数学高考(理)第一轮复习(江苏版)：第25讲几何证明选讲(选修4-1)

2021年高考数学一轮总复习 几何证明选讲课时训练 理（选修4-1）1. 如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，求AB 的长．解：根据题意可以判断Rt △ABE ∽Rt △ECD ，则有AB BE ＝ECCD，可得AB ＝2. 2. 如图，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝52，若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长．解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得△ABC 的周长为25 cm.3. 在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE∥BC，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，求DE∶BC 的值．解：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相似比的平方可得DE ∶BC ＝1∶2. 4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6 cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，求BC 的长．解：∵ 四边形DEFG 是正方形，∴ ∠GDB ＝∠FEC＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm.∵ ∠B＋∠C＝90°，∠B ＋∠BGD＝90°，∴ ∠C ＝∠BGD，∴ △BGD ∽△FCE ，∴ BD EF ＝GDEC，即BD＝EF·GD EC＝12 cm ，∴ BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21 cm.5. 如图，在ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9 cm 2，求S △AOB .解：∵ 在ABCD 中 ，AB ∥DE ，∴ △AOB ∽△EOD ，∴ S △AOB S △DOE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DE 2.∵ E 是CD 的中点，∴ DE ＝12CD ＝12AB ，则AB DE ＝2，∴ S △AOB S △DOE＝22＝4， ∴ S △AOB ＝4S △DOE ＝4×9＝36(cm)2.6. 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上中点，延长BA 到E ，使AE ＝13EB ，连结DE ，交AC于F.求AF∶FC 的值．解：过D 点作DP∥AC(如图)，因为D 是BC 的中点，所以P 为AB 的中点，且DP ＝12AC.又AE ＝13EB ，所以AE ＝AP ，所以AF ＝12DP ＝14AC ，所以AF∶FC＝1∶3.7. 将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF.已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求BF 的长．解：设BF ＝x.若△CFB′∽△CBA， 则CF CB ＝B′F AB ，即4－x 4＝x 3.∴ 12－3x ＝4x ，∴ x ＝127. 若△CFB′∽△CAB，则CF CA ＝B′F AB ，即4－x 3＝x3，得x ＝2.即BF ＝2或127.8. 如图，在△ABC 中，D 是AC 中点，E 是BD 三等分点，AE 的延长线交BC 于F.求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM∥AF 交BC 于M.因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13.因为EF∥DM，所以S △BEFS △BDM＝19，即S △BDM ＝9S △BEF .又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114.9. 如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF＝2DE ·AF.证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N. 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴ DN ＝12BF.∵ DN ∥AF ，∴ △AFE ∽△DNE. ∴ AE AF ＝DE DN. ∵ DN ＝12BF ，∴ AE AF ＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，CE ⊥BD ，交AD 于E ，连结BE ，交AC 于点F.求证：AF ＝FC.证明：取BC 的中点H ，连结AH. ∵ AB ＝AC ，∴ AH ⊥BC. ∵ CE ⊥BD ，∴ AH ∥EC. ∵ CD ＝BC ，∴ CD ＝2CH.则DE ＝2AE.取ED 的中点M ，连结CM.则ME ＝AE. ∵ C 为BD 的中点，∴ CM ∥BE. 则F 为AC 的中点，即AF ＝FC.11. 如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA ，交BA 的延长线于点F.(1) 求证：∠DEA＝∠DFA；(2) 若∠EBA＝30°，EF ＝3，EA ＝2AC ，求AF 的长．(1) 证明：连结AD 、BC. 因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝∠EFA＝90°， 故A 、D 、E 、F 四点共圆， 所以∠DEA＝∠DFA.(2) 解：在Rt △EFA 和Rt △BCA 中，∠EAF ＝∠CAB，所以△EFA∽△BCA，故EA AB ＝AFAC.设AF ＝a ，又EF ＝3，∠EBA ＝30°，所以BF ＝3，则AB ＝3－a ，AE 2＝AF 2＋EF 2＝a 2＋3.所以a(3－a)＝12(3＋a 2)，解得a ＝1.所以AF 的长为1.第2课时 圆的进一步认识(理科专用)1. (xx·南京、盐城期末)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．解：因为P 为AB 中点，所以OP⊥AB，所以PB ＝r 2－OP 2＝32.因为PC·PD＝PA·PB＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.2. 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，求CEEO的值．解：设圆的半径为R ，则AD ＝AB 3＝23R ，OD ＝R －23R ＝13R.又OD 2＝OE·OC，所以OE ＝OD 2OC＝19R ，CE ＝R －19R ＝89R ，所以CEEO＝8.3. 如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，分别求PD 、AB 的值．解：由PD∶DB＝9∶16，可设PD ＝9x ，DB ＝16x.因为PA 为圆O 的切线，所以PA 2＝PD·PB，所以32＝9x·(9x＋16x)，化为x 2＝125，所以x ＝15.所以PD ＝9x ＝95，PB ＝25x ＝5.因为AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，所以AB⊥PA.所以AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.4. (xx·苏北三市期末)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C＝50°，求∠DEF 的度数．解：由圆D 与边AC 相切于点E ，得∠AED＝90°.因为DF⊥AF，得∠AFD＝90°，所以A 、D 、F 、E 四点共圆， 所以∠DEF＝∠DAF.又∠ADF＝∠ABD＋∠BAD＝12(∠ABC＋∠BAC)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C ，所以∠DEF＝∠DAF＝90°－∠ADF＝12∠C.由∠C＝50°，得∠DEF＝25°.5. 自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP＝∠MPB.证明：∵ PA 与圆相切于A ，∴ MA 2＝MB·MC.又M 为PA 的中点，∴ PM ＝MA ，∴ PM 2＝MB·MC，∴ PM MC ＝MB PM.∵ ∠BMP ＝∠PMC，∴ △BMP ∽△PMC ，∴ ∠MCP ＝∠MPB.6. (xx·镇江期末)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE⊥AC.求证：AC ＝2OD.证明：∵ DE 是圆O 的切线，∴ OD ⊥DE. 又DE⊥AC，∴ OD ∥AC.∵ O 是AB 的中点，∴ OD 是△ABC 的中位线，∴ OD ＝12AC ，即AC ＝2OD.7. (xx·南京、盐城一模)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．(1) 证明：因为AE 与圆相切于点A ， 所以∠BAE＝∠ACB.因为AB ＝AC ，所以∠ABC＝∠ACB. 所以∠ABC＝∠BAE.所以AE∥BC.因为BD∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．(2) 解：因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE ＝4.根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6.设CF ＝x ，由BD∥AC，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83.8. (xx·盐城二模)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．解：∵ AB 是圆O 的直径且BC ＝CD ，∴ AB ＝AD ＝10. 连结CO ，∵ EC 为圆O 的切线，∴ EC ⊥CO. 记H 是AD 与圆O 的交点，连结BH ， ∴ EC ∥BH ，∴ HE ＝ED ＝3，∴ AH ＝4，∴ BD 2－62＝AB 2－42，∴ BD ＝230，∴ BC ＝30.9. 如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交CD 的延长线于点P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2.(1) 求AC 的长； (2) 求证：BE ＝EF.(1) 解：∵ PA 2＝PC·PD，PA ＝2，PC ＝1，∴ PD ＝4. 又PC ＝ED ＝1，∴ CE ＝2.∵ ∠PAC ＝∠CBA，∠PCA ＝∠CAB，∴ △PAC ∽△CBA ，∴ PC AC ＝ACAB，∴ AC 2＝PC·AB＝2，∴ AC ＝ 2.(2) 证明：∵ BE＝AC ＝2，CE ＝2，而CE·ED＝BE·EF，∴ EF ＝2×12＝2，∴ EF＝BE.10. (xx·南京二模)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD·EC.证明：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD＝∠CAE. 因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD， 所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC.所以AD BD ＝ECCA，即AD·CA＝BD·EC.因为△ACD 为等边三角形， 所以AD ＝AC ＝CD ，所以CD 2＝BD·EC.11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是圆O 的割线，过点G 作AB 的垂线交AC 的延长线于点E 、交AD 的延长线于点F ，过G 作圆O 的切线，切点为H.求证：(1) C 、D 、F 、E 四点共圆；(2) GH 2＝GE·GF.证明：(1) 如图，连结BC.∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°. ∵ AG ⊥FG ，∴ ∠AGE ＝90°. 又∠EAG＝∠BAC， ∴ ∠ABC ＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴ ∠FDC ＝∠AEG. ∴ ∠FDC ＋∠CEF＝180°. ∴ C 、D 、F 、E 四点共圆．(2) ∵ GH 为圆O 的切线，GCD 为割线，∴ GH 2＝GC·GD.由C 、D 、F 、E 四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC ＝∠GDF，∴ △GCE ∽△GFD.∴ GC GF ＝GEGD，即GC·GD＝GE·GF， ∴ GH 2＝GE·GF.$, 24558 5FEE 忮Z34381 864D 虍 29916 74DC 瓜30001 7531 由o35274 89CA 觊21071 524F 剏24196 5E84 庄36976 9070 遰。

选修 4-1几何证明选讲第 1 课时圆的进一步认识① 理解圆的切线的判断定理和性质定理，圆周角定理，掌握圆的切线的判断定理和性质定弦切角定理，订交弦定理，割线定理，切割线定理和圆理，弦切角定理，割线定理，切割内接四边形的判断定理与性质定理. ②能应用圆的切线定理和圆内接四边形的判断定理线的判断定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，与性质定理，能用这些定理解决有订交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的关圆的问题 .判断定理与性质定理解决与圆有关的问题.1.如图，四边形ABCD是圆 O的内接四边形，已知∠ BOD＝100°，求∠ BCD.1解：由题设∠ BAD＝∠ BOD＝50°，2则∠ BCD＝ 180°－∠ BAD＝ 130° .12.如图， AB是圆 O的直径， MN与圆 O相切于点 C， AC＝2BC，求 sin ∠ MCA的值 .解：由弦切角定理得，∠MCA＝∠ ABC，sin ∠ ABC＝AC AC AC5＝22＝＝ . AB AC＋ BC5AC5 5故 sin ∠ MCA＝ . 53.已知△ ABC内接于圆O，BE是圆 O的直径，AD是 BC边上的高 . 求证：BA·AC＝BE·AD.证明：连接AE.∵ BE 是圆 O的直径，∴ ∠ BAE＝ 90°，∴∠ BAE＝∠ ADC.∵ ∠ BEA＝∠ ACD，∴Rt △ BEA∽ Rt△ ACD.BE AC∴＝，∴ BA· AC＝BE·AD.BA AD4.如图，在圆 O中， M，N 是弦 AB的三均分点，弦 CD， CE分别经过点 M，N. 若 CM＝ 2，MD＝ 4， CN＝ 3，求线段N E的长 .解：设 AM＝ a，由订交弦定理可知，CM·MD＝AM·MB， CN·NE＝AN·NB，即 2×4＝a×2a，83× NE＝2a×a，消去 a 解得 NE＝3.5.如图， EA与圆 O相切于点 A，D 是 EA的中点，过点 D 引圆 O的割线，与圆 O订交于点B， C，连接 EC.求证：∠ DEB＝∠ DCE.证明：∵ EA 与圆 O相切于点A，2由切割线定理得DA＝DB·DC.∵D 是 EA的中点，∴ DA＝ DE.2＝DB·DC.∴DE DB∵ ∠ EDB＝∠ CDE，∴ DE＝.DC DE∴ △ EDB∽△ CDE，∴∠DEB＝∠ DCE.1.圆周角定理（ 1）圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半.（2）推论 1：同弧（或等弧）所对的圆周角相等 . 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 .（ 3）推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角等于90° . 反之， 90°的圆周角所对的弧为半圆（或弦为直径）.2. 圆的切线（ 1）圆的切线的性质与判断① 有关定义：当直线与圆有 2 个公共点时，直线与圆订交；当直线与圆有且只有 1 个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离 .② 切线的判断定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.③切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.④切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等.（ 2）弦切角①定义：极点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆订交的角称为弦切角.②弦切角定理：弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半.③ 推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等，同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角相等3.订交弦定理.订交弦定理：圆的两条订交弦，每条弦被交点分红的两条线段长的积相等.4.切割线定理（1）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 .（ 2）切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项.5.圆内接四边形（ 1）圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补.（ 2）圆内接四边形判断定理：假如四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.[ 备课札记], ,1 圆周角与弦切角定理及应用)1) （2017·苏锡常镇一模）如图，圆O的直径AB＝ 6，C 为圆上一点，BC＝ 3，过点 C 作圆的切线 l ，过点 A 作 l 的垂线 AD，AD 分别与直线 l 、圆交于点 D，E. 求∠DAC的大小与线段 AE的长 .解：如图，连接OC， BE，由于 BC＝ OB＝ OC＝ 3，所以∠ CBO＝ 60° .由于∠ DCA＝∠ CBO，所以∠ DCA＝ 60° .又 AD⊥DC得∠ DAC＝30°.由于∠ ACB＝ 90°，得∠ CAB＝ 30°，所以∠ EAB＝ 60°，进而∠ ABE＝ 30°，1所以 AE＝2AB＝ 3.变式训练如图， CP 是圆 O的切线， P 为切点，直线CO交圆 O于 A， B 两点， AD⊥ CP，垂足为 D.求证：∠ DAP＝∠ BAP.证明：∵ CP 与圆 O 相切，∴∠ DPA＝∠ PBA.∵AB 为圆 O的直径，∴∠ APB＝90°，∴ ∠ BAP＝ 90°－∠ PBA.∵AD⊥ CP，∴∠ DAP＝ 90°－∠DPA，∴ ∠ DAP＝∠ BAP.,2圆的切线的判断与性质),2)如图，∠ PAQ是直角，圆O 与射线AP 相切于点T，与射线AQ订交于 B， C 两点 . 求证： BT 均分∠ OBA.∵AT 是切线，∴ OT⊥ AP.∵∠ PAQ是直角，即 AQ⊥AP，∴ AB∥OT，∴ ∠ TBA＝∠ BTO.又 OT＝ OB，∴∠ OTB＝∠ OBT，∴ ∠ OBT＝∠ TBA，即 BT均分∠ OBA.备选变式（教师专享）AO如图， AC切圆 O于 D，AO的延伸线交圆O于 B，BC切圆 O于 B，若 AD∶AC＝1∶2，求OB 的值 .∵AD∶ AC＝1∶2，∴ D 为 AC的中点 . 又AC切圆 O于 D，∴ OD⊥ AC.∴ OA＝ OC.∴ △ AOD≌△ COD，∴∠1＝∠ 2.又△ OBC≌△ ODC，∴∠ 3＝∠ 2.∴ ∠ 1＝∠ 2＝∠ 3＝ 60°，∴ OC＝ 2OB.AO∴ OA＝ 2OB，即＝ 2.OB,3圆内接四边形的判断与性质),3)（2017·南通、扬州、泰州模拟）如图，已知AB为圆 O的一条弦，点 P 为弧 AB的中点，过点 P 任作两条弦PC，PD，分别交 AB于点 E，F. 求证：PE·PC＝PF·PD.由于∠ PAB＝∠ PCB，点P 为弧 AB的中点，所以∠ PAB＝∠ PBA，所以∠ PCB＝∠ PBA.又∠ DCB＝∠ DPB，所以∠ PFE＝∠ PBA＋∠ DPB＝∠ PCB＋∠ DCB＝∠ PCD，所以 E， F， D，C 四点共圆 .所以 PE·PC＝PF·PD.备选变式（教师专享）如图，已知AP是圆 O的切线， P 为切点， AC是圆 O的割线，与圆O交于 B，C 两点，圆心 O在∠ PAC的内部，点 M是 BC的中点 .（1）求证： A， P， O，M四点共圆；（2）求∠ OAM＋∠ APM 的大小 .（1）证明：连接 OP， OM，由于 AP与圆 O相切于点 P，所以 OP⊥AP.由于 M是圆 O的弦 BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠ OPA＋∠ OMA＝ 180° .由圆心 O在∠ PAC的内部，可知四边形 APOM的对角互补，所以 A， P， O，M四点共圆 .（ 2）解：由（ 1）得 A，P， O， M四点共圆，所以∠ OAM＝∠ OPM.由于 AP是圆 O的切线， P 为切点，所以OP⊥AP，所以∠ OPM＋∠ APM＝ 90°，所以∠ OAM＋∠ APM＝ 90°.,4订交弦定理、割线定理及切割线定理的应用),4)（2017·苏州暑期检测）如图，△ABC是圆 O的内接三角形，PA 是圆 O 的切线， A 为切点， PB 交 AC于点 E，交圆 O 于点 D，若 PE＝ PA，∠ ABC＝ 60°，且 PD ＝1， PB＝ 9，求 EC.解：∵ 弦切角∠ PAE＝∠ ABC＝ 60°，又 PA＝ PE，∴△ PAE为等边三角形 . 由切割线定理有 PA2＝PD·PB＝ 9，∴AE＝ EP＝ PA＝ 3， ED＝EP－ PD＝2， EB＝PB－ PE＝ 6，由订交弦定理有 EC ·EA ＝EB ·ED ＝ 12，∴ EC ＝12÷3＝ 4.变式训练（ 2017·南京、盐城期末）如图， AB 是半圆 O 的直径，点 P 为半圆 O 外一点， PA ， PB 分别交半圆 O 于点 D ， C. 若 AD ＝ 2， PD ＝4， PC ＝ 3，求 BD 的长 .解：由割线定理得 PD ·PA ＝PC ·PB ，则 4×（ 2＋ 4）＝ 3×（ 3＋ BC ），解得 BC ＝ 5.又 AB 是半圆 O 的直径，故∠ ADB ＝ π.2则在 Rt △ PDB 中有 BD ＝ 2264－ 16＝ 4 3.PB － PD ＝ 1. （2017·苏州期末）如图，点 E 是圆 O 内两条弦 AB 和 CD 的交点， 过 AD 延伸线上一 点 F 作圆 O 的切线 FG ， G 为切点，已知 EF ＝ FG.求证： EF ∥CB.2证明：由切割线定理得FG ＝FA ·FD.EF FD又 EF ＝ FG ，所以 EF 2＝FA ·FD ，即 FA ＝ EF . 由于∠ EFA ＝∠ DFE ，所以△ DEF ∽△ EAF ， 所以∠ FED ＝∠ FAE.由于∠ FAE ＝∠ DAB ＝∠ DCB ，所以∠ FED ＝∠ BCD ， 所以 EF ∥CB.2. 如下图，△ ABC 是圆 O 的内接三角形，且 AB ＝ AC ， AP ∥BC ，弦 CE 的延伸线交 AP于点 D. 求证： AD 2＝DE · DC.证明：连接 AE ，则∠ AED ＝∠ B.∵ AB ＝ AC ，∴ ∠ ACB ＝∠ B ，∴ ∠ACB ＝∠ AED.∵ AP ∥ BC ，∴ ∠ ACB ＝∠ CAD ，∴ ∠ CAD＝∠ AED.又∠ ADC＝∠ EDA，∴△ ACD∽△ EAD.CD AD2∴ ＝，即 AD＝DE·DC.AD ED3.（2017·南京、盐城模拟）△ ABC的极点 A，C 在圆 O上， B 在圆 O外，线段 AB与圆O交于点 M.（ 1）如图①，若 BC是圆 O的切线，且 AB＝ 8， BC＝4，求线段 AM的长；（ 2）如图②，若线段 BC与圆 O交于另一点 N，且 AB＝ 2AC，求证： BN＝ 2MN.（ 1）解：由于 BC是圆 O的切线，故由切割线定理得BC2＝BM·BA.设 AM＝ t ，由于 AB＝ 8， BC＝ 4，所以 42＝8（ 8－ t ），解得 t ＝ 6，即线段AM的长度为6.（2）证明：由于四边形 AMNC为圆内接四边形，所以∠ A＝∠ MNB.又∠ B＝∠ B，所以△ BMN∽△ BCA，BN MN所以＝.BA CA由于 AB＝ 2AC，所以 BN＝2MN.4.（2017·常州期末）如图，过圆O 外一点 P 作圆 O 的切线 PA，切点为 A，连接 OP与圆 O交于点 C，过点 C 作 AP的垂线，垂足为 D.若 PA＝ 25， PC∶PO＝1∶3，求 CD的长 .解：延伸 PO交圆 O于点 B，连接 OA.设 PC＝ x（ x＞ 0），则由 PC∶PO＝1∶3，得 PO＝ 3x，则 PB＝ 5x.由于 PA是圆 O的切线，2＝PC·PB，即（ 22），解得 x＝ 2.所以 PA5）＝x·（ 5x故 OA＝ OC＝ 4.由于 PA是圆 O的切线，所以OA⊥PA.CDPC1又 CD⊥PA，则 OA∥CD，所以＝＝ .OAPO34又 OA＝ 4，所以 CD＝3.1.（2017·苏北四市期末）如图， AB 为半圆 O 的直径，点 D为弧 BC的中点，点 E 为BC 的中点 . 求证： AB·BC＝2AD·BD.证明：由于 D 为弧 BC的中点，所以∠ DBC＝∠ DAB， DC＝DB.由于 AB为半圆 O的直径，所以∠ ADB＝ 90°.又 E 为 BC的中点，所以 EC＝ EB，所以 DE⊥BC，所以△ ABD∽△ BDE.所以AB BD2BD＝＝，所以 AB·BC＝2AD·BD. AD BE BC2.如图， AB为圆 O的切线， A 为切点， C 为线段 AB 的中点，过 C 作圆 O的割线 CED，求证：∠ CBE＝∠ BDE.证明：由于CA为圆 O的切线，2所以 CA＝CE·CD.2＝CE·CD，即CB CD又 CA＝ CB，所以 CB＝ .CE CB 又∠ ECB＝∠ BCD，所以△ BCE ∽△ DCB ， 所以∠ CBE ＝∠ BDE.3. 如图， AB 是圆 O 的直径，弦 BD ，CA 的延伸线订交于点 E ，EF 垂直于 BA ，交 BA 的延伸线于点 F. 求证：（ 1） ∠DEA ＝∠ DFA ；（ 2） AB 2＝BE ·BD －AE ·AC.证明：（ 1） 连接 AD ，由于 AB 为圆 O 的直径， 所以∠ ADB ＝ 90° .又 EF ⊥AB ，∠ EFA ＝ 90°，所以 A ， D ， E ，F 四点共圆 . 所以∠ DEA ＝∠ DFA.（ 2） 由（ 1）知， BD · BE ＝BA ·BF ，连接 BC.又△ ABC ∽△ AEF ，AB AC∴＝，即 AE AFAB ·AF ＝AE ·AC.∴ BE · BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝ AB （ BF － AF ）＝ AB 2.4. 如图，直线 AB 与圆 O 相切于点 B ，直线 AO 交圆 O 于 D ，E 两点， BC ⊥ DE ，垂足为 C ，且 AD ＝ 3DC ， BC ＝ 2，求圆 O 的直径 .解：由于 DE 是圆 O 的直径，则∠ BED ＋∠ EDB ＝ 90° . 又 BC ⊥DE ，所以∠ CBD ＋∠ EDB ＝ 90° . 又 AB 切圆 O 于点 B ，得∠ ABD ＝∠ BED ， 所以∠ CBD ＝∠ DBA.AB AD即 BD 均分∠ CBA ，则 ＝ ＝ 3.BC CD22又 BC ＝ 2，进而 AB ＝ 3 2，所以 AC ＝ AB － BC ＝4，所以 AD ＝ 3.2由切割线定理得 AB 2＝AD ·AE ，即 AE ＝AB＝ 6，AD故 DE ＝ AE － AD ＝ 3，即圆 O 的直径为 3. 与圆有关的协助线的五种作法（ 1） 有弦，作弦心距；（ 2） 有直径，作直径所对的圆周角； （ 3） 有切点，作过切点的半径； （ 4） 两圆订交，作公共弦；（ 5） 两圆相切，作公切线 .。

数学选修4-1《几何证明选讲》知识点总结(精简版)数学选修4-1《几何证明选讲》学问点总结(精简版)高中数学选修4-1学问点总结数学选修4-1《几何证明选讲》学问点总结(精简版)平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相像三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相像三角形。

相像三角形对应边的比值叫做相像比（或相像系数）。

由于从定义动身推断两个三角形是否相像，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，明显比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：相像的简洁方法：（1）两角对应相等，两三角形相像；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像；（3）三边对应成比例，两三角形相像。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相像。

判定定理1：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像。

简述为：两角对应相等，两三角形相像。

判定定理2：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像。

判定定理3：对于任意两个三角形，假如一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像。

简述为：三边对应成比例，两三角形相像。

高中数学选修4-1学问点总结引理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

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选修4。

1 几何证明选讲第1课时圆的进一步认识1。

(2017·镇江期末)如图，已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，点E是错误!的中点．求证：直线PC经过点E。

证明：连结AE，EB，OE，由题意知∠AOE＝∠BOE＝90°，因为∠APE是圆周角，∠AOE是同弧上的圆心角，所以∠APE＝错误!∠AOE＝45°.同理可得，∠BPE＝12∠BOE＝45°，所以PE是∠APB的平分线，又PC是∠APB的平分线,所以PC与PE重合，所以直线PC经过点E.2. 如图,圆O的两弦AB,CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD 交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q.求证：PF＝PQ.证明:因为A，B,C，D四点共圆,所以ADF＝ABC。

因为PF∥BC,所以AFP＝ABC.所以AFP＝FDP。

又因为APF＝FPD，所以△APF∽△FP D.所以PFPA＝错误!.所以PF2＝PA·PD。

因为PQ与圆O相切，所以PQ2＝PA·PD。

所以PF2＝PQ2。

所以PF＝PQ。

3. 如图，圆O与圆P相交于A,B两点,点P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE交CB延长线于点F.若CD＝2，CB＝2错误!，求EF的长．解：连结PB，∵ BC切圆P于点B,∴PB⊥BC。