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量子力学习题问题详解量子力学习题答案1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解：由德布罗意波粒二象性的关系知：E h =ν；p h /=λ由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?），故：2e E P /(2)=μ69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm--λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。
解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为J 102.07K 1K J 10381.1232323123---?===kT E 于是有一维谐振子处于22/2()xx Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求：1.归一化系数；2.动能平均值。
（22x e dx /∞-α-∞=α?）解：1.由归一化条件可知：22*2x(x)(x)dx A e dx1A/1∞∞-α-∞-∞ψψ===α=取相因子为零，则归一化系数1/21/4 A/=απ2.2222222222222222222*2x/2x/2222x/2x/222x/22x/22222242x2T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx dA e()e dx2dxdA e(xe)dx2dxA{xe(xe)dx}2A x e dx A22∞∞-α-α-∞-∞∞-α-α-∞∞-α-α-∞∞∞-α-α-∞-∞∞-α-∞=-μ=--αμ=--α--αμ=α=μμ＝（）＝＝2222224x2224x x2222222421()xd(e)21A(){xe e dx}221AA()242∞-α-∞∞∞-α-α-∞-∞α-α=α---μαππααα--μμα若α，则该态为谐振子的基态，T4ω=解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。
一维谐振子的哈密顿量为：2222d 1H x2dx2=-+μωμ它的基态能量1E2=ω选择为参量，则:0dE 1d 2=ω；222dH d 2d 2()T d dx 2dx=-=-=μμ dH 20T d= 由F-H 定理知：0dE dH 2100T d d 2===ω 可得：1T 4=ω2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向(即向原点) 传播的球面波。
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
可编辑修改精选全文完整版填空题答案1．量子力学的最早创始人是 普朗克 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 能量量子化 假设，解决了黑体辐射 的问题。
2．按照德布罗意公式λνεh p h ==,，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1 ；能量比E 1：E 2=12:μμ；若粒子速度为v=0.9c ，按相对论公式计算，其德布罗意波长'λ=24202//p c c μλ+。
3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=kT 23（k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max =K h k 221031-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛λμ。
4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩小） 缩小1倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n =3,2,12/2222=n a n μπ，相应的波函数=)(x n ψ()a x ax n a n <<=0sin 2πψ和()a x x n≥≤=,00ψ。
5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E=eV eV 51.136.132-=；L= 2；L z = ，轨道磁矩M z =B M 。
6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ϕ，当它们是玻色子时波函数为),(21q q s ψ=()()()()[]玻色体系1221221121q q q q k k k k ϕϕϕϕ+；为费米子时),(21q q A ψ()()()()]费米体系12212211q q q q k k k k ϕϕϕϕ-7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是E n =()()+-'+'+∑≠020m nn m mn mnnE EH H E ，)(x n ψ = ()()() +-'+∑≠00020m m nnm mnn E EH ψψ，其中微扰矩阵元'mn H =()()⎰'τψψd H n m 00ˆ；而'nn H 表示的物理意义是 在未受微扰体系中，H '的平均值 。
1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a Nˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。
量子力学练习参考解答第一章 波函数与薛定谔方程1.1，1.2，1.3题解答略。
1.4（a ）设一维自由粒子的初态为一个Gauss 波包，222412)(1)0,(απαψxx p i e e x -=证明：初始时刻，0=x ，0p p =[]2)(12α=-=∆x x x[]α2)(12=-=∆p p p2 =∆⋅∆p x证：初始时刻012222===-+∞∞-+∞∞-⎰⎰dx exdx x x x απαψ2122222222απαψα===-∞+∞-∞+∞-⎰⎰dx exdx x x x()22122α=-=∆xx x)0,(x ψ的逆变换为⎰+∞∞--=dx ex p ipx/)0,(21)(ψπϕ＝⎰+∞∞---dx eeeipx x x p i/2412220)(121απαπ＝2220()22214(/)p p eααπ--22202()()p p p eααϕπ--=因此02)(p dp p p p ==⎰+∞∞-ϕ2222222)(0αϕ +==⎰∞+∞-p dp p p p()α22122 =-=∆p p p2 =∆⋅∆p x注：也可由以下式子计算p 和2p ：2222(,0)()(,0)(,0)()(,0)dp x ix dx dxd p x x dxdx ψψψψ+∞*-∞+∞*-∞=-=-⎰⎰1.5 设一维自由粒子的初态为)0,(x ψ，证明在足够长时刻后，()[]⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=t mx t imx i t m t x ϕπψ2exp 4exp ,2式中()()⎰+∞∞--=dx e x k ikx0,21ψπϕ是)0,(x ψ的Fourier 变换。
提示：利用()x e e x i i δπααπα=-∞→24/lim。
证：依照平面波的时刻转变规律 ()t kx i ikxe e ω-→ ， m k E 22==ω，任意时刻的波函数为()()()dk e k t x mtkkx i 2/221, -+∞∞-⎰=ϕπψ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎰∞+∞-22/2ex p 212t mx k m t i k dk etimx ϕπ（1） 那时刻足够长后（所谓∞→t ），上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取m t 2 =α ， （2）参照此题的解题提示，即得()()⎰+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≈k d t mx k k e t m et x i timx δϕππψπ4/2221,2⎪⎭⎫⎝⎛=-t mx e e t m t imx i ϕπ2/4/2 （3） 1.6 依照粒子密度散布ρ和粒子流密度散布j的表示式， ()()()t r t r t r ,,,*ψψρ=()()()()()[]t r t r t r t r mi t r j ,,,,2,**ψψψψ∇-∇-=概念粒子的速度散布v()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-∇-==t r t r t r t r m i j v ,,,,2**ψψψψρ 证明：0=⨯∇v 。
《量子力学》试题(A) 答案及评分标准一、简答题（30分，每小题5分） 1．何谓势垒贯穿？是举例说明。
答：微观粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。
它是一种量子效应，是微观粒子波粒二象性的体现。
例如金属电子冷发射、α衰变等现象都是由隧道效应产生的，利用微观粒子势垒贯穿效应的特性制造了隧道二极管。
2．波函数()t r ,ψ是应该满足什么样的自然条件？()2,t r ψ的物理含义是什么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。
()2,t r ψ表示在t 时刻r 附近τd 体积元中粒子出现的几率密度。
3．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。
若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。
将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
4．物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？答：物理上可观测量对应线性厄米算符。
线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与观测值比较。
5．坐标x 分量算符与动量x 分量算符x pˆ的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。
答：对易关系为[] i ˆ,=x px ，测不准关系为2≥∆⋅∆x p x 6．厄米算符F ˆ的本征值nλ与本征矢n 分别具有什么性质？ 答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系二、证明题：（10分，每小题5分）（1）证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证明：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=-及反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ ，得z y x i σσσˆˆˆ=上式两边乘z σˆ，得2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ （2）证明幺正变换不改变矩阵的本征值。
一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。
2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。
解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。
第四章力学量用算符表达与表象变换1 14.1 ）设A 与B 为厄米算符，则—AB BA 和 AB 一 BA 也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符2 2i分解为F =F . • iFF 与F_均为厄米算符，且证：i)1AB BA1 -AB BA 为厄米算符。
1 1 1二—B A - A B 二 丄 BA - AB 二丄 AB - BA -2i 2i 2i二1（AB - BA ）也为厄米算符。
iii ）令 F 二 AB ，则 F 二 AB = B A ；= BA ,由i ） ,ii ）得F . = F , F_ = F_，即卩F 和F_皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得F iF4.2）设F （x, p ）是x, p 的整函数，证明整函数是指F(X, p)可以展开成F(X,p) = v C mn X m p n 。
m,n =0证： (1)先证 p,x m L -mi x m 4, X, p n]二 ni pn/。
p,xm ] =x m4 lp,x 「p, x m4 xi x m4 x m ^ ip,xk p,x m Q x 2 --2i x m4 x m ： b, x 殳2 b,x m ； x 3=-3i x m4 ■ 'p,x m ^x 3 二… =-m -1i 乂心■ b,x m —z x m _ --m -1 i x m4 -i x m J 二 mi x m4同理，F 均可1 ^2i F -F1F =2 F F ,1 11 B A A B BA AB AB BAii)扌 AB 一 BA 且定义F T F「F(1)'p,F:xX, p n .1 - p n二X, p Z- X, p n J Ip=i*p n' + p n~ IX, p】p + X, p n~ 】p2= 2i%n」+ k, p n，】p 2=n卷p n」现在，Ip,F ]= |P, hC mn X”=送C mn b,X m Ip"Q QC mn -mi x mJ p nm,n兰:F 7而-i ——C mn -mi x mJ p n。
2 《量子力学与统计力学》各章习题习题一1.1、一颗质量为20克的子弹以仰角30º初速率500米/秒从60米的高度处射出。
求在重力作用下该子弹着地前的轨道以及射出50秒后对射出点的位矢、速度、动量、角动量、动能和机械能。
（不考虑空气阻力，重力加速度取10米/秒2，地面为零重力势能面）。
1.2、在极坐标平面中任取两点P 1和P 2，但它们和极点三者不共线。
试分别画出在P 1和P 2处的极坐标单位矢。
1.3、在球坐标系中任取一点P ，试画出P 点的球坐标单位矢。
1.4、对于做斜上抛运动的子弹，以抛出点为坐标系原点建立直角坐标系。
试分别选取两组不同的广义坐标，并用之表示子弹在任一时刻的直角坐标。
1.5、氢原子由一个质子和一个电子组成。
试说明一个孤立氢原子体系是基本形式的Lagrange方程适用的体系。
1.6、证明: Lagrange 方程的基本形式（1.59）式可写为如下的Nielsen 形式：αααQ q T q T =∂∂-∂∂2 ,s ,,2,1 =α 1.7、设一个s 自由度的体系的广义坐标为αq ),,2,1(s =α。
试证明存在一个任意可微函数),,,,(21t q q q F s ，由它与该体系的Lagrange 函数构成的如下函数dtt q q q dF s ),,,,(L L 21 +=' 满足Langrange 方程（1.67）式。
1.8、设一个s 自由度的体系的广义坐标为αq ),,2,1(s =α，满足Langrange 方程（1.67）式的Lagrange 函数为),,,,,,,,(L 2121t q q q q q q s s 。
设存在另一组广义坐标αξ，),,2,1(s =α，且有变换方程),,,,(21t q q s ξξξαα =，s ,,2,1 =α此变换叫做点变换。
证明： 若通过上述点变换将),,,,,,,,(L 2121t q q q q q q s s 变换为),,,,,,,,(L L 2121t s s ξξξξξξ =，则有 s dt d , ,2 ,1 ,0L )L ( ==∂∂-∂∂αξξαα 这就是说，Lagrange 方程的形式与所选用的广义坐标无关。
第一章 习题1.一质点按t x sin ω=的规律作简谐振动。
试证明，如果测量质点位置的采样时间均匀分布，测得质点的位置在x 到dx x +的几率为211)(xdxdx x -=πρ解：只考虑一个周期即可。
将t 看作在0~2π/ω内均匀分布的随机变量，则()πωρ2=t ωπ20≤≤t X 的分布函数为(){}{}()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+==≤=≤=----+⎰⎰⎰--ωπρωπρρρρωωπωωπx x x x t dtt dt t dt t x t P x X P x F xax D D 1112sin sin 0sin 2 sin sin sin 1121于是()()2'111xx F x -==πρ2.已知几率分布()xydxdy dxdy y x ∝,ρ其中y x ,的变化X 围是b y a x ≤≤≤≤0 ,0。
(1)求几率密度函数()y x ,ρ(2)求y 为任意值，x 在x 到dx x +的几率。
解：(1) 由归一化条件100=⎰⎰a bxydxdy A → 224ba A =t则()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它00,04,22by a x xy b a y x ρ(2) ()()⎰⎰===+∞∞-bX axydy b a x dy y x x 022224,ρρa x ≤≤0 于是()dx a xdx x X 22=ρ3．已知几率分布dx e dx x x )(ααρ-=, +∞<≤x 0其中0>α，x 的变化X 围是0至∞。
试求x 的平均值x ，方均根值2x ，平均平方偏差2)(x x -和相对涨落22)()(x x x -。
解： (1)()()αααααρα101 1100=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-∞+-=-=====⎰⎰⎰⎰⎰∞+--+∞-+∞+∞--+∞dt e te tde dt te dx ex dx x X E X tt t tx(2)()220222ααρα===-+∞+∞⎰⎰dx e x dx x x X x则α22=x(3) ()()()()222222112ααα=-=-=-=X E X E X X X D(4) ()()111222==ααX X D4.一光子的能量ε与动量p 有如关系cp =ε，c 为光速。
量子力学与统计物理习题解答 第一章1. 一维运动粒子处于⎩⎨⎧≤>=-)0(0)0()(x x Axe x xλψ的状态，式中λ>0，求（1）归一化因子A ； （2）粒子的几率密度；（3）粒子出现在何处的几率最大？ 解：（1）⎰⎰∞-∞∞-*=0222)()(dx e x A dx x x x λψψ令 x λξ2=，则323232023202224!28)3(88λλλξξλξλA AA d e A dx ex Ax=⨯=Γ==-∞∞-⎰⎰由归一化的定义1)()(=⎰∞∞-*dx x x ψψ得 2/32λ=A（2）粒子的几率密度xe x x x x P λλψψ2234)()()(-*==（3）在极值点，由一阶导数0)(=dxx dP 可得方程0)1(2=--xex x λλ 而方程的根0=x ；∞=x ；λ/1=x 即为极值点。
几率密度在极值点的值0)0(=P ；0)(lim =∞→x P x ；24)/1(-=e P λλ由于P(x)在区间(0，1/λ)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/λ，∞)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为24-e λ，出现在λ/1=x 处。
2. 一维线性谐振子处于状态t i x Aet x ωαψ212122),(--=（1）求归一化因子A ；（2）求谐振子坐标小x 的平均值；（3）求谐振子势能的平均值。
解：（1）⎰⎰∞∞--∞∞-*=dx e Adx x222αψψ⎰∞-=02222dx e A xα⎰∞-=0222ξαξd e Aαπ2A =由归一化的定义1=⎰∞∞-*dx ψψ得 πα=A （2） ⎰⎰∞∞-∞∞--==dx xe A dx x xP x x222)(α因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 0=x （3）⎰∞∞-=dx x P x U U )()(⎰∞∞--=dx e kx x 22221απα ⎰∞-=0222dx e x k x απα⎰∞-=222ξξπαξd e k⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰∞-∞-0022221ξξπαξξd e e k⎰∞-=02221ξπαξd e k 2212ππαk=24αk =将2μω=k 、μωα=2代入，可得02141E U ==ω 是总能量的一半，由能量守恒定律U T E +=0可知动能平均值U E U E T ==-=0021和势能平均值相等，也是总能量的一半。
3．设把宽为a 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有⎩⎨⎧≥∞<=)2/|(|,)2/|(|,0)(a x a x x U试通过具体解定态薛定谔方程，证明势阱中粒子的波函数为2/||,6,4,2,sin 2,5,3,1,cos 2)(a x n x an a n x a n a x n ≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ππψ粒子的能量为 ,4,3,2,1,22222==n n aE n μπ证明：势函数与时间无关，是定态问题。
由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外 2/||,0)(a x x ≥=ψ 在阱内，波函数满足定态薛定谔方程2/||)()(22a x x E x ≤=''-ψψμ上式可变形为 0)(2)(2=+''x Ex ψμψ令222 Ek μ=，则方程化为0)()(2=+''x k x ψψ该方程的通解为 kx B kx A x cos sin )(+=ψ 在边界上，波函数应满足连续性条件，即0)(0)(2/2/==+=-=a x a x x x ψψ将通解代入有2cos 2sin 02cos 2sin=+=+-ka B ka A ka B ka A由此可得2cos 02sin==ka B ka AA 和B 不能同时为零，否则解无意义。
0≠A ，则必有,6,4,2,02sin==⇒=n a n k ka n π0≠B ，则必有,5,3,1,02cos ==⇒=n an k ka n π由此可得方程的解为⎪⎩⎪⎨⎧===,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )(n x a n A n x a n B x n ππψ 由归一化条件 ⎰∞∞-*=1dx n n ψψ可知12/sin 2/2/222==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-a A dx x a n A a a π12/cos 2/2/222==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-a B dx x a n B a a π解得a B A /2== 故在阱内的波函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===,6,4,2,sin 2,5,3,1,cos 2)(n x an a n x a n a x n ππψ粒子的能量,4,3,2,1,22222222===n n ak E n μπμ波函数的两个表达式还可统一为一个表达式,3,2,1),2(sin 2)(=+=n ax a n a x n πψ书中例题与习题的不同是将坐标原点取在势阱的左边界上，其解为,3,2,1,sin 2)(==n x an a x n πψ 因此只要作坐标平移代换21ax x +=，将坐标原点移到势阱中心，立即可得到习题的结果。
4．带电荷q 的一维谐振子在外电场E 作用下运动，x q x x U E-=)2/()(22μω，试证明粒子的能量和波函数分别为 222221μωωE q n E n -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21121),()(212μωαψαEq x x x H eN x n x n n -==-证明：势函数与时间无关，是定态问题。
定态薛定谔方程为)()(21)(2222x E x x q x x u ψψμωψ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+''-E 上式可改写为)()(2)()2(21)(222242222222x E x q x q x q x x u ψψμωψωμμωμωψ=-+-+''-E E E即)(2)(21)(22222222x q E q x x u ψμωμωμωψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+''-E E 作代换21μωEq x x -=，2222μωβE q E E +=，则方程化为标准的一维谐振子方程)(21)(2121212x E x x u ψμωψβ=+''- 其解为 )()(1211212x H eN x n x n n αψα-=能量为ωβ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n代换回去得能量 2222222212μωωμωβE E q n q E E n -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=波函数21121),()(212μωαψαEq x x x H eN x n x n n -==-我们看一下谐振子所受的力12222)()(x q x q x dx x dU F μωμωμωμω=-=-==EE 由F =0可知谐振子的平衡点不再是0=x 而是平移到2μωEq x =作代换21μωEq x x -=，无非是将坐标原点移到新的平衡点2μωEq ，移到新的平衡点后，与标准谐振子的力函数表达式完全相同。
5．有一维势垒如下图所示，自由粒子沿x +方向向势垒运动，0U E <<，求粒子的透射系数D 。
提示：写出)(x U 表达式；令E x U =)(，解出积分限b ；利用（2-104）式得D ，并注意简化运算。
解：⎩⎨⎧><≤≤-=ax x a x a x U x U ,0,00),/1()(0E()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------------=⎰=⎰=⎰=⎰=2/302/3000000000000003240)(220220])/1([220])([220E U b a U E U U a x aUd x a U E U U a dx x aUE U dxE a x U dxE x U eD e D e D eD e D D b b bbμμμμμ由 b aU U a b U E 000)/1(-=-= 可得000=--b aU E U 故 ()2/3003240E U U a eD D --=μ6．粒子在三维无限深势阱⎩⎨⎧≥≥≥∞<<<=)2/||,2/||,2/|(|,)2/||,2/||,2/|(|,0),,(c z b y a x c z b y a x z y x U中运动，求粒子的波函数和能量。
解：势能不含时间是定态问题。
在阱外，波函数 2/||,2/||,2/||,0),,(c z b y a x z y x ≥≥≥=ψ 在阱内，波函数满足定态薛定谔方程 2/||,2/||,2/||),,(),,(222c z b y a x z y x E z y x ≤≤≤=∇-ψψμ令222Ek μ=，则方程可化为标准形式 0),,(),,(22=+∇z y x k z y x ψψ令 )()()(),,(z Z x Y x X z y x =ψ 代入方程有02222222=+++XYZ k Z dz d XY Y dy d XZ X dx d YZ除以XYZ ，可得01112222222=+++k Z dzd Z Y dy d Y X dx d X 要使上式成立，必然有222222222111z y x k Z dzd Z k Y dy d Y k X dx d X -=-=-=即000222222222=+=+=+Z k Z dzd Y k Y dyd X k X dx d z y x 由波函数的连续性可知在边界上)2/()2/(0)2/()2/(0)2/()2/(==-==-==-c Z c Z b Y b Y a X a X 由方程和边界条件可得⎪⎩⎪⎨⎧='==,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )(n x a n A n x a n A x X n ππ⎪⎩⎪⎨⎧='==,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )(m x b m B m x b m B y Y m ππ⎪⎩⎪⎨⎧='==,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )(l x c l C l x c l C x Z l ππ由归一化条件可得a A A 2='=；bB B 2='=；cC C 2='=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=== ,6,4,2,sin 2,5,3,1,cos 2)(n x a n a n x a n a x X n ππ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===,6,4,2,sin 2,5,3,1,cos 2)(m x bm b m x b m b y Y m ππ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===,6,4,2,sin 2,5,3,1,cos 2)(l x cl c l x c l c x Z l ππ或,3,2,1),2(sin 2)(=+=n a x a n a x X n π,3,2,1),2(sin 2)(=+=m b y b m b y Y m π ,3,2,1),2(sin 2)(=+=l c z c l c z Z l π波函数,2,1;,2,1;,2,1),2(sin )2(sin )2(sin 8),,(===+++=l m n cz c l b y b m a x a n abc z y x nml πππψ 能量 )(2)(22222222222222222cl b m a n k k k k E z y x nml++=++==μπμπμ2、一维谐振子处于基态22122)(x e x απαψ-=，其中μωα=求 ?)()(22=⋅p x ∆∆（要求：按定义计算）⎰⎰∞∞-∞∞--=⋅===22222*2212122ααπαπαπαψψαdx e x dx x x x⎰⎰∞∞--∞∞-===022*dx xe dx x x xαπαψψ222221)(α∆=-=∴x x x ··························3分同理，222)(p p p -=∆ ·························1分 注意到一维情况下，只须考虑x p ，因此dx e x e i dx x i p x x x 22*2222ααπαψψ-∞∞--∞∞-∂∂⋅=∂∂=⎰⎰0)(222=-=⎰∞∞--dx x e i x απαα ···················3分 dx e x ep x x x 2222222222ααπα-∞∞--∂∂-=⎰dx xe dx d e x x ⎰∞∞---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222αααπαdx e x e e x x x ⎰∞∞----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=2222223222222ααααπα ⎰⎰-∞∞----=dx e x dx e x x 222222523ααπαπα22122222523 ααπαπααππα=⋅-⋅=2)()(222222 α∆∆=-==∴x xx p p p p ·························3分最后得 4221)()(222222=⋅=⋅αα∆∆p x ······················2分第四章1．试证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =为2ˆL 和zL ˆ的共同本征函数，并求出相应的本征值。
