勾股定理及其应用

勾股定理常考分类习题

方程思想的应用：

1、 如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。

2．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．

3．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

4. 如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

5. 如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

DCBAFE典型几何题

1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

2．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

3．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

4．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．

5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， BC=6，AC=8， 求AB、CD的长

6．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝CB41，求证：AF⊥FE．

DCBA7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝102求AB的长．

8. 如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

实际应用：

1．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．

1题图 2题图 3题图

勾股定理

一、知识归纳

1．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc

2．勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

3．勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

二、题型

题型一：直接考查勾股定理

例１. 在ABC中，90C

⑴已知6AC，8BC．求AB的长

⑵已知17AB，15AC，求BC的长

解：

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

BAC21EDCBAABCDE例３.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长

例4.如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

三、勾股定理的逆定理知识归纳

1. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

2. 常用的平方数

112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．

勾股定理中的应用问题(分类整理版)

引言

勾股定理是数学中一个重要的理论，它有着广泛的应用。本文将介绍勾股定理在几个不同领域的应用问题，包括几何、物理和工程等方面。

几何应用问题

1. 求三角形的边长：勾股定理可以帮助我们在已知一个角度和两条边的情况下，计算出三角形的第三条边长。

2. 判断三角形的类型：利用勾股定理，我们可以判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形。

3. 寻找直角三角形：通过勾股定理的应用，我们可以在几何图形中寻找直角三角形的存在。

物理应用问题

1. 求物体的位移：勾股定理可以应用于物理学中，帮助我们求解物体在加速度恒定的情况下的位移。

2. 计算速度和时间：利用勾股定理，我们可以在已知物体的位移和加速度的情况下，计算出物体的速度和时间。

3. 测量斜面上物体的重力分解：物理学中经常用到勾股定理来计算斜面上物体的重力分解。

工程应用问题

1. 建筑设计：勾股定理在计算建筑物的尺寸和角度方面有着广泛的应用。

2. 地理测量：勾股定理可以用于地理测量中计算两个点之间的直线距离，帮助我们绘制准确的地图。

3. 静音设计：勾股定理在音频工程中被应用于计算扬声器的声源与反射板的距离。

总结 勾股定理在几何、物理和工程等领域中都有广泛的应用。通过研究和理解勾股定理的应用问题，我们可以更好地解决实际生活和工作中的相关问题。

勾股定理及其应用

Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第五次课 勾股定理及其应用

本章知识要点

A. 勾股定理及其逆定理。

B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。

C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。

D. 勾股定理及其逆定理的应用。

E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。

内容/概念 表示方法/举例

勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果用a，b表示直角三角形的两直角边，c表示斜边，那么222cba

勾股定理的

逆定理 如果一个三角形的三边满足：两短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形 用cba,,（c为最长边）表示三角形的三边，如果222cba，那么这个三角形是直角三角形

勾股数 满足222cba的三个正整数，称为一组勾股数 常见的勾股数有：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17等

基本勾股数组 满足222cba且cba,,互质的三个正整数，称为一组基本勾股数组 常见的基本勾股数组有：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17等

重点知识 勾股定理的验证

验证方法 验 证 过 程

（美）伽菲尔德总统拼图 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以22121221cabbaba•，即222cba

赵爽弦图 如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以ab为边长的小正方形和一个边长为c的大正方形，因为大正方形的边长为c，所以面积为2c，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为ba,的直角三角形和一个边长为ab的正方形，所以其面积为2214abab所以22214ababc，从而222bac.