幂函数的性质与变化规律

幂函数知识要点一．定义：形如y=x a（是常数）的函数，叫幂函数。

二．图象幂函数的图象和性质；由d取值不同而变化，如图如示：三．幂函数的性质：n>0时,(1)图象都通过点(0,0),(1,1)(2)在(0,+∞)，函数随的增大而增大n<0时,(1)图象都通过(1，1）(2)在(0,+∞)，函数随x的增加而减小(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。

注意事项：1．判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”2．根据幂函数的定义域，值域及指数特点画其图象。

函数位于第一象限的图象在“n>1”时，往上翘；0<n<1,往右拐;n<0向下滑。

四．例析：分析：底数分别不同而指数相同，可以看作是和。

两个幂函数，利用幂函数的单调性质去理解。

解：(1)(0,+∞)是递增的又∵1.1<1.4 ∴利用幂函数的性质比较数的大小。

例3．比较的大小。

分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号。

启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如0，1或其他数来解决。

分析：在指数运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法合成。

启示：此处化简过程可与初中代数式的运算联系。

五．自测题：1.计算的值（）2．下列命题中正确的是（）A.当n=0时，函数y=x n的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x n的图象关于原点对称，则y=x n在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限3．实数a,b满足0<c<b<1,则下列不等式正确的是（）A．a b<ba B．a-b<b-b C．a-a<b-b D．b b<a a4．在幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在第1象限的图象中(右图)，的大小关系为（）A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>aD．b>c>d>a5．下列函数中是幂函数的是）6．设幂函数y=x n的图象经过(8,4)，则函数y=x n的值域为_______。

幂函数知识总结幂函数知识总结幂函数复习y某(R)的函数称为幂函数，其中某是自变量，是一、幂函数定义：形如常数。

注意：幂函数与指数函数有何不同？【思考提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．观察图：归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：二、幂函数的性质归纳：幂函数在第一象限的性质：0，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（0,）上单调递增。

0，图像过定点（1,1），在区间（0,）上单调递减。

探究：整数m,n的奇偶与幂函数y某(m,nZ,且m,n互质)的定义域以及奇偶性有什么关系？结果：形如y某(m,nZ,且m,n互质)的幂函数的奇偶性（1）当m，n都为奇数时，f（某）为奇函数，图象关于原点对称；（2）当m为奇数n为偶数时，f（某）为偶函数，图象关于y轴对称；（3）当m为偶数n为奇数时，f（某）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.三、幂函数的图像画法：关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。

指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；四、规律方法总结：y某(0,1)的图像：1、幂函数mnmny某(q,p,qZ,p,q互质)p的图像：2、幂函数3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．题型一：幂函数解析式特征例1.下列函数是幂函数的是（）A．y=某某B.y=3某C.y=某+1D.y=某m2m1y(mm1)某练习1：已知函数是幂函数，求此函数的解析式．2a9f(某)(a9a19)某练习2：若函数是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．题型二：幂函数性质例2：下列命题中正确的是（）A．当0时，函数y某的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C．幂函数的y某图象不可能在第四象限内3D．若幂函数y某为奇函数，则在定义域内是增函数练习3：如图，曲线c1,c2分别是函数y＝某m和y＝某n在第一象限的图象，那么一定有（）A．n0yc1练习4：．（1）函数y＝某的单调递减区间为（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞)D．（－∞，＋∞）（2）．函数y＝某（3）．幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是．题型三：比较大小.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）2.3，2.4;（2）0.31，0.35；（3）(2)，(3)；（4）1.1，0.9．.经典例题：例1、已知函数f(某)某2mm3(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)，求m的值，并确定f(某)的解析式．例2、若(m1)1(32m)1，试求实数m的取值范围．例3、若(m1)3(32m)3，试求实数m的取值范围．例4、若(m1)4(32m)4，试求实数m的取值范围．例5、函数y(m某4某m2)(m2m某1)的定义域是全体实数，求m的c20某34在区间上是减函数．13434取值范围。

幂函数知识点四个性质大一幂函数作为高中数学重要的一部分，其性质的理解对于学习和应用都具有重要意义。

在这篇文章中，我将向大家介绍幂函数的四个性质，帮助大家更好地掌握这一知识点。

第一个性质是幂函数的定义域和值域。

幂函数的定义域通常为正实数集，即x大于零。

当幂函数中的指数为整数时，幂函数的值域为正实数。

而当幂函数中的指数为分数时，幂函数的值域则会发生改变。

例如，当指数为1/2时，幂函数的值域是非负实数集。

接下来是幂函数的单调性。

当幂函数中的指数大于1时，幂函数是递增的。

这是因为当x逐渐增大时，由于指数大于1，幂函数的值也会逐渐增大。

而当幂函数中的指数小于1时，幂函数则是递减的。

这是因为当x逐渐增大时，由于指数小于1，幂函数的值会逐渐减小。

但需要注意的是，当幂函数中的指数为1时，幂函数是严格递增的。

第三个性质是幂函数的奇偶性。

当幂函数中的指数为偶数时，幂函数是偶函数。

这是因为当x取正值和负值时，都会得到相同的函数值。

而当幂函数中的指数为奇数时，幂函数是奇函数。

这是因为当x取正值和负值时，得到的函数值互为相反数。

最后一个性质是幂函数的图像特征。

幂函数的图像通常呈现出一条平滑的曲线，在x轴的正方向上逐渐向上增长或逐渐向下减小。

当幂函数中的指数大于1时，曲线在y轴的正方向上逐渐向上增长。

而当幂函数中的指数小于1时，曲线在y轴的正方向上逐渐向下减小。

此外，当指数为正偶数时，曲线在原点处取得最小值；当指数为正奇数时，曲线则在原点处取得最小值。

总结一下，幂函数具有四个重要的性质：定义域和值域、单调性、奇偶性和图像特征。

掌握这些性质，有助于我们更好地理解和应用幂函数。

在解决相关问题时，我们可以通过这些性质来简化计算，提高解题的效率。

因此，对于学习和应用幂函数来说，这些性质的理解是非常关键的。

幂函数是数学中重要的一部分，它在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，幂函数可以用于描述某些指数增长的情况。

在物理学中，幂函数可以用于描述某些物理量的变化规律。

幂函数图像规律口诀大零滑向无穷远一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

幂函数的解析式：y=xα
口诀：子奇母偶孤单单，母奇子偶分两边，子奇母奇，圆点对称莫忘记！
首先我们把幂函数的指数α（只讨论α是有理数的情况），表示成既约分数的形式（整数看作是分母是1的分数），这样一来，不论α>0，还是α＜0，这个口诀都满足。

另外还应注意幂指数的取值对幂函数的图像位置的影响，幂指数α>0时，图像全是“抛物线型”，幂指数α＜0时，图像全是“双曲线型”。

幂函数图像的性质：
所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．
①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；
②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;
③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．
④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．
⑤当a=0时，y=xα表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。

幂函数的像与变化规律幂函数是数学中的一类重要函数，它的图像特点与变化规律一直是数学学习的重点之一。

幂函数的像可以通过对幂函数进行分析和变换来得到。

在本文中，我将介绍幂函数的基本性质、图像特点以及与参数相关的变化规律。

一、幂函数的基本性质幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。

幂函数的定义域是实数集，a决定了函数的整体变化趋势，而b决定了函数在坐标系中的形状。

当b为正数时，函数呈现指数增长的趋势；当b为负数时，函数呈现指数衰减的趋势；当b为零时，函数为常数函数。

二、幂函数的图像特点1. 当a>0时，幂函数的图像在坐标系中从左下方向右上方运动，且图像会趋近于x轴正半轴；当a<0时，图像会从右上方向左下方运动，且也趋近于x轴正半轴。

2. 当b>1时，幂函数的图像在原点附近增长得非常迅速，呈现出陡峭的曲线；当0<b<1时，图像在原点附近增长较为缓慢；当b<0时，图像在原点两侧逐渐趋近于x轴。

3. 幂函数的对称轴是y轴，因此具有奇偶性。

对称性使得当幂函数表现递增或递减时，左右两侧的图像形状相似。

4. 幂函数在x轴上的零点称为幂函数的特殊点，特殊点的个数取决于指数b的奇偶性。

三、幂函数的参数对图像的变化规律的影响1. 参数a的变化：当a的绝对值变大时，函数图像的整体变化趋势会加大，增长或衰减的速度会变快；当a趋近于0时，函数图像会趋近于水平线。

2. 参数b的变化：当b的绝对值变大时，函数图像的形状会发生变化，曲线会更加陡峭或平缓；当b为负数时，函数呈现出对称轴对称的特点。

3. 特殊点的变化：当b为奇数时，幂函数有一个特殊点，即原点；当b为偶数时，幂函数没有特殊点。

特殊点的变化会对函数图像的形状产生明显的影响。

综上所述，通过对幂函数的分析和变换，我们可以获得幂函数的像及其变化规律。

幂函数的性质和图像特点使得它在数学和其他学科中都有广泛的应用，深入理解幂函数的性质对我们解决实际问题、优化函数运算具有重要意义。

幂对函数知识点总结幂函数的图像是以原点为中心的曲线，其变化方式随着a和n的取值不同而不同。

幂函数的性质、图像和应用都是数学中的重要内容。

一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域和值域：幂函数的定义域为全体实数，其值域的范围取决于a和n的取值。

2. 幂函数的奇偶性：当n为偶数时，幂函数关于y轴对称；当n为奇数时，幂函数关于原点对称。

3. 幂函数的增减性：当n>0时，幂函数在定义域上是增函数；当n<0时，幂函数在定义域上是减函数。

4. 幂函数的特殊性质：当n=1时，幂函数为线性函数；当n=2时，幂函数为二次函数；当n=3时，幂函数为三次函数。

二、幂函数的图像1. 幂函数的图像特点：当n>1时，幂函数的图像是上凸的，并且随着n的增大而变得越来越陡；当0<n<1时，幂函数的图像是下凹的，并且随着n的增大而变得越来越平缓。

2. 幂函数的变化规律：当a>1时，幂函数的图像在x轴的右侧上升；当0<a<1时，幂函数的图像在x轴的右侧下降。

三、幂函数的运算1. 幂函数的加法和减法：两个幂函数相加或相减时，只需将其对应项相加或相减即可。

2. 幂函数的乘法和除法：两个幂函数相乘时，可以将它们的底数乘在一起，并将指数相加；两个幂函数相除时，可以将它们的底数相除，并将指数相减。

四、幂函数的应用1. 经济学中的应用：幂函数可以用来描述供求关系、成本与产量关系等经济学中的重要问题。

2. 物理学中的应用：幂函数可以用来描述速度与时间的关系、力与位移的关系等物理学中的重要问题。

3. 生物学中的应用：幂函数可以用来描述生物体的生长规律、物种的数量变化规律等生物学中的重要问题。

总之，幂函数是数学中的重要内容，它具有丰富的性质和应用。

通过学习幂函数，我们不仅可以更深入地理解数学的基本概念，还可以更好地应用数学知识解决实际问题。

因此，幂函数的学习具有重要的意义，也是数学学习中不可或缺的一部分。

幂函数知识点1. 幂函数的定义幂函数是一种特殊的函数，其形式为f(x) = ax^b，其中a 和b都是实数，且a不等于0。

在幂函数中，x是自变量，b 是幂指数，a是幂函数的系数。

2. 幂函数的图像根据幂函数的定义，可以推断出幂函数的图像特征： - 当幂指数b为正数时，幂函数呈现上升趋势。

当x趋近于无穷大时，幂函数的值也趋近于无穷大；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于零。

- 当幂指数b为负数时，幂函数呈现下降趋势。

当x趋近于无穷大时，幂函数的值趋近于零；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于无穷大。

- 当幂指数b为零时，幂函数为常数函数，图像为一条水平直线。

3. 幂函数的性质幂函数具有以下性质： - 幂函数的定义域为实数集，值域依赖于a的正负性质。

- 幂函数在定义域上是连续的。

- 当幂指数b为正偶数时，幂函数的值始终为正数。

- 当幂指数b为正奇数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a 的正负性。

- 当幂指数b为负数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a的正负性。

- 幂函数在x=0处存在一个驻点，即当x=0时，幂函数的导数为0。

- 当b>0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而增加；当b<0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而减小。

4. 幂函数的应用幂函数在数学和物理中有广泛的应用，例如： - 在生物学中，幂函数常被用来描述生物体量和身高的关系，以及种群增长和资源利用的关系。

- 在经济学中，幂函数常被用来描述产出与投入的关系，以及利润与销售量的关系。

- 在物理学中，幂函数常被用来描述力与位移的关系，以及电力消耗与电流的关系。

5. 幂函数的求导根据幂函数的定义，我们可以得出幂函数的导数公式： - 对于f(x) = ax^b，其中a不等于0且b不等于0，幂函数的导数为f’(x) = abx^(b-1)。

其中b-1为幂指数减一。

在求幂函数的导数时，需要注意幂指数b的取值范围，以及系数a的正负性。

幂函数的定义及性质幂函数是数学中常见的一类函数形式，它的定义如下：定义：对于给定的实数a（a≠0）和非零实数b，幂函数f(x)=a⋅x^b。

其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数，x称为幂函数的自变量，f(x)称为幂函数的因变量。

在幂函数的定义中，a是幂函数的系数，可以取任意非零实数。

系数a决定了函数的纵向伸缩变换，当a>0时，幂函数的图像在y轴上方，当a<0时，幂函数的图像在y轴下方。

指数b是幂函数的指数，决定了函数的横向伸缩变换以及函数的形状。

当b>1时，幂函数增长更为迅速；当0<b<1时，幂函数增长逐渐变缓；当b=1时，幂函数变为线性函数；当b<0时，幂函数变为倒数函数。

幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为所有使得指数函数值存在的实数。

当a>0且b>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0且b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,0)；当a<0且b为偶数时，幂函数的值域为[0,+∞)。

2. 对称性：a⋅(-x)^b = (-a)⋅x^b，即幂函数关于y轴对称。

3. 单调性：幂函数在定义域上单调递增或递减，取决于系数a和指数b的正负情况。

4. 奇偶性：当b为整数时，幂函数的奇偶性与系数a的奇偶性一致；当b为分数时，幂函数的奇偶性与a的正负性一致。

5. 渐近线：当b>0时，幂函数的图像有一条水平渐近线y=0；当b<0时，幂函数的图像有两条渐进线，分别是x轴和y轴。

6. 函数的图像：幂函数的图像形状随着系数a和指数b的取值而变化，可以是上凸、下凸、对称或非对称的。

以上是幂函数的定义及性质的介绍。

幂函数作为一类常见的函数形式，具有广泛的应用领域，在数学、物理、经济等学科中都有重要的作用。

通过对幂函数的研究和理解，我们可以更好地理解函数的变化规律和函数图像的特点，为解决实际问题提供数学工具和思路。

幂函数图像及其性质幂函数是一种常见的数学函数形式，它的数学表达式为f(x)=ax^b，其中a和b是实数，且a不等于零。

幂函数的图像展示了函数的特性和行为，这对我们进一步了解和应用幂函数有着重要意义。

一、幂函数的图像及其特征通过观察幂函数的图像，我们可以得到以下几个基本特征：1. 幂函数的图像总是通过点(0,0)。

当x等于零时，幂函数的结果总是零。

2. 当b为正数时，幂函数的图像从左上方向右下方斜率逐渐减小，渐近于x轴。

这是因为幂函数中的x不断增大时，幂函数的值以一个较小的速度增加。

3. 当b为负数时，幂函数的图像从右上方斜率逐渐减小，渐近于x 轴。

这是因为幂函数中的x不断减小时，幂函数的值以一个较小的速度增加。

4. 当b为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且有一个最小值点或者最大值点。

这是由于幂函数的平方等于0或者正数。

5. 当b为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且没有最小值点或者最大值点。

这是由于幂函数的绝对值在整个定义域内都为正。

二、幂函数图像的变化规律1. 当a大于0时，幂函数的图像在整个定义域内为正。

随着b的增大，幂函数的图像变得平缓，斜率逐渐减小；随着b的减小，幂函数的图像变得陡峭，斜率逐渐增大。

2. 当a小于0时，幂函数的图像在整个定义域内交替在x轴上方和下方。

随着b的增大或减小，幂函数的图像也会随之变化。

3. 当a等于1时，幂函数的图像变成了恒等函数的图像y=x。

即幂函数退化为y=x的特例。

三、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集R，值域取决于a和b 的取值范围。

2. 奇偶性：当b为偶数时，幂函数是偶函数，关于y轴对称；当b 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称。

3. 单调性：当b大于0时，幂函数在整个定义域内是单调递增的；当b小于0时，幂函数在整个定义域内是单调递减的。

4. 渐近线和交叉点：当b大于0时，幂函数的图像会渐近于x轴；当b小于0时，幂函数的图像会与x轴交叉于一个点，并渐近于x 轴。

幂函数的增减性与奇偶性幂数学函数是数学中的重要概念之一，而其中的一种常见函数类型为幂函数。

幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a为常数，n为幂数。

本文将探讨幂函数的增减性与奇偶性两个重要属性。

一、幂函数的增减性幂函数的增减性描述了幂函数在定义域内的函数值随自变量增加或减小而变化的趋势。

当幂函数的幂数为正时，函数呈现单调递增或单调递减的特点，具体取决于幂数的奇偶性。

1. 幂数为正偶数当幂数n为正偶数时，幂函数呈现出单调递增的趋势。

这是因为当x为正数时，不论a是正还是负，x的n次方都为正，所以当x增加时，函数值y也会随之增加；同理，当x为负数时，由于负数的偶次幂依然为正数，所以x减小时，函数值y也会减小。

2. 幂数为正奇数当幂数n为正奇数时，幂函数同样也呈现出单调递增的趋势。

但与幂数为正偶数的情况不同，当n为奇数时，若a为正数，则x取任意正负值时，y都为正数，所以函数整体呈现单调递增的特点；若a为负数，则x取正数时，y为负数；而当x取负数时，y则为正数。

所以，当幂数n为正奇数时，函数的增减性也取决于常数a的正负性。

3. 幂数为负数当幂数n为负数时，幂函数则呈现出单调递减的趋势。

这是因为当x是正数时，不论a是正还是负，x的n次方都为小于1的正数，所以当x增加时，函数值y则会减小；同理，当x是负数时，由于负数的负次幂依然是小于1的正数，所以x减小时，函数值y也会增加。

二、幂函数的奇偶性幂函数的奇偶性描述了幂函数图像关于y轴或者原点对称的特点，取决于幂数的奇偶性。

1. 幂数为偶数当幂数n为偶数时，函数的图像关于y轴对称。

这是因为当x取正值时，幂函数的函数值与x取相反数时的函数值相等，即满足关于y轴对称的特点。

2. 幂数为奇数当幂数n为奇数时，函数的图像关于原点对称。

这是因为当x取正值时，幂函数的函数值与x取相反数时的函数值互为相反数，即满足关于原点对称的特点。

结论：幂函数的增减性与奇偶性是幂函数在数轴上的两个重要特征。