数学专业毕业论文-第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

师范大学本科毕业论文题目：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法专业：数学与应用数学系班：数学与信息科学系2006级数本2班毕业年份：姓名：学号：指导教师：职称：教授目录本科毕业论文任务书 (1)本科毕业论文开题报告 (3)本科毕业论文登记表 (5)毕业论文论文正文文稿 (7)本科毕业论文答辩记录 (15)西北师范大学本科毕业论文（设计）任务书注：1. 任务书由指导教师填写、经教研室主任及系主管教学副主任审批后，在第七学期末之前下达给学生..2. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅.渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写。

李第二型曲线积分与曲面积分的计算方法李明松（渭南师范学院 数学与信息科学系2006级数本2班）摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.关键词： 曲面积分；曲线积分1 引 言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2 第二型曲线积分例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线o （0，0） 的弧.方法一：利用格林公式法L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的.解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L ,()()()()()()11sin cos sin cos xxLL xxL I e y b x y dx e y ax dye y b x y dx e y ax dy=-++---++-⎰⎰记为12I I I =- ，则由格林公式得：()1cos cos x xD DQ P I dxdy e y a e y b dxdy x y ⎛⎫∂∂⎡⎤=-=---- ⎪⎣⎦∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰()()22Db a dxdy a b a π=-=-⎰⎰其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0因而：()222I bx dx a b =-=-⎰ ，从而()22231222222I I I a b a a b a b a πππ⎛⎫=-=-+=+- ⎪⎝⎭方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解（1） 若 P Q y x∂∂=∂∂（与路径无关的条件）， 则 ()()()()1111000,01,,,A x y x y B x y x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy +=+⎰⎰⎰（2） ()(),x t y t φϕ==()()()()()()()()'',,AB Pdx Qdy P t t t Q t t t dt βαφϕφφϕϕ⎡⎤+=+⎣⎦⎰⎰ α是起点 β是终点解： ()()()sin cos x x LI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰()sin cos x x LLe ydx e ydy b x y dx axdy =+-++⎰⎰记为12I I I =- ,对于1I ，积分与路径无关，所以()()0,02,0sin cos sin 0xx x a eydx e ydy e y+==⎰对于2I ，取L 的参数方程sin sin x a a ty a t=+⎧⎨=⎩，t 从0到π，得()()22223230223sin sin cos sincos cos 11222Lb x y dx axdy a b t a b t t a b t a t a t dt a b a a πππ++=---++=--+⎰⎰从而 23222I a b a ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭对于空间第二曲线一般的解题过程为：LPdx Qdy Rdz ++⎰若L 闭合，P,Q,R 对各元偏导数连续Ldydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q R∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰若L 非闭，其参数方程为()()()()()()()()()()()()()()(),,',,',,'P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dtβα⎡⎤++⎣⎦⎰其中： ()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩α，β分别为L 的起点，终点参数值.例2 计算空间曲线积分I=()()()y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰，其中曲线L为圆柱面222x y a +=与平面1x za h+=的交线()0,0a h >>，从X 轴正向看，曲线是逆时针方向.方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用[]0,2π上三角函数的正交性.解： 令 cos ,sin x a t y a t ==， 则()cos 111cos x a t z h h h t a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是I=()()()(){}()sin 1cos sin 1cos cos cos cos sin sin 2a t h t a t h t a t a t a t a t h t dt a a h π--⋅-+--⋅+-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+⎰方法二：解 ：2dydzdzdx dxdyI dydz dzdx dxdy x y z y zz xx y∑∑∂∂∂==-++∂∂∂---⎰⎰⎰⎰ {}()21,1,1,0,1212xyD D h h dxdy dxdy a h a a a π⎧⎫⎛⎫=-⋅=-+=-+⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰3 第二型曲面积分例 3 计算曲面积分()2z x dydz zdxdy +-∑⎰⎰，其中∑为旋转抛物面()2212z x y =+ 介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.方法一：利用两类曲面积分的联系()cos cos cos Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds αβγ++=++⎰⎰⎰⎰ ()1其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑上点（x ，y ，z ）处的法向量的方向余弦. 解： {},,1n x y =-，{}cos ,cos ,cos n αβγ=⎧⎫= ()()22z x dydz zdxdy z x z ds ∑∑⎡⎤+-=+-⎢⎢⎣⎰⎰⎰⎰222∑∑==()2221Dx x y ++=()22212D x x y dxdy ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰22220cos 82r d rdr πθθπ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰方法二：分面投影法如果∑由(),z z x y =给出，则()(),,,,,xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()2如果∑由(),x x y z =给出，则()(),,,,,yzD P x y z dydz P x y z y z dydz =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()3 如果∑由(),y y z x =给出，则()(),.,,,zxD Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()4 等式右端的符号这样规定：如果积分曲面∑是由方程()()()(),,,,x x z y y y x z z z x y ===所给出的曲面上（前，右）侧，应取“+”，否则取“-”. 解：()()22z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy ∑∑∑+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()222z x dydz z x dydz z x dydz∑∑∑=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰后前((22yzyzD D z dydz z dydz =--⎰⎰⎰⎰20244yzD dy π===⎰()2212xyD zdxdy x y dxdy ∑=-+⎰⎰⎰⎰22300142d r dr πθπ=-=-⎰⎰所以()28z x dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰方法三 ：合一投影法前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐.事实上，如果∑的方程(),z z x y =， (),xy x y D ∈，（xy D 是∑在xoy 面上的投影区域），函数,,P Q R 在∑上连续时，则单位法向量为 n e ={}cos ,cos ,cos αβγZ ⎧⎫-=± 由于投影元素 cos dydz ds α=， cos dzdx ds β=，cos dxdy ds γ=，于是得到cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos x y dydz ds ds dxdy Z dxdy dzdx ds ds dxdy Z dxdyαααγγγβββγγγ====-====-所以()()()()()()()(){}()(),,,,,,,,,,,,,,,,,xyxyx y D x y D P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdyP x y z x y Z x y Q x y z x y Z x y R x y z x y dxdy P Z Q Z R dxdy∑++⎡⎤=±⋅-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=±⋅-+⋅-+⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 等式右端的符号这样确定：如果∑是由方程所给出的曲面上侧，取“+”，否则取“-”. 当∑可用显示方程(),y y z x =或(),x x y z =表示时，只需注意到此时∑的法向 量为{},1,x x y y y ---或{}1,,y z x x --，可得相应公式. 上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法.解：()2212z x y =+，∑在xoy 面上的投影区域：xy D =(){}22,4x y x y +≤，又∑的下侧，x z x =，故由上式可得：()()()()()2222222222222200114212cos 82xy xy D D z x dydz zdxdy x y x x x y dxdyx x y dxdyr d r rdr πθθπ∑⎧⎫⎡⎤+-=-++--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法四：高斯公式,,P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰解：曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，应补面12z =∑的上侧，则用高斯公式()1200zx dydz zdxdy dv Ω++-==∑∑⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()()122z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy +-=-+-∑∑⎰⎰⎰⎰又()112028xyD zx dydz zdxdy zdxdy dxdy π+-=--=-∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()28z x dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰4 小结从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且吻合于通用教材教学中的难点重点，虽然考试题目千变万化，但教材的内容相对稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动.过本文的分析，希望对大家有一定的指导作用. （指导教师：吕国亮）参考文献[1] 华东师大数学系. 数学分析(下)[M]，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231. [2] 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M]，第四版. 高等教育出版社，2003， 375-388. [3] 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南[M]. 北京大学出版社，2001，338-362. [4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 世界图书出版社，2000，276-287.[5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M]. 机械工业出版社，2002，175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001. 204-212. [7] 孙一生. 第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然科学学报》，1989，5（2）：106-112.[8] 陈少元. 第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息（学术版），2007(1):12-15.The Second Type Cruve Total And Song Computing Technology That Area Divide IntoLI Ming-song(Class 2 Grade 2006, Department of Mathematic and Information Science, Weinan Teachers University)Abstract ：This text is it turn to make total mark law parameter to utilize mainly,Green formula,total mark answer the second type cure exercise question of integration with method that route have nothing to do;Unilize song connection that area assign,divide into the surface projection law,unify the projection law,gausses of formmula answer the second type song topic that area divide.Key words：The area of the song is divided；The total mark of curve。

曲面积分计算技巧曲面积分计算技巧总结引言曲面积分是数学中的一个重要概念，常应用于计算曲面上某种物理量的总量。

本文将介绍曲面积分的基本概念，并详细说明各种计算技巧。

曲面积分的基本概念曲面积分是对曲面上某个标量或矢量场进行积分运算的方法。

曲面积分可以分为两类：第一类是曲面上某个标量场的积分（记作∬S f(x,y,z) dS），第二类是曲面上某个矢量场的积分（记作∬SF(x,y,z)·dS）。

曲面积分的计算技巧计算第一类曲面积分1.选择合适的参数化表达式：对给定的曲面进行参数化，将曲面上的每个点表示为参数的函数形式，方便后续积分计算。

2.确定面积元素向量：计算参数化表达式对应曲面上的面积元素向量dS，也就是曲面上面积微元的大小和方向。

3.求解积分：将被积函数表示为参数的函数形式，并将之前得到的面积元素向量代入公式进行计算。

计算第二类曲面积分1.选择合适的参数化表达式：同第一类曲面积分一样，需要对曲面进行参数化处理。

2.确定曲面法向量：通过计算曲面上每个点对应的法向量n，用来确定曲面元素的方向。

3.求解积分：将被积函数表示为参数的函数形式，并将之前得到的曲面法向量代入公式进行计算。

其他常用技巧1.使用对称性简化计算：如果曲面具有对称性，可以利用对称性简化曲面积分的计算过程。

2.参考标准公式：对于常见的曲面，可以参考标准公式进行计算，避免重复计算。

3.使用数值计算：对于复杂的曲面和积分函数，可以使用数值计算方法来求解曲面积分近似值。

结论本文介绍了曲面积分的基本概念和计算技巧，包括计算第一类曲面积分和第二类曲面积分的方法，以及常用的简化计算和数值计算技巧。

掌握这些技巧能够帮助我们更高效地计算曲面积分，应用于更广泛的领域中。

补充材料和进一步学习1.对于更深入的了解曲面积分的概念和计算技巧，可以参考高等数学教材中相关章节。

2.在学习过程中，可以通过做一些习题来巩固对曲面积分的掌握。

3.了解更多数学科学知识和应用领域可以扩展你的知识广度。

曲线积分和曲面积分论文引言曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，具有广泛的应用领域。

本论文旨在介绍曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，并讨论在实际应用中的一些应用情况。

曲线积分在微积分中，曲线积分用于计算沿一条曲线的函数的积分。

曲线积分有两种类型：第一类是沿曲线的弧长对函数进行积分，称为第一类曲线积分，第二类是对曲线上的函数在曲线元素上积分，称为第二类曲线积分。

第一类曲线积分第一类曲线积分表示为：$$ \\int_C f(x, y) ds $$其中，f(f,f)是曲线上的函数，ff表示沿曲线元素的弧长。

计算第一类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和坐标变换两种。

例如，计算函数f(f,f)=f2+f2在曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 上的第一类曲线积分。

首先，通过参数化得到曲线的弧长元素：$$ ds = \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 +\\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^2} dt $$代入曲线方程得到：$$ ds = \\sqrt{\\left(-\\sin(t)\\right)^2 +\\left(\\cos(t)\\right)^2} dt = dt $$然后，将函数和弧长元素代入积分得到：$$ \\int_C f(x, y) ds = \\int_0^{2\\pi} (1) dt = 2\\pi $$第二类曲线积分第二类曲线积分表示为：$$ \\int_C \\mathbf{F} \\cdot d\\mathbf{r} $$其中，$\\mathbf{F}$ 是曲线上的向量函数，$d\\mathbf{r}$ 表示曲线元素。

计算第二类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和曲线方程两种。

例如，计算向量函数 $\\mathbf{F}(x, y) = (x, y)$ 沿曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 的第二类曲线积分。

曲线积分和曲面积分论文引言曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，用于计算曲线上和曲面上的物理量。

在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

本文将介绍曲线积分和曲面积分的定义、性质和计算方法，并通过简单的例子加深理解。

曲线积分定义曲线积分是指沿曲线上的函数的积分。

设曲线C为向量函数r(t)在区间[a, b]上的路径，则曲线积分的定义为：∫C f·dr = ∫[a,b] f(r(t))·r'(t)dt其中，f为定义在C上的向量函数，r(t)为描述曲线C的向量函数，r’(t)为r(t)的导数。

性质•曲线积分的值与参数化无关，即参数化不同，但曲线积分的值相同。

•曲线积分满足线性性质，即∫(af + bg)·dr = a∫f·dr + b∫g·dr，其中a和b为常数。

•曲线积分可以通过路径分割来计算，即把曲线C分割成若干小段，然后对每一小段进行积分求和。

•曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

计算方法计算曲线积分的方法有两种：参数化法和曲线长度法。

参数化法参数化法通过选择合适的参数化方程来计算曲线积分。

具体步骤如下： 1. 选择合适的参数化方程r(t)。

常见的参数化方程有极坐标参数化、直角坐标参数化等。

2. 计算r(t)的导数r’(t)。

3. 将函数f(r(t))·r’(t)dt代入曲线积分的定义中，计算定积分。

曲线长度法曲线长度法通过计算曲线的长度和曲线上函数的积分来计算曲线积分。

具体步骤如下： 1. 计算曲线C的长度L。

2. 将函数f(r)·T(s)ds代入曲线积分的定义中，其中s为曲线长度参数，T(s)为曲线的切向量。

3. 对s的范围进行积分，即∫[0,L] f(r)·T(s)ds。

例子计算曲线积分∫C (2x+3y)·dr，其中C为圆x^2 + y^2 = 1。

选择圆的参数化方程为：x = cos(t)y = sin(t)计算r’(t)得到：r'(t) = (-sin(t), cos(t))将函数f(r(t))·r’(t)dt代入曲线积分的定义，得到：∫C (2x+3y)·dr = ∫[0,2π] (2cos(t)+3sin(t))·(-si n(t), cos(t))dt= ∫[0,2π] (-2sin(t)cos(t)-3sin(t)sin (t))dt= ∫[0,2π] (-2sin(t)cos(t)-3/2sin(2t)) dt= -π因此，曲线积分∫C (2x+3y)·dr的值为-π。

第二型曲面积分的计算曲面积分是向量分析的一部分，是在把一个标量函数或向量函数沿曲面曲线进行积分，求解该曲面的某些特定值，如流量、质量和表面积等。

第二型曲面积分是对标量函数的曲面积分，主要用于求解流量、质量以及电荷等相关物理量。

在进行第二型曲面积分计算之前，需要了解一些基本概念。

首先，我们需要了解曲面的概念。

在向量解析中，曲面被定义为二维点的集合，可以通过参数方程进行描述。

例如，一张球体的曲面可以通过以下参数方程来表示：S(u,v)=(Rsinu cosv,Rsinusinv,Rcosu)，其中，R为球半径，u和v是参数。

通常情况下，曲面的参数域是一个有限的矩形，例如0≤u≤π，0≤v≤2π。

其次，我们需要了解曲面积分的类型。

在向量解析中，曲面积分可以被分为两种类型：第一型和第二型。

第一型曲面积分是对向量函数的曲面积分，主要用于求解流量。

第二型曲面积分是对标量函数的曲面积分，主要用于求解质量、表面积和电荷等相关物理量。

最后，我们需要了解曲面积分的计算方法。

对于第二型曲面积分，我们可以使用以下公式进行计算：∬ s f(x,y,z) dS=∫∫ rf(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ×|ru∧rv| dudv，其中，f(x,y,z)是被积函数，S是曲面，r(u,v)是曲面S的参数化方程，ru和rv分别是r对u和v的偏导数，ru∧rv是ru和rv的叉积。

实际上，这个公式可以看作是对于曲面上很多微小的“面元”进行累加操作。

其中，面元的大小是由参数方程定义的。

具体来说，我们可以通过对参数方程进行微分计算得到面元的大小，即|ru∧rv|dudv。

这里的|ru∧rv|表示ru和rv的叉积的模长。

在具体应用时，我们需要将被积函数f(x,y,z)替换成参数方程中的变量，即：f(x,y,z)=f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))。

这可以将f(x,y,z)从三维空间中的函数转换为定义在参数域上的函数，从而方便进行计算。

第二类曲线积分计算公式曲线积分是高等数学中的重要概念，它是对向量场在曲线上的积分。

在积分过程中，我们需要根据曲线的特性来选择适合的计算公式。

第二类曲线积分计算公式是其中一种常用的公式，它可以帮助我们计算向量场在曲线上的积分。

本文将详细介绍第二类曲线积分计算公式的定义、性质以及应用。

一、第二类曲线积分计算公式的定义在介绍第二类曲线积分计算公式之前，我们需要先了解一下曲线积分的概念。

对于一个二维向量场 $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，我们可以定义其在曲线 $C: y=f(x)$ 上的积分为：$$int_C F(x,y)cdot ds=int_a^bF(x,f(x))cdotsqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中，$ds=sqrt{1+(f'(x))^2}dx$ 表示曲线元素。

这个积分式子就是曲线积分的基本形式。

在这个基础上，我们可以继续分类讨论，分成第一类曲线积分和第二类曲线积分。

第二类曲线积分是指曲线积分中，积分项中的 $F(x,y)$ 为一个梯度场的情况。

具体来说，如果存在一个标量场$varphi(x,y)$，使得 $ablavarphi(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，那么我们就称$F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ 为一个梯度场。

此时，第二类曲线积分的计算公式为：$$int_C F(x,y)cdot ds=varphi(B)-varphi(A)$$其中，$A$ 和 $B$ 分别表示曲线 $C$ 的起点和终点。

也就是说，第二类曲线积分的结果只与曲线的起点和终点有关，与曲线的具体形状无关。

二、第二类曲线积分计算公式的性质第二类曲线积分计算公式有以下几个重要的性质：1. 线性性质对于任意两个梯度场 $F_1(x,y)=(P_1(x,y),Q_1(x,y))$ 和$F_2(x,y)=(P_2(x,y),Q_2(x,y))$，以及任意两个标量场$varphi_1(x,y)$ 和 $varphi_2(x,y)$，有：$$int_C (F_1(x,y)+F_2(x,y))cdot ds=int_C F_1(x,y)cdot ds+int_C F_2(x,y)cdot ds$$$$int_C (kcdot F(x,y))cdot ds=kcdotint_C F(x,y)cdot ds$$$$int_C (varphi_1(x,y)+varphi_2(x,y))cdot ds=int_C varphi_1(x,y)cdot ds+int_C varphi_2(x,y)cdot ds$$$$int_C (kcdotvarphi(x,y))cdot ds=kcdotint_Cvarphi(x,y)cdot ds$$其中，$k$ 是任意常数。

曲面积分的计算方法曲面积分是向量场在曲面上的积分，它在物理、工程、数学等领域有着广泛的应用。

在实际问题中，我们常常需要计算曲面上某个物理量的总量，而曲面积分就是用来描述这种总量的。

本文将介绍曲面积分的计算方法，包括参数化曲面、曲面积分的定义和计算公式等内容。

首先，我们来介绍曲面的参数化。

对于一个曲面S，我们可以用参数方程来描述它。

通常情况下，我们可以用两个参数u和v来表示曲面上的任意一点，即P(u, v)。

通过参数方程，我们可以将曲面S上的点表示为P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)分别是u和v的函数。

这样，曲面S就被参数化了。

接下来，我们来介绍曲面积分的定义。

设F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))是定义在曲面S上的向量场，曲面积分的定义如下：∬S F·dS = ∬S (P·n)dS + ∬S (Q·n)dS + ∬S (R·n)dS。

其中n是曲面S在点P(u, v)处的单位法向量，dS表示曲面S上的面积元素。

上式右边的三个积分分别表示F在曲面S上的法向分量P、Q、R与dS的点积之和。

这就是曲面积分的定义。

然后，我们来介绍曲面积分的计算公式。

对于参数化曲面S，曲面积分可以表示为：∬S F·dS = ∬D F(x(u, v), y(u, v), z(u, v))·|ru ×rv|dudv。

其中D是参数空间的投影区域，ru和rv分别是曲面S对参数u和v的偏导数，|ru × rv|表示它们的叉乘的模长。

上式右边的积分表示在参数空间D上对F(x(u, v), y(u, v), z(u, v))·|ru × rv|进行积分。

这就是曲面积分的计算公式。

最后，我们来举一个例子来说明曲面积分的计算方法。

数学与应用数学毕业论文-第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算作者：指导老师：摘要：本文结合第二类曲线积分的背景和平面和空间图形第二类曲线积分的定义介绍第二类曲线积分的，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。

关键词：第二类曲线积分第一类曲线积分二重积分参数方程对称性原理斯托克斯公式1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。

1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。

1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。

2第二类曲线积分的定义2.1第二类曲线积分的物理学背景力场沿平面曲线从点A到点B所作的功一质点受变力的作用沿平面曲线运动,当质点从之一端点移动到另一端时,求力所做功。

大家知道,如果质点受常力的作用从沿直线运动到,那末这个常力所做功为 . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?为此,我们对有向曲线作分割，即在内插入个分点与一起把曲线分成个有向小曲线段 ,记小曲线段的弧长为.则分割的细度为.设力在轴和轴方向上的投影分别为与,那么由于则有向小曲线段在轴和轴方向上的投影分别为.记从而力在小曲线段上所作的功 +其中为小曲线段上任一点,于是力沿所作的功可近似等于当时,右端积分和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。

2.2 第二型曲线积分的定义设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上的函数,对任一分割,它把分成个小弧段；其中 .记各个小弧段弧长为,分割的细度为,又设的分点的坐标为,并记 , . 在每个小弧段上任取一点,若极限。

存在且与分割与点的取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上的第二类曲线积分,记为或也可记作或注： 1 若记 ,则上述记号可写成向量形式。

毕业论文文献综述数学与应用数学曲线积分与曲面积分的计算技巧和物理应用一、前言部分极限和微积分的概念可以追溯到古代.到了十七世纪后半叶,牛顿和莱布尼兹完成了许多数学家都参加过的准备工作,分别独立地建立了微积分学.他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量,理论基础是不牢固的.直到十九世纪,柯西和维斯特拉斯建立了极限理论,康尔托等建立了严格的实数理论,这门学科才得以严密化,微积分是与实际应用联系着发展起来的,它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各分支中,有越来越广泛的应用.特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展.客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着.因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了.由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学.微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧式几何后,全部数学中的最大的一个创造.而曲线积分和曲面积分一直是微积分中的一个难题,是微积分中最难掌握的内容之一,在解决此类应用问题时,难以将其转化为标准的曲线积分或曲面积分算式,这种情况的根本原因是对曲线、曲面积分的物理模型含糊,概念不清.其实,任何一门知识,只有在对它的本质有了透彻的理解,实践中才能运用自如.二、主题部分在文献[1]中,引出了两类曲线积分和两类曲面积分的概念.第一类曲面积分引例:设一曲面S 物质分布密度为(,,)f x y z ,计算物质总质量.把S 分成n 个小块,12.......n S S S 的质量近似为(,,)i i i i f x y z S ∆.第二类曲面积分引例:考虑流体流速为F 穿过空间中曲面S 的流量,即单位时间穿过曲面的质量.为简单起见,设流体密度为单位1,只需计算单位时间内穿过曲面S 的体积.把S 分成n 个小块,12.......n S S S 穿过i S 的体积为i F n S ⋅∆,当小块面积最大趋于零时,总流量为1lim (,,)ni i i ix i S F ndS F x y z S →∞==∆∑⎰⎰.(考虑流体流出曲面的流量时,F 的法向量F n ⋅起作用,切分量对流量没有贡献.第一类曲线积分引例:设曲线形铁丝C 的线密度数量函数(,,)f x y z ,求其质量.把曲线C 分成n 段12,...n s s s ∆∆∆,第i 段的质量近似为(,,)i i i f x y z ,当所有小段的最大长度趋向于零时,总质量为1lim (,,)ni i i i C x i Fds f x y z S →∞==∆∑⎰.由引例给出第一类曲线积分的定义,并把条件补充完整,强调第一类曲线积分是特殊的和式极限.第二类曲线积分引例:设一单位质点在力场F 中沿曲线C 运动,计算F 对质点做的功.用0....n S S 把曲线C 分成n 段,F 在第i 段即从1i s -到i s 上所作的功近似为()i i F s S ∆,i S ∆为i S ∆的向量,当划分越来越细,小段的最大长度趋向于零时,总功为1lim ()ni i C x i Fds F s s →∞==∆∑⎰. 文献[2]中给出了曲线积分和曲面积分的一些性质,了解这些对于熟练掌握曲线积分和曲面积分的计算是有裨益的.1、第一型曲线积分的基本性质 （1） 若(,)i L f x y ds ⎰存在,i c 为常数,则1(,)k i i L i c f x y ds =∑⎰也存在,且 1(,)k i i L i c f x y ds =∑⎰=1k ii c =∑(,)i L f x y ds ⎰.（2） 若曲线段L 由曲线段1.....k L L 首尾相接而成,且(,)i L f x y ds ⎰都存在,则(,)Lf x y ds ⎰ 也存在,且(,)L f x y ds ⎰=1k i i c =∑(,)i L f x y ds ⎰. （3） 若(,)L f x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在,且在L 上(,)(,)f x y g x y ≤,则 (,)L f x y ds ⎰≤(,)L g x y ds ⎰. （4）若(,)L f x y ds ⎰存在,则(,)L f x y ds ⎰也存在,且(,)(,)L Lf x y ds f x y ds ≤⎰⎰. （5） 若(,)L f x y ds ⎰存在,L 的弧长为s ,则存在常数c ,使得(,)Lf x y ds ⎰cs =.这里inf (,)sup (,)L Lf x y c f x y ≤≤.特别地,如果L 是光滑曲线,(,)f x y 在L 上连续,则存在点00(,)x y L ∈,使得积分(,)L f x y ds ⎰00(,)f x y =. 2、第二型曲线积分的基本性质: （1） 若AB Pdx Qdy +⎰存在,则BAPdx Qdy =-+⎰. （2） 若i i L Pdx Q dy +⎰,i c 为常数,则11()()n ni i L i i P dx Q dy ==+∑∑⎰也存在,且 11()()n n i iL i i P dx Q dy ==+∑∑⎰=1n i =∑ii L Pdx Q dy +⎰. （3） 若有向线段L 是由有向线段1.....k L L 首尾相接而成,,且i L Pdx Qdy +⎰存在,则L Pdx Qdy +⎰也存在,且L Pdx Qdy +⎰=1n i =∑i L Pdx Qdy +⎰.在理解了两类曲线积分和两类曲面积分的概念和性质后,接着将介绍两类曲线积分和两类曲面积分各种不同的计算方法.文献[3]中介绍了第一类曲线积分的各种不同的计算方法,对于第一类曲线积分,可以采用基于极坐标系或者球坐标系下的参数方程,对于其中一些特殊的空间曲线积分,还可以利用斯托克思公式、格林公式使得计算更为简便.文献[4]中介绍了第二类曲线积分的各种不同的计算方法.第二类曲线积分表示的是变力沿有向曲线移动所作的功.由于力是变的,曲线是有向的,所以其计算较为复杂.该文献归纳了第二类曲线积分的解题思路与技巧.第二类曲线积分的计算一般可分为直接计算和间接计算.其中间接计算涉及两个重要的定理——与路径无关定理和格林定理.文献[5]中提供了一种第一类曲面积分的计算方法,这种方法就是把第一类曲面积分转化为第一类曲线积分来计算,并且该文献还讨论了第一类曲线积分和定积分的换序情形.在通常情况下,第一类曲面积分的计算是化为二重积分进行的.由于空间曲面和空间曲线有着密切的关系,因此该文献讨论如何利用第一类曲线积分来计算第一类曲面积分的方法.文献[6]中介绍了第一类曲面积分的简单计算与推广.第一类曲面积分的积分表达式具有如下特点:(1)积分曲面是可求曲面面积的曲面；(2)被积函数是单变量函数或可化为单变量函数的函数,利用积分元素法,能将其直接化为定积分来计算.第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点,在面对这一问题时,常会令人感到束手无策、无从下手.这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性,它既要考虑到曲面的形状及其投影区域,又要注意到曲面的侧；文献[7]总结了有关第二型曲面积分的常规的三种计算方法,并对每种计算方法均配以典型例题加以诠释.第一种方法就是直接利用公式进行计算,第二种方法就是利用两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分,只要能够求出曲面的法向量(而这对于一个已知曲面来说是很容易做到的),就可以求出法向量的方向余弦,从而,将第二类曲面积分化为第一类曲面积分来处理,第三种方法就是利用高斯公式来简化第二类曲面积分的计算.以上这三种便是计算第二类曲面积分的较为常用的三种方法.而文献[8]中则提供了除三种常用的方法以外其他更多的计算方法.如可利用斯托克思公式将第二类曲面积分转化为第二类曲线积分来进行计算,还可以利用参数方程的方法来计算第二类曲面积分,除此之外,还有分面投影法以及合一投影法.文献[9]探讨了对称性在第二类曲线积分和第二类曲面积分中的应用,给出了一些有用的结论,并举例说明.利用对称性,使许多用“正规”的方法处理起来十分麻烦的第二类曲线积分和第二类曲面积分都能得以简单解决, 从而起到事半功倍的效果.众所周知,利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性可简化定积分、重积分、以及第一类曲线积分和第一类曲面积分的计算,那么第二类曲线积分和第二类曲面积分究竟有没有对称性呢？若有,是不是与第一类曲线积分和第一类曲面积分一样呢？回答是:第二类曲线积分与第二类曲面积分也有对称性,但与第一类曲线积分和第一类曲面积分的有关对称性的结论恰好相反.使用时一般分两方面讨论:(1)利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算；(2)利用积分区域和函数关于变量的轮换对称性简化计算.有时候这两种对称性可结合起来,使积分计算更加简便.文献[10]中给出了两类曲线积分和两类曲面积分的一些简单的物理应用,比如应用第一型曲线积分求曲线形构件的质量,用第二型曲线积分计算变力对质点所作的功,用第一型曲面积分求曲面质量,用第二型曲面积分求流体通过有向曲面的流量等.文献[11]介绍了第一型曲线积分在几何上的一个应用,该文献介绍了怎样用第一型曲线积分计算柱体的侧面面积.高斯公式、格林公式和斯托克思公式是积分学中非常重要的公式,它们相互间的联系非常紧密.文献[12]分析归纳了它们之间的逻辑联系,着重结合场论的相关概念,提出了几个公式在向量场中的关系,有助于加深对公式本身以及场论相关概念的理解.文献[13]从微元和向量的角度,突出曲线积分和曲面积分的物理意义与几何直观.文献[14]则主要介绍了积分微元法的几点应用.三、总结部分根据上述文献可知,本文从两类曲线积分和两类曲面积分的定义和性质入手,在了解定积分和重积分的基础上,查阅各种相关文献进行归纳总结,提取各文件中的相关内容,对两类曲线积分和曲面积分做出了归纳和总结.接着给出两类曲线积分和曲面积分的一些计算以及物理应用.曲线积分和曲面积分的计算是高等数学中的重点,同时也是难点.可根据一种标准化计算程序来解决这类计算问题.第一类曲线、曲面积分按照“变量换参数,区域正微分”的程序,将第一类曲线积分或曲面积分转化为标准的定积分或二重积分来计算.具体说,采取两个步骤:第一步,将积分曲线L 化为单参数方程,并代入被积函数.第二步,在参数下计算曲线弧L 的正微分ds ,即0ds ≥,或计算曲面∑的正微分dS .第二类曲线、曲面积分在转化为若干个定积分或二重积分后,如果对每个定积分或二重积分能选择相同的参数,往往直接把第二类曲线、曲面积分化为第一类曲线、曲面积分,计算过程会更简单.格林公式、斯托克斯公式、高斯公式通常称为线、面积分三公式,是用于有关曲线、曲面积分证明和简化曲线、曲面积分计算的重要工具.刚接触这三个公式,会感到这三个公式很深奥,很难以掌握,不会应用,尤其是斯托克斯公式.但实际上,只要先把比较简单的格林公式的证明,如何沟通平面上第二类曲线积分与二重积分的关系,互相简化积分的计算,应用的条件讲清楚,然后把斯托克斯公式和高斯公式作为格林公式在两种不同条件下的推论介绍出来,这样就会感到比较顺理成章,且容易被人接受.接下来结合一些精心选择的例题重点讲解斯托克斯公式互相简化空间第二类曲线积分与第二类曲面积分,使得对三个公式的理解能够深入,应用起来可以得心应手.一般对于第二类曲线积分L Pdx Qdy Rdz ++⎰,如果空间封闭曲线L 的构造比较复杂,但存在一个以L 为边界的光滑曲面∑,被积函数(,,)F x y z {},,P Q R =≥在∑上的旋度为常向量,或与∑的法向量内积为容易求积分的函数,应该使用斯托克斯公式计算第二类曲线积分.本文给出了两类曲线积分和两类曲面积分的概念,接着介绍了各种计算方法,最后给出了两类曲线积分和两类曲面积分的一些简单物理应用.这样,对两类曲线积分和曲面积分有了初步的了解,而本文的完善有待于进一步研究以及参考更多的文献。

第二型曲面积分论文目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)3预备知识 (1)3.1第二型曲面积分的定义 (1)3.2第二型曲面积分的性质 (2)4常用计算公式 (2)5 MATHEMATICA相关知识 (3)6第二型曲面积分的计算 (4)6.1用MATHEMATICA计算 (4)6.2分项投影法 (5)6.3参数法 (7)6.4利用高斯公式 (8)6.5定义法 (12)6.6解题技巧（轮换对称性） (14)7结论 (15)7.1主要观点 (15)7.2启示 (15)7.3局限性 (15)7.4努力方向 (16)参考文献 (17)1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，因而显得更加复杂，繁琐。

在第二型曲面积分的学习过程中，学生必须在理解概念的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。

由于第二型曲面积分的的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定难度，本文就第二型曲面积分的的计算方法进行了归纳和总结，并用计算机辅助求解.2 文献综述式.3预备知识3.1 第二型曲面积分的定义设S为光滑的有向曲面，P（x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z) 在S上有界，把S任意分成n块有向曲面，△Si ，i=1,2......，n，记△Si在xy平面上的有向投影为（△Si）xy ，(εi，iη，iζ)为△Si上任取定的一点, T为每个△Si的直径中的最大者,作和数，∑n i R (iε，iη，iζ)（△Si）xy.如果lim>-T∑niR (iε，iη，iζ)（△Si）xy总存在，则称此极限值为R任有向曲面S上沿xy平面的第二型曲面积分，记为⎰⎰SRdxdy.类似可定义⎰⎰S Pdydz=lim>-T∑niR (iε，iη，iζ)（△Si）yz,⎰⎰S Qdzdx=lim>-T∑niR (iε，iη，iζ)（△Si）zx,分别为P在有向曲面S上沿yz平面的第二型曲面积分，Q在有向曲面S上沿zx平面的第二型曲面积分，并且称⎰⎰S Pdydz+⎰⎰SQdzdx+⎰⎰SRdxdy=RdxdyQdzdxPdydzS++⎰⎰为P,Q,R 在有向曲面S 上的第二型曲面积分.3.2第二型曲面积分的性质第二型曲面积分除曲面可加性外，还具有有向性，即⎰-+S Qdy pdx = —⎰+SQdy Pdx ,⎰-+S Qdy pdx +Rdz= —⎰+SQdy Pdx +Rdz,Rdxdy Qdzdx Pdydz S ++⎰⎰-= —Rdxdy Qdzdx Pdydz S++⎰⎰.3.3第一、第二型曲面积分的关系设空间有向曲面S 上任一点的法线正向的方向角为γβα,,，则Rdxdy Qdzdx Pdydz S++⎰⎰=ds R Q P S)cos cos cos (γβα++⎰⎰.4常用计算公式4.1 投影法设P,Q,R 是定义在光滑曲面上S 上的连续函数，且S 的方程z=z(x,y) (x,y)∈D xy D xy 为S 在xy 平面上的投影，则⎰⎰⎰⎰-=SD xyy x z y x P Pdydz )],(,,[.z/xdxdy ，⎰⎰⎰⎰-=SDxyy z y x z y x Q Qdzdx /)].,(,,[dxdy ，⎰⎰⎰⎰-=SDxyy x z y x R Rdydz )],(,,[dxdy.其中S 取上侧同理，当S 的方程为x=x(y,z)时,⎰⎰⎰⎰-=SdDyzy x z y x P Pdydz )],(,,[dydz,⎰⎰⎰⎰'-=SydD x z y z y x P Qdzdx XY],),,([dydz.4.2参数法常用球面参数和柱面参数：球面参数：sin cos ,sin sin ,cos x R y R z R θϕθϕθ===，可推广到椭球面. 柱面参数；cos ,sin ,x a y a z z θθ===, 其他参数由于计算复杂使用不多.4.3单一坐标平面投影法设以Oxy 平面为投影面SPdydz Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰('')xy DzP z Q R dxdy ε=--+⎰⎰,以Oyz,Ozx 平面为投影面情况类似.4.4分项投影法分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性：SPdydz Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰=SSSPdydz Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰,分别将右式三项投影到Oyz,Ozx,Oxy 平面上，由于1SD Pdydz Pdydz =⎰⎰⎰⎰，1SD Pdydz Pdydz =⎰⎰⎰⎰，1SD Pdydz Pdydz =⎰⎰⎰⎰.分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上求偏导的计算，此法非常实用，看似复杂，实则简单，非常实用.计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对应要分片投影，如一个完整的球投影到xoy 平面上，上下半球曲面要分别投影计算.计算中注意利用方向性等性质以简化计算.4.5奥高公式设空间有界去区域V 的边界为S ，函数P,Q,R 在V 及S 上具有一阶连续偏导数.则⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂Vdxdydz xR x Q x p )(,其中S 取正向. 5 Mathematica 相关知识5.1曲面表示法(1)直角坐标显式：z=z(x,y);(2)直角坐标隐式：F （x,y,z ）;(3)参数形式：x=x(u.v),y=(u,v),z=(u.v);(4)数据形式：即将曲面上的点表示为{}ijx x =,{}ijy y ={}ij z z =,)...3,2,1(m i =;)...3,2,1(n j =. 5.2曲面绘制法显示曲面z=f(x,y)绘图函数的调用格式： Plot3D[f(x,y),{x,x1,x2},{y,y1,y2},可选项]例1 绘制函数z=x 4+y 4—18(x 2+y 2)在区域-4≦x ≦4，—4≦y ≦4上的图形5.3 隐式曲面F （x,y,z ）=0绘图函数的调用格式：ContourPlot3D[F(x,y,z),{x,x1,x2},{y,y1,y2},{z,,z1,z2},可选项]5.4 Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]:计算累次积分6第二型曲面积分的计算6.1 用mathematica 计算例2 求曲面积分⎰⎰Szd σ，其中S 是球面2222b z y x =++，被平面z=h(0<h<b)所截和顶部z h ≥-4 -2 02 4200 400 -4-2024图1解 首先取b=2,h=1画出曲面，确定投影区域：a1 = Plot3D[Sqrt[2^2 - x^2 - y^2], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, DisplayFunction -> Identity];a2 = Plot3D[1, {x, -2, 2}, {Y, -2, 2}, DisplayFunction -> Identity]; Show[a1, a2, AxesLabel -> {"x", "y", "z"}, AspectRatio -> Automatic, DisplayFunction -> $DisplayFunction]-2-112y 00.511.52z-2-1012x易知，曲面S 在xoy 平面上的投影区域D 是2222h b y x -≤+，根据被积函数和积分区域的特点，采用极坐标计算曲面积分： z[x_, y_] := Sqrt[b^2 - x^2 - y^2];d = 1/z[x, y]*Sqrt[1 = D[z[x, y], x]^2 + D[z[x, y], y]^2]/{x -> r*Cos[t], y -> r*Sin[t]}Integrate[d*r, {t, 0, 2pi}, {r, Sqrt[b^2 - h^2]}]])[][(222222h Log h hb b Log b -=π.6.2分项投影法例3 计算积分⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(，∑为球面x 2222R z y =++取外侧.解：对积分()dxdy y x ⎰⎰∑+，分别用后前和∑∑记前半球面和后半球面的外侧.图2则有∑前：222z y R x --= ,D yz : y 222R z ≤+, ∑后: 222z y R x ---=,D yz : y 222R z ≤+,因此, ()dxdy y x ⎰⎰∑+=⎰⎰⎰⎰∑∑+后前()⎰⎰-+--=yzD dydz y z y R 222()⎰⎰=+---yzD dydz y z y R 222=-===========--=⎰⎰⎰⎰≤+==2222022sin ,cos 222 82R z y Rr z r y rdr r R d dydz z y R πθθθ()3023223432214R r R R r r ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--===. 对积分dx dz z y ⎰⎰∑-)(, 分别用右∑和左∑记右半球面和左半球面的外侧, 则有右∑: ,222x z R y --= 222 :R z x D zx ≤+; 左∑: ,222x z R y ---= 222 :R z x D zx ≤+.因此, =-⎰⎰∑dydz z y )(⎰⎰∑右+⎰⎰∑左=()()⎰⎰⎰⎰--------=zxzxD D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222⎰⎰≤+=--=2223222342R z x R dzdx x z R π.对积分dxdy x z ⎰⎰∑+)3(, 分别用上∑和下∑记上半球面和下半球面的外侧, 则有上∑: ,222y x R z --= 222 :R y x D xy ≤+; 下∑: ,222y x R x ---= 222 :R y x D xy ≤+.因此, dxdy x z ⎰⎰∑+)3(=⎰⎰∑上+ ⎰⎰∑下=()()⎰⎰⎰⎰=+----+--=xyxyD D dxdy x y x R dxdy x y x R 33222222⎰⎰≤+=--=2223222342R y x R dxdy y x R π.综上, ⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=334343R R ππ=⨯.例4 计算积分I=dxdy z dydz y dydz x S222++⎰⎰，其中S 是三个坐标面与平面x+y+z=1围成的四面体的外表面.解：分析：S 由四面光滑曲面S 1, S 2， S 3， S 4组成，其中S 1, S 2， S 3分别是xoy,zox,yoz 平面上的三角形，S 4是平面x+y+z=1围成在第一卦线中的部分.于是 I=(⎰⎰1S +⎰⎰2S +⎰⎰3S +⎰⎰4S )x dxdy z dzdx y dydz 222++=I 1+ I 2+ I 3+ I 4解法1：由于S 1在yoz 和zox 两个坐标面上的投影为线段 I 1=dxdy z S ⎰⎰12又由于S 1在xoy 平面，于是I 1=0 同理可得I 2，I 3=0I 4=dxdy z dydz y dydz x S 2224++⎰⎰=4⎰⎰⎰⎰≤≤-≤≤--=101022)1(4x xx S y x dxdy z =⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧----10301])1(31[dx x y x =⎰=-103121)1(31dx x .于是I= I 1+ I 2+ I 3+ I 4=41. 6.3 参数法例5 计算积分⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面x 1222=++z y 在x 0,0≥≥y 部分取外侧解：对S ：x 1222=++z y 在x 0,0≥≥y 部分取上下侧得z=±221y x --D xy ={(x,y)0,0,122≥≥≤+y x y x },于是⎰⎰⎰⎰--=SD xydxdy y x xy xyzdxdy 2212 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x⎰⎰⎰⎰-=Sdr r r d xyzdxdy 2010222122sin 41πθθ =⎰=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1022232151)1(1)1(41r d r r6.4利用高斯公式Gauss 公式：()SVP Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y x∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 注意公式只对闭合曲面成立，Gauss 公式将第二型曲面积分转化为三重积分，被积函数（向量场散度）容易求得，有时十分方便求解.如果空间曲面较为复杂但只差一个简单曲面或平面即可构成闭合曲面，则可利用 补面法进行计算，此时也应特别注意方向的判断.例6 计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22,其中S 是边长为b 的正立方体表面并取外侧．图3解 应用高斯公式，所求曲面积分等于⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx xdydz z x y )()(22dxdydz xz y z x y z x y x V ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+∂∂+-∂∂=)()())((22dxdydz x y V⎰⎰⎰+=)(=⎰⎰⎰+bbbdx x y dy dz 000)(=40221b dy b by b b=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰例7 设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正常数.记Ω表面的外侧为,S Ω的体积为,V 证明.)1(2222V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x S=++-⎰⎰分析：由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给出了曲面积分与该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可用相应的三重积分表示，故选用高斯公式进行证明.证明：设,),,(22yz x z y x P = ,),,(22z xy z y x Q -= ),1(),,(xyz z z y x R +=则o∑1∑2∑3∑4∑5∑6xyzbb图4,22xyz x P =∂∂,22xyz y Q -=∂∂.21xyz zR+=∂∂ 由高斯公式知dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x S)1(2222++-⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+=++-=xyzdv dv dv xyz xyz xyz 2)2122(22⎰⎰⎰Ω+=.2xyzdv Vdxdy y x a xy dxdy xyzdz xyzdv a y x a y x y x a ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω≤+----==2222222222)(][2220,2)(cos sin 202223dr r a r d a ⎰⎰-=πθθθ由于 ,0cos sin 20=⎰θθθπd 则⎰⎰⎰Ω=0xyzdv .例8计算曲面积分I=⎰⎰∑++xydxdyyzdzdx xzdydz 32，其中∑为曲面z=1-x )10(422≤≤-z y 的上侧 解：添加平面)14(0:221≤+=∑y x z ，取下侧 则1∑+∑是一个封闭曲面，取外侧，设所围成的空间区域为Ω P=xz,Q=2yz,R=3xyz z z zR y Q x p 302=++=∂∂+∂∂+∂∂ 由奥高公式I=xydxdy yzdzdx xzdydz 32)(11++-⎰⎰⎰⎰∑+∑∑=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω≤+-≤++=+1411422220333y x z y x dxdy zdzxydxdy zdV=⎰=+-100)1(6ππdz z z注：（1）Gauss 公式的条件是：封闭、外侧、片倒是连续，三者缺一不可. （2）正确确定P,Q,R 三个函数，并注意分别对那个变量求偏导数曲面积分计算技巧.若积分曲面∑关于想，x,y,z 具有轮换对称性，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==ds y x z f ds x z y f ds z y x f ),,(),,(),,(,⎰⎰∑++ds y x z f x z y f z y x f ),,(),,(),,(31, .)1(2222V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz xS =++-⎰⎰例9 计算曲面积分⎰⎰∑ds z 2，其中s 是球面2222a z y x =++.解：分析：若按照常规方法来解，计算量相当大，如果用对称函数的特性就非常简捷.球面2222a z y x =++关于x,y,z 具有对称性⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==∴ds z ds y ds x 222⎰⎰⎰⎰∑∑++=∴ds z y x ds z )(312222=223431a ds a π=⎰⎰∑图56.5定义法当单位法向量容易求得，易于表达时可考虑用定义法.例10 计算2Sy dzdx zdxdy +⎰⎰，其中S 是椭球面222144x y z ++=，外侧.此题可利用参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法等多种方法计算，难度不大，答案是163π. 例11计算I=⎰⎰∑++∂ds z y x )cos cos cos (222γβ，其中∑是锥面x 222z y =+(0h z ≤≤ ),cos γβαcos ,cos ,为锥面的外法线的方向余弦. 解：(解法1) 如图：图6图7∑：z=22y x +(0h z ≤≤ )，下侧∑在xoy 面上的投影Dxy：x 222h y ≤+,dS=dxdy z z y x 221++.z 2222,yx y z yx x y x +=+=cos 221yxx zz z ++=α,221cos yx yzz z ++=β,2211cos yxzz ++-=γI=dxdy y x y x y y x x xyD ⎰⎰+-+++)]([22223223=⎰⎰⎰⎰-=-=+ππθ2043222)(hD h dr r d dxdy y x xy解法2利用第一、第二型曲面积分的关系设空间有向曲面S 上任一点的法线正向的方向角为γβα,,，则Rdxdy Qdzdx Pdydz S++⎰⎰=ds R Q P S)cos cos cos (γβα++⎰⎰.I=⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (222γβα=⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222( =42h π-.例12计算⎰⎰∑zdxdy（1）∑为锥面z=22y x +在01≤≤z 部分的下侧； （2）∑为锥面z=22y x +与平面z=1所围曲面的内侧. 解：如下图(1)∑：z=22y x +，01≤≤z ，下侧 D xy ：122≤+y x ,⎰⎰∑zdxdy =-⎰⎰+xyD dxdy y x 22,=-⎰⎰πθ20102dr r d =π32. （2）∑=∑1+∑2∑1：z=22y x +，01≤≤z ，上侧, ∑2：122≤+y x ，下侧, D xy ：122≤+y x .⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21zdxdy =⎰⎰+xy D dxdy y x 22-⎰⎰xy D dxdy =-π31. 小结：将第二型曲面积分化为二重积分的方法一代：将曲面∑的方程代入被积函数; 二投：将曲面∑投影到坐标平面;三定号：由曲面的侧来决定取正号还是负号; 四换域：改变积分域，曲面∑变为投影域.6.6 解题技巧（轮换对称性）例13计算I=⎰⎰∑++++23222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是球面2222a z y x =++的外侧图8图9xyz1∑2∑o1xyD 11解：由轮换对称性I=⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++2322223222)(3)(z y x zdxdy z y x zdxdy ydzdx xdydz =)(33⎰⎰⎰⎰∑∑+下上a =][3xy2222223⎰⎰⎰⎰------xyD D dxdy y x a dxdy y x a a , =⎰⎰--xyD dxdy y x a a 22236=4π.例14 计算曲面积分⎰⎰∑ds z 2，其中s 是球面2222a z y x =++.解：分析：若按照常规方法来解，计算量相当大，如果用对称函数的特性就非常简捷球面2222a z y x =++关于x,y,z 具有对称性,⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==∴ds z ds y ds x 222⎰⎰⎰⎰∑∑++=∴ds z y x ds z )(312222=223431a ds a π=⎰⎰∑. 7结论7.1 主要观点第二型曲面积分的被积函数类型有多种，学生在做题的时候学生容易受思维的局限，对于哪一种的类型不知用何种方法，此外，对于有些类型的题可以一题多解，虽然用其中一种能解决，但有时显得繁琐，这是可以思考它其它种解法，这样使解题变得简单.随着技术的发展，我们还可以借助数学软件Mathematica 进行求解使得计算简单.7.2 启示文章对第二型曲面积分中被积函数类型做了一个系统的归纳，这对在做题时容易辨析用何种方法计算及灵活使用计算技巧，从而能进一步提高学生的解题能力，对公式定理的记忆也有较大的帮助.7.3 局限性由于第二型曲面积分计算灵活性较大，在文章中解题技巧不能一一归纳出.另外，Mathematica 在例题中的应用没能一一写出，本文仅针对几个典型例题进行了分析.7.4 努力方向除了文中所述的理论知识外，由于第二型曲面积分的解题方法﹑技巧是复杂多变的，而且要有一定的实践经验为基础.在今后的学习和实践中将不断的深入研究，结合具体的实践经验，以弥补文章中的许多不足之处.参考文献[1]刘玉琏.数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社，2003:11-19.[2]富景龙.数学试题精选与大体技巧 [M].北京：高等教育出版社，2000:89-99.[3]薛嘉庆.高等数学题库精编（理工类）[M].沈阳：东北大学出版社，2000:198-200.[4]刘国均，陈绍业.数学分析简明教程[M].北京：高等教育出版社，2002:111-119.[5]丁晓庆编.21世纪高等院校教材（工科数学分析）[M]. 北京：科学出版社，2008:61-75.[6]刘莲芬.曲线积分和曲面积分的教学探索[J].重庆交通学院学报，1988,(7):3-4．[7]余孝华.一类可直接化为累次积分的曲面积分[J].大学数学，1999,(5):2-6.[8]王景克. 高等数学解题方法与技巧[M]. 北京：中国林业出版社，2002:111-119.[9]线积分与曲面积分解题技巧[J].有色金属高教研究，1995,(4):4-6.[10]HB.巴格莫洛夫.代数与微积分自学辅导[J]，1999,(9):3-6.[11]四川大学数学系高等数学教研室. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2001:56-64.[12]陈先开.数学题型集粹[M]. 北京：理工大学出版社,2011:17-30.[13]格[14]武燕,张丽,李靖,二类曲线和曲面积分的对称性[J].中国教育技术装备,2008:(5):7-8.[15]阳明盛,林建华.Mathemactica基础及数学软件[M].大连：理工大学出版,2006：151-159.致谢值此论文完成之际，谨在此向四年来给予我关心、帮助的老师、同学和家人表示衷心的感谢！首先，特别感谢我的指导老师李自田老师，在论文的撰写过程中，从选题、编写提纲、资料收集、撰写、修改、最后定稿，他都给予了具体的指导，付出了大量的心血；她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．这篇论文的每个数据，都离不开他的细心指导．其次感谢曲靖师范学院,给我提供了一个很好的学习环境,让我能够顺利完成学业;感谢班主任李冰老师在这四年里对我的帮助；感谢在学习期间给我诸多教诲和帮助的数学与信息科学学院的各位老师；感谢我的朋友和同学，感谢你们在我失意时给我鼓励，在失落时给我支持，感谢你们和我一路走来，让我在此过程中倍感温暖；感谢我的家人，让我可以拥有一个如此温馨的家庭，让我所有的一切都可以在你们这里得到理解与支持，得到谅解和分担.。

第二型曲线积分的计算
第二类曲线积分也称为曲线积分 II，是曲线上的积分，其定义
与第一类曲线积分相似，但需要考虑曲线的方向性。

具体而言，设曲线 C 为定义在 R2 上的有向曲线，函数 f(x,y) 是 C 上的连续函数，则曲线 C 的第二类曲线积分可以定义为：
∫Cf(x,y)dxdy
其中，积分范围 C 是曲线 C 的一个选定的闭式包围圈。

需要注意的是，与第一类曲线积分不同，第二类曲线积分需要考虑曲线的方向性，即积分值取决于曲线 C 的方向。

计算第二类曲线积分的方法有多种，其中常用的方法是利用参数方程计算、三角函数变换计算、代入公式计算等。

在实际应用中，第二类曲线积分经常用于求解力场、流体力学、量子力学等领域，它也是曲线积分中较为重要的一种形式。

第二类曲线积分计算公式曲线积分是数学中的一种重要工具，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种类型，其中第二类曲线积分是较为复杂的一种。

本文将介绍第二类曲线积分的计算公式及其应用。

一、第二类曲线积分的定义第二类曲线积分是指沿着给定曲线进行积分，积分函数为一个向量场。

具体来说，设曲线C为一条光滑曲线，向量场F为一个连续可微函数，那么曲线C上的第二类曲线积分可以表示为：∫CF·ds其中，ds表示曲线C上的线元，F·ds表示向量F与ds的点积。

二、第二类曲线积分的计算公式计算第二类曲线积分的方法有很多种，其中最常用的方法是格林公式。

格林公式是一种将曲线积分转化为面积积分的方法，其公式为：∫CF·ds = D(Q/x - P/y)dA其中，D表示曲线C所包围的区域，P和Q为向量场F的两个分量。

格林公式的应用需要满足一定的条件，即向量场F在D内是连续可微的。

如果F在D内不满足这个条件，那么可以通过对D进行分割，将其分成若干个小区域，在每个小区域内应用格林公式，最后将结果相加得到整个区域D上的曲线积分。

三、第二类曲线积分的应用第二类曲线积分在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

例如，在电磁学中，电场的环量可以用第二类曲线积分来表示。

在机械工程中，曲线积分可以用来计算沿着曲线的力的功，以及液体沿着管道流动的工作量。

在计算机科学中，曲线积分可以用来计算图像的边缘。

四、结语第二类曲线积分是数学中的一个重要工具，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

本文介绍了第二类曲线积分的定义、计算公式及其应用。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的计算方法，以获得准确的结果。

第二型曲面积分的计算方法“同学们，今天咱们来好好讲讲第二型曲面积分的计算方法。

”我站在讲台上对着学生们说道。

那什么是第二型曲面积分呢？简单来说，它就是与曲面的定向有关的积分。

那怎么计算呢？这可是有不少方法和技巧的哦。

先来说说利用高斯公式来计算。

就拿这样一个例子来说吧，有一个曲面是由方程 z = x^2 + y^2 所确定的，上半球面，我们要求它上面的第二型曲面积分。

这时候我们就可以通过构建一个封闭的立体区域，然后应用高斯公式，把曲面积分转化为三重积分来计算，这样往往会让计算变得简单很多。

还有一种方法是利用投影法。

比如有一个曲面是一个斜着的圆柱面，我们要计算它上面的第二型曲面积分。

我们就可以把这个曲面投影到某个坐标平面上，然后根据投影的形状和相关的计算公式来进行计算。

再比如说参数法，这也是很常用的。

假设我们有一个复杂的曲面，它可以用一组参数方程来表示，那么我们就可以根据参数方程来计算第二型曲面积分。

就像有一个螺旋面，通过合适的参数化，就能很好地利用参数法来计算积分。

当然啦，在实际计算中，可能会遇到各种复杂的情况，这就需要我们灵活运用这些方法，有时候可能还需要结合其他的数学知识和技巧。

比如曾经有一道题，是求一个很不规则的曲面的第二型曲面积分，这个曲面既有弯曲的部分，又有一些特殊的边界条件。

那我们就综合运用了高斯公式和投影法，先利用高斯公式把它转化为一个相对简单的三重积分，然后再通过仔细分析投影的情况，确定积分的上下限，最终成功计算出了结果。

同学们，第二型曲面积分的计算方法是很重要的，它在很多领域都有广泛的应用，比如流体力学、电磁学等等。

大家一定要好好掌握这些方法，多做一些练习题，这样才能在遇到实际问题时游刃有余。

“好了，下面大家自己动手做几道练习题试试吧，有什么问题随时问我。

”我看着学生们说道。

高中数学中的曲线积分与曲面积分计算数学作为一门基础学科，贯穿于我们的学习生涯中。

在高中数学中，曲线积分和曲面积分是比较复杂的概念和计算方法，但却是非常重要的一部分。

本文将深入探讨曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用。

一、曲线积分曲线积分是对沿曲线路径的函数进行积分的过程。

在高中数学中，我们通常会遇到两种类型的曲线积分：第一类和第二类曲线积分。

第一类曲线积分是对标量函数沿曲线的积分。

具体来说，设曲线C为参数方程x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

那么曲线积分的计算公式为：∫f(x,y,z)ds=∫f(f(t),g(t),h(t))√(dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²dt其中，ds表示曲线C上的微小弧长。

第二类曲线积分是对向量函数沿曲线的积分。

具体来说，设曲线C为参数方程x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

那么曲线积分的计算公式为：∫F(x,y,z)·dr=∫F(f(t),g(t),h(t))·(dx/dt,dy/dt,dz/dt)dt其中，F(x,y,z)为向量函数，dr=(dx,dy,dz)为曲线C上的微小位移向量。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分的过程。

在高中数学中，我们通常会遇到两种类型的曲面积分：第一类和第二类曲面积分。

第一类曲面积分是对标量函数沿曲面的积分。

具体来说，设曲面S为参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中(u,v)∈D。

那么曲面积分的计算公式为：∬f(x,y,z)dS=∬f(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|n|dudv其中，dS表示曲面S上的微小面积，n为曲面S上的单位法向量，|n|为其模长。

第二类曲面积分是对向量函数沿曲面的积分。

具体来说，设曲面S为参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中(u,v)∈D。

求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有:利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法.例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1:A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx x x x dy --= ⎰+Lxdy ydx dx x x x x x x ⎰--+-=2022]2)1(2[ dx xx x x dx xx x x x x x ⎰⎰--+----=2220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2:在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= ⎰+Lxdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy yy ⎰-=102212dy y ⎰--1212dy yy ⎰-=1221210212yy --dyyy ⎰--+102212.0)011(2=---=分析:解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的,在方法类型上与解1相同。