数学人教B必修4：122《单位圆与三角函数线》课件(1)

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思考探究 1.怎样认识三角函数线与三角函数值之间的关系？ 提示 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切 函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对 值．方向表示三角函数值的正负，凡与x轴或y轴同向的为正 值，反向的为负值．
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2．第二象限或第三象限内的角的正切线怎样作？ 提示 在单位圆中，过(1,0)点作x轴的垂线x＝1与角的终 边的反向延长线交于T，则AT即为角的正切线.
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自测自评 1.不论角α的终边的位置如何，在单位圆中作三角函数线 时，下列说法正确的是( ) A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．正弦线、余弦线总可以作出 C．正弦线、余弦线、正切线都有可能不存在 D．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但有可能不 止一条
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sinα＝23； (2)cosα＝－35； (3)tanα＝2.
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剖析 对于(1)，设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则
sinα＝y，cosα＝x.所以，要作出满足sinα＝
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4．若π4<α<π2，则下列正确的是( ) A．cosα<tanα<sinα B．sinα<cosα<tanα C．tanα<sinα<cosα D．cosα<sinα<tanα
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解析 可在单位圆中作出α的三角函数线，根据图形可知 MP是正弦线，OM是余弦线，AT是正切线．∵π4<α<π2， ∴OM<MP<AT，∴cosα<sinα<tanα.

作业布置
作业：教科书第22页，练习B1，2，3 ．
敬请各位老师提出宝贵意见！
单位圆与三角函数线
问题情境
问题1 如果P（x，y）是α终边上异于原点的任意一点，r＝ x2 y 2 ，则sin α＝ y ， r
cos α＝ x ．如果选取的P点坐标满足x2＋y2＝1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？ r
由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？
如果x2＋y2＝1，则sin α＝y，cos α＝x， 因为x2＋y2＝1可以化为 (x 0)2 ( y 0)2 ＝1 ， 因此P（x，y）到原点（0，0）的距离为1．
当 OM 的方向与x轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝ | OM | ，
称 OM 为角α的余弦线；
类似地， MP 可以直观地表示sin α，称 MP 为角α的正弦线．
新知探究
➢ 正弦线、余弦线的方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点， 余弦线由原点指向垂足；
➢ 三角函数线的长度（模）表示对应三角函数值的绝对值； ➢ 三角函数线的方向与坐标轴方向相同时，对应三角函数值为正号，相
和正切．
解答：如图所示，
在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线x＝1，单位圆与x轴交于点A（1，0）．
作 5π 的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线，垂足为M； 6
延长线段PO，交直线x＝1于T，则
5π 6
的正弦线为
MP
，余弦线为
OM ，正切线为
AT
．
类似可得到
π 4
的正弦线为
NR
，余弦线为
ON，正切线为
3
5
3
5
3
5
初步应用

人民教育出版社 高中必修4
我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心
与坐标原点重合，如图所示，设任意角α 与单位圆
交于点 P(x , y)，则r = |OP| = 1。
sinα =
y 1
=y
cosα =
x 1
=x
y α终边 P(x , y)
O
x
探究点2：正弦线、余弦线
人民教育出版社 高中必修4
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(2)三角函数线的方向： 正弦线由垂足指向α 的终边与单位圆的交点， 余弦线由原点指向垂足； 正切线由切点A指向与α 终边或者终边延长线的交点。
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例题精讲
类型一 作任意角的三角函数线
例1.分别作出2π 和- 3π的正弦线、余弦线和正切线.
3
4
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oM
x
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问题3：当终边在第一象限时，角α 的正、余弦与Ｐ
点的纵、横坐标y，x之间有何关系？ y
sin y y
1
cos

=
x 1

x
P N
o
M
x
【思考1】随着α 在第一象限内转动，MP是否也跟着
变化？而它的数量值是否永远等于sinα ？OM是否也
跟着变化？而它的数量值是否永远等于cosα ？
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四个象限角的正切线
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问题6: α 终边在x轴、y轴上时，三角函数线有何特点？ 数量值是多少？ 答：角α 的终边在x轴上时，点P与点M 重合，点 T 与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点， 它们的数量为0，而余弦线OM=1或-1。

第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1.2 任意角的三角函数 1.2.2 单位圆与三角函数线
|学习目标| 1．了解三角函数线的意义； 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
基础知识点对点 课后拔高提能练
基础知识点对点
知识点一 三角函数线的概念 1．下列说法中正确的是( ) A．任何一个角都能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．α 一定时，单位圆中的正弦线一定 C．α 和 π＋α 具有 成一个点
知识点三 利用三角函数线解不等式
3．在[0,2π]上满足 sinx≥12的 x 的取值范围是( )
A．0，π6 C．π6，23π
B．π6，56π D．56π，π
解析：选 B 如图所示，使 sinx≥12的 x 的取值范围是π6，56π， 故选 B．
答案：B
知识点二 利用三角函数线比较大小
2．设π4<α<π2，sinα＝a，cosα＝b，tanα＝c，则 a，b，c 的大
小关系为( ) A．a<b<c C．b>a>c
B．a>b>c D．b<a<c
解析：选 D 如图 α 的正弦线 MP，正切线 AT，余弦线 OM， 可知 OM<MP<AT，∴b<a<c，故选 D．

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练习
1.函数y=
| sin x | sin x
+ cos x
|cos x |
+
|
ta n ta n
x x
| 的值域是
(
C
)
(A) {－1，1}
(B) {－1，1，3}
(C) {－1，3}
(D) {1，3}
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2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则
2sinθ+cosθ的值是 ( C)
证明：sinα=|ON|=|MP|,
α= AP
tanα=|AT|.
y
N
PT
x
又 S扇形OAPSOAT
O
MA
所以 1OA1OAAT
2
2
即sinα<α<tanα .
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小结： 1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 ： 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点
在y轴上的射影的有向线段； 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点
在x轴上的射影的有向线段； 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上，为有向线段 A T
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3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
sin y 5 解得y=－1.
4 y2
5
所以cosθ= － 2 5 . 5
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x
其反向延长线)相交于点

跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小. 解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的
正弦线M1P1，M2P2.
思考2
点的射影是如何定义的？ 答案 过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直于y轴于点N，
则点M，N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影).
答案
梳理
(1)单位圆 把 半径为1 的圆叫做单位圆. (2)单位圆中角α的坐标 角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的 横坐标 和 纵坐标 .
知识点二
第一章 §1.2
任意角的三角函数
1.2.2 单位圆与三角函数线
学习目标
1. 了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个
角的正弦、余弦和正切.
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
Байду номын сангаас
知识点一
单位圆
思考1
什么叫单位圆？
答案 把半径为1的圆叫做单位圆.
1 1 解 已知角 α 的正弦值，可知 MP＝2，则 P 点纵坐标为2. 1 所以在 y 轴上取点0，2 过该点作 x 轴的平行线， 交单位圆于 P1， P2 两点， ，
则OP1，OP2是角α的终边，
π 因而角 α 的取值集合为{α|α＝2kπ＋6或 5π α＝2kπ＋ 6 ，k∈Z}.
1 解 作直线x＝－ 交单位圆于C，D两点， 2 连接OC与OD，

如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3
OA 3 OB 3
x
B
O
A
3. 三角函数线
设任意角α的顶点
在原点，始边与x轴的
正半轴重合，终边与 单位圆相交于点P(x， A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1

x
O M A(1,0)
y），过P作x轴的垂线， 垂足为M； 做PN垂直
66
6
sin p < p < t an p
44
4
sin p < p < t an p
33
3
你有什么一般猜想？ sin a < a < tan a
思考：对于不等式 sin a < a < tan a
（其中α 为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
yT P
O M Ax
探究：当0＜α＜π/2时，总有 sinα＜α＜tanα.
我们首先建立下面的坐标系：
在观览车转轮圆面所在的平面
y
内，以观览车转轮中心为原点， P
以水平线为x轴，以转轮半径为

x
单位长建立直角坐标系。
MO
设P 点为转轮边缘上的一点, 它表示座椅的位置，记 xOP ，则由正弦函数的定义可知，
MP sin
1.单位圆的概念
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，
4
变式： 写出满足条件 1 ≤cosα＜
2
23的角α
的集合.
2
y
3
1

6
-1 O
4
-1
3
1
x
11
6

1 1 ∴S△AOP＝ · OA· MP＝ sin α， 2 2 1 1 1 S 扇形 AOP＝2· 的长· OA＝2· 的长＝2α， 1 1 S△AOT＝2· OA· AT＝2tan α. 又∵S△AOP＜S 扇形 AOP＜S△AOT，∴ sin α＜α＜tan α.
【思路探究】 3 1 作出满足 sin α＝ ，cos α＝－ 的角的 2 2
终边，然后根据已知条件确定角 α 终边的范围．
【自主解答】
3 (1)作直线 y＝ ，交单位圆于 A，B 两 2
点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图(1)中阴影部 分)即为角 α 的终边的范围． π 2π 故满足条件的角 α 的集合为 {α |2kπ＋ 3≤α≤2kπ＋ 3 ，k ∈Z}．
1 (2)作直线 x＝－ ，交单位圆于 C，D 两点，连接 OC 与 2 OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角 α 的终边的范围． 2π 4π 故满足条件的角 α 的集合为{α|2 kπ＋ 3 ≤α≤2kπ＋ 3 ，k ∈Z}．
1．通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基 本的三角不等式的步骤： (1)作出取等号的角的终边． (2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等 式的角的范围． (3)将图中的范围用不等式表示出来． 2．求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式 (组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义 域．
演示结束
课标解读
1.了解三角函数线的意义． 2．会用三角函数线表示一个角的正 弦、余弦和正切.
单位圆
(1)一般地把半径为 1 的圆叫做 单位圆
．
(2)角 α 的 余弦 和 正弦 分别等于角 α 终边与单位圆 交点的横坐标和纵坐标．

类型二 利用三角函数线解三角不等式 【例 2】 在单位圆中画出符合下列条件的角 α 终边的范围， 并由此写出角 α 的集合．
(1)sinα≥ 23；(2)cosα≤－12.
解析：
(1)作直线 y＝ 23，交单位圆于 A，B 两 点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区 域((图 1)中阴影部分)即为角 α 的终边的范 围．
(2)三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也 给出了角 α 的三角函数线的画法即先找到 P、M、T 点，再画出 MP、OM、AT.
(3)三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三 角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的 基础.
我们把轴上向量O→M，O→N和A→T分别叫做 α 的余弦线，正弦线 和正切线．
讲重点 对三角函数线的理解 (1)三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方 向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对 值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的 方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横 坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几 何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问 题提供了方便．
说方法·分类探究 类型一 利用三角函数线比较大小
【例 1】 比较 cos47π与 cos57π的大小．
解析：
如图所示，射线 OP1 是角47π的终边， 射线 OP2 是角57π的终边，过 P1，P2 分别 作 P1M1⊥x 轴，P2M2⊥x 轴，垂足分别 为 M1，M2，所以 cos47π＝OM1，cos57π＝ OM2.
知识点 2 三角函数线

3
的正弦线为MP,余弦线为OM
, 正切线为AT
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向 线段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键 是作出各个点，O点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与 X正半轴的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交 点P(x,y)，过P作X 轴的垂线 ，垂足为M ；过点A(1,0) 作 单位圆的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交 与点T .
点评：三角函数线是一个角的三角函数直观 体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值 的正负，其长度是三角函数值的绝对值．因此， 比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数 线．
2．比较下列各组数的大小．

(1)sin1和sin
3
(2)cos4 和cos 5
7
7
解析：(1)sin1＜ sin (2)cos 4 ＞cos 5
O
x
PT
(Ⅳ)
α的终边
自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何含
义如何？
y
P
P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
预习测评
1．对三角函数线，下列说法正确的是( D ) A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不 一定存在 D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线 不一定存在 解析：当角的终边落在Y轴上时，正切线不存在， 故选D.
3
D． (0, )
3
(5 ,2 )
3
解析：A明显范围不对，B、C都不全面，故选D.
误区解密：因忽略有向线段的方向而出错