量子力学典型例题解答讲解

1.耦合谐振子的Hamilton量为工；）+ AXjX2 H= y-（+ P；）+ ^fna>2（x： +其中- '四=_谕白，P，=_滴白（2）OX A- dx2X|、Pl和名、P2分属于不同的自由度，设/t<〃Z©2,试求这耦合谐振子的能级。

解：如没有耦合项石内，就成为二维各向同性谐振子，Hamilton量为H0 = H l+H2=^-pf + m（o2xf + 土°；+?"1况¥；⑶用分离变量法即可化成两个独立的-•维谐振子问题，能级和本征函数为E* 如=（弓+%+1）上。

（4）% （心易）=%,（而肱（工2）⑸%,仇=°，1，2, ........其中％（》）为一维谐振子的能量本征函数。

对于耦合振子，可以用坐标变换的办法将问题化成两个独立的一维谐振子问题。

令也=±°""）' "=去（凶一）‘2）（6）即"士（…）（&）蚌+云=弁+犬 工内=!（井一乂） a 2 a 2 a 2 伊 --- + --- = -- + ---dxf dx^ dyf dy}因此，Hamilton 量可以表示成容易证明当苴*生+_ 2m[dy ； + oy ； )+ ：〃以2（），《+）'；） + 务2一£）(8)其中+ }网将 +!，g ；y ；=^2 + —,CO ； = CD 1 -—tn」(9)式（8）正是两个独立谐振子（频率田，例）能量算符之和。

因此，能量本征值和本征函数为=（可+?力使膈2(10)on W N、形（凹，v2）=w*（乂）w/ y2）MM=0,l,2,…2. 利用Hermite 多项式的递推关系式和求导公式，证明d"!2-TV W 〃 (x) = %「(x) -(2〃 + \)甲〃(X)+ J(〃 + l)(〃 + 2)“ 心 2 (x)]ax^2 1-J" = 2〃…T （X ）+j 号板，Md （X ）xV ?J (x )= —!- 2aJn(n - l )w"_2(X )4- (2〃 + l)"〃(x) + yj(n +1)(/14- 2)^/J +2(x)]AdU ）- J 旦（X ）々*）=（—1）%尸") = !知“(x)= N“eYS 号H,0)=5* 加")+ 2电再)]=|N*FH Z (g) + (S)=g N n+l后罚…乩其)+ N“_\总次(£) =UP NZf (S) + 也N/S2H.T (§)=，捋(X)+ 由"妇(x)_____ ___________生Wn （X ）=-切"（X ）+ 乂 岑宾… d& d&=- （X ）+ J 号X H（X ）+ N,K"nHi （&）=_（*）+（X ）］ + N“_i y^~e ' 2 2〃H,,_i （S ） =（x ）+（X ）］ + 2*乂（§）必）=5（如牛g 〃（§）d 号皿（，）一 2g, （§） + 2儿％t （Q = OH 〃（号）=（一1）腿必d<S n_I3.求在一维常数虚势一iV(V«E)中运动的粒子的波函数。

量子力学习题问题详解量子力学习题答案1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解：由德布罗意波粒二象性的关系知：E h =ν；p h /=λ由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?），故：2e E P /(2)=μ69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm--λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。

解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为J 102.07K 1K J 10381.1232323123---?===kT E 于是有一维谐振子处于22/2()xx Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求：1.归一化系数；2.动能平均值。

（22x e dx /∞-α-∞=α?）解：1.由归一化条件可知：22*2x(x)(x)dx A e dx1A/1∞∞-α-∞-∞ψψ===α=取相因子为零，则归一化系数1/21/4 A/=απ2.2222222222222222222*2x/2x/2222x/2x/222x/22x/22222242x2T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx dA e()e dx2dxdA e(xe)dx2dxA{xe(xe)dx}2A x e dx A22∞∞-α-α-∞-∞∞-α-α-∞∞-α-α-∞∞∞-α-α-∞-∞∞-α-∞=-μ=--αμ=--α--αμ=α=μμ＝（）＝＝2222224x2224x x2222222421()xd(e)21A(){xe e dx}221AA()242∞-α-∞∞∞-α-α-∞-∞α-α=α---μαππααα--μμα若α，则该态为谐振子的基态，T4ω=解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。

一维谐振子的哈密顿量为：2222d 1H x2dx2=-+μωμ它的基态能量1E2=ω选择为参量，则:0dE 1d 2=ω；222dH d 2d 2()T d dx 2dx=-=-=μμ dH 20T d= 由F-H 定理知：0dE dH 2100T d d 2===ω 可得：1T 4=ω2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向(即向原点) 传播的球面波。

量子力学习题精选与解析量子力学是物理学中最前沿、最复杂和最研究领域之一。

其理论涉及到对微观粒子性质的描述和运算，因此，很多人认为量子力学就是一种数学工具，难于理解。

但是，只要我们掌握了一定的基础知识，就能够更深入地理解我们周围的世界。

本文将分享一些经典的量子力学习题，以及对它们的解析。

第一题：“测不准原理”中，什么是思想实验？解析：测不准原理是指无法同时准确测量粒子的位置和动量，因为它们存在着一种量子波粒二像性。

在对这个概念进行解析时，科学家推导出了一些经典的思想实验，旨在通过这些实验来阐明这个概念。

比如著名的双缝实验就可以用来表述波粒二象性。

在这个实验中，为了验证光是粒子还是波动，科学家用一束光照射在一个双缝上，发现光通过两个小洞的时候，它会呈现出波动性质，即光的波长被其衍射到了洞的后面，并在后面形成了衍射图案。

这是一种同样可以观测到的单粒子的波束波动性实验，可以看做基于波粒二象性的解释。

第二题：能否用最短路径法来描述量子力学中的传播？解析：传播是物理学中非常基本的物理现象。

在经典物理学中，我们可以用球体、波等最短路径来描述传播现象。

而在量子力学中，事情则需要更加微观的方法才能解释。

例如，在量子力学中，我们无法用任何一个粒子在空间中的行动路径来描述其传播情况。

这是因为，根据量子力学的观点，任何一个粒子都存在一种“叠加态”的情况，其最终的位置是不确定的，需要依靠概率性质来描述。

因此，在量子力学中，我们无法利用最短路径法来描述传播的情形。

第三题：什么是Schrodinger方程式？解析：Schrodinger方程式是一种描述量子物理学的方程式，它描述了一个量子物体在时间轴上的演化。

它的原型在1926年由奥地利物理学家Erwin Schrodinger提出。

在量子物理学中，我们无法像经典物理学那样根据初值来计算物质的演化，因为这个演化过程是随机的、不确定的。

而通过Schrodinger方程式，我们可以计算出物质的波函数随时间的演化规律，从而预测其在某一时刻的存在概率。

以下是一份关于量子力学狄拉克方程的例题及解析：
题目：在狄拉克符号表示下，给出算符的作用表达式：|P>=[P(x)]<P|，并解释其意义。

解析：根据狄拉克符号表示，算符作用在态矢量上时，可以用左矢量和右矢量来表示。

算符作用在左矢量上时，可以用右矢量来表示其结果。

因此，算符P作用在态矢量|P>上时，可以用右矢量[P(x)]<P|来表示其结果。

这意味着算符P将态矢量|P>变换为另一个态矢量[P(x)]<P|。

根据量子力学原理，算符作用在态矢量上时，相当于对态矢量进行测量。

因此，当算符P对态矢量|P>进行测量时，将得到结果[P(x)]<P|。

这个结果可以理解为测量结果出现的概率分布。

具体来说，如果测量结果为P(x)，那么这个结果出现的概率为[P(x)]<P|。

因此，算符作用在态矢量上的表达式可以理解为：算符将态矢量变换为另一个态矢量，这个态矢量可以表示测量结果出现的概率分布。

总结：本题主要考查了狄拉克符号表示下算符的作用表达式及其意义。

通过本题的学习，可以加深对量子力学基本概念和原理的理解和掌握。

【最新整理，下载后即可编辑】量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级. 2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5) [证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。

2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。

[证]。

是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。

本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。

求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率, 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。

高中物理现代物理量子力学题详解在高中物理学习中，现代物理量子力学是一个重要的内容。

它涉及到微观世界的规律和现象，对我们理解物质的本质有着重要的作用。

本文将通过具体的题目举例，分析解题的技巧和考点，并给出一些实用的指导。

题目一：一个电子从A点出发，经过一个宽度为d的狭缝后，以速度v撞击屏幕上的一个点B。

已知电子的波长为λ，求电子在屏幕上的位置。

解析：这是一个经典的双缝干涉实验题目。

在狭缝后，电子将呈现出波粒二象性，形成干涉现象。

根据量子力学的原理，电子的波函数将在屏幕上形成干涉条纹。

根据干涉条纹的位置，可以得到电子在屏幕上的位置。

考点：双缝干涉实验是量子力学中的一个重要实验，它展示了波粒二象性的实质。

通过这个题目，我们可以了解到电子的波动性和粒子性是如何统一起来的。

题目二：一个质量为m的粒子在一维势能为V(x)的势场中运动。

已知势能函数为V(x) = kx^2/2，求粒子的能级和波函数。

解析：这是一个一维谐振子的问题。

通过解薛定谔方程，我们可以得到粒子的能级和波函数。

能级由量子数n确定，波函数则是对应于不同能级的解。

考点：一维谐振子是量子力学中的一个重要模型，它在原子、分子等体系的研究中有广泛的应用。

通过这个题目，我们可以了解到量子力学中的能级和波函数的概念，以及它们与势能的关系。

题目三：一束光通过一个半透明镜片，镜片的反射率为R，透射率为T。

已知光的波长为λ，求光子被反射和透射的概率。

解析：这是一个光子的反射和透射问题。

根据量子力学的原理，光子的反射和透射概率与镜片的反射率和透射率有关。

通过计算反射和透射概率，可以得到光子被反射和透射的概率。

考点：光子的反射和透射是量子力学中的一个重要问题，它与光的波动性和粒子性有关。

通过这个题目，我们可以了解到光子的概率性质，以及它与镜片的相互作用。

通过以上三个题目的解析，我们可以看到现代物理量子力学的一些重要内容和考点。

在解题过程中，我们需要运用量子力学的基本原理和数学方法，如薛定谔方程、波函数等。

四个量子数是指量子力学中描述原子、分子、原子核等微观粒子运动状态的基本物理量。

它们分别是：主量子数、角动量量子数、磁量子数和自旋量子数。

下面通过几个例题和解析来帮助你理解这四个量子数。

例题1：一个氢原子中，主量子数n为3，角动量量子数l为1，磁量子数m为-1，求该氢原子的能级。

解析：根据量子力学中的能级公式，氢原子的能级与主量子数n有关，而n越大，能级越高。

同时，角动量量子数l决定原子轨道的形状，磁量子数m则表示在每个l下的具体轨道。

因此，在上述例子中，n为3的氢原子的能级可以由下式给出：E(n) = -13.6 * (1/n2)这里的E(n)是能级，-13.6是氢原子的基态能量。

因此，该氢原子的能级为E(3) = -13.6 * (1/32) = -0.45 eV。

例题2：一个氦原子中，主量子数n为2，角动量量子数l的取值范围是什么？求自旋磁量子数。

解析：根据角动量取值公式，角动量量子数l的取值范围是0到n-1。

对于氦原子，主量子数为2，因此角动量量子数l的取值范围是0到1。

考虑到氦原子基态是两个电子在同一个轨道上填充，所以自旋磁量子数应等于自旋方向与z轴的夹角的余弦值。

因此，该氦原子的自旋磁量子数为√2/2或-√2/2。

例题3：一个钾原子中，主量子数n为5，角动量量子数l的最大值为3，求钾原子的总角动量。

解析：钾原子的总角动量等于每个电子的角动量之和。

对于钾原子来说，主量子数为5，因此钾原子的总角动量为l(钾原子) + l(电子) = 5 + 3 = 8。

例题4：一个钛原子中，角动量量子数的最小值为2，自旋磁量子数的最大值为3/2，求钛原子的能级图。

解析：钛原子中角动量量子数的最小值为2，表示钛原子的可能电子轨道是多种可能的形状。

同时自旋磁量子数的最大值为3/2表明自旋方向有两个可能的取向。

因此，钛原子的能级图可以根据上述信息绘制出来。

总结：通过以上四个例题的解析，我们可以更好地理解量子力学中的四个基本量子数及其在描述微观粒子运动状态中的应用。

量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当，故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件：给定一个n 值,可解一个, 为分离能级. 2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数［解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为：归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解] 束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求，有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型：1。

算符运算；2。

力学量的平均值； 3.力学量几率分布.一。

有关算符的运算1。

证明如下对易关系（1)（2）（3)(4）(5)［证](1)(2）(3)一般地，若算符是任一标量算符,有(4)一般地，若算符是任一矢量算符，可证明有(5）=0同理:。

2。

证明哈密顿算符为厄密算符[解］考虑一维情况为厄密算符，为厄密算符，为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明：也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。

［证］.是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又：可求出:二。

有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值［解]即是的本征函数.本征值2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动,如粒子的状态由波函数描写.求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意：是否归一化波函数能量本征值出现的几率, 出现的几率能量平均值另一做法3 。

一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数,求（1)的数值；2）在态中能量的可能值,相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解］（1) ，归一化，，，（2）,，；，;，；(3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）.4．设氢原子处于状态求氢原子的能量，角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.［解] 能量本征值能量本征态当n=2 时本征值为的，出现的几率为100%可能值为出现的几率分别为:.5 。

量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

1.方势阱中V(x)⎧∞，x<0,x>a⎪⎪=⎨−v0，0<x<求一级近似粒子基态能量E(1)？⎪0<x<a⎪⎩(0)*解：E(1)=H'nn=∫ϕnH'ϕndτ(0)nπx由ϕn=sin→(n=1)aπx⇒E=∫sin(−v0)dτ=−2v0aaa2πxvv2=−0(∫dx−∫2cosdx)=−000a(1)2a20∫a20sin2πxdxaE1ˆ=a*2.H1a2*解：a1E2*a30E20a2222a3→a1,a2,a3<<1，用微扰法求一级二级即E(1),E(2)修正值？E3 E1ˆ=0H00*0+a1*E3a2a10*a3a2ˆ+H'a3=H0E(1)=∑H'nn=H'11+H'22+H'33=0E1=∑m(2)H'mn2E(0)m−Enm≠n)=(0)H'122E*2(0)12−E2(2)+(0)H'132E(0)1−E32(0)=a1*2E−EE−E2+a2*22同理得：E2=(2)a122E−EE−E+a3,E3=3a23E−EE−E3+a3222λ⎧x,0<x<a⎪a3.H'(x)=⎨求基态能量n=1一级修正值？2λ⎪(a−x),<x<a⎩a解：E（1）=H'nn=∫ϕn=∫a0(0)*nxπ(0)H'ϕndτ,∵ϕn=sin(n=1)a⇒E（1）a222xπ2λxπ2λsin.xdx+asin2.(a−x)dxaaaaaa24λaxπ4λ=2∫2sin2xdx+2a0aa4λaxπ4λ=2∫2sin2xdx+a0aa4λa2xπ==2λasina2aaa2asin2xπa−x)dxaxπ4λaxπ−2asin2xdxaa2a2sina24.线性谐振子t=0时处于归一化函数ϕ（x,0）=11110−cϕ+−31（1x,0）2（x,0）（x,0）2323（x,0）所描述的状态中，ϕn(x)为线性谐振子的第n个本征函数。

量子力学习题及解答1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ， λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么e p E μ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eVc e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

1．3 氦原子的动能是kT E23=（k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。

解 根据eV K k 3101-=⋅，知本题的氦原子的动能为,105.123233eV K k kT E -⨯=⋅==显然远远小于2c 核μ这样，便有Ec hc 22核μλ=nmm m37.01037.0105.1107.321024.19396=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=---这里，利用了eV eV c 962107.3109314⨯=⨯⨯=核μ最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT ，这样，其相庆的德布罗意波长就为Tkc hc Ec hc 2222μμλ==据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

《量子力学》复习例题与题解一、基本概念1. 波粒二象性微观粒子具有波粒二象性，即微观粒子既有波动性—弥漫性，又有粒子性—不可 分割性，德波罗意关系式是两者的统一： k p E==,ω 关系式的左边体现粒子性；右边体现波动性。

2. 测不准关系描述微观粒子体系的力学量算符一般是不可对易的，也就是说，这两个力学量不能同时测准，他们的不确定度可用测不准关系来描述：222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A ≥∆∆ 3. 本征方程如下方程：n n n Q Q ψψ=ˆ（其中n Q 为常数）称为力学量算符Q ˆ的本证方程，n Q 为 力学量算符Q ˆ的相应于本征态nψ的本征值。

4. 简并度一个本征值相应于多个本征态的情形称为简并情形，本征态的个数称为相应于该本征值的简并度。

5. 全同性原理全同微观粒子体系，当两个粒子交换坐标时，波函数要末不变号，要末变号，即概率分布不变。

6．.波函数微观粒子体系的态必须用具有统计意义的波函数),(t x ψ来描述，2),(t x ψ为概率密度，即在t 时刻，x附近单位体积内找到微观粒子的概率 7. 归一化常数为了让波函数),(t x ψ表示绝对的概率幅，),(t xψ必须归一化，即1),(2=⎰τψd t x A ，其中的A 即为归一化常数8. 力学量完全测量集合完全确定一微观粒子体系的状态所需要的力学量测量集合，这些力学量必须满足：他们是可测量；它们必须互相独立；与他们相应的力学量算符必须两两对易 9. 微扰理论当'ˆˆˆ0H H H +=，且>><<<<0ˆ'ˆH H ，零级近似的本征方程)0()0()0(0ˆnn n E H ψψ=可以 严格求解时，可用微扰理论来处理，即在零级近似)0()0(,k k E ψ的基础上，根据需要 的精度逐步进行一级、二级或高级修正。

10. 玻色子与费密子自旋量子数s 为整数的微观粒子称为玻色子；自旋量子数s 为半整数的微观粒子称为费米子；前者对波函数有对称性的要求；后者对波函数有反对称性的要求，受泡里原理的约束。