勾股定理的应用
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勾股定理的应用
【本讲目标】
通过学习，能够运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。
【知识要点】
1、勾股定理，主要应用是直角三角形中已知两边求第三边。
2、勾股定理的逆定理，主要是判定一个三角形是直角三角形的依据，就是教科书中“直角三角形的判别条件”。
【知识讲解】
1、应用勾股定理求最短距离。
我们已经学过平面内两点之间线段最短的道理，也就是说两点之间的所有连线，最短路线是两点之间的线段。但在立体图形中不同的侧面上两点之间，曲面上的两点之间的最短距离如何解决，我们分两个小问题来讲。
(1)圆柱形物体上的两点的最短路线。
圆柱体是立体图形，两点之间的连线绝大部分是曲线，应该不是最短的，但有人只凭直觉、感觉，认为如图所示的A→B→C的路线最短，是错误的。解决问题的方法是将圆柱的侧面展开转化为平面图形来解决。
如图，将右上圆柱的侧面沿母线AB展开后是矩形ABB′A′，不难看出，从A到C的最短路线应是矩形ABCD的对角线AC，这时AC是一个直角三角形的斜边，可用勾股定理解决，其中矩形ABB′A′长、宽分别是圆柱的高与底面周长。
(2)长方体(或正方体)面上两点间的距离。
长方体(或正方体)是立体图形，它的每个面都是平面，如果计算同一个面上两点之间的距离，则比较简单。如果计算不在同一个面上的两点之间的距离，就变成了两个平面之间的问题，必须将它们转化到同一个平面内。就需把长方体(或正方体)的侧面设法展开成为一个平面，且使计算距离的两个点所在的平面放在一起，这样可利用勾股定理解决问题。
如图，一个正方块，求A点到E点的最短距离，可把AA′D′D与A′B′C′D′展成一个平面，A与E之间的最短距离就是RtΔADE的斜边AE的长，可根据题目中给出的数据，用勾股定理加以解决。
2、应用勾股定理可测量建筑物高度、河宽等，主要是在测量设计时构造直角三角形，其中两边可测，利用勾股定理求出无法直接测的距离，如测A、B间距离，可在与AB成90°的方向选一点C(可测出AC)，同时，CB可直接测得，可用勾股定理算出AB，AB2＝BC2－AC2。
3、勾股定理的逆定理的应用，常用它在生产实践中检验一个角是否是直角，方法是观察两个较小边的平方和是否与最长边的平方相等。
【例题分析】
例1：如图(单位mm)，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离AB是122mm，两孔中心的水平距离BC是22mm，计算两孔中心的垂直距离。
解：在RtΔABC中，∠C＝90°，
AC2＝AB2－BC2＝1222－222＝(122＋22)(122－22)＝144×100＝1202，
∴AC＝120(mm)。
答：两孔中心的垂直距离为120mm。
例2：某中学开展实践活动，有一活动小组为测量一个池塘的宽度，在不涉水的情况下，完成了如下的测量：在池塘的两端选取两点A、B，从与BA方向成直角的BC方向上选取了一个点C，这样从A点不涉水可直接到达C点，并测得CA＝50m，CB＝40m，根据他们的测量方法与测量数据，你能计算出池塘宽度吗？
解：根据他们的测量方法可知，
ΔABC中，∠ABC＝90°，
在RtΔABC中，∠ABC＝90°，
CA＝50m，CB＝40m，
根据勾股定理得：
AB2＝AC2－BC2＝502－402＝(50＋40)(50－40)＝90×10＝900，
∴AB＝30m。
答：池塘的宽为30m。
例3：如图，在山顶上一电视发射塔，塔高AB为50米，在平地上点C处测得B的仰角是30°，A的仰角是60°，求小山BD的高。
解：设小山BD的高为xm，
在RtΔACD中，∠DCA＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AC＝2DC，
∵AD＝AB＋BD＝50＋x，
∴AC2＝AD2＋DC2，
∴(2DC)2＝(50＋x)2＋DC2，
∴3DC2＝(50＋x)2……(1)
在RtΔCBD中，∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD＝2x，
∴DC2＝BC2－BD2＝(2x)2－x2，
∴DC2＝3x2……(2)
由(1)、(2)知，3×3x2＝(50＋x)2，
∴(3x)2＝(50＋x)2，
∴3x＝50＋x， ∴x＝25。
答：小山BD高为25m。
例4、如图，是一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有个小虫子，想到B点去吃东西，请你帮小虫子计算一下，沿着台阶从A到B最短的爬行路径是多少？
分析：要使小虫子爬行距离最短，需把台阶面展开，成平面图形，A、B两点间最短的路径是线段AB。
解：把台阶面展开，如图，四个面成一个长方形ACBD，
根据两点间线段最短，AB的长就是最短距离，
在RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝2×30＋2×10＝80(cm)，
BC＝60cm，
根据勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2＝802＋602＝10000，
∴AB＝100(cm)。
答：小虫沿着台阶从点A到点B最短距离为100cm。
例5：有一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是30cm，40cm，50cm的木箱中，能放进去吗？
分析：好象不能，但我们要仔细思考一下，按各面大小都放不进去，因为302＋502＜702，302＋402＜702，402＋502＜702，但木箱是立体图形，可利用空间的最大长度AC′长度来衡量，所以放进的可能性就大多了。
解：能。
连结A′C′、AC′，
在RtΔA′B′C′中，∠A′B′C′＝90°，A′B′＝30cm，B′C′＝40cm，
∴A′C′2＝A′B′2＋B′C′2＝302＋402，
在RtΔAC′A′中，∠AA′C′＝90°，AA′＝50cm，
∴AC′2＝AA′2＋A′C′2＝502＋302＋402＝5000＞702，
∴AC′＞70cm，所以，能放下70cm的木棒。
例6：以三边长为m2－n2，m2＋n2，2mn(m、n为自然数且m＞n)的三角形是直角三角形吗？为什么？
解：是。因为：
∵(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4，
(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4＝(m2＋n2)2，
∴根据勾股定理逆定理，得：此三角形为直角三角形。
