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(优选)组合数学课件第六章递推关系

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组合数学(第二版)递推关系

组合数学(第二版)递推关系

递推关系
其次,证明an 是通解.若给定一组初始条件
可以仿照齐次方程通解的证明方法,证得相应于条件式 (3.2.11)的解一定可以表示为式 (3.2.10)的形式.
关于 的求法已经解决,这里的主要问题是求式(3.2.2) 的特解an * .遗憾的是寻求特 解还没有一般通用的方法.然而, 当非齐次线性递推关系的自由项f(n)比较简单时,采用 下面的 待定系数法比较方便.
递推关系 【例 3.4.2】 棋盘染色问题:给一个具有1行n 列的1×n
棋盘(见图3.4.1)的每一个 方块涂以红、蓝二色之一,要求相 邻的两块不能都染成红色,设不同的染法共有an 种,试 求an.
图 3.4.1 1×n 棋盘
递推关系
递推关系
【例3.4.3】 交替子集问题:有限整数集合Sn={1,2,…,n} 的一个子集称为交替的, 如果按上升次序列出其元素时,排列 方式为奇、偶、奇、偶、…….例如{1,4,7,8}和 {3,4,11}都是, 而{2,3,4,5}则不是.令gn表示交替子集的数目(其中包括空集), 证明
且有gn=Fn+2.
递推关系
证 显然,g1=2,对应S1 的交替子集为⌀和{1}.g2=3,对应S2 的交替子集为⌀、 {1}、{1,2}.
将Sn 的所有子集分为两部分: (1)Sn-1={1,2,…,n-1}的所有子集; (2)Sn-1的每一个子集加入元素n 后所得子集. 例如,n=4,S4={1,2,3,4}的所有子集划分为两类,即 (1)⌀、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}; (2){4}、{1,4}、{2,4}、{3,4}、{1,2,4}、{1,3,4}、 {2,3,4}、{1,2,3,4}.

递推关系与Fibonacci数列PPT课件

递推关系与Fibonacci数列PPT课件

G( x) x2 x x(G( x) x) x2G(x)
(1 x x2 )G(x) x
x G(x) 1 x x2 .
第16页/共25页
方程1-x-x2=0的两个根设为：
1 5 , 1 5 ,
2
2
则有
x
A
B
G(x)
1
x
x2
1x
1
. x
利用待定系数法易有
因此有
A1 5, B 1 5,
____________________________ 9xB(x) 9b1x 9b2x2 ) xA(x) a1x a2x2
(1 9x)B(x) xA(x) 1
这样就得到了关于A(x)和B(x)的联立方程组：
可以解得：
(1 9x)A(x) xB(x) 8, xA(x) (1 9x)B(x) 1,
第12页/共25页
递的推母关函系数为Gn(xC)，(则n, r ) C(n, r 1)中有C2个(n参数1，,对r )于固定的n， C (n, r )
Gn(x) C(n,0) C(n,1)x C(n, 2)x2
____________________________ xGn(x)
C(n,0)x C(n,1)x2
满足si=0或1，且si si+1=0。
(2) 边长为Fn的正方形可以分解为若干个边长为Fi和Fi+1的长方形。
参见课本图形。
第18页/共25页
(3) F1 F2
Fn Fn2 1;
F1 F3 F2 F2 F4 F3
Fn1 Fn1 Fn
_____)____F_n __Fn_2__F_n_1___________
F1 F2

第06-07讲 组合数学——递推关系

第06-07讲 组合数学——递推关系

定理
r 阶线性常系数非齐次递推关系的通解an是该非齐 次递推关系的一个特解an[p]，加上其相应的齐次 递推关系的通解an[c] [ p] [c ] 即
an an
an
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多项式型非齐次递推关系
一般形式 a c a ... c a p( n) n 1 n 1 r nr
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定义
如果递推关系式1的每个解an[s]都可以选择一组常 数B1’ , B2’ ,…, Br’ 使得
an B 1 m B 2 m ... Br m
' n 1 ' n 2 '
s
n r
' n n n 成立，则称 B1 m1 B'2 m2 ... B'r mr 是递推关系式1的通解，其中：B1’ , B2’ ,…, Br’是 任意常数。
D1
Dn
Dn1
D2
P

D3
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r 阶递推关系的一般形式
an c1 nan1 c2 nan 2 ... cr nan r en 其中：n r , cr 0
若e(n) = 0，称其为齐次递推关系式
若e(n)≠0，称其为非齐次递推关系式
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常系数齐次线性递推关系
一般形式：
an c1an1 c2an 2 ... cr an r 0 其中：r 0 c
特征方程：
（式1）
m r c1m r 1 c2 m r 2 ... c r 0
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组合数学递推关系

组合数学递推关系

(6.2.4)
如果方程组（6.2.4）有唯一解b'1 , b'2 ,, b'k ，这说明可以找到 这k个常数，使得
解. 考察方程组（6.2.4），它的系数行列式为这是著名的 Vandermonde行列式.因为 q1 , q2 ,, qk 互不相等，所以该行 列式不等于零，这也就是说方程组（6.2.4）有唯一解.
求解递推关系的常用方法 （1）迭代归纳法； （2）特征根法； （3）生成函数法；
例6.1.1（爬楼梯问题）一个小孩要爬上n阶 楼梯，每次可上一阶或两阶，问上n阶有多 少种上法？ 解：
显然登上1阶台阶有1种方法，登上2台阶有2种方法， f(1）=1，f(2)=2 ,称为递推关系的初始条件。 设有f(n) 种方法，要登上这n阶台阶，最后迈上一个台 阶或两个台阶完成. （1）若最后是迈上一个台阶完成的，则前面登上了n1阶台阶，有f(n-1) 种方法； （2）若最后是迈上两个台阶完成的，则前面登上了n2阶台阶，有f(n-2) 种方法，根据加法原理有递推关系： f(n)=f(n-1)+f(n-2) .
n n 1 n 1 n
例6.2.2
f (n) 2 f (n 1) 3 f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 先求通解，特征方程是： x 2x 3 0
•
关于微分方程求解的已知结论:
1. 对于4次以及4次以下的方程,目前已有代数解法.(在复数 域内求解) 2. 阿贝尔定理: 5次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.
例6.2.1 求Fibonacci数的递推关系
n2 f (n) f (n 1) f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 解：特征方程为x 2 x 1 0, 1 5 1 5 两个特征根分别是：x1 , x2 , 2 2 1 5 n 1 5 n 因此通解f (n) c1 ( ) c2 ( ) 2 2

组合数学第六章递推关系

组合数学第六章递推关系

h(n)＝b’1q1 n＋b’2q2 n＋……＋b’kqk n ＝ ＋ 成立，从而b1q1 n＋b2q2 n＋……＋bkqk n是该递推关系的通 ＋
• 常系数线性齐次递推关系的求解步骤 1. 根据题意求递推关系 2. 利用递推关系得到特征方程 3. 解特征方程，求特征根 解特征方程， 4. 利用特征根写递推关系通解 5. 根据初值确定通解中的系数 6. 给出递推关系的解 • 关于微分方程求解的已知结论: 关于微分方程求解的已知结论 微分方程求解的已知结论
例6.1.2 Fibonacci数列问题是一个古老的数 数列问题是一个古老的数 学问题，是于1202年提出的，问题表述如下: 1202年提出的 学问题，是于1202年提出的，问题表述如下: 把一对兔子（ 雄各一只） 把一对兔子（雌、雄各一只）在某年的 开始放到围栏中， 开始放到围栏中，每个月这对兔子都生出一 对新兔，其中雌、雄各一只。 对新兔，其中雌、雄各一只。由第二个月开 每对新兔每个月也生出一对新兔， 始，每对新兔每个月也生出一对新兔，也是 雄各一只。 雌、雄各一只。问一年后围栏中有多少对兔 这是一个数学模型的形象表示， 子？这是一个数学模型的形象表示，不能真 正用来表示兔子的繁殖规律。 正用来表示兔子的繁殖规律。
方程 xk-c1xk-1-c2xk-2-……-ck=0 • 递推关系的特征根 特征方程的k个根q1 ， q2……qk(可能有重根)，其中qi (i=1,2,……,k)是复数。 • 递推关系的解与特征根的关系？ 递推关系的解与特征根的关系？
引理6.2.1 设q是非零复数.则f(n)=qn是常系数线 引理 性齐次递推关系的解，当且仅当q是它的特征根. 证明 设f(n)=qn是递推关系(6.2.2)的解，即
求解递推关系的常用方法 （1）迭代归纳法； （2）特征根法； （3）生成函数法；

6.2.3-6.2.4组合、组合数-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第三册)

6.2.3-6.2.4组合、组合数-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第三册)

m !( n m 1)!

( n 1) n !
( n 1)!
C nm 1 .

m !( n m 1)!
m !( n m 1)!
PART.04
组合与组合数的应用
概念讲解
例 3.求值：(1)3C38－2C25；
－
n
3n
(2)C38
＋C
3n
21＋n.
8×7×6
1
6
2
5
3
3
3
3
解：在(1)的基础上再进行全排列，所以一共有 C C C A ＝360(种)方法.
例题剖析
（3）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不
同的方法？
解：可以分为三类情况：①“2,2,2 型”
，有 C26C24C22＝90(种)方法；
②“1,2,3 型”
，有 C16C25C33A33＝360(种)方法；
件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的
抽法种数为
1
C 21C 982 C 22C 98
9506 98 9604.
(间接法)：抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出
3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即
3
100
C
98 97 96
人教A版2019选修第三册
第 六 章 计数原理
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
教学目标
1.通过实例理解组合的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式.
3.能解决有限制条件的组合问题.
4.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学

组合数学递推关系公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

n>1时, 先把A柱最上面n-1张盘通过C柱 移到B上;
然后再将A柱上最下面盘移到C盘上; 最后将B盘上盘通过A盘移到C盘上。
第2页
2
2.1 递推关系
void hanoi(char A,char B,char C,int n) {if (n==1)
printf(“move disk1 from %c to %c” A,C) else
第15页 15
1.母函数在求组合中应用
数列a0,…,a8相应数值是 1,0,28,0,70,0,28,0,1。结构母函数为:
A(x) 1 28x2 70x4 28x6 x8
类似办法可得女同志允许组合数 相应母函数为:
B(x) 10x2 10x3 5x4 x5
第16页 16
1.母函数在求组合中应用
ekx 1 kx (kx)2 (kx)3 ... (kx)n ...
2! 3!
n!
sin x
x
x3
x5
x7
...
(1)n
x 2 n 1
...
3! 5! 7!
( 2n 1)!
cos x 1 x2 x4 x6 ... (1)n x2n ...
2! 4! 6!
( 2n)!
第20页 20
+(r2w+r2y+rwy)+r2wy
把r,w,y都用x来表示，可得: (1+x+x2)(1+x)(1+x) = (1+x+x2)(1+2x+ x2) =1+3x+4x2+3x3+x4
这个函数系数恰好与取不同球数组合数相等, 这就是 母函数方法。

组合数学求解递推关系2


性质3
对线性齐次递推式：
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
设 ak x k , 可以吗？
相应的特征方程为：
x k a1 x k 1 ... ak 1 x ak 0
若 q 是特征方程的解， 则 q n 是齐次递推式的解 .
性质4
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qk 是特征方程的 k个不同的
特征根，则 hn c1q1 c2 q2 ... ck qk
n n n
是齐次递推式的通解 .
对初始条件 h0 , h1 , ...， hk -1， 可以唯一确定 hn c1q1 c2 q2 ... ck qk
总结
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qt 是特征方程的全部互异 的特征根， qi 是si 重根（ i 1,2,..., t )，则 hn H n 其中 Hn
(i ) (1)
错位排列 :
Dn ( n 1)( Dn-1 Dn-1 )
二阶变系数线性齐次式。
Dn nDn-1 ( 1)n
一阶变系数线性非齐次式。 例2 Fibonacci数列 f n f n-1 f n- 2 , f 0 0, f1 1 二阶常系数线性齐次式。 例3 等比数列 hn qhn1 一阶常系数齐次 等差数列 hn hn1 d 一阶常系数非齐次 阶乘数列 hn n hn1 一阶变系数齐次

利用递推关系解决组合问题

利用递推关系解决组合问题在数学上，组合问题是指从给定集合中选取一定数量的元素（不能有序）的方式和数量。

解决组合问题可以用递推关系的方法来进行。

在这里，我们将探讨如何利用递推关系解决组合问题。

首先，让我们回顾一下组合的概念。

假设有一个具有n个元素的集合，我们想要从中选择r个元素（r≤n），这样的选择称为一个组合。

组合数通常表示为C(n,r)，表示从n个元素中选择r个元素的方式数量。

计算组合数可以用以下的组合公式：\[ C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1。

然而，在某些情况下，直接计算组合数可能会比较麻烦，这时候可以利用递推关系来解决组合问题。

递推关系指的是通过已知的子问题的解来推导出更大规模问题的解。

在组合问题中，可以利用以下的递推关系来计算组合数：\[ C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1) \]这个递推关系的意思是，要么选择第n个元素，然后从前n-1个元素中再选择r-1个元素；要么不选择第n个元素，然后从前n-1个元素中选择r个元素。

通过不断地递归计算，最终可以得到从n个元素中选择r个元素的组合数。

举个例子来说明递推关系的运用。

假设我们想要从{A, B, C, D, E}这个集合中选择3个元素的组合数。

根据递推关系，可以得到以下计算过程：C(5,3) = C(4,3) + C(4,2)C(4,3) = C(3,3) + C(3,2)C(4,2) = C(3,2) + C(3,1)C(3,3) = 1C(3,2) = 3C(3,1) = 3通过上面的计算过程，我们可以得到C(5,3)=10，即从{A, B, C, D, E}这个集合中选择3个元素的组合数为10种。

总而言之，递推关系是一种解决组合问题的有效方法。

通过不断地推导子问题的解，最终可以得到更大规模问题的解。

利用递推关系解决组合问题，不仅可以简化计算过程，还可以提高计算效率，是解决组合问题的一种重要方法。

组合数学课件(第四章二项式系数)

重点：二项式定理、多项式定理证明方法及其应用；
难点：一些组合恒等式证明方法，非降路径问题组合意
义及应用。
§4.1二项式定理
1.二项式系数
( ) 组合数C(n,k)或者
n k
也叫二项式系数.
2. 组合数的定义
n k
0, n!
k!(n
, k )!
0
k n, k n.
3.组合数的一些恒等式
（1）对称式
剩下的n-1个元素中选择k-1个，组合数为C(n-1,k-1)。选出的k个
元素都有可能被第一次选中，因是组合，故重复度为k。得证。
) ) 或通过计算证明： 若k n,
n k
n k
n1 k 1
0
若1 k n, 有
)n
k
n(n 1)...(n k 1) k(k 1)...1
) n (n 1)(n 2)...(n k 1) n
恒等式(4.12)：如n,r∈N，有C(n+r+1,r) = C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+…+C(n+1,1)+C(n,0)
证明I：反复利用Pascal公式，即可证明。 或利用组合分析法，在集合A={an+r+1}的n+r+1个不同元素选出r 个元素的组合可分为以下多种情况：如r个元素中不包含a1，相 当于从除去a1的n+r个元素中选出r个元素的组合，组合数为 C(n+r,r)；如r个元素中包含a1但不包含a2，相当于从除去a1,a2的 n+r-1个元素中选出r-1个元素的组合，再加上a1而得到，组合数 为C(n+r-1,r-1), …,同理如r个元素中包含a1,a2,…,ar-1，但不包含ar ，相当于从剩下的n+1个元素中选出1个元素的组合，再加上 a1,a2,…,ar-1而得到，组合数为C(n+1,1)；如r个元素中包含 a1,a2,…,ar，相当于从剩下的n个元素中选出0个元素的组合，组 合数为C(n,0) 。由加法法则得
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第第66章章 递递推关关系系
教学目标： 1．掌握几种递推关系的建立方法； 2．理解并掌握常系数线性齐次及非齐次递推关系的求解方法； 3．能运用迭代归纳法求解递推关系； 4．记住并理解Fibonacci数的定义及递推公式，会推导
Fibonacci数的一些性质，能运用它们解决一些组合计数问 题。 重点：
例题
例2、在一个平面中，有n个圆两两相交， 但任二个圆不相切，任三个圆无面分成an个区域。 如图。易见 ，a1=2, a2=4。 现在假设前n-1个圆将平面分成了an-1 个区域，当加入第n个圆时，由题设 这个圆与前面的n-1个圆一定交于 2(n-1)个点，这2(n-1)个点把第n个圆 分成2(n-1)条弧，而每条弧正好将前 面的 n-1个圆分成的区域中的其经过 的每个区域分成2个区域，故新加入的第n个圆使所成的区域数 增加了2(n-1) 。因此可以建立如下带初值的递推关系：
解关：系要即求可§解 。6.1这递个推问关题系§建，6立.首1例先递1-必2推须关建系立递的推建关立系，然后求解递推
设这n条直线将圆分成的区域数为an，如果有n-1条直线将圆分成 a交n-。1个例显区然域题，，这那条么直再线加在入圆第内n条被直分线成与n条在线圆段内，的而其每他条n-线1条段直又线将相第
n条直线在圆内经过的区域分成两个区域。这样，加入第n条直
线后，圆内就增加了n个区域。而对于n=0，显然有a0=1，于是 对于每个整数 n，可以建立如下带初值的递推关系
an an1 n (n 1)
a0 1
求解递推关系得an
n2
n 2
2
（求解方法以后几节再介绍）这就是问题的解答。
§6.1 递推关§系6建.1立例递2 推关系的建立
注：以上各例均为经典组合数学问题，在算法分析中常用； 对普通的递推关系无一般规则可解。
§6.1 Fibonacci数§列6.应1 用递及推性关质系的建立
Fibonacci数列在组合计数中的应用
例：确定2×n棋盘用多米诺牌完美覆盖的方
法数hn。
规定h0=1. 容易看到h1=1， h2=2， h3=3。
习题
第八章 Polya定理 8.1置换群中的共轭类与轨道 8.2 Polya定理的特殊形式及其应用 本章小结
习题
********************** 课程总结
第6章 递推关系
本章主要介绍递推关系的建立及几种 常见的求解方法：
•6.1 Fibonacci数列 •6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 •6.3 常系数线性非齐次递推关系的求解 •6.4 用迭代和归纳法求解递推关系
1: 1
§6§.16.1递递推推关关系建系立的例3建-1 立
表示幼兔
表示成兔
2: 1
实线表示成长
3: 2
虚线表示生殖
4: 3
5: 5 6: 8 7: 13
§6.1 递推关§系建6.立1例递3-2推关系的建立
解：设第n个月时养殖场中兔子的对数为Fn。并定义F0=1， 显然例有，题F1=1。 由于在第n个月时，除了有第n-1个月时养殖场中的全部兔子 Fn-1外，还应该有Fn-2对新兔子，这是因为在第n-2个月就已 经有的每对兔子，在第n个月里都应生一对新的兔子。因此可 以建立如下带初值的递推关系
（优选）组合数学课件第六章 递推关系
目录（2）
第六章 递推关系 6.1 Fibonacci数列 6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 6.3 常系数线性非齐次递推关系的求 解 6.4 用迭代和归纳法求解递推关系 本章小结
习题 第七章 生成函数 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问 题 7.5 Catalan数和Stiring数 本章小结
an an1 2(n 1) (n 2)
a1 2
求解这个递推关系可以得到问题的解答。
§6.1 递推关§系建6.立1例递3-1推关系的建立
例题
例3、“Fibonacci兔子问题”也是组合数学 中的著名问题之一。这个问题是指：从某一 年某一月开始，把雌雄各一的一对兔子放入 养殖场中，从第二个月雌兔每月产雌雄各一 的一对新兔。每对新兔也是从第二个月起每 月产一对兔子。试问第n个月后养殖场中共 有多少对兔子？
将递推关系和初值结合起来称为带初值的递推关系。如
Dn (n 1)(Dn1 Dn2 )
D1 0, D2 1
(n 3),
an 3an1 a0 1
(n 1)
§6§.1 6递.1推关递系推建立关例系1-1的建立（Fibonacci数列）
例题
例1、在一个平面上有一个圆和n条直线， 这些直线中的每一条在圆内都同其他的直 线相交。如果没有多于三条的直线相交于 一点，试问这些直线将圆分成多少个不同 区域？
起来的方程称做一个递推关系（递归关系）。
如第3章的错排数Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)，(n≥3) 和关系式an=3an-1，(n≥1)都是递推关系。
如a0=d0 , a1=d1,…, ak=dk，di为常数(i=0,1,…,k)，称为递推 关系的初值。
如D1=0, D2=1作为初值即可惟一的确定序列(D0,D1,…, Dn,…)，a0=1作为初值即可惟一的确定序列(1,3,32,…,3n,…)。
Fn Fn1 Fn2 (n 2)
F0 1, F1 1 求解上式可以得到我们所需的答案。 注：利用该式我们可以推得
(F0,F1,…,Fn,…)=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…) 常称Fn为Fibonacci数， (F0,F1,…,Fn,…)为Fibonacci数列。 Fibonacci数列在数学中是一个奇特而又常见的序列，它在算 法分析中起着重要的作用。
递推关系的建立方法、常系数线性齐次及非齐次递推关系的求 解方法、Fibonacci数和Catalan数的定义、递推公式及性质
难点： Catalan数的定义、递推公式及性质
§6.1
递推关系定义
§6.1 递推关系的建立
定义 6.1
设{H(n)}为一序列，把该序列中H(n)和它前面几 个H(i)(0≤i≤n-1)用等号（或大于、小于号）关联