3.1正整数指数函数

3.1正整数指数函数学习目标1. 了解正整数指数函数模型的实际背景．2. 了解正整数指数函数的概念．(重点)3. 理解具体的指数函数的图像特征．(重点)4. 会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)情景导入世界人口的快速增长是伴随着全球社会经济的快速发展而发生的。

两千年前，地球上的人口还不足2.5亿人，到了1650年，人口总数增加了一倍。

又过了200年，人口总数再次翻番，至1830年，已超过10亿人。

此后，人口翻番的间隔年份越来越短，从10亿到20亿，只用了100年，而从20亿到40亿，仅仅花了45年的时间。

进入20世纪后，世界人口呈现爆炸式增长：全球人口于1999年6月已达到60亿，约是1900年全球人口的4倍，是1960年全球人口的2倍。

世界人口从50亿增长到60亿，只花了12年时间，这比之前任何一个10亿数人口增长的速度都要快。

有关机构还预计，2025年，全球人口将突破80亿大关，2050年全球人口将增长至90亿，到世纪末世界总人口将达到110亿。

如果人口每年按2％的比例增长，大约2500年，每平方米土地上就有一个人；而到2800年，地球上人口会像在拥挤的公共汽车上那样密集。

一、自主学习[基础·初探]教材整理正整数指数函数的概念阅读教材P61～P63有关内容，完成下列问题．1. 一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.2. 正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．3. 当0<a<1时，y＝a x(x∈N＋)是减函数，当a>1时，y＝a x(x∈N＋)是增函数．4. 指数型函数把形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正整数指数函数的定义域为N.()(2)正整数指数函数的图像是间断的．()(3)函数y ＝2·3x ，x ∈N ＋是正整数指数函数．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)×二、合作探究探究一：正整数指数函数的定义 [小组合作型](1)下列函数中是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝10x ＋1，(x ∈N ＋) B ．y ＝(－2)x ，(x ∈N ＋) C ．y ＝5·2x ，(x ∈N ＋)D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x，(x ∈N ＋)(2)函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是正整数指数函数，则a ＝________. 【精彩点拨】 明确正整数指数函数的结构形式是求解本例的关键． 【尝试解答】 (1)A 中y ＝10x＋1的指数为x ＋1，而不是x ，故不是正整数指数函数；B 中y ＝(－2)x 的底数－2<0，故不是正整数指数函数；C 中y ＝5·2x 的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；D 中y ＝⎝⎛⎭⎫13x符合正整数指数函数的定义．(2)由正整数指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或1，a >0，a ≠1，∴a ＝2.【答案】 (1)D (2)21. 正整数指数函数解析式的基本特征：a x 前面的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a 是大于零且不等于1的常数．2. 要注意正整数指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)与幂函数y ＝x a 的区别． [再练一题]1. 正整数指数函数f (x )过点⎝⎛⎭⎫2，12，则f (x )＝______. 【解析】 设f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，∴a 2＝12，∴a ＝22， ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x，x ∈N ＋. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫22x ，x ∈N ＋探究二：正整数指数函数的图像与性质(1)画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x(x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性； (2)画出函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性．【精彩点拨】 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N ＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．【尝试解答】 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ∈N ＋)的图像如图①所示，从图像可知，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x(x ∈N ＋)是单调递减的．(2)函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像如图②所示，从图像可知，函数y ＝3x (x ∈N ＋)是单调递增的．① ②1. 正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．2. 当0<a <1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是减函数；当a >1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是增函数． [再练一题]2. 若函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的定义域为{1,2,3,4,5}，则函数的值域为________． 【解析】 当x ＝1时，f (x )＝13，当x ＝2时，f (2)＝⎝⎛⎭⎫132＝19， 当x ＝3时，f (3)＝⎝⎛⎭⎫133＝127， 当x ＝4时，f (4)＝⎝⎛⎭⎫134＝181， 当x ＝5时，f (5)＝⎝⎛⎭⎫135＝1243.所以函数f (x )的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19，127，181，1243.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19，127，181，1243探究三：正整数指数函数的应用 [探究共研型]探究1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去，你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？用图像表示呢？【提示】分裂次数(n)12345细胞个数(y)2481632探究 2 请你写出探究1中得到的细胞个数y与分裂次数n之间的函数关系式．【提示】细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y＝2n，n∈N＋.雾霾对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多，据不完全统计，某地从2009年到2013年间平均每年上升2%.若按这个增长率进行研究，设从2008年开始经过x(x∈N＋)年，患呼吸道疾病的人数为y人，若2013年患病人数为11万人：(参考数据1.023≈1.06,1.025≈1.1)(1)试计算出2008年患呼吸道疾病的人数；(2)写出x，y之间的关系式，并计算2016年患呼吸道疾病的人数．【精彩点拨】利用正整数指数型函数模型，列出关系式，计算．【尝试解答】(1)设2008年患病人数为a万人，则a(1＋2%)5≈11，即a×1.025≈11.∵1.025≈1.1，∴a≈10(万人)，∴2008年患呼吸道疾病的人数约10万人．(2)2009年患病的人数为10(1＋20%)，2010年患病的人数为10(1＋20%)＋10(1＋2%)×2%＝10(1＋2%)2，2011年患病的人数为10(1＋20%)2＋10(1＋2%)2×2%＝10(1＋2%)3.…x年后患病的人数为10(1＋20%)x.故y＝10(1＋2%)x＝10×1.02x(x∈N＋)，在2016年，x＝8，故患病人数y≈10×1.028＝10×1.025×1.023≈10×1.1×1.06＝11.66(万人)．∴2016年患呼吸道疾病的人数约11.66万人．1. 由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．2. 在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值或总产量y ，可以用公式y ＝N (1＋p )x 表示．[再练一题]3. 日本福岛核电站爆炸中释放的碘-131不断衰变，每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y 随时间x (周期)变化的函数解析式．【解】 设这种物质最初的质量是1，经过x 个周期，剩留量是y . 经过1个周期，剩留量y ＝1×50%＝0.51； 经过2个周期，剩留量y ＝(1×50%)×50%＝0.52； …经过x 个周期，剩留量y ＝0.5x (x ∈N ＋).三、课堂检测1. 给出下列函数：①y ＝πx ；②y ＝4－x ；③y ＝x 3；④y ＝(1－2)x .当x ∈N ＋时，是正整数指数函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由正整数指数函数的定义，知①y ＝πx ， ②y ＝4－x ＝⎝⎛⎭⎫14x 是正整数指数函数． 【答案】 B2. 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈N ＋是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数【解析】 正整数指数函数，不具备奇偶性，故C 、D 错误，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈N＋的底数0<12<1，故此函数是减函数．【答案】 B3. 指数型函数y ＝2x ，x ∈{1,2,3,4,5}的值域为________． 【解析】 当x ＝1,2,3,4,5时，y ＝2,4,8,16,32， 故y ＝2x ，x ∈{1,2,3,4,5}的值域为{2,4,8,16,32}． 【答案】 {2,4,8,16,32}4. 某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x ，则求两次降价的百分率列出的方程为________．【解析】 由题意，两次降价后的药品价格满足100(1－x )2＝81. 【答案】 100(1－x )2＝815. 由于某款手机的制作成本不断降低，若五年内每年手机价格降低原来的13，设现在的手机价格为8 100元．(1)写出手机价格y 随年数x 的变化的关系式，并写出定义域； (2)画出其函数图像．【解】 (1)y ＝8 100⎝⎛⎭⎫1－13x ＝8 100⎝⎛⎭⎫23x (1≤x ≤5，x ∈N ＋)， ∴y 与x 的关系式是y ＝8 100×⎝⎛⎭⎫23x . 其定义域为{x |1≤x ≤5，x ∈N ＋}． (2)作图：四、 课堂小结1．正整数指数幂的运算应注意以下几点：(1)同底数正整数指数幂的乘、除，底数不变，指数进行加减运算；(2)正整数指数幂的运算也符合有关的运算律及运算步骤，如结合律，即在运算中先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的部分；(3)要注意运算律的逆用，如a mn ＝(a m )n ＝(a n )m ；(4)运算结果要统一，如负整数指数幂，最后一般化成正整数指数幂．2．形如y ＝N (1＋P )x 的函数叫做指数型函数．在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，增长率为P ，则对于时间x 的总产值y ＝N (1＋P ) x .。

3.1正整数指数函数一、学习目标：(1) 结合实例,了解正整数指数函数的概念．(2)能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质．二、重点:正整数指数函数的定义．难点：正整数指数函数的解析式的确定．三、学习过程(一) [过程1]：（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;（2）用图像表示1个细胞分裂的次数n()与得到的细胞个数y之间的关系;（3）写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式,试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．解:（1）利用正整数指数幂的运算法则,可以算出1个细胞分裂1,2,3,4,5,6,7,8次后,得到的细胞个数（2）1个细胞分裂的次数与得到的细胞个数之间的关系可以用图像表示,它的图像是由一些孤立的点组成（3）细胞个数与分裂次数之间的关系式为,用科学计算器算得,所以细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别为32768和1048576．探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数? 细胞个数随着分裂次数发生怎样变化?你从哪里看出?小结：从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是底数为2的指数,而且指数是变量,取值为正整数．细胞个数与分裂次数之间的关系式为．细胞个数随着分裂次数的增多而逐渐增多．[过程2]：电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q00．9975 t,其中Q0是臭氧的初始量,t是时间(年),这里设Q0=1．（1）计算经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q；（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；（3）试分析随着时间的增加,臭氧含量Q是增加还是减少．解:（1）使用科学计算器可算得,经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q的值分别为0．997520=0．9512, 0．997540=0．9047, 0．997560=0．8605, 0．997580=0．8185, 0．9975100=0．7786; （2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化如图所示,它的图像是由一些孤立的点组成．（3）通过计算和观察图形可以知道, 随着时间的增加,臭氧含量Q在逐渐减少．探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别又是什么?此函数是什么类型的函数?,臭氧含量Q随着时间的增加发生怎样变化?你从哪里看出?小结：从本题中可以看出我们得到的臭氧含量Q都是底数为0．9975的指数,而且指数是变量,取值为正整数．臭氧含量Q近似满足关系式Q=0．9975t,随着时间的增加,臭氧含量Q 在逐渐减少．[过程3]：上面两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?为什么?正整数指数函数的定义:一般地,函数叫作正整数指数函数,其中是自变量,定义域是正整数集．说明: 1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．（二）、例：某地现有森林面积为1000,每年增长5%,经过年,森林面积为．写出,间的函数关系式,并求出经过5年,森林的面积．分析:要得到,间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出,间的函数关系式．解: 根据题意,经过一年, 森林面积为1000(1+5%);经过两年, 森林面积为1000(1+5%)2;经过三年, 森林面积为1000(1+5%)3;所以与之间的函数关系式为,经过5年,森林的面积为1000（1+5%）5=1276．28(hm2)．练习:课本练习1,2思考题:高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n与y之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少?解：一个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%),二个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)2;,三个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)3,…, n个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)n; 所以n与y之间的关系为y=2000(1+2．38%)n (n∈N+),一年后他全部取回,他能取回的钱数为y=2000(1+2．38%)12．补充练习:某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少?（三）、小结：1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．。

精品教学设计§1 正整数指数函数教学目的：1.理解正整数指数函数的概念，了解其图象及性质.2.能初步应用正整数指数函数性质解决实际应用问题教学重点：正整数指数函数的图象、性质教学难点：正整数指数函数的概念及图象.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：正整数指数函数是在初中学习了正整数指数幂运算、以及函数的基本概念性质的基础上，并结合实际问题引入.这样既说明指数函数同时，由于正整数指数函数的局限性（定义域为正整数集），为后面学习指数幂概念的扩充及指数函数留下伏笔.教学过程：一、复习引入：引例1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，……一直分裂下去.（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；)与得到的细胞个数（2）用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N+y之间的关系；（3）写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数.)和它的图引例1主要目的是为了得出函数关系：2ny= (n∈N+像.引例2：电冰箱使用的氟化物的释放会破坏大气层中的臭氧层. 臭氧含量 Q 近似满足关系式 Q=Q×0.9975t,其中0Q是臭氧的初始量，t是时间(年). 这里设Q =1.(1)计算经过20，40，60，80，100年，臭氧量Q；(2)用图像表示每隔20年臭氧含量Q 的变化；(3)试分析随着时间的增加，臭氧含量Q 是增加还是减少.引例 2 除了进一步认识函数0.9975()t Q t N +=∈的图像外，又直观感受其单调性.在2n y =(n ∈N + ),0.9975()t Q t N +=∈中指数为正整数的n,t 是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上且自变量取正整数而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做正整数指数函数.二、新授内容：1．正整数指数函数的定义：函数(01,)x y a a a x N +=>≠∈且叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是正整数集N +.注意： (1)定义域是正整数集;(2)图像是一列孤立的点；(3)当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数.2. 复利和公式：正整数指数函数在研究增长问题，复利问题，质量浓度问题中常有应用. 通过概括这类问题，我们得到一个常用模型，通常称之为“复利和公式”.复利和公式：设本金为a ，年增长率为p ，则x 年后本利和A 为(1)x A a p =+三、讲解范例：例1 某地现有森林面积为1000 h ㎡，每年增长5%.经过x (x ∈N +)年,森林面积为y h ㎡. 写出x,y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积.解： y 与x 之间的函数关系式为1000(15%)()x y x N +=+∈.经过5年，森林的面积为 521000(15%)1276.28()hm +=. （答略）例2 已知镭经过100年剩留原来质量的95.76﹪.设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，求y 关于x 的函数解析式.解：设经过1年，镭剩留原来质量的a ﹪.则,()100xa y x N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭∵1000.9576100a ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ∴11000.9576.100a = ∴1000.9576,().x y x N +=∈ （答略）例3 某商品1月份降价10﹪，此后价格又上涨三次，使目前价格与1月份降价前相同. 问三次价格的平均上涨率是多少？ 解： 设原价格为1，平均上涨率为x ﹪，则 30.9(1%)1x +=∴%1x =.1. （答略） 例4已知光线通过1块玻璃，光线的强度要损失掉10﹪ . 要使通过玻璃的光线的强度减弱到原来的1／3以下，问至少需要重叠多少块玻璃？解： 设需要重叠n 块玻璃，则1(110%)3n -≤ 利用计算器可解得n ≥11. （答略）四、练习：1. 给出下列函数:(1)4x y =;(2)4y x =(x N +∈);(3)4x y =-(x N +∈);(4)(4)x y =-(x N +∈);(5)x y π=(x N +∈);(6)1(21)(,1,)2x y a a a x N +=->≠∈. 其中为正整数函数的是＿＿＿＿＿.2. 比较大小：(1)191.58,201.58;(2)20080.5,20090.5.3. 按复利计算利息是目前储蓄计息的一种方式.设本金为a 元，每期利率为r ，记本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25﹪，试求5期后的本利和是多少？（精确到1元）解：本利和y随存期x变化的函数关系式为y a r=+(1)x当a=1000,r=2.25﹪,x=5时，利用计算器可得y≈1118.即5期后的本利和是1118元.4. 画出函数1=(x∈Z)的图像，分析函数图像的对称性,单调性.2xy-函数有无最值？解：（图像略）函数的图像关于直线x=1对称.函数在{x∈Z|x<1}上是减函数；在{x∈Z|x≥1}上是增函数.函数有最小值1.五、小结本节课学习了以下内容：正整数指数函数概念，正整数指数函数的图象和单调性.研究增长等问题常用的“复利和公式”. 六、课后作业：。

3.1正整数指数函数
1.根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n .
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =；
3）当n 为偶数时，⎩
⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n . 2.正整数指数幂：
①两个实例，细胞分裂中细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系是y=2n ，大气中臭氧含量Q 与时间t 之间的关系是Q=0.9975t ，t ∈N +.
②一般地，函数
叫作正整数指数函数，其中，x 是自变量，定义域是正整数集N +.
③若a>1，则；若，则；其中 正整数指数幂
零指数幂 (0,1,)x y a a a x N +=>≠∈1a n >1a 0<<01n
a <<n N +∈*)(N n a a a a n n ∈⋅⋅⋅=
个)0(10≠=a a。

高中数学第三章指数函数和对数函数3.1 正整数指数函数3.1.1 指数函数概念素材2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.1 正整数指数函数3.1.1 指数函数概念素材2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

1 正整数指数函数一、教材分析1。

《指数函数》在教材中的地位、作用和特点2。

教学目标、重点和难点(1）知识目标：①掌握指数函数的概念;②掌握指数函数的图象和性质；③能初步利用指数函数的概念解决实际问题；（2）技能目标：①渗透分类讨论、数形结合的基本数学思想方法②培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳的能力；（3)情感目标:①体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题②通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力③领会数学学科的应用价值。

(4）教学重点：指数函数的图象和性质。

（5）教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.二、教法设计1.创设问题情景。

2。

强化“指数函数”概念.3。

突出图象的作用。

4.注意数学与生活和实践的联系.三、学法指导1。

再现原有认知结构。

2。

领会常见数学思想方法。

3。

在互相交流和自主探究中获得发展。

4.注意学习过程的循序渐进.四、程序设计1.创设情景、导入新课2。

启发诱导、探求新知3。

巩固新知、反馈回授4。

归纳小结、深化目标5.板书设计五、教学评价通过多种评价方式让更多的学生获得学习的自信，在轻松融洽的课堂评价氛围中完成本节课的教学和学习任务。