1.1集合的概念(A)

1.1 集合的概念1．非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（ ）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法； （2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法； （4）{}|2G x x a b a b Q==+∈，，，⊕：实数的乘法．A ．1B ．2C ．3D ．42．若集合M=, 则下面结论中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( ) A ．x|x ＝1} B ．x|x 2＝1} C ．1} D ．y|(y －1)2＝0} 4．一次函数1y x =+与26y x =+的图像的交点所组成的集合是（ ）A ．{}5,4--B ．5,6C ．(){}5,4--D ．(){}5,6 5．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．已知集合2{|1},A x x a A =>∈, 则 a 的值可以为A ．-2B ．1C ．0D ．-18．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知集合A ＝x|x<a}，B ＝x|x 2－3x ＋2<0}，若A∩B＝B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a<1B ．a≤1C ．a>2D ．a≥210．已知集合{}|21M x Z x =∈-<≤，则M 的元素个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．设集合(){},1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．对集合1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是 A ．x|x 是小于18的正奇数} B ．x|x=4k+1，k∈Z，且k<5} C ．x|x=4t –3，t∈N，且t≤5} D ．x|x=4s –3，s∈N *，且s≤5}13．下列所给关系正确的个数是①π∈R ；②3Q ∉；③0∈*N ；④|−4|∉*N ． A ．1B ．2C ．3D ．414．若x A ∈，则1A x∈，就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 A ．15B ．16C ．82D ．5215．用()C A 表示非空集合A 中的元素的个数，定义()()A B C A C B *=-，已知集合A 有三个真子集，()(){}22320,B x ax x x ax x R =+++=∈，若1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．516．设集合{}|2A x x =<，则（ ） A ．2A ∈B ．3A ⊆C ．3A ∉D ．3A ∈17．已知集合{}*2A x N x =∈<，若a A ∈，则a 可能是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．218．集合{}2*70,A xx x x =-<∈N ∣，则*8,B y y A y⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣中元素的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个19．集合{}2|--6=0M x x x =，则以下错误的是（ ）A ．－2∈MB ．3∈MC ．M =－2，3}D ．M ＝－2，320．集合A=x } B=} C=}又则（ ） A ．（a+b ） A B ．(a+b) BC ．(a+b) CD ．(a+b)A 、B 、C 任一个参考答案1．B解析：根据新定义运算⊕判断． 详解：（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确．∴正确的有2个． 故选：B. 点睛：本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用． 2．A 详解：6<,所以{}a M ⊆ ,故选:A3．B 详解：x|x 2＝1}＝－1,1}，另外三个集合都是1}，选B.4．C解析：联立1y x =+与26y x =+即可求出交点，然后用集合表示出来. 详解： 联立方程126y x y x =+⎧⎨=+⎩，解得5,4xy，即交点为()5,4--，则用集合表示为(){}5,4--.点睛：本题考查用集合表示点的集合，属于基础题. 5．C解析：根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解. 详解：因为集合{}1,2A =，{}2,4B =， 所以集合{}2,4,8M =， 故选：C 6．D解析：①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆； ②根据42c n =+，证明42n M ，即c M ∉； ③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈． 详解：解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈， 对于①，21b n =+，n Z ∈， 则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈，若42n M ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n，42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈； 则2222121122()()a a x y x y =--222212121221()()()()x x y y x y x y =+-- 2212121221()()x x y y x y x y M=+-+∈那么12a a M ∈，③正确． 综上，正确的命题是①②③．点睛：本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 7．A解析：先解不等式得{}|11A x x x =><-或，再由元素与集合的关系逐一判断即可得解. 详解：解：解不等式21x >，解得1x >或1x <-， 即{}|11A x x x =><-或， 又2,1,0,1A A A A -∈∉∉∉, 则a 的值可以为-2, 故选A. 点睛：本题考查了二次不等式的解法，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 8．D解析：对2m =或2322m m -+=分类讨论，结合互异性即可得到正确答案. 详解：若2m =，则2320m m -+=，根据集合中元素的互异性，舍去； 若2322,0m m m -+==或3，又0m ≠，故3m =． 故选：D 9．D解析：解一元二次不等式得到集合B ，由A∩B＝B 可得B ⊆A ，结合数轴可得答案. 详解：集合B ＝x|x 2－3x ＋2<0}＝x|1<x<2}，由A∩B＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图,可知a≥2.故选：D 点睛：本题考查由集合的包含关系求参数问题，属于基础题. 10．B解析：根据题意求出集合中的元素，即可得出结果.因为{}{}|211,0,1M x Z x =∈-<≤=-， 所以M 的元素个数为3. 故选：B 点睛：本题主要考查集合中元素个数的判定，熟记集合的表示方法即可，属于基础题型. 11．C解析：根据不等式的特征用列举法表示集合A 进行求解即可. 详解：因为x ∈Z ，所以当0x =时，由1,x y y Z +≤∈可得：0,1y =±； 当1x =时，由1,x y y Z +≤∈可得：0y =； 当1x =-时，由1,x y y Z +≤∈可得：0y =，当x ∈Z ，1x >时，由1,x y y Z +≤∈可知：不存在整数y 使该不等式成立， 所以{}(0,0),(0,1),(0,1),(1,0),(1,0)A =--, 因此A 中元素的个数为5. 故选：C 12．D 详解：A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B 中集合当k 取负数时，多出了若干元素；C 中集合当t=0时多了–3这个元素，只有D 正确．故选D ．13．B 详解：由R(实数集)、Q(有理数集)、*N (正整数集)的含义知，①②正确，③④不正确．14．A解析：首先确定具有伙伴集合的元素有1,1-，“3和13”，“2和12”等四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求. 详解：根据伙伴关系集合的概念可知：－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.故选A. 点睛：本小题主要考查新定义概念的理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题. 15．D解析：由已知条件求得()2C A =，可得出()1C B =或3，然后对实数a 的取值进行分类讨论，确定方程()()22320ax x x ax +++=的解的个数，由此可求得实数a 的所有可能取值，即可得出()C S 的值. 详解：由题意可知，集合A 的真子集个数为()213C A -=，解得()2C A =， 由题中定义可得()()()21A B C A C B C B *=-=-=，()1C B ∴=或3.由题意可知，0为关于x 的方程()()22320ax x x ax +++=的一根.当()1C B =时，则{}0B =，则方程230ax x +=只有一个实根0，可得0a =， 此时，方程220x +=无实根，则{}0B =满足条件；当()3C B =时，则关于x 的方程()()22320ax x x ax +++=有三个根，必有0a ≠，此时，关于x 的方程230ax x +=的两根分别为10x =，23x a=-，分以下两种情况讨论：①若3a -是方程220x ax ++=的一根时，则22339210a a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =±.当3a =-时，则()(){}{}22333200,1,2B x x x x x =--+==，合乎题意； 当3a =时，则()(){}{}22333202,1,0B x x x x x =+++==--，合乎题意；②当方程220x ax ++=有两个相等的实根，则280a ∆=-=，解得a =±当a =()(){}22320B x x x ⎧⎫⎪⎪=+++==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，合乎题意；当a =-()(){}22320B x x x ⎧⎪=--+==⎨⎪⎩，合乎题意.因此，{}3,S =--，即()5C S =. 故选：D. 点睛：以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数a 的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解.解析：根据集合和元素之间的关系，直接判断即可得解. 详解：本题考查元素与集合的关系， 由{}|2A x x =<所以2A ∈错误，3 1.7322,A ≈<""⊆属于集合之间的关系，故B 错误，故选：D. 17．C解析：先化简集合A ，再根据a A ∈求解. 详解：集合{}{}*21A x N x =∈<=，因为a A ∈， 所以a 可能是1 故选：C 18．C解析：先求得集合A ，再由已知求得集合B ，由此可得选项． 详解：由已知得2*{|70,}A x x x x N =-<∈{}1,2,3,4,5,6=，又*8,B yy A y⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣{}1,2,4=，所以*8,B y y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣中元素的个数为3个． 故选：C. 19．D解析：解一元二次方程，得到方程的解集，再逐个判断. 详解：{}{}2|60=2,3M x x x =--=-，2M ∴-∈，且3M ∈.∴A 、B 、C正确，D 项集合的表示方法错误.故选：D. 20．B1212122,2 1.2214 1.(224a A a k b B b k a b k k k k k ∈⇒=∈⇒=++=++=++因为为的倍数）所以(a+b) C。

1.1 集合的概念1．定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B 解析：求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.详解：当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B点睛：本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．设集合M=x|x 2-3x≤0}，则下列关系式正确的是（ ）A ．2⊆MB ．2∉MC ．2∈MD ．2}∈M答案：C解析：本题已知集合M ，先将相应的不等式化简，得到集合中元素满足的条件，再看元素2是否满足条件，可得到正确选项．详解：230x x -，03x ∴， 2{|30}{|03}M x x x x x ∴=-=．又023<<，2M ∴∈．故选：C ．点睛：本题考查的是集合知识，重点是判断元素与集合的关系，难点是对一元二次不等式的化简．计算量较小，属于容易题．3．已知集合{}012M =,,，则M 的子集有（ ） A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个答案：D 解析：根据集合子集的个数计算公式求解.详解：因为集合{}012M =,,共有3个元素，所以子集个数为328=个. 故选：D.4．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解.详解：因为集合{}1,2A =，{}2,4B =，所以集合{}2,4,8M =，故选：C5．设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{()*|M N x x M N =∈⋃且()}x M N ∉⋂，则()**N N M = A ．MB ．NC ．U MN D ．U N M答案：A 解析：先由题意得出*N M 表示区域，再由题中的定义，即可得出()**N N M 表示的区域，从而可得出结果.详解：如图所示，由定义可知*N M 为图中的阴影区域，()**N N M ∴为图中阴影Ⅰ和空白的区域，即()**N N M M =.故选A.点睛：本题主要考查集合的交集与并集的应用，熟记概念即可，属于常考题型.6．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D解析：①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆；②根据42c n =+，证明42n M ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．详解：解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈，对于①，21b n =+，n Z ∈，则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈， 若42n M ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n， 42()()n x y x y ∴+=+-， 又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =--222212121221()()()()x x y y x y x y =+--2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈那么12a a M ∈，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选D ．点睛：本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．7．已知集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>，则集合T 中元素的个数为A ．9B ．10C ．11D ．12答案：C解析：先阅读题意，再写出集合T 即可.详解：解：由集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>， 则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 则集合T 中元素的个数为11，故选C.点睛：本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．关于集合下列正确的是（ ）A ．0∈∅B ．0N ∉C ．{}0∅∈D ．0Q ∈答案：D解析：根据元素和集合的关系进行判断即可．详解：解：0∈∅，故A 错；0N ∈，故B 错，{}0∅⊆，故C 错，0Q ∈，故D 正确.故选：D点睛：本题主要考查元素和集合关系的判断，比较基础，正确理解N ，Z ，R ，集合的意义是解决本题的关键．9．下列关系中正确的个数是（ ）①12Q ∈ R ③*0N ∈ ④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据集合的概念、数集的表示判断．详解：120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确． 故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．10．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．9答案：B解析：由,,x M y M x y M ∈∈+∈即可求解满足题意的点(),x y 的坐标.详解：解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3.故选：B.11．设集合{}12|M x x =<<，{}|3N x x =<，则集合M 和集合N 的关系是（ ）A ．N M ∈B ．M N ∈C ．M N ⊆D ．N M ⊆答案：C解析：由子集的概念进行判断结合选项得出答案．详解：集合{}12|M x x =<<中的每一个元素都是集合{}|3N x x =<中的元素，∴集合M 是集合N 的子集 故选：C12．对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算，当m 、n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ∆=+；当m 、n 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m n mn ∆=.则在上述定义下，(){}**,36,,M x y x y x y =∆=∈∈N N ，集合M 中元素的个数为（ ） A ．40B ．48C ．39D ．41答案：D 解析：分x 、y 都为正偶数或正奇数和x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数，两种情况，根据运算列举求解.详解：当x 、y 都为正偶数或正奇数时，36x y x y ∆=+=，集合M 中的元素有()()()()()()1,35,2,34,3,33,4,32,...,34,2,35,1，共35个；当x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，36x y x y ∆=⋅=，，集合M 中的元素有()()()()()()1,36,3,12,4,9,9,4,36,1,12,3共6个，所以集合M 中元素的个数为35641+=，故选：D点睛：本题主要考查集合的概念和表示方法，属于基础题.13．已知元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A解析：由题意，根据集合中元素与集合的关系，即可求解，得到答案.详解：由题意，元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}， ∴a 的值为0．故选A ．点睛：本题主要考查了集合中元素与集合的关系的应用，其中解答中牢记集合的元素与集合的关系，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.14．已知集合1{|,Z}24k M x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（ ）A ．0x N ∈或0x N ∉B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定答案：A解析：用列举法表示集合,M N ,最后可以选出正确答案.详解：131357{|,Z},,,,,2444444k M x x k ⎧⎫==+∈=--⎨⎬⎩⎭, *1353{|,N },1,,,42442k N x x k ⎧⎫==+∈=⎨⎬⎩⎭,当01,4x M =-∈但0x N ∉, 当03,4x M =∈有0x N ∈.故选：A点睛：本题考查了列举法表示集合,考查了元素与集合的关系,属于基础题.15．已知,,a b c 均为非零实数，集合{|}a b ab A x x a b ab ==++，则集合A 的元素的个数为． A ．2B ．3C ．4D ．5答案：A解析：当0a >，0b >时，1113a b ab x a b ab =++=++=；当0a >，0b <时，1111ab ab x a b ab =++=--=-，当0a <，0b >时，1111a b ab x a b ab=++=-+-=-，；当0,0a b <<时，1111ab ab x a b ab =++=--+=-，故x 的所有值组成的集合为{}1,3-，故选A. 16．若集合A ＝x|kx 2＋4x ＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．1B ．0C ．0或1D ．以上答案都不对答案：C解析：当k ＝0时，A ＝－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k ＝0，k ＝1.故k ＝0或k ＝1.选C.17．集合M ＝(x ，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集答案：D详解：根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.选D.点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集18．定义集合A 、B 的一种运算：{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中，若{1,2,3,5}A =， {1,2}B =，则A B *中的所有元素之和为为 A ．30B ．31C ．32D ．34答案：B详解： 试题分析：由{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中可知{}1,2,3,5,4,6,10A B *=，所以所有元素之和为31考点：集合运算19．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A ，则A 中的元素个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：B解析：列举出集合A 中的元素，由此可得出结论.详解：由题意可知，集合A 中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素. 故选：B.20．已知集合{}21,A a =，实数a 不能取的值的集合是（ ） A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}1,0,1-D ．{}1答案：A 解析：根据元素的互异性可得出关于实数a 的不等式，由此可求得结果. 详解：由已知条件可得21≠a ，解得1a ≠±.故选：A.。

1.1 集合的概念1．集合中含有的元素个数为 A ．4B ．6C ．8D ．122．已知{}22,25,12A a a a =-+其3A -∈，则由a 的值构成的集合是（ ）A ．∅B ．31,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．{}-1D ．32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3．已知,a b ∈R ，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为( )A ．1B ．0C ．1-D ．±14．设集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2B =，{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则集合C 中元素的个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．下列集合中表示同一集合的是（ ） A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{4,5}M =，{5,4}N =C ．{}(,)1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=D ．{1,2}M =，{(1,2)}N =6．已知集合A=1，2，3}，B=（x ，y ）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B 中所含元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．下面关于集合的表示，正确的个数是（ ） ①{}{}2,33,2≠；②(){}{},11x y x y y x y +==+=； ③{}{}11x x y y >=>；④{}0φ=； A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}--- 9．已知集合{|8}M x N x m =∈=-，m N ∈，则集合M 中的元素的个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9D ．10 10．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{}1,2,3A =，B ={4,5,6}，则()()U U A B ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}4,5,6C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{}7,811．集合*63A x NZ x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法可以表示为（ ）A ．{}1,2,4,9B ．{}1,2,4,5,6,9C ．{}6,3,2,1,3,6----D ．{}6,3,2,1,2,3,6---- 12．设集合A ＝﹣1,0,1}，B ＝（x,y ）|x∈A，y∈A}，则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．1213．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是 A ．x|﹣3＜x ＜11，x∈Q} B ．x|﹣3＜x ＜11}C ．x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k∈N}D ．x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k∈Z} 14．设集合{1}A x Z x =∈-，则 A ．A ∅∉B ．C ．2A ∈D ．{}2⊆A15．已知集合A=y|y=|x|﹣1，x∈R}，B=x|x≥2}，则下列结论正确的是 A ．﹣3∈AB ．3∉BC ．A∩B=BD ．A∪B=B16．下列集合中，表示3{1x y x y +=-=集合的是A ．B ．C ．D ．17．设集合A ＝1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，，则集合B 中的元素个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．718．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝x|x 1＋x 2，x 1∈A，x 2∈B}，若A ＝1,2,3}，B ＝2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为 ( ) A ．3B ．4C ．5D ．619．方程组221x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ）A ．{}1,1x y ==B ．{}1C ．()1,1D ．(){},1,1x y x y ==20．集合{}3M x x k k Z ==∈，， {}31P x x k k Z ==+∈，，{}31Q x x k k Z ==-∈，，若 a M ∈，b P ∈，c Q ∈，则a b c +-∈A ．M P ⋃B ．PC ．QD ．M参考答案1．B 详解：共6 个．故选B2．D解析：分23a -=-，2253a a +=-讨论，求出a ，再带入集合{}22,25,12A a a a =-+看是否满足互异性即可. 详解： 解：3A -∈，当23a -=-，即1a =-时，{}3,3,12A =--，集合中有相同元素，舍去；当2253a a +=-，即1a =-（舍）或32a =-时，7,3,122A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，符合，故由a 的值构成的集合是32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：D 点睛：本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题. 3．C解析：根据{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭可得出0b a =,即0b =,整理后分别讨论21a a a⎧=⎨=⎩或21a a a =⎧⎨=⎩,根据元素的互异性可得1a =-, 0b =,代入20192019a b +计算即可 详解：ba,0a ∴≠ {}2,,1,,0b a a a ba ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭ 0ba∴=,即0b =, {}{}2,0,1,,0a a a ∴=∴当21a a a ⎧=⎨=⎩时,1a =-或1a =,当1a =时,即得集合{}1,0,1,不符合元素的互异性,故舍去, 当21a a a =⎧⎨=⎩时,1a =，即得集合{}1,0,1,不符合元素的互异性,故舍去, 综上,1a =-, 0b =()2019201920192019101a b ∴+=-+=-，故选C 点睛：本题考查列举法表示集合,集合相等的定义,集合元素的互异性 4．B解析：分别在集合,A B 中取,a b ，由此可求得x 所有可能的取值，进而得到结果. 详解：当1a =-，1b =时，1ab =-；当1a =-，2b =时，2ab =-； 当0a =，1b =或2时，0ab =；当1a =，1b =时，1ab =；当1a =，2b =或2a =，1b =时，2ab =；当2a =，2b =时，4ab =；{}2,1,0,1,2,4C ∴=--，故C 中元素的个数为6个.故选：B. 5．B解析：根据集合的元素是否相同判断即可． 详解：解：A 两个集合的元素不相同，点的坐标不同， B 两个集合的元素相同，C 中M 的元素为点，N 的元素为数，D 中M 的元素为点，N 的元素为数， 故A ，C ，D 都不对． 故选：B ． 6．B 详解：分析可得，可以取1，2；可以取1，2； 又因为B=（x ，y ）|x∈A，y∈A，x+y∈A}， 所以B 中所含的元素有：，，；故选B.7．B解析：根据集合的无序性可判断①的真假；由集合的元素可判断②的真假；由集合的表示形式，可判断③的真假；由空集的定义可判断④的真假. 详解：根据集合元素的无序性，可得{}{}2,33,2=，所以①错误；(){},1x y x y +=表示点集，而{}1y x y +=表示数集，(){}{},11x y x y y x y ∴+=≠+=，所以②错误；{}{}11x x y y >=>都是表示大于1的数集，所以③正确；{}0含有元素0，并非空集，所以④错误.故选:B. 点睛：本题考查集合的表示、空集的辨析，属于基础题. 8．C解析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 详解：由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--，则(){}U1,1A B =-.故选：C. 点睛：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 9．C解析：由题知以80m -≥，即8,m m N ≤∈，故0,1,2,3,4,5,6,7,8m =，进而得答案. 详解：解：因为{|8}M x N x m =∈=-，m N ∈， 所以80m -≥，即8,m m N ≤∈ 所以0,1,2,3,4,5,6,7,8m =，故{}{|8}0,1,2,3,4,5,6,7,8M x N x m =∈=-=，即集合M 中的元素的个数为9个. 故选：C 10．D解析：利用补集和并集的定义即可得解.详解：{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{}1,2,3A =，{4,5,6}B =，∴{}4,5,6,7,8UA =，{}1,2,3,7,8UB =，∴()(){}=7,8U U A B ∩.故选：D. 点睛：本题主要考查集合的基本运算，熟练掌握补集和并集的定义是解决本题的关键，属于基础题. 11．B 解析：根据63Z x∈-且*x ∈N 确定出所有x 的可取值，然后用列举法表示集合即可. 详解： 因为63Z x∈-且*x ∈N ，所以x 的可取值有：1,2,4,5,6,9， 所以列举法表示集合为：{}1,2,4,5,6,9， 故选：B. 12．C解析：根据集合B 的定义，写出其中的元素，即可求得. 详解：根据集合B 的定义，容易知，集合B 中的元素为()()()1,1,1,0,1,1----()()()()()()0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1--合计9个元素， 故选：C. 点睛：本题考查对集合的理解，以及集合元素的求解，属基础题. 13．D 详解：试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x ＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k ，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x ＜11．即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k∈Z}． 故选D ．点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．14．B 详解：试题分析：集合A 表示大于1-的正数，因此B 项正确考点：元素与集合的元素15．C 详解：试题分析：集合{}|1A y y =≥-A B B B A ∴⊆∴⋂= 考点：集合间的关系16．C 详解：试题分析：方程组3{1x y x y +=-=的解为21x y =⎧⎨=⎩(){}2,1∴ 考点：方程组的解集17．C解析：集合A ＝1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，，所以{}234568B ＝，，，，，，共6个元素. 故选C. 18．B解析： 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A＋B ＝3,4,5,6}，共4个元素．故选B. 19．D解析：根据消元法直接解方程组，即可得出结果. 详解：由221x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，即方程组221x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是(){},1,1x y x y ==.故选：D. 20．C解析：设13a k =，231b k =+，331c k =-（123,,k k k Z ∈），计算a b c +-可得． 详解：由题意设13a k =，231b k =+，331c k =-（123,,k k k Z ∈），则123123331(31)3(1)1a b c k k k k k k +-=++--=+-+-，而1231k k k Z +-+∈， ∴a b c Q +-∈． 故选：C ． 点睛：本题考查集合的概念，考查元素与集合的关系，题中在设,,a b c 时，不能设成3a k =，31b k =+，31c k =-（k Z ∈），这样设，,,c a b 是相邻的三个整数，但,,a b c 不一定相邻．。

1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。

1.1 集合的概念1．设集合{}22|,,M a a x y x y z ==-∈．求证： （1）一切奇数属于集合M ； （2）偶数42()k k z -∈不属于M ；（3）属于M 的两个整数，其乘积仍属于M ．2．设集合{2A x x =≤或}6x ≥，{}13B x x =-<<，{}13C x m x m =-<<+. （1）求A B ；（2）若C A ⊆，求实数m 的取值范围.3．已知集合(){}223,1,22A a a a a =++++，若1A ∈，求实数a 的值.4．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()UA B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a 的取值范围.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对任意的点(),P x y ，定义OP x y =+，任取点()()1122,,,A x y B x y ，记()()''1221,,,A x y B x y ，若此时2222''OA OB OA OB +≥+成立，则称点,A B 相关.（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由.①()()2,1,3,2A B -；②()()4,3,2,4C D -. （2）给定*N ,3n n ∈≥，点集(){},,,,n x y n x n n y n x y Z Ω=-≤≤-≤≤∈，求集合n Ω中与点()1,1A 相关的点的个数.6．若集合A 中有三个元素x 、1x +、1，集合B 中也有三个元素x 、2x x +、2x ，且A B =，求实数x 的值．7．已知集合{A x x m ==+，且}2231,,m n m n Z -=∈．（1）证明：若x A ∈，则1x x+是偶数； （2）设a A ∈，且14a <<，求实数a 的值；（3）设c AA ；并求满足(222c ≤的c 的值．8．集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，{|4,}M x x k k N ==-∈. （1）若7a =，求()M A C B ；（2）如果A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.9．已知集合2{|210}A x R ax x =∈++=，其中a R ∈. （1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，求实数a 的组成的集合B ； （3）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.10．（1）设A 表示集合2，3，a 2＋2a －3），B 表示集合|a ＋3|，2}，若5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值；（2）已知集合A ＝（x ，y ）|2x －y ＋m>0}，B ＝（x ，y ）|x ＋y －n≤0}，若（2，3）∈A ，且（2，3）∉B ，试求m ，n 的取值范围.11．设集合A ＝1，a ，b}，B ＝a ，a 2，ab}，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.12．用列举法把下列集合表示出来： ①A=9{|};9x x∈∈-N N ②B=9{|};9x x∈∈-N N ③C＝y ｜y ＝－x 2＋6，x∈N，y∈N}； ④D＝(x ，y)｜y ＝－x 2＋6，x∈N，y∈N}； ⑤E＝{|,5,,*}px x p q p q q=+=∈∈⋅N N13．用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 3.5-小于12.8的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）所有能被3整除的数的集合； （5）方程(1)(2)0x x --=的解组成的集合； （6）不等式215x ->的解集.14．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ (1){|}P PA PB =(A,B 是两个不同定点)； (2){|3}P PO cm =(O 是定点)15．求下列方程或方程组的解集.（1）42617120x x -+=（2）221321x y x y ⎧+=⎨-=⎩16．若集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围.17．已知集合{}1,2,,n A n =，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.18．已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，且1A ∈，求实数a 值．19．用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．20．当实数a 、b 满足什么条件时，集合{}0A x ax b =+=是有限集、无限集、空集？参考答案1．（1）证明见解析 ；（2） 证明见解析；（3） 证明见解析． 解析：（1）根据奇数的表达式，结合集合元素描述等式进行证明即可； （2）根据x y +与x y -的奇偶性，结合反证法进行证明即可； （3）根据集合元素描述等式进行证明即可. 详解：证明：（1）设a 为任意奇数，则21()a k k z =-∈，因为2221(1),k k k -=--且,1k k -均为整数，∴a M∈．由a 的任意性知，一切奇数属于M ．（2）首先我们证明如下命题：设：,x y z ∈，则x y +与x y -具有相同的奇偶性． 以下用反证法证明．假设(42)k M -∈，则存在,x y z ∈，使得2242()()2(21)x y k x y x y k -=-⇒+-=-．若x y +与x y -同为奇数，则（x y +）（ x y -）必定为奇数，而2(21)k -表示偶数，矛盾；若x y +与x y -同为偶数，则（x y +）（ x y -）必定被4整除，但2(21)k -表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾．综上所述，形如42k -的偶数不属于M ．（3）设,a b M ∈，则存在1122,,,x y x y z ∈，使得22221122,a x y b x y =-=-．22221122()()ab x y x y =--=22222222121212121212122122x x y y x x y y x x y y x y x y +-+-- =2212121221()()x x y y x y x y ---，又因为1212x x y y -，1221x y x y -均为整数，∴ab M∈．点睛：方法点睛：证明偶数42()k k z -∈不属于M ，可以运用反证法来证明.2．（1）{}12A B x x ⋂=-<≤（2）{1m m ≤-或}7m ≥解析：（1）已知集合A ，B ，可直接得交集；（2）因为13m m -<+，所以集合C 不是空集，又C A ⊆，那么有32m +≤或16m -≥，解不等式即得。

1.1 集合的概念1．下列对象能构成集合的是A ．高一年级全体较胖的学生B ．30,45,cos 60,1sin sinC ．全体很大的自然数D ．平面内到ABC ∆ 三个顶点距离相等的所有点 2．已知集合2{2,4,10}A a a a =-+，若3A -∈，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．-3 C ．-3或-1D ．无解 3．设集合{}|2A x N x =∈<，则下列关系中正确的是 A ．1A -∈B ．1A ∈C ．{}1,0A -⊆D ．{}1A = 4．若集合3,2,1,0,1,2A ，集合{}1,B y y x x A ==+∈，则B =（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ．{}1,0,1,2,3- 5．用列举法表示集合{}23,x x x *-<∈N 为．A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,56．若21{0,,}x x ∈，则x =.A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1-7．已知a 、b 、c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若集合S 的元素个数为2，则集合T 的元素个数也一定为2B ．若集合T 的元素个数为2，则集合S 的元素个数也一定为2C ．若集合S 的元素个数为3，则集合T 的元素个数也一定为3D ．若集合T 的元素个数为3，则集合S 的元素个数也一定为38．设集合{}1A x Q x =∈>-，则（ ）A ．0A ∉B AC ．{2}A ∈D ．A9．若集合A ＝(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知集合()1,1A =-，下列选项正确的是（ ）A ．A ∅∈B ．1A -∈C ．0A ∈D ．1A ∈ 11．若集合{}210b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，，，，，则20212020a b +的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1±12．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =A ．2}B ．2，3}C ．-1，2，3}D ．1，2，3，4} 13．已知,,a b c 均为非零实数，集合{|}a b ab A x x a b ab ==++，则集合A 的元素的个数为． A ．2 B ．3 C ．4 D ．514．下面几组对象可以构成集合的是A ．视力较差的同学B ．2018年的中国富豪C ．充分接近2的实数的全体D ．大于–2小于2的所有非负奇数 15．下列关系中正确的是（ ）A ．0∈∅B ．2Q ∈C ．0N ∈D ．{}1(0,1)∈ 16．已知集合{}()20A x x a a R =+∈，且1,2A A ∉∈，则A ．4a >-B ．2a ≤-C ．42a -<<-D ．42a -<≤- 17．下列说法正确的是A ．0与的意义相同 B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合 C ．集合是有限集 D ．方程的解集只有一个元素 18．下列常数集表示正确的是( ) A ．实数集RB ．整数集QC ．有理数集ND ．自然数集Z 19．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 20．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ）A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥参考答案1．D解析：根据集合的互异性、确定性原则判断即可.详解：对于A ，高一年级较胖的学生，因为较胖学生不确定，所以不满足集合元素的确定性，故A 错误；对于B ,由于如130cos602sin ==,不满足集合元素的互异性，故B 错误；对于C ，全体很大的自然数，因为很大的自然数不确定，所以不满足集合元素的确定性，故C 猎误； 对于D ，平面内到ABC ∆三个顶点距离相等的所有点，可知这个点就是ABC ∆外接圆的圆心，满足集合的定义， D 正确，故选D.点睛：本题主要考查集合的性质，属于基础题.集合的主要性质有：（1）无序性；（2）互异性；（3）确定性.2．B解析：根据题意可得23a -=-或243a a +=-解方程，再利用集合元素的互异性即可求解. 详解：若3A -∈，可得当23a -=-时，解得1a =-，此时{}3,3,10A =--，不满足集合的互异性，故1a =-（舍去），当243a a +=-，解得1a =-（舍去）或3a =-，此时{}5,3,10A =--，满足题意，故实数a 的值为-3.故选：B点睛：本题考查了由集合中的元素求参数值、集合的特征，属于基础题.3．B解析：根据集合的表示方法，可得集合{}|2{0,1}A x N x =∈<=，即可作出判定，得到答案. 详解：由题意，根据集合的表示方法，可得集合{}|2{0,1}A x N x =∈<=，所以1A ∈，故选B.点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中熟练把描述法的集合表示为列举法的集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：将A 集合中元素逐个代入1y x =+中计算y 的值，然后根据元素的互异性得到B 集合的组成.详解： 由1y x =+，x A ∈得，当3x =-，1时，2y =；当2x =-，0时，1y =；当1x =-时，0y =；当2x =时，3y =.故集合{}0,1,2,3B =，故选C.点睛：本题考查对集合的两种表示方法的理解，难度较易.通过运算得到函数值的集合时，注意利用互异性对函数值进行取舍.5．B解析：由23,x x *-<∈N ，解得1,2,3,4x =，再根据集合的表示方法，即可求解，得到答案．详解：由题意，因为23x -<，解得5x <，又由x *∈N ，所以1,2,3,4x =， 所以{}{}23,1,2,3,4x x x *-<∈=N ． 故选B ．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中熟记集合的表示方法，准确运算与改写是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．B解析：根据集合中元素的确定性得出1肯定是x 或者2x 的一个，又由互异性可知1只能为2x ，较易解出答案.详解：根据集合中元素的确定性和互异性可知，只能21x =，且1x ≠；所以1x =-．故选B点睛：此题考查集合元素三特性中的确定性和互异性，重点是互异性的理解，即同一个集合里不能出现两个相同的元素，属于简单题目.7．D解析：利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合S 的元素个数分别为2、3时, 集合T 的元素个数情况；再考虑当集合T 的元素个数分别为2、3时, 集合S 的元素个数情况,最后选出正确答案.详解：选项A ：当0,2,1a b c ===时2()(21)00,1f x x x x x =++=⇒=-，集合S 的元素个数为2，此时2()2101g x x x x =++=⇒=-,集合T 的元素个数为1,故本选项说法错误；选项B ：当0,3,2a b c ===时21()2310,12g x x x x =++=⇒=--,集合T 的元素个数为2,此时2()(32)00,2,1f x x x x x =++=⇒=--，集合S 的元素个数为3，故本选项说法错误；选项C ：当0,3,2a b c ===时2()(32)00,2,1f x x x x x =++=⇒=--，集合S 的元素个数为3，此时21()2310,12g x x x x =++=⇒=--,集合T 的元素个数为2,故本选项说法错误； 选项D ：若集合T 的元素个数为3，方程2()(1)(1)0g x ax cx bx =+++=有三个不等实根,则有22220000404010a a c c b c b c c b a ab c aa ≠⎧≠⎧⎪≠⎪⎪≠⎪⎪⇒->⎨⎨>⎪⎪⎪⎪-+≠-+≠⎩⎪⎩,在该条件下方程2()()()0f x x a x bx c =+++=一定有x a =-这一个根，且x a =-不是20x bx c ++=的根，又24bc >，所以20x bx c ++=有两个不等于a -的根，即集合S 的元素个数也一定为3.故选：D点睛：本题考查了通过方程根的情况求参数问题,考查了分类讨论思想.8．B解析：根据有理数的分类，结合元素与集合的关系、集合与集合的关系逐一判断即可. 详解：集合A 用语言叙述是所有大于－1的有理数，所以0是集合A 中的元素，故A 错，A 中的元素，故B 正确，2}应该是集合A 的子集，故C 错误，不是集合A 的子集，故D 错误．故选：B9．B详解：集合A ＝(1,2)，(3,4)}中有两个元素，(1,2)和(3,4)故选B.10．C解析：根据元素与集合的关系，即可得到答案.详解：因为()1,1A =-，且0(1,1)∈-，所以0A ∈.故选：C点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.11．C解析：由集合相等和集合中元素的互异性，可得出结果.详解：由题意可知0a ≠，0,0∴=∴=bb a ，21a ∴=且1a ≠，1a ∴=-2021202020212020(1)01+=-+=-a b故选：C12．D解析：先求A C ，再求()A C B ．详解：因为{1,2}A C =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D ．点睛：集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．13．A解析：当0a >，0b >时，1113a babx a b ab =++=++=；当0a >，0b <时，1111a b ab x a b ab =++=--=-，当0a <，0b >时，1111a b ab x a b ab=++=-+-=-，；当0,0a b <<时，1111ab ab x a b ab =++=--+=-，故x 的所有值组成的集合为{}1,3-，故选A.14．D解析：利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项.详解：集合的元素需要满足确定性.对于A,B,C 三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.对于D 选项，大于2-小于2的所有非负奇数为1，可以构成集合.故本小题选D. 点睛：本小题主要考查集合元素的确定性，属于基础题.15．C解析：根据空集是不含有任何元素的集合，得到A 不正确；由2是无理数，得到B 不正确； 由元素与集合的关系，得到D 不正确，即可求解.详解：由题意，A 中，空集是不含有任何元素的集合，所以不正确；由2是无理数，所以2Q ∈不正确；根据元素与集合的关系，{}1(0,1)∈不正确，又由0是自然数，所以0N ∈，故选C.点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．D详解：因为1,2A A ∉∈，所以2040a a +≤⎧⎨+>⎩， 解得42a -<≤-.故选：D.17．D详解：试题分析：0表示元素，0}表示集合，所以意义不同，故A 错误；B 中元素不满足集合的特征——确定性，故错误；C 选项中表示无限集，故也错误；D 中方程所以方程的解集只有一个元素.考点：1、集合的表示；2、集合的基本特征．18．A解析：因为Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，N 表示自然数数集，所以A 正确，故选A.19．C解析：由集合中元素的特征直接求解即可详解：解：“book”中的字母构成的集合为{},,b o k ，有3 个元素，故选：C20．A解析：先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可.详解：解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈,①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个,故选:A.点睛：本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.。

1.集合与元素 一般地，把研究对象称为元素，通常用小写拉丁字母a,b,c,...表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C,...表示。

2．集合的特征(1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于(∈)，a∈A ；不属于()，a∈A ．(3)自然数集：N ；正整数集：N *或N ＋；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R.(4)集合的表示方法：自然语言表示法、字母表示法、列举法、描述法、Venn 图图示法．3．集合的基本关系集合与集合：包含关系（子集），或B A ⊆(A 包含于A B ⊇B ，B 含于A ，A>B ）(2)子集个数结论：∈含有n 个元素的集合有2n 个子集；∈含有n 个元素的集合有2n －1个真子集；∈含有n 个元素的集合有2n －2个非空真子集．例1：用适当的方法表示下列集合．(1)“BRICS”中所有字母组成的集合；(2)绝对值等于6的数组成的集合；(3)所有三角形组成的集合；(4)直线y ＝x 上去掉原点的点组成的集合；(5)大于2且小于5的有理数组成的集合；(6)24的所有正因数组成的集合；1.1集合的概念知识讲解典型例题(7)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．解：(1)用列举法表示为{B ，R ，I ，C ，S}．(2)因为绝对值等于6的数是±6，所以用列举法表示为{－6,6}．(3)用描述法表示为{x |x 是三角形}或{三角形}．(4)用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ，x ≠0}．(5)用描述法表示为{x |2＜x ＜5，且x ∈Q }．(6)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(7)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |到y 轴的距离为|x |所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．例2：下列各组集合中表示同一集合的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】B【解析】对于A ，，表示点集，，表示数集，故不是同一集合；对于B ，，，根据集合的无序性，集合表示同一集合；对于C ，集合的元素是数，集合的元素是等式；对于D ，，集合的元素是点，，集合的元素是点，集合不表示同一集合．一、选择题1．下列各组对象中能构成集合的是（ C ）AB ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品2. 下列命题中正确的是( C ){(3,2)}M ={3,2}N ={2,3}M ={3,2}N ={2,3}M ={2,3}N x y ==={(2,3)}M ={(5,4)}N ={(3,2)}M =M {3,2}N =N {2,3}M ={3,2}N =,M N M N {(2,3)}M =M (2,3){(5,4)}N =N (5,4),M N 同步练习∈0与{0}表示同一个集合；∈由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；∈方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；∈集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．A ．∈和∈B ．∈和∈C ．∈D ．∈和∈解析：选C ∈中的0不是集合，故∈错；由集合中元素的无序性知∈正确；由集合中元素的互异性知∈错；因为集合{x |4<x <5}表示无限集，它不可以用列举法表示，故∈错．3．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是( C )∈M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} ∈M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)} ∈M ＝{y |y ＝x 2－1}，P ＝{t |t ＝x 2－1}∈M ＝{y |y ＝x 2－1}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1}A ．∈B ．∈C ．∈D ．∈解析：选C 在∈中，M ＝{3，－1}是数集，P ＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故∈错误；在∈中，M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}表示的不是同一个点，故∈错误；在∈中，M ＝{y |y ＝x 2－1}＝[－1，＋∞)，P ＝{t |t ＝x 2－1}＝[－1，＋∞)，二者表示同一集合，故∈正确；在∈中，M ＝{y |y ＝x 2－1}表示数集，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1}表示一条抛物线上的点的集合，故∈错误，故选C.4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…用描述法可表示为( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋12n ，n ∈N * B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋3n ，n ∈N *C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n －1n ，n ∈N *D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋1n ，n ∈N * 解析：选D 由3，52，73，94，即31，52，73，94，从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋1n ，n ∈N *. 5．集合{x |x 2－6x ＋9＝0}中的所有元素之和为( )A ．0B ．3C ．6D ．9解析：选B ∈{x |x 2－6x ＋9＝0}＝{3}，故元素之和为3.6．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为（ B ）A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或37．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }，则( B )A ．M 是有限集，N 是有限集B ．M 是有限集，N 是无限集C ．M 是无限集，N 是无限集D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B 因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }＝{(2,2)，(5,0)}，所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．8．下列集合中，是空集的是（ B ）A ．B ．C ．D ． {}0|2x x +={}210,x x x +=∈R {}1|x x <(){}22,,,x y y x x y =-∈R【答案】B 【解析】对于A 选项，，不是空集，对于B 选项，没有实数根，故为空集，对于C 选项，显然不是空集，对于D 选项，集合为，故不是空集．9．集合中的不能取的值的个数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】由题意可知，且且，故集合中的不能取的值的个数是个．二、填空题1．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________．【答案】{4,9,16} [由A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，得B ＝{4,9,16}．]2. 以下五个写法中：∈{0}∈{0，1，2}；∈∈∈{1，2}；∈{0，1，2}={2，0，1}；∈0∈∈；∈A∩∈=A ，正确的个数有 2 个。

1.1 集合的概念1．设集合{}2A x x =>，则（ ）A ．3A ∉B AC ．2A ∈D ．0A ∈2．现有以下说法，其中正确的是①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④3．给出下列4个关系式0.3∉Q ，0∈N*，0∈0}.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．下列说法正确的是（ ）．A ．2021年上半年发生的大事能构成一个集合B ．小于100的整数构成的集合是无限集C ．空集中含有元素0D ．自然数集中不含有元素05．设{4,5,6}A =，{1,2,3}B =，则集合{|,,}C x x m n m A n B ==-∈∈中的所有元素之和为（ ）A ．15B ．14C ．27D ．14- 6．下列写法正确的是（ ）.A ．(){}00,1∈B ．(){}10,1∈C ．()(){}0,10,1∈D ．(){}0,10,1∈ 7．已知集合A ＝1，2，3，4}，B ＝（x ，y ）|x∈A，y∈A，y ﹣x∈A}，则集合B 中的元素的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 8．下列各组对象不能构成集合的是（ ） A ．拥有手机的人B ．2021年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数9．已知集合{}1,3,A a =，{}21,1B a a =-+，若B A ⊆，则实数a =（ ）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．1或1-或2 10．i 是虚数单位，集合22,,1A i i i ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭中的元素之和为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．311．若集合{}1,2,3A =，{}(,)|40,,B x y x y x y A =+->∈，则集合B 中的元素个数为A ．9B ．6C ．4D ．312．下列说法正确的是（ ）A ．{1，2}，{2，1}是两个集合B ．{(0,2)}中有两个元素C ．6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集D ．{|x Q ∈且220}x x +-=是空集13．方程组221{9x y x y +=-=的解集是（ ）A ．(－5，4)B ．(5，－4)C ．(－5，4)}D ．(5，－4)}14．已知集合1{|,Z}24kM x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（ ）A ．0x N ∈或0x N ∉B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定 15．已知集合{}6,8,9A =，则（ ）A ．6A ∈B ．7A ∈C ．8A ∉D ．9A ∉16．已知集合A=1，2，3，4，5}，B=（x ，y ）|x∈A，y∈A，x ＜y ，x+y∈A}，则集合B 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 17．给出下列关系： ①12R ∈；②2R ∉；③3∈N －；④|-3|Q ∈.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．418．用列举法将集合（x ，y ）|x∈0，1}，y∈–1，1}}可以表示为A ．0，–1}，0，1}，1，–1}，1，1}}B ．0，1}，–1，1}}C ．（0，–1），（0，1），（1，–1），（1，1）}D ．（0，1），（–1，1）}19．已知集合{}1,2M =，{}2,3=N ，{}|,,P x x a b a M b N ==+∈∈，P 中元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．5 20．设集合A=－1,0,1},B=0,1,2},若x∈A,且x B,则x 等于A ．－1B ．0C ．1D ．2参考答案1．B解析：根据元素与集合的关系判断即可.详解：{}2=>A x x，3A∉.∉，0A∴∈A，2A故选：B.点睛：本题考查元素与集合关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2．D解析：由集合元素特征三要素中的“确定性”可以判断正误．详解：在①中，接近于0的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选D．点睛：集合元素的三要素是：确定性、互异性和无序性.确定性是指集合中的元素是明确的，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，两者只能取其一．互异性是指集合中不能有相同元素．无序性指集合中的元素没有顺序．3．B解析：对四个选项一一验证即可.详解：正确，0.3∉Q错误，0∈N*错误，0∈0}正确，正确的有2个，故选B.4．B解析：根据集合的相关概念，对选项进行判断，即可得到答案；详解：对A，“大事”是不确定的对象，故A错，对B，小于100的整数包括无穷个负数，故B对，对C ，空集中不含有任何一个元素，故C 错，对D ，自然数集中含有元素0，故D 错，故选：B ．5．A解析：由C ＝x|x ＝m ﹣n ，m∈A，n∈B}，A ＝4，5，6}，B ＝1，2，3}，先求出C ，然后再求集合C 中的所有元素之和．详解：∵C＝x|x ＝m ﹣n ，m∈A，n∈B}，A ＝4，5，6}，B ＝1，2，3}，∴C＝1，2，3，4，5}，∴集合 C 中的所有元素之和＝1+2+3+4+5＝15．故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．6．C解析：可判断0∉（0，1）}，1∉（0，1）}，（0，1）∉0，1}，（0，1）∈（0，1）}． 详解：由元素与集合的关系知，（0，1）}中的元素为集合故0∉（0，1）}，1∉（0，1）}，（0，1）∉0，1}，（0，1）∈（0，1）}；故选：C ．【点评】本题考查了元素与集合的关系的判断及有序数对与数的区别，属于基础题．7．C解析：通过集合B ，利用x A ∈，y A ，y x A -∈，求出集合B 中元素的个数．详解：解：因为集合{1A =，2，3，4}，{(,)|B x y x A =∈，y A ，}y x A -∈，所以当1x =时，2y =或3y =或4y =，当2x =时，3y =或4y =，当3x =时，4y =，即()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4B =所以集合B 中的元素个数为6．故选：C ．8．B解析：根据集合的确定性直接判断即可得解.详解：B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，其他选项均满足确定性.故选：B.9．C解析：由B A ⊆得213a a -+=或21a a a -+=求出a 值并根据集合元素互异性检验得解. 详解：B A ⊆,213a a ∴-+=或21a a a -+=解得1a =或1a =-或2a =，代入检验，根据集合元素互异性得1a =-或2a =故选：C点睛：本题考查子集及集合元素互异性，属于基础题.10．B解析：试题分析：∵221,11i i i =-=-+，∴集合22,,1A i i i ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭中的元素之和为(1)(1)0i i +-+-=，故选B考点：本题考查了复数的运算及集合的概念点评：熟练掌握复数的四则运算是解决此类问题的关键，属基础题11．D详解：,x y A ∈的数对共9对，其中(2,3),(3,2),(3,3)满足40x y +->，所以集合B 中的元素个数共3个．12．C解析：根据集合的定义判断．详解：在A 中，由集合中元素的无序性，得到{1，2}，{2，1}是同一个集合，故A 错误；在B 中，{(0,2)}中有一个元素，故B 错误；在C 中，6|{1x Q N x⎧⎫∈∈=⎨⎬⎩⎭，2，3，6}，是有限集，故C 正确； 在D 中，{|x Q ∈且220}{2x x +-==-，1}，不是空集，故D 错误.故选：C .点睛：本题考查集合的概念，掌握集合的概念，集合元素的性质：确定性、互异性、无序性是解题关键．13．D解析：消元法解方程组即可求解详解：解方程组221{9x y x y +=-=，得()2219x x --=， 解得54x y =⎧⎨=-⎩， 故方程组的解集为(5，－4)}，故选：D.点睛：本题考查解二元二次方程组及列举法表示集合，注意解集是点集的形式，是基础题14．A解析：用列举法表示集合,M N ,最后可以选出正确答案.详解：131357{|,Z},,,,,2444444k M x x k ⎧⎫==+∈=--⎨⎬⎩⎭, *1353{|,N },1,,,42442k N x x k ⎧⎫==+∈=⎨⎬⎩⎭,当01,4x M =-∈但0x N ∉, 当03,4x M =∈有0x N ∈.故选：A点睛：本题考查了列举法表示集合,考查了元素与集合的关系,属于基础题.15．A解析：根据元素与集合的关系，求解即可.详解：集合{}6,8,9A =∴6A ∈，7A ∉，8A ∈，9A ∈故选：A点睛：本题考查元素与集合的关系，属于容易题.16．C解析：理解集合B 中元素的特点，可以列举出它的所有元素.详解：因为x∈A，y∈A，x ＜y ，x+y∈A，所以集合{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)}B =，共4个元素，故选C. 点睛：本题主要考查集合的表示方法，明确代表元素的含义是确定集合元素的首要条件.17．B解析：①12R ∈，正确；②2R ∉，错误；③3∈N －，正确；④|-3|Q ∈，错误，所以正确的个数是两个，故选B.18．C解析：根据描述法表示集合，分析集合中元素的特性，再用列举法表示集合．详解：由题意可知，共有组合0,1x y =⎧⎨=-⎩ 0,1x y =⎧⎨=⎩1,1x y =⎧⎨=-⎩1.1x y =⎧⎨=⎩对应四个元素分别为 （0，–1），（0，1），（1，–1），（1，1）．选C.点睛：本题的关键在于首先要注意是点的集合，其次注意集合中元素的特性．19．B详解：试题分析：由已知，+a b 的值为：3,4,5，即{}3,4,5P =，故选．考点：1．集合的概念；2．集合的基本关系．20．A解析：x表示在A中除B之外的元素.所以x=-1.。