组合数学-第十节：递推关系

组合数学例题和知识点总结组合数学是一门研究离散对象的组合结构及其性质的数学分支。

它在计算机科学、统计学、物理学等领域都有着广泛的应用。

下面我们通过一些例题来深入理解组合数学中的重要知识点。

一、排列组合排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。

组合则是指从给定的元素集合中取出若干个元素组成一组，不考虑其顺序。

例题 1：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的公式，＼（A_{5}＾3 ＝ 5×4×3 ＝ 60\）（种）例题 2：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行组合，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的公式，＼（C_{5}＾3 ＝＼frac{5×4×3}｛3×2×1} ＝10\）（种）知识点总结：1、排列数公式：＼（A_{n}＾m ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1)＼）2、组合数公式：＼（C_{n}＾m ＝＼frac{n!｝｛m!（n m)！｝＼）二、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。

例题 3：在一个班级中，有 20 人喜欢数学，15 人喜欢语文，10 人既喜欢数学又喜欢语文，求喜欢数学或语文的人数。

解：设喜欢数学的集合为 A，喜欢语文的集合为 B，则喜欢数学或语文的人数为＼（｜A ∪ B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A ∩ B| ＝ 20 ＋ 15 10＝ 25\）（人）知识点总结：容斥原理的一般形式：＼（｜＼cup_{i=1}＾｛n} A_i| ＝＼sum_{i=1}＾｛n} ｜A_i| ＼sum_{1\leq i ＜ j\leq n} ｜A_i ∩ A_j| ＋＼sum_{1\leq i ＜ j ＜ k\leq n} ｜A_i ∩ A_j∩ A_k| ＋（－1)＾｛n 1} ｜A_1 ∩ A_2 ∩ ∩ A_n|＼）三、鸽巢原理鸽巢原理也叫抽屉原理，如果有 n ＋ 1 个物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。

递推关系知识点总结一、递推关系的基本概念1.1 递推关系的定义递推关系是一种反映事物发展变化规律的数学模型。

通常来说，递推关系是指数列的前项与后项之间的关系。

例如，斐波那契数列就是一个经典的递推关系，它的递推式是F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。

1.2 递推关系的元素递推关系一般包括以下几个元素：- 初始条件：递推关系的第一个数值，通常是已知的特定值。

- 递推公式：描述数列前后项之间关系的公式，用于计算数列后续项的值。

- 递推方程：将递推公式用代数方式表示的方程。

1.3 递推关系的类型根据递推公式的性质和形式，递推关系可以分为线性递推关系、非线性递推关系、齐次递推关系、非齐次递推关系等类型。

不同类型的递推关系有不同的性质和求解方法。

二、递推关系的性质2.1 线性递推关系的性质线性递推关系具有以下性质：- 线性组合性：若数列{an}与{bn}分别满足递推关系an=an-1+an-2和bn=bn-1+bn-2，则任意常数c1和c2的线性组合{c1an+c2bn}也满足递推关系an=an-1+an-2。

- 独立性：若数列{an}和{bn}都满足递推关系an=an-1+an-2，则其线性组合{an+bn}也满足该递推关系。

2.2 齐次递推关系的性质齐次递推关系是指递推关系的递推式中不包含任何常数项或者其他特殊项。

对于齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2，其中c1和c2是任意常数，n1和n2是特征方程的两个不同实根，那么其特解为包含初始条件的实数数列。

2.3 非齐次递推关系的性质非齐次递推关系是指递推关系的递推式中包含有常数项或者其他特殊项。

对于非齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2+fn，其中cn1^n+cn2^n2是其对应的齐次递推关系的通解，fn是递推式的非齐次项对应的特解。

三、递推关系的求解方法3.1 通项公式法通项公式法是求解递推关系最直接的方法。

组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。

（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。

（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。

（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。

组合排列知识点总结图组合和排列是组合数学中的两个基本概念，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。

本文将对组合和排列的基本概念、性质、计算方法和应用进行详细总结。

一、组合的基本概念1.1 定义组合是指从n个元素中任取m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同子集的个数，记作C(n,m)。

1.2 性质（1）组合数的对称性: C(n,m)=C(n,n-m)；（2）组合数的递推关系: C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；（3）组合数的定理: C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

1.3 计算方法（1）排列组合法: 通过从n个元素中选择m个元素，再对选出的元素进行排列，计算出不同子集的个数；（2）递推法: 利用组合数的递推关系计算组合数；（3）公式法: 利用组合数的定理计算组合数。

1.4 应用组合数在概率、统计、密码学、组合优化等领域有着广泛的应用，例如在概率中用于计算事件的发生可能性，在密码学中用于设计密码系统等。

二、排列的基本概念2.1 定义排列是指从n个元素中按照一定的顺序取出m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同排列的个数，记作A(n,m)。

2.2 性质（1）排列数的递推关系: A(n,m)=n*A(n-1,m-1)；（2）排列数的定理: A(n,m)=n!/(n-m)!。

2.3 计算方法（1）递推法: 利用排列数的递推关系计算排列数；（2）公式法: 利用排列数的定理计算排列数；（3）循环法: 利用循环的方法计算排列数。

2.4 应用排列数在数学、经济学、计算机科学等领域有着广泛的应用，例如在计算机科学中用于设计算法和数据结构，在经济学中用于研究排列相关的问题等。

三、组合排列的应用3.1 组合排列的求解（1）组合排列的具体问题求解：如从10个不同的元素中取3个元素，求排列数和组合数等；（2）组合排列的问题求解方法: 利用组合数和排列数的定义、性质和计算方法进行具体问题的求解。

数列的递推关系知识点数列是指按照一定顺序排列的一系列数值的集合。

在数学中，我们经常会遇到数列，并且常常需要研究数列之间的关系。

递推关系就是描述数列中各项之间的依赖关系，通过递推关系我们可以推导出数列的后续项。

一、定义和表示数列可以用以下形式来表示：{a1, a2, a3, ... , an, ...}，其中a1, a2,a3, ...表示数列的各项，an表示数列中第n项。

我们可以根据数列的递推关系来计算数列的任意一项。

二、常见数列的递推关系下面我们将介绍一些常见数列的递推关系及其特点。

1.等差数列等差数列是指数列中每一项与它的前一项之间的差值是一个常数d （公差）的数列。

等差数列的递推关系可以表示为：an = a1 + (n - 1)d。

其中a1是等差数列的首项，d是公差。

例如，对于等差数列{1, 3, 5, 7, ...}，其首项a1为1，公差d为2，递推关系为an = 1 + (n - 1) * 2。

2.等比数列等比数列是指数列中每一项与它的前一项之间的比值是一个常数q （公比）的数列。

等比数列的递推关系可以表示为：an = a1 * q^(n - 1)。

其中a1是等比数列的首项，q是公比。

例如，对于等比数列{2, 6, 18, 54, ...}，其首项a1为2，公比q为3，递推关系为an = 2 * 3^(n - 1)。

3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项等于前两项之和的数列。

斐波那契数列的递推关系可以表示为：an = an-1 + an-2。

其中a1和a2是斐波那契数列的前两项。

例如，斐波那契数列的前几项为{1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}，其递推关系为an = an-1 + an-2。

三、递推关系的应用递推关系在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用场景。

1.求数列的第n项通过递推关系，我们可以计算数列的任意一项。

以等差数列为例，假设我们想要计算等差数列{3, 5, 7, 9, ...}的第100项。

组合专题：组合递推模型的成立 梁久阳前言：递推模型是组合数学中一个独特的分支，它让人感觉既漂亮又神奇，将前一项与后一项之间难以言说的关系用一个简单的式子就能够表现出来，能够说是十分奇异。

一．什么是递推递推关系的概念是：给定一个数的序列H(0),H(1),…, H(n),…假设存在正整数n0，使适当n ≥n0时，能够用等号(或小于，大于号)把H(n)和前面某些项H(i)，0≤ i <n ，联系起来，如此的式子叫做递推关系。

递推关系也称递归关系，递归方程。

从本质上讲，递推关系是研究整变量函数的或说是研究数列的，与此对应的是持续论域中的微分方程。

因此，咱们能够类似的方式对它们进行研究。

利用递推关系和初值在某些情形下能够求出序列的通项表示式H(n) 。

可是关于大多数递推关系，目前还解不出H(n)的显式来， 即便如此，关于给定的n 也能够从初值开始，一步一步地计算出H(n)的值或范围，而H(n)一样代表了某个组合计数问题的解，因此递推关系是组合计数的重要工具，同时也是算法分析的重要手腕。

咱们需要研究的，只限于高中讲义和竞赛书上的内容，其他的大学再说。

二．经典例题分析（按类型划分）（1）a n =p ·a n －1+q 型【例1】某种电路开关闭合后，会显现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，显现红灯和绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，假设前次显现红灯的概率是13，显现绿灯的概率是23；假设前次显现绿灯，那么下次显现红灯的概率是35，显现绿灯的概率是25，记开关第n 次闭合后显现红灯的概率为P n .(1)求：P 2；(2)求证：P n <12(n ≥2)；(3)求lim n n P .解：(1)第二次闭合后显现红灯的概率P 2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯.于是P 2=P 1·13+(1－P 1)·35=715.(2)受(1)的启发，研究开关第N 次闭合后显现红灯的概率P n ，要考虑第n －1次闭合后显现绿灯的情形，有P n =P n －1·13+(1－P n －1)·35=－415P n －1+35，再利用待定系数法：令P n +x =－415(P n －1+x )整理可得x =－919∴{P n －919}为首项为(P 1－919)、公比为(－415)的等比数列 P n －919=(P 1－919)(－415)n －1=138(－415)n －1，P n =919+138(－415)n －1∴当n ≥2时，P n <919+138=12(3)由(2)得lim n n P=919. 【例2】A 、B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规那么如下:假设掷出的点数之和为3的倍数时，那么由原掷骰子的人继续掷；假设掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A 开始掷.设第n 次由A 掷的概率为P n ，(1)求P n ；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率.解：第n 次由A 掷有两种情形：① 第n －1次由A 掷，第n 次继续由A 掷，现在概率为1236P n －1；② 第n －1次由B 掷，第n 次由A 掷，现在概率为(1－1236)(1－P n －1).∵两种情形是互斥的∴P n =1236P n －1+(1－1236)(1－P n －1)(n ≥2)，即P n =－13P n －1+23(n ≥2)∴P n －12=－13(P n －1－12)，(n ≥2)，又P 1=1∴{P n －12}是以12为首项，－13为公比的等比数列.∴P n －12=12(－13)n －1，即P n =12+12(－13)n －1.⑵2881. （2）a n +1=p ·a n +f (n )型【例3】(传球问题)A 、B 、C 、D 4人相互传球，由A 开始发球，并作为第一次传球，通过5次传球后，球仍回到A 手中，那么不同的传球方式有多少种？假设有n 个人彼此传球k 次后又回到发球人A 手中的不同传球方式有多少种？分析：这种问题人数、次数较少时经常使用树形图法求解，直观形象，但假设人数、次数较多时树形图法那么力不从心，而成立递推数列模型那么可深切问题本质.解：4人传球时，传球k 次共有3k种传法.设第k 次将球传给A 的方式数共有a k (k ∈N *)种传法，那么不传给A 的有3k－a k 种，故a 1=0，且不传给A 的下次都可传给A ，即a k +1=3k －a k 。

递推法知识点总结递推法是数学中一个重要的工具，它在证明定理、解决问题和计算数值等方面都有广泛的应用。

递推法的基本思想是通过建立递推关系来求解问题，利用已知的前一项或前几项推导出后一项，是一种逐步推进的方法。

本文将介绍递推法的基本概念、应用场景和解决问题的方法，并总结了一些常见的递推法知识点。

一、基本概念递推法的基本概念包括递推关系、初始条件和递推式等。

1. 递推关系递推关系是指数列或函数中相邻项之间的关系，它描述了数列或函数中每一项与前一项之间的联系。

一般来说，递推关系可以用递推式来表示，是解决问题的基础。

2. 初始条件初始条件是指递推关系中的起始条件，也就是递推序列或函数中的第一项或前几项的值。

在解决递推问题时，初始条件的确定是非常重要的，它可以唯一确定递推序列或函数。

3. 递推式递推式是递推关系的具体表示，通过递推式可以确定数列或函数中每一项的值。

递推式通常是由递推关系和初始条件联合确定的，它可以用于求解递推序列或函数的任意项。

二、应用场景递推法在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决各种不定式、等差数列、等比数列、斐波那契数列、组合数学、数值计算等问题。

1. 不定式在解决不定式问题时，递推法通常可以用来寻找递推关系和递推式，通过递推关系和初始条件可以求解不定式的解集。

2. 等差数列和等比数列递推法是求解等差数列和等比数列的常用方法，通过建立递推关系和初始条件可以确定数列中的每一项的值，从而求解数列的和、通项公式等。

3. 斐波那契数列递推法是求解斐波那契数列的重要方法，通过递推关系和初始条件可以确定斐波那契数列中每一项的值，从而求解斐波那契数列的性质和特点。

4. 组合数学在组合数学中，递推法常常用于求解排列组合、图论、概率论等问题，通过递推关系和初始条件可以确定组合数学中的各种组合数量、排列数量等。

5. 数值计算递推法在数值计算中也有着广泛的应用，通过递推关系和初始条件可以确定数值序列或函数中每一项的值，从而实现对数值问题的求解。

组合数学知识点总结组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。

它在计算机科学、统计学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。

下面我们来详细总结一下组合数学的一些重要知识点。

一、基本计数原理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn种不同的方法。

2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。

这两个原理是组合数学中最基本的原理，许多计数问题都可以通过这两个原理来解决。

二、排列与组合1、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m)，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素进行排列，排列数为 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 602、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记为 C(n, m)，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! （n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的组合数为 C(5, 3) ＝ 5!／ 3! （5 3)！＝ 10组合与排列的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。

三、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。

设A1, A2, …， An 是有限集合，其元素个数分别为｜A1|，｜A2|，…，｜An|，则它们的并集的元素个数为：｜A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| ＝∑｜Ai| ∑｜Ai ∩ Aj| ＋∑｜Ai ∩ Aj ∩Ak| … ＋（－1)＾（n 1) ｜A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|容斥原理在解决包含与排除问题时非常有用。

通项公式和递推关系
通项公式是指数列中的每一项与项号之间的关系式。

通项公式可以通过观察数列的规律、使用递推关系或利用数学方法推导得出。

递推关系是数列中相邻项之间的关系式。

通过已知的前几项，可以通过递推关系计算出后面的项数。

递推关系可以是线性关系、二次关系、几何关系等。

举例来说：
1.等差数列的通项公式和递推关系：
通项公式：an = a1 + (n-1)d
其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

递推关系：an = an-1 + d
2.等比数列的通项公式和递推关系：
通项公式：an = a1 * r^(n-1)
其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

递推关系：an = an-1 * r
除了等差数列和等比数列，还有其他类型的数列，如斐波那契数列、等差三角数列等，它们都有各自的通项公式和递推关系。

拓展：
还有一种特殊的数列称为递归数列，它的每一项都是前面若干项
的函数。

递归数列的通项公式无法通过递推关系直接得出，而是需要
找到项之间的递推规律，通过前面的项算出后面的项。

递归数列常见
的例子是费氏数列，其通项公式为：
Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = F2 = 1。

有时候，数列的规律不仅仅通过递推关系来确定，还需要借助于
其他数学工具，如组合数学中的排列组合、二项式定理等。

在某些情
况下，数列的通项公式可能无法通过已知的方法求得，这时候需要借
助于数值计算、数学推论或者近似方法来获取数列的一些特性和性质。

利用递推关系解决组合问题在数学上，组合问题是指从给定集合中选取一定数量的元素（不能有序）的方式和数量。

解决组合问题可以用递推关系的方法来进行。

在这里，我们将探讨如何利用递推关系解决组合问题。

首先，让我们回顾一下组合的概念。

假设有一个具有n个元素的集合，我们想要从中选择r个元素（r≤n），这样的选择称为一个组合。

组合数通常表示为C(n,r)，表示从n个元素中选择r个元素的方式数量。

计算组合数可以用以下的组合公式：\[ C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1。

然而，在某些情况下，直接计算组合数可能会比较麻烦，这时候可以利用递推关系来解决组合问题。

递推关系指的是通过已知的子问题的解来推导出更大规模问题的解。

在组合问题中，可以利用以下的递推关系来计算组合数：\[ C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1) \]这个递推关系的意思是，要么选择第n个元素，然后从前n-1个元素中再选择r-1个元素；要么不选择第n个元素，然后从前n-1个元素中选择r个元素。

通过不断地递归计算，最终可以得到从n个元素中选择r个元素的组合数。

举个例子来说明递推关系的运用。

假设我们想要从{A, B, C, D, E}这个集合中选择3个元素的组合数。

根据递推关系，可以得到以下计算过程：C(5,3) = C(4,3) + C(4,2)C(4,3) = C(3,3) + C(3,2)C(4,2) = C(3,2) + C(3,1)C(3,3) = 1C(3,2) = 3C(3,1) = 3通过上面的计算过程，我们可以得到C(5,3)=10，即从{A, B, C, D, E}这个集合中选择3个元素的组合数为10种。

总而言之，递推关系是一种解决组合问题的有效方法。

通过不断地推导子问题的解，最终可以得到更大规模问题的解。

利用递推关系解决组合问题，不仅可以简化计算过程，还可以提高计算效率，是解决组合问题的一种重要方法。