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3
4-2. 节点温度差分方程组的求解方法
导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程都是线性代 数方程。 n个未知节点温度，n个代数方程式：
a11t1 + a12t2 + L + a1 jt j + L + a1ntn = b1
a21t1 + a22t2 + L + a2 jt j + L + t2ntn = b2
空间步长
4
2) 节点温度差分方程的建立
控制 容积
（1）内部节点温度差分方程
对于常物性、无内热源的无限大平壁 的一维非稳态导热问题
热平衡：在k时刻，单位时间内从相邻控制
容积i-1与i+1分别导入的热流量与之和等于该 控制容积热力学能的增加
Φλ′ + Φλ′′ = dU
节点i 的温度对时间的变化率采用向前差分
≤ε
k及k+1表示迭代次数；
t
(k) max
—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t时，第三个较好
有时还要同时考虑热流密度收敛
4-3. 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热与稳态导热的主要区别：控制方程中多一个非稳 态项；温度随空间和时间变化
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
)
能量平衡关系：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的 导入或导出，网格单元本身的热力学能也随时间发生变化
t t 在用第二个方程计算节M点温度
1 2 时，直接将
依a此n1类t1 推+ an2t2 + L + anjt j + L + anntn = bn
1 1 代入方程
1 1
(( ) )
(( ) )
t11t1==
11 aa1111
bb11
−−aa121t22t
20−
−LL−−a1aj 1t
Φw
=
λ
⋅ ∆y
ti−1, j − ti, j ∆x
Φe
=λ
⋅ ∆y
ti+1, j − ti, j ∆x
Φs
=
λ ⋅ ∆x
ti, j−1 − ti, j ∆y
Φn
=
λ
⋅ ∆x
ti, j+1 − ti, j ∆y
λ ⋅ ∆y ti−1, j − ti, j + λ ⋅ ∆y ti+1, j − ti, j + λ ⋅ ∆x ti, j−1 − ti, j + λ ⋅ ∆x ti, j+1 − ti, j = 0
v数 值 解 法 ： 有 限 差 分 法 （ finite-difference ） 、 有 限元法（finite-element） 、边界元法（boundaryelement） 、分子动力学模拟（MD）
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
t∞ − ti, j
+
1 2
ti, j−1
− ti, j
+
1 2
ti, j+1
− ti, j
=0
课堂练习
第三类边界条件下的外拐角边界节点
( ) ti−1, j + ti, j−1
−
2
h
⋅ ∆x λ
+
2 ti ,
j
+
2
h
⋅ ∆x λ
⋅
t∞
=0
∆x = ∆y
绝热边界节点
ti , j−1 + ti ,j+1 + 2ti−1,j − 4ti ,j = 0
+
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂ 2t ∂x 2
i, j
∆x 2 2!
+
∂3t ∂x 3
i ,
j
∆x 3 3!
+ ...
ti−1, j
= ti, j
−
∂t ∂x
i,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
∆x = ∆y
10次结束
数值解法求解导热问题的基本步骤
v 建立符合实际的物理模型； v 建立完整的数学模型 ； v 求解域离散化； v 建立节点温度代数方程组—节点差分方程； v 求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值； v 对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检
查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到 结果满意为止。
= ti, j
−
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
( ) λ ⋅ ∆y ti−1, j − ti, j ∆x
+ h ⋅ ∆y t∞
− ti, j
+ λ ⋅ ∆x ti, j−1 − ti, j 2 ∆y
+ λ ⋅ ∆x ti, j+1 − ti, j 2 ∆y
=0
选择步长 ∆x = ∆y
( ) ( ) ( ) ti−1, j
− ti, j
+ h ⋅ ∆y λ
jj
t−0j
L−L− a−1nat1nn
t
0 n
t
1t
2
2==
11 aa22
22
bb22
−−aa212t11t1−1
−LL−−a
a2 j
t
2
j j
t−0j
L−L− t−2ntt2nn
t
0 n
M
(( )
ttnn1
==
11 aannnn
bbnn−−aan1nt11t11−−LL−−aannj jttj1j−−LL−
第9次课结束
数值解法求解导热问题的基本步骤
v 建立符合实际的物理模型； v 建立完整的数学模型 ； v 求解域离散化； v 建立节点温度代数方程组； v 求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值； v 对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检
查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到 结果满意为止。
= ti, j
+
∂t ∂x
i,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
+
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i
,
j
=
ti+1, j − ti, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式 （向前差分）
舍去高阶项
ti−1, j
∆x
∆x
∆y
∆y
二、控制容积热平衡法
λ ⋅ ∆y ti−1, j − ti, j + λ ⋅ ∆y ti+1, j − ti, j + λ ⋅ ∆x ti, j−1 − ti, j + λ ⋅ ∆x ti, j+1 − ti, j = 0
∆x
∆x
∆y
∆y
如果选择步长 ∆x = ∆y
ti−1,j + ti+1,j + ti ,j−1 + ti ,j+1 − 4ti ,j = 0
温度对时间的一阶导数：向前差分、向后差分
差分方程：显式差分格式、隐式差分格式
4-3. 非稳态导热问题的数值解法
以第三类边界条件下无限 大平壁的一维非稳态导热 问题为例
时间
1) 求解域的离散
时间 步长
空间和时间步长的大小要看问题的具体 情况而定，有时不能任意选择，需要考 虑节点温度方程求解的稳定性问题。
Aλ
tk i −1
−
t
k i
+
Aλ
tk i +1
−
t
k i
=
A∆xρc
t k +1 i
−
t
k i
∆x
∆x
∆τ
（1）内部节点温度差分方程
Aλ
tk i −1
−
tik
+
Aλ
tk i +1
−
tik
=
A∆xρc
t k +1 i
−
t
k i
∆x
∆x
∆τ
移项
tik +1 − tik ∆τ
ABC
对常物性，无内热源 二维稳态导热
