四川省成都市青羊区2019-2020八年级上学期期末数学试卷及答案解析

四川省成都市青羊区2019-2020八年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. √16的算术平方根是( )A. 4和−4B. 2和−2C. 4D. 22. 下列实数中的无理数是( )A. √9B. πC. 0D. 13 3. 下列几组数中，是勾股数的是( )A. 1，√2，√3B. 15，8，17C. 13，14，15D. 35，45，1 4. 下列四个命题是真命题的是( )A. 同位角相等B. 互补的两个角一定是邻补角C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行D. 相等的角是对顶角5. 若{x =2y =1是关于x 、y 的方程x +ay =3的解，则a 值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 点A(1,m)在函数y =2x 的图象上，则点A 的坐标是( )A. (1,0)B. (1,2)C. (1,1)D. (2,1)7. 设n =√13−1，那么n 值介于下列哪两数之间( )A. 1与2B. 2与3C. 3与4D. 4与58. 在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象如图所示，观察图象可得( )A. k >0，b >0B. k >0，b <0C. k <0，b >0D. k <0，b <09. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名学生最近几次数学综合测试成绩的平均数与方差；根据表中数据，要从中选择一名成好且发挥稳定的同学参加竟赛，应该选择( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，若CD =2.5，AB =6，则△ABD 的面积为( )A. 6.5B. 7C. 7.5D. 8二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）11. 函数y =√2x −4中自变量x 的取值范围是________．12. 点A 的坐标(−3,4)，它到y 轴的距离为______．13. 如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm ，高为12cm ，今有一支14cm 的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为______．14. 如图，△ABC 中，∠A =90°，点D 在AC 边上，DE//BC ，若∠1=153°，则∠B 的度数为____．15. 已知直角三角形的三边分别为6、8、x ，则x =______.(√28=2√7)16. 已知x =√5−12，y =√5+12，则x 2+y 2−xy 的值是______． 17. 二元一次方程组{x +y =1kx +2y =5的解是方程x −y =1的解，则k 的值为 。

18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y =x ，点O 1的坐标为(1,0)，以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点O 2，以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交直线l 于点P 2，交x 轴正半轴于点O 3，以O 3为圆心，O 3O 为半径画圆，交直线l 于点P 3，交x 轴正半轴于点O 4；…按此做法进行下去，其中P 2017O 2018̂的长为_____．19. 如图，△AOB 的边OB 在x 轴上，AC ⊥x 轴于C ，D 为AC 上一点，将△CBD 沿BD 翻折，使点C 落在AB 边上的E 点．已知∠AOB =60°，AO =4√3，点B 的坐标为(8+2√3,0)，则点D的坐标为______．三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）20. 计算(√2+1)(√2−1)−(13)−1+√12．21. 解方程组(1){x =y −12y −3x =1, (2){2x +3y =163x −2y =1122.如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC位于第二象限．(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；(2)在y轴上找一点P，使△ACP的周长最小．23.为了解学生参加户外活动的情况，某中学对学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：(1)求户外活动时间为1.5小时的学生有多少人？并补全条形统计图(2)每天户外活动时间的中位数是小时？(3)该校共有1800名学生，请估计该校每天户外活动超过1小时的学生人数有多少人？24.某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂招聘n(0<n<10)名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？(3)在第(2)题的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能地少？25.在△ABC中，BD平分∠ABC(∠ABC<60°)(1)如图1，当点D在AC边上时，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，请直接写出AB，DC和BC之间的数量关系．(2)如图2，当点D在△ABC内部，且∠ACD=30°时，①若∠BDC=150°，直接写出AB，AD和BC之间的数量关系，并写出结论成立的思路．②若∠ABC=2α，∠ACB=60°−α，请直接写出∠ADB的度数(用含α的式子表示)．26.甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y(km)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示．(1)求甲、乙相遇时，乙所行驶的路程；(2)当乙到达终点A时，甲还需多少分钟到达终点B？27.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，连接OD．(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)当△AOD是等腰三角形时，求α的度数．28.在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB=√3OA，直线l2:y=k2x+b经过点C(√3,1)，与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点。

(1)求直线l1的解析式；(2)如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；(3)如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。

-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查的是算术平方根的定义，先求得√16=4是解题的关键．先求得√16的值，然后再求解即可．解：√16=4，4的算术平方根是2．故选D ．2.答案：B解析：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．解：√9，0，13是有理数，π是无理数，故选：B ． 3.答案：B解析：解：A.∵1，√2，√3不都是整数，∴此选项不符合题意；B .∵152+82=172，且15，8，17都是整数，∴此选项符合题意；C .∵132+142≠152，∴此选项不符合题意；D .∵35，45，1不都是整数，∴此选项不符合题意． 故选B ．满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数，依此判断即可．本题考查了勾股数，注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2+b 2=c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…4.答案：C解析：解：两直线平行、同位角相等，A 是假命题；互补的两个角不一定是邻补角，B 是假命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，C 是真命题；相等的角不一定是对顶角，D 是假命题；故选：C ．根据平行线的性质、邻补角和对顶角的概念以及平行线的判定定理判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5.答案：A解析：本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出一个关于a 的一元一次方程是解此题的关键．把x 、y 的值代入方程，得出一个关于a 的意义一次方程，求出方程的解即可．解：∵{x =2y =1是关于x 、y 的方程x +ay =3的解， ∴代入得：2+a =3，解得：a =1，故选：A ．6.答案：B解析：解：∵点A(1,m)在函数y =2x 的图象上，∴m =2，∴A(1,2)．故选B ．直接把点A(1,m)代入函数y=2x，求出m的值即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7.答案：B解析：解：∵3<√13<4，∴2<√13−1<3．故选：B．由于3<√13<4，由不等式性质可得√13−1的范围可得答案．本题考查了估算无理数大小的知识，注意夹逼法的运用是解题关键．8.答案：A解析：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0，b>0时图象在一、二、三象限．根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二，三象限，图象左低右高，∴k>0，又该直线与y轴交于正半轴，∴b>0．综上所述，k>0，b>0．故选A．9.答案：A解析：本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．利用平均数和方差的意义进行判断．解：甲的平均数与丙的平均数最大，甲的方差与乙的方差最小，综合来看，甲的成绩最好，成绩最稳当，所以选甲同学参加比赛．故选A．解析：作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=2.5，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．解：作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=2.5，×AB×DE=7.5，∴△ABD面积=12故选C．11.答案：x≥2解析：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0求得答案．解：据题得2x−4≥0，解得x≥2．故答案为x≥2．12.答案：3解析：解：点A的坐标(−3,4)，它到y轴的距离为|−3|=3，故答案为：3．根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．本题考查了点的坐标，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值．解析：解：∵CD=5，AD=12，∴AC=√52+122=13cm，露出杯口外的长度为=14−13=1cm．故答案为：1cm．【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．14.答案：63°解析：本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．利用平行线的性质求出∠C，再根据∠B=90°−∠C计算即可．解：∵∠1+∠EDC=180°，∠1=153°，∴∠EDC=27°，∵DE//BC，∴∠EDC=∠C=27°，∵∠A=90°，∴∠B=90°−∠C=63°，故答案为63°．15.答案：10或2√7解析：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．解：分两种情况进行讨论：①两直角边分别为6，8，由勾股定理得x =√62+82=10，②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得x =√82−62=√28=2√7；故答案为：10或2√7．16.答案：2解析：解：∵x =√5−12，y =√5+12， ∴x +y =√5−12+√5+12=√5，xy =√5−12×√5+12=1，∴x 2+y 2−xy =(x +y)2−3xy =(√5)2−3×1=2，故答案为：2．先求出x +y 和xy 的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出即可．本题考查了二次根式的化简求出值，完全平方公式等知识点，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．17.答案：5解析：本题主要考查了二元一次方程组的解及二元一次方程的解，解题的关键是组成新的方程组求出x ，y 的值．先组成新的方程组，求出x ，y 的值，再代入方程kx +2y =5，求得k 的值．解：由题可得方程组{x +y =1x −y =1解得{x =1y =0将{x =1y =0代入方程kx +2y =5，得 k ×1+2×0=5解得k =5故答案为5．18.答案：22015π解析：本题考查了圆周长的计算，考查了从图中找到圆半径规律的能力，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．连接P 1O 1，P 2O 2，P 3O 3，易求得P n O n 垂直于x 轴，可得P n O n+1⏜ 为14圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．解：连接P 1O 1，P 2O 2，P 3O 3…∵P 1 是⊙O 2上的点，∴P 1O 1=OO 1，∵直线l 解析式为y =x ，∴∠P 1OO 1=45°，∴△P 1OO 1为等腰直角三角形，即P 1O 1⊥x 轴，同理，P n O n 垂直于x 轴， ∴P n O n+1⏜ 为14圆的周长，∵以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交x 轴正半轴于点O 2，以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交x 轴正半轴于点O 3，以此类推，∴OO n =2n−1，∴P n O n+1⏜ =14⋅2π⋅OO n =12π⋅2n−1=2n−2π， 当n =2017时，P 2017O 2018⏜ =22015π. 故答案为22015π.19.答案：(2√3,83)解析：本题考查翻折变换，坐标与图形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会两条城市构建方程解决问题，属于中考常考题型．解直角三角形求出AC，BC，AB，设DC=DE=m，在Rt△ADE中，根据AD2=AE2+DE2，构建方程即可解决问题．解：∵AC⊥OB，∴∠ACO=90°，∵OA=4√3，∠AOC=60°，∴∠OAC=30°，∴OC=12OA=2√3，AC=√3OC=6，∵B(8+2√3,0)，∴OB=8+2√3，∴BC=8，在Rt△ACB中，AB=2+82=10，由翻折可知：DC=DE，BC=BE=8，∴AE=2，设DC=DE=x，在Rt△ADE中，∵AD2=AE2+DE2，∴(6−x)2=x2+22，解得x=83，∴D(2√3,8 3 ).故答案为(2√3,83).20.答案：解：原式=2−1−3+2√3=2√3−2．解析：利用平方差公式、负整数指数幂的意义计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21.答案：(1){x=y−1①2y−3x=1②,把①代入②得：2y−3(y−1)=1,解得：y=2，把y=2代入①得：x=1,则原方程组的解为{x=1y=2.(2)方程组整理得：{2x+3y=16①3x−2y=11②,①×2+②×3得：13x=65，得x=5，把x=5代入①得：10+3y=16,解得：y=2，则原方程组的解为{x=5y=2.解析：本题主要考查二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解法有两种：代入消元法和加减消元法，根据题目选择合适的方法．(1)方程组利用代入消元法求出解即可；(2)方程组利用加减消元法求出解即可．22.答案：解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，点P即为所求．解析：(1)分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；(2)作点C关于y轴的对称点C′，连接AC′交y轴于点P，则P点即为所求．本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．23.答案：解：(1)∵0.5小时的有100人占被调查总人数的20%，∴被调查的人数有：100÷20%=500，1.5小时的人数有：500−100−200−80=120，补全的条形统计图如下图所示，故答案为：500；(2)由(1)可知被调查学生500人，由条形统计图可得，中位数是1小时，故答案为：1；(3)由题意可得，×1800=720人，该校每天户外活动时间超过1小时的学生数为：120+80500即该校每天户外活动时间超过1小时的学生有720人．解析：(1)根据条形统计图和扇形统计图可以求得被调查学生总数和1.5小时的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；(2)根据条形统计图可以得到这组数据的中位数；(3)根据条形统计图可以求得校共有1800名学生，该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人．本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．24.答案：解：(1)设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x 辆和y 辆电动汽车，根据题意得：{x +2y =82x +3y =14, 解得：{x =4y =2． 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆和2辆电动汽车．(2)设需熟练工m 名，根据题意得：2n ×12+4m ×12=240，∴n =10−2m ．∵0<n <10，∴0<m <5．当m =1时，n =8；当m =2时，n =6；当m =3时，n =4；当m =4时，n =2．∴共有四种方案：①需要1名熟练工人，另招聘8名新工人；②需要2名熟练工人，另招聘6名新工人；③需要3名熟练工人，另招聘4名新工人；④需要4名熟练工人，另招聘2名新工人．(3)根据题意得：W =1200n +(5−12n)×2000=200n +10000．∵要使新工人数量多于熟练工，∴n =4、6、8．∵200>0，∴当n =4时，W 取最小值，答：工厂应招聘4名新工人，此时新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W(元)最少．解析：本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程；(3)根据各数量之间的关系，找出W关于n的函数关系式．(1)设熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆电动汽车，根据题意列出方程组，解出方程组即是所求；(2)设需熟练工m人，根据题意列出方程，分析m取各值时，n的数值是多少；(3)根据工资总额=熟练工的工资×人数+新员工的工资×人数，可得出W关于n的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．25.答案：解：(1)BC=AB+DC，理由如下：在BC上截取BE=BA，连接DE，如图1所示：∵∠ABC=42°，∠ACB=32°，∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=106°，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=12∠ABC=21°，在△BDE和△BDA中，{BE=BA ∠2=∠1 BD=BD ，∴△BDE≌△BDA(SAS)，∴∠BED=∠A=106°，∴∠CED=180°−106°=74°，∵∠BED=∠C+∠CDE，∴∠CDE=∠BED−∠C=74°=∠CED，∴CE=CD，∴BC=BE+CE=AB+CD；(2)①BC=AB+AD，思路如下：延长BA到点E，使BE=BC，连接ED，EC，如图2所示：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△BED≌△BCD(SAS)，∴DE=DC，∠BDE=∠BDC=150°∴∠EDC=360°−150°−150°=60°，∴△CDE为等边三角形，∵∠ACD=30°，∴∠ACE=∠ACD=30°∴AC垂直平分DE．∴AD=AE，∴BC=BE=AB+AE=AB+AD；②∠ADB=120°+α.理由如下：同①，延长BA到点E，使BE=BC，连接ED，EC，如图3所示：∵∠ACD=30°，∠ACB=60°−α，∴∠BCD=30°−α，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=α，∴∠BDC=180°−∠CBD−∠BCD=180°−α−(30°−α)=150°，∵BD=BD，∴△BED≌△BCD(SAS)，∴DE=DC，∠BDE=∠BDC=150°，∠BED=∠BCD=30°−α，∴∠EDC=360°−150°−150°=60°，∴△CDE为等边三角形，∵∠ACD=30°，∴∠ACE=∠ACD=30°，∴AC垂直平分DE．∴AD=AE，∴∠ADE=∠BED=30°−α，∴∠ADB=150°−(30°−α)=120°+α．解析：(1)在BC上截取BE=BA，连接DE，由三角形内角和定理求出∠A=180°−∠ABC−∠ACB=∠ABC=21°，由SAS证明△BDE≌△BDA，得出∠BED=∠A= 106°，由角平分线得出∠1=∠2=12106°，∠CED =74°，再由三角形的外角性质得出∠CDE =∠CED ，证出CE =CD ，即可得出结论；(2)①延长BA 到点E ，使BE =BC ，连接ED ，EC ，由SAS 证明△BED≌△BCD ，得出DE =DC ，∠BDE =∠BDC =150°，证出△CDE 为等边三角形，得出∠ACE =∠ACD =30°，AC 垂直平分DE.由线段垂直平分线的性质得出AD =AE ，即可得出结论；②同①，延长BA 到点E ，使BE =BC ，连接ED ，EC ，由三角形内角和定理求出∠BDC =150°，由SAS 证明△BED≌△BCD ，得出DE =DC ，∠BDE =∠BDC =150°，∠BED =∠BCD =30°−α，证出△CDE 为等边三角形，得出∠ACE =∠ACD =30°，AC 垂直平分DE.证出AD =AE ，得出∠ADE =∠BED =30°−α，即可求出∠ADB =120°+α．本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．26.答案：解：(1)由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟， 甲的速度是1÷6=16千米/分钟，由纵坐标看出AB 两地的距离是16千米，设乙的速度是x 千米/分钟，由题意，得10x +16×16=16，解得x =43千米/分钟，∴甲、乙相遇时，乙所行驶的路程：10×43=403(千米) (2)相遇后乙到达A 站还需(16×16)÷43=2分钟，相遇后甲到达B 站还需(10×43)÷16=80分钟，当乙到达终点A 时，甲还需80−2=78分钟到达终点B ．解析：(1)根据路程与时间的关系，可得甲、乙的速度，再根据甲、乙相遇时，乙所行驶的路程=10×乙的速度，即可解答；(2)根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A 站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B 站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案． 本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键．27.答案：(1)证明：∵△BOC≌△ADC ，∴OC=DC，∠BCO=∠ACD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，即∠BCO+∠OCA=60°，∴∠ACD+∠OCA=60°，即∠OCD=60°，∴△OCD是等边三角形；(2)解：△AOD是Rt△，理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，∴△AOD是Rt△；(3)解：∵△OCD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°，∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α，∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°，∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°，①当∠AOD=∠ADO时，190°−α=α−60°，∴α=125°，②当∠AOD=∠OAD时，190°−α=50°，∴α=140°，③当∠ADO=∠OAD时，α−60°=50°，∴α=110°，综上所述，当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．解析：(1)根据全等三角形的性质得到OC=DC，∠BCO=∠ACD，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明结论；(2)根据等边三角形的性质得到∠ODC=60°，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，结合(1)中的结论可得∠ADO为90°，得到所求三角形的形状；(3)根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．本题考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．28.答案：解：(1)y=k1x+6，当x=0时，y=6，∴OB=6，∵OB=√3OA，∴OA=2√3，∴A(−2√3,0)，把A(−2√3,0)代入：y=k1x+6中得：−2√3k1+6=0，k1=√3，∴直线l1的解析式为：y=√3x+6；(2)如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C(√3,1)，∴OH=√3，CH=1，Rt△ABO中，AB=√62+(2√3)2=4√3，∴AB=2OA，∴∠OBA=30°，∠OAB=60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE=90°，∴∠AED=30°，∴EH=√3，∴OE =OH +EH =2√3， ∴E(2√3,0)，把E(2√3,0)和C(√3,1)代入y =k 2x +b 中得：{2√3k 2+b =0√3k 2+b =1， 解得：{k 2=−√33b =2，∴直线l 2：y =−√33x +2， ∴F(0,2)即BF =6−2=4，则{y =−√33x +2y =√3x +6，解得{x =−√3y =3， ∴D(−√3,3)，∴S △BCD =12BF(x C −x D )=12×4(√3+√3)=4√3；(3)分四种情况：①当Q 在y 轴的正半轴上时，如图2，过D 作DM ⊥y 轴于M ，过C 作CN ⊥y 轴于N ，∵△QCD 是以CD 为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD =90°，CQ =DQ ，∴∠DMQ =∠CNQ =90°，∴∠MDQ =∠CQN ，∴△DMQ≌△QNC(AAS)，∴DM =QN ，QM =CN =√3，设D(m,√3m +6)(m <0)，则Q(0,−m +1)，∴OQ =QN +ON =OM +QM ，即−m+1=√3m+6+√3，=1−2√3，m=√3√3+1∴Q(0,2√3)；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC(AAS)，∴DM=QN，QM=CN=1，设D(m,√3m+6)(m<0)，则Q(m+1,0)，∴OQ=QN−ON=OM−QM，即√3m+6−√3=−m−1，m=5−4√3，∴Q(6−4√3,0)；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC(AAS)，∴DM=QN，QM=CN=1，设D(m,√3m+6)(m<0)，则Q(m−1,0)，∴OQ=QN−ON=OM+QM，即−√3m−6−√3=−m+1，m=−4√3−5，∴Q(−4√3−6,0)；④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC(AAS)，∴DM=QN，QM=CN=√3，设D(m,√3m+6)(m<0)，则Q(0,m+1)，∴OQ=QN−ON=OM+QM，即−√3m−6+√3=−m−1，m=−2√3−1，∴Q(0,−2√3)；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是(0,±2√3)或(6−4√3,0)或(−4√3−6,0)．解析：(1)根据待定系数法可得直线l1的解析式；(2)如图1，过C作CH⊥x轴于H，求点E的坐标，利用C和E两点的坐标求直线l2的解析式，与直线l1列方程组可得点D的坐标，利用面积和可得△BCD的面积；(3)分四种情况：在x轴和y轴上，证明△DMQ≌△QNC(AAS)，得DM=QN，QM=CN，设D(m,√3m+ 6)(m<0)，表示点Q的坐标，根据OQ的长列方程可得m的值，从而得到结论．本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。