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勾股定理及应用

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勾股定理及应用

1．勾股定理的基本概念

Rt△ABC中，△A，△B，△C的对边长分别为a，b，c则222cba，222bca，222acb（c为三角形的斜边）

2．勾股定理的证明

如图，小正方形的面积421)(22abbac，化简即222cba．

b a

a c c b

c c

b a

a b

3．勾股定理的逆定理

（1）如果一个三角形的三边满足222cba，222bca，222acb之一，那么这个三角形一定是直角三角形．

（2）满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．常用的勾股数组：3、4、5； 6、8、10；5、12、13等；若a，b，c为一组勾股数，那么ka，kb，kc（k≠0，k为常数）也是勾股数．

4．勾股定理及逆定理的综合应用

运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决一些实际问题．

例题精讲

知识点一：勾股定理的基本概念

例1．如图，Rt△ABC中，△C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（ ）

A．14 B．16 C．18 D．20

（2）由线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）

A．a=7，b=24，c=25 B．a=，b=4，c=5

C．a=，b=1，c= D．a=，b=，c=

（3）下列说法：

△若a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；

△如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；

△如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；

△一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＜b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1，

其中正确的是（ ）

A．△△ B．△△ C．△△ D．△△

训练1．（1）如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=5，S2=6，则AB的长为 ．

（2）如图，Rt△ABC中，△C=90°，AC=2，BC=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．

（3）已知三组数据：△2，3，4；△3，4，5；△1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（ ）

A．△ B．△△ C．△△ D．△△

（4）观察以下几组勾股数，并寻找规律：

3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41；…

请你写出有以上规律的第（n）组勾股数： ．

知识点二：勾股定理计算

例2．（1）已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为 ．

（2）点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是 ．

（3）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AB=5，AC=4，则BD= ． （4）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

△这个梯子的顶端距地面有多高？

△如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

训练2．（1）如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则点A到BC的距离为= ．

（2）若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为 ．

（3）如图，△ABC中，△C=90°，AC=BC，AD是△BAC的平分线，DE△AB于E，若AB=12cm，则△DBE的周长等于 ．

（4）如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米． △求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）；

△如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？

知识点三：勾股定理应用

例4．（1）如图，有一圆柱体，它的高为8cm，底面周长为12cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 ．

（2）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9，BB′=5，B′C′=6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B′C′中点F处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为 ．

（3）已知：如图，四边形ABCD中，AB△BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

训练4．（1）如图，在长、宽都是3，高是8的长方体外部，若蚂蚁要从顶点A爬到顶点B，那么它爬行的最短距离是多少？

（2）如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，则从A到B蚂蚁爬行最短距离为多少？

（3）如图，凸四边形ABCD的四边AB．BC、CD．和DA的长分别是3，4，12，和13，∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积．

例5．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3，DC=4，△A=60°，ABAB △D=150°，试求BC的长度．

（2）如图，一个工人拿一个2．5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0．7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0．4米，梯子的底部向外滑多少米？

*训练5-1．如图，四边形ABCD中，AB△BC，△BCD=150°，△BAD=60°，AB=4，BC=2，求CD的长．

训练5-2．如图，一个梯子AB长2．5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1．5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0．9米，则梯子顶端A下落了

知识点四：勾股定理拓展 例6．（1）如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为 cm．

（2）如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB=5，BC=12，求图中阴影部分的面积．

训练6．（1）如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，S△ABF=24，则EC的长为 ．

（2）如图，长方形纸片ABCD中，BC=，DC=1，将它沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，则图中阴影部分的面积是多少？

（3）如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由．

①若AB=4，BC=8，求AF．

②若对折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．

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勾股定理的应用

勾股定理的应用

卓邦教育勾股定理应用练习

1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）

A、3 B、5 C、4.2 D、4

1题 2题 3题 4题

2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（ ）

A、10米 B、6米 C、7米 D、8米

3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．

A、10 B、12 C、13 D、14

4.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（ ）

A、10米 B、16米 C、15米 D、14米

5.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．

A、5 B、10 C、15 D、25

6．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积．

勾股定理及应用 练习题(带答案

勾股定理及应用 练习题(带答案

1勾股定理及应用 题集

一、勾股定理与逆定理

A.B.C.D.1.如图所示的一块地，，，，，，这块地

的面积为（ ）．

【答案】B

【解析】连接，

在中，

，

∴，

∵，，

，

∴是直角三角形，

．

【标注】【知识点】勾股逆定理的应用

2.如图，在四边形中，，，，．求的度数．

2【答案】．

【解析】连接，

在中，，，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴．

在中，

，

∴是直角三角形，即，

∵，

∴．

【标注】【知识点】勾股定理的逆定理

【知识点】勾股定理的证明

A.尺B.尺C.尺D.尺3.如图，有一个水池，其底面是边长为尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分

的长为尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边

，则这根芦苇的长是（ ）．

【答案】C

【解析】苇长尺，则水深尺，

3∵尺，

∴尺，

∵中，．

∴．

【标注】【知识点】勾股定理与实际问题

（1）

（2）4.如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面米．

这个梯子底端离墙有多少米．

如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？

【答案】（1）

（2）米．

不是．

【解析】（1）

（2）由题意得此时米，米，根据，

∴可求米．

设滑动后梯子的底端到墙的距离为米，

得方程，，解得，

所以梯子向后滑动了米．

综合得：如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向不是滑米．

4【标注】【知识点】勾股定理的综合应用

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.若的三边长，，满足，则是（ ）．

【答案】D

【解析】∵，

∴或．

∴或．

∴为等腰三角形或直角三角形．

【标注】【知识点】勾股逆定理的应用

A.B.C.D. 6.如图，已知在中，，分别以、为直径作半圆，面积分别记

为、，则等于（ ）．

【答案】A

【解析】由勾股定理可知：．

，

，

∴．

5【标注】【知识点】勾股定理与几何问题

（1）

（2）7.下表中给出的每行三个数、、满足，根据表中已有的数的规律填空：

当时， ， ．

用含字母的代数式分别表示、， ， ．

勾股定理在工程学中的应用

勾股定理在工程学中的应用

勾股定理在工程学中的应用

勾股定理是数学中的一个重要定理，通过该定理可以求解直角三角形的边长和角度。然而，勾股定理不仅仅在数学领域中有重要应用，它也被广泛运用于工程学中。

一、距离测量

在测量实际距离时，勾股定理被广泛应用。比如，建筑工程师在测量两点之间的距离时，可以使用勾股定理进行推导和计算。该定理告诉我们，在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两边平方的和。因此，通过测量两个已知的边的长度，可以利用勾股定理求解出第三边的长度。

二、角度计算

在工程学中，角度计算是一个常见的需求，例如建筑设计、航空航天等。勾股定理可以帮助工程师计算角度而无需实际测量。根据勾股定理，已知两个边的长度，可以通过求解反三角函数来计算出对应的角度。

三、结构设计

勾股定理在工程结构设计中也发挥着重要的作用。例如，在建筑设计中，设计师需要确定斜坡的角度，以便正确安装屋顶或楼梯。通过应用勾股定理，可以计算出所需的角度并进行准确的设计。

四、导航系统 现代导航系统如GPS也广泛应用了勾股定理。导航系统通过接收卫星信号和计算信号传播所需的时间来确定接收器与卫星之间的距离。这些距离信息被用于确定接收器的位置，并为用户提供准确的导航服务。

总结起来，勾股定理在工程学中扮演着重要的角色。它被应用于距离测量、角度计算、结构设计和导航系统等方面，帮助工程师解决实际问题。无论是建筑设计、航空航天还是导航技术，都离不开勾股定理的应用。因此，工程师们熟练掌握和应用勾股定理是非常重要的。

勾股定理与三角函数关系的总结与应用

勾股定理与三角函数关系的总结与应用

勾股定理与三角函数关系的总结与应用

勾股定理是数学中的一条基本定理，它阐述了直角三角形中三边之间的关系。而三角函数则是勾股定理的一种抽象表达形式，通过正弦、余弦和正切等函数对角度和边长进行计算。本文将对勾股定理与三角函数的关系进行总结，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、勾股定理与三角函数的关系

在直角三角形中，假设直角边a和b的长度分别为A和B，斜边c的长度为C。根据勾股定理，我们可以得出以下等式：

A² + B² = C²

这个等式可以用于求解直角三角形中未知边长的情况。然而，直接使用勾股定理进行计算并不总是高效的，这时就需要运用三角函数来简化计算过程。

三角函数是指根据一个角的大小，通过对直角三角形中的边长进行比值计算得出的一组函数。常用的三角函数有正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)。这些函数与勾股定理之间存在紧密的关系，可以通过以下等式进行联系：

sinθ = A / C

cosθ = B / C

tanθ = A / B 其中，θ代表三角形中的一个角度。通过使用这些三角函数，我们可以根据已知的边长来计算角度，或者根据已知的角度来计算边长，从而简化三角形的计算问题。

二、勾股定理与三角函数在实际中的应用

1. 测量与定位：勾股定理与三角函数广泛应用于地理测量和定位领域。利用勾股定理和三角函数，我们可以通过测量两个位置的距离和角度，准确计算出目标位置的坐标。

2. 建筑与工程：在建筑与工程中，勾股定理与三角函数可以用于计算斜坡的高度和倾斜角度，确定一个地面的坡度等。这对于土木工程和建筑设计非常重要，有助于确保结构的稳定性和安全性。

3. 导航与航海：勾股定理与三角函数是导航与航海中的关键工具。通过测量船只或飞机与航标之间的距离和角度，可以利用这些数学原理准确导航。

4. 图形与计算机图形学：勾股定理与三角函数在图形和计算机图形学中也具有重要作用。通过使用这些原理，我们可以计算三维模型的旋转、倾斜和缩放，实现逼真的图像显示。