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2015-2016学年湖北省部分重点中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列函数中x=0是极值点的函数是（）A．f（x）=|x|B．f（x）=﹣x3C．f（x）=sinx﹣x D．f（x）=2．函数f（x）=3x﹣4x3（x∈[﹣1，0]）的最小值是（）A．﹣ B．﹣1 C．0 D．13．已知曲线y=﹣2lnx+1的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．4．函数f（x）=x4﹣x2有（）A．极小值﹣，极大值0 B．极小值0，极大值﹣C．极小值，极大值0 D．极小值0，极大值5．曲y=﹣cosx （0≤x≤）与坐标轴所围图形的面积是（）A．2 B．C．3 D．π6．已知直线y=kx是曲线y=e x的切线，则k的值为（）A．B．C．1 D．e7．函数f（x）=ax3﹣x+1在x∈（﹣∞，+∞）内是减函数，则（）A．a≥0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≤﹣18．已知函数f（x）=cosx+e﹣x+x2016，令f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1=f n′（x），则f2017（x）=（）A．﹣sinx+e﹣x B．cosx﹣e﹣x C．﹣sinx﹣e﹣x D．﹣cosx+e﹣x9．若a=x dx，b=dx，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＜a＜b D．c＜b＜a10．在平面内，一条抛物线把平面分成两部分，两条抛物线最多把平面分成七个部分，设n 条抛物线至多把平面分成f（n）个部分，则f（n+1）﹣f（n）=（）A．2n+3 B．2n+1 C．3n+2 D．4n+111．设h（x）=，g（x）=lnx，b＞a＞0，M=g（b）﹣g（a），N=（b﹣a）（h（a）+h（b）），则以下关系一定正确的是（）A．M2＞N B．M2＜N C．M＞N D．M＜N12．已知定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）满足f（x）=[f′（x）﹣1]x，且f（1）=0．则函数y=f（x）的最小值为（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣e D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ（x）=x2（取细棒所在的直线为x轴，细棒的一端为原点），棒长为a，则细棒的质量为．14．若函数f（x）=x﹣acosx在R上递增，则实数a的取值范围为．15．已知函数f（x）=x2+（2a3﹣a2）lnx﹣（a2+2a﹣1）x，x=1为其极值点，则实数a=．16．已知：（1）若a1，a2，a3∈R，则a12+a22+a32≥a1a2+a2a3+a1a3），（2）若a1，a2，a3，a4∈R，则a12+a22+a32+a42≥（a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4），即：三个数的平方和不小于这三个数中每两个数的乘积的和；四个数的平方和不小于这四个数中每两个数的乘积的和的三分之二．进一步推广关于n个数的平方和的类似不等式为：若a n）（n∈N，n≥a1，a2，…a n∈R，则a12+a22+…+a n2≥M（a1a2+a1a3+…+a1a n+a2a3+a2a4+…+a n﹣13），则M=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=2cos（）．（1）求C1与C2交点的直角坐标．（2）若曲线C3：θ=（ρ∈R，ρ≠0）分别与C1，C2相交于A，B，求|AB|．18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．19．已知函数f（x）=ln（x+1）+ln（1﹣x）+a（x+1）（a＞0）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（﹣1，0]上的最大值为1，求实数a的值．20．用数学归纳法证明（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3）．21．已知函数g（x）=x3+3ax﹣2．（1）当a为何值时，x轴为曲线y=g（x）的切线；（2）求a的范围，使g（x）有极值，并求极大值与极小值的和；（3）设f（x）=[g′（x）﹣ax]e x﹣x2，若函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围．22．在讨论函数局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论．在某值附近，用简单的一次函数，可以近似替代复杂的函数，距离某值越近，近似的效果越好．比如，当|x|很小时，可以用y=x+1近似替代y=e x．（1）求证：x＜0时，用x+1替代e x的误差小于x2，即：x＜0时，|e x﹣x﹣1|＜x2；（2）若x＞0时，用x替代sinx的误差小于ax3，求正数a的最小值．2015-2016学年湖北省部分重点中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列函数中x=0是极值点的函数是（）A．f（x）=|x|B．f（x）=﹣x3C．f（x）=sinx﹣x D．f（x）=【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】利用极值的定义，分析四个选项，即可得出结论．【解答】解：A．f（x）=|x|在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴x=0是极值点，正确B．函数f（x）=﹣x3在R上单调递减，无极值，不正确；C．f′（x）=cosx﹣1≤0，∴函数y=sinx﹣x在R上单调递减，无极值；D．f（x）=在x=0时无意义，因此无极值．故选：A．2．函数f（x）=3x﹣4x3（x∈[﹣1，0]）的最小值是（）A．﹣ B．﹣1 C．0 D．1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由f（x）=3x﹣4x3，知f′（x）=3﹣12x2，令f′（x）=3﹣12x2=0，得x=±．由此能求出函数f（x）=3x﹣4x3，x∈[﹣1，0]的最小值．【解答】解：∵f（x）=3x﹣4x3，∴f′（x）=3﹣12x2，令f′（x）=3﹣12x2=0，得x=±．∵x=∉[﹣1，0]，∴x=（舍）．∵f（0）=0，f（﹣）=﹣﹣4×（﹣）3=﹣1，f（﹣1）=﹣3+4=1．∴函数f（x）=3x﹣4x3，x∈[﹣1，0]的最小值是﹣1．故选：B．3．已知曲线y=﹣2lnx+1的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求得曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，注意函数的定义域．【解答】解：设切点坐标为（m，n），（m＞0），y=﹣2lnx+1的导数为y′=x﹣，可得切线的斜率为m﹣=1，解方程可得m=2，（﹣1舍去）．则切点的横坐标为2．故选：B．4．函数f（x）=x4﹣x2有（）A．极小值﹣，极大值0 B．极小值0，极大值﹣C．极小值，极大值0 D．极小值0，极大值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导，令f′（x）=0，解方程，分析导函数的变化，从而可知函数的极值．【解答】解：由已知得f′（x）=4x3﹣2x=4x（x+）（x﹣）x变化时，f′（x）的变化情况如下：当﹣＜x＜0，x＞时，f′（x）＞0函数f（x）是增函数，当x＜﹣，0＜x＜时，f′（x）＜0函数f（x）是减函数，所以当x=0时，函数f（x）取得极大值为0；当x=±时，函数f（x）取得极小值为﹣．故选：A．5．曲y=﹣cosx （0≤x≤）与坐标轴所围图形的面积是（）A．2 B．C．3 D．π【考点】余弦函数的图象．【分析】由余弦函数的图象特征，利用定积分的意义，可得曲线与坐标轴所围图形的面积是cosxdx+（﹣cosx）dx，计算求得结果．【解答】解：曲线y=﹣cosx （0≤x≤）与坐标轴所围图形的面积是cosxdx+（﹣cosx）dx=sinx﹣sinx=（sin﹣sin0）﹣（sin﹣sin）=1﹣（﹣1﹣1）=3，故选：C．6．已知直线y=kx是曲线y=e x的切线，则k的值为（）A．B．C．1 D．e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线y=e x的导数，设出切点坐标，将切点坐标分别代入直线y=kx和曲线y=e x，以及导数，联立方程，解出k．【解答】解：曲线y=e x的导数为y′=e x，设切点为（x0，y0），∴=k，y0=kx0，，∴kx0==k（x0≠0，k＞0），∴x0=1，∴k=e．故选：D．7．函数f（x）=ax3﹣x+1在x∈（﹣∞，+∞）内是减函数，则（）A．a≥0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≤﹣1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导数，得f'（x）=3ax2﹣1．由题意f'（x）≤0在（﹣∞，+∞）内恒成立，即不等式3ax2≤1在（﹣∞，+∞）内恒成立，因此对a的正负加以讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．【解答】解：求导数，得f'（x）=3ax2﹣1，∵f（x）=ax3﹣x+1在（﹣∞，+∞）内是减函数，∴f'（x）≤0在﹣∞，+∞）内恒成立，即3ax2﹣1≤0在（﹣∞，+∞）内恒成立，变形得3ax2≤1，当a＞0时，3ax2没有最大值，3ax2≤1不能恒成立，当a≤0时，3ax2≤0，可得3ax2≤1恒成立，因此实数a的取值范围是（﹣∞，0]，故选：B．8．已知函数f（x）=cosx+e﹣x+x2016，令f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1=f n′（x），则f2017（x）=（）A．﹣sinx+e﹣x B．cosx﹣e﹣x C．﹣sinx﹣e﹣x D．﹣cosx+e﹣x【考点】导数的运算．【分析】利用基本初等函数：三角函数，指数函数，幂函数的导数运算法则求出各阶导数，找规律．【解答】解：f1（x）=f′（x）=﹣sinx﹣e﹣x+2016x2015f2（x）=f′1（x）=﹣cosx+e﹣x+2016×2015×x2014f3（x）=f′2（x）=sinx﹣e﹣x+2016×2015×2014x2013f4（x）=f′3（x）=cosx+e﹣x+2016×2015×2014×2013x2012…∴f2016（x）=f′2015（x）=cosx+e﹣x+2016×2015×2014×2013×…×1∴f2017（x）=﹣sinx﹣e﹣x，故选C9．若a=x dx，b=dx，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】定积分．【分析】分别根据定积分的计算法则计算再比较即可．【解答】解：a=x dx=|=，b=dx=|=，c=sinxdx=﹣cosx|=﹣（cos1﹣cos0）=1﹣cos1＜1﹣cos=，∴a＞b＞c，故选：D10．在平面内，一条抛物线把平面分成两部分，两条抛物线最多把平面分成七个部分，设n 条抛物线至多把平面分成f（n）个部分，则f（n+1）﹣f（n）=（）A．2n+3 B．2n+1 C．3n+2 D．4n+1【考点】归纳推理．【分析】根据增加的这条抛物线，与原来的n条抛物线至多有4n个交点（由于抛物线是曲线，所以每两条抛物线至多有4个交点，与直线至多一个交点不同），这4n个交点将第n+1条抛物线分为4n+1个曲线段，这4n+1个曲线段将每个所处的区域一分为二，即比原来增加了4n+1个区域，即可得出结论．【解答】解：一条抛物线将平面至多分为2部分，两条抛物线将平面至多分为7部分，设第n条抛物线将平面至多分为f（n）部分，则第n+1条抛物线的情况如下：增加的这条抛物线，与原来的n条抛物线至多有4n个交点（由于抛物线是曲线，所以每两条抛物线至多有4个交点，与直线至多一个交点不同），这4n个交点将第n+1条抛物线分为4n+1个曲线段，这4n+1个曲线段将每个所处的区域一分为二，即比原来增加了4n+1个区域，所以f （n+1）﹣f（n）=4n+1．故选：D．11．设h（x）=，g（x）=lnx，b＞a＞0，M=g（b）﹣g（a），N=（b﹣a）（h（a）+h（b）），则以下关系一定正确的是（）A．M2＞N B．M2＜N C．M＞N D．M＜N【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】分别求出M，N，作差得到M﹣N=lnb﹣lna﹣（﹣），令t=，（t＞1），令g（t）=lnt﹣（t﹣），（t＞1），根据函数的单调性求出g（x）＜0即可判断M、N的大小．【解答】解：∵h（x）=，g（x）=lnx，b＞a＞0，∴M=g（b）﹣g（a）=lnb﹣lna，N=（b﹣a）（h（a）+h（b））=（b﹣a）（+）=（﹣），∴M﹣N=lnb﹣lna﹣（﹣），令t=，（t＞1），令g（t）=lnt﹣（t﹣），（t＞1），则g′（t）=﹣（1+），g″（t）=＜0，g′（t）在（1，+∞）递减，g′（t）＜g′（1）=0，∴g（t）在（1，+∞）递减，∴g（t）＜g（1）＜0，∴M﹣N＜0，即M＜N，故选：D．12．已知定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）满足f（x）=[f′（x）﹣1]x，且f（1）=0．则函数y=f（x）的最小值为（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣e D．0【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用条件求出f（x）=xlnx，根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值．【解答】解：∵f（x）=[f′（x）﹣1]x，且f（1）=0，∴f′（1）=1①．又f′（x）=[f″（x）]x+f′（x）﹣1，∴f″（x）=，∴f′（x）=lnx+C②，联立①②可求得C=1，∴f（x）=xlnx，∴f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得x=．∵当x∈（0，）时，f'（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，∴当x=时，f（x）min=﹣．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ（x）=x2（取细棒所在的直线为x轴，细棒的一端为原点），棒长为a，则细棒的质量为．【考点】定积分．【分析】利用定积分的物理意义将所求利用定积分表示，然后计算．【解答】解：由题意细棒的质量为：；故答案为：．14．若函数f（x）=x﹣acosx在R上递增，则实数a的取值范围为[﹣1，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，则1+asinx≥0在R恒成立，根据三角函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：∵f（x）=x﹣acosx，∴f′（x）=1+asinx，若函数f（x）=x﹣acosx在R上递增，则1+asinx≥0在R恒成立，则实数a的范围是[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．15．已知函数f（x）=x2+（2a3﹣a2）lnx﹣（a2+2a﹣1）x，x=1为其极值点，则实数a=﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由于函数f（x）=x2+（2a3﹣a2）lnx﹣（a2+2a﹣1）x，x=1为其极值点，可得f′（1）=0，解出并验证即可．【解答】解：f′（x）=x+（2a3﹣a2）﹣（a2+2a﹣1）（x＞0）．∵x=1为其极值点，∴f′（1）=1+（2a3﹣a2）﹣（a2+2a﹣1）=0，∴（a+1）（a﹣1）2=0，解得a=±1．a=1，f′（x）=x+﹣2=，x=1不是其极值点；a=﹣1，f′（x）=x﹣+2=，x=1为其极值点，故答案为：a=﹣1．16．已知：（1）若a1，a2，a3∈R，则a12+a22+a32≥a1a2+a2a3+a1a3），（2）若a1，a2，a3，a4∈R，则a12+a22+a32+a42≥（a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4），即：三个数的平方和不小于这三个数中每两个数的乘积的和；四个数的平方和不小于这四个数中每两个数的乘积的和的三分之二．进一步推广关于n个数的平方和的类似不等式为：若a n）（n∈N，n≥a1，a2，…a n∈R，则a12+a22+…+a n2≥M（a1a2+a1a3+…+a1a n+a2a3+a2a4+…+a n﹣13），则M=．【考点】类比推理．【分析】根据题目条件，由取等的条件的取得，进行判断，求解，即可解得答案．【解答】解：由已知：（1）若a1，a2，a3∈R，则a12+a22+a32≥a1a2+a2a3+a1a3，（2）若a1，a2，a3，a4∈R，则a12+a22+a32+a42≥（a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4），可知取等的条件是各个值都相等时取得，不妨设a i=1，（i=1，2，3…），即可得知，M=，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=2cos（）．（1）求C1与C2交点的直角坐标．（2）若曲线C3：θ=（ρ∈R，ρ≠0）分别与C1，C2相交于A，B，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，分别代入曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=2cos（）．化简即可得到所求直角坐标方程，联立解方程可得两交点；（2）联立曲线C3与曲线C1，曲线C2，求得A，B的极坐标，即可得到所求弦长|AB|．【解答】解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得曲线C1：ρ=2cosθ，即为x2+y2﹣2x=0；①曲线C2：ρ=2cos（），即ρ=2（cosθ+sinθ），即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，即为x2+y2﹣x﹣y=0，②联立①②解得交点为（0，0），（，）；（2）由，得A（﹣1，），由，得B（1，），则|AB|=|1﹣（﹣1）|=2．18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的参数方程为（θ为参数），利用倍角公式可得y=cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1，化简整理可得曲线C的普通方程，注意x的取值范围．（2）直线l的普通方程为x﹣y+3=0，利用点到直线的距离公式可得：曲线C上的点到l的距离d==，即可得出．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），∴y=cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1，化为y=﹣1，cosθ∈[﹣1，1]，可得x∈[﹣1，1]．∴曲线C的普通方程为：y=﹣1，x∈[﹣1，1]．（2）直线l的普通方程为x﹣y+3=0，曲线C上的点到l的距离d==≤=3，当cosθ=1时，d取得最大值3．19．已知函数f（x）=ln（x+1）+ln（1﹣x）+a（x+1）（a＞0）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（﹣1，0]上的最大值为1，求实数a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据x和a的范围，求出函数的单调性，从而求出函数的最大值，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：（1）函数定义域为（﹣1，1），a=1时，f′（x）=﹣+1=，由f′（x）≥0，得x∈（﹣1，﹣1），由f′（x）≤0，得x∈[﹣1，1），∴f（x）的单增区间为（﹣1，﹣1]，单减区间为[﹣1，1）；（2）当x∈（﹣1，0]时，∵a＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在x∈（﹣1，0]上单增，∴f（x）的最大值是f（0）=a=1，∴a=1．20．用数学归纳法证明（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3）．【考点】数学归纳法．【分析】用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．【解答】证明：当n=1时，左边=﹣14，右边=﹣1•2•7=﹣14，等式成立假设当n=k时等式成立，即有（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）++[（2k﹣1）（2k）2﹣2k（2k+1）2]=﹣k（k+1）（4k+3）那么当n=k+1时，（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）++[（2k﹣1）（2k）2﹣2k（2k+1）2]+[（2k+1）（2k+2）2﹣（2k+2）（2k+3）2]=﹣k（k+1）（4k+3）﹣2（k+1）[4k2+12k+9﹣4k2﹣6k﹣2]=﹣（k+1）[4k2+3k+2（6k+7）]=﹣（k+1）[4k2+15k+14]=﹣（k+1）（k+2）（4k+7）=﹣（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据以上论证可知等式对任何n∈N都成立．21．已知函数g（x）=x3+3ax﹣2．（1）当a为何值时，x轴为曲线y=g（x）的切线；（2）求a的范围，使g（x）有极值，并求极大值与极小值的和；（3）设f（x）=[g′（x）﹣ax]e x﹣x2，若函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设切点为（m，0），则，即可求出a；（2）分类讨论，求导数，确定函数的单调性，即可得出a 的范围，使g （x ）有极值，并求极大值与极小值的和；（3）h （x ）=x +2﹣，在（﹣∞，+∞）上单调递增，其值域为R ．则存在唯一x 0∈R ，使得h （x 0）=a ，分类讨论，利用函数f （x ）在x=0处取得极小值，求a 的取值范围．【解答】解：（1）设切点为（m ，0），则，解得 ∴a=﹣1时，x 轴为曲线y=g （x ）的切线． …（2）g ′（x ）=3x 2+3a当a ≥0时，g ′（x ）≥0成立，函数y=g （x ）无极值a ＜0，由g ′（x ）≥0，∴y=g （x ）在（﹣∞，﹣]和[，+∞）上单增由g ′（x ）≤0，∴y=g （x ）在[﹣，]上单减∴g （x ）极大=g （﹣），g （x ）极小=g （），g （x ）极大+g （x ）极小=g （﹣）+g（）=﹣4， ∴a ＜0时，函数y=g （x ）有极值，g （x ）极大+g （x ）极小=﹣4 …（3）f （x ）=（x 2﹣ax +a ）e x ﹣x 2，f ′（x ）=x [（x +2﹣a ）e x ﹣2]，x ∈R ，令f ′（x ）=0，则x=0或x +2﹣﹣a=0，即x=0或h （x ）=a ，∵h （x ）=x +2﹣，在（﹣∞，+∞）上单调递增，其值域为R ．∴存在唯一x 0∈R ，使得h （x 0）=a ，①若x 0＞0，当x ∈（﹣∞，0）时，h （x ）＜a ，f ′（x ）＞0；当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜a ，f ′（x ）＜0；∴f （x ）在x=0处取得极大值，这与题设矛盾；②若x 0=0，当x ∈（﹣∞，0）时，h （x ）＜a ，f ′（x ）＞0；当x ∈（0，+∞）时，h （x ）＞a ，f （x ）＞0；∴f （x ）在x=0处不取极值，这与题设矛盾；③若x 0＜0，当x ∈（x 0，0）时，h （x ）＞a ，f ′（x ）＜0；当x ∈（0，+∞）时，h （x ）＞a ，f ′（x ）＞0；∴f （x ）在x=0处取得极小值；综上所述，x 0＜0，∴a=h （x 0）＜h （0）=0．∴a 的取值范围是（﹣∞，0）． …22．在讨论函数局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论．在某值附近，用简单的一次函数，可以近似替代复杂的函数，距离某值越近，近似的效果越好．比如，当|x |很小时，可以用y=x +1近似替代y=e x ．（1）求证：x ＜0时，用x +1替代e x 的误差小于x 2，即：x ＜0时，|e x ﹣x ﹣1|＜x 2； （2）若x ＞0时，用x 替代sinx 的误差小于ax 3，求正数a 的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】（1）求出函数的导数，得到e x﹣x﹣1＞0，设h（x）=e x﹣x﹣1﹣x2，根据函数的单调性判断出结论即可；（2）设φ（x）=x﹣sinx，求出函数的导数，问题只需x﹣sinx﹣ax3＜0恒成立，设g（x）=x﹣sinx﹣ax3，通过讨论a的范围结合函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）设f（x）=e x﹣x﹣1，f′（x）=e x﹣1，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）递减，∴x＜0时，f（x）＞f（0）=0，即e x﹣x﹣1＞0，设h（x）=e x﹣x﹣1﹣x2，x≤0时，h′（x）=e x﹣1﹣x≥0，∴h（x）在（﹣∞，0]递增，∴x＜0时，h（x）＜h（0）=0，即e x﹣x﹣1﹣x2＜0，∴x＜0时，|e x﹣x﹣1|＜x2；（2）即求使x＞0时，|x﹣sinx|＜ax3恒成立的最小正数a，设φ（x）=x﹣sinx，φ′（x）=1﹣cosx≥0，∴φ（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，φ（x）＞φ（））=0，∴x﹣sinx＞0，∴只需x﹣sinx﹣ax3＜0恒成立，设g（x）=x﹣sinx﹣ax3，当a≥时，g′（x）=1﹣cosx﹣3ax2，g″（x）=sinx﹣6ax，x≥0时，sinx≤x，∴g″（x）≤x﹣6ax≤0，∴g′（x）在[0，+∞）递减，∴x≥0时，g′（x）≤g′（0）=0，∴g（x）在[0，+∞）递减，∴x＞0时，g（x）＜g（0）=0，即x﹣sinx＜ax3，∴a≥时，|x﹣sinx|＜ax3恒成立，当0＜a＜时，g′″（x）=cosx﹣6a，∃x0∈（0，），使得cosx0﹣6a=0，且x∈[0，x0]时，g′″（x）≥0，∴g″（x）在[0，x0]上单增，∴x∈[0，x0]时，g″（x）≥g″（0）=0，∴g′（x）在[0，x0]上单增，∴x∈[0，x0]时，g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，x0]上单增，∴x∈（0，x0]时，g（x）＞g（0）=0，即x﹣sinx﹣ax3＞0，这与题意不符，综上，所求正数a的最小值为．2016年9月4日。
武昌区2015－2016学年度第二学期期末调研考试高 二 物 理本试题卷共8页、18道题（含选考题）。
全卷满分110分。
考试用时90分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～10题有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
1．如图，质量为m 的光滑小球夹在倾角为α的斜面和挡板PO 之间静止。
将挡板缓慢地由竖直位置逆时针转到水平位置的过程中，关于挡板对小球的弹力F 1和斜面对小球的弹力F 2的大小变化，正确的是A ．F 1逐渐变大，F 2逐渐变小B ．F 1逐渐变小，F 2逐渐变小C ．F 1先逐渐变小后逐渐变大，F 2逐渐变小D ．F 1先逐渐变大后逐渐变小，F 2逐渐变小 2．两个质点A 、B 放在同一水平面上，由静止开始从同一位置沿相同方向同时开始做直线运动，其运动的v – t 图象如图所示。
对A 、B 运动情况的分析，下列结论正确的是A ．A 、B 加速时的加速度大小之比为2∶1，A 、BB ．在t = 6 t 0时刻，A 、B 相遇C ．在t = 3 t 0时刻，A 、B 相距最远D ．在t = 5 t 0时刻，A 、B 相距最远3．某物体沿与水平面成30°的木板恰好能匀速下滑；现将该木板与水平面的夹角调整为60°，并使该物体以某一初速度沿该木板向上滑动，则该物体上滑过程中的加速度大小为（取g = 10 m/s 2） A ．3320m/s 2 B ．3310 m/s 2 C ． 335m/s 2 D ．35m/s 2 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．第Ⅰ卷（选择题）的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
武汉市2015届高三9月调研测试数 学（理科）2014.9.5一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．1＋2i (1－i)2＝ A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x -＝3，y -＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 A ．y ^＝0.4x ＋2.3 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－2x ＋9.5 D ．y ^＝－0.3x ＋4.4 4．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝ A ． 2 B ．2 2 C ．3 2 D ．4 2 5．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A ．112B ．5C ．92D ．46．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于A ．32B ．332 C ．3＋62 D ．3＋3947．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0．若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A ．12或－1B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 8．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝A ．19B ．22C ．5D ．279．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，→OA ·→OB ＝2（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是A ．28B ．24C ．22 D ． 210．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12（x ＜0）与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是A ．(－∞，1e )B ．(－∞，e)C ．(－1e ，e)D ．(－e ，1e )二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设二项式(x －13x)5的展开式中常数项为A ，则A ＝ ．12．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝ ．13．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ． 14．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝ ．15．平面几何中有如下结论：如图1，设O 是等腰Rt △ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ ＋1AR ＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O 是正三棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12．（Ⅰ）若sin(π4＋α)＝22，且0＜α＜π，求f (α)的值； （Ⅱ）当f (x )取得最小值时，求自变量x 的集合．17．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：a n ＋2－a n ＝λ；（Ⅱ）当λ为何值时，数列{a n }为等差数列？并说明理由．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连结GH ．（Ⅰ）求证：AB ∥GH ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（Ⅰ）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率． 20．（本小题满分13分）如图，动点M 与两定点A (－1，0)，B (2，0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线y ＝－2x ＋m （其中m ＜2）与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e （e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若f (x )≤kx 2对任意x ＞0成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）当n ＞m ＞1（m ，n ∈N *）时，证明：nm m n＞mn ．武汉市2015届高三9月调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 二、填空题11．－10 12．－4 13．23 14．8 15．1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3 三、解答题 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵0＜α＜π，∴π4＜π4＋α＜5π4． …………………2分∵sin(π4＋α)＝22，∴π4＋α＝3π4，即α＝π2． …………………4分 ∴f (α)＝cos α(sin α＋cos α)－12＝cos π2(sin π2＋cos π2)－12＝－12．……………………6分 （Ⅱ）f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 …………………7分 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4)． …………………8分当2x ＋π4＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－3π8，k ∈Z 时，f (x )取得最小值， …………………10分 此时自变量x 的集合为{x |x ＝k π－3π8，k ∈Z }．………………………………12分17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1． …………………2分两式相减，得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1． .....................3分 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ． (4)分（Ⅱ）由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1． …………………5分由（Ⅰ）知，a 3＝λ＋1．令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4． …………………6分 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；…………………7分 {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1．…………………8分 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2． …………………10分 因此当λ＝4时，数列{a n }为等差数列．………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，…………………1分∴EF ∥AB ，DC ∥AB ， …………………2分 ∴EF ∥DC ．又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD ． …………………3分 又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，…………………4分 ∴EF ∥GH ． 又EF ∥AB ，∴AB ∥GH ．…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）在△ABQ 中，∵AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，∴∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ ．又PB ⊥平面ABQ ，∴BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则B (0，0，0)，Q (0，2，0)，D (1，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，(注：坐标写对给2分)∴→DP ＝(－1，－1，2)，→CP ＝(0，－1，2)．…………………8分 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·→DP ＝0，n ·→CP ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋2z ＝0，－y ＋2z ＝0．取z ＝1， 得n ＝(0，2，1)．…………………10分 又→BQ ＝(0，2，0)为平面PAB 的一个法向量， ∴cos ＜n ，→BQ ＞＝n ·→BQ |n ||→BQ |＝2×25×2＝255． 故平面PAB 与平面PCD 所成角的正弦值为55．………………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4．（注：基本事件叙述各1分）2分 ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800． …………………4分P (X ＝4000)＝P (A -)P (B -)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A -)P (B )＋P (A )P (B -)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2． ∴X 的分布列为……………………………………………………………6分（注：每个概率1分） （Ⅱ）设C i 表示事件“第i 季利润不少于2000元”（i ＝1，2，3），…………8分由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由（Ⅰ）知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8（i ＝1，2，3）． ∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为P ＝C 33×0.83＋C 23×0.82×0.2＝0.512＋0.384＝0.896．…………………………12分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设M 的坐标为(x ，y )，显然有x ＞0，且y ≠0．…………………1分当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)．…………………2分 当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan 2∠MAB ，即－|y |x －2＝2|y |x ＋11－(|y |x ＋1)2，…………………4分化简可得，3x 2－y 2－3＝0．而点(2，±3)在曲线3x 2－y 2－3＝0上，…………………5分综上可知，轨迹C 的方程为x 2－y 23＝1（x ＞1）．………………………………6分（Ⅱ）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，x 2－y 23＝1．消去y 并整理，得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0．（*）…………7分由题意，方程（*）有两根且均在(1，＋∞)内．设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－4m2＞1，f (1)＝12－4m ＋m 2＋3＞0，△＝(－4m )2－4(m 2＋3)＞0．解得m ＞1，且m ≠2．……………9分∵m ＜2，∴1＜m ＜2． …………………10分 设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，由|PQ |＜|PR |及方程（*）有 x R ＝2m ＋3(m 2－1)，x Q ＝2m －3(m 2－1)， ∴|PR ||PQ |＝x R x Q ＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1)＝2＋3(1－1m 2)2－3(1－1m 2)＝－1＋42－3(1－1m 2)．由1＜m ＜2，得1＜－1＋42－3(1－1m 2)＜7．…………………12分 故|PR ||PQ |的取值范围是(1，7)．……………………………………………………13分 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x )＝a ＋ln x ＋1． …………………1分由已知，得f ′(e)＝3，即a ＋lne ＋1＝3∴a ＝1．……………………………………………………………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )＝x ＋x ln x ，∴f (x )≤kx 2对任意x ＞0成立⇔k ≥1＋ln xx 对任意x ＞0成立，……………4分 令g (x )＝1＋ln xx ，则问题转化为求g (x )的最大值．求导数，得g ′(x )＝－ln xx 2，令g ′(x )＝0，解得x ＝1．…………………5分当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，1)上是增函数；当x ＞1时，g ′(x )＜0，∴g (x )在(1，＋∞)上是减函数．…………………6分 故g (x )在x ＝1处取得最大值g (1)＝1．∴k ≥1即为所求．…………………………………………………………………8分 （Ⅲ）令h (x )＝x ln xx －1，则h ′(x )＝x －1－ln x (x －1)2．…………………9分 由（Ⅱ），知x ≥1＋ln x （x ＞0），∴h ′(x )≥0，…………………10分∴h (x )是(1，＋∞)上的增函数．∵n ＞m ＞1，∴h (n )＞h (m )，即n ln n n －1＞m ln mm －1，…………………11分∴mn ln n －n ln n ＞mn ln m －m ln m ，…………………12分 即mn ln n ＋m ln m ＞mn ln m ＋n ln n ， 即ln n mn ＋ln m m ＞ln m mn ＋ln n n ，即ln(mn n )m ＞ln(nm m )n ， …………………13分 ∴(mn n )m ＞(nm m )n ，∴nm m n＞mn ． (14)分。
湖北省武汉市武昌区2018—2019学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已如集合，,则( ）A. B 。
C 。
D.【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，B,然后进行交集的运算即可．【详解】由题意,集合，∴集合．故选:A ．【点睛】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法,以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力,属于基础题．2. ( ）A. B 。
C 。
D 。
【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得到答案．【详解】由，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，着重考查了运算与求解能力,属于基础题．3。
设，满足约束条件则的最大值为（ ） A.B.C.D.{}20A xx =->{}3B x =≤AB =(]2,3[)2,3()2,3[]2,3{}{}{}20,333A x x B x B x =->=≤==-≤≤(2,3]A B =13i1i+=+2i -2i -+2i +2i --()()()()13i 1i 13i 42i 2i 1i 1i 1i 2+-++===+++-x y4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩z 2x 3y =-10856-【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义,求目标函数的最大值即可． 【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由得到,平移直线,当过A 时直线截距最小，最大,由 得到，所以的最大值为，故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力,属于基础题．4.某公司在年的收入与支出情况如下表所示：z 2x 3y =-233z y x =-233zy x =-z04100y x y =⎧⎨--=⎩5(,0)2A z 2x 3y =-m a x523052z =⨯-⨯=20142018-根据表中数据可得回归直线方程为,依此名计，如果年该公司的收入为亿元时,它的支出为( ） A. 亿元B 。
武昌区2014-2015学年度第二学期期末调研考试高二政治本试卷共100分，考试用时90分钟。
★祝考试顺利★本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至7页，第Ⅱ卷7至8页，全卷共8页。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位臵，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位臵。
2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷上无效。
3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。
答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4．选考题的作答，先把所选题目的题号在答题卡指定位臵用2B铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，监考人员将答题卡和试题卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共24小题，每小题2分，共48分）一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“嫦娥奔月”是我国古老的民间传说，就世界的本原来看，“嫦娥奔月”的传说属于A．古代朴素唯物主义B．客观唯心主义C．主观唯心主义D．辩证唯物主义2．下列选项能够正确反映唯物主义三种基本形态演进顺序的是①存在就是被感知②人是机器,思想是人脑的特性③世界是一团永恒的活火④物质是标志客观实在的哲学范畴A．③→②→④ B．②→③→④C．③→④→② D．②→①→③3．读右边漫画“宝宝快跳！”，从唯物论角度看，父母的要求是A.形而上学，孤立的看问题B.急于求成，不注意量的积累C.主观主义，不从实际出发D.强调客观，忽视主观能动作用4．英国企鹅出版社出版了许渊冲的《中国不朽诗三百首》，这是该出版社第一次出版中国人的译作，因为“此书的译文是绝妙的”，而“绝妙”来自许渊冲苦思与灵感交替往复的生活。
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试数 学 试 卷(理科）全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数211ii i-+- 等于（ ） A. i B. 0 C.-i D.1+i2．设x x x x f ln 42)(2--=，则函数()f x 单调递增区间为（A ） ),0(+∞ （B ）)0,1(-和),2(+∞ （C ）),2(+∞ (D))0,1(- 3．函数()y f x =的图象如图所示，若()f x dx m π=⎰，则20()f x dx π⎰等于（ ） A．mB ．2mC ．m -D ．04．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. y x =B. y =C.y x =D.32y x =±5．曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A ．2e B ．22e C ．24e D ．292e 6．下列命题错误的是 （ ）A 、命题“若0m >，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根，则0m ≤”B 、“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C 、对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x xD 、若q p ∧为假命题，则,p q 均为假命题7.棱长均为3三棱锥ABC S -，若空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x 为( )A 、6B 、36 C 、63 D 、1 8．已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f 的导函数，则)(x f y =的大致图象是( )9．如图，过双曲线上左支一点A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B ，若三角形ABF 2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）ABCD10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11AC 异面11．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()x x f x f x ->（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f >ABC1A 1C 1D 1B DEF12．定义方程()'()f x f x =的实数根0x叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()1),()1g x x x ϕ==-3,()ln(1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．复数4312ii++的虚部为 . 14．用数学归纳法证明某命题时，左式为nn 111.4131211--++-+-（n 为正偶数），从“n=2k ”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.15．设21 , F F 为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，点P 在双曲线的左支上，且||||122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 16．已知()0,x ∈+∞，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x +≥，…，可推广为1n ax n x+≥+，则a 等于 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知命题p ：[]0,2,12≥-∈∀a x x ，命题q ：022,0200=-++∈∃a ax x R x ，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分） 已知函数2()ln f x x a x =+． （1）当2a e =-时,求函数()f x 的单调区间和极值； （2）若函数2()()g x f x x=+在[1,4]上是减函数,求实数a 的取值范围．19.（本题满分12分） 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．OSBC20. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为离心率为2,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A ．（1）若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;（2）若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP += （O 为坐标原点），当PG PH -< 时，求实数t 的取值范围．21.(本小题满分12分) 已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+． （1）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞最小值； （2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)35721n n +>+++++ （n ∈*N ）．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．（3，4）C．（1，3）D．（2，4）3．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y＝x2﹣x B．y＝x+2sin x C．y＝x3+x D．y＝tan x4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若z＝ax+y的最大值为4，则a＝（）A．3B．2C．﹣2D．﹣35．（5分）如图是比赛中某选手的7个得分的茎叶图，则这7个分数的方差为（）A．B．C．36D．6．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝1，|﹣2|＝，则||＝（）A．B．C．2D．27．（5分）已知f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝kx，则“|k|≤1”是“f（x）≥g（x）在R上恒成立”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）执行如图所示的程序框图，若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣10），则数组中的x＝（）A．64B．32C．16D．89．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．1+B．1+C．2+D．2+10．（5分）已知圆柱的底面半径为r，高为h，体积为2，表面积为24，则+＝（）A．24B．12C．8D．611．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正常数）的最小正周期为π，当x＝时，函数f（x）取得最大值，则下列结论正确的是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）12．（5分）在平面直角坐标系中，过定点M（0，﹣）的直线l交椭圆+y2＝1于P，Q两点，则以PQ为直径的圆恒过x轴上方的定点（）A．（﹣1，）B．（0，）C．（0，1）D．（1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在（x+a）5的展开式中，x3的系数为40，则a＝．14．（5分）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的一条渐近线方程为x+y＝0，则该双曲线的离心率为．15．（5分）已知圆心为（0，1），半径为R的圆M与直线x+my﹣2m﹣1＝0（x∈R）相切，当半径R最大时，圆M的标准方程为．16．（5分）函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|+e x（x≥0）的最小值是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n} 的前n项和S n满足S n＝2a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n﹣a n} 是首项为3，公差为3的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B＝b cos A．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＝，c﹣b＝1，求△ABC的面积．19．（12分）对某工厂生产的产品进行质量监测，现随机抽取该工厂生产的某批次产品中的5件进行检测，测得其中x，y两种指标的含量的数据如下：（Ⅰ）当该产品中指标x，y满足x≥75且y≥80时，该产品为优等品，求该产品为优等品的概率；（Ⅱ）若从该产品中随机抽取2件，求出取的2件产品中优等品数的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，D是SC上的点．（Ⅰ）若SD＝SC，求证：AC⊥BD；（Ⅱ）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值．21．（12分）已知抛物线C：y＝x2，过不在y轴上的点P作C的两条切线P A，PB，切点分别为A，B．直线AB与y轴交于点M，直线PO（O为坐标原点）与AB交于点N，且PN⊥AB．（Ⅰ）证明M是一个定点；（Ⅱ）求的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式f（x）≥1﹣e x对x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：＝，故选：A．2．【解答】解：集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＜1或x＞3}，则A∩B＝{x|3＜x＜4}＝（3，4）．故选：B．3．【解答】解：对于A，y＝x2﹣x，是非奇非偶的函数，不满足条件；对于B，y＝x+2sin x，是定义域R上的奇函数，但在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件；对于C，y＝x3+x，是定义域R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件；对于D，y＝tan x，是定义域{x|x≠+kπ，k∈Z}上的奇函数，但在（0，+∞）上不是增函数，不满足条件．故选：C．4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，B（0，2），联立，解得A（1，1）．化目标函数z＝ax+y为y＝﹣ax+z，若a≤0，当直线y＝﹣ax+z过B时直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2，不合题意；若a＞0，当直线y＝﹣ax+z过A时直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+1＝4，得a ＝3．故选：A．5．【解答】解：已知中的茎叶图的数据分别为：87，89，91，91，92，93，94，其平均数为：（87+89+91+91+92+93+94）＝91，方差为：[（87﹣91）2+（89﹣91）2+（91﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝，故选：B．6．【解答】解：由|﹣2|＝，得，即，则，解得（舍）或．故选：D．7．【解答】解：由f（x）﹣g（x）＝x2﹣x+1﹣kx≥0，恒成立，则△＝（﹣1﹣k）2﹣4≤0，解得：﹣3≤k≤1．则“|k|≤1”是“f（x）≥g（x）在R上恒成立”的充分不必要条件．故选：A．8．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，y＝0，n＝1不满足条件n＞9，执行循环体，n＝3，x＝2，y＝﹣2不满足条件n＞9，执行循环体，n＝5，x＝4，y＝﹣4不满足条件n＞9，执行循环体，n＝7，x＝8，y＝﹣6不满足条件n＞9，执行循环体，n＝9，x＝16，y＝﹣8不满足条件n＞9，执行循环体，n＝11，x＝32，y＝﹣10满足条件n＞9，退出循环，输出（32，﹣10）．故选：B．9．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长是1的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，P A＝1．由P A⊥底面ABCD，可得P A⊥BC，又BC⊥AB，得BC⊥平面P AB，得BC⊥PB，即PBC为直角三角形，同理可得PDC为直角三角形．∴该几何体的表面积为．故选：C．10．【解答】解：由题意可知，两式相比可得，∴，∴＝＝6．故选：D．11．【解答】解：函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正常数）的最小正周期为π，∴，∴ω＝2，又当x＝时，函数f（x）取得最大值，即2×+φ＝，k∈Z．∴φ＝．∴函数f（x）＝A sin（2x+）＝A sin（2x+），当x＝2时，f（2）＝A sin（4+），可知：π＜4+．∴f（2）＜0．当x＝﹣2时，f（﹣2）＝A sin（﹣4+），∵＜﹣4+＜π，∴A＞f（﹣2）＞0．当x＝0时，f（0）＝A sin＝A．∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故选：A．12．【解答】解：设A（s，t），设直线PQ的方程：y＝kx﹣，k≠0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，整理得：（1+2k2）x2﹣﹣＝0，则x1+x2＝，x1x2＝﹣，由∠P AQ＝90°，则•＝0，∴（x1﹣s，y1﹣t）（x2﹣s，y2﹣t）＝0，则（x1﹣s）（x2﹣s）+（kx1﹣﹣t）（kx2﹣﹣t）＝0，则（1+k2）x1x2﹣（s﹣k+kt）（x1+x2）+s2+（t+）2＝0，整理得：（﹣2+2s2+2t2）k2﹣﹣+（t+）2＝0，由k∈R，则，解得：，则A（0，1），当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ为短轴的端点，则且过点A（0，1）．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上方的定点A（0，1），故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【解答】解：T3＝，∴a2＝40，解得a＝±2．故答案为：±2．14．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣y2＝1（a＞0），其渐近线方程为y＝±，若其一条渐近线方程为x+y＝0，即y＝﹣x，则有＝，则a＝，c＝＝，该双曲线的离心率e＝＝2；故答案为：2．15．【解答】解：根据题意，直线x+my﹣2m﹣1＝0可以变形为x﹣1+m（y﹣2）＝0，过定点（1，2），设P（1，2），分析可得：以C为圆心且与直线x+my﹣2m﹣1＝0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，则R的最大值|CP|＝＝，则圆M的方程为：x2+（y﹣1）2＝2；故答案为：x2+（y﹣1）2＝2．16．【解答】解：x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣x+3﹣x+e x＝4﹣2x+e x，f′（x）＝e x﹣2，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2，故f（x）在[0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，故f（x）min＝f（ln2）＝4﹣2ln2+e ln2＝6﹣2ln2，x∈[1，3）时，f（x）＝x﹣1+3﹣x+e x＝2+e x≥2+e，x∈[3，+∞）时，f（x）＝x﹣1+x﹣3+e x＝2x﹣4+e x≥2+e3，综上，f（x）的最小值是6﹣2ln2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（I）∵S n＝2a n﹣1（n∈N+），∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n＝2a n﹣1．n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，解得a1＝1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为1．∴a n＝2n﹣1．（II）b n﹣a n＝3+3（n﹣1）＝3n，∴b n＝2n﹣1+3n，∴数列{b n}的前n项和T n＝+3×＝2n﹣1+．18．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a sin B＝b cos A．由正弦定理，得：sin A sin B＝sin B cos A∵0＜B＜π，sin B≠0．∴sin A＝cos A即tan A＝．∵0＜A＜π，∴A＝．（Ⅱ）由a＝，c﹣b＝1，A＝，由余弦定理，cos A＝，得：bc＝（c﹣b）2+2bc﹣7．解得：bc＝6．∴△ABC的面积S＝bc sin A＝＝．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，产品编号为2和5产品满足x≥75且y≥80，所以该产品为优等品的概率为P＝＝0.4；（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2；且P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝；所以随机变量ξ的分布列为：数学期望为Eξ＝0×+1×+2×＝＝0.8．20．【解答】解：（Ⅰ）在AC上任取一点E，使AE＝，则DE∥SA ∵SA⊥底面ABC，∴DE⊥底面ABC，∴DE⊥AC．在△ABE，AE＝，AB＝a，∠BAC＝60°，由余弦定理得BE＝∵AB2＝AE2+BE2，∴BE⊥AC∴AC⊥面BDE，AC⊥BD．（Ⅱ）∵SA⊥底面ABC，SA⊂底面ABC，∴平面SAC⊥底面ABC．由（Ⅰ）知BE⊥AC，∴BE⊥面SAC，BE⊥SC，过E作EF⊥SC于F，连接BF，则SC⊥面BEF，∴SC⊥BF∵EF⊥SC，BF⊥SC，∴∠EFB为二面角A﹣SC﹣B的平面角．∵Rt△SAC∽Rt△EFC，∴，∴．又∵BE＝，∴BF＝．在Rt△BEF中，cos．∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值为21．【解答】解：（Ⅰ）证明：设P（x0，y0），x0≠0，显然y0≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由y＝x2，求导y′＝x，则直线P A的斜率k＝x1，直线P A的方程：y﹣y1＝x1（x﹣x1），则y﹣y1＝x1x﹣x12，即y+y1＝x1x，同理直线PB的方程：y+y2＝x2x，∴由直线P A，PB过切点P，则y0+y1＝x1x0，y0+y2＝x2x0，则A和B的坐标满足y0+y＝xx0，∴直线AB的方程为y＝xx0﹣y0，则直线PO的斜率为，直线AB的斜率为x0，由PN⊥AB，即0P⊥AB，∴×x0＝﹣1，则y0＝﹣1，∴直线AB的方程y＝xx0+1，∴AB与y轴的焦点M是定点（0，1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）P（x0，﹣1），则丨PN丨为P到直线AB：xx0﹣y+1＝0的距离，丨PN丨＝，丨PM丨＝＝，由丨MN丨＝，∴＝＝，由＝＝＝1+，＝1+≤1+＝，当且仅当x02＝，即x0＝±时，取等号，则＝≥＝2，∴的最小值2．22．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣a＝，x＞﹣1，（i）若a≤0，则f′（x）＞0，故f（x）在（﹣1，+∞）递增；（ii）若a＞0，则x＜﹣1+时，f′（x）＞0，x＞﹣1+时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣1，﹣1+）递增，在（﹣1+，+∞）递减；（Ⅱ）记g（x）＝f（x）﹣1+e x＝ln（x+1）﹣ax﹣1+e x（x≥0），则”不等式f（x）≥1﹣e x对x∈[0，+∞）恒成立“，等价于g（x）min≥0，（x≥0）恒成立，∵g′（x）＝﹣a+e x，而e x≥x+1，故g′（x）≥﹣a+x+1≥2﹣a，（i）若a≤2，则g′（x）≥0，从而g（x）在[0，+∞）递增，故g（x）min＝g（0）＝0，符合题意；（ii）若a＞2，∵g″（x）＝≥0，故g′（x）在[0，+∞）递增，故g′（x）≥g（0）＝2﹣a＜0，故存在x0使得0＜x＜x0时，g′（x）＜0，x＞x0时，g′（x）＞0，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故g（x）min＝g（x0），故g（x）在（0，x0）递减，g（x）min＝g（x0）＜g（0）＝0，不合题意，综上，a的范围是（﹣∞，2]．。
武汉市2015届高中毕业生二月调研测试理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数ii1+-的共轭复数是 A ．i 1- B ．i 1+- C ．i 1+ D ．i 1--2．已知集合}1,log |{2>==x x y y A ，}1,)21(|{>==x y y B x，则=B AA ．}210|{<<y yB ．}10|{<<y yC ．}121|{<<y y D ．φ3．若函数2)(-=ax x f 在),2[+∞上有意义，则实数a 的取值范围为A ．1=aB ．1>aC ．1≥aD ．0≥a4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．6π B ．3πC ．32πD ．π5．10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次.在第一次抽出的是次品的条件下，则第二次抽出正品的概率是A ．307 B ．97 C ．103 D ．1076．=+⎰x xx xd sin cos 2cos 4πA ．)12(2-B ．12+C ．12-D ．22-7．已知m ，n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若βαγα⊥⊥,，则βγ// B ．若βα⊂⊂n m n m ,,//，则βα// C ．若α//,//m n m ，则α//n D ．若βα⊥⊥n m n m ,,//，则βα//8．已知点P 是双曲线1422=-y x 上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则=⋅A ．2512-B ．2512C ．2524-D ．54- 9．在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为c b a ,,，且bc a b +=22，6π=A ，则内角C =A ．6π B ．4π C ．43π D ．4π或43π10．已知点P 为曲线03225=+--y x xy 上任意一点，O 为坐标原点，则||OP 的最小值为 A ．25 B ．26 C ．2 D ．332二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．执行如图所示的程序框图，如果输入2,1==b a ， 则输出a 的值为 ．12．10)1)(1(x x -+展开式中3x 的系数为 ．13．已知向量 )7,2(-=，)4,2(--=，若存在实数λ，使得⊥-)(λ，则实数λ为 ．14．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+,0,1,1y x y y x 若目标函数ay x a z +-=)1(在点)0,1(-处取到最大值，则实数a 的取值范围为 ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，3,24,26===OP PA AB ，则⊙O的半径=R ． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，点)3,2(π-P 到直线1)6sin(:=-πθρl的距离是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数a x a x x x f )(32sin()3cos(sin 2)(ππ++-⋅=为常数）的图象经过点)3,6(π．（Ⅰ）求a 的值及函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）解不等式0)(≥x f ． 18．（本小题满分12分）已知{a n }是由正数组成的数列，其前n 项和n S 与n a 之间满足：),1(41221*∈≥+=+N n n S a n n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项n a ；（Ⅱ）设n nn a b )21(=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC ∆为正三角形且边长为a 3，侧棱a AA 21=，点A 在下底面的射影是111C B A ∆的中心O ． （Ⅰ）求证：111C B AA ⊥；（Ⅱ）求二面角111C AA B --所成角的余弦值．20．（本小题满分12分）某工厂的一个车间有5台同一型号的机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为1.0，若每一天该车间获取利润y （万元）与“不发生故障”的机器台数)5,(≤∈n n n N 之间满足关系式：⎩⎨⎧≥-≤-=).3(33),2(6n n n y （Ⅰ）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（Ⅱ）求这个车间一天内可能获取利润的均值（精确到0。
图12015-16高二下学期数学（理）期末调研试卷本试卷共4页，20小题，满分150分，测试用时120分钟。
不能使用计算器． 注意事项：1． 答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上．2． 做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3． 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4． 所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效． 5． 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：锥体的体积公式h S V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈ i 是虚数单位，=+-i25A ．i +2B ．i +-2C ．i -2D ．i --2⒉已知点)0 , 4 , 3(A 和向量)1 , 2 , 1(-=a ，点) , , 0(n m B 在yOz 平面上，使向量//a ，则点B 的坐标为A ．)3 , 10 , 0(-B ．)3 , 10 , 0(-C ．)3 , 2 , 0(-D ．)3 , 2 , 0(- ⒊7)21(x -的展开式的第4项的系数为A ．280B ．560C ．280-D ．560-⒋某几何体的三视图如图1所示（图中标记的数据 为2或4），则该几何体的体积为 A ．π88+ B ．π816+ C ．π168+ D ．π1616+ ⒌“2πϕ=”是“函数)sin(ϕ+=x y 的图象关于y 轴对称”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件⒍双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的顶点为1A 、2A ，焦点为1F 、2F ，若1A 、2A 是线段21F F 的三等分点，则双曲线的离心率=e A ．23B ．2C ．25D ．3⒎设R a ∈，若函数ax e y x +=+1（R x ∈）有大于0的极值点，则A ．e a -<B ．e a ->C ．1-<aD ．1->a⒏设n n n C B A ∆（*∈N n ）三边的长分别为n a 、n b 、n c ，n n n C B A ∆的面积为n S ，若11c b >，1112a c b =+，n n a a =+1，21n n n c a b +=+，21nn n b a c +=+，则 A ．{}n S 为递减数列 B ．{}12-n S 为递增数列，{}n S 2为递减数列 C ．{}n S 为递增数列 D ．{}12-n S 为递减数列，{}n S 2为递增数列二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，满分30分．㈠必做题（9～13题）⒐一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的 时间为5秒，绿灯的时间为40秒．一辆汽车到达 路口，看见红灯的概率是 ． ⒑已知命题p ：R x ∈∃0，0120>-x ． 则命题p 的否定p ⌝： ．⒒执行如图2所示的程序框图，输出S 的值为 ． ⒓经过圆C ：5)2()1(22=-++y x 上一点)1 , 1(P ， 且与圆C 相切的直线的方程是 ．⒔若]21, 0(∈∀x ，恒有x a x log 4<，则a 的取值范围是 ．㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）⒕（选做题）计算：31+-、531-+-、7531+-+-、……，根据计算结果找规律填空：=--+++-+-)12()1(7531n n ． ⒖（选做题）如图3，M 是抛物线x y 42=上一点，F 是抛物线 的焦点，若0120=∠MFO ，则=MF ．三、解答题：本大题共6小题，满分80和演算步骤．⒗（本小题满分12分）如图4，海中有一小岛P ，周围4海里内有暗礁．海轮由西向东航行，在A 处望见岛P 在北偏东075．航行10海里到达B 处，望见岛P 在北偏东060．如果海A BCDFG1A 1B 1C 1D⒘（本小题满分13分）已知数列{} n a 的前n 项和2310n n S n -=（*∈∀N n ）． ⑴求n a ；⑵求集合{}*∈<N n a n n , 0|（用列举法表示）．⒙（本小题满分14分）如图5，1111D C B A ABCD -是长方体，2==BC AB ，E 、F 分别是棱BC 、1BB 上一点，1==BF BE ，经过D 、E 、F 三点的平面与棱1AA 相交于G ．⑴求AG ；⑵求二面角D FG A --的余弦值．⒚（本小题满分13分）为考察某种药物防治疾病的效果，对105只动物进行试验，得到如下的列联表：药物效果试验列联表⑴能否以%5.97的把握认为药物有效？为什么？⑵从上述30只患病动物中随机抽取3只作进一步的病理试验，求抽取的3只动物中服药动物数量ξ的分布列及其均值（即数学期望）．参考公式与数据：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n k ++++-=⒛（本小题满分14分）点M 与定点)0 , 2(F 的距离和它到直线8=x 的距离之比是2:1． ⑴求点M 的轨迹方程（写成标准方程形式）；⑵设点M 的轨迹与x 轴相交于1A 、2A 两点，P 是直线8=x 上的动点，求21PA A ∠的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数x ax x f ln 1)(-+=，其中R a ∈是常数．⑴若曲线2)]([x f y =在点))1( , 1(f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； ⑵求函数)(x f 的极值；⑶试讨论直线e x y +-=（e 为自然对数的底数）与曲线)(x f y =公共点的个数．评分参考一、选择题 DBCB ADAC二、填空题 ⒐52⒑R x ∈∀（2分），012≤-x （3分，其中，等号1分）⒒78 ⒓012=--y x ⒔)1 , 22(（端点各2分，格式1分）⒕n n )1(- ⒖4三、解答题⒗（方法一）从小岛P 向海轮的航线AB 作垂线PC ，垂足为C ……1分设PC 长为x 海里，BC 长为y 海里，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=0015tan 1030tan y x y x ……7分消去变量y 得1015tan 30tan 00-=xx ……9分 解得515tan 30tan 30tan 15tan 100000=-=x ……11分 45>，所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分（方法二）从小岛P 向海轮的航线AB 作垂线PC ，垂足为C ……1分 在△PAB 中，∠PAB=900-750=150，∠PBA=900+600=1500，从而 ∠APB=1800-150-1500=150，∠PAB=∠APB ……6分（其中，求∠APB 给2分）PB=AB=10……8分，PC=PB×sin300=5……11分（其中，列式给2分）45>，所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分⒘⑴1=n 时，911-==S a ……1分1>n 时，1--=n n n S S a ……3分11233])1(10)1[(1022323+-=-----=n n n n n n ……5分1=n 时，9112332-=+-n n ……6分所以，*∈∀N n ，112332+-=n n a n ……7分 ⑵（方法一）由⑴得0112332<+-=n n a n ……8分 所以32397233239723⨯+<<⨯-n ……10分 因为*∈∀N n ，所以71≤≤n ……12分 （或“132397230<⨯-<，832397237<⨯+<……12分”）所求集合{}{}7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0|=∈<*N n a n n ……13分（方法二）设2310)(x x x f -=，) , 1[∞+∈x ，则x x x f 203)(2/-=……10分由0203)(2/<-=x x x f ，得3200<<x ……11分 由32010<-<n ，*∈∀N n 得7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2=n ……12分，911<-==S a ，019788>=-=S S a ，所以{}{}7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0|=∈<*N n an n……13分⒙⑴1111D C B A ABCD -是长方体，面//11B BCC 面11A ADD ……1分DEFG 在同一平面上，所以DG EF //……2分，ADG BEF ∠=∠……3分由已知得BEF ∆和ADG ∆都是等腰直角三角形，所以2==AD AG ……4分 ⑵（方法一）在平面11A ABB 内作FG AH ⊥，垂足为H ，连接DH ……5分⊥AD 面11A ABB ，所以FG AD ⊥……6分A AH AD = ，所以⊥FG 面ADH ……7分所以DH FG ⊥，AHD ∠是二面角D FG A --的平面角……8分 在AFG ∆中，5==FG AF ，2=AG ……9分 由余弦定理得53cos =∠AFG ……11分 54sin =∠AFG ，554sin =∠⨯=AFG AF AH ……12分 所以55622=+=AD AH DH ……13分，32cos ==∠DH AH AHD ……14分 （方法二）以B 为原点，BC 、BA 、1BB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系……5分，则平面AFG 的一个法向量为)0 , 0 , 1( 1=n ……6分)0 , 2 , 2(D ，)0 , 0 , 1(E ，)1 , 0 , 0(F ……7分设平面D F G 即平面D E F 的一个法向量为) , , (2c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n DE n ……9分，即⎩⎨⎧=+-=+02c a b a ……11分，b c a 2-==，不妨取)2 , 1 , 2(2-=n ……12分二面角D FG A --的余弦值32cos 2121=⋅=θ……14分 ⒚⑴024.51.675305055)45203010(105))()()(()(22>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n k (3)分（其中，不论是否写公式，正确代入1分，近似计算1分，比较1分） 所以，能以%5.97的把握认为药物有效……4分 ⑵ξ服从超几何分布……5分其中30=N ，10=M ，3=n ，0=ξ，1，2，3……6分20357)0(330320010=⋅==C C C P ξ，20395)1(330220110=⋅==C C C P ξ， 20345)2(330120210=⋅==C C C P ξ，2036)3(33020310=⋅==C C C P ξ……10分 分布列为……11分ξ的均值（即数学期望）120363203452203951203570=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……13分⒛⑴设) , (y x M 是轨迹上任意一点……1分依题意，21|8|)2(22=-+-x y x ，即|8|)2(222-=+-x y x ……3分两边平方得，222)8()2(4-=+-x y x ……4分化简得点M 的轨迹方程为1121622=+y x ……6分（未化成标准方程扣1分） ⑵由⑴得)0 , 4(1-A 、)0 , 4(2A ……7分设直线8=x 交x 轴于Q ，根据椭圆的对称性，不妨设) , 8(m P （0>m ），则（方法一）m PQ A 12tan 1=∠，mPQ A 4tan 2=∠……9分 PQA PQ A PQA PQ A PQ A PQ A PA A 21212121tan tan 1tan tan )tan(tan ∠⋅∠+∠-∠=∠-∠=∠……10分4882+=m m……11分0>m ，所以m m 38482≥+……12分，所以334882≤+m m ……13分 x tan 在区间)2 , 0(π单调递增，所以21PA A ∠的最大值为6π……14分（方法二）cos 212121PA A =∠……8分2222241248+⋅++=m m m ……10分，222264)48(48mm m +++=0>m ，所以m m 38482≥+……11分，222)48(3164+≤m m ……12分 所以233111cos 21=+≥∠PA A ……13分 x cos 在区间)2 , 0(π单调递减，所以21PA A ∠的最大值为6π……14分21．⑴)1)(ln 1(2)()(2//xa x ax x f x f y --+=⋅=……1分依题意，0)1)(1(2|1/=-+==a a y x ……2分，解得1±=a ……3分⑵xa x f 1)(/-=，0>x0≤a 时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减，无极值……4分 0>a 时，由0)(/=x f 得ax 1=……5分 当a x 10<<时0)(/<x f ，当a x 1>时0)(/>x f ……6分，所以)(x f 在ax 1=处取得极小值，极小值为a af ln 2)1(+=……7分⑶记x e x a e x x f x g ln )1()1()()()(--++=+--=，则直线e x y +-=与曲线)(x f y =公共点的个数即函数)(x g 零点的个数．xa x g 1)1()(/-+= 1-≤a 时，0)(/<x g ，)(x g 单调递减，且值域为R ，有一个零点……8分 1->a 时，由0)(/=x g 得11+=a x ……9分 当110+<<a x 时0)(/<x g ，当11+>a x 时0)(/>x g ……10分，所以)(x f 在11+=a x 处取得极小值，极小值为)1ln()2()11(++-=+a e a g ……11分 当0)1ln()2()11(>++-=+a e a g ，即12->-e e a 时，)(x g 无零点……12分 当0)1ln()2()11(=++-=+a e a g ，即12-=-e e a 时，)(x g 有一个零点……13分当0)1ln()2()11(<++-=+a e a g ，即112-<<--e e a 时，)(x g 有两个零点． 综上所述，1-≤a 或12-=-e e a 时，直线e x y +-=与曲线)(x f y =有一个公共点；112-<<--e e a 时，有两个公共点；12->-e e a 时，无公共点……14分．。
2015—2016学年度下学期孝感市五校教学联盟期末联合考试 高二数学（理）试卷命题人：蒋社林 审题人：艾小红第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.复数121ii++的虚部是 （ ） A.2i B.12 C.12i D.322.用反证法证明命题：“在一个平面中，四边形的内角中至少有一个不大于90度”时，反设正确的是（ ）A.假设四内角至多有两个大于90度B.假设四内角都不大于90度C.假设四内角至多有一个大于90度D.假设四内角都大于90度3．已知曲线()y f x =在5x =处的切线方程是8y x =-+，则(5)f 及(5)f '分别为( )A ．3 , 3B ．3，－1C ．－1, 3D ．－1，－14.在空间直角坐标系中，已知点),,(z y x P ①点P 关于x 轴对称点的坐标是),,(1z y x P - ②点P 关于yoz 平面对称点的坐标是),,(2z y x P --③点P 关于y 轴对称点的坐标是),,(3z y x P -④点P 关于原点对称点的坐标是),,(4z y x P ---.其中正确的个数是 （ ）A.3B.2C.1D.05.设a R ∈，则1a >是11a< 的 （ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=7．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =图象如下图所示，则导函数)(x f y '=的图象可能为 （ ）8. ( )A 9.以下三个命题中：①设有一个回归方程23y x ∧=-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．其中真命题的个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.310.已知2212221(0,0)x y F F a b a b-=>>、分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则当△21F PF 的面积为2a 时，双曲线的离心率为（ ）A.211.苏菲有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节 需选择一套服装参加歌舞演出，则苏菲有几种不同的选择方式（ ） A ．24 B ．14C ．10D ．912.设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>，且(1)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A ．（－1，0）∪（1，+∞）B ．（－1，0）∪（0，1）C ．（－∞，－1）∪（1，+∞）D ．（－∞，－1）∪（0，1）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨 方程是 .14.观察下列式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<,…根据以上式子 可以猜想：2222111112342015+++<___ _. 15.如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中 阴影部分的概率为 .16．对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，定义：()f x ''是函数()y f x =的导数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”， 任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”.请你将这一发现作为条 件，则函数32()33f x x x x =-+的对称中心为__________.三．解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17．（本小题满分10分）甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量,分别记为X和Y ,它们的分布列分别为(1) 求a ,b 的值;(2) 计算X 和Y 的期望与方差,并以此分析甲、乙两射手的技术情况.18.（本小题满分12分）已知命题p ：方程22121x y m m +=--所表示的图形是焦点在y 轴上的双曲线，命题q ：复数z=(m-3)+(m-1)i 对应的点在第二象限，又p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．19.（本小题满分12分） 如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)111C B A ABC -,底面ABC ∆中 , 090,1=∠==BCA CB CA ，棱21=AA ，N M 、分别为A A B A 111、的中点.（1）求 11cos ,BA CB <>的值； （2）求证：MN C BN 1平面⊥ （3）求的距离到平面点MN C B 11.20．（本小题满分12分）已知函数21()3(1)ln 2f x x x a x =-+-，()g x ax =，()()()3h x f x g x x =-+.（1）当5a =时，求函数()f x 的导函数()f x '的最小值； （2）当3a =时，求函数()h x 的单调区间及极值；21. （本小题满分12分）双曲线C 的中心在原点，右焦点为F ），渐近线方程为 x y 3±=.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线l ：1+=kx y 与双曲线C 交于A 、B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点；22. 已知函数32*11()(1)()32n f x x n x x n N =-++∈，数列{}n a 满足1()n n n a f a +'=，13a =.(1)求234,,a a a ；(2)根据(1)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明； (3)求证：222121113(25)(25)(25)2n a a a +++<---2015—2016学年度下学期孝感市五校教学联盟期末联合考试高二数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题1-12 BDBCA DDACB BA 二、填空题13. 22143x y += 14. 4029201515.2π 16.(1,1) 三、解答题17．解：（1）a=0.5，b=0.6 ………………………… 2分（2）E(X)=0×0. 1+1×0.5+2×0.4=1.3D(X)=222)3.12(4.01.3)-(10.5)3.10(1.0-⨯+⨯+-⨯=0.41 E(Y)=0×0.2+1×0.2+2×0.6=1.4D(Y)=222)4.12(6.01.4)-(10.2)4.10(2.0-⨯+⨯+-⨯=0.64 … 6分 E(X) < E(Y) ，D(X) < D(Y) ………………………… 8分∴ 乙的平均得分高，甲的得分更加稳定. …………………………… 10分18.解：若p 为真，则2010m m -<⎧⎨->⎩得m ＞2； ………………… 2分若命题q 为真，则3010m m -<⎧⎨->⎩ 得1＜m ＜3； …………………………4分由p∨q 为真，p∧q 为假知p ，q 一真一假；…………………………6分∴213m m m >⎧⎨≤≥⎩，或或213m m ≤⎧⎨<<⎩； ………………………… 8分∴解得m≥3，或1＜m≤2； ………………………… 11分 ∴m 的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．………………………… 12分19. 以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系O －xyz（1）依题意得)2,1,0(),0,0,0(),2,0,1(11B C A ,∴ )2,1,0(),2,1,1(11=-=CB BA ∴1110(1)1223BA CB ⋅=⨯+-⨯+⨯=56==,∴11,cos CB BA <>=11113010BA CB BA CB ⋅=⋅ …………………………4分 (2) 依题意得)1,0,1(),2,1,0(),2,0,0(),2,0,1(111N B C A∴ )2,21,21(M ,∴ 111(,,0)22C M =,)1,0,1(1-=N C ,)1,1,1(-=BN∴ 1111(1)10022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯=1110(1)(1)10C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯= ∴ C ⊥1,C ⊥1∴ N C BN M C BN 11,⊥⊥∴ MN C BN 1平面⊥ …………………………8分(3) )1,1,1(-=为平面1C MN 的法向量，又11C B =(0，1，0)则距离d =11C B BN BN⋅=33………………………… 12分20. 解：（1）11()33a a f x x x x x--'=-+=+-，其中0x >. 因为5a =，又0x >，所以43431x x+-≥-=， 当且仅当2x =时取等号，其最小值为1……………………………4分（2）当3a =时，21()2ln 32h x x x x =+-，2(1)(2)()3x x h x x x x--'=+-=. ………………………………………………6分 ,(),()x h x h x '的变化如下表：函数()h x 在1x =处取得极大值52-，在2x =处取得极小值2ln 24-. …………………………………12分21.解：（1）易知 双曲线的方程是1322=-y x . …………………………4分（2）由221,31,y kx x y =+⎧⎨-=⎩得()022322=---kx x k ………………………………6分 由03,02≠->∆k 且，得,66<<-k 且 3±≠k . 设()11,y x A 、()22,y x B ，又12223k x x k -+=-，12223x x k =-，…………………………8分 所以 212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=， 因为以AB 为直径的圆过原点，所以OB OA ⊥，所以 12120x x y y +=. …………………………………10分 所以 22103k +=-，解得1±=k . …………………………12分22.解:(1)2()(1)1n f x x n x '=-++，13a =，又21(1)1n nn a a n a +=-++， ∴2211214a a a =-+=，2322215a a a =-+=， 2433216a a a =-+=.………3分 (2)猜想2n a n =+，用数学归纳法证明． 当n ＝1时显然成立，假设当n ＝k(k ∈N *)时，a k ＝k ＋2， 则当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，精 品 文 档试 卷 a k ＋1＝a 2k －(k ＋1)a k ＋1＝(k ＋2)2－(k ＋1)(k ＋2)＋1，＝k ＋3＝(k ＋1)＋2，∴当n ＝k(k ∈N *)时，猜想成立．根据数学归纳法对一切n ∈N *，a n ＝n ＋2均成立. ………………8分(3)当k≥2时，有2211(25)(21)k a k =--<1111()(21)(23)22321k k k k =-----， 所以n ≥2时，有211(25)nk k a =-∑<1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1 ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<1＋12＝32. 又n ＝1时，21(21)k a -＝1<32 故对一切n ∈N *，有211(25)nk k a =-∑<32 ………………12分。
it”,上.:・ *t<«. ・•・・今4a»<»X4.ft.・•■二•！》 . «<a«sxc«■■今-v ・■丨•-.AIM .12 4«. «<Ni»*・ a«*Niaiuie>MMi*.只•一•>雳MIR9MCU ••x*ir -(<r a -**«♦.・・ 9・A rt «•・isac.D g«*Fo ，.・■ •：、・“・<r* •«・ w►-4 FB IC. 11D. 11m waawtaviMbnHnehtHb ・■■••ve ・ •“■・ itweii■u ・e ・ei. tai ■ ・ MM ■PMNI ・耐■ mr w*if ・ *c«r t«<! ・■・ •*••・■瓠 ・♦•♦71 IWUMI I JU «KMMLflf1t ・4KtUTM ・li9\ e*Jena*^|i »J •■攵dy ««AUIIA ・■■ (P -OUGr ♦・) B. CFe ・■ C. (p -IMS* F D GM e*A ■ r. p«ue wcn«eaiM4i * *・ •・・”■•・40*VTi.<IDI« ・E 11 (HMAJKy «<A^F«WMUii|hM ・i,■・氏▼■■■<«・ f £・ a«a,(T) tVLKOR ■■■・X.・sa-・^・*4个•>«・”■，伶・tie* # .一 iRBfnWi9<> SKC ■ B4W.C.GW" ___________________ E ・W\ !ir> A ••••他 •吻代”eai Raaar eatsit. aMcaaracati■\:•4 t•▼ ••piiv!•ue M r!•■ *••a > n »• ejiAVT E ・><♦•几■■■■臨■ •■><・ p r a. ••••"■•t» ・“"yK•■«!e.AM 9^* vmn ・・・o ・ KM lite ・・3・x ・，•为・•• lb[?•» tMia.P -” ・》 •Ht -IM ・・-・。
全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.复数211ii i-+- 等于（ ） A. i B. 0 C.-i D.1+i 【答案】B 【解析】 试题分析：212(1)(1)()1101(1)(1)()i i i i i i i i i i i i -+--+=+=+--=--+-； 故选B.考点：复数的运算.2.设x x x x f ln 42)(2--=，则函数()f x 单调递增区间为（A ） ),0(+∞ （B ）)0,1(-和),2(+∞ （C ）),2(+∞ (D))0,1(- 【答案】C 【解析】 试题分析：242242(1)(2)()22x x x x f x x x x x--+-'=--==，由2(1)(2)()0x x f x x+-'=>解得：10,2x x -<<>或；所以函数()f x 单调递增区间为)0,1(-和),2(+∞； 故选B考点：函数的导数与函数单调性的关系. 3.函数()y f x =的图象如图所示，若()f x dx m π=⎰，则20()f x dx π⎰等于（ ）A ．mB ．2mC ．m -D ．0【答案】D考点：定积分.4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =B. y =C.y x =D.32y x =±【答案】B 【解析】试题分析：由于抛物线216y x =的焦点为(4,0)F ，又因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，所以双曲线的半焦距4c =；从而422,c a b a a==⇒===，所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=；故选B.考点：双曲线与抛物线的简单几何性质． 5. 曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A ．2e B ．22e C ．24e D ．292e （第3题图）【答案】A 【解析】试题分析： 由于11122211()22x x x y e ee ''===，所以曲线12x y e =在点2(4,)e 处的切线的斜率2412x k y e ='==，从而切线方程为：221(4)2y e e x -=-，即2212y e x e =-； 令0x =得2y e =-；令0y =得2x =；从而切线与坐标轴所围三角形的面积为22122S e e =⨯⨯-=；故选A.考点：导数的几何意义. 6.下列命题错误的是 （ ）A 、命题“若0m >，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根，则0m ≤”B 、“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C 、对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x xD 、若q p ∧为假命题，则,p q 均为假命题 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ：命题“若0m >，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根，则0m ≤”是真命题；对于B ：当1=x 时有0232=+-x x 成立，但当0232=+-x x 时，有1=x 或2x =；知B 是真命题；对于C ：对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x x 也是真命题；对于D ：若q p ∧为假命题，则只要,p q 中至少有一个是假命题即可，所以它是假命题； 故选D.考点：简单命题真假判断．7.棱长均为3的三棱锥ABC S -，若空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x则( )A 、6B 、36C 、63 D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：∵空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x ， ∴点P 在平面ABC 内．因此当SP ⊥平面ABC ，P∵三棱锥S-ABC 的棱长均为3，∴点P 为底面ABC 的中心．如图：∴2,33AP AD AD AP ===∴=在Rt △APS中，SP ===故选A.考点：1. 向量在几何中的应用；2. 平面向量的基本定理及其意义.8.已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f 的导函数，则)(x f y =的大致图象是( )【答案】B 【解析】试题分析：先结合函数)()1(x f x y '-=的图象得到当x ＞1时，()0f x '>，根据函数的单调性与导数的关系可知单调性，从而得到()y f x =在(1,)+∞上单调递增，从而得到正确选项．结合图象可知当x ＞1时，(1)()0y x f x '=->即f'（x ）＞0，∴()y f x =在(1,)+∞上单调递增. 故选B ．考点：函数的单调性与导数的关系.9.如图，过双曲线上左支一点A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B ，若三角形ABF 2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）A B D 【答案】B 【解析】试题分析：设12,AF x AF m ==，由已知有2AF AB =，则122,BF m x a BF =-==212BF BF a ∴-=22,4a a a m -=⇒=又2m x a -=，解得,x =在12AF F ∆中，由勾股定理知：2c m ==，所以双曲线的离心率4mc e a ===； 故选B ．考点：双曲线的简单性质.10.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ， 1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面 【答案】D 【解析】试题分析：连接1B C ，则1B C 交1BC 于点F ，且F 为1BC 的中点，三角形1B AC ∆中1//2EF AC =，所以//EF 平面ABCD ，而1BB ⊥平面ABCD ，所以EF 与1BB 垂直；又AC BD ⊥，所以EF 与BD 垂直，EF 与CD 异面；由1//2EF AC =，11//AC A C 得11//EF A C ；故选D.考点：空间直线位置关系的判定.11. 已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20x xf x f x ->（其中'()f x 是函数ABC1A 1C 1D 1B DE F()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f > 【答案】A 【解析】试题分析：构造函数()()2xf xg x =，则22()2()ln 2()(2)x x x f x f x g x '-'=， 由于对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20x x f x f x ->，所以()0g x '>， 即函数()()2x f x g x =在R 上是单调递增函数，从而 (2)(1),g g -<-.(1)(2),g g <(2)(0),g g -<(0)(1),g g <即21(2)(1),22f f ----<2(1)(2),22f f <20(2)(0),22f f --<0(0)(1),22f f < 所以有2(2)(1)f f -<-，2(1)(2)f f <，4(2)(0)f f -<，2(0)(1)f f < 故选：A.考点：利用导数研究函数的单调性. 12.定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()1),()1g x x x ϕ==-3,()l n (1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ） A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>【答案】C 【解析】 试题分析：21()1,(),()31g x h x x x x φ'''===+， 由题意得：3211,ln(1),13,1αβγγβ=+=-=+ 由1ln(1),1ββ+=+得1(1),e ββ++=当1β≥时，12,β+≥121ββ∴+≤⇒<这与1β≥矛盾；所以1β<；再由3213,γγ-=知0γ=时等式不成立， 所以3231301,1γγγγ-=>⇒>∴> 综上知γαβ>> 故选：C.考点：1.导数的运算；2.新定义.第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案涂在答题卡上） 13.复数4312ii++的虚部为 . 【答案】-1 【解析】 试题分析：因为43(43)(12)105212(12)(12)5i i i ii i i i ++--===-++-，所以其虚部为-1. 故答案为：-1.考点：复数的除法及有关概念.14.用数学归纳法证明某命题时，左式为nn 111.4131211--++-+-（n 为正偶数），从“n=2k ”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________. 【答案】112122k k -++（写21-11++n n 也给分）考点：数学归纳法.15.设21 , F F 为双曲线12222=-b y a x 的左右焦点，点P 在双曲线的左支上，且||||122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】]3 ,1( 【解析】试题分析：由题意可得：221||8||PF a PF =，并且212PF PF a -=所以214,2PF a PF a ==．因为P 是为双曲线12222=-b y ax 左支上的一点，所以211262PF PF a F F c +=≥=，即3ce a=≤， 所以双曲线的离心率的取值范围是（1，3]． 故答案为：]3 ,1(. 考点：双曲线的简单性质. 16.已知()0,x ∈+∞，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x +≥，…，可推广为1n ax n x+≥+，则a 等于 . 【答案】nn 【解析】试题分析：由()0,x ∈+∞时，有不等式：12x x +≥， 243x x +≥，3274x x+≥…，归纳得：不等式左边第二项的分子为nn ，即n a n =. 故答案为：nn 考点：归纳推理.三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知命题p ：[]0,2,12≥-∈∀a x x ，命题q ：022,0200=-++∈∃a ax x R x ，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】1=a 或2-≤a . 【解析】试题分析：先求出命题p ，q 为真命题时，a 的范围，据复合函数的真假得到p ，q 全部为真，可求出a 的范围．试题解析：由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题．p ：a x ≥2在[]2,1上恒成立，只需()1min2=≤x a ，所以命题p ：1≤a ；q ：设()a ax x x f -++=222，存在R x ∈0使()00=x f ，只需()02442≥--=∆a a ，即022≥-+a a 21-≤≥⇒a a 或，所以命题q ：21-≤≥a a 或.由⎩⎨⎧-≤≥≤211a a a 或得1=a 或2-≤a 故实数a 的取值范围是1=a 或2-≤a 考点：复合命题的真假、真值表.18.（本题满分12分） 已知函数2()ln f x x a x =+． （1）当2a e =-时,求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若函数2()()g x f x x=+在上是减函数,求实数a 的取值范围． 【答案】（I）减，∞+)增，()0f x f ==极小；（II ）632a ≤-. 【解析】试题分析：（1）当2a e =-时，'()f x =利用x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化情况可求函数f （x ）的单调区间和极值； （2）由22()ln g x x a x x=++，得'22)2a x x x x =+-g(，由g'（x ）≤0在上恒成立，可得22a x x ≤-2,在上恒成立．构造函数22)x x x=h(-2，利用导数法求其最小值即可．试题解析：（1）'2((),x x f x x∞=定义域(0,+),………2分减，∞+)增， ………4分()0f x f ==极小 ………6分（2）'22)2a x x x x=+-g(………8分 []'x ≤g()0在1,4上恒成立，22a x x≤-2,………10分[]22)x x x=h(-2在1,4为减函数，63))2a x ∴≤==-min h (h(4………12分考点：1. 函数在某点取得极值的条件；2. 函数的单调性与导数的关系.19.（本题满分12分） 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．OSBC【答案】（I ）证明祥见解析；（II ）3. 【解析】试题分析：（I ）欲证SO ⊥平面ABC ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SO 与平面ABC 内两相交直线垂直，而SO ⊥BC ，SO ⊥AO ，又AO∩BO=O，满足定理条件；（II ）以O 为坐标原点，射线OB ，OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，求出两半平面的法向量，求出两法向量的夹角即可．试题解析：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AOBO O =． 所以SO ⊥平面ABC ．…………………6分（Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，， 得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SOSO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又AM =，故sin AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为3………………12分 解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，． 00MO SC MA SC ⋅=⋅=∴，．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B --的平面角．……10分3cos MO MA MO MA MO MA⋅<>==⋅，所以二面角A SC B --的余弦值为3．………12分 考点：1. 直线与平面垂直的判定；2. 二面角.20.(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为离心率为2,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A ． （1）若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;（2）若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当253PG PH -<时，求实数t 的取值范围．【答案】（I ）223x y +=或225((333x y -+-=；（II ）23t -<<-，或2t <<. 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的简单性质求得它的标准方程，设00(,)A x y ，由6AB BF ⋅=-求得A 的坐标，由此求得三角形外接圆的半径，即可求得外接圆的方程．（2）由题意可知直线GH 的斜率存在，把GH 的方程代入椭圆，由判别式大于零求得212k <（*），再结合253PG PH -<求得214k >，结合（*）得21142k <<，根据OG OH tOP +=，即1212(,)(,)x x y y t x y ++=，结合点P 在椭圆上可得22216(12)k t k =+，从而求得实数t 的取值范围.试题解析：（1）由题意知：c =2c e a ==，又222a b c -=，解得：a b =椭圆C 的方程为：22163x y +=2分可得：B ，F ,设00(,)A x y ，则00()AB x y =-，(3,BF =，6AB BF ⋅=-，00)6y=-，即00y x =由220000163x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩000x y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，或0033x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即(0,A，或(,33A 4分①当A 的坐标为(0,时，OA OB OF ===，∴ABF ∆外接圆是以O 为半径的圆，即223x y += 5分 ②当A 的坐标为()33时，1AF k =，1BF k =-，所以ABF∆为直角三角形，其外接圆是以线段AB 为直径的圆，圆心坐标为()33，半径为123AB =，ABF ∴∆外接圆的方程为225((333x y -+-= 综上可知：ABF ∆外接圆方程是223x y +=，或225(()333x y -+-= 6分（2）由题意可知直线GH 的斜率存在．设:(2)GH y k x =-，11(,)G x y ，22(,)H x y ，(,)P x y由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(12)8820k x k x k +-+-= 由422644(21)(82)0k k k ∆=-+->得：212k <（*） 8分 22121222882,1212k k x x x x k k-+==++ 253PG PH -<，253HG ∴<123x -< 214k ∴>，结合（*）得： 10分 OG OH tOP +=，1212(,)(,)x x y y t x y ∴++=从而21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，2222284[]2[]2(12)(12)k k t k t k -∴+=++，整理得：22216(12)k t k =+ 即228812tk =-+，23t∴-<<-，或23t << 12分考点：1. 圆的标准方程；2. 平面向量数量积的运算；3. 直线与圆锥曲线的关系． 21.(本小题满分12分) 已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+． （1）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞最小值； （2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)35721n n +>+++++（n ∈*N ）． 【答案】（1）min ()(1)1f x f ==；（2）12a <；（3）祥见解析.【解析】试题分析：（1）可先求f′（x ），从而判断f （x ）在x ∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值；（2）求h′（x ），可得2'2222(1)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +-+=-=++，若f （x ）存在单调递减区间，需h′（x ）＜0有正数解．从而转化为：22(1)0ax a x a +-+<有x ＞0的解．通过对a 分a=0，a ＜0与当a ＞0三种情况讨论解得a 的取值范围；（3）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln （n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒1ln 23>，即1n =时命题成立；设当n=k 时，命题成立，即111ln(1)3521k k +>++++成立，再去证明n=k+1时，1111ln(2)352123k k k +>++++++成立即可（需用好归纳假设）． 试题解析：（1）2()ln 1f x x x =++，定义域为(0,)+∞．222121'()0(1)(1)x f x x x x x +=-=>++ ()f x ∴在(0,)+∞上是增函数．min ()(1)1f x f ==.（2）因为2'2222(1)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +-+=-=++ 因为若()f x 存在单调递减区间，所以'()0h x <有正数解. 即22(1)0ax a x a +-+<有0x >的解 当0a =时，明显成立 .②当0a <时，22(1)y ax a x a =+-+开口向下的抛物线，22(1)0ax a x a +-+<总有0x >的解；③当0a >时，22(1)y ax a x a =+-+开口向上的抛物线， 即方程22(1)0ax a x a +-+=有正根. 因为1210x x =>，所以方程22(1)0ax a x a +-+=有两正根. 当1x ≥时，()(1)1f x f ≥=；1200x x ∆>⎧⎨+>⎩，解得102a <<． 综合①②③知：12a <． 或：22(1)0ax a x a +-+<有0x >的解即2(21)a x x x ++< 有0x >的解， 即 2(21)xa x x <++有0x >的解，2(21)x a x x <++的最大值(0)x >，12a ∴< （3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+． 令1k x k +=，则有11ln 21k k k +>+， 1111ln 21nn k k k k k ==+∴>+∑∑． 11ln(1)lnnk k n k=++=∑， 111ln(1)3521n n ∴+>++++． (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立．设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln35211k k k +>++++++． 根据（Ⅰ）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立． 因此，由数学归纳法可知不等式成立．考点：1. 利用导数求闭区间上函数的最值；2. 利用导数研究函数的单调性；3. 数学归纳法. 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
武昌区2014－2015学年度第二学期期末调研考试高 二 数 学 (理)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷答题卡相应位置上．2．回条第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第二卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0}，N ＝{x ||x |＜2}，则M ∩N ＝A ．φB ．{x |－1≤x ＜2}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |2≤x ＜3} (2) 已知复数z ＝a ＋4i ，且zz ＋b＝4i ，其中a ，b ∈R ，则b ＝A ．－16B ．1C ．16D ．17(3) 对某次联考数学成绩(百分制)进行分析，下图为分析结果的频率分布直方图．根据标准，成绩分数在区间[50，60)上为不及格，在[60，70)上为一般，在[70，80)上为较好，在[80，90)上为良好，在[90，100]上为优秀．用频率估计概率，若从参考学生中随机抽取1人，则其成绩为优良(优秀或良好)的概率为A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.40(4) 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0 ，x －2y ≥0 ，x ＋y －3≥0 ．则z ＝2x －y 的最小值为A ．3B ．6C ．9D ．12(5) 已知对任意的m ∈⎣⎡⎦⎤12，3，不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．(2，＋∞)(6) 已知A ，B ，C ，D 是以O 为球心的球面上的四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，且AB ＝3，AC ＝4，AD ＝11，则球的半径为A ．1B ．4C ．5D ．6(7) 某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为A ．1B ．2C ．2 2D ．23(8) 已知实数x ∈[1，9]，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为A ．13B ．23C ．38D ．58(9) 已知向量a →，b →均为单位向量，其夹角为θ，给出命题：p ：|a →·b →|＞1；q ：θ∈⎣⎡⎭⎫π2，5π6，则p 是q 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (10) 某实验室一天的温度(单位：°C )随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本试题卷共5页，共19题.满分150分，考试用时120分钟武昌区高二下学期期末质量检测数学试题..1.若集合{}{3},21,A x x B x x n n =<==+∈Z ∣∣，则A B ∩=（ ）A.()1,1−B.()3,3−C.{}1,1−D.{}3,1,1,3−−2.在复平面内，复数12,z z 对应的点关于直线0x y −=对称，若11i z =−，则12z z =（ ） A.i − B.i C.-1 D.13.已知向量,a b满足1,1a b b === ，则a 在b 上的投影向量为（ ）A.12b −B.12−C.12bD.124.现将,,,,,A B C D E F 六名学生排成一排，要求,D E 相邻，且,C F 不相邻，则不同的排列方式有 A.144种 B.240种 C.120种 D.72种5.已知角π0,2θ ∈，点()2cos ,cos2θθ在直线y x =−上，则πtan 4θ −=（ ）A.3−−B.-1C.3−D.3+6.已知数列{}n a 满足120,1a a ==.若数列{}()1,2n n a a n n −+∈≥N 是公差为2的等差数列，则2024a =（ ）A.2022B.2023C.2024D.20257.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min .已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度()m H 关于时间t（min ）的函数关系式为()π6550cos 03015H t t =−≤≤若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（ ）A. B.50m C.)251m − D.25m −8.如图，在棱长为2的正四面体ABCD 中，,M N 分别为棱,AD BC 的中点，O 为线段MN 的中点，球O 的球面正好经过点M ，则下列结论中正确的是（ ）A.AB MN ⊥B.球O 的的体积与四面体ABCD 外接球的体积之比为1:C.直线MN 与平面BCDD.球O 被平面BCD 截得的截面面积为4π3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（ ）A.一组数据5,9,7,3,10,12,20,8,18,15,21,23的第25百分位数为7B.若随机变量()22,X N σ∼，且(4)0.75P X <=，则(04)0.5P X <<= C.袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，则第二次取到红球的概率为23D.在对高二某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生12人，其平均数为75，方差为893；抽取女生8人，其平均数为70，方差为23，则这20名学生物理成绩的方差为3310.在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，任意两条互相垂直的切线的交点必在同一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”已知长方形ABCD 的四条边均与椭圆22:163x y E +=相切，则下列说法正确的有（ ） A.椭圆E 的离心率为12B.椭圆E 的“蒙日圆”的方程为229x y +=C.长方形ABCD 的面积的最大值为18D.若椭圆E 的上下顶点分别为M N ､，则其蒙日圆上存在两个点P 满足PM PN =11.已知函数()cos ln cos f x x x =+，则（ ）A.函数()f x 的一个周期为πB.函数()f x 在区间π,π2上单调递增 C.函数()f x 在区间ππ0,,π22∪上没有零点 D.函数()f x 的最大值为1三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()51(2)x x +−的展开式中，3x 的系数为__________.（用数字填写答案）13.已知直线1:2l y x =和2:2l y x =−，过动点M 作两直线的平行线，分别交12l l ､于,A B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第四象限.若平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的面积为3，记动点M 的轨迹为曲线E ，若曲线E 与直线()2y k x =−有且仅有两个交点，则k 的取值范围为__________. 14.已知函数()(),f x g x 的定义域为(),g x ′R 为()g x 的导函数，且()()10f x g x ′+−=，()()2410f x g x −−−′−=，若()g x 为偶函数，则20241()n f n ==∑__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()1πsin 2,23f x x ABC=+的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()31cos sin cos 22B f C B B C =+=−. （1）求角B ；（2）设D 为边AC 的中点，且ABC ，求BD 的长. 16.（15分）如图，四棱台1111ABCD A B C D −中，下底面ABCD 为平行四边形，1DD ⊥平面ABCD ，11122,8,AB A B BC AA M ====为BC 的中点，平面11CDD C ⊥平面1D DM .（1）求四棱台1111ABCD A B C D −的体积； （2）求平面1D DM 与平面11BCC B 夹角的余弦值. 17.（15分）甲､乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲､乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分.根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为12，乙答对的概率为23，且甲､乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响.（1）求在一局比赛中，甲的得分X 的分布列与数学期望；（2）设这次比赛共有4局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 18.（17分）已知圆22:(1)16A x y ++=和点()1,0B ，点P 是圆上任意一点，线段PB 的垂直平分线与线段PA 相交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过原点的两条直线分别交曲线C 于点,A C 和,B D ，且34AC BD k k ⋅=−（O 为坐标原点）.判断四边形ABCD 的面积是否为定值？若为定值，求四边形ABCD 的面积；若不为定值，请说明理由. 19.（17分）帕德近似是法国数学家亨利･帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,m n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm n n a a x a x R x b x b x +++=+++ 且满足：()()()()()()()()()()00,00,00,,00m n m n f R f R f R f R ++′′′′=′=′= .注：()()()()()()()()()()()454,,,,f x f x f x f x f x f x f x f x ′ ==== ′′′′′′′′′′ ''''. 已知函数()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似()R x . （1）求()R x 的表达式；（2）记()()()()22F x x x R x f x =+−，当0x ≥时，证明不等式()320F x x −≤； （3）当*n ∈N ，且2n ≥时，证明不等式33311111111ln 111232321n n n +++++++>− + .武昌区高二下学期期末质量检测数学试题答案选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案CCAACBDCBCDBCDBD填空题：12.-40 13.2k >或2k <− 14.2024解答题：15.（13分）解：（1）因为()1πsin 223f x x =+，所以1πsin 223B f B=+=.所以πsin 3B +因为0πB <<，所以π2π33B +=，所以π3B =.（2）因为()sin 1cos sin cos C B B C+=−， 所以3sin sin cos cos sin sin 2C C B C B B ++=. 所以()3sin sin sin 2C B C B ++=.因为πA B C ++=， 所以3sin sin sin 2C A B +=.所以32c a b +=. 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+−，而π3B =， 所以222b a c ac =+−，即22()3b a c ac =+−.所以22332b b ac =−，即2512ac b =.因为11πsin sin223ABC S ac B ac === ，所以5ac =.所以25512b =，即212,b b ==.所以ac +因为()12BD BA BC =+，所以()2221||||||24BD BA BC BA BC =++⋅ . 所以22221π111||2cos ()4342BD c a c a a c ac =++⋅=+−= ，所以BD =. 16.（15分）解：（1）取AD 的中点N ，则11A D ∥11,ND A D ND =， 所以，四边形11A D DN 为平行四边形.因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1A N ⊥平面ABCD ，即梯形的高为1D D （或1A N ）. 在直角三角形1A NA中，求得14A N=.因为1DD ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以1DD CD ⊥. 因为平面11CDD C ⊥平面1D DM ，交线为1D D ， 因为1CD D D ⊥，所以CD ⊥平面1D DM . 所以CD MD ⊥，所以DM =.在直角三角形CDM 中，求得边CM的高DM DC MC⋅=，所以，底面ABCD的面积ABCD S BC ==.同理求得上底面面积111114A B B C S =×. 由1DD ⊥平面ABCD ，知梯形的高为114DD A N==，所以(143V =×+. （2）以D 为坐标原点，分别以1,,DM DC DD 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直线坐标系.则()()()()10,0,0,,0,2,0,0,1,4D M C C .由（1）知，平面1D DM 的一个法向量为()0,2,0DC =.设平面11BCC B 的一个法向量为(),,n x y z =，因为()()10,1,4,2,0CC CM =−−， 所以10,0,n CC n CM ⋅=⋅=所以40,20.y z y −+=−= 令1x =，则yz=.所以n = . 设平面1D DM 和平面11BCC B 的夹角为θ，则cos cos ,n DCn DC n DCθ⋅===⋅17.（15分）解：（1）X 的取值可能为10,0,10−.()121101233P X =−=−×= ，()12110112322P X ==×+−×= ， ()121101236P X ==×−= ，所以，X 的分布列为所以()()1115100103263E X =−×+×+×=−. （2）由（1）知，在一局比赛中， 乙获得10分的概率为2111323×−= ， 乙获得0分的概率为121211123232×+−×−= ，乙获得-10分的概率为1211236×−= . 在4局比赛中，乙获得40分的概率为4111381P ==， 在4局比赛中，乙获得30分的概率为3324112C 3227P =×= ，在4局比赛中，乙获得20分的概率为32232344111121C C 3632816P =×+×=+ ， 在4局比赛中，乙获得10分的概率为2321144241111111C C C 3623396P =××+×=+， 所以，乙最终获胜的概率为123459P P P P P =+++=. 18.（17分）解：（1）由题意知，圆心为()1,0A −，半径为4，且,2QP QB AB ==.因为42QA QB QA QP PA AB +=+==>=， 所以，点Q 的轨迹为以A B ､为焦点的椭圆.设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24,22a c ==，解得2,1a c ==， 所以，2223b a c =−=.所以，曲线C 的方程为22143x y +=.（2）四边形ABCD 的面积为定值，理由如下：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB x ⊥轴，此时四边形ABCD 为矩形，且AC BD k k =−.因为121234AC BD y y k k x x ⋅==−，不妨设AC k =，则BD k =.取,A A ， 则四边形ABCD的面积1442AAB S S ==×= . 当直线AB 的斜率存在时，设:AB y kx m =+，且()()1122,,,A x y B x y .联立直线AB 与椭圆C 的方程，消去y 并整理，得()2224384120k x kmx m +++−=. 由()()222Δ(8)4434120km k m =−+−>，得22430k m −+>. 所以21212228412,4343km m x x x x k k −+=−=−++. 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以22222122224128312434343m km m k y y k km m k k k −− =×+×−+= +++. 因为121234AC BDy y k k x x ⋅==−，所以22231234124m k m −=−−，即22432k m +=.因为2AB x =−=，所以AB ==. 因为原点O 到直线AB的距离d =ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD的面积1442OABS S ==×=.所以，四边形ABCD 的面积为定值19.（17分）解：（1）由题意，()0111a a xR x b x+=+.因为()()00f R =，所以00a =，所以()111a xR x b x=+.因为()()()1211,11a f x R x xb x ′+′==+，且()()00f R ′=′，所以11a =.因为()()()32112,(1)1b f x R x x b x ′′−′=−=+′+，且()()00f R =′′′′，所以112b =. 所以()22x R x x=+. （2）因为()()()()2222ln 122ln 12xF x x x x x x x=+×−+=−++，所以()()32322ln 1F x x x x x −=−−+ . 记()()23ln 1G x x x x =−−+，则()32213(1)2311x x G x x x x x −−−=−−=++′， 因为0x ≥，所以()0G x ′<，所以()G x 在[)0,∞+单调递减.所以()()00G x G ≤=，所以()320F x x −≤. （3）由（2）得，当0x ≥时，()32ln 1x x x ++≥. 所以，当*n ∈N 时，32111ln 1n nn ++≥ . 又因为()2111111n n n n n >=−++，所以31111ln 11n n n n ++≥− + . 所以，当2n ≥时，31111ln 12223 ++≥− ， 31111ln 13334++≥− ，……， 31111ln 11n nn n ++≥− + ， 以上各式两边相加，得。
