探讨第二型曲面积分的计算方法

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)0 前言 (1)1直接利用公式进行计算 (1)2利用积分曲面的对称性进行计算 (3)3利用两类曲面积分之间的联系进行计算 (6)4利用高斯公式进行计算 (6)参考文献 (9)探讨第二型曲面积分的计算方法姓名：李亚平 学号：20105031272数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导老师：张萍 职称：讲师摘 要：本文总结了有关第二类曲面积分的几种算法，对每种计算方法均配以典型例题加以诠释．关键词：曲面积分；二重积分；投影区域；高斯公式．The application of symmetry to the calculation ofcurvilinear integral and camber integralAbstract:Some theorems and methods for simplifying curvilinear integral and camber integral calculations by means of symmetry have been introduced in this essay ．And the proves of theorems is also included ．Key Words ：symmetry ；curvilinear integral ；camber integral ；gauss formula ． 0 前言众所周知，第二型曲面积分的计算比较繁琐，但是若能分类，利用曲面的对称性、两类曲面积分之间的联系、高斯公式、图形结合等方法系统的来解答第二型曲面积分，有时候就能使第二型曲面积分的计算相对简单、易懂，故此篇文章就第二型曲面积分的几种常见计算方法为中心进行展开讨论．1 利用公式直接进行计算大家知道，若()z y x R ,,在光滑有向曲面()()xy D y x y x z z ∈=∑,,,:上连续，则()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,存在，且有计算公式：()()()d x d y y x z y x R d x d y z y x R xyD ⎰⎰⎰⎰±=∑,,,,, (1) 其中xy D 表示∑在xOy 面上的投影区域，当曲面取上侧时(1)的右端取“+”号，取下侧时取“—”号．这一公式表明，计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,时，只要把其中变量z 换为表示∑的函数()y x z z ,=，然后在∑的投影区域xy D 上计算二重积分，并考虑到符号的选取即可．这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”．类似地，如果曲面∑的方程为()x z y y ,=，则()()()d z d x z x z y x Q d z d xz y x Q D z x⎰⎰⎰⎰±=∑,,,,,． (2) 如果曲面∑的方程为()z y x x ,=，则()()()d y d z z y z y x P d x d y z y x P yzD ⎰⎰⎰⎰±=∑,,,,,． (3) 因此我们在计算⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz 时通常将其分开计算三个积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑Rdxdy Qdzdx Pdydz ,,，即分别把曲面Σ投影到yoz 面、zox 面，xoy 面上化为二重积分进行计算，投影域的侧由曲面Σ的方向决定．例1 计算积分()()()⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3，其中Σ为球面2222R z y x =++,且取外侧．解 对积分()⎰⎰∑+dydz y x ，分别用后前和∑∑记前半球面和后半球面的外侧，则前∑：222222:,R z y D z y R x yz ≤+--=，后∑：222222:,R z y D z y R x yz ≤+---=，所以()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+后前dydz y x =()()()⎰⎰⎰⎰-+---++--yz yz D D dydz y z y R dydz y z y R 222222 =⎰⎰--yzD dydz z y R 2222 ()θθsin ,cos r z r y ==令=302220342R rdr r R d Rπθπ=-⎰⎰． 对积分()⎰⎰∑-dzdx z y ，分别用左右和∑∑记右半球面和左半球面的外侧，则 右∑：222222:,R z x D z x R y xz ≤+--=，左∑：222222:,R z x D z x R y xz ≤+---=．对积分()⎰⎰∑+dxdy x z 3，分别用下上和∑∑记上半球面和下半球面的外侧，则上∑：222222:,R y x D y x R z xy ≤+--=，下∑：222222:,R y x D y x R z xy ≤+---=．同理带入计算得()⎰⎰∑-dzdx z y =()⎰⎰∑+dxdy x z 3=334R π， 所以()()()⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3=34R π．2 利用积分曲面的对称性进行计算定理1 设曲面S 是由关于点P （或平面α）对称的21S S 和组成，设11S M ∈的对称点为22S M ∈，则()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=S S ds M f ds M f 021 ()()()()1212M f M f M f M f -==若若． 证 以曲面S 关于平面α对称为例．不妨设曲面S 是关于平面xoy 对称的曲面21S S 和组成，设11S M ∈坐标为()z y x ,,，则其对称点22S M ∈的坐标为()z y x -,,，设21S S 、在xoy 平面上的射影区域为xy σ，则()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21,,,,,,S S S ds z y x f ds z y x f ds z y x f=()[]()[]{}⎰⎰++-+X Ydxdy z z y x z y x f y x z y x f y xσ221,,,,,,．(1) ()()()()⎰⎰⎰⎰==-1,,2,,,,,,S S ds z y x f ds z y x f z y x f z y x f 时，；(2) ()()()0,,,,,,⎰⎰=-=-Sds z y x f z y x f z y x f 时，．例2 计算曲面积分⎰⎰=Sds xyz I ，其中S 为曲面22y x z +=介于平面10==z z 和之间的部分．解 因曲面S 关于平面y o z x o y 和对称，而()x y z z y x f =,,，由定理1知⎰⎰=14S xyzds I ，其中1S 是S 在第一卦限的部分．dxdy y x ds y z x z y x z y x 2222441,2,2,++=='='+=，于是()⎰⎰+++=xy D dxdy y x y x xy I 22224414r d r r r r d ⋅+⋅⋅=⎰⎰2222041c o s s i n 4θθθπ=42015125-， 其中xy D 是曲面S 在xoy 面上的射影．定理2 设光滑曲面S 关于平面xoy 对称，且S 在xoy 平面上半空间的部分曲面1S 取定上侧，在xoy 平面下半空间的部分曲面取定下侧，则(1) 若()z y x R ,,关于变量z 是偶函数，则()⎰⎰=Sdxdy z y x R 0,,；(2) 若()z y x R ,,关于变量z 是奇函数，则()()⎰⎰⎰⎰=1,,2,,S S dxdy z y x R dxdy z y x R ．证 由于21S S S +=,而1S ：()y x z z ,=取上侧，2S ：()y x z z ,-=取下侧，设1S ，2S 在xoy 平面上的射影区域为xy σ，则()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21,,,,,,S S S dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R=()[]()[]⎰⎰⎰⎰--xyxy dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R σσ,,,,,,=()[]()[]{}dxdy y x z y x R y x z y x R xy⎰⎰--σ,,,,,,．(1) 若()()z y x R z y x R -=,,,,，则()⎰⎰=Sdxdy z y x R 0,,；(2) 若()()z y x R z y x R --=,,,,，则()()⎰⎰⎰⎰=1,,2,,S S dxdy z y x R dxdy z y x R ．推论1 设光滑曲面S 关于平面yoz 对称，且S 在yoz 平面前半空间的部分曲面1S 取定前侧，在yoz 平面后半空间的部分曲面取定后侧，则(1) 若()z y x P ,,关于变量x 是偶函数，则()⎰⎰=Sdydz z y x P 0,,；(2) 若()z y x P ,,关于变量x 是奇函数，则()()⎰⎰⎰⎰=1,,2,,S S dydz z y x P dydz z y x P ．推论2 设光滑曲面S 关于平面xoz 对称，且S 在xoz 平面右半空间的部分曲面1S 取定右侧，在xoz 平面左半空间的部分曲面取定左侧，则(1) 若()z y x Q ,,关于变量y 是偶函数，则()⎰⎰=Sdzdx z y x Q 0,,；(2) 若()z y x Q ,,关于变量y 是奇函数，则()()dx dz z y x Q dzdx z y x Q S S ⎰⎰⎰⎰=1,,2,,．例3 计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I S222++=⎰⎰，其中S 是抛物面z a y x -=+222在上半空间部分的外侧()0>a ．解 由推论1和推论2知⎰⎰⎰⎰==SS dzdx y dydz x 0,022，故原式()⎰⎰⎰⎰--==xy D S dxdy y x a dxdy z I 22222=()60222031a rdr r a d aπθπ=-⎰⎰． 其中222a y x D xy ≤+=．例4 计算曲面积分⎰⎰+-=Sdxdy z xdzdx ydydz I 2，其中S 为锥面22y x z +=在平面21==z z 和之间的外侧．解 由推论1和推论2知⎰⎰⎰⎰=-=SS xdzdx ydydz 0,0，故()⎰⎰⎰⎰≤+≤+-==2122222y x Sdxdy y x dxdy z I =πθπ21520212-=⋅-⎰⎰rdr r d ． 3 利用两类曲面积分之间的联系进行计算公式()⎰⎰⎰⎰∑∑++=++dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz γβαcos cos cos ，建立了两类曲面积分之间的联系，其中γβαcos ,cos ,cos 是有向曲面∑上点()z y x ,,处的法向量的方向余弦．例5 计算积分()()()⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3，其中∑为球面2222R z y x =++,取外侧．解 设γβαcos ,cos ,cos 是有向曲面∑上点()z y x ,,处的法向量的方向余弦，则Rz R y R x ===γβαcos ,cos ,cos ， 曲面的面积微元为dS ，根据对称性有()()()⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3=()()()[]⎰⎰∑-+-++dS x z z y y x γβαcos 3cos cos =()⎰⎰∑-+-++dS xz z yz y xy x R 31222 =324R dS R R π=⎰⎰∑． 4 利用高斯公式进行计算(1) 设空间闭区域V 由光滑双侧曲面∑所围成，R Q P ,,在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++∑V dxdydz z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz ， 其中∑取外侧．例6 计算积分()()()⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3，其中∑为球面2222R z y x =++,取外侧．解 设2222:R z y x V ≤++，则()()()x z z y x R z y z y x Q y x z y x P 3,,,,,,,,+=-=+=，满足高斯公式的条件，所以()()()⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3 =343R dxdydz dxdydz z R y Q x P VV π==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰． (2) 若∑不是封闭曲面，则不能直接利用高斯公式，此时可以考虑用添加辅助曲面的方法将积分曲面补成封闭曲面()1∑+∑，通常我们称这种方法为“补块”．补块是平行于坐标平面的平面块时一般最为有利，从而有⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑-=++11Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰⎰∑Ω++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂1Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ，其中Ω是由分片光滑的闭曲面()1∑+∑所围成，R Q P ,,在Ω具有一阶连续偏导数．例7 计算积分⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 是上半球面222y x a z --=的外侧．解 添加一曲面2221:a y x S ≤+，0=z ，取下侧为正向，则S 与1S 构成一封闭曲面，外侧为正向，故⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ＝⎰⎰⎰⎰++-+++11S S S zdxdy ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz =3203a dv Vπ=-⎰⎰⎰．(3) 如果函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,在Ω不具有一阶连续偏导数，则通过清除奇点，再利用高斯公式．例8 计算曲面积分⎰⎰∑+-=zdxdy rdzdx x rdydz y I ln ln ，其中∑是椭球面1222222=++cz b y a x 的外侧，222z y x r ++=． 解 z R r x Q r y P =-==,ln ,ln ，则当()()0,0,0,,≠z y x 时，11222222=+++-++=∂∂+∂∂+∂∂zy x xy z y x xy z R y Q x P ． 作球面2222:εε=++∑z y x ，使ε∑所包围的部分εΩ包含在∑所围成的区域Ω内，且球面ε∑的法向量指向球心．此时，由高斯公式，z d x d y r d z d x x r d y d z y I +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰⎰∑∑+∑ln ln εε =⎰⎰⎰⎰⎰+--Ω-Ωzdxdy rdzdx x rdydz y dxdydz ln ln ε=⎰⎰∑+---επεπzdxdy rdzdx x rdydz y abc ln ln 34343 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎰⎰⎰Ωεπεπdxdydz abc 33434 =abc π34． 在计算第二型曲面积分时，如果所给条件满足高斯公式的条件，我们通常选择用高斯公式来计算，因为用此种方法计算量比较小，且容易计算．在所给条件不满足高斯公式条件时，我们再考虑另外的几种计算方法．下面对其他几种计算方法的特点加以说明．直接利用公式进行计算，首先必须标出曲面的“正负侧”，其次计算量比较大；利用曲面的对称性来进行计算的话，显而易见此曲面必须具有对称性，此种方法的优点在于可以很大程度的减少计算量，甚至能一步得出结果；利用两种曲面积分之间的关系来计算这种方法，在可以减少计算量的同时，必须知道有向曲面∑上点()z yx,,处的法向量的方向余弦．因此，我们在计算第二型曲面积分时，要根据所求积分的性质，以及所给条件，灵活应用各种方法．参考文献：[1]刘三阳等．数学分析选讲[M]．北京：科学出版社，2007．[2]陈纪修等．数学分析(下)[M]．北京：高等教育出版社，2004．[3]赵振海．对坐标的曲面积分的一题多解[J]．数学学习(高等数学季刊)，1998，19(1)：33-36．[4]赵艳辉，王湘平．用对称性求线面积分[J]．湖南科技学院学报，2012，9(1)：5-8．[5]陈文灯，袁一圃，俞元洪．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2001．[6]同济大学数学教研室主编．高等数学(上、下册)[M]．北京：高等教育出版社，1998．[7]张从军．数学分析概要二十讲[M]．安徽：安徽大学出版社，2000．[8]复旦大学数学系主编．数学分析(上、下册)[M]．上海：上海科技出版社，1979．[9]华东师范大学数学系编．数学分析(上、下册)[M]．北京：高等教育出版社，2010．6．。

第二类曲面积分的计算公式是基于第一类曲面积分推导出来的第二类曲面积分的计算公式是基于第一类曲面积分推导出来的。

第一类曲面积分计算公式为：∮(Pdx+Qdy+Rdz) = ∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS其中，α，β，γ分别为与x，y，z轴正向的夹角。

当曲面为z = f(x, y)时，第二类曲面积分计算公式为：∬(Pdx+Qdy) = ∬(Pcosα+Qcosβ)dS其中，α，β分别为与x，y轴正向的夹角。

根据上述公式，我们可以推导出第二类曲面积分计算公式。

首先，我们考虑一个曲面z = f(x, y)在xOy平面上的投影。

投影是一个平面图形，其面积为：A = ∫∫dS其中，dS为面积微元。

根据投影的面积公式和第一类曲面积分计算公式，我们有：∮(Pdx+Qdy) = ∬(Pcosα+Qcosβ)dS= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(f_x)^2+(f_y)^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+f_x^2+f_y^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]dxdy = ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^2dxdy= ∫∫[P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^2dxdy= ∫∫[P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3dxdy= ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]dl其中，dl为曲线弧长微元。

根据第二类曲线积分的计算公式和上述推导结果，我们有：∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]dl = ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)dl= ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)]dl= ∮[(P^2-2PQsinα+Q^2sin^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)]dl= ∮[(P-Qsinα)^(-1)]dl= ∮[(P-Qsinα)]dl其中，P和Q分别为曲面上的点在x和y轴上的投影坐标。

R( x, y,z )dx dy

n A( x , y ,z )ndS lim R( i , i , i )cos i Si d 0i 1
M i ( i , i , i ) i z( i ,i ) ，
16
10.4
第二型曲面积分
对于双侧曲面，可通过曲面上法向量的指向来 确定曲面的侧。取定了法向量指向的曲面，称为 有向曲面。
z
n
上侧
z

下侧

n
y
o x
o x
y
5
10.4
第二型曲面积分
对于 ： z f ( x , y ) 若 法 向 量n 与 z 轴 的 正 向 成 锐 角 ， 则取定了曲面的上侧。 若 法 向 量n 与 z 轴 的 正 向 成 钝
a
1
o
6
a y
答案： a 4
22
10.4
第二型曲面积分
例 3．计算 xyzdx dy ，

z

2
其中是球面 x 2 y 2 z 2 1 的外侧在 x 0, y 0 的部分。
y
x
解
1

把分成1和 2两部分
1 : z1 1 x 2 y 2 ; 2 : z2 1 x 2 y 2 ,
i 1 n
（4）取极限
设 d max { S i 的直径} ，则 lim Vi ni S i 。
1 i n
n
d 0
i 1
取极限得到流量的精确值.
10
10.4
第二型曲面积分
2、第二型曲面积分的定义
设 是 向量场 A( x, y, z ) 所在空间中的一个有向光滑曲面。

位法矢量 cos , cos , cos ， dS 是面积微元。所以 F dS ( F n) dS ，
S S
Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS
S S
3、第二型曲面积分的计算 定理 1 设 R( x, y, z ) 是定义在光滑曲面 S : z z ( x, y ) ， ( x, y ) Dxy 上的连续
例 2
计算积分
( x y)dydz ( y z )dzdx ( z 3x)dxdy
， 为球面
x 2 y 2 z 2 R 2 取外侧。
解：对积分 ( x y)dydz ，分别用 前 和 后 记前半 和 后 半 球 面 的 外 侧 ， 则 有 前 ：
x R 2 y 2 z 2 , D yz : y 2 z 2 R 2 ；
S 2 : x = - R 2 - y 2 - z 2 , ( z 0) 。
在 S 上，由于外侧为正，单位法矢量 n ( x, y, z ) 与 Ox 轴正向的夹角余弦
1
另外，S1 在 yOz 平面上的投影为 D yz {( y, z ) | y 2 z 2 R 2 , z 0} ， cos 为正。 并且 x R 2 y 2 z 2 ，所以若令 y r cos , z r sin ，则有
P( x, y, z )dydz Px( y, z ) , y , z dydz 。
S D yz
对 光 滑 曲 面 S : y y ( z, x) ， ( z , x) Dzx ， 在 其 右 侧 上 的 积 分
Q( x, y, z )dzdx Qx , y( z, x) , z dzdx 。
x R2 y2 z2 。 因 为 两 个 积 分 的 积 分 区 域 相 同 ， 所 以 有

摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords ............................................................................................. 1. 0刖言 (1)1直接利用公式进行计算 (1)2利用积分曲面的对称性进行计算 (3)3利用两类曲面积分之间的联系进行计算 (6)4利用高斯公式进行计算 (6)参考文献 (9)姓名：李亚平学号：20105031272探讨第二型曲面积分的计算方法数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：张萍职称：讲师摘要：本文总结了有关第二类曲面积分的几种算法，对每种计算方法均配以典型例题加以诠释.关键词：曲面积分；二重积分；投影区域；高斯公式•The application of symmetry to the calculation ofcurvilinear integral and camber integralAbstract:Some theorems and methods for simplifying curvilinear integral and camber integral calculations by means of symmetry have been introduced in this essay. And the proves of theorems is also in cludedKey Words：symmetry；curvilinear integral；camber integral; gauss formula.0刖言众所周知，第二型曲面积分的计算比较繁琐，但是若能分类，利用曲面的对称性、两类曲面积分之间的联系、高斯公式、图形结合等方法系统的来解答第二型曲面积分，有时候就能使第二型曲面积分的计算相对简单、易懂，故此篇文章就第二型曲面积分的几种常见计算方法为中心进行展开讨论.1利用公式直接进行计算大家知道，若R x, y,z在光滑有向曲面匕：z二zx,y,x,y・D X y上连续，则!! R x, y, z dxdy存在，且有计算公式：Z..Rx,y,zd xdy- ..Rx,y,zx,y dxdy (1)—Dxy其中D xy表示三在xOy面上的投影区域，当曲面取上侧时⑴的右端取“ +”号，取下侧时取“一”号.这一公式表明，计算曲面积分R x, y,z dxdy时，只要把其中变量z换为表示三的Z函数z=zx,y ,然后在匕的投影区域D xy上计算二重积分，并考虑到符号的选取即可•这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”.类似地，如果曲面Z的方程为y = y乙x ,则Q x, y,z dzdx ：iiQ x, y z, x ,zd zd x (2)Z D zx如果曲面匕的方程为x=xy,z，贝UP x,y,z dxd 予一P x y,z,y,zdyd.z (3)Z D yz因此我们在计算Pdydz Qdzdx Rdxdy时通常将其分开计算三个积分EPdydz, Qdzdx, Rdxdy，z z z即分别把曲面工投影到yoz面、zox面，xoy面上化为二重积分进行计算，投影域的侧由曲面工的方向决定.例1计算积分11 ix y dydz y「z dzdx z 3x dxdy，Z其中工为球面x2y2 z^ R2,且取外侧.解对积分11 'x y dydz，分别用前和后记前半球面和后半球面的外侧，贝U2 2 2 2 2 2前：x「R-y-z,D yz：y z R ，2 2 2 2 2 2后：X- - R - y -z , D yz: y z - R，所以..x y dydz =' '前'后111 R2_ y2 _ z2y dydz _ . R2_ y2_ z2y I—dydzD yz D yz2 11R2- y2「z2dydz 令y = r cos [ z 二r sinD yz2兀 r R ■ 2243=2 o dr o . R —r rdr R .对积分iiiy-zdzdx ，分别用 右和左记右半球面和左半球面的外侧，则Z'右：y 二..R 2_x 2_z 2,D xz : x 2z 2乞 R 2,'左：y 二一 R 2一 x 2- z 2, D xz ： x 2z 2一 R 2.对积分 z 3x dxdy ，分别用 '上和'下记上半球面和下半球面的外侧，则' 上:z p R 2—x 2—y 2,D xy :x 2y 2— R 2,二下：z - - . R 2_ x 2_ y 2, D xy ： x 2y 2_ R 2.同理带入计算得4311 [y 「z dzdx= 11 [ z 3x dxdy = R 3，二 二 3所以111x y dydz y - z dzdx z 3x dxdy =4 R 3. Z2利用积分曲面的对称性进行计算定理1设曲面S 是由关于点P （或平面〉）对称的S i 和S 2组成，设S i 的对 称点为M 2 S 2，则2\\ f (M dsJJ f (M ds =彳S i证 以曲面S 关于平面：•对称为例.不妨设曲面 S 是关于平面xoy 对称的曲面S i 和S 2组成，设M 「S i 坐标为x, y,z ，则其对称点M 2，S 2的坐标为x,y 厂z ,设 S i 、S 2在xoy 平面上的射影区域为-Xy ，则..f x,y,z ds ： 11 f x, y,z ds 亠 11 f x, y,z dsSS iS 2=J 卩f ky,z(x, y )】+ f t, y,—z(x, y )%；i+ z ：dxdy .匚Y若f M 2 二 f M i 若f M 2 i —f M i(1) f X, y,—z 二f x, y, z 时，f x,y,z ds =2 f x,y,z ds ;S ◎(2) f x, y, —z - - f x, y, z 时，f x, y, z ds =0 .S例2计算曲面积分I = xyzds，其中S为曲面z = x2• y2介于平面z=0和z=1 S之间的部分.解因曲面S关于平面xo和yoz对称，而f(x, y,z)=|xyz ,由定理1知I =4 i ixyzds，其中S i是S在第一卦限的部分.S iz = x2y2,z x= 2x,z y= 2y,ds = 1 4x24y2dxdy ,于是I =4 iixy x2y2. 1 4x24y2dxdyD xyJI I _____=4 ； d ： r2si nc o s r2 1 4r2r d r= 125^-1=420其中D xy是曲面S在xoy面上的射影.定理2设光滑曲面S关于平面xoy对称，且S在xoy平面上半空间的部分曲面S1 取定上侧，在xoy平面下半空间的部分曲面取定下侧，则(1) 若R x, y, z关于变量z是偶函数，贝U I I R x,y,z dxd^ 0 ;S(2) 若R x, y, z 关于变量z 是奇函数，贝U 11 R x, y,z dxdy 二2 11 R x, y,z dxdy .S S1证由于S =S1 • S2,而S1 :z = z x, y取上侧，S2 : z二-z x,y取下侧，设5，S?在xoy平面上的射影区域为匚xy，贝U!! R x, y, z dxdy !! R x, y,z dxdy 亠iiRx,y,z dxdyS S1 S2=I I R X, y,zx, y dxdy i iRx, y,-zx,y dxdyCxy= IRlx, y, z x, y 1-Rx, y,-z x, y [dxdy .Cxy⑴若R x, y,z 二Rx, y, -z，贝U !」Rx,y,zdxdy = O ；S⑵若R x, y, z - -R x, y,-z，贝U R x, y,z dxdy =2 口R x, y, z dxdy .S S i推论1设光滑曲面S关于平面yoz对称，且S在yoz平面前半空间的部分曲面S i 取定前侧，在yoz平面后半空间的部分曲面取定后侧，则(1)若P x, y, z关于变量x是偶函数，贝U 11 P x,y,z dydz = 0 ;S⑵若P x,y,z关于变量x是奇函数，贝U P x, y,zdydz =2 P x,y,z dydz .S S1推论2设光滑曲面S关于平面xoz对称，且S在xoz平面右半空间的部分曲面0 取定右侧，在xoz平面左半空间的部分曲面取定左侧，则(1) 若Q x, y,z关于变量y是偶函数，贝U i iQ x, y, z dzd^0 ;S(2) 若Q x, y,z 关于变量y是奇函数，贝U Q x,y,z dzdx = 2 Q x, y, z dzdx .S S i例3计算曲面积分2 2 2I 二x dydz y dzdx z dxdy ,S其中S是抛物面x2• y2二a2-z在上半空间部分的外侧a 0 .由推论1和推论2知11 x2dydz = 0, 11 y2dzdx = 0，S S故原式I 二z2dxdy 二a2_x2_y2dxdyS D xy= ]＞『(宀2吩如6其中D xy例4 计算曲面积分I二ydydz-xdzdx • z2dxdy，其中S为锥面z= x2 y2在S平面z =1和z =2之间的外侧.解由推论1和推论2知11 ydydz = 0, i 丨xdzdx = 0 ,S S\ = z2dxdy = x2y2dxdys 1 m2 y2 哆1523利用两类曲面积分之间的联系进行计算公式Il Pdydz Qdzdx Rdxdy 二Pcos t 11Qcos.亠Rcos dS，Z Z建立了两类曲面积分之间的联系，其中co^ ,cos '■, cos是有向曲面匕上点x, y,z处的法向量的方向余弦.例5计算积分i i〔x y dydz y - z dzdx z 3x dxdy , E其中二为球面x2y2z2= R2,取外侧.解设cos：•,cos ：,cos是有向曲面二上点x,y,z处的法向量的方向余弦，则x R y y z cos , cos , cosR R R曲面的面积微元为dS，根据对称性有II〔X y dydz y - z dzdx z 3x dxdy Z=i i Jx y cos很亠i y「z cos ■亠〔z -3x cos ds Z= x2xy y2-yz z2-3xzdSR ZR dS=4「：R3.R '4利用高斯公式进行计算(1)设空间闭区域V由光滑双侧曲面三所围成，P,Q,R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则有■P FQ FRJJ Pdydz + Qdzdx+Rdxdy=川一+—- +—[dxdydz,y v \ ex cy cz 丿其中匕取外侧.例6计算积分11 ix y dydz y - z dzdx z 3x dxdy , Z其中]为球面x2y2z2^R2,取外侧.解设V :x2y2T< R2，则P x, y, z 二x y,Qx,y,z = y- z,R x,y,z 二z 3x，满足高斯公式的条件，所以11〔x y dydz 亠〔y - z dzdx 亠〔z 3x dxdyZ:P Q : R 3二dxdydz 1113dxdydz=4二R .:x 鋼:z vv⑵若三不是封闭曲面，则不能直接利用高斯公式，此时可以考虑用添加辅助曲面的方法将积分曲面补成封闭曲面 3 •二，通常我们称这种方法为“补块”补块是平行于坐标平面的平面块时一般最为有利，从而有11 Pdydz Qdzdx Rdxdy 二：-= ——— dxdydz 11 Pdydz Qdzdx Rdxdy，x :y 工二其中门是由分片光滑的闭曲面3 •匸1所围成，P,Q,R在门具有一阶连续偏导数.例7计算积分11xdydz ydzdx zdxdy，S其中S是上半球面Z二.a2 -X2-y2的外侧.解添加一曲面S：x2，y2二a2，z = 0，取下侧为正向，则S与S i构成一圭寸闭曲面，外侧为正向，故11 xdydz ydzdx zdxdyS=I ：I xdydz ydzdx zdxdy - xdydz ydzdx zdxdyS S iS i3=111 3dv -0 = 2二a .V(3) 如果函数P x, y,z ,Q x, y, z , R x, y,z 在门不具有一阶连续偏导数，则通过清 除奇点，再利用高斯公式.例8计算曲面积分I = — yinrdydz -xln rdzdx zdxdy ,X2 2 2 ______________________________________________________其中匕是椭球面笃•当•务=1的外侧，^A-x 2 y 2 z 2 .a b c解 P yln r,Q = -xln r, R =z ，则当 x, y, z = 0,0,0 时，作球面3 :x 2 y 2 z 2 = ；2，使3 ；所包围的部分门；包含在3所围成的区域门内, 且球面3 的法向量指向球心.此时，由高斯公式，I = 删 -啊 |y ln r d y d-zxln r d z d+xz d x d y 如爲丿=ii idxdydz i'i y ln rdydz-xln rdzdx zdxdy- y In rdydz - xln rdzdx zdxdy=-二abc在计算第二型曲面积分时，如果所给条件满足高斯公式的条件，我们通常选择用 高斯公式来计算，因为用此种方法计算量比较小，且容易计算.在所给条件不满足高 斯公式条.:P ；:Q；:R-- + ------ 十 ----xyz 2xyx 2y 2z 21 =1 .= ^「：abc-4「：；=电二abc - 4 二;33 3111dxdydz件时，我们再考虑另外的几种计算方法.下面对其他几种计算方法的特点加以说明.直接利用公式进行计算，首先必须标出曲面的“正负侧”，其次计算量比较大；利用曲面的对称性来进行计算的话，显而易见此曲面必须具有对称性，此种方法的优点在于可以很大程度的减少计算量，甚至能一步得出结果；利用两种曲面积分之间的关系来计算这种方法，在可以减少计算量的同时，必须知道有向曲面三上点x,y,z处的法向量的方向余弦.因此，我们在计算第二型曲面积分时，要根据所求积分的性质，以及所给条件,灵活应用各种方法.参考文献：[1] 刘三阳等.数学分析选讲[M].北京：科学出版社，2007.[2] 陈纪修等.数学分析（下）[M].北京：高等教育出版社，2004.[3] 赵振海.对坐标的曲面积分的一题多解[J].数学学习（高等数学季刊），1998，19（1）: 33-36.[4] 赵艳辉，王湘平.用对称性求线面积分[J].湖南科技学院学报，2012，9（1）: 5-8.⑸陈文灯，袁一圃，俞元洪.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2001 .⑹同济大学数学教研室主编.高等数学（上、下册）[M].北京：高等教育出版社，1998.[7] 张从军.数学分析概要二十讲[M].安徽：安徽大学出版社，2000 .[8] 复旦大学数学系主编.数学分析（上、下册）[M].上海：上海科技出版社，1979.[9] 华东师范大学数学系编.数学分析（上、下册）[M].北京：高等教育出版社，2010. 6.10。

F dS F n0dS
S S
P x , y , z dydz Q x , y , z dzdx R x , y , z dxdy .
S
这就是第二类曲面积分的坐标形式,也称第二类
曲面积分为对坐标的曲面积分.
二、第二类曲面积分的计算
lim v i ,i , i n0 i ,i , i Si
0
i 1 n
v x , y , z n0 x , y , z dS .
其中 为各小块曲面Si i 1,2, , n 中直径的
2
zy

2
1dxdy
F x, y, z x, y n x , y dxdy ,
Dxy
即 P x , y , z dydz Q x , y , z dzdx R x , y , z dxdy
F x, y, z x, y n x , y dxdy .


其下侧的法向量为n z x , z y , 1 , zxi z y j k 下侧的单位法向量为n0 . 2 2 zx z y 1


同学们可以自己写出:
对于曲面y y z , x 用单位法向量n0确定曲面的
右侧或左侧; 对于曲面x x y , z 用单位法向量 n0确定曲面的前侧或后侧.
dydz , dzdx , dxdy .
第二类曲面积分也可以表示为: F dS F n0dS
P x , y , z dydz Q x , y , z dzdx R x , y , z dxdy .

第二型曲面积分的高斯公式和格林公式
第二型曲面积分的高斯公式和格林公式是向量分析中的两个重要公式，它们分别用于计算三维空间中曲面上的积分和二维平面上曲线上的积分。

高斯公式（Gauss's Theorem）：
高斯公式用于计算三维空间中一个封闭曲面S所包围的体积V上的向量场F的通量。

公式如下：
∮_S F·dS = ∫∫∫_V (∇·F) dV
其中，F是一个向量场，S是封闭曲面，V是S所包围的体积，∇·F是F的散度，∮_S F·dS表示F在S上的通量。

这个公式表明，一个向量场在一个封闭曲面上的通量等于该向量场在曲面所包围的体积内的散度的体积分。

格林公式（Green's Theorem）：
格林公式用于计算二维平面上一个简单闭曲线C所包围的区域D上的向量场F的通量。

公式如下：
∮_C F·dr = ∫∫_D (∂Q/∂x -∂P/∂y) dA
其中，F是一个二维向量场，可以表示为(P, Q)，C是简单闭曲线，D是C所包围的区域，∂Q/∂x和∂P/∂y分别是Q关于x的偏导数和P关于y的偏导数，∮_C F·dr表示F在C上的通量，∫∫_D (∂Q/∂x -∂P/∂y) dA表示(∂Q/∂x -∂P/∂y)在D上的面积分。

这个公式表明，一个二维向量场在一个简单闭曲线上的通量
等于该向量场在曲线所包围的区域内的一个特定函数的面积分。

这个特定函数就是向量场的旋度的负值。

以上两个公式都是向量分析中的基本定理，它们在物理学、工程学和其他领域中有广泛的应用。

第二类曲面积分三种计算方法
第二类曲面积分可分为三种计算方法：
1. 直接应用公式法：对于给定曲面和向量场，在直接计算二重积分时利用公式进行求解。

该方法适用于曲面比较简单、向量场表达式也较简单的情况。

2. 参数化法：先将曲面参数化，再利用曲面元素、向量场在参数化后的表达式计算出积分。

该方法适用于曲面较为复杂，但能够找到合适的参数化方程的情况。

3. Stokes公式法：通过应用Stokes公式将曲面积分转化为曲线积分的形式，再利用曲线积分的求解方法得到结果。

该方法适用于曲面较为复杂，但是能够找到与曲面边界相对应的曲线的情况。

1zx2 z2y
cos zy ,
1zx2 z2y
cos 1 .
1zx2 z2y
对面积的曲面积分为
R(x,y,z)cosdSR[x,y,z(x,y)]dxdy

Dxy
所 以 R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)cods S


(注 意 取 曲 面 的 两 侧 均 成 立 )
D xy 2
Hale Waihona Puke R2x2y2dx D x dy 4yR3
x2y2R2
3
综上3, 4R3 ( x 4 Ry ) 3dy (y d z z )dz (d z 3 x x )dx
3
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面Σ是由方程zz(x,y)给出,Σ在
有向曲面Σ 上点(x,y,z)处的单位法向量,
dSndS{dyd,dz zd,xdxd}y称为有向曲面
元,An为向量A在n上的投影.
例 3 计算 (z2 x)dydz zdxdy,其中Σ 是
旋转抛物面z 1 ( x2 y2 )介于平面z 0及 2
z 2之间的部分的下侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在 有 向 曲 面 Σ上 取 一 小 块
曲面 S, S 在 xo 面 上 y 的( 投 S)x为 影 y
()xy 当cos0时
(S)xy()xy 当cos0时 .

0
当cos0时
其中 ()xy表示投影区域.的面积
果当各小块曲面的直径的最大值0时,
n
lim
0
i1
R(i
,i
,
i
)(Si
)xy
存在,

第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式Stokes公式向量计算形式1引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用.2预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ.若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量cos cos cos n i j k αβ=++则若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1)分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积. (2)近似(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值： (3)求和 (4)取极限2.1.2定义.S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时,z.S xy i i i S xoy S z ∆在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时,.S xy i i xoy S ∆他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,)i i i ξηζ.若lim1T ni P →=∑,(,)i iiξηζyziS ∆0lim1T ni Q →=+∑,(,)i iiξηζzxi S∆0lim1T ni R →=+∑,(,)i iiξηζxyiS ∆存在，或者(,,)(,,)(,,)SSSP x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.S 据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为2．2第二型曲面积分的性质性质1(方向性)设向量值函数v 在定向的光滑曲面S 上的第二型曲面积分存在.记S -为与S 取相反侧的曲面，则v 在S -上的第二型曲面积分也存在，且成立SSv ndS v ndS -⋅=-⋅⎰⎰⎰⎰.注意这个等式两边的n 是方向相反的.性质2（线性性）若ii i SPdydz Q dzdx R dxdy ++⎰⎰(1,2,k i =…，)存在，则有111()()()k k k i ii ii ii i i Sc P dydz c Q dzdx c R dxdy ===++∑∑∑⎰⎰=1kiiiii Sc Pdydz Q dzdx R dxdy =++∑⎰⎰，其中i c i 12k =⋯（，，，）是常数. 性质3(曲面可加性)若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块12,,S k S S …，所组成，且 存在，则有2.3第二型曲面积分的数量表达式记{cos ,cos ,cos }{,,}dS n dS dS dS dS dydz dzdx dxdy αβγ=⋅==，称dS 为曲面 从而SSA ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ⋅=++⎰⎰⎰⎰.即(,,)S SA x y z ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ⋅=++⎰⎰⎰⎰，dydz 是dS 在yoz 面上的投影；dzdx 是dS 在zox 面上的投影；dxdy 在dS 在xoy 面上的投影.他们的取值可正、可负、也可为零.如当cos 0α<时，dxdy 取符号. 特殊形式：(,,)SP x y z dydz ⎰⎰称为P 对坐标,y z 的曲面积分；(,,)SQ x y z dzdx ⎰⎰称为Q 对坐标,z x 的曲面积分；(,,)SR x y z dxdy ⎰⎰称为R 对坐标,x y 的曲面积分.2.4介绍两类曲面积分之间的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设S 为光滑曲面，并以上侧为正侧，R 为S 上的连续函数，曲面积分在S 的正侧进行.因而有1lim(,,)(,,)xyniiii T i SR x y z dxdy R Sξηζ→==∆∑⎰⎰(1)由曲面面积公式1cos i xyi S S dxdy γ∆=⎰⎰，其中γ是曲面i S 的法线方向与z 轴正向的交角，它是定义在xyi S 上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以γ是锐角.又由S 是光滑的，所以cos γ在闭区域xyi S 上连续.应用中值定理，在xyi S 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角i γ*满足等式1cos xy i i iS S γ*∆=∆或cos xy i i i S S γ*∆=⋅∆.于是(,,)(,,)cos xyi i i i i i i i i R S R S ξηζξηζγ*∆=∆.n 个部分相加后得11(,,)(,,)cos xynniiii i i i i i i i R SR S ξηζξηζγ*==∆=∆∑∑(2)现在以cos i γ表示曲面i S 在点(,,)i i i x y z 的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，则由cos γ的连续性，可推得当0T →时，(2)式右端极限存在.因此由(1)式得到(,,)(,,)cos SSQ x y z dzdx Q x y z dS β=⎰⎰⎰⎰(3)这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角γ改为γπ±.因而cos γ也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号. 同理可证：(,,)(,,)cos SSQ x y z dzdx Q x y z dSβ=⎰⎰⎰⎰(4)其中,αβ分别是S 上的法线方向与x 轴正向和与y 轴正向的夹角.一般地有[(,,)cos (,,)cos (,,)cos ]SP x y z Q x y z R x y z dSαβγ=++⎰⎰（5）3介绍第二型曲面积分的多种计算方法在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点问题，学生在学习过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。

作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为
正侧, 内侧作为负侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的概念
先考察一r 个计算流量的问题. 设某流体以流速 v P( x, y, z) i +Q( x, y, z) j +R( x, y, z) k
S : y y(z, x), (z, x) D(zx) 上连续时, 有
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y(z, x), z)dzdx. (4)
S
Dzx
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一
侧为正侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
k
Pdydz Qdzdx Rdxdy . i 1 Si
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的 计 算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 S : z z( x, y),( x, y) D( xy).
H P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy .
S
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
若以 S 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知
Pdydz Qdzdx Rdxdy

第二型曲线曲面积分的计算方法PB07210153 刘羽第二型曲线曲面积分与第一型曲线曲面积分相比有明显不同的儿何意义和物理意义，第一型曲线曲面积分分别可以看成是定积分与二重积分的更一般情况，其意义较易理解，讣算也相对比较简单。

而笫二型曲线曲面积分乂称为对坐标的积分，具有第一型不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，分别是变力沿曲线做功和向量场过曲面的通量，这在物理学上有重要的应用，与格林定理，斯托克斯定理，高斯定理紧密相关，是微积分中的重点和难点，以下简单介绍第二型曲线曲面积分的常用讣算方法。

1.第二型曲线积分计算方法向量场F = Pi + Qj + R》是曲线L上指向指定方向的单位切向量，则称形式积分为第二型曲线积分，右端是在L上第一型曲线积分。

这里F要理解的方向性,dx = iVrdl是有向曲线微元在Ox轴方向投影, 可正可负（与定积分不同），这正是第二型曲线积分具有方向性的原因。

讣算第二型曲线积分的方法主要有定义法，参数法，利用性质以及利用Green公式和Stokes公式。

(1)定义法当已知或易于表达时，可考虑用定义法，一般用得较少。

(2)参数法参数法是计算第二型曲线积分最常用的方法，将其转化为定积分，应用时要特别注意上下限的确定(根据所给的方向而不是大小)。

设有向曲线L的参数方程为x二x(t), y二y (t), z=z (t),其起点对应t=a,终点对应t二b,则[Pdx + Qdy + Rdz讣算时只要将所有量(包括微分量)用参数变量表示出来即可，不需记忆此式。

例1 求曲线积分J ydx+zdy + xdz，其中L是"x + y = 2与x2-¥y2+z2 =2(兀十丿)的交线，从原点看去是逆时针方向。

解：在曲线L满足的方程组中消去y并化简得2(x-l)2 + z2=2,可知L在Ozx平面上的投影曲线是椭圆2(—1)2 + Z—2,注意到坐标原点在平面的芹一＞-oo的一侧，所以从x轴正方向看曲线是顺时针方向。

求第二型曲面积分的方法
求第二型曲面积分是数学和物理的重要任务，它的研究以及应用有着广泛的地方。

第二型
曲面积分主要用于对空间积分用来求解物理学中复杂系统的平均物理量。

它有着广泛的应用，如量子力学中的磁力环式和波动方程，以及天文学和地质学等。

第二型曲面积分的计算可以使用各种数值方法，其中包括有限元法、蒙特卡洛（Monte Carlo）方法、格林积分（Green's integration）、快速傅里叶变换（FFT）法等。

有限元法和蒙特卡洛方法是当前实际应用最多的数值求解方法。

有限元法的基本思想是将曲面空间
的参数区域划分为大量的小网格，然后以这些小网格作为节点，利用差值求解积分。

蒙特
卡罗法是通过在曲面空间的参数区域上连续随机取样，由概率统计的思想求解曲面积分。

格林积分和快速傅里叶变换法是第二型曲面积分求解中比较高效的方法。

格林积分是指在
曲面空间参数区域上选取一组优化的拉格朗日格点对积分区域内函数进行重新插值，然后
把这些拉格朗日格点的函数值进行累积求和，从而求出曲面积分。

快速傅里叶变换是指使
用衰减函数或低通滤波器将曲面空间函数转换到频率域，然后在频率域求解曲面积分。

总之，求第二型曲面积分对数学和物理领域有重要作用，而求解第二型曲面积分这一任务，可以通过有限元法、蒙特卡洛法、格林积分和快速傅里叶变换等数值计算方法实现。

结论. ∑
∑
性 质 虽 简 单,但 在 第 二 类 曲 面 的 计 算 中,特 别 是 复 杂 题
目 ,我 们 要 自 始 至 终 具 有 利 用 性 质 简 化 问 题 的 意 识 .
三 、第 二 类 曲 面 积 分 的 计 算 的 典 型 方 法 归 纳
(一 )分 面 投 影 法
∑ ∑ 定 理１:设积分曲面 由方程z＝z(x,y)给出的,
∬ ∑ 【例１】 计算积分I＝ xyzdxdy,其中 是球面x２
∑
＋y２ ＋z２ ＝１ 外 侧 在 x≥０,y≥０ 的 部 分 . 分析:积 分 只 含 对 坐 标 x,y 的 积 分,采 用 分 面 投 影 法,
∑ ∑ ∑ 把有向曲面
分成
和
１
２ 关 于 xOy 平 面 对 称 的 两
部分.
∑ ∑ 解: 和 １
为 关 于 xOy 平 面 对 称 的
有向光滑曲面,其 方 程 式 为 双 值 函 数,设 为 z＝ ±z(x,y),
∑ (x,y)∈Dxy (其 中 Dxy 为
在 xOy 平 面 的 投 影 区 域),记
∑ ∑ ∑ , １
２ 分别位于xOy 平面的上半部分与下半部分,
１
∑ ∑ 与 ２ 的侧关于xOy 平面相 反,函 数 R(x,y,x)在
上
连 续 ,那 么 :
∬ ① 当 R (x,y,x)关 于 z 为 偶 函 数 时,则 R(x,y,
z)dxdy ＝０.
∑
∬ ② 当 R (x,y,x)关 于 z 为 奇 函 数 时,则 R(x,y, ∑
∬ z)dxdy ＝２ R(x,y,z)dxdy. ∑１
∬ ∬ 注 １: P(x,y,z)dydz, Q(x,y,z)dzdx 有 类 似 的

∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S
k
= ∑ ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . i =1 Si
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的计算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 = S : z z( x, y),( x, y) ∈ D( xy) .
第四讲 第二型曲面积分的性质和计算
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质:
∫∫ 1. 若
Pidydz
+
Qidzdx
+
Ridxdy
(i
= 1,2, ,k
)
存在,
Sk
k
k
∫∫ ∑ ∑ ∑ 则有 ( ci Pi )dydz + ( ciQi )dzdx + ( ci Ri )dxdy
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
其投影为 D3 : 1 ≤ x2 + z2 ≤ 2.
I1 = ∫∫ S1
∫∫ e y dzdx = −
e dzdx
x2 + z2
D1 x2 + z2
∫ ∫ =
−e
2π dθ
0
11 rdr =
0r

第二型曲面积分主要化为二重积分计算
1 分面投影法 设光滑曲面Σ 设光滑曲面Σ是由 定义在投影区域 Dxy的 单值函数z=z(x,y) 表示 单值函数 则 1 dS = dσ xy cos(n, z) 其中， 其中，面积微元 dσ xy x 平面的投影. 是dS在xoy平面的投影 在 平面的投影
z
Σ
o
都是第二型曲面积分。例如：∫∫ P( x, y, z)dydz可理 都是第二型曲面积分。例如：
Σ v 解为 A( x, y, z) = {P( x, y, z),0,0} 沿∑的第二型曲 的第二型曲
面积分。 面积分。
3 第二型曲面积分的性质
v v v (1) 线性） (1)（线性） ∫∫ [αA( M ) + βB( M )] ⋅ dS Σ v v v v = α ∫∫ A( M )⋅ dS + β ∫∫ B( M )⋅ dS
Σ Σ
+ ∫∫ R( x,y,z )cos( n, z )dS
Σ
2 第二型曲面积分的概念
定义2: 是一片光滑的定向曲面， v 定义2: 设∑是一片光滑的定向曲面，向量函数 v A = A( x , y , z ) = {P ( x , y , z ),Q( x , y , z ), R( x , y , z )} v0 v0 上有界， 上点(x,y,z)处的 在∑上有界， n = n ( x , y , z ) ∑上点 上有界 是 上点 处的 单位向量， 单位向量，若曲面积分
Σ Σ
α 其中， 和 β 为常数. 为常数. 其中，
, (2) 可加性） (2)（可加性）设 ∑= ∑1 + ∑2 ,且 µ ( ∑1 + ∑2 ) = 0则
v v v v v v ∫∫ A(M) ⋅ dS = ∫∫ A(M) ⋅ dS +∫∫ A(M) ⋅ dS

称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
Rd x d y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
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说明：
引例中，流向 指定一侧的液体的流量 为：
v(
x,
y,
z)
n
0
(
x,
y,
z)dS
Pd y d z Qd z d x Rdx d y
第二类曲面积分存在的必要条件:
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy ]
3.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
lim
0
n i 1
vi
ni0Si
n
lim
0
[P(i ,i
i 1
,
i
)(Si
) yz
Q(i
,i ,
i
)(Si
)xz
R(i ,i , i )(Si )xy ]
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第二类曲面积分的定义：
为 的前侧（正侧），另一侧称为后侧（负侧）。
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（3）若的方程为 y y(z, x)： 规定：法向量与 y 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的右侧（正侧），另一侧称为左侧（负侧）。 （4）若 为封闭曲面:
规定：法向量朝外的一侧称为 的外侧（正侧）， 朝内的一侧称为内侧（负侧）。
Q F n0dS adS a dS
a 表面积 4 a3
事实上，容易求得：n0
1 {x,
y, z}
a
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例 2：把对坐标的曲面积分
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy