第4课 统计信道模型10-21

是合理的。 而在所有 θ 上独立同分布，要求多径长度差不多，d>>r
使这一条件得到满足。
问题 4
基于多径相位在 [0, 2π] 内均匀分布，且关于θ 独立同 分布的假设，当 K 较大时，由中心极限定理可知， 该过程可建模为高斯过程。验证该有限过程是平稳 的，求其自相关函数 R0[n]
解答：
瑞利（Rayleigh）模型
4.包络的均值：
∫∞
r = E[r] = rp(r)dr =
π σ ≈ 1.2533σ
0
2
直流分量(中值)
5.均方值与方差：
∞
∫ 均方值：E[r2] = r2 p(r)dr = 2σ 2 0
方
差：σ
2 r
=
E[r2]− (E[r])2
=
(2
−
π )σ 2
2
≈
0.4292σ
=
A2 2σ 2
，或K(dB)
=
10log
A2 2σ 2
K → 0(A → 0)时，I0(σAr2 ) →1
莱斯分布“转换为”瑞利分布
——广义瑞利分布
莱斯因子完全确 定了莱斯分布
3
瑞利分布和莱斯分布
Nakagami 分布
p(r) = 2 ⎜⎛ m ⎟⎞m r e 2m−1 −mr2 Ω , Γ(m) ⎝ Ω ⎠
统计衰落模型
是发生在特定位置（小尺度）的信号 衰落概率模型：
通常是冲击响应模型； 固定无线信道慢速时变； 移动信道快速时变。
最简单的是基于广义平稳非相干散射 （WSSUS）模型。
WSSUS
信道冲击相应的自相关函数：
Rh (t1, t2;τ1,τ 2 ) := E[h* (t1;τ1)h(t2;τ 2 )]
2
6. r<σ 的概率：1－exp(-1/2)=0.39
瑞利（Rayleigh）模型
结论：
对于平坦衰落信道，如果所有多径信号的 幅度和相位是统计独立且随机分布，则接 收信号的包络服从瑞利分布
其衰落深度达20～40dB 衰落速率(每秒内信号包络经过中值次数的
一半）取决于速度，在城市快速移动汽车 上测试，约为30～40次/秒
结合以上两个特性，则 WSSUS 信道满足：
Rh (t1, t2;τ1,τ 2 ) = Ph (Δt;τ 2 )δ (τ 2 −τ1)
WSSUS 说明
广义平稳（WSS）：
统计特性独立于时间和位置的小抖动，即固定节点 的统计参数固定。从数学上说，就是自相关函数与 时间无关，而只与时间差有关。
∑k − 1
h0 ( m ) =
i=0
a ⋅ e − j 2πfcτθi ( m ) k
问题 3
说明在时刻 0 从角度 θ 到达的信号的相位为 2πfcτθ(0) 模 2π，其中为 fc 载波频率，假定此 相位在 [0, 2π] 内均匀分布，且关于角度 θ 独 立同分布，是合理的。
解答： 由于载频 fc 很大，来自不同散射体的多经路径时延 τθ(0) 微小的变化都可能引起信号相位 2πfcτθ(0) 变化 2π。这些 径的相位是独立的，因此假设相位在 [0, 2π] 内均匀分布
抽头的表达式：
∑k − 1
h0 ( m ) =
i=0
a k
⋅ e − j 2πfcτθi ( m )
sin c( −τθi ( m
)w
)
4
问题 2
抽头的表达式：
∑k − 1
h0 ( m ) =
i=0
a k
⋅ e − j 2πfcτθi ( m )
sin c( −τθi ( m
)w
)
条件Td <<1/W，说明多径到达时间非常集中 ，抽 头表达式的sinc()项近似为常数，可与路径衰减合 并考虑。这样抽头可近似表示为：
移动通信
授课老师：杜永强
移动通信国家重点实验室
EMAIL：yongqiang_du@
第 2 章 无线信道
第4节 统计信道模型
移动多径信道的参数
多径时延扩展 Td 相干带宽Wc 多普勒扩展Ds 相干时间Tc 角度扩展Δ 相干距离Dc
Wc ~ 1/ Td Tc ~ 1/Ds Dc ~ 1/ Δ
反射体和散射体距接收机尺寸相对工作波长而 言大很多，即 di >> λ，所以可合理假设每条路 径的相位在 0 到 2π 之间均匀分布且不同路径的 相位独立。
自相关
抽头系数的自相关函数 Rl[n] 定义为：
{ } Rl[n] := E hl*[m]hl[m + n]
系数 Rl[0] 与第 l 个抽头上的接收能量成 正比例。
∑ ( ) K−1
y (t ) = aθi x t −τθi (t)
i=0
aθi = a K
信道冲击响应 h(τ, t) 的表达式：
∑k −1
h(τ ,t ) =
i=0
a k
δ
(
t
−
τθi
(
t
))
问题 1： 路径延时τθ(t) 的表达式
用τθ(0) 表示的时延。
τθ(t) = τθ(0) + vtcosθi/c
因此：
∑ 2 ( K −1 )Δθ
a − j 2πfcv / c⋅n / w⋅cosθi Δθ R ( n ) = e ⋅ 0
π2 θi =0
当散射路径数 K → ∞ 时， Δθ →0，求和变成了
∫ 积分：
R0 ( n ) =
a2 2π
2π
e − j 2πfcv / c⋅n / w⋅cosθi
r ≥ 0,m ≥ 1 2
从实际测量中总结而得； m = 0.5，单边指数分布； m = 1，瑞利分布； m = [1 – [K / (1 + K )]2} –1，莱斯分布。
CLARKE 模型（习题 2 – 17）
假设发射机固定，移动台以速度 v 移动，散射体均匀环 绕移动台，天线为全向天线，垂直极化。
含义：存在一个比较强的多径分量（主信号），其它多径分量较 弱，且幅度和相位随机变化
莱斯（Rician）模型
p(r)
=
⎧r ⎪⎨σ 2
exp(−
r 2＋A2 2σ 2
Ar
)
I
0
( σ
2
)
⎪⎩0
(0 ≤ r ≤ ∞) (r ≤ 0)
其中：A > 0；I0 (.)——0阶第一类贝塞尔修正函数
莱斯因子：K
y(m)
信道I/O模型
连续时间多径衰落信道：
y(t) = ∑ ai (t)x(t −τi (t))+ w(t)
i
此式中精确表示了每条路径时延和幅度。由此 得到离散时间基带信道滤波器抽头模型：
y[m] = ∑ hl[m]x[m − l] + w[m] l
式中 w(m) ～ CN(0, σ 2) ，
a2 K
K −1
E ⎡⎢⎣e i=0
− j 2πfcτθi ( m+ n )
⎤ p=i + j 2πfcτθi ( m ) ⎥⎦
又因为τθ(t) = τθ(0) + vtcosθi/c，t=m/w，得到:
∑ R0 ( n ) =
a2 K
K −1
e − j 2πfcv / c⋅n / w⋅cosθi
基于信道的统计信息而非特定的物理信道进行 设计和性能分析。
信道抽头的模型
信道滤波器抽头最简单的概率模型基于假设在 相应于一个抽头的延时窗口内存在大量统计独 立、随机幅度的反射和散射路径。
第 i 条路径的相位为 2πfcτi 模 2π。此时， fcτi = di /λ，其中 di 为第 i 条路径的传播距离， λ 为载 波波长。
问题 2
假设通信的载波为fc，窄带信号带宽为 W ，多经 时延扩展 Td <<1/W。试说明，离散时间复数基带 信道可用单抽头表示为：
y[m] = h0[m]x[m] + w[m]
解答：多径的时延扩展 Td 远小于 1/W 的倒数，说明所 有的路径只对着一个可分辨路径贡献，故离散时间复 数基带信道可用单抽头表示。
∫R
P(R) =
p(r)dr =1−exp(−
R2
)
0
2σ 2
2. r=σ时，p(r)取最大值： ：
p(r)
1 σ
e−1/ 2
∫ P(σ ) = R p(r)dr = 1 exp(− 1)
0

σ
2
o
1 1.177
r/σ
∫ 3.
r=
2 ln 2σ
1.177σ
= 1.177σ时,
rp(r)dr
=
1
0
2
即：r < 1.177σ 和r > 1.177σ的概率各占50％
瑞利（Rayleigh）模型
每个抽头 hl[m] 都是大量这样小的独立循环对称 复随机变量之和，进而 Re(hl[m]) 也是大量这样 小的独立实随机变量之和，因此应用中心极限 定理，可合理建模成零均值高斯随机变量。
因相位均匀分布，对任何固定的φ，Re(hl[m]e jφ ) 也是具有相同方差的高斯随机变量，于是：
存在 K 条路径，第 i 条路径相对于运动方向的到达角为 θi = 2πi/K，i = 0, … , K – 1。移动台的散射路径具有时延 τθ i(t) 和时不变增益，aθi = a K 且输入输出关系为：
∑ ( ) K−1
y (t ) = aθi x t −τθi (t)
i=0
问题 1：给出信道冲击响应