L1无限长直载流螺线管的磁场例 3 如图所示，在xy 平面内沿x 轴方向的面电流密度为i αα= ，求空间各处的磁感应强度分布。
第 28 次课 日期 周次 星期 学时：2内容提要：第八章 稳恒电流的磁场§8.1 毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律 一． 磁的基本现象 二． 磁场三． 磁感应强度矢量 四． 毕—萨定律五． 毕——萨定律的应用 目的要求：1．理解电流产生磁场的规律：毕奥——萨伐尔定律，了解低速匀速运动点电荷产生磁场的规律。
2．掌握描述磁场的场参量：磁感应强度。
3．掌握场量叠加原理，能计算一些简单问题中的场量。
重点与难点:1.毕——萨定律的理解；2.能用毕—萨定律求一些简单问题的B教学思路及实施方案： 本次课应强调：1． 毕奥——萨伐尔定律是电流产生磁场的基本规律，是矢量积分。
2． 直线电流的磁场和圆电流在轴线上的磁场是用毕奥——萨伐尔定律计算电流产生磁场的典型例题。
其结论不仅可以计算折线电流和圆电流在圆心处的磁场，还可以计算以此结论为基础的电流的磁场，例如例题1的计算。
3． 低速运动电荷的磁场是以电流的磁场计算公式为基础的。
应重点介绍其电流强度为：qnvs I教学内容：§8.1 毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律 一．磁的基本现象1． 两个永久磁铁的磁极间的相互作用 2． 电流和电流间的相互作用磁现象的本质都是由运动的带电粒子所产生的，例如，根据安培的分子电流假设，磁铁的磁现象来源于分子电流。
二．磁场1。
磁的相互作用是通过场来实现的， 磁铁 磁场 磁铁 电流 磁场 电流 磁场的物质性：磁场对磁场中的其它运动电荷或载流导体有磁力的作用，说明磁场具有动量； 磁场对磁场中的其它运动电荷或载流导体能做做功，说明磁场具有能量。
三． 磁感应强度矢量1.B 的引入磁场的存在是通过对运动电荷或电流的作用显示的。
为了定量地描述磁场，如同电场，类似地引入磁感应强度作为磁场的描述参量，它可以通过磁场对作探测用的运动正点电荷0q (试验电荷)或载流小线圈(试验线圈)的力作用来确定。
磁感应强度常用字母B 表示，不难理解，它是一个矢量，是位置坐标的函数。
2.以下通过磁场对试验电荷的作用来定义磁感应强度B 。
实验表明：以速度v 相对磁场运动的试验电荷0q (0q ＞0)，在磁场中某位置处的受力不仅与电荷的电量0q 有关，还与它在该处相对磁场运动的方向和大小有关。
若仅改变0q 在此处的运动方向，发现存在两个特定方向，在其中一个方向上受力最大，记为m F ；在另一个方向上不受力，且这两个特定方向相互垂直。
洛伦兹力的一般表达式： B v q FqvB F m 因此定义磁场中该位置处的磁感应强度B 的大小为 qvF B m在实验室中，常采用磁场对试验线圈产生的力矩作用来测定磁场，相应也可以用类似方法来定义磁感应强度。
3.在国际单位制(SI)中，磁感应强度的单位称为特斯拉，用字母T 表示。
有时也用高斯 (G)作单位，G T 4101 四．毕—萨定律 运动电荷激发磁场，最通常和有实际意义的是稳恒电流所激发的磁场，叫做稳恒电流的磁场，简称稳恒磁场。
稳恒电流总是闭合的，又是多种多样的。
为求任意电流的磁场，先将电流分成许多小元段，称为电流元Id l。
毕—萨定律是关于电流元Id l与其所产生的磁场d B 间关系的实验定律。
其数学表达式如下：304r r l Id B d304r rl Id B （矢量积分），式中积分范围是线电流的分布区域。
五．毕——萨定律的应用方法:（1）.304r r l Id B d20sin 4r Idl dB（2）．建立坐标系，求x dB ，y dB ，z dB（3）．利用几何关系统一积分变量，积分求出zy x B B B ,,（4）．求大小：222z y x B B B B ，并判断其方向。
1．直线电流的磁场。
如图，设直线电流长为L ，在它周围任一场点P 到直线电流的距离为r ，P 的位置由r 和角度1 和2 确定。
在线电流上不同位置处的电流元在P 点产生的d B 是不相同的，故求解时首先必须取微元(电流元)，再求关于d B 的矢量积分。
这在思路上与静电场中运用点电荷的电场和场叠加原理求解带电体的电场是一致的。
20sin 4r Idl dB利用几何关系统一积分变量:cos sin ， cos a r ， atg l2cos ad dl d a I a Iad dB cos 4cos cos cos 402220)sin (sin 4cos 4120021aId a I dB B或者：)cos (cos 4210a IB特例：无限长载流直导线：)2(1，22得：a I B 20上述结论的意义：(1)可直接计算载流直导线、无限长载流直导线及折线电流的磁场； (2)可计算以长直电流为基础的其它电流的磁场。
例1 已知电流强度为I ，宽度为a 的无限长面电流，求与之共面且相距为a 的一点的B。
解：由无限长载流直导线的B ： )2(2200x a dI dB a IB因为dxa I dI ， 所以2ln 2)2(2000a I dx a x a I B a圆电流轴线上的磁场设圆半径为R ，所载电流为I 。
在圆电流上任取一电流元Id l ，它在轴上任一场点P 的d B (教材图6.4)：20),sin(4r r l d Idl dB分解dB ： dB 和pxdB 。
由于 dB 互相抵消，所以 ： sin 4sin 20r IdldB dB px2322203030)(2244x R IR R r IR dl r IR B B px 特例：圆心处，0 x ，R I B 20 ； N 匝，R I N B 20例题2.一塑料圆盘半径为R ，均匀带电q ，以角速度 转动，求圆心处的B解：dI x dB 20 ， 2)2(2xdx R q dIR q B dx R q dB 22020 三． 载流直螺线管轴线上的磁场。
导线均匀地密绕在圆柱面上形成的螺形线圈(如图)称为螺线管。
设螺线管长为L ，半径为R ，电流强度为I ，沿轴线单位长度线圈匝数为n 。
因为线圈是密绕的，所以可把它看成是由许多匝圆形线圈紧挨密排组成，载流后则视为密挨的一组圆电流。
)cos (cos 2120nI B由上式结果知，在载流螺线管轴线上 任一点的B 值与该点的位置及螺线管的 长度有关。
图6.6给出了B 沿轴线的值 分布以及磁感线的分布示意图。
对于无限长螺线管：由于＝0，2＝π，得nI B 0 。
4．低速运动电荷的磁场 电流实质上是由相对观察者有宏观定向运动的电荷形成，因此电流产生磁场，实质是运动电荷产生磁场。
以下从电流元与其磁场关系的毕——萨定律出发，导出运动电荷与其所激发的磁场的关系，严格说应是低速运动电荷的磁场，因为载流导体中自由电子的定向漂移速度仅为410 米／秒的数量级。
定义：n ----单位体积内的带电粒子数， q ----每个粒子的电量， s ----截面积， v ----粒子的速度电流强度：qnvs I ，电流元与其所激发的磁场关系为20),sin()(4r r v dl qnvs dB因为在电流元l Id内，有带电粒子数为：nsdl dN ，所以每个带电粒子的20),sin(4r r v qv dN dB B矢量表达式：304r rv q B第 29 次课 日期 周次 星期 学时：2内容提要：§8.2 磁场定理 一．磁通量二．磁场的高斯定理 三．安培环路定理 四．安培环路定理的应用 目的要求：理解磁场定理：磁场的高斯定理和安培环路定理，掌握用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。
重点与难点:1.m的计算：dsB ds B s d B sn ss m cos2.安培环路定理的理解3.求B的第二种方法（iiI l d B 0 ）教学思路及实施方案： 本次课应强调：1． 1． 磁场的高斯定理说明磁场是无源场。
用磁力线的术语来说，就是磁力线是无头无尾的闭合曲线。
2． 2． 环路上的磁感应强度B 是环路内、外所有电流所产生的磁场，但B 的环流由式 iiI l d B 0知仅与环路所包围的电流的代数和有关。
即没有穿过回路的电流对总场有贡献，但对环流没有贡献。
3． 3． 利用安培环路定理也可以方便地计算出某些具有对称性的载流体的磁场分布。
与利用高斯定理求解电场一样，利用安培环路定理求磁场分布一般也包含两步：首先依据电流的对称性分析磁场分布的对称性，然后选取合适的闭合路径(又称安培环路)，再利用安培环路定理计算B 。
4． 4． 无限长直均匀载流圆柱体外、无限长直均匀载流圆柱面外任一点的B等于把这些电流全部集中在轴线上无限长直均匀载流直导线所产生的B。
教学内容： §8.2 磁场定理 一.磁通量同于电场中电通量的定义，在磁场中若面元S 处的磁感应强度为B ，则定义ds B s d B d m cos为面元的磁感应通量，简称磁通量。
对任意有限曲面S ，其磁通量为dsB ds B s d B sn ss m cos积分遍及整个曲面。
在国际单位制(SI)中，磁通的单位为特斯拉·米，又称为韦伯(b W )。
例1如图所示，两根平行长直线电流1、2，相距为h ，分别载电流为1I 和2I ， 求：(a) 两线电流所在平面内与它们等距的点A 处的磁感应强度； (b) 通过图斜线所示面积的磁通量。
解：(a) 无限长载流直导线的磁感应强度：h I B 101，h IB 202 )(2102121I I h B B B B B B(b) ldrr h Ir I s d B d m )(2210))(ln ln (2)(2211212110210211r r h r h I r r r I l dr r h I r I l d r r r s m m二．磁场的高斯定理在电场中，由于有独立的电荷存在，因此电力线是从正电荷出发，到负电荷终止，因此电场中有高斯定理s e qs d E 0由毕—萨定律，已经知道电流元激发的磁场的磁感应线是自行封闭的曲线，那么对于任何闭合的空间曲面(高斯面)，无论它是否包含电流元在内，都将得到通过高斯面的磁通量恒等于零。
由叠加原理不难理解由电流元所组成的任意电流，在它们激发的磁场中，通过任意高斯面的磁通量也恒等于零，用数学式表示为s m s d B上式的含义是：在任何磁场中通过任意封闭曲面的磁通量总等于零。
这就是磁场的高斯定理，又叫磁通连续原理。
与电场的高斯定理比较，可知磁通连续反映了自然界中没有与电荷相对应的磁荷(或叫单独的磁极，简称磁单极)存在。
近代关于基本粒子的理论研究预言有“磁单极”存在，如：1931年英国物理学家狄拉克把量子力学和宏观电磁理论结合起来研究时提出：电荷的量子化是与磁单极子存在有关。
在八十年代，又有人根据大统一理论提出磁单极子应当存在。
但事到如今，除了个别事件可作例证外，还没有实验可以证明它的存在，因此磁单极是否存在还是有待探索的，尚不能给出定论。
