2021届高二数学同步练 空间向量的数量积运算(人教A版选择性必修第一册解析版)

人教版高中数学选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算精讲精练同步训练【考点梳理】考点一空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．2．范围：0≤〈a ，b 〉≤π.，当〈a ，b 〉＝π2时，a ⊥b .考点二空间向量的数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b .即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a ⊥b ⇔a ·b ＝0②a ·a ＝a 2＝|a |2运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )，λ∈R .②a ·b ＝b ·a (交换律)．③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律).考点三向量a 的投影1．如图(1)，在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a 向直线l 投影(如图(2))．2．如图(3)，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到A ′B ′———→，向量A ′B ′———→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′———→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．【题型归纳】题型一：空间向量的数量积的运算1．已知空间中非零向量a ，b ，且2a =，3b =r，,60a b ︒<>=，则23a b -的值为（）．A ．97B ．97C ．61D ．612．平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，1AB AD ==，111AC =，则1A A =（）A ．1B ．2C ．2D ．43．在底面是正方形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12BB =，113A AD A AB π∠=∠=，则1AC =uuu r（）A ．2B ．10C ．3D ．2题型二：空间向量的数量积的应用（夹角和模）4．如图所示，空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos OA <，BC >的值是（）A ．0B ．12C ．32D ．225．已知4a =，空间向量e 为单位向量，23,a e π=，则空间向量a 在向量e 方向上的投影的数量为（）A ．2B ．2-C ．12-D ．126．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且6AB AP ==，2AD =，60BAD BAP DAP ∠=∠=∠=︒，E ，F 分别为PB ，PC 上的点，且2PE EB =，PF FC =，EF =（）A ．1B ．2C ．2D ．6【双基达标】一、单选题7．已知非零向量,a b 不平行，并且其模相等，则a b +与a b -之间的关系是（）A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可以8．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b +=r r （）A ．7B ．10C ．13D ．49．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，1112,45,60AA BAA DAA BAD ∠∠∠====，则1AC =uuu r（）A ．1B ．3C ．9D ．310．已知空间向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，1a =，2b =，7c =，则a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．已知四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，则下列结论中不成立的是（）．A ．AB AB A A A DC C AD =+++-B ．2222AB AC AD AB AC AD ++=++C ．()AB AC AD BC ++⋅=D ．AB CD AC BD AD BC⋅=⋅=⋅12．空间四边形ABCD 各边及对角线长均为2，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅=（）A ．12B ．1C ．2D ．2213．已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则a =1e +2e 与b=1e -22e 的夹角是（）A ．60°B ．120°C ．30°D ．90°14．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是矩形，1111,2,3AB AD AA A AD A AB π===∠=∠=，则1AC =uuu r （）A ．23B ．4C ．32D ．1515．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（）A ．85B ．97C ．12D ．23016．如图在长方体1111-ABCD A B C D 中，设11AD AA ==，2AB =，则1BD AD ⋅等于（）A ．1B ．2C ．3D ．63【高分突破】一：单选题17．已知空间向量(3a =，0，4)，(3b =-，2，5)，则向量b 在向量a 上的投影向量是（）A ．11(325-，2，5)B ．11(338-，2，5)C ．11(325，0，4)D ．11(338，0，4)18．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,AAD AAB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（）A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-19．如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点F ，G 分别是AD ，CD 的中点，则FG AB ⋅=（）A ．34B ．14C ．12D ．3220．设a 、b 为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①22a a =；②2a b b aa⋅=；③()222a b a b ⋅=⋅；④()2222a ba ab b -=-⋅+.其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．421．已知在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，3AB =，4=AD ，5AA '=，120BAD ︒∠=，60BAA ︒'∠=，90DAA ︒'∠=，则AC '的长为（）．A ．52B ．53C ．58D ．5322．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB ，AD 的夹角都等于60︒．若M 是PC 的中点，则||BM →=（）A ．62B ．63C ．64D ．6523．如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（）A ．22B ．10C ．23D ．1424．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB y AC x y AD =+-+-，点N 满足(1)BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时，AM MN ⋅=（）A ．43-B ．43C ．13-D ．13二、多选题25．已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下正确命题有（）A ．()2211111113A A A D A B A B ++=；B ．1111()0AC A B A A ⋅-=；C ．向量AD 与向量1A B uuu r的夹角为60︒；D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD ⋅⋅.26．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列结论正确的是（）A ．211AB AC a ⋅=-B ．212BD BD a ⋅=C ．21AC BA a ⋅=-D ．212AB AC a ⋅=27．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（）A ．()()2211111113A A A D A B A B ++=B ．()11110A C AB A A ⋅-=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为1AB AA AD⋅⋅28．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A ．()()2212AA AB ADAC++=B ．()10AC AB AD ⋅-=C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为63三、填空题29．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则()()a cbc -⋅-的最小值为__________．30．已知,a b 是空间两个向量，若2,2,7a b a b ==-=，则cos ,a b =________．31．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则EF BA ⋅=___________.32．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1AC 的长为______．四、解答题33．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D l 中，CD 1和DC 1相交于点O ，连接AO ．求证：AO ⊥CD 1．34．如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F ，G 分别是AB 、AD 、DC 的中点.求下列向量的数量积：（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD BD ⋅；（3）GF AC ⋅；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r .35．如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：（1）AA AB '⋅；（2）AB '的长；（3）AC '的长．36．在空间四边形OABC 中，E 是线段BC 的中点，G 在线段AE 上，且2AG GE =.（1）试用,,OA OB OC 表示向量OG ；（2）若2OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，求OG AB ⋅的值及OG【答案详解】1．C 【详解】∵()22222323491244991260a b a ba b a b a b cos ︒+--=-=⋅=⨯-⋅⨯+1971223612=-⨯⨯⨯=，∴1263a b -=r r ，故选：C .2．C 【详解】平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，1AB AD ==，111AC =，作图如下：令AB a =，AD BC b ==，11AA CC c ==，则,,,60a b a c b c <>=<>=<>=︒，1a b ==，111AC =，设1A A t =，即c t =，由11AC AB AD AA a b c =++=++，得22221222AC a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅，即2211111112112121280222t t t t t =+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⇒+-=，解得：2t =或4t =-（舍去），即12A A =.故选：C.3．A因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是正方形，1AB =，12BB =，113A AD A AB π∠=∠=，则111111111AC AC C C A D A B A A =+=++uuu r uuu u r uuu r uuuu r uuu u r uuu r，所以()211111111111A C A D A B A A A D A B A A=++=++uuu r uuuu r uuu u r uuu r uuuu r uuu u r uuu r 222111111111111111222A D A B A A A D A B A D A A A B A A=+++⋅+⋅+⋅uuuu r uuu u r uuu r uuuu r uuu u r uuuu r uuu r uuu u r uuu r 222111111111111111122cos 2cos 2cos 2A D AB A D A A AA D A B A A AA B π=++++∠+∠uuuu r uuu u r uuuu r uuu r uuu u r uuu r 64cos 4cos 64233ππππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.4．AOB OC =，∴1··()···cos·cos·()0332OA BC OA OC OB OA OC OA OB OA OC OA OB OA OC OB ππ=-=-=-=-=，cos OA ∴<，0BC >=，故选：A 5．B 【详解】由题意，4a =，1e =，23,a e π=，则空间向量a 在向量e 方向上的投影为2cos13242e e a ea e π⋅⋅==⎛⎫-=- ⎪⎝⨯⎭.故选：B.6．B 【详解】∵2PE EB =，PF FC =，∴1132EF EB BA AP PF BP AB AP PC=+++=--++1111()()()()3232AP AB AB AP AB BC AP AP AB AB AP AB AD AP =--+++-=---+++-111626AB AD AP =-++，又62cos606AB AD AP AD ⋅=⋅=⨯⨯︒=，66cos6018AB AP ⋅=⨯⨯︒=，∴2222111111111626364366186EF AB AD AP AB AD AP AB AD AB AP AD AP⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭1111113643661862364366186=⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯=．7．A因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以()()a b a b +⊥-，故选：A 8．C 【详解】()2222233696cos 609a b a ba ab b a a b b+=+=+⋅+=+⋅︒+13913=++=故选：C 9．D 【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有AC AB AD =+，111AC AC AA AB AD AA =+=++，由题知，1AB AD ==，12AA =，1145BAA DAA ∠∠==，60BAD ∠=，所以1AB AD ==，12AA =，AB 与AD 的夹角为60BAD ∠=︒，AB 与1AA 的夹角为145BAA ∠=︒，AD 与1AA 的夹角为145A AD ∠=︒，所以21AC ()21AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112211cos 60212cos 45212cos 45=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒9=.所以13AC =.故选：D.10．C设a 与b 的夹角为θ．由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方，得2222a a b b c +⋅+=，所以1212cos 47θ+⨯⨯+=，解得1cos 2θ=，又[]0θπ∈，，所以60θ=，故选：C ．11．C 【详解】AB Q 、AC 、AD 两两垂直，则可得AB CD ⊥、AC BD ⊥、AD BC ⊥，且0AB AC ⋅=、0AB AD ⋅=u u u r u u u r、0AC AD ⋅=、0AC BD ⋅=、0AD BC⋅=，∴A 、B 、D 选项均正确，故选：C ．12．A 【详解】空间四边形ABCD 各边及对角线长均为2，所以四边形ABCD 构成的四面体ABCD 是正四面体，四个面是等边三角形，因为E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，所以//AC FG ，1//2AC FG ，()1122GE GB BE BC BD BA =+=-++，12GF CA =，所以()()1144GE GF BC BD BA CA BC CA BD CA BA CA ⋅=-+-⋅=-⋅+⋅-⋅()14BC CA BD BA BC BA CA ⎡⎤=-⋅+⋅--⋅⎣⎦()14BC CA BD BA BD BC BA CA =-⋅+⋅-⋅-⋅()1cos120cos 60cos 60cos 604BC CA BD BA BD BC BA CA =-⋅+⋅-⋅-⋅1111112222422222⎛⎫=--⨯+⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.13．B由题意得a b =(1e +2e )·(1e -22e )=21e 12·2--e e 22e 111122=-⨯⨯-=32-，|a |=2222121122()21113a e e e e e e =+=+⋅+=++=，|b |=2222121122(2)441243b e e e e e e ==++---⋅==.cos ,a b ∴=323||||a b a b -⋅==12-.,120a b ∴=°.故选:B.14．D 【详解】()2111AC AB AD AA AB AD AA =++=++()2221112AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅()144201215=+++++=.故选：D 15．A 【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos 900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=r r，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c '=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=，∴85AC '=，即85AC '=．故选：A ．16．A 【详解】由长方体的性质可知1,,//,1AD AB AD BB AD BC AD BC ⊥⊥==，11BD BA BC BB =++，所以()111BD AD BA BC BB AD BA AD BC AD BB AD ⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅2001BC =++=.故选：A 17．C 【详解】解：向量(3a =，0，4)，(3b =-，2，5)，则||5a =，38b =，·11a b =，所以向量b 在向量a 上的投影向量为()·111111cos ,383,0,452525538a a b a a b a bb a a aa b ==⨯⨯==⨯.故选：C.18．C 【详解】如图：由11,BD AD AB AA =-+2211()BD AD AB AA ∴=-+222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅-⋅+⋅21111211cos 45cos 60c 12161os 0︒︒︒-⨯⨯=⨯+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯32=-,13||2BD ∴=-,19．B 由题意得12FG AC =，所以11111cos60224FG AB AC AB ︒⋅=⋅=⨯⨯⨯=.故选：B 20．B对于①，222cos 0a a a ==，①正确；对于②，向量不能作比值，即ba错误，②错误；对于③，设a 、b 的夹角为θ，则()()2222222cos cos a ba b a b a b θθ⋅=⋅=⋅≤⋅，③错误；对于④，由空间向量数量积的运算性质可得()2222a b a a b b -=-⋅+，④正确.故选：B.21．D 【详解】解：在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，因为A AB AD A C A =+'+'，所以22||()AC AB AD AA ''=++222||||||222AB AD A AB AD AB A A AA A D A =+++⋅⋅''++⋅'91625234cos120235cos6050121553︒︒=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=-+=．所以||53AC ='．22．A 【详解】记→→=AB a ，AD b →→=，AP c →→=，因为1AB AD ==，2PA =，所以||||1a b →→==，||2c →=．又因为AB AD ⊥，60PAB PAD ︒∠=∠=，所以0a b ⋅=，21cos601a c b c ︒⋅=⋅=⨯⨯=．易得BM →=1()2a b c -++，所以2222211||()2()44BM a b c a b c a b a c b c →⎡⎤=-++=+++⨯-⋅-⋅+⋅⎣⎦222131122(011)42⎡⎤=⨯+++⨯-+=⎣⎦，所以6||2BM →=．故选：A 23．B解：因为底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则2=1AB ，2=1AD ，21=4AA ，0AB AD ⋅=uu u r uuu r ，111cos 1AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 1AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++()21=AB AD AA ++222111222AB AD AA AB AA AB AD AD AA =+++⋅+⋅+⋅114202=+++++10=故选：B.24．A因为点M 满足()1AM xAB y AC x y AD =+-+-，所以M ∈平面BCD因为点N 满足(1)BN BA BC λλ=+-，所以N ∈直线AC ，若AM 、BN 最短时，则AM ⊥平面BCD ，BN AC ⊥，所以M 为BCD △的中心，N 为AC 的中点，此时23||3MC =，∵AM ⊥平面,BCD MC ⊂平面BCD ，∴AM MC ⊥，∴22||||||MA AC MC =-222326233⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.又1()2=+MN MC MA ，∴2114()||223AM MN AM MC AM MA MA ⋅=⋅+⋅=-=-.故选：A.25．AB 【详解】A ：11111,,A A A D AB 两两垂直，且11111||||||A A A D A B ==，所以()2222211111111111111111111112223A A A D A B A A A D A B A A A D A D A B A A A B A B ++=+++⋅+⋅+⋅=，正确；B ：由111111A A A D A B AC ++=，所以111111111111()()()A A A D AB AC A B A A A B A A +⋅+⋅-=-221111111112211111111110A A A B A D A B A A A D A A A B A A B A A A B A ⋅⋅-=++-+==-⋅⋅，正确；C ：由正方体性质知：AD ⊥面11ABB A ，而1A B ⊂面11ABB A ，即1AD A B ⊥，即向量AD 与向量1A B uuu r的夹角为90︒，错误；D ：由图知：10AB AA AD ⋅⋅=，正方体1111ABCD A B C D -的体积不为1||AB AA AD ⋅⋅，错误；故选：AB.26．BC 如下图所示：对于A 选项，()2211AB A C AB AC AB AB AD AB a ⋅=⋅=⋅+==，A 选项错误；对于B 选项，()()()()2221112BD BD AD AB BD DD AD ABAD AB AA ADAB a ⋅=-+=--+=+=，B 选项正确；对于C 选项，()()2211AC BA AB AD AA AB AB a ⋅=+⋅-=-=-，C 选项正确；对于D 选项，()2211AB AC AB AB AD AA AB a ⋅=⋅++==，D 选项错误.故选：BC.27．AB 【详解】由向量的加法得到：111111A A D A A C A B ++=，∵22111A C 3A B =，∴()()22111A C3A B =，所以A 正确；∵1111AB A B A A -=，AB 1⊥A 1C ，∴11A C AB 0⋅=，故B 正确；∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的夹角为60°，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120°，故C 不正确；∵AB ⊥AA 1，∴1AB AA 0⋅=，故1AB AA AD ⋅⋅＝0，因此D 不正确.故选：AB.28．AB 【详解】以顶点A 为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB ADAB AD AB AD=+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭，所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD=⋅-⋅+-⋅+⋅-=0,所以B 正确.向量11B C A D =,显然1AA D △为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以11116cos ===6||||23BD ACBD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：AB 29．1 2.-【详解】·0＝a b ，且a b c ，，均为单位向量，∴()22222211202+=+=++⋅=++⨯=a b a ba b a b ，|c |=1，21=c ,∴()()()()21-⋅-=⋅-++⋅-⋅=+a c b c a b a b c c a b c .设a b +与c 的夹角为θ，则()()1cos 12cos θθ-⋅-=-+=-a c b c a b c .故()()a cbc -⋅-的最小值为1 2.-故答案为：1 2.-30．18因为2,2,7a b a b ==-=，所以()22227a b a a b b -=-⋅+=，解得12a b ⋅=，所以112cos ,228a b a b a b ⋅===⨯⋅，故答案为：1831．14【详解】设,,AB a AC b AD c ===，则1a b c ===且两两夹角为60︒所以12a b b c a c ⋅=⋅=⋅=()11222c aEF BD AD AB -==-=，BA AB a =-=-所以()()211224EF BA c a a c a a -⋅=-⋅-=⋅=-故答案为：1432．5【详解】因为111AC A A AC A A AB AD =+=++，所以()2222211111=222AC A A AB AD A A AB AD A A AB A A AD AB AD =+++++⋅+⋅+⋅944232cos60232cos60017125=++-⋅⋅︒-⋅⋅︒+=-=，所以15A C =，所以1AC 的长为5，故答案为：5.33∵1111()22AO AC CO AB AD CD AB AD CD DD =+=++=+++1111112222AB AD CD DD AB AD DD =+++=++∴11111()22AO CD AB AD DD AB DD ⎛⎫⋅=++⋅-+ ⎪⎝⎭11111111102222AB AB AD AB DD AB AB DD AD DD DD DD =-⋅-⋅-⋅+⋅+⋅+⋅=，∴1AO CD ⊥，即AO ⊥CD 1.34．【详解】（1）在空间四边形ABCD 中||||AB AC a ==，且,60AB AC 〈〉=︒，∴21cos 602AB AC a a a ⋅=⋅︒=.（2）AD a =，BD a =，,60AD BD 〈〉=︒，∴221cos 602AD BD a a ⋅=︒=.（3）12GF a =，||AC a =，又//GF AC ，,GF AC π〈〉=，∴2211cos 22GF AC a a π⋅==-.（4）∵12EF a =，BC a =，//EF BD ，∴,,60EF BC BC BD 〈〉=〈〉=︒.∴2211cos 6024EF BC a a ⋅=︒=.35．（1）1cos 6054102AA AB AA AB ''⋅=⋅⋅=⨯⨯=；（2）AB AA A B ''''=+，()()222222252101661AB AA A B AA AB AA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+=，61AB '=，即AB '的长为61；（3）AC AC CC AB AD AA '''=+=++，()()222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅11169252054358522⎛⎫=++++⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，85AC '∴=，即AC '的长为85.36．【详解】（1）2212()3333OG OA AG OA AE OA OE OA OA OE =+=+=+-=+121111()332333OA OB OC OA OB OC =+⨯+=++；（2）1()()3OG AB OA OB OC OB OA ⋅=++⋅-221()3OB OA OC OB OC OA =-+⋅-⋅2217(3234cos6042cos60)33=-+⨯︒-⨯︒=，222211()22233OG OA OB OC OA OB OC OA OB OB OC OA OC =++=+++⋅+⋅+⋅2221234224cos60234cos603=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒73=．。

3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一 空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．2．范围：a ，b∈[0，π]，其中，(1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当a ，b＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答]1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝a ，－b ＝a ，b ，对吗？提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，∴－a ，b＝a ，－b ＝π－a ，b ．知识点二 空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b＝|a ||b |cosa ，b ．(2)运算律：①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立．4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b？ 提示：不能，向量没有除法，k b无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？ 提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cosa ，b )c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一 空间向量的数量积运算【例1】 如下图所示，已知正三棱锥A ­BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°. ∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)． 解：如图所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二 利用数量积求夹角【例2】 如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【分析】 求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→与AC →所成的角，因此可先求BA 1→·AC →，再求|BA 1→|，|AC →|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)＝BA →·BC →－BA→2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA →＝－1. 又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC→|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1.而|A 1B →|＝|AC →|＝2，∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12，∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 类型三 利用数量积求距离【例3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【分析】 转化为求向量MN →的模，然后将向量MN →分解，再根据数量积运算性质进行求解． 【解】 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 所以|MN |＝53a .求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使直线AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°， ∴AC →·CD →＝0，同理BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD→2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4 〈BA →，CD →〉＝60°， 2〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD →|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2. 类型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 如下图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .【分析】 本题考查利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC 中找出两相交向量与向量B 1O →垂直．【证明】 不妨设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝0.由题图得：PA →＝PD →＋DA →＝－12AA 1→－AD →＝－b －12c ，PC →＝PD →＋DC →＝－12AA 1→＋AB →＝a －12c ，B 1O →＝B 1B →＋BO →＝－c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b －c .∵PA →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝12a ·b －12b 2＋b ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2， PC →·B 1O →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝－12a 2＋12a ·b －a ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，又∵|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0，∴PA →·B 1O →＝0，PC →·B 1O →＝0.∴PA →⊥B 1O →，PC →⊥B 1O →. ∴PA ⊥B 1O ，PC ⊥B 1O .又∵PA ∩PC ＝P ，∴B 1O ⊥平面PAC .用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：如图．方法一：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0.AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .方法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， ∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0，即AB →·(AD →－AC →)＝0，a ·(c －b )＝0，即a ·c ＝b ·a . ∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0，即AC →·(AD →－AB →)＝0，b ·(c －a )＝0， 即b ·c ＝b ·a .∴a ·c ＝b ·c ，c ·(b －a )＝0， 即AD →·(AC →－AB →)＝0，AD →·BC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( C)A.AB →·A 1C 1→＝2a 2B.AB →·AC 1→＝2a 2C.AB →·AO →＝12a 2D.BC →·DA 1→＝a 2解析：∵AB →·AO →＝AB →·12AC 1→＝12AB →·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(AB →2＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→)＝12AB →2＝12|AB →|2＝12a 2. 2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( B ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2解析：|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于－2.解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 4．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于 5.解析：(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2. BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ， ∴BD ⊥平面ADC .。

课时作业2空间向量的数量积运算【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则AC →·AD 1→等于()A ．0B ．1C.12D ．－12．已知m ，n 是异面直线，且m ⊥n ，e 1，e 2分别为取自直线m ，n 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为()A ．－6B ．6C ．3D ．－33．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于()A.97B ．97C.61D ．614．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．05．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是()A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能6.如图所示，在三棱锥A ­BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →等于()A ．0B ．1C ．2D ．37．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则〈a ，b 〉等于()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．(多选题)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是()A ．四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→|B.AD 1→与A 1B →的夹角为60°C ．(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2D.A 1C →·(A 1B 1→－A 1D 1→)＝0二、填空题9．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝2，EF ＝4，CA ＝CB ＝3，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于11．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为三、解答题12.如图所示，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．13．在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．14．(多选题)下列命题中不正确的是()A ．|a |－|b |<|a ＋b |是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝0C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB →·BC →＝12D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP →＝13OA →＋23OB →＋OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面15．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →，则实数λ的值为16.如图，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD.(1)求证：CC 1⊥BD .(2)试求当CDCC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD?课时作业2空间向量的数量积运算【解析版】时间：45分钟一、选择题1．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则AC →·AD 1→等于(B )A ．0B ．1C.12D ．－1解析：AC →·AD 1→＝(AB →＋AD →)·(AD →＋AA 1→)＝AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →2＋AD →·AA 1→＝0＋0＋1＋0＝1.故选B.2．已知m ，n 是异面直线，且m ⊥n ，e 1，e 2分别为取自直线m ，n 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为(B )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵m ⊥n ，∴e 1⊥e 2，即e 1·e 2＝0，由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.故选B.3．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于(C )A.97B ．97C.61D ．61解析：|2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61，∴|2a －3b |＝61.故选C.4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为(B )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：①②正确；∵AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确．故选B.5．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是(A )A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能解析：由题意知|a |＝|b |，∵(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．故选A.6.如图所示，在三棱锥A ­BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →等于(A)A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵AE →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－2DA →＋DC →)·(DC →－DB →)＝12DB →·DC →－12DB →2－DA →·DC →＋DA →·DB →＋12DC →2－12DC →·DB →，又易知DB →·DC →＝0，DA →·DC →＝0，DA →·DB →＝0，|DB →|＝|DC →|，∴AE →·BC →＝0.故选A.7．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则〈a ，b 〉等于(B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：根据a ·(2b －a )＝0，即2a ·b ＝|a |2＝4，解得a ·b ＝2，又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝22，〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝45°.故选B.8．(多选题)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是(ACD )A ．四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→|B.AD 1→与A 1B →的夹角为60°C ．(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2D.A 1C →·(A 1B 1→－A 1D 1→)＝0解析：如图．由AB ⊥平面BB 1C 1C 得AB ⊥BC 1，所以四边形ABC 1D 1的面积为|AB →|·|BC 1→|，故A 正确；∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又∵A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的夹角为60°，但是向量AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故B 错误；由向量加法的运算法则可以得AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→＝AC 1→，∵AC 1→2＝3A 1B 1→2，∴(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2，故C 正确；由向量运算可得A 1B 1→－A 1D 1→＝D 1B 1→，∵在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 中，D 1B 1⊥平面AA 1C 1C ，∴D 1B 1⊥A 1C ，∴A 1C →·D 1B 1→＝0，故D 正确．故选ACD.二、填空题9．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝3π4.解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝3π4.10.如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝2，EF ＝4，CA ＝CB ＝3，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于16.解析：由题意可得BC →2＝9＝(AC →－AB →)2＝AC →2＋AB →2－2AC →·AB →＝9＋4－2AC →·AB →，∴AC →·AB →＝2.由AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，可得AB →·(AB →＋BE →)＋AC →·(AB →＋BF →)＝AB →2＋AB →·BE →＋AC →·AB →＋AC →·BF →＝4＋AB →·(－BF →)＋2＋AC →·BF →＝6＋BF →·(AC →－AB →)＝6＋12EF →·BC →＝7.∴EF →·BC →＝2，即4×3×cos 〈EF →，BC →〉＝2，∴cos 〈EF →，BC →〉＝16.11．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为－310.解析：由题意知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝32×515，由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，即|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－310.三、解答题12.如图所示，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c .(2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.13．在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．解：∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162，∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.14．(多选题)下列命题中不正确的是(ACD )A ．|a |－|b |<|a ＋b |是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝0C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB →·BC →＝12D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP →＝13OA →＋23OB →＋OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面解析：由|a |－|b |<|a ＋b |，知向量a ，b 可能共线，比如共线向量a ，b 的模分别是2,3，故A 错误；在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝(AC →＋CB →)·CD →－CB →·AD →－AC →·BD →＝AC →·(CD →－BD →)＋CB →·(CD →－AD →)＝AC →·CB →＋CB →·CA →＝0，故B 正确；AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝1×1×cos120°＝－12，故C 错误；由13＋23＋1＝2≠1可知P ，A ，B ，C 四点不共面，故D 错误．故选ACD.15．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →，则实数λ的值为1－22.解析：如图，CP →＝－AC →＋AP →＝－AC →＋λAB →，故CP →·AB →＝(λAB →－AC →)·AB →＝λ|AB →|2－|AB →||AC →|cos APA →·PB →＝(－λAB →)·(1－λ)AB →＝λ(λ－1)|AB →|2，设|AB →|＝a (a ＞0)，则a 2λ－12a 2＝λ(λ－1)a 2，解得λ＝1＝1＋22舍16.如图，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .(1)求证：CC 1⊥BD .(2)试求当CDCC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD?解：(1)证明：设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c .由题意得|a |＝|b |，BD →＝CD →－CB →＝a －b .CD →，CB →，CC 1→两两夹角的大小相等，设为θ，于是CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ＝0，∴CC 1⊥BD .(2)要使A 1C ⊥平面C 1BD ，只需A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1.由CA 1→·C 1D →＝(CA →＋AA 1→)·(CD →－CC 1→)＝(a ＋b ＋c )·(a －c )＝a 2－a ·c ＋a ·b －b ·c ＋c ·a －c 2＝|a |2－|c |2＋|a |·|b |cos θ－|b |·|c |cos θ＝(|a |－|c |)(|a |＋|c |＋|b |cos θ)＝0，得当|c |＝|a |时，A 1C ⊥DC 1.而由(1)知CC 1⊥BD ，又BD ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∴A 1C ⊥BD .综上可得，当CDCC 1＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD .。

第一章 1.1 1.1.21．下列命题中，不正确的有( D )①a ·a ＝|a |；②m (λa )·b ＝(mλ)a ·b ；③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ；④a 2b ＝b 2a ． A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个[解析] ④中a 2b ≠b 2a ，①②③均正确，选D ．2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －3b |等于( A ) A ．7 B ．10 C ．13 D ．4[解析] |a －3b |＝(a －3b )2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝1－6×1×1×12＋9＝7．3．已知空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( D )A ．12B ．22C ．－12D ．0[解析] OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB＝12|OA →||OC →|－12|OA →||OB →|＝0， 所以OA →⊥BC →．所以cos 〈OA →，BC →〉＝0．4．若a ，b ，c 为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a －b ＋2c |＝__5__． [解析] |a －b ＋2c |2＝(a －b ＋2c )2 ＝a 2＋b 2＋4c 2－2a ·b ＋4a ·c －4b ·c ＝5． ∴|a －b ＋2c |＝5． 5．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →与A 1P →所成角的大小为__60°__，B 1C →·A 1P →＝__1__．[解析] 方法一：连接A 1D (图略)，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角，连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°，因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1．方法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1．由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，即cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝12，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°．。

1.1.2 空间向量的数量积运算课后·训练提升基础巩固1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:a·b=|a||b|⇒cos<a,b>=1⇒<a,b>=0°,即a与b共线.反之不成立,当a与b反向共线时,a·b=-|a||b|.2.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=√2,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案:B解析:由已知得,a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,所以a·b=2,所以cos<a,b>=a·b|a||b|=2×√2=√22,又0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°.3.已知四面体ABCD 的所有棱长都等于2,E 是棱AB 的中点,F 是棱CD 靠近C 的四等分点,则EF ⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-12B.12C.-52D.52答案:D解析:由题意知EF ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ +14CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=-2,所以EF ⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12×2+2+14×(-2)=52,故选D. 4.已知A,B,C,D 是空间中不共面的四点,若(DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案:B解析:∵(DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(DB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即AB=AC.故△ABC 为等腰三角形.5.(多选题)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,关于下列四个结论,正确的是( )A.(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2B.A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°D.正方体的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:AB解析:如图所示,(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,故A 中结论正确;A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 中结论正确;AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的补角,而D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°,故AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,故C 中结论错误;正方体的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,故D 中结论错误.6.已知空间向量a,b,|a|=3√2,|b|=5,m=a+b,n=a+λb(λ∈R),<a,b>=135°,若m ⊥n,则λ的值为 . 答案:-310解析:由题意知a·b=|a||b|cos<a,b>=3√2×5×(-√22)=-15.由m ⊥n,得m·n=(a+b)·(a+λb)=0,即|a|2+(λ+1)a·b+λ|b|2=18-15(λ+1)+25λ=0,解得λ=-310.7.如图,四面体ABCD 的每条棱长都等于2,点E,F 分别为棱AB,AD 的中点,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −EF ⃗⃗⃗⃗ |= ,EF ⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为 .答案:√3π2解析:因为EF ⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos π3=2, 所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −EF ⃗⃗⃗⃗ |2=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗ +14|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4-2+14×4=3. 所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −EF ⃗⃗⃗⃗ |=√3.因为EF ⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. 又<EF ⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >∈[0,π],所以<EF ⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π2. 8.已知空间向量a,b 满足|a|=3,|b|=2,且(a-2b)·(a+b)=5,则a+b 在a 上的投影向量为 . 答案:59a解析:∵(a-2b)·(a+b)=5, ∴|a|2-a·b -2|b|2=5,∴a·b=-4.∴a·(a+b)=|a|2+a·b=5,|a+b|=√|a |2+2a ·b +|b |2=√5. ∴cos<a,a+b>=a ·(a+b )|a ||a+b |=√53, ∴a+b 在a 上的投影向量为|a+b|cos<a,a+b>·a |a |=√5×√53×13a=59a.9.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=4,E 为侧面ABB 1A 1的中心,F 为A 1D 1的中点.试计算: (1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)BF ⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)EF ⃗⃗⃗⃗ ·FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .解:设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)∵ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c-12a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b·(12c -12a +b)=|b|2=16.(2)∵BF ⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-a+12b,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c,∴BF ⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c -a +12b)·(a+c)=|c|2-|a|2=0.(3)∵EF ⃗⃗⃗⃗ =EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c-12a+12b,FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b+a, ∴EF ⃗⃗⃗⃗ ·FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12c -12a +12b)·(12b +a)=14|b|2-12|a|2=2.10.如图,在四面体OACB 中,OB=OC,AB=AC,求证:OA ⊥BC.证明:因为OB=OC,AB=AC,OA=OA, 所以△OAB ≌△OAC,所以∠AOB=∠AOC.所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AOC-|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AOB=0,所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OA ⊥BC. 能力提升1.已知两条异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-12,则这两条异面直线所成的角为( ) A.30° B.60°C.120°D.150°答案:B2.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为1的正方形,若∠A 1AB=∠A 1AD=60°,且A 1A=3,则A 1C 的长为( )A.√5B.2√2C.√14D.√17答案:A解析:∵A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =9+1+1-2×3×1×cos60°-2×3×1×cos60°=5, ∴|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5.3.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA 1=√2,则BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为( )A.-√22B.-√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.-12D.-12AC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:D解析:∵BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1. 又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+2=√3, ∴cos<BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=-√66, ∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=-√22×√2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 4.如图,两条异面直线a,b 所成的角为60°,在直线a,b 上分别取点A',E 和点A,F,使AA'⊥a 且AA'⊥b.若A'E=2,AF=3,EF=√23,则线段AA'的长为 .答案:4或2解析:由题意知FE ⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以FE ⃗⃗⃗⃗ 2=(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵异面直线a,b 所成的角为60°,A'E=2,AF=3,EF=√23, ∴23=9+AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4+0±2×2×3cos60°+0,∴|AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4或|AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 5.已知正三棱柱ABC-DEF 的侧棱长为2,底面边长为1,M 是BC 的中点,若CF 上有一点N,使MN ⊥AE,则CNCF = .答案:116解析:设CN CF=m.∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×1×1×(-12)+4m=0. ∴m=116.6.在四面体OABC 中,棱OA,OB,OC 两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G 为△ABC 的重心,则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )= . 答案:143解析:由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0.如图,取BC 的中点D,连接OD,AD,则AD 经过点G,且AG=23AD,所以OG⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA⃗⃗⃗⃗⃗ +23×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=13(|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=13×(1+4+9)=143. 7.如图,在四面体ABCD 中,AB=CD,AC=BD,E,F 分别是AD,BC 的中点,求证:EF ⊥AD,且EF ⊥BC.证明:∵F 是BC 的中点,∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又E 是AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∵|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 同理AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. ∴2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴EF ⊥AD,且EF ⊥BC.8.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,∠BAA 1=∠DAA 1=π3,AC 1=√26.(1)求侧棱AA 1的长;(2)若M,N 分别为D 1C 1,C 1B 1的中点,求AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及异面直线AC 1和MN 的夹角. 解:(1)设侧棱AA 1=x,由题意知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=x 2,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2.∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26, 即x 2+2x-24=0. ∵x>0,∴x=4. 故侧棱AA 1=4.(2)∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),第11页 共11页 ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×(1-1+2-2)=0, 故异面直线AC 1和MN 的夹角为90°.。

1.1.2空间向量的数量积运算【题组1求空间向量的数量积】1、四面体A BCD -中，各棱长均为a ，点,,E F G 分别是,,AB AD DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（）A．2BA AC ⋅B．2AD BD⋅C．2EF CB ⋅D．2FG AC⋅【答案】BD【解析】依题意，四面体ABCD 是正四面体，对于A，,60BA CA 〈〉=，2222cos120BA AC a a ⋅==-，A 不是；对于B，,60AD BD 〈〉=，2222cos 60AD BD a a ⋅==，B 是；对于C，因,E F 是,AB AD 的中点，则2EF BD =，而,120BD CB 〈〉=，2212cos1202EF CB BD CB a a ⋅=⋅==-，C 不是；对于D，因,F G 是,AD DC 的中点，则2FG AC =，222FG AC AC a ⋅==，D 是.故选：BD2、如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG AB ⋅=（）B．14C．12【答案】B【解析】依题意，,,E F G 分别是,,AB AD DC 的中点，所以,2//1FG AC FG AC =，三角形ABC 是等边三角形，且边长为1.所以111cos 60224FG AB AC AB AC AB ⋅=⋅=⋅⋅︒=.故选：B3、在三棱锥P ABC -中，1PB PC ==，90APB APC ∠=∠=︒，60BPC ∠=︒，则AB PC ⋅=（）A．12C．1【答案】A【解析】因为三棱锥P ABC -中，1PB PC ==，90APB APC ∠=∠=︒，60BPC ∠=︒，所以()1cos 011cos 602AB PC PB PA PC PB PC PA PC PB PC BPC ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠-=⨯⨯︒=4、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A．12B．8C．6D．4【答案】B【解析】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+=故选：B5、如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，圆锥PO 的轴截面PAE 是边长为2的等边三角形，ABC 是底面圆的内接正三角形．则PB PC →→⋅=（）A．32B．52C．72D．92【答案】B【解析】由题得PO ==,120BOC ∠=,21531122PB PC PO OB PO OC PO OB OC →→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B6、棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是线段BC ，AD 上的点，且满足13BE BC =，12AF AD =，则AE CF ⋅=（）A．1324B．12-C．12D．512-【答案】D【解析】由已知111cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，因为13BE BC =，12AF AD =，所以1121()3333AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，12CF AF AC AD AC =-=-，211()()332AE CF AB AC AD AC ⋅=+⋅-212113363AB AD AB AC AC AD AC=⋅-⋅+⋅-2121115()13362312=-+⨯-⨯=-．故选：D．7、在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =1，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅＝（）A．－1B．0C．1D．不确定【答案】B【解析】设E 是AC 中点，由于,AB BC CD DA ==，所以,BE AC DE AC ⊥⊥，由于BE DE E ⋂=，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC BD ⊥.AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅AB CD AD BC=+⋅⋅()D AB AD B B BC C =⋅⋅-+A BD BC AB B AD BC =⋅-+⋅⋅()D BD AB B BC AB BC BD =+=+⋅⋅⋅0AC BD =⋅=.故选：B【题组2利用空间向量求角度】1、已知m →，n →是两个空间单位向量，它们的夹角为60，设向量2a m n →→→=+，32b m n →→→=-+．求：（1）a b →→⋅；（2）向量a →与b →的夹角.【答案】（1）72-；（2）23π【解析】（1）因为m →，n →是两个空间单位向量，它们的夹角为60，所以1cos 602m n n m →→→→⋅==，所以2217232626222a b m n m n m m n n →→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为2222124444172a m n m m n n →→→→→→→⎛⎫=+=+⋅+=+⨯+= ⎪⎝⎭，22221329124912472b m n m m n n →→→→→→→⎛⎫=-+=-⋅+=-⨯+= ⎪⎝⎭所以a →=，b →=又因为72a b →→⋅=-，所以712cos ,2a b a b a b→→→→→→-⋅==-，因为[],0,a b π→→∈，所以23,a b π→→=，即向量a →与b →的夹角为23π.2、在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA 与BC所成角的余弦值．【答案】35-【解析】BC AC AB =-uu u r uuu r uu u rQ ，cos ,cos ,OA BC OA AC OA AB OA AC OA AC OA AB OA AB ∴⋅=⋅-⋅=⋅⋅<>-⋅⋅<>＝8×4×cos 135°－8×6×cos，∴24cos ,85OA BC OA BC OA BC⋅-<>===⨯⋅35-3、如右图所示，已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N 分别是AB、SC 的中点，求异面直线SM 与BN所成角的余弦值．【答案】23【解析】设SA a =，SB b =，SC c =，则|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c 三个向量两两夹角均为60°，∴12a b b c a c ⋅=⋅=⋅=．∵1()()2SM BN SA SB SN SB ⋅=+⋅-11()22a b c b ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭2111222a c a b b c b ⎛⎫=⋅-⋅+⋅- ⎪⎝⎭111111112222222⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪⎝⎭．∴122cos ,3||||SM BN SM BN SM BN -⋅〈〉===-⋅，故所成角的余弦值为234、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA 的长度为4，且11120A AB A AD ︒∠=∠=.用向量法求:（1）1BD 的长；（2）直线1BD 与AC所成角的余弦值.【答案】（1）【解析】（1）111111BD BB B A A D =++，()22222111111111111*********222BD BB B A A D BB B A A D BB B A BB A D B A A D =++=+++⋅+⋅+⋅1644242cos60242cos120024=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+=，故1BD =1BD的长为；（2）()()111111AC BD AB BC BB B A A D ⋅=+⋅++1111111111AB BB AB B A AB A D BC BB BC B A BC A D =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅24cos1204024cos120048=⨯︒-++⨯︒++=-AC ==，由（1）知：1BD =，设直线1BD 与AC 所成角为θ∴111cos cos ,3AC BD AC BD BD AC θ===⋅⋅uuu r uuu ruu uuu r uuu r uuu r u r ，∴直线1BD 与AC 5、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.求：（1）1AC的长；（2）1BD 与AC夹角的余弦值.【答案】；（2）6.【解析】（1）记AB a =，AD b =，1AA c =，则1a b c ===，,,,60a b b c a c <>=<>=<>=，12a b b c a c ∴⋅=⋅=⋅=，()()222221323262AC a b ca b c a b b c a c ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=+⨯=，1AC ∴=，即1AC （2）1BD b c a =+-，AC a b =+，()222212312BD b c a b c a b a c ∴=+++⋅-⋅-⋅=-=，22223AC a b a b =++⋅=，1BD ∴=，AC =又()()2211BD AC b c a a b b a b c a c ⋅=+-⋅+=-+⋅+⋅=，111cos ,BD AC BD AC BD AC⋅∴<>=⋅即1BD 与AC6、如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，E 是AB 的中点，F 在OC 上，且2OF FC =，设OA a =，OB b =，OC c =，（1）用a ，b ，c 表示EF ；（2）求向量OA 与向量EF所成角的余弦值.【答案】（1）112223a b c --+;（2）38-【解析】（1）因为OA a =，OB b =，OC c =，所以()2111232223EF OF OE OC OA OB a b c =-=-+=--+.（2）因为空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，所以四面体OABC 是正四面体，2a b c ===，且a ，b ，c 间的夹角为π3，所以22cos 602a b a c b c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，2112112223223EF a b c a b OA a a ca ⎛⎫=--+=-⋅⋅⋅⋅-+ ⎪⎝⎭211252222233=-⨯-⨯+⨯=-，22222112114122223449233EF a c a b c a b a c b c⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭222114122192222224492339=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=，所以EF =，所以5519,3cos 38OA EF OA EF OA EF -==-⋅⨯，所以向量OA 与向量EF所成角的余弦值为【题组3利用数量积求长度】1、已知空间中非零向量a ，b ，且2a =，3b =r，,60a b ︒<>=，则23a b -的值为（）．B．97D．61【答案】C 【解析】∵()22222323491244991260a b a ba b a b a b cos ︒+--=-=⋅=⨯-⋅⨯+1971223612=-⨯⨯⨯=，∴23a b -=r r C .2、已知空间向量a ､b ､c 是两两互相垂直的单位向量，2a b c ++=_____.【解析】∵空间向量a ､b ､c 是两两互相垂直的单位向量，∴1,0a b c a b b c a c ===⋅=⋅=⋅=，∴2a b c ++=.3、平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13AA =，113BAA DAA π∠=∠=，则1AC 的长度为（）C．【答案】A【解析】因为底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱13AA =，且113BAA DAA π∠=∠=，则2=4AB ，2=4AD ，21=9AA ，0AB AD ⋅=uu u r uuu r，111cos 3AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 3AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++===4、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BC 与1B C 交于点O ，1160A AB A AC ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，14A A =，2AB AC ==，则线段AO 的长度为（）B．2C．2【答案】A【解析】由题设，易知：四边形11BCC B 是平行四边形，()111122BO BC BC BB ∴==+，111111122222AO AB BO AB BC AA AC AB ∴=+=++=++，1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=︒，14A A =，2AB AC ==，224AB AC ∴==，2116AA =，0AB AC ⋅=，1142cos 604AB AA AC AA ⋅=⋅=⨯⨯︒=，()()221222111141222104AO AB AC AA AB AC AA AB AC AB AA AC AA ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=AO ∴=，即AO =．故选：A ．5、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若111112A B A D A A ===，1190AA D ∠=，1111160AA B B A D ∠∠==，则1||B M 的值为（）A．1C．2D．【答案】B【解析】由题平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，111112A B A D A A ===，1190AA D ∠=，1111160AA B B A D ∠∠==，()111111112B M B B BM A A A D A B =+=+-，所以()11111112B M A A A D A B =+-====6、如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，BD 、AC 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且2AB AC BD ===，则CD 的长等于________.【答案】4【解析】由二面角的平面角的定义知,120BD AC =︒，∴cos ,22cos1202BD AC BD AC BD AC ⋅==⨯⨯︒=-，由AC l ⊥，BD l ⊥，得0AC BA ⋅=，0BD BA ⋅=，又DC DB BA AC =++，∴()22222222DCDB BA ACDB BA AC DB BA DB AC BA AC=++=+++⋅+⋅+⋅()2222222122216BD AC =++-⋅=-⨯-=，所以4DC =，即4CD =.7、平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1AB,AD,AA 两两的夹角均为60°,且|AB |=1,|AD |=2,|1AA |=3,则|1AC |等于()A．5B．6C．4D．8【答案】A【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，11AC AB AD CC =++=1AB AD AA ++所以有1AC =1AB AD AA ++，于是有21AC =21AB AD AA ++21AC =2220001112cos602cos602cos60AB AD AA AB AD AB AA AD AA +++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=25所以15AC =，答案选A【题组4利用数量积证明垂直关系】1、已知空间四边形OABC 中，∠AOB =∠BOC =∠AOC ，且OA =OB =OC .M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点；求证：OG ⊥BC .【解析】连ON 由线段中点公式得：),(41)(212121)(21OC OB OA OC OB OA ON OM OG ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=又OB OC BC -=,所以∙OG OB OC OB OB OA OC OC OB OC OA OB OC OC OB OA OB ∙--∙-+∙+∙=-∙++=22(41)()(41)=41(OA 22OB OC OB OA OC -+∙-∙).因为AOC OC OA ∠=∙cos .AOBOB OA ∠=∙cos=，∠AOB =∠AOC .所以BC OG ∙=0,即OG ⊥BC .2、如图，在四面体O ABC -中，M ，N ，P ，Q 分别为BC ，AC ，OA ，OB 的中点，若AB OC =，求证：PM QN ⊥．【答案】证明见解析【解析】如图，设,,OA a OB b OC c ===．因为P，M 分别为OA，BC 的中点，所以111()[()]222PM OM OP b c a b a c =-=+-=-+．因为N ，Q 分别为AC ，OB 的中点，则111()[()]222a c QN ON Qb O ac =-=+-=---r r r r uuu r uur u r u u u r r 所以22111[()]{[()]}(||||)224b a c b a c b a c PM QN ⋅=-+⋅---=---r r r r r r r r uuu r uu r u r ．又因为AB OC =，所以b AB OCc a ==-=r r uu u r uuu r r 所以0PM QN ⋅=uuu r uuu r ，所以PM QN ⊥，即PM QN ⊥．3、已知平行六面体ABCD A B C D ''''-的各棱长均为1，且3A AB A AD BAD π∠=∠=∠=''．求证：AA BD '⊥；【解析】证明：由题意，平行六面体ABCD A B C D ''''-的各棱长均为1，3A AB A AD BAD π∠=∠=∠=''，因为BD AD AB =-，所以()AA BD AA AD AB ''⋅=⋅-AA AD AA AB''=⋅-⋅11cos cos 1111022AA AD A AD AA AB A AB ''=⋅∠-⋅''∠=⨯⨯-⨯⨯=，所以AA BD '⊥.4、如图，四面体OABC 各棱的棱长都是1，D ，E 分别是OC ，AB 的中点，记OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=.（1）用向量,,a b c →→→表示向量DE →；（2）求证DE AB ⊥.【答案】（1）12a b c →→→⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意，11112222DE DO OA AE OC OA AB OC OA OB OA →→→→→→→→→→→⎛⎫=++=-++=-++- ⎪⎝⎭1122OA OB OC a b c →→→→→→⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）根据题意，,,a b c →→→相互之间的夹角为π3，且模均为1，由（1）2211=22DE AB a b c b a a b b c a c →→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+-⋅-=-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111110222⎛⎫=-+-⨯⨯+⨯⨯= ⎝⎭，所以DE AB ⊥.5、如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 11，求证：AB 1⊥BC 1.【解析】证明：11AB AB BB =+，11BC BB BC =+．因为BB1⊥平面ABC，所以10BB AB ⋅=，10BB BC ⋅=．又△ABC 为正三角形，所以2,,33AB BC BA BC ππππ<>=-<>=-=．因为1AB ⋅1BC =1()+⋅AB BB 1()+BB BC AB =⋅1BB AB +211BC BB BB ⋅++•BC⋅＝|AB |⋅|BC |•cos AB <，21BC BB >+=-1+1＝0，所以AB 1⊥BC 1．。

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14， 所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线， 所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )， 则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )， 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0， 所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)， 所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。