高中数学 三个二次的关系教学案 苏教版必修1

芯衣州星海市涌泉学校难点4三个“二次〞及关系三个“二次〞即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和亲密的联络，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次〞问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联络，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●难点磁场对于x 的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围.●案例探究［例1］二次函数f(x)=ax2+bx+c 和一次函数g(x)=－bx ，其中a 、b 、c 满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R). (1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A1B1的长的取值范围.命题意图：此题主要考察考生对函数中函数与方程思想的运用才能.属于★★★★★题目. 知识依托：解答此题的闪光点是纯熟应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.错解分析：由于此题外表上重在“形〞，因此此题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形〞上找解问题的打破口，而忽略了“数〞技巧与方法：利用方程思想巧妙转化(1) 证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a －c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+43)22+c c2］ ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴43c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.(2) 解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,那么x1+x2=－a b 2,x1x2=ac . |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴a>－a －c>c,解得a c ∈(－2,－21) ∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a c .a c ∈(－2,－21)时，为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(32,3).［例2］关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)假设方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)假设方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.命题意图：此题重点考察方程的根的分布问题，属★★★★级题目.知识依托：解答此题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析：用二次函数的性质对方程的根进展限制时，条件不严谨是解答此题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m 应在区间(0，1)内通过)●锦囊妙计1.二次函数的根本性质 (1)二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c;y=a(x －x1)(x －x2);y=a(x －x0)2+n.(3) 当a>0,f(x)在区间［p,q ］上的最大值M ，最小值m,令x0=21(p+q). 假设－ab2<p,那么f(p)=m,f(q)=M; 假设p≤－a b 2<x0,那么f(－a b2)=m,f(q)=M;假设x0≤－a b 2<q,那么f(p)=M,f(－a b2)=m;假设－ab 2≥q,那么f(p)=M,f(q)=m.2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.(1)方程f(x)=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根⇔f(p)·f(q)<0,或者者f(p)=0(检验)或者者f(q)=0(检验)检验另一根假设在(p,q)内成立.(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p<q)⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a . 3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a<0且f(α)=f(β)=0;(2)当a>0时，f(α)<f(β)⇔|α+a b 2|<|β+a b 2|,当a<0时，f(α)<f(β)⇔|α+ab 2|> |β+ab2|; (3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b 或者者⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p ab a b f q ab p 或(4)f(x)>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)假设不等式(a －2)x2+2(a －2)x －4<0对一切x∈R 恒成立，那么a 的取值范围是() A.(－∞,2]B.[－2,2]C.(－2,2]D.(－∞,－2)2.(★★★★)设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),假设f(m)<0,那么f(m －1)的值是() A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能二、填空题3.(★★★★★)二次函数f(x)=4x2－2(p －2)x －2p2－p+1,假设在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,那么实数p 的取值范围是_________.4.(★★★★★)二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f(2+x)=f(2－x),假设f(1－2x2)<f(1+2x －x2),那么x 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★★)实数t 满足关系式33log log aya t a a =(a>0且a≠1) (1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)假设x∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值.6.(★★★★)假设二次函数y=mx2+(m －3)x+1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7.(★★★★★)二次函数f(x)=px2+qx+r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m>0,求证： (1)pf(1+m m)<0; (2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.8.(★★★★)一个小服装厂消费某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,消费x 件的本钱R=500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案难点磁场解：由条件知Δ≤0,即(－4a 〕2－4(2a+12)≤0,∴－23≤a≤2 (1)当－23≤a＜1时，原方程化为：x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a －21)2+425. ∴a=－23时，xmin=49,a=21时，xmax=425.∴49≤x≤425. (2)当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=(a+23)2－41∴当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,∴6≤x≤12. 综上所述,49≤x≤12. 歼灭难点训练一、1.解析：当a －2=0即a=2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a=2,当a －2≠0时，那么a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a≤2.答案：C2.解析：∵f(x)=x2－x+a 的对称轴为x=21,且f(1)>0,那么f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1), ∴m－1＜0,∴f(m－1)>0. 答案：A二、3.解析：只需f(1)=－2p2－3p+9>0或者者f(－1)=－2p2+p+1>0即－3＜p ＜23或者者－21＜p ＜1.∴p∈(－3,23). 答案：(－3，23〕4.解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x2－2|＜|1+2x －x2－2|,∴－2＜x ＜0. 答案：－2＜x ＜0三、5.解：(1〕由loga 33log ay a t t =得logat －3=logty －3logta 由t=ax 知x=logat ，代入上式得x －3=xx y a 3log -,∴logay=x2－3x+3，即y=a 332+-x x (x≠0).(2)令u=x2－3x+3=(x －23)2+43(x≠0),那么y=au ①假设0＜a ＜1,要使y=au 有最小值8，那么u=(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值. ②假设a>1,要使y=au 有最小值8，那么u=(x －23)2+43,x∈(0,2]应有最小值∴当x=23时，umin=43,ymin=43a由43a =8得a=16.∴所求a=16,x=23. 6.解：∵f(0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.(2〕当m>0时，那么⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m≤1综上所述，m 的取值范围是{m|m≤1且m≠0}. 7.证明：(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+ )2()1(122++-=m m pm ,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf(1+m m )＜0.(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r①当p ＜0时，由(1〕知f(1+m m)＜0 假设r>0,那么f(0)>0,又f(1+m m )＜0,所以f(x)=0在(0，1+m m)内有解;假设r≤0,那么f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－m r m p -+2)+r=mrm p -+2>0,又f(1+m m )＜0,所以f(x)=0在(1+m m ,1)内有解.②当p ＜0时同理可证.8.解：(1〕设该厂的月获利为y,依题意得 y=(160－2x)x －(500+30x)=－2x2+130x －500 由y≥1300知－2x2+130x －500≥1300∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x －45)≤0，解得20≤x≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元. (2〕由(1〕知y=－2x2+130x －500=－2(x －265)2+161 ∵x 为正整数，∴x=32或者者33时，y 获得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或者者33件时，可获得最大利润1612元.。

二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。

【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。

3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。

【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。

类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察。

研探。

二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。

2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解的算法。

第03课时 三个“二次”及关系【考点点悟】传道解惑，高屋建瓴三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本课时主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.1.二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0)2+n .2.当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q ). 若－ab2<p ,则f (p )=m , f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0, 则f (－a b2)=m , f (q )=M ;若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M , f (－a b2)=m ;若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m .3.二次函数2()f x ax bx c =++,由(0)f c =,(1)f a b c =++,(1)f a b c -=-+可得,11(1)(1)(0)22a f f f =+--、11(1)(1)22b f f =--、(0)c f = .从而有21111()[(1)(1)(0)][(1)(1)](0)2222f x f f f x f f x f =+--+--+ .4.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+ab 2|,当a <0时，f (α)<f (β) ⇔|α+a b 2|>|β+ab2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p ab a b f q a b p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 【小题热身】明确考点，自省反思1. 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________.2.已知32()f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上一点(1,(1))P f 的切线方程是31y x =+，如()y f x =在[]2,1-上为增函数，则实数b 的取值范围为 .3.二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.4.若函数32321y x x =+-在区间(,0)m 上是减函数，则 m 的取值范围是 .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1. 已知32()f x x ax b =-++，若曲线()y f x =在[]0,1x ∈这一段上任一点处切线的斜率都在区间[]0,1上.求实数a 的取值范围.思路透析: 曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为2()32f x x ax '=-+，由题意可知，20321x ax ≤-+≤在区间[]0,1上恒成立.（1）0x =时，a 可取一切实数.（2）(]0,1x ∈时，由2320x ax -+≥恒成立，32a x ∴≥在(]0,1上恒成立. 而32x 在(]0,1上最大值为32 32a ∴≥. 由2321x ax -+≤在(]0,1上恒成立，11(3)2a x x∴≤+在(]0,1上恒成立.由11(3)2x x +≥x =时取“=”）(]0,1x ∴∈时11(3)2x x +的最小值a ∴≤综上所述，所求实数a 的取值范围为32a ≤≤. 点评: 三次函数的导数是二次函数，这样就出现了以三次函数的导数为载体考查二次函数、一元二次方程、及一元二次不等式的所谓“三个二次”问题 ,这些问题，灵活性大，综合性强.例 2.已知函数2()2,()1f x x a g x x =-=+，()()()H x f x g x =⋅． 设方程2310x ax -+=的两实根为,()αβαβ<，且函数()H x 在区间[,]αβ上的最大值比最小值大8，求a 的值．思路透析:由232()(2)(1)22H x x a x x ax x a=-+=-+-得2()2(31)H x x ax '=-+，即 ,αβ是方程()H x '0=的两实根，故当(,)x αβ∈时，有()0H x '<，从而()H x 在[,]αβ上是减函数， 故maxmin()(),()()H x H H x H αβ==，由题意，()()8H H αβ-=，由韦达定理得，1,33a αβαβ+==， 而()()H H αβ-=2()[2()2()2]a αβαβαβαβ-+--++2232[2()2]333a a =--+==8，解得a =±点评：本题的关键是利用二次方程的根与二次不等式的关系，得出函数()H x 为减函数，再利用韦达定理，从而使问题求解．例 3. 已知函数()32,[1,g x a x b x =+∈-单调递增，有最大值2，函数32()f x ax bx cx d =+++（[1,1]x ∈-）图象的任一切线都不会与双曲线221y x -=的两支都相交，且()f x ． （1）求证|()|2g x ≤； （2）求()f x ．思路透析: （1）函数()32,[1,1]g x ax b x =+∈-单调递增，有最大值2，故322(0)a b a +=> 又32()f x ax bx cx d =+++的任一切线都不会与双曲线221y x -=的两支都相交，|()|1f x '≤，|(1)||32|1,|(0)|||1f a b c f c ''-=-+≤=≤．故|(1)||32||32|g a b a b c c -=-+=-+-|32|||2a b c c ≤-++≤，故|()|2g x ≤．（2）|(1)||32||2|1f a b c c '=++=+≤，31c -≤≤-，又11c -≤≤，故1c =-，而()f x '为二次函数，故()f x '的最小值为1-，得0b =，从而23a =，由2()210f x x '=-=得，2x =-时取最大值3，即(03f -=，解得0d =，因此32()3f x x x =-． 点评:熟练利用二次函数、方程的有关知识来解决三次问题应是理所当然之事．例4. 若2()f x ax bx c =++,a 、b 、c 为实数,在区间[0,1]上恒有|()|f x ≤1 .(1)对所有这样的()f x ,求||||||a b c ++的最大值;(2)试给出一个这样的()f x ,使||||||a b c ++确实取到上述最大值.思路透析: (1)由题意得|(1)|||f a b c =++≤1,1|()|||242a bf c =++≤1, |(0)|||f c =≤1 .于是 |||(1)(0)|a b f f +=-≤|(1)||(0)|f f +≤2 ,1|||3()58()||3(1)5(0)8()|422a b a b a b c c c f f f -=+++-++=+-≤3+5+8=16 .∴当ab ≥0时, ||||||||||a b c a b c ++=++≤2+1=3 ; 当ab <0时,∴max (||||||)17a b c ++= .(2)当8,8,1a b c ==-=时, 221()8818()12f x x x x =-+=-- ,当[0,1]x ∈时,有221|()||881||8()1|2f x x x x =-+=--≤1成立 ,此时有|||||a b c ++=17 .点评:解决此类问题的关键是抓住(0)f 、(1)f 、(1)f -、1()2f 等这些特殊的函数值,找出它们与二次函数系数的关系,代入后并进行转化,最后利用不等式的放缩法求解.例 5.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.思路透析: (1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］ ∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－a b 2,x 1x 2=ac . |A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a acc a a ac b a c a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0∴a >－a －c >c ,解得ac ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a c .ac ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3).点评:本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力,熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.例6.已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围. 思路透析: (1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过)点评:用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点. 本题重点考查方程的根的分布问题,解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.【即时测评】学以致用，小试牛刀 1.函数321()2f x x x bx =-+的图象有与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围为( ) A.112b ≥ B. 112b < C.112b ≤ D. 112b >2. 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞,2] B.[－2,2] C.(－2,2] D.(－∞,－2)3. 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为()A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能4.已知函数()f x 32(6)1x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A ．12a -<< B ．36a -<< C ．3a <-或6a > D ．1a <-或2a >5.已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，则关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围为( ) A. 49≤x ≤425 B. 6≤x ≤12 C. 49≤x ≤6 D. 49≤x ≤12.【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1.设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．则实数a 的取值范围为 .2.函数32()(6)2f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围为 .3.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，则a 的取值范围 .4.已知三次函数()(1)()f x x x x a b =-++，若()f x 在(1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围为 .5.如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则m 的取值范围为 .6.已知a ∈R ，二次函数.22)(2a x ax x f --=设不等式()f x >0的解集为A ，又知集合B={x |1<x <3}.若A B ⋂≠∅,则a 的取值范围为 .7.设函数()f x =-cos 2x -4tsin 2x cos 2x +4t 3+t 2-3t+4,x ∈R,将()f x 的最小值记为g(t).则g(t)= .二、解答题: 8. 已知函数3211()(1)(,32f x x b x cx b c =+-+是常数). （1）()f x 在12(,),(,)x x -∞+∞内为增函数，在12(,)x x 内为减函数, 又211x x ->，求证：224b b c >+.（2）在（1）的条件下，如1t x <，比较2t bt c ++与1x 的大小.9.已知函数2()f x ax bx c =++,对任何[1,1x ∈-,都有|()|f x ≤1.设432222()|()()g x acx b a c x a b c x =+++++()|b a c x ac +++,[1,1]x ∈-,求函数()g x 的最大值.10.二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证： (1)pf (1+m m)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.第03课时 三个“二次”及关系参考答案【小题热身】1. (－3,23) 2. 0b ≥ 3. (－2,0) 4. 4[,0)9-【即时测评】1. C2. C3. A4. C5.D【课后作业】一、填空题:1.(03-， 2. 36a a <->或 3. 2731--≤≥a a 或 4. 1a ≥- 5. {m |m ≤1且m ≠0} 6. .276-<>a a 或 7. ⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+-+-∈+---∞∈+-+=),1(,454]1,1[,334)1,(,44)(23323t t t t t t t t t t t t g二、解答题:8. 解析:（1）证明：2()(1)f x x b x c '=+-+ 由题意知，12,x x 为()0f x '=的两个不相等的实根，12121,x x b x x c ∴+=-⋅= 224b b c ∴--()()21212121214x x x x x x =-+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦221()1x x =-- 211x x ->221()1x x ∴-> 224b b c ∴-->0 ∴224b b c >+。

3.2一元二次不等式(3)
【学习目标】
进一步理解三个“二次”之间的关系，掌握一元二次不等式解的逆向问题。

【学习过程】
一、复习：
1、三个二次的关系？
2、若不等式的解集为，则与0的关系为
0)2)(1(<--x x a {}21><x x x 或a 二、数学运用
例1、若不等式的解集为，求的值。

220ax bx +->124x x ⎧
⎫-<<-⎨⎬⎩⎭
,a b 练习：已知关于的不等式的解集为, 求的值．x 0622<++a x ax {}
32><x x x 或a 例2、已知不等式的解集为, 求不等式的解
02<++b ax x {}21<<-x x 012
<+-ax bx
集。

练习：已知不等式b x 2－ax+１ <0的解集为{x| x < －或x>1}, 求不等式x 2+ax+b<0的12
解集．
反思：不等式与方程的关系是关键．从不等式的解方程的根韦达定理(或将根代入) ⇒⇒新不等式的解．
⇒例3、若不等式恒成立，求的取值范围。

022
2>++m x x m 变式：
（1）已知抛物线恒在轴上方, 求实数的取值范围.122
2-+-=k x x y x k （2）已知关于不等式的解集为，求的取值范围。

x 0622
<+-k x kx R k
（3）不等式对任意的恒成立，求的取值范围。

012
>++x ax x R ∈a （4）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.x 2
20mx mx --<m。

备课时间2016 年 3 月23 日上课时间第周周月日班级节次课题3。

2一元二次不等式(1)总课时数第节教学目标1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系2．会解简单的一元二次不等式．并体会“三个二次”之间的关系。

教学重难点解一元二次不等式．“三个二次"之间的关系。

教学参考教材、教参授课方法合作探究、讲授教学辅助手段多媒体专用教室教学教学二次备课过程设计一、问题情境（1）解一元二次方程：0432=--xx（2)画二次函数432--=xxy的草图,根据草图回答：当y=0时,x= ;当y〉0时，x的取值集合为；当y<0时,x的取值集合为。

(3）观察第（2）问的草图写出：一元二次不等式0432>--xx的解集为一元二次不等式0432<--xx的解集为二、数学运用例1、解下列不等式：(1）062>--xx（2）0432≥+--xx(3）0442<+-xx（4）0432>++xx【思考】1、你能否总结出图像法解一元二次不等式的一般步骤：教学教学二次备课△=ac b 42-△〉0 △=0△<0一元二次方程2=++c bx ax 根的情况二次函数cbx ax y ++=2的图象一元二次不等式2>++c bx ax 的解集一元二次不等式2<++c bx ax 的解集例2、解下列不等式：学必求其心得，业必贵于专精。

第1讲 不等式的解法与三个“二次”的关系[考情考向分析] 不等式是数学解题的重要工具，一元二次不等式是江苏考试说明中的C 级内容，高考会重点考查．主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立问题，其次考查不等式与其他知识的综合运用．热点一 不等式解法例1 (1)(2018·江苏兴化一中模拟)已知定义在区间[－2,2]上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝12f (x )，当－2≤x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则不等式f (x )≤x 的解集为_________．答案 [1,2]解析 当－2≤x ＜0时，解f (x )≤x 即x 2－x ≤x 得0≤x ≤2，舍去； 当0≤x ＜2时，f (x )＝12f (x －2)＝12(x －2)2－12(x －2)，解f (x )≤x 得x 2－7x ＋6≤0, 所以1≤x ≤6 ，因此1≤x ＜2； 当x ＝2时，f (2)＝12f (0)＝14f (－2)＝32＜2.综上，不等式f (x )≤x 的解集为[]1，2. (2)解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.解 当a ＝0时，原不等式可化为x －2<0，所以x <2.当a ≠0时，原不等式化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a >0，①当a >1时，2a<2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，所以x <2a或x >2.②当a ＝1时，2a＝2，原不等式化为(x －2)2>0，所以x ∈R 且x ≠2.③当0<a <1时，2a>2，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，则x <2或x >2a.④当a <0时，2a<2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a <0，所以2a<x <2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜2a 或x ＞2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜2或x ＞2a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜2. 思维升华 不等式的解法主要是两种：一种是直接利用其解法直接求解，含参数的一元二次不等式要讨论二次项系数，判别式符号及两根大小；另一种方法是利用函数图象及性质求解．跟踪演练1 (1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是________． 答案 [－1,1]解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x 2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.(2)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则不等式x ⊙(x －2)＜0的解集是____________． 答案()－2，1解析 由题意得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2， 解x (x －2)＋2x ＋x －2<0，得－2<x <1. 热点二 三个“二次”之间的关系例2 已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R ，g (x )＝x 2－1. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)记函数f (x )在区间[0,2]上的最大值为F (a )， 求F (a )的表达式．解 (1)由f (x )≥g (x )，当a ＝1时， 即解不等式x |x －1|≥x 2－1. 当x ≥1时，不等式为x 2－x ≥x 2－1， 解得x ≤1，所以x ＝1；当x <1时，不等式为x －x 2≥x 2－1， 解得－12≤x ≤1，所以－12≤x <1.综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.(2)因为x ∈[0,2]，当a ≤0时，f (x )＝x 2－ax ，则f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以F (a )＝f (2)＝4－2a .当0<a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，0≤x ＜a ，x 2－ax ，a ≤x ≤2，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2，a 上是减函数，在区间[a,2]上是增函数，所以F (a )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，f (2)， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，f (2)＝4－2a ，令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＜f (2)，即a 24＜4－2a ，解得－4－42＜a ＜－4＋42， 所以当0＜a ＜42－4时，F (a )＝4－2a ；令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≥f (2)，即a 24≥4－2a ， 解得a ≤－4－42或a ≥－4＋42， 所以当42－4≤a <2时，F (a )＝a 24.当a ≥2时，f (x )＝－x 2＋ax ，当1≤a 2<2，即2≤a <4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2，2上是减函数，则F (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24； 当a2≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0,2]上是增函数， 则F (a )＝f (2)＝2a －4.综上，F (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ，a ＜42－4，a24，42－4≤a ＜4，2a －4，a ≥4.思维升华 三个“二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0的情况转化为a >0时的情形．跟踪演练2 (1)已知m ，n 为实数，若关于x 的不等式x 2＋mx ＋n ＜0的解集为(－1,3)，则m ＋n 的值为____________________________________________________________________． 答案 －5解析 由题意得，－1,3为方程x 2＋mx ＋n ＝0的两根，因此⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝0，9－3m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3，m ＋n ＝－5.(2)(2018·江苏徐州三中月考)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b ()a ，b ∈R 的值域为(]－∞，0，若关于x 的不等式f (x )>c －1的解集为()m －4，m ＋1，则实数c 的值为________．答案 －214解析 由题意得Δ＝0，a 2＋4b ＝0，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22 ，由f (x )>c －1有解得c <1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22<1－c ，a2－1－c <x <a2＋1－c ，因此a 2－1－c ＝m －4，a2＋1－c ＝m ＋1，∴21－c ＝5，c ＝－214.热点三 一元二次不等式的综合问题例3 (1)(2018·镇江期末)已知函数f (x )＝x 2－kx ＋4对任意的x ∈[]1，3，不等式f (x )≥0恒成立，则实数k 的最大值为________． 答案 4解析 ∵函数f (x )＝x 2－kx ＋4对任意的x ∈[]1，3，不等式f (x )≥0恒成立，∴x 2－kx ＋4≥0，化简可得k ≤x ＋4x.∵x ＋4x≥2x ×4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号， ∴k ≤4，∴实数k 的最大值为4.(2)已知函数f (x )＝log a (x 2－a |x |＋3)(a >0，且a ≠1)．若对于－1≤x 1<x 2≤－12的任意实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)<0成立，则实数a 的范围是________________________________________． 答案 (0,1)∪[2,4)解析 易知已知函数为偶函数，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时为减函数． 对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0，且a ≠1)，设g (x )＝x 2－ax ＋3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，1≤a2，g (1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 2≤12，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，则2≤a <4或0<a <1.思维升华 (1)二次不等式在R 上的恒成立问题，可以利用判别式的符号解决；在某个区间上的恒成立问题，可以利用最值或者参变量分离解决．(2)含多个变量的恒成立问题首先要清楚选谁为主元，一般地，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪演练 3 (1)若不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1,2)恒成立，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1,2)恒成立可化为(1－x )k >1－x 2对x ∈(1,2)恒成立， 即k <1＋x 对x ∈(1,2)恒成立，而函数y ＝1＋x 在(1,2)上为单调递增函数， 所以k ≤1＋1＝2，即实数k 的取值范围是(－∞，2]．(2)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 解析 方法一 设f (x )＝a |x |2－|x |＋2a ，原不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为∅，即f (x )≥0恒成立，令t ＝|x |，即g (t )＝at 2－t ＋2a在[0，＋∞)上恒有g (t )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a ＜0，g (0)≥0，解得a ≥24. 方法二 当a ＝0时，－|x |<0，不等式解集为{x |x ≠0}，不满足题意；当a ≠0时，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－8a 2≤0，解得a ≥24. 综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞.1．(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2， 满足x ＞0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．2．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 3．已知a ∈R ，关于x 的一元二次不等式2x 2－17x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则实数a 的取值范围为________． 答案 (30,33]解析 二次函数f (x )＝2x 2－17x ＋a 的对称轴为x ＝174，所以3个整数为3,4,5.所以⎩⎪⎨⎪⎧f (3)≤0，f (6)>0，解得30<a ≤33.4．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．答案 (1,2)解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－2x －1－1，x ＜0，作出其图象如图所示．∵f (x 2－2x )<f (3x －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＜0，x 2－2x ＜3x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜2，1＜x ＜4，∴1<x <2.5．(2018·江苏省南京市金陵中学月考)已知0≤x ≤2时，不等式－1≤tx 2－2x ≤1恒成立，则t 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 解析 当x ＝0时， －1<0<1成立；当0<x ≤2时，有2x －1x 2≤t ≤2x ＋1x2在(0,2]上恒成立，因为2x －1x2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2max ＝1，则t ≥1；①因为2x ＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12－1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 所以⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12－1＝54，则t ≤54；② 由①②可得， 1≤t ≤54.A 组 专题通关1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A,2∉A ，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 ∵2∉A ，∴4－4a ＋a 2－1<0， 即a 2－4a ＋3<0，解得1<a <3.2．若a <0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________． 答案 (－∞，5a )∪(－a ，＋∞)解析 由x 2－4ax －5a 2>0，得(x －5a )(x ＋a )>0， 因为a <0，所以x <5a 或x >－a .3．函数y ＝kx 2＋4kx ＋(k ＋3)的定义域是R ，则实数k 的取值范围为________． 答案 [0,1]解析 由题意知，kx 2＋4kx ＋(k ＋3)≥0的解集为R . (1)当k ＝0时，不等式为3≥0，成立．(2)当k ≠0时，kx 2＋4kx ＋(k ＋3)≥0的解集为R 等价于函数y ＝kx 2＋4kx ＋(k ＋3)的图象与x 轴至多有一个公共点，且图象上的其他点总在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝16k 2－4k (k ＋3)≤0，解得0<k ≤1.综上，实数k 的取值范围是[0,1]．4．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是________． 答案 [80,125) 解析 由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤a5， 而正整数解是1,2,3,4， 则4≤a5＜5，∴80≤a ＜125. 5．若存在实数x ∈[1,2]满足2x 2－ax ＋2>0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，5)解析 令f (x )＝2x 2－ax ＋2，若存在实数x ∈[1,2]满足2x 2－ax ＋2>0，则f (1)＞0或f (2)＞0，即4－a ＞0或10－2a ＞0，即a ＜4或a ＜5，故a ＜5，即实数a 的取值范围是(－∞，5)．6．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (f (x ))≤3的解集为________．答案 (－∞，3]解析 由题意得f (f (x ))≤3⇒f (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＜0，f 2(x )＋2f (x )≤3⇒f (x )≥－3⇒x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－x 2≥－3⇒x ≤ 3.7．关于x 的不等式x 2－4ax ＋4a 2＋a ＋1a －1≤0对任意x ∈R 都不成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由题意，不等式x 2－4ax ＋4a 2＋a ＋1a －1≤0的解集为∅， 则x 2－4ax ＋4a 2＋a ＋1a －1>0对任意x ∈R 恒成立， ∴Δ＝16a 2－4⎝⎛⎭⎪⎫4a 2＋a ＋1a －1<0， 即a ＋1a －1>0，∴a 2－a ＋1a －1>0.又∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0恒成立，∴a －1>0，即a >1.8．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,5]解析 令f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，则当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4时，f (x )>0在R 上恒成立，符合题意；当Δ≥0，即a ≤1或a ≥4时，函数f (x )的两个零点都在[1,5]上，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1或a ≥4，1≤a －2≤5，f (1)＝1－2(a －2)＋a ≥0，f (5)＝25－10(a －2)＋a ≥0，解得4≤a ≤5.综上，实数a 的取值范围是(1,5]．9．已知集合A ＝{x |(x －6)(x －2a －5)＞0}，集合B ＝{x |[(a 2＋2)－x ]·(2a －x )＜0}． (1)若a ＝5，求集合A ∩B ；(2)已知a >12，且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由集合A 中的不等式(x －6)(x －15)＞0， 解得x ＜6或x ＞15，即A ＝(－∞，6)∪(15，＋∞)，集合B 中的不等式为(27－x )·(10－x )＜0， 即(x －27)(x －10)＜0，解得10＜x ＜27， 即B ＝(10,27)，∴A ∩B ＝(15,27)． (2)当a ＞12时，2a ＋5＞6，∴A ＝(－∞，6)∪(2a ＋5，＋∞)，a 2＋2＞2a ，∴B ＝(2a ，a 2＋2)，∵x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，∴B ⊆A ， ∴a 2＋2≤6，∴12＜a ≤2.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.10．解关于x 的不等式：x 2－(3a ＋1)x ＋3a >0(a ∈R )．解 x 2－(3a ＋1)x ＋3a ＞0(a ∈R )等价于(x －3a )(x －1)＞0(a ∈R )． (1)当a ＜13时，3a ＜1，∴x ＜3a 或x ＞1；(2)当a ＝13时，3a ＝1，∴x ≠1；(3)当a ＞13时，3a ＞1，∴x ＜1或x ＞3a ；综上，原不等式的解集(1)当a ＜13时为(－∞，3a )∪(1，＋∞)； (2)当a ＝13时为(－∞，1)∪(1，＋∞)； (3)当a ＞13时为(－∞，1)∪(3a ，＋∞)． B 组 能力提高11．对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，1)解析 函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为 x ＝－a －42＝4－a 2. ①当4－a 2<－1，即a >6时，f (x )在[－1,1]上单调递增， f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0，解得a <3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a 2≤1，即2≤a ≤6时，f (x )在[－1,1]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2， 只要f ⎝⎛⎭⎪⎫4－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0， 即a 2<0，故有a ∈∅；③当4－a 2>1，即a <2时，f (x )在[－1,1]上单调递减， 只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0，即a <1，故有a <1.综上，a 的取值范围是(－∞，1)．12．已知函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－x ＋12(a >0且a ≠1)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上恒为正，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，89∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 设g (x )＝ax 2－x ＋12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，需满足g (x )＝ax 2－x ＋12>0，即a >1x －12x ，设h (x )＝1x －12x 2，则h ′(x )＝1x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，∴h ′(x )≤0，h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12x 2max ＝12， 从而a >12，可得函数g (x )＝ax 2－x ＋12的对称轴为 x ＝12a<1， 从而函数g (x )＝ax 2－x ＋12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递增， 当a >1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递增， ∴f (1)＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋12>0⇒a >32， 当12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·94－32＋12>0⇒49<a <89， 即12<a <89， 故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，89∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 13．已知函数f (x )＝|x |＋|x －4|，则不等式f (x 2＋2)＞f (x )的解集用区间表示为________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 函数f (x )的图象如图，可知图象关于直线x ＝2对称．因为x 2＋2＞0且f (x 2＋2)＞f (x )，则必有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2＞4，x ≥0，x 2＋2＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2＞4，x ＜0，(x 2＋2)＋x ＞4，解得x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在区间[－1,1]上的最小值g (a )的表达式； (2)已知函数f (x )在区间[－1,1]上存在零点，且0≤b －2a ≤1，求实数b 的取值范围． 解 (1)当b ＝a 24＋1时，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故其图象的对称轴为直线x ＝－a 2. 当－a 2≥1，即a ≤－2时，f (x )在[－1,1]上单调减， g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2； 当－1≤－a 2＜1，即－2<a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1； 当－a 2＜－1，即a >2时，f (x )在[－1,1]上单调增， g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2. 综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ s ＋t ＝－a ，st ＝b .因为0≤b －2a ≤1，所以－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)． 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2， 设g (t )＝－2t 2t ＋2，则g ′(t )＝－2t (t ＋4)(t ＋2)2，当t ∈[0,1]时，g ′(t )≤0，设h (t )＝t －2t 2t ＋2，则h ′(t )＝－2t 2－8t ＋2(t ＋2)2， 当t ∈[0，5－2)时，h ′(t )＞0，当t ∈(5－2,1]时，h ′(t )＜0.所以－23≤－2t 2t ＋2≤0，－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－23≤b ≤9－4 5. 当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2， 因为当t ∈[－1,0)时，g ′(t )＞0，h ′(t )＞0，所以－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0， 所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3,9－45]．。

3.3.2 从函数观点看一元二次不等式第1课时一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1．掌握一元二次不等式的解法．(重点)2．能根据“三个二次〞之间的关系解决简单问题．(难点) 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．2022年，冬季奥运会将在中国举行，跳台滑雪是其中最具有观赏性的项目之一，一位跳台滑雪运动员在90 m级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68 m．他假设以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110 km/h．那么他能实现自己的目标吗？1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？[提示]此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．2．三个“二次〞的关系设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有根实数二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象ax 2＋bx ＋c ＞0的解集{x |x ＜x 1或x ＞x 2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c ＜0的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅思考2：假设一元二次不等式ax 2＋x ＋1>0的解集为R ，那么实数a 应满足什么条件？ [提示] 结合二次函数图象可知，假设一元二次不等式ax 2＋x ＋1>0的解集为R ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a <0，解得a >14，所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞使不等式ax 2＋x ＋1>0的解集为R ．1．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞3或x ＜－12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤3 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥3或x ≤－12 D ．RC [3＋5x －2x 2≤0⇒2x 2－5x －3≥0⇒(x －3)(2x ＋1)≥0⇒x ≥3或x ≤－12．]2．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜1 C ．∅D ．RD [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为R ．]3．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是．{x |x >5或x <－1} [由x 2－2x －5>2x ，得x 2－4x －5>0， 因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5， 故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}．] 4．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为． ∅ [原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0．因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅．]一元二次不等式的解法[例1] 解以下不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0．[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12．又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3． (2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94． (3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R ．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. 2判别式.对不等式左侧因式分解，假设不易分解，那么计算对应方程的判别式. 3某某根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. 4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. 5写解集.根据图象写出不等式的解集.[跟进训练] 1．解以下不等式 (1)2x 2－3x －2>0； (2)x 2－4x ＋4>0； (3)－x 2＋2x －3<0；(4)－3x 2＋5x －2>0．[解] (1)∵Δ>0，方程2x 2－3x －2＝0的根是x 1＝－12，x 2＝2，∴不等式2x 2－3x －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2． (2)∵Δ＝0，方程x 2－4x ＋4＝0的根是x 1＝x 2＝2， ∴不等式x 2－4x ＋4>0的解集为{}x |x ≠2．(3)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0， 由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R ． (4)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝23，x 2＝1，∴不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <1．含参数的一元二次不等式的解法[思路点拨] ①对于二次项的系数a 是否分a ＝0，a <0，a >0三类进行讨论？②当a ≠0时，是否还要比较两根的大小？[解] 当a ＝0时，原不等式可化为x >1． 当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0．当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，∵1a <1，∴x <1a或x >1．当a >0时，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0．假设1a <1，即a >1，那么1a<x <1；假设1a＝1，即a ＝1，那么x ∈∅；假设1a >1，即0<a <1，那么1<x <1a．综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1．解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．[跟进训练]2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0．∵a <0，∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0．当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1； 当a <－2时，－1≤x ≤2a．综上所述，当－2<a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a ．三个“二次〞的关系[探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？[提示]y ＝x 2－2x －3的图象如示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3的图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？[提示] 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，那么x 1＋x 2，x 1x 2为何值？[提示] 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．[例3] 关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[思路点拨][解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6．由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12．法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12．1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． [解] 由根与系数的关系知ba ＝－5，c a＝6且a <0．∴c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a >0，即x 2－b c x ＋a c <0，即x 2＋56x ＋16<0．解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13．以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：1根据解集来判断二次项系数的符号；2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；3约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，假设(x－m)(x－n)＞0，那么可得{x|x＞n或x＜m}；假设(x－m)(x－n)＜0，那么可得{x|m＜x＜n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏〞，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0．(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )(2)假设a>0，那么一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )(3)假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，那么一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R ．( )[提示] (1)当m ＝0时，是一元一次不等式；当m ≠0时，是一元二次不等式． (2)因为a >0，所以不等式ax 2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R ． (3)当a >0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，否那么不成立． (4)因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R ． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．设a <－1，那么关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a [因为a <－1，所以a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0．又a <－1，所以1a >a ，所以x >1a或x <a ．]3．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，那么ax 2－bx ＋c >0的解集为．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2 [由题意知－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a，－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a ，解得a ＝c ，b ＝52a ．所以不等式ax 2－bx ＋c >0，即为2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2，即不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2．] 4．解以下不等式： (1)x (7－x )≥12； (2)x 2>2(x －1)．[解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，word所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．- 11 - / 11。

三个“二次”之间的关系一、知识梳理(1)二次函数的三种解析式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ；)0(≠a 顶点式：n m x a y +-=2)()0(≠a 两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2) )0(≠a(2)当a ＞0，二次函数)(x f 在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ， 令x 0＝21(p ＋q ). 若－ab 2＜p ，则)(p f ＝m ，)(q f ＝M ；若p ≤－a b 2＜x 0，则f (－a b2)＝m ，)(q f ＝M ；若x 0≤－a b 2＜q ，则)(p f ＝M ，f (－a b2)＝m ；若－ab 2≥q ，则)(p f ＝M ，)(q f ＝m ．)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ＝0的实根分布及条件(1)方程)(x f ＝0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·)(r f ＜0；(2)二次方程)(x f ＝0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内只有一根⇔)(p f ·)(q f ＜0，或)(p f ＝0(检验)或)(q f ＝0(检验),检验另一根在(p ，q )内成立.提 示提 示(5)方程)(x f ＝0两根的一根大于p 小于q ，另一根小于p (p ＜q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .(1)二次不等式)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是 (－∞，α]∪［β，＋∞)⇔a ＜0且)(αf ＝)(βf ＝0； (2) 当a ＞0时，)(αf ＜)(βf ⇔ |α＋a b 2|＜|β＋a b2|， 当a ＜0时，)(αf ＜)(βf ⇔|α＋a b 2|＞|β＋ab2|；(3)当a ＞0时，二次不等式c bx ax ++2＞0在［p ，q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>≤-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(2,0)2(,2q f q a b a b f q ab p 或(4) 02>++c bx ax 恒成立⇔ ⎩⎨⎧<∆>00a 或 ⎩⎨⎧>==0c b a 02<++c bx ax恒成立 ⇔ ⎩⎨⎧<∆<00a 或 ⎩⎨⎧<==00c b a二、方法归纳1．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及一元二次方程、一元二次不等式的时候常常结合图形寻找思路．2．含字母系数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的最值与给定闭区间的关系，一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系．3．关于二次函数)(x f y =对称轴的判定方法：(1) 如果二次函数)(x f y =存在两个不相等的数1x 、2x ，有)()(21x f x f =，那么函数)(x f y =图象的对称轴方程为221x x x +=.(2)一般函数)(x f y =对定义域内所有x ，都有)()(x b f x a f -=+成立，那么函 数)(x f y =图象的对称轴方程为2ba x +=． 4． 二次方程的实根分布，也是二次函数的零点分布，是高考的一个热点问题．解决问题的关键在于作出二次函数的图象，运用数形结合的思想从判别式、对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解．三、典型例题精讲［例1］已知函数)(x f y =是开口向上的二次函数，)1()1(x f x f +=-，3)0(=f ，且)(x f 的最小值为2，求)(x f y =的解析式．［例2］若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，2]B.[－2，2]C.(－2，2]D.(－∞，－2)变式1：若不等式13642222<++++x x kkx x 对R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. R B. ()3,1 C. ()1,∞- D. () 1,∞-()+∞,3［例3］二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________.［例4］函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ）A ．)1(f ≥25B ．)1(f ＝25C ．)1(f ≤25D ．)1(f ＞25变式2：函数()m x mx x f ++=42，若R x ∈时恒有()3>x f ，则m 的取值范围是（ ）A. ()4,∞-B. ()+∞,4C. ()1,-∞-D. ()+∞-,1 ［例5］（1）二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围． （2）已知方程0)1(22=++-m x m x 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． ［例6］已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值．变式3：求二次函数32)(2+-=x x x f 在区间]2,2[-上的最大值与最小值． ［例7］求函数()122+-=ax x x f 在[]3,1∈x 上的最小值．变式4：求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值． 变式5：求函数243y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值．［例8］二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值．提 示。

《关于“三个二次”之间关系》教学设计一、教材分析：“三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究二次曲线与直线的位置关系、运用导数解决复杂函数性质等问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题。

”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。

二、学生分析：“三个二次”中，一元二次函数最为重要，在初中学生就学习了二次函数，研究了二次函数的定义、图像、性质和实际问题中的最值，往往作为中考试题的最后一个压轴题。

初中也学习了一元二次方程及其规范解法，如公式法、因式分解法等。

只有一元二次不等式及解法在初中仅是初步了解。

初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。

升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。

三、教学目标：1．掌握二次函数的图像和性质，理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系；2．通过绘制二次函数的图像体会一元二次方程的根与函数图像与x 轴的交点的关系与一元二次不等式的解集与二次函数图像上的点的关系；3.培养学生的识图、绘图和用图能力，体会数形结合思想及普遍联系的观点。

四、教学重点、难点教学重点：三个二次之间的关系，及它们之间的相互转化； 教学难点：带参数的不等式恒成立问题。

教学过程： 一、引入：课前问题：(1).本节课我们学了什么？(2).你有什么发现？二|、问题设置问题1：求下列方程的根222(1).x 230(2).x 240(3).x 230x x x --=--=-+=问题2.作出下列函数的图像222(1).y x 23(2).y x 24(3).y x 23x x x =--=--=-+2y x 23113x x =---<<问题3.观察二次函数的图像：）当时，函数值有何特点？2）当x<-1时，函数值有何特点？221230230x x x x --≥--≤变式：解不等式）2）练习.解不等式2222(1).60(2).280(3).10(4).10x x x x x x x x +-<--≥++<--+≤三、例题应用 例1．210,x ax b a b --≥）已知不等式的解集为[-1,3],求的值。