11-26氢原子的量子理论 第26章-例题概述

An integral multiple of wavelengths must fit in the length 2pr, otherwise destructive interference would occur.
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件

例7.多电子原子中，电子的排列遵循（ ）原理和（ ） 原理。 泡利不相容原理和能量最低原理
例8.当氢原子中的电子处在 n 3, l 2, ml 2, m s 1
的状态时，它的轨道角动量为 l ( l 1) 自旋角动量为 1 ( 1 1) 3 2 2 2
例7 试问氢原子处在 n=2 能级时有多少个不同的状 态？在不考虑电子自旋的情况下，对于各个状态，试 按量子数列出它们的波函数。 解： 氢原子的能量本征值 En 只依赖于主量子数 n ； n 确定后角量子数可取 0，1，2，…… (n-1), 共 n个值； 在给定 l 后磁量子数 m 可取 -l, -l+1,…0,…l-1, l, 共（2l+1） 个值； 属任一能级的量子态ψnlm 的数目为 n2。 据题意，当 n=2 时，可能的波函数为
Lz 0, , 2 , 3
200 ,
211,
210 ,
211 .
例8 讨论氢原子的 200 , 210 , 211 , 211四个状态的宇称。 解： nlm 的宇称取决于 (1)
l
l 为偶数时为偶宇称; l 为奇数时为奇宇称。 故 ψ200 有偶宇称； ψ210， ψ211，ψ21-1 有奇宇称。
属n=2能级的量子态 共有4。 据题意，当 n=2 时，可能的波函数为
200 , 211, 210 , 211.
例2：根据量子力学理论，氢原子中电子的角动量在外 磁场方向上的投影为 Lz ml , 当角量子数 l=2时，Lz
的可能取值为何值。 解： 磁量子数取值为 ml l , l 1, 0,, l 1, l
Байду номын сангаас

L y ih cos ctg sin L z ih

2
ˆ i r L
2 1 1 2 L h sin 2 2 sin sin
3
第26章 氢原子的量子理论
26.1 径向薛定谔方程
一 氢原子的薛定谔方程
e2 在氢原子中，电子的势能函数为： U (r ) 40 r 2
2 U (r ) r E r 2m 2
z

2
2m
2
e (E ) 0 40 r
z r cos
4
x r sin cos y r sin sin
r x y z
2 2 2
2
z r cos
r x sin cos x r
两边对x求偏导
z cos r
y tg x
两边对x求偏导
1 z r 1 cos cos 2 x sin r x r
r x2 y 2 z 2
x2 y 2 arctan z y 1 arctan x
x

y
x r sin cos
y r sin sin z r cos
可求出
Lx ih sin ctg cos
(1) (2)
2 1 d 2 dR 2m e l (l 1) 2 R 0 r 2 E 2 r dr dr 40 r r
(3)
其中 ml 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的 标准化条件，即可得到波函数 并且可得到： 能量量子化

一些特定的方向，L 在外磁场方向（Z 轴）的投影
也满足量子化条件：
q
ml : ( 轨道 ) 磁量子数 ( 2l+1) 个
磁量子数其决定了电子角动量在空间的可能取向
说明: “Z方向”的问题，在氢原子中，电子在库仑场中的势函数具有球对称， 因此可选取任何一个方向为Z轴。 但当原子处在外场中(磁场或电场)时，球对称被破坏，这时外场就是一 个特殊方向，此时，一般选取外场方向为Z轴方向。
质子的质量比电子的质量大的多，在氢原子中可近似认为质子
静止而电子运动，因此电子的能量就代表整个氢原子的能量。
电子受质子的库仑力作用，势能函数为:
（取无限远处为势能零点）
e
r
e +
一、氢原子的薛定谔方程 SchrÖdinger Equation of Hydrogen
一般定态薛定谔方程：
2
2m 2
(
当置于外磁场中，角动量L在空间取向只能取
一些特定的方向，L 在外磁场方向（Z 轴）的投影
也满足量子化条件：
q
ml : ( 轨道 ) 磁量子数 ( 2l+1) 个 磁量子数其决定了电子角动量在空间的可能取向
对于同一L，它在z 方向的投影可以取(2l+1)个值，因此L与z方向 的夹角 也只可能是(2l+1) 个确定值；L在空间的取向是量子化的。
电子的稳定状态可用 n、l、m 三个量子数表示，相应的波函数 nlm
二、量子化条件和三个量子数（量子力学中的氢原子问题的严格解）
（不深究繁琐的求解过程，着重讨论所得出的几点重要结论）
3、角动量空间量子化和磁量子数 Magnetic Quantum Number
当置于外磁场中，角动量L在空间取向只能取